最佳平方逼近多项式
第3章数值分析---最佳平方逼近
上给出 f ( xi )(i 0,1,, m) ，要求 P* 使
f P * 2 min f P
P 2
min
P
2 [ f ( x ) P ( x )] i i （1.20） i 0
m
则称 P* ( x) 为 f ( x)的最小二乘拟合.
3
定义5
若 f ( x), g ( x) C[a, b], ( x )为 [ a, b]
5 3 P ( x ) ( 63 x 70 x 15 x) / 8, 5
6 4 2 P ( x ) ( 231 x 315 x 105 x 5) / 16, 6
6
切比雪夫多项式 P61-64
当权函数 ( x)
1 1 x2
，区间为 [1, 1]时，由序
列 {1, x,, x n ,} 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev)多项式.
有正规方程组(法方程组)
b b
( ( x), ( x))a
j 0 k j
n
j
( f ( x), k ( x)), k 0,1,.., n
( ( x) ( x)dx)a ( ( x) ( x)dx)a ... ( b ( x) ( x)dx)a b f ( x) ( x)dx 0 0 0 1 0 n 0 a 1 a n a a 0 b b b b ( 0 ( x) 1 ( x)dx)a0 ( 1 ( x) 1 ( x)dx)a1 ... ( n ( x) 1 ( x)dx)an f ( x) 1 ( x)dx a a a a ( b ( x) ( x)dx)a ( b ( x) n ( x)dx)a ... ( b ( x) ( x)dx)a b f ( x) ( x)dx n 0 0 1 n n n a 1 a n a a 0
2.4§2.4 正交多项式和最佳平方逼近
第二章 插值与拟合
P 0 ( x ) = 1, P 1 ( x ) = x , (n + 1) P n +1 ( x ) = ( 2n + 1) xP n ( x ) − n P n −1 ( x ), k = 1,2,L ,
(2.4.7)
给出.它们是在区间 的正交多项式.前几 给出 它们是在区间 [ − 1 ,1 ] 上的带权 ρ ( x) = 1 的正交多项式 前几 多项式如下: 个Legendre多项式如下 多项式如下
第二章 插值与拟合
L ( x ) = 1, L ( x ) = 1 − x , 1 0 ( 2.4.9) 2L Ln + 1 ( x ) = (1 + 2n − x ) Ln ( x ) − n n − 1 ( x ), n = 1,2,L ,
−x 给出。它们是在区间 ， 的正交多项式。 给出。它们是在区间[0，+∞)上带权 ρ ( x ) = e 的正交多项式。 上带权 前几个Legendre多项式如下 多项式如下: 前几个 多项式如下
连续函数空间C[a,b]上定义了内积（2.4.6）就形成了一个内积 上定义了内积（ 连续函数空间 上定义了内积 ）就形成了一个内积 空间。在Rn空间中任一向量都可用它的线形无关的基表示，类似 空间。 空间中任一向量都可用它的线形无关的基表示， 空间中任一向量都可用它的线形无关的基表示 对内积空间任一元素f(x)∈ 地，对内积空间任一元素 ∈ C[a,b]，也可用线形无关的基表示。 ，也可用线形无关的基表示。 上连续， 设 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), L ϕ n ( x ), 在[a,b]上连续，如果 上连续
最佳平方逼近
b
b
b
w( x) f ( x) 1dx
a
b
a0 (1,1) a1 ( x,1) ... an ( x ,1) ( f ,1)
n
a0 (1, x) a1 ( x, x) ... an ( x , x) ( f , x)
n
a0 (1, x ) a1 ( x, x ) ... an ( x , x ) ( f , x )
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
( m , 1 ) ( m , 2 ) ( m , m )
称为函数1 ( x)， ，m ( x)的Gram矩阵， ..... A显然是对称矩阵。
若1 ( x)， ，m ( x)线性无关，则它们 ..... 的Gram矩阵正定。
1 (1,1) 11dx 1, (1, x) 1 xdx 0 0 2
1 1
1 1 1 (1, x ) 1 x dx , ( x, x) x xdx 0 0 3 3 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 ( x, x ) x x dx , ( x , x ) x x dx 0 0 4 5 1 2 (1,sin( x)) 1 sin( x)dx 0 1 1 ( x,sin( x)) x sin( x) dx , 0 2 1 2
最佳平方逼近算例
1 * c 2 (3(2 x − 1) 2 − 1) 2 2 = (210e − 570) x + (−216e + 588) x + 39e − 105 = 0.83918 x 2 + 0.85113 x + 1.01299
对 F(t)的平方逼近误差为
δ
2 2
= F (t ) − ϕ * (t ) = F 2 − ∑ ci* ( F , pi )
因此，对 f(x)的平方逼近误差为
δ 2 = f ( x) − ϕ * ( x) 2 =
2 2 2 1 F (t ) − ϕ * (t ) ≈ 2.783545 × 10− 5 . 2 2
（解法 2） 构造[0,1]上首项系数为 1 的正交多项式的前三项. 设
ϕ 0 ( x) = 1 , ϕ1 ( x) = x + a , ϕ 2 ( x) = x 2 + bx + c
平方逼近误差为
δ ( x) 2 = f − ϕ * 2 = f
2 2
− ∑ ci* ( f , ϕi ) 2
2 i =0
2
= −248.5e 2 + 1350e − 1833.5 ≈ 2.783545 × 10−5
（解法 3）
使用线性无关函数族 ϕ0 ( x) = Hale Waihona Puke Baidu, ϕ1 ( x) = x, ϕ2 ( x) = x 2 ，
第5章 10.最佳逼近多项式
求解出 c0 , c1 ,L cn即可得 ϕ = ∑ c jϕ j ( x )
例：设 f ( x ) = e x , x ∈ [0,1], 求最佳二次平方逼近 多项式 P2 ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2
解： M = span 1, x , x 2
(ϕ 0 , ϕ 0 ) = ∫ 1dx = 1
a a * ( f −ϕ − ϕ, f −ϕ − ϕ) b b =a =b 2 2a a * * * ( f − ϕ , ϕ ) + 2 (ϕ , ϕ ) = ( f −ϕ , f −ϕ )− b b 2 2 a * * 2 = f −ϕ − < f −ϕ 2 2 b
*
⇒ ϕ 不是最佳平方逼近函数 ，矛盾
= ( f −ϕ, f −ϕ)
= ( f −ϕ +ϕ −ϕ, f −ϕ +ϕ −ϕ)
* * * *
= ( f − ϕ * , f − ϕ * ) + 2( f − ϕ * , ϕ * − ϕ ) + (ϕ * − ϕ , ϕ * − ϕ )
=0
= f −ϕ
* 2 2
+ ϕ −ϕ
*
2 2
≥ f −ϕ
定理： 是内积空间， 是其有限维子空间， 定理： C [a , b]是内积空间， M是其有限维子空间， f ( x ) ∈ C [a , b]，M中ϕ * ( x )是f ( x )的最佳平方逼近 函数的 ⇔ f − ϕ *与M中任一元正交
Chebyshev多项式最佳一致逼近-最佳平方逼近
数学软件实验任务书
实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近
1 实验原理
设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，
计算量小的函数()x ϕ来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问
题。通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的：
对于给定的函数{()}j x ϕ，寻求函数
0()()n
j j j x c x ϕϕ==∑ 使()()0max lim n a x b
f x x ϕ→∞<<-=的函数称为一致逼近。使
()()()0lim b p
a n f x x W x dx ϕ→∞-=⎰ 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。比较常用的p=2，称为平方逼近。
设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式
()f x P εε-<
对所有[,]x a b ∈一致成立
()()max n a x b f x P x ≤≤-
则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。
求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插
值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1)
j j x b a b a j n n +=-++=+L 2 实验数据
求函数()x f x xe =在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多项式（Chebyshev 插值多项式）
3 实验程序
function g=cheby(f,n,a,b)
for j=0:n
第三章-2-最佳平方逼近
在 [-1, 1] 上带权
( x)
1 1 x2
(x) 的正交多项式称为切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的表达式
Tn ( x) cosn arccosx
x [-1, 1]，n = 0, 1, 2, …
若令 x cos ,则
Tn ( x) cosn , 0
b
a
x k ( x ) dx，存在且为有限值 (k = 0, 1, 2, … )
(2) 对 [a, b] 上的任意非负连续函数 g(x) ，
若
b
a
g ( x ) ( x ) dx 0 ， 则 g ( x ) 0
则称 (x) 是 [a, b] 上一个权函数
带权内积
设 (x) 是 [a, b] 上的权函数， f(x), g(x) C[a, b]
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, …
(4) Pn(x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点 (5) 在所有首一n次多项式中，首一n次Legendre多项式在 [-1,1]上与零的平方误差最小
Legendre多项式
P0 ( x ) 1
P1 ( x ) x
T3 ( x) 4 x 3 3 x
T4 ( x) 8 x4 8 x 2 1
最佳平方逼近
(1,1) (2,1) L
(1
,
2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1) a1 ( f ,1)
(m
,2
)
a2
wk.baidu.com
(
f
,2
)
L M M
(m,m )
am
( f ,m )
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a，.....，am，
从而得到f (x)在子空间S中的最佳平方
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
可设g(x) a11(x) ..... amm (x),则
( f (a11(x) ..... amm (x)),1(x)) 0
( f (a11(x) ..... amm (x)),2 (x)) 0 ..........
( f (a11(x) ..... amm (x)),m (x)) 0
24正交多项式和最佳平方逼近
an时成立,则称
0 ( x), 1 ( x),
n ( x)在[ a, b]上是线性无关的.
第二章 插值与拟合
例如 函数组 {1, x , x n } ,其中 x i C[a, b] (i 0,1,, n)于[a, b] 线性无关。
(2)
1 连续区间上正交多项式
0, i j (第二章 i , j ) 插值与拟合 ai 0, i j
连续区间上的正交多项式的概念与离散 点集上的正交多项式概念相似，只要将内积 的定义作相应的改变 。 定义2.10 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx, f , g C[a, b]
对于f (x)∈C[a,b],若存在 p* ( x)
2 b
，使得
f p * 2 inf ( x)[ f ( x) p( x)]2 dx
a
(2.4.11)
* p 则称 ( x) 是 f (x)在 C[a, b] 中的最佳平方逼近函数。
第二章 插值与拟合
* 2 || f ( x) p( x) ||2 || f ( x ) p ( x ) || 即给定 f ( x) C[a, b] ， 求p* ( x) ， 使 min 2 2 .
最佳平方逼近
第三步：其整体误差
令：
所求的解应该使的上式达到极小，由极值原 理应有：
这样由 及 求得 整理为
令
则有 这样就给出了求解
方程组：
同样称其为法方程组。求解法方程组，求得解 便得到最小二乘拟合曲线
为了便于求解，我们再对法方程组的写出作一分析。
二、误差估计
对于 最佳平方逼近的误差为
由 可得
于是，最佳平方逼近
的误差为
(3.6)
如果
则称(3.6)为 f(x) 的在[a,b]上的最佳平方逼近n次多 项式。
*求连续函数最佳平方逼近的步骤*
1. 给定[a,b]上的连续函数f(x), 及子空间
2. 利用内积 给出法方程组
3. 求出法方程组的解 4. 求出误差
使得对于一切
都有：
不等式
说明，所求的 满足等式：
(3.2)
而
是由系数
唯一确定的，因此，只要我
们求出了满足(3.2)的
，就可以求出
f(x)最佳平方逼近。
令
(3.3)
则
这时等式
(3.4)
意味着
(3.5)
也就是说，求出满足等式(3.4)的
，等价于求出
满足等式(3.5)的
。 由(3.5)可知
是n+1元函数(3.3)的最小值点。
最佳平方逼近多项式
d1 ( f , x) x 1 x 3 dx 0.5883
0
Matlab 求定积分（int函数）
d 0= (2*2^(1/2))/5 - (6*ellipticF(asin(1/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5 + (6*(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5
引入内积定义，可得
最佳平方逼近
最佳平方逼近试验
任 兵（200820302025）
一、问题叙述
求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 二、问题分析
由教材定义6.5有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在
*01(){(),(),,()}n S x Span x x x ϕϕϕ∈
使得
[]22
*
()()()min ()()()b
b
a
a
a x b
x f x S x dx x f x s x dx
ρρ≤≤⎡⎤-=-⎣⎦⎰
⎰
则称S *(x )是f (x )在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕ 中的最佳平方逼近函数。
显然，求最佳平方逼近函数)()(0
**
x a x S j n
j j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求它的系数
*
*1*0,,,n
a a a ，使多元函数 dx x a x f x a a a I j n j j b
a
n 2
010)()()(),,,(⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∑⎰
=ϕρ
取得极小值，也即点(*
*1*0,,,n
a a a )是I (a 0, …，a n )的极点。由于I (a 0, a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，
0=∂∂k
a I
(k = 0, 1, 2, …, n ) 即
[]0
)()()()(20=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=∂∂∑⎰=dx x x a x f x a I
k j n j j b a k ϕϕρ
得方程组
)
,,2,1,0(,
)()()()()()(0
n k dx x x f x dx
matlab求解一次和二次最佳平方逼近多项式
如何用MATLAB求解一次和二次最佳平方逼近
多项式
MATLAB是一款功能强大的科学计算软件，广泛应用于各个领域中。在数学建模中，经常需要使用最佳平方逼近技术来找到最符合样本数
据的多项式函数，而MATLAB正是一个能够高效求解最佳平方逼近问题
的工具。本文将详细介绍如何用MATLAB求解一次和二次最佳平方逼近
多项式。
一、最佳平方逼近
最佳平方逼近是一种拟合问题，其目的是找到一个多项式函数，
使其能够最好地逼近给定的样本数据集合，即最小化其平方误差。这
个问题可以表示为以下形式：
minimize f(x) = ||Ax - b||^2
其中，x是待求解的多项式系数向量，A是输入数据集合的矩阵表示，而b则是对应的样本输出向量。通过数学推导，可以得到最佳平
方逼近问题的解析解为：
x = (A^T A)^{-1} A^T b
二、一次最佳平方逼近
在一次最佳平方逼近中，我们需要找到一个一次多项式 y = ax + b，使其能够最好地逼近给定的样本数据集合。首先，我们需要构建A 矩阵和b向量，并将其带入解析公式中求解。具体步骤如下：步骤1：生成样本数据集合
x = [1 2 3 4 5];
y = [1.2 1.9 3.2 4.1 5];
步骤2：构建A矩阵和b向量
n = length(x);
A = [x' ones(n, 1)];
b = y';
步骤3：求解多项式系数向量
a_b = inv(A' * A) * A' * b;
步骤4：绘制拟合曲线
a = a_b(1);
b = a_b(2);
x_fit = linspace(min(x), max(x), 100);
最佳平方逼近
学生实验报告
实验课程名称应用数值分析
开课实验室
学院数学与统计学院年级
专业班
学生姓名学号
开课时间2014 至2015 学年第一学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室： 实验时间 ： 2014 年 10月 17日
()min a
x ρ∈Φ
⎰212a x a x +，法方程的系数矩阵为
11213
11111
2
321m m m m m m +++⎪⎪⎪
⎪++++⎭
矩阵。
解出多项式拟合法方程的系数
第二章最佳平方逼近.ppt
定义 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件:
(1) f 0, (2) f f ; 为任意常数 (3) f g f g
在闭区间上连续的函数 f (x)的最常见范数有:
(1) 最大值范数:
f max f (x) ; x [a,b]
(2) 欧氏范数(L2范数):
0
e
x
Lk
(
x)
Lm
(
x)dx
0, k m (n!)2 ,k=m
例 5、Hermite 多项式
Hm (x)=(-1)nex2
dn dxn
(e x2
), n=0,
1,2
即多项式
1.7
H0 (x)=1 ,
H1 (x)=2x,
H2 (x)=4x2 -2,
H3 (x)=8x3 -12x,
H4 (x)=16x4 -48x2 +12
b a
(
x)
gn*
(
x)dx
b a
(
x)
g
* n
(
x)
g0*
(
x)dx
0
此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数 x1 (a,b), 使 gn*(x1) 0, 现假设 x1 是 gn*(x)的重根，即
gn*(x1) (x x1)2Qn2 (x),
最佳平方逼近
误差。
3-7 用最小乘法求一个形如
的经验公式，
使与下列数据拟合，并计算均方误差。
19 25 31 33 44 19.0 32.2 49.0 73.3 97.8
3-8 对下列数据
求形如
1234 5
16.4 27.2 44.5 73.5 的拟合曲线
120. 4
3-9 用最小二乘法解方程组
。 达到极小。
3-4 利用Legendre多项式
在[0,1]与
[-1,1]上的最佳平方逼近三次式，并比较有何
异同。
3-5 证明 的正交函数系。
是
上
3-6 给出数据表
-1.00 -0.50 0.00 0.25 0.75 1.00
0.2200
0.800 0
2.0000
2.500
3.800
4.200
使分别作出线性、二次曲线拟合，并给出最佳平方
的拟合曲线
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
解 ： 由于函数集合
不成为线性
空间，因此直接作拟合曲线是困难的。
在函数
两端分别取对数得到
令 则 这时，需要将原函数表进行转换如下
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6