湖北省沙市中学学年高二数学下学期第六次半月考试题文

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湖北省沙市中学2015-2016学年高二下学期第六次半月考

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m （）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，2(i)(1i)m m ++23()(1)m m m i =-++，令3101m m +=⇒=-，故选B ．考点：复数的运算及复数的概念．2．集合{2,3}A =，{1,2,3}B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（） A ．23 B ．12 C ．13D ．16【答案】C考点：古典概型及其概率的计算．3．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A ．?43≤SB ．?1211≤SC ．?2425≤SD ．?120137≤S【答案】B考点：程序框图．4．已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A ，B ，当PAB ∠最小时，cos PAB ∠=（）A B ．12 C ．D ．12-【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，要使的PAB ∠最小时，则使得OPB ∠最大，因为1sin OB OPB OP OP∠==，所以只要OP 最小即可，在P 到圆心的距离最小即可，由图象可知，当OP 垂直直线34100x y +-=，此时2,1OP OA ===,设APB α∠=，则2APO α∠=，即sin2OAOPα=12=,此时2211cos 12sin 12()222αα=-=-⨯=，即1cos 2α=，故选B ．考点：简单的线性规划的应用．5.已知直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．【答案】C考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．6．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形的概率为（） A ．16 B ．13 C ．12D ．23【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，试验发生包含的时间对应的长度为6一条线段，要使得ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形，此时情况的边界为090BAD ∠=，此时4BD =,所以要是的090BAD ∠>，必有46BD <<，所以概率为64163P -==，故选B ．考点：几何概型及其概率的求解．【方法点晴】本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对应几何概型的求解中，要根据题意判断出几何概型的度量关系——常见的几何概型的度量有长度度量、面积度量、体积度量和角度度量等，本题的解答中要使得ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形，此时情况的边界为090BAD ∠=，得出4BD =是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（）A C ．D ．【答案】C考点：圆的弦长公式．8．直线y x b =+与曲线x =有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（）A ．||b ．11b b -<<=或C ．11b -<≤D ．11b b -<≤=或【答案】D 【解析】试题分析：由x =221(0)x y x +=≥，所以表示的图形是以原点为圆心，半径为1的一个半圆，如图所示，要使得与直线y x b =+只有一个公共点，则当y x b =+过点(0,1)和(0,1)-时，此时11b -<≤，当直线y x b =+在第四象限与圆相切时，此时b =b 的取值范围是11b b -<≤=或，故选D ．考点：直线与圆位置关系的应用．9．已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式'()0xf x <的解集为（）A ．(-∞，12)∪(12,2) B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12)∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)【答案】B考点：导数与函数单调性的关系．10.已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（）A ．B ．C ．D 【答案】B 【解析】试题分析：设12,PF m PF n ==，不妨设m n >，由双曲线的方程可知1,1,a b c ===，根据双曲线的定义可知2m n a -=，即2224m n mn +-=，在12PF F ∆中，根据余弦定理，得22201212122cos 60F F PF PF PF PF =+-，即228m n mn +-=，解得4mn =，设点P的距离为x ，则011sin 6022h mn ⨯=⨯，解得h =，故选B ．考点：双曲线的定义；余弦定理；三角形的面积公式． 11.已知函数()cos sin 4f x f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A 1 C ．1 D ．0 【答案】C考点：导数的运算；函数求值．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及函数的求值问题，其中熟记导数的运算公式及导数的四则运算公式和函数在某点处的导数的意义是解答此类问题的关键，本题的解答中，利用导数的运算公式得()()(sin )cos 4f x f x x π''=-+，令4x π=，求出()14f π'=是解答本题的关键，着重考查学生的推理与运算能力，属于基础题．12.若曲线()xmf x e x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，则实数m 取值范围为（） A ．24(,]e -∞ B ．24(0,]eC ．(,4]-∞D ．(0,4] 【答案】B 【解析】试题分析：由曲线()xm f x e x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，可得()xx f x e m '=+在(,0)-∞上有解，得2x m x e =在(,0)-∞上有解，设()()22(2)x x g x x e g x x x e '=⇒=+，由0x <，可得当2x <-时，()0g x '<，则()g x 单调递减；当20x -<<时，()0g x '>，则()g x 单调递增，可知()g x 在2x =-处取得极大值，且为最大值24e -，且当0x <时，()0g x >，所以实数24(0,]m e ∈，故选B ．考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数求解函数在区间上的最值．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数求解函数在区间上的最值的应用，着重考查了转化与化归思想，以及构造函数思想和函数最值的应用，同时考查了学生的推理、运算能力，属于中档试题，本题的解答中曲线()xm f x e x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，转化为()x x f x e m'=+在(,0)-∞上有解，得2x m x e =在(,0)-∞上有解是解答的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.圆224x y +=被直线l ：20kx y k --=截得的劣弧所对的圆心角的大小为3π，则直线l 倾斜角的大小为．【答案】3π或23π考点：直线的倾斜角及直线与圆的位置关系．14．如果实数x ，y 满足不等式组30,230,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，那么实数k 的值为 .【答案】2 【解析】试题分析：画出不等式组表示的可行域，如图所示，联立301x y x +-=⎧⎨=⎩，得(1,2)C ，由题意可知，使目标函数取得最大值的最优解为(3,0)B ，取得最小值的最优解为(1,2)，则63002k k =-⎧⎨=-⎩，解得2k =．考点：简单的线性规划及其应用．15.分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，则：（Ⅰ）4a = ；（Ⅱ）n a = ．【答案】（I ）14 （II ）1312n -+【解析】试题分析：根据图中所示的分形规律，1个白圈分为2个黑圈，1个黑白圈分为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为(,)x y ，则第一行为(1,0)；第二行为(2,1)；第三行为(5,4)；第四行为(14,13)，所以414a =；各行白圈数乘以2，分别是2,4,10,28,82,，即11,31,91,271,811,+++++，所以第n 行的白圈为1312n n a -+=．考点：归纳推理【方法点晴】本题主要考查了与数列有关的归纳推理，归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况法相某项相同的性质；（2）从已知的相同相纸中推出一个明确的表达的一般性的命题，正确理解归纳推理的步骤是解答此类问题的关键，本题的解答中，根据题设中分形规律，可得则第一行为(1,0)；第二行为(2,1)；第三行为(5,4)；第四行为(14,13)，各行白圈数乘以2，分别是2,4,10,28,82,，即11,31,91,271,811,+++++，即可得出n a 的表达式．16．已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，A ．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】考点：双曲线的定义；三角形的周长及面积．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质、三角的周长与面积等知识的应用，其中根据题设条件确定点P 的坐标是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力，本题的解答中，根据双曲线定义，表示出三角形的周长，确定当,,A P F '三点共线时周长最小，得出点P 的纵坐标为键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知0a >设命题:p 函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，命题:q 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()11f x x x a=+>恒成立.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求a 的范围. 【答案】[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：先求出命题,p q 成立的等价条件，利用p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，即可确定实数a 的范围.试题解析：由1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，01a <<.因为()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,2上为增函数.()f x ∴在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为()12f =当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数()11f x x x a =+>恒成立得，解得12a >如果p 真且q 假，则102a <≤，如果p 假且q 真，则1a ≥ 所以a 的取值范围为[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.考点：复合命题的真假判定与应用．18．（ 12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表：（Ⅰ）按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．【答案】（I ）44,40,36,43,36,37,44,43,37；（II ）1009；（III ）63.89%．（Ⅱ）由（Ⅰ），得x -＝4440364336374443379++++++++＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．…………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ），得x -＝40，s ＝103，∴x -－s ＝3623，x -＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x -－s ，x -＋s)内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．………………………………………………12分考点：系统抽样；数据的平均数与方差；19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ．设圆C 的半径为1，圆心在 l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】（I ）3y =或34120x y +-=；（II ）12[0,]5．【解析】试题分析：（I ）联立两直线方程求得圆心坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求解斜率，即可求解直线的方程；（II ）设出圆心坐标，表示出圆的方程，进而根据2MA MO =，设出M ，利用等式关系整理求解M 的轨迹方程，进而判断出点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，且圆C 和圆D 有交点，进而确定不等关系式，即可求解a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4与直线y ＝x －1的交点，由241y x y x =-⎧⎨=-⎩解得C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．……4分（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上， ∴圆C 的方程为(x －a)2＋[y －(2a －4)]2＝1．设点M(x ，y)，由|MA|＝2|MO|化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， ∴点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则2－1≤|CD|≤2＋1， ∴13，即13．由5a 2－12a ＋8≥0，得x∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125．故圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．…………………………………12分考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程．20．（12分）设1F ，2F 分别是C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线2MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b ．【答案】（1）12e =；（2）7,a b == 【解析】试题分析：（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为34，建立,a c 的方程，即可求解离心率；（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及15MN F N =，建立方程组，求出点N 的坐标，代入椭圆的方程，即可得到结论．（Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点，设M （c ，y ），（y ＞0），则22221c y a b +=，即422b y a =，解得y=2b a， ∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴2b a=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，则|MF 1|=4|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|，即11DF 2F =N 设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则（﹣c ，﹣2）=2（x 1+c ，y 1）．即()11222x c c y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入椭圆方程得2229114c a b +=，将b 2=4a 代入得()22941144a a a a-+=，解得a=7，b=考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用．21.已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标；（2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）1,2P ⎛ ⎝⎭；（2）32,,222k ⎛⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的,,a b c ，可得左右焦点，设(,)P x y ，运用向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到点P 的坐标；（2）显然0x =不满足题意，可设设l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，由AOB ∠为锐角，∴0OA OB ⋅>，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k 的取值范围．试题解析：（1）因为椭圆方程为2214x y +=，知2,1,a b c ===∴())12,F F ，设(),(0,0)P x y x y >>，则())22125,,34PF PF x y x y x y ⋅=-⋅-=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得221134x x y y ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，∴2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）显然0x =不满足题意，可设l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，∴1212221216,1414k x x x x k k =+=-++，且()()2216414120kk ∧=-+⨯>，∴234k>，又AOB ∠为锐角，∴0OA OB ⋅>，∴12120x x y y +>，∴()()1212220x x kx kx +++>，∴()()()()22212122224412161241240141414k k k x x k x x k k k k k -⎛⎫++++=++-+=> ⎪+++⎝⎭， ∴24k <，又∵234k >，∴2344k <<，∴32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 考点：椭圆的标准方程及其性质；直线与椭圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系的应用，向量的数量积的表示与运算，此类问题的解答中利用直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式、韦达定理建立根与方程系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题． 22.已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．【答案】（I ）()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m+∞上单调递减；（II ）1m =；（III ）证明见解析．【解析】试题分析：（I ）求出函数()f x 的导数，利用()()0,0f x f x ''><，即可求出函数()f x 单调区间；（II ）由()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于零，即可得到关于m 的不等式，求解实数m 的取值范围；（III ）在（II ）条件下，任意0a b <<，可先代入函数的解析式，得出ln()()111bf b f a a b b a a a-=⋅---，再由0a b <<得出ln 1b ba a<-，代入即可证明出不等式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；当m ＞0时，()max 11ln 1ln 1f x f m m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭只需m ﹣lnm ﹣1≤0即 ….6分令g （x ）=x ﹣lnx ﹣1，则()11g x x'=-，函数g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． ∴g（x ）min =g （1）=0．则若f （x ）≤0在x ∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分（Ⅲ）()()lnln ln ln ln 1111bf b f a b a a b b a a b a b a b a a a--+--==-=⋅-----由0＜a ＜b 得1ba>，由（Ⅱ）得：ln 1b b a a ≤-，则()()2ln1111111111b a a a b a a a a a a a a--⋅-≤-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立．…12分考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求解闭区间上的最值；函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求解闭区间上的最值、函数的恒成立问题及不等式的证明，着重考查了转化的思想及推理与运算能力，综合性较强，解答的关键值准确理解题意，对问题进行正确、合理的转化，熟练运用导数的性质是解答的中点，同时正确、合理的转化是试题的难点，属于难题，同时有事常考题，平时要注意总结和积累．。

湖北省荆州市沙市中学2023届高三下学期6月适应性考试数学试题

(1)若抛物线
C1
的准线与
x
轴相交于点 T
，
MN
是过 C1
焦点
F
的弦，求
uuur TM
uuur ×TN
的最小
值；
(2)已知 P ， A ， B 是拋物线 C1 上互异的三个点，且 P 点异于原点．若直线 PA ， PB 被
圆 C2 截得的弦长都为 2，且 PA = PB ，求点 P 的坐标．
22．已知函数
湖北省荆州市沙市中学 2023 届高三下学期 6 月适应性考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知复数 z 满足 iz = 2 - i ，其中 i 为虚数单位，则 z 为（）
A． -1- 2i
B．1+ 2i
{cn} 的前 100 项和. 20．进行独立重复试验，设每次成功的概率为 p (0 < p <1) ，则失败的概率为1- p ，将
试验进行到恰好出现 r 次成功时结束试验，以 X 表示试验次数，则称 X 服从以 r ， p
为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为 X ~ NB (r, p) ．
(1)若
y
=
kx
有 4 个不同的公共点，
则正实数 k 的值为__________. 16．正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 4, E, F 分别为 AD, B1C1 上的点， AE = C1F = 1，
P,Q 分别为 BB1,C1D1 上的动点.若点 A, B, P,Q 在同一球面上，当 PQ ^ 平面 A1EF 时，该球的表面积为__________.

湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题数学(含解析)

2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为，若，则表示曲线 y =f (x )，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中为常数；，则表及轴围成图形面积为4.(1)若，求的表达式；(2)求曲线与直线所围成图形的面积；(3)若，其中，对，若，都满足，求的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12．【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。

2019-2020学年湖北省荆州市沙市中学高二下学期6月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年湖北省荆州市沙市中学高二下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()()122z i i =+-，则z 的共轭复数z =（） A ．43i - B ．43i + C ．34i + D ．34i -【答案】A【解析】先对复数()()122z i i =+-进行化简，进而可求得其共轭复数【详解】解：因为()()212224243z i i i i i i =+-=-+-=+，所以z =43i -，故选：A 【点睛】此题考查复数的乘法运算，考查共轭复数，属于基础题2．双曲线2219x y -=的渐近线方程为（）A ．19y x =±B ．13y x =± C ．3y x =±D ．9y x =±【答案】B【解析】根据双曲线方程得到,a b ，再直接写出渐近线方程. 【详解】由2219x y -=知29a =，21b =，所以3,1a b ==，所以渐近线方程为13b y x x a =±=±. 故选：B. 【点睛】本题考查了由双曲线方程求渐近线方程，属于基础题.3．已知直线l 的方向向量为m ,平面α的法向量为n ,则“0m n ⋅=”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案. 【详解】0m n ⋅= ∴m n ⊥0m n ⋅=,即m n ⊥,不一定有l ∥α,也可能l α⊂∴“0m n ⋅=”是“l ∥α”的不充分条件l ∥α,可以推出m n ⊥,∴“0m n ⋅=”是“l ∥α”是必要条件,综上所述, “0m n ⋅=”是“l ∥α”必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.4．“献爱心，暖童心”，某企业从2013年开始每年向儿童福利院捐款和捐赠物资，下表记录了该企业第x 年（2013年是第一年）捐款金额为y （万元）.若用最小二乘法求得y 和x 的回归直线方程为0.70.35y x =+，则下列说法中，错误的是（）A ．该企业每年捐款金额y 与x 呈正相关B ．该回归直线过点()4.5,3.5C ．该企业2020年捐款金额一定为5.95万元D ．m 的值为4 【答案】C【解析】根据ˆ0.70b=>可知A 正确；将点()4.5,3.5的坐标代入0.70.35y x =+可知B 正确；根据回归直线经过样本点中心可知D 正确；计算可知该企业2020年捐款金额估计为5.95万元，故C 错误. 【详解】对于A ，因为ˆ0.70b=>，所以y 与x 呈正相关，故A 正确；对于B ，将点()4.5,3.5的坐标代入0.70.35y x =+可知B 正确；对于D ，由 2.53 4.53.54m y +++==，解得4m =，故D 正确；对于C ，依题意可知，8x =，ˆ0.780.35 5.95y=⨯+=万元，所以该企业2020年捐款金额估计为5.95万元，故C 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了回归直线方程，考查了回归分析，考查了样本点中心，属于基础题 5．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）A ．6B 26C 15D 10【答案】D【解析】试题分析：以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴110cos ,558BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105 【考点】直线与平面所成的角6．已知函数()321213f x ax ax x =+++在R 上为增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,2【答案】C【解析】由题意可得，2()220f x ax ax '=++≥恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】由题意可得，2()220f x ax ax '=++≥恒成立，当0a =时，显然满足题意，当0a ≠时，则根据二次函数的性质可得，20480a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解可得，02a <≤，综上可得，02a ≤≤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数关系的简单应用，属于基础题．7．某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.则在某一天，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为（） A ．0.04 B ．0.08C ．0.17D ．0.26【答案】C【解析】根据题意，先得到前两位居民办理业务的时间是：每人两分钟；其中一人1分钟，另一人三分钟；共两种情况，求出对应概率再求和，即可得出结果. 【详解】因为第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务，若前两位居民办理业务分别用两分钟，则对应概率为0.30.30.09⨯=；若前两位居民办理业务的时间分别为：1分钟和三分钟，则对应的概率为0.10.40.40.10.08⨯+⨯=；因此，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为0.090.080.17+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查独立事件的概率计算，属于基础题型.8．某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（） A ．240 B ．360 C ．480 D ．720【答案】C【解析】给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8，按照连在一起的3个车位分6类计数可得结果. 【详解】解法一：给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8，当1，2，3号车位停放3辆车时，有444A ⨯种停放方法；当2，3，4号车位停放3辆车时，有443A ⨯种停放方法；当3，4，5号车位停放3辆车时，有443A ⨯种停放方法；当4，5，6号车位停放3辆车时，有443A ⨯种停放方法；当5，6，7号车位停放3辆车时，有443A ⨯种停放方法；当6，7，8号车位停放3辆车时，有444A ⨯种停放方法；所以不同的停放方法的种数为44443444444344433334202024480A A A A A A A +++++==⨯=种.解法二：先定四个车位，其中三个车位连在一起捆绑，三个车位和另一个被四个空车位间隔开，四个空车位就1种排法，造成5个空格，排入三个捆绑车位和一个车位有2520A =种方法，再把4辆车停入四个车位有4424A =种方法，根据乘法原理共有2024480⨯=种停车方法. 故选：C. 【点睛】本题考查了相邻问题和不相邻问题的排列应用题，考查了分类计数原理，属于基础题.9．函数223()2xx xf x e+=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ．10．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的左右焦点，分别为1F 、2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，且两曲线在第二象限的公共点为点P ，且满足1122::2:3:4PF F F PF =，则212122e e e e +-的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出1e ，2e ，即可得出结果. 【详解】因为1122::2:3:4PF F F PF =，不妨令12PF m =，123F F m =，24PF m =，因为点P 是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，两曲线的焦距为122F F c =，根据椭圆与双曲线的定义可得：12126PF PF a m ==+，21222PF PF a m ==-，因此112122c e a ==，222322c e a ==，所以2121312253212e e e e ++==--.故选：C. 【点睛】本题主要考查求椭圆与双曲线的离心率，属于基础题型.11．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n 阶幻方（3n ≥，*n N ∈）是由前2n 个正整数组成的一个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A ，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B ，则()|P B A =（）A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】D【解析】根据题意，先列举出事件A 发生对应的基本事件，再列举出事件AB 同时发生对应的基本事件，基本事件的个数比，即为所求的概率. 【详解】根据题意，事件A 包含的基本事件有：()8,1,6，()3,5,7，()4,9,2，()8,3,4，()1,5,9，()6,7,2，()8,5,2，()4,5,6；共8个基本事件；事件AB 同时发生包含的基本事件有：()3,5,7，()1,5,9，()8,5,2，()4,5,6共4个基本事件，所以()()()48|12n AB P B A n A ===.故选：D. 【点睛】本题主要考查求条件概率，属于基础题型.12．定义在()1,+∞上的函数()f x 满足()210x f x '+>(()f x '为函数()f x 的导函数，()433f =，则关于x 的不等式()3log log 31x f x <+的解集为（）A ．()3,27B ．()1,27C ．()9,+∞D ．()27,+∞【答案】A【解析】构造函数()()1F x f x x=-，利用导数，结合已知条件判断出()F x 的单调性，由此求得等式()3log log 31x f x <+的解集. 【详解】构造函数()()1F x f x x =-，()()()2'''22110x f x F x f x x x+=+=>，所以()F x 在()1,+∞上递增. 注意到()()13313F f =-=，所以 ()3log log 31x f x <+()()3311log 3log 3f x f x -<-⇔ ()()33log 3log 3027F x F x x ⇔<⇔<⇔<<，结合()f x 的定义域可知3log 13x x >⇒>，所以不等式()3log log 31x f x <+的解集为()3,27. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性以及解不等式，属于中档题.二、填空题13．()()6121x x +-的展开式中5x 的系数为______________. 【答案】48【解析】由()()6121x x +-66(21)(21)x x x =-+-以及()621x -的展开式的通项公式可得结果. 【详解】因为()()6121x x +-66(21)(21)x x x =-+-，又()621x -的展开式的通项公式为666166(2)(1)(1)2r r r r r r rr T C x C x ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅，0,1,2,3,4,5,6r =.所以()()6121x x +-的展开式中5x 的系数为：2241566(1)2(1)2C C -⋅⋅+-⋅⋅48=.故答案为：48. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.14．据统计，2019年湖北省内某著名景点每天的游客人数近似服从正态分布()25000,200N ，则在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5400的概率为______________. 附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=.【答案】0.0228【解析】由已知可得5000,200μσ==，则()460054000.9544P X <≤=，再由正态分布的对称性可求得(5400)P X >的值【详解】解：因为游客人数近似服从正态分布()25000,200N ，所以5000,200μσ==，所以()460054000.9544P X <≤=，所以()1(5400)10.95440.02282P X >=-=，所以在此期间的某一天，该景点的游客人数超过5400的概率约为0.0228，故答案为：0.0228 【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量的应用，考查正态分布曲线的对称性的应用，属于基础题 15．A ，B 两动点在抛物线214y x =上，且5AB =，若线段AB 的中点M 在x 轴上的射影为M '，则MM '的最小值为_____________. 【答案】32【解析】根据题意，由抛物线的方程分析可得抛物线的准线方程以及开口方向，设抛物线的焦点为F ，且1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，进而可表示出点M 到x 轴的距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且,,F A B 三点共线时取等号，即可得答案【详解】解：根据题意，抛物线214y x =的标准方程为24x y =，其准线方程为1y =-，其开口向上，设抛物线的焦点为F ，且1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，则有120,,y y y 均大于0，点M 到x 轴的最短距离为0y ，则1212022(1)(1)2322222AF BF AB y y y y y +--++++-===≥=, 当且仅当,,F A B 三点共线时取等号，即MM '的最小值为32，故答案为：32【点睛】此题考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，关键是利用抛物线的定义分析转化，属于中档题16．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.【答案】33【解析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值. 【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=，所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+，(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增， (1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值33故答案为：33【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.三、解答题17．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值. 【答案】（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x .【解析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值；（2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值【详解】解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+，因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max 33ln 22g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题18．在新型冠状病毒的疫苗研发过程中，某科研所利用独立性检验的方法调查接种疫苗A 对预防新型冠状病毒是否有效，对200只动物进行试验.一周后，发现接种疫苗A 且未患病的有64只，接种疫苗A 且患病的有36只，未接种疫苗A 且患病的有44只. （1）将下列2×2列联表补全，并画在答题卡上.（2）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为接种疫苗A对实验动物预防新型冠状病毒有效？附：参考公式和参考数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）答案见解析；（2）犯错误的概率不超过0.25的前提下认为接种疫苗A对实验动物预防新型冠状病毒有效.【解析】（1）根据题意计算直接得解；（2）计算2K的值，结合临界值表可得解.【详解】（1）（2）()222003656446441.333801201001003K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯∵1.333 1.323>由所给的临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为接种疫苗A对实验动物预防新型冠状病毒有效.【点睛】本题考查了补全列联表，考查了独立性检验，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，且23PB PD ==，22PA =，M 、N 分别为PB 、PD 的中点.（1）求证：PA MN ⊥；（2）求二面角A MN C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（265. 【解析】（1）由勾股定理可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，则PA ⊥平面ABCD ，得到PA BD ⊥.由中位线性质，知//MN BD ，从而可得结果.（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线为轴建立空间直角坐标系，平面AMN 法向量与平面MNC 法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）在PAB △、PAD △中，由222PB AB PA =+，222PD AD PA =+，知PA AB ⊥，PA AD ⊥，又AB AD A ⋂= ∴PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥. ∴PAAC A =∴BD ⊥平面PAC连接BD ，在PBD △中，由中位线性质，知//MN BD . ∴PA MN ⊥（2）如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D，(2M ，(2N(2AM =，(2AN =，(1,2CM =--，(2,2CN =--设()111,,m x y z =为平面AMN 法向量，()222,,n x y z =为平面MNC 法向量，由11112020x z y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取()2,2,1m =-，由222222220220x y z x y z ⎧--+=⎪⎨--=⎪⎩，取()2,2,3n =∴65cos ,65513m n ==⨯. ∴二面角A MN C --65【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．2019年《主持人大赛》火爆荧屏，某高校为此举办了一场主题为“练口才，展才能”的主持人风采大赛，从参赛的全体学生中抽出80人的成绩作为样本进行统计，并按[]40,50，[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）若同一组数据用该组区间的中点值表示，估计参加这次大赛的学生平均成绩；（2）若规定80分以上（含80分）为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取4名，记其中成绩优秀的人数为ζ，求ζ的分布列及期望. 【答案】（1）70.5；（2）分布列见解析，1.【解析】（1）根据频率分布直方图，由每组的中点值乘以该组的频率，再求和，即可得出结果；（2）先由题意得到1~4,4B ζ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二项分布的概率计算公式，得出概率，求出分布列，进而可得出期望. 【详解】（1）设样本数据的平均数为x ，则由频率分布直方图可得：450.1550.1650.25750.3850.2950.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由频率分布直方图可得，样本中80分以上（含80分）的频率为()10.020.005104+⨯=，用频率估计概率，易得1~4,4B ζ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()4181145602P ζ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=，()3141127144614P C ζ⎛⎫=⋅⋅-=⎪⎝= ⎭，()222411271441228P C ζ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，()334113144643P C ζ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=， ()41641425P ζ⎛⎫==⎪⎝⎭=，因此ζ的分布列为：ζ0 1 2 3 4∴数学期望为：()1414E ζ=⨯=. 【点睛】本题考查由频率分布直方图求平均值，考查二项分布的期望与分布列，属于常考题型.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，)2F ，（1）若P 为椭圆C 上任意一点，且横坐标为0x ，求证：2022PF x =-；（2）不经过1F 和2F 的直线():0,0l y kx m k m =+<>与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，试判断2MF N 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为4.【解析】（1）根据题意，先求出椭圆方程，设()00,P x y ，根据两点间距离公式，以及椭圆的性质，即可得出结论成立；（2）先由直线与圆相切，得到221m k =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式，求出MN =1）的结论，得到2122MF x =-，2222NF x =-，进而可求出周期，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，可得c =又2c e a ==，∴2a =，1b =，所以椭圆22:14x C y +=；设()00,P x y ，则202PF ===-.∵022x -≤≤，∴202PF x =.（2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆的半径为r ，则1r b ==，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线距离为11=，∴221m k =+.设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()222418410kx kmx m +++-=，则()()()222222264164111641480k m k m k m k ∆=-+-=-+=>，122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，因此12MN x =-=241k ==-+；由（1）得212MF x=，222NF x =-，所以)221244MF NF x x +=+=+，因此2MNF的周长为2244MF NF MN ++=+=；即2MNF 周长为定值4. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，考查求椭圆的方程，考查椭圆的弦长的求法，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型. 22．已知函数()2ln f x x x ax =-.（1）若()f x 的图像恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点m ､n ，且12mn<≤，求mn 的最大值. 【答案】（1）1a e>；（2）8.【解析】（1）根据题意，得到，()0f x <恒成立，即ln x a x >恒成立，令()ln xh x x=，根据导数的方法求出最大值，即可得出结果；（2）根据题意，得到ln m am =，ln n an =，令mt n=，(]1,2t ∈，得到ln ln ()m n a m n -=-，推出ln ln m n a m n -=-，得到()1ln ln ln 1t t m n t ++=-，令()()1ln 1t t g t t +=-，(]1,2t ∈，对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得，()0f x <在(0,)+∞上恒成立，即2ln ax x x >，∴ln xa x>恒成立. 令()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，由()0h x '>得0x e <<；由()0h x '<得x e >；所以()h x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，因此()()max 1h x h e e== ∴只需1a e>；（2）由2ln 0x x ax -=知ln x ax =，由题意，可得：ln m am =，ln n an =，所以ln ln ()m n a m n -=-，即ln ln m na m n-=-，又1ln ln ln ln ()ln 1m m n m n m n a m n m n m m n n n+-+=+=+=-- 令mt n =，(]1,2t ∈，则1ln ln 1t mn t t +=-，令()()1ln 1t t g t t +=-，(]1,2t ∈，则()()212ln 1t t t g t t --'=-，令()12ln t t t t ϕ=--，则()()22212110t t t t tϕ-'=-+=≥显然恒成立； ∴()t ϕ递增，∴(]1,2t ∈时，()()10t ϕϕ>=， ∴()0g t '>，即()g t 在(]1,2t ∈上递增，因此()()max 23ln 2g t g ==，∴ln ln m n 最大值为3ln2，mn 最大值为8. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查导数的方法求最值问题，属于常考题型.。

湖北省沙市高级中学2020-2021学年高二数学下学期6月双周练试题(答案不全)

湖北省沙市高级中学2020-2021学年高二数学下学期6月双周练试题（答案不全）考试时间：2021年6月22日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间直角坐标系中，点()5,3,1M -关于x 轴的对称点的坐标为N ，已知点()1,2,2A ，则AN =（） A ．70 B ．32 C ．62 D ．462．已知直线l 的倾斜角为23π，且过点(3,1)，则直线l 的方程为（）A ．320x y --=B ．340x y +-=C ．30x y -=D ．3360x y3．已知随机变量X 服从正态分布N （6，σ2）（σ＞0），若P （X ＞3）＝0.8，则P（3＜X ＜9）＝（） A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.84．已知点P 为直线l ：y ＝x +1上一点，点Q 为圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上一点，则|PQ |的最小值为（） A ．﹣1B ．C ．1D ．﹣15．已知椭圆E ：＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2，左顶点为A 1，若E 上的点P 满足PF 2⊥x 轴，sin∠PF 1F 2＝，则E 的离心率为（） A ．B ．C ．D ．6．已知点P 为抛物线24x y =上任意一点，点A 是圆()22:65C x y +-=上任意一点，则PA 的最小值为（） A ．65 B 5C ．25D ．357．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则()P B A =A ．15B ．310C ．35D ．348．已知曲线C 1：f （x ）＝e x+a 和曲线C 2：g （x ）＝ln （x +b ）+a 2（a ，b ∈R ），若存在斜率为1的直线与C 1，C 2同时相切，则b 的取值范围是（） A ．[﹣，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如表：单位：人性别身高合计低于170cm不低于170cm女 80 16 96 男 20 84 104 合计100100200下列说法正确的有（）附1：K 2＝，其中n ＝a +b +c +d ．）临界值表：P （K 2≥x 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001x 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828附2：若X ～N （μ，σ2），则随机变量X 取值落在区间（μ﹣σ，μ+σ）上的概率约为68.3%．A ．从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得B ．从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生C ．有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联D ．若该样本中男生身高h （单位：cm ）服从正态分布N （175，25），则该样本中身高在区间（175，180]内的男生超过30人10．已知等比数列{}n a 首项11a ，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数127()()()()f x x x a x a x a =++⋯+，若(0)1f '=，则()A ．{}n lga 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．1{}1n a S q--为单调递增的等比数列 D ．使得1n T >成立的n 的最大值为611．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（）A ．4p =B ．DF FA =C ．2BD BF = D ．4BF = 12．在长方体1111ABCD A BC D -中，23AB =，12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR AC ⊥时，1AR D R ⊥ D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上。

湖北省沙市中学高二下学期期中考试数学(文)试题word版有答案

2017—2018学年下学期2016级期中考试文数试卷一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分） 1． 0,0a b <<的一个必要条件为（）A ．0a b +<B ．0a b -<C ．1ab> D ．1ab<- 2．已知,x y 的取值如右表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，则a =（）A ．3.25B ．2.6C ．2.2D ．03．已知i 是虚数单位，则201431ii -的实部为（）A ．110B ．110-C ．310D ．310-4．下表是一位母亲给儿子做的成长记录：7.1973.96y x =+，给出下列结论：①y 与x 具有正的线性相关关系②回归直线过样本点的中心（42，117.1）； ③儿子10岁时的身高是145.86cm ；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm 。

其中，正确结论的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．45．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．观察下列各式：222⨯⨯⨯，A ．80B ．81C ．728D ． 729若29=⨯m =（）7．设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（）A ．31+42π B ．11+2π C ．1142π- D ．112π- 8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数(1)'()y x f x =-的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F FABP2PF）10．若圆22(1)(1)4x y ++-=上有四点到直线y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是（）A ．(22B ．(22C ．(0,2D ．(0,11．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（） A ()()34f ππ-<- B ()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π>D ．(0)()4f π>12．已知23()ln ,()2444x f x x g x x ax x=-+=--+，若对任意的](10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（）A ．5[,)4+∞ B ．1[,)8-+∞ C ．15[,]84-D ．5(,]4-∞-二、填空题(本题共4个小题，每题5分，共20分)13．在极坐标系下，已知圆2cos()24O πρθ--=：，则圆O 的直角坐标方程是 14．设01,,x a b <<都为大于零的常数，若2221a b m x x+≥-恒成立，则m 的最大值是 15．已知函数()1f x x x a =-++，()231g x x x =-+-，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得A B C D21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是。

2015-2016学年湖北沙市中学高二(下)第六次半月考数学(文)试题(解析版)

2015-2016学年湖北沙市中学高二（下）第六次半月考数学（文）试题一、选择题（题型注释）1．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m （） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，2(i)(1i)m m ++23()(1)m m m i =-++，令3101m m +=⇒=-，故选B ．考点：复数的运算及复数的概念．2．集合{2,3}A =，{1,2,3}B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A ．23 B ．12 C ．13 D ．16 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，从A ，B 中各任意取一个数，共有6种不同的取法，其中这两数之和等于4，共有(2,2),(3,1)两种选法，所以概率为2163P ==，故选C ．考点：古典概型及其概率的计算．3．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A ．?43≤S B ．?1211≤S C ．?2425≤S D ．?120137≤S【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，根据给定的程序可图可知，第一次循环：12,2k S ==；第二次循环：1134,244k S ==+=；第三次循环：31106,4624k S ==+=；第四次循环：101138,24824k S ==+=，要使得输出的结果为8，可在判断框内添加11?12S ≤，故选B ．考点：程序框图．4．已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A ，B ，当PAB ∠最小时，cos PAB ∠=（）A． B ．12 C． D ．12-【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，要使的PAB ∠最小时，则使得OPB ∠最大，因为1sin OB OPB OP OP∠==，所以只要OP 最小即可，在P 到圆心的距离最小即可，由图象可知，当OP 垂直直线34100x y +-=，此时2,1OP OA ===,设APB α∠=，则2APO α∠=，即sin2OAOPα=12=,此时2211cos 12sin12()222αα=-=-⨯=，即1cos 2α=，故选B ．考点：简单的线性规划的应用．5．已知直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有OA OB AB +≥ ，那么k 的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，因为OA OB AB +≥ ，所以2OD AB ≥，所以AB ≤ ，因为22144OD AB += ，所以21OD ≥ ，因为直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点，所以24OD < ，所以214OD ≤< ，即214≤<k ≤<C ．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．6．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形的概率为（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，试验发生包含的时间对应的长度为6一条线段，要使得ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形，此时情况的边界为090BAD ∠=，此时4BD =,所以要是的090BAD ∠>，必有46BD <<，所以概率为64163P -==，故选B ．考点：几何概型及其概率的求解．【方法点晴】本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对应几何概型的求解中，要根据题意判断出几何概型的度量关系——常见的几何概型的度量有长度度量、面积度量、体积度量和角度度量等，本题的解答中要使得ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形，此时情况的边界为090BAD ∠=，得出4BD =是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（）A C ．．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，两圆的方程相减，得两圆的公共弦的方程为2150x y +-=，则圆2250x y +=的圆心到直线的距离为d ==，由圆的弦长公式可得l ===C ．考点：圆的弦长公式．8．直线y x b =+与曲线x =有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（）A ．||b =．11b b -<<=或C ．11b -<≤D ．11b b -<≤=或【答案】D 【解析】试题分析：由x =，可化简为221(0)x y x +=≥，所以表示的图形是以原点为圆心，半径为1的一个半圆，如图所示，要使得与直线y x b =+只有一个公共点，则当y x b =+过点(0,1)和(0,1)-时，此时11b -<≤，当直线y x b =+在第四象限与圆相切时，此时b =b 的取值范围是11b b -<≤=或，故选D ．考点：直线与圆位置关系的应用．9．已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式'()0xf x <的解集为（）A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12)∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)【答案】B【解析】试题分析：由()f x 的图象可知，在1(,)(2,)2-∞+∞ 上()0f x '>，在1(,2)2上，()0f x '<，所以'()0xf x <等价于0()0x f x <⎧⎨'>⎩或0()0x f x >⎧⎨'<⎩，即012x x <⎧⎪⎨<⎪⎩或02x x <⎧⎨>⎩或0122x x >⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得0x <或122x <<，故选B ．考点：导数与函数单调性的关系．10．已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（） A【答案】B 【解析】试题分析：设12,PF m PF n ==，不妨设m n >，由双曲线的方程可知1,1,a b c ==，根据双曲线的定义可知2m n a -=，即2224m n mn +-=，在12PF F ∆中，根据余弦定理，得22201212122c o s 60F F P F P F P F P F =+-，即228m n mn +-=，解得4mn =，设点P 的距离为x ，则011sin 6022h mn ⨯=⨯，解得h =，故选B ．考点：双曲线的定义；余弦定理；三角形的面积公式． 11．已知函数()cos sin 4f x f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A1 C ．1 D ．0 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，()()(s i n )c o s 4f x f x x π''=-+，令4x π=，()()(sin )cos4444f f ππππ''=-+，解得(214f π'=，即()()c o s s i n 4fxf x x π'=+，所以()()cos sin 1)44442f f ππππ'=+=⨯1=，故选C ．考点：导数的运算；函数求值．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及函数的求值问题，其中熟记导数的运算公式及导数的四则运算公式和函数在某点处的导数的意义是解答此类问题的关键，本题的解答中，利用导数的运算公式得()()(s i n )c o s 4f x f x x π''=-+，令4x π=，求出()14f π'=是解答本题的关键，着重考查学生的推理与运算能力，属于基础题．12．若曲线()x mf x e x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，则实数m 取值范围为（） A ．24(,]e -∞ B ．24(0,]e C ．(,4]-∞ D ．(0,4] 【答案】B【解析】试题分析：由曲线()xmf x e x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，可得()x x f x e m'=+在(,0)-∞上有解，得2xm x e =在(,0)-∞上有解，设()()22(2)x x g x x e g x x x e '=⇒=+，由0x <，可得当2x <-时，()0g x '<，则()g x 单调递减；当20x -<<时，()0g x '>，则()g x 单调递增，可知()g x 在2x =-处取得极大值，且为最大值24e -，且当0x <时，()0g x >，所以实数24(0,]m e ∈，故选B ．考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数求解函数在区间上的最值．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数求解函数在区间上的最值的应用，着重考查了转化与化归思想，以及构造函数思想和函数最值的应用，同时考查了学生的推理、运算能力，属于中档试题，本题的解答中曲线()x m f x e x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，转化为()xx f x e m '=+在(,0)-∞上有解，得2xm x e =在(,0)-∞上有解是解答的关键．二、填空题（题型注释）13．圆224x y +=被直线l ：20kx y k --=截得的劣弧所对的圆心角的大小为3π，则直线l 倾斜角的大小为．【答案】3π或23π【解析】试题分析：直线20kx y k --=变形为(2)0k x y --=，所以该直线过定点(2,0)P ，又圆224x y +=被直线20kx y k --=解得的劣弧所对的圆心角为3π，如图所示，3POA π∠=,所以直线的斜率为PA k ==所以直线的倾斜角为23π，同理：(1,B，则PA k ==3π．考点：直线的倾斜角及直线与圆的位置关系．14．如果实数x ，y 满足不等式组30,230,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，那么实数k 的值为 . 【答案】2 【解析】试题分析：画出不等式组表示的可行域，如图所示，联立301x y x +-=⎧⎨=⎩，得(1,2)C ，由题意可知，使目标函数取得最大值的最优解为(3,0)B ，取得最小值的最优解为(1,2)，则63002k k =-⎧⎨=-⎩，解得2k =．考点：简单的线性规划及其应用．15．分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，则：（Ⅰ）4a = ；（Ⅱ）n a = ．【答案】（I ）14 （II ）1312n -+【解析】试题分析：根据图中所示的分形规律，1个白圈分为2个黑圈，1个黑白圈分为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为(,)x y ，则第一行为(1,0)；第二行为(2,1)；第三行为(5,4)；第四行为(14,13)，所以414a =；各行白圈数乘以2，分别是2,4,10,28,82, ，即11,31,91,271,81+++++ ，所以第n 行的白圈为1312n n a -+=．考点：归纳推理【方法点晴】本题主要考查了与数列有关的归纳推理，归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况法相某项相同的性质；（2）从已知的相同相纸中推出一个明确的表达的一般性的命题，正确理解归纳推理的步骤是解答此类问题的关键，本题的解答中，根据题设中分形规律，可得则第一行为(1,0)；第二行为(2,1)；第三行为(5,4)；第四行为(14,13)，各行白圈数乘以2，分别是2,4,10,28,82, ，即11,31,91,27+++++ ，即可得出n a 的表达式．16．已知F 是双曲线C ：2218yx -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，A ．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】【解析】试题分析：由题意得，设F '是左焦点，则APF ∆的周长为2l AF AP PF AF AP PF '=++=+++2AF AF '≥++(其中,,A P F '三点共线时，取等号)，点P 的纵坐标为APF ∆的周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯⨯⨯=考点：双曲线的定义；三角形的周长及面积．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质、三角的周长与面积等知识的应用，其中根据题设条件确定点P 的坐标是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力，本题的解答中，根据双曲线定义，表示出三角形的周长，确定当,,A P F '三点共线时周长最小，得出点P 的纵坐标为是解答本题的关键．三、解答题（题型注释）17．已知0a >设命题:p 函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，命题:q 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()11f x x x a=+>恒成立.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求a 的范围. 【答案】[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：先求出命题,p q 成立的等价条件，利用p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，即可确定实数a 的范围.试题解析：由1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，01a <<.因为()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,2上为增函数.()f x ∴在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为()12f =当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数()11f x x x a =+>恒成立得，解得12a >如果p 真且q 假，则102a <≤，如果p 假且q 真，则1a ≥ 所以a 的取值范围为[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.考点：复合命题的真假判定与应用．18．某工厂36名工人的年龄数据如下表：（Ⅰ）按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．【答案】（Ⅰ）44,40,36,43,36,37,44,43,37；（Ⅱ）1009；（Ⅲ）63.89%．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，求出样本的年龄数据即可；（Ⅱ）根据平均数和方差的公式求出其平均数和方差即可；（Ⅲ）求出x s -和x s +，从而即可求解所占的百分比．试题解析：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37 （Ⅱ）由（Ⅰ），得x ＝4440364336374443379++++++++＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．（Ⅲ）由（Ⅱ），得x ＝40，s ＝103，∴x －s ＝3623，x ＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s)内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．考点：系统抽样；数据的平均数与方差；19．在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3y =或34120x y +-=；（Ⅱ）12[0,]5．【解析】试题分析：（Ⅰ）联立两直线方程求得圆心坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求解斜率，即可求解直线的方程；（Ⅱ）设出圆心坐标，表示出圆的方程，进而根据2MA MO =，设出M ，利用等式关系整理求解M 的轨迹方程，进而判断出点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，且圆C 和圆D 有交点，进而确定不等关系式，即可求解a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4与直线y ＝x －1的交点，由241y x y x =-⎧⎨=-⎩解得C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴圆C 的方程为(x －a)2＋[y －(2a －4)]2＝1．设点M(x ，y)，由|MA|＝2|MO|化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， ∴点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则2－1≤|CD|≤2＋1， ∴13，即1≤3．由5a 2－12a ＋8≥0，得x∈R；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125．故圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程．20．设1F ，2F 分别是C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线2MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b ．【答案】（1）12e =；（2）7,a b == 【解析】试题分析：（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为34，建立,a c 的方程，即可求解离心率；（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及15MN F N =，建立方程组，求出点N 的坐标，代入椭圆的方程，即可得到结论．试题解析：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=2b a ，即M （c ，2b a），若直线MN 的斜率为34，即tan∠MF 1F 2=223224b b ac ac ==，即b 2=32ac =a 2﹣c 2，即c 2+32ac ﹣a 2=0，则23102e e +-=，即2e 2+3e ﹣2=0解得e=12或e=﹣2（舍去），即e=12．（Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点，设M （c ，y ），（y ＞0），则22221c y a b +=，即422b y a =，解得y=2b a ，∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴2b a=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，则|MF 1|=4|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|，即11DF 2F =N设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则（﹣c ，﹣2）=2（x 1+c ，y 1）．即()11222x c c y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 代入椭圆方程得2229114c a b +=，将b 2=4a 代入得()22941144a a a a-+=，解得a=7，b=考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用．21．已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标；（2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（2）2,222k ⎛⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的,,a b c ，可得左右焦点，设(,)P x y ，运用向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到点P 的坐标；（2）显然0x =不满足题意，可设设l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，由AOB ∠为锐角，∴0OA OB ⋅>，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k 的取值范围．试题解析：（1）因为椭圆方程为2214x y +=，知2,1,a b c ===，∴())12,F F ，设(),(0,0)P x y x y >>，则())22125,,34PF PF x y x y x y ⋅=-⋅-=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，∴P ⎛ ⎝⎭．（2）显然0x =不满足题意，可设l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，∴1212221216,1414kx x x x k k =+=-++，且()()2216414120kk ∧=-+⨯>，∴234k>，又AOB ∠为锐角，∴0OA OB ⋅>，∴12120x x y y +>，∴()()1212220x x k x k x +++>， ∴()()()()22212122224412161241240141414k k k x x k x x k k k k k -⎛⎫++++=++-+=> ⎪+++⎝⎭，∴24k <，又∵234k >，∴2344k <<，∴2,222k ⎛⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：椭圆的标准方程及其性质；直线与椭圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系的应用，向量的数量积的表示与运算，此类问题的解答中利用直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式、韦达定理建立根与方程系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题． 22．已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．【答案】（Ⅰ）()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m+∞上单调递减；（Ⅱ）1m =；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数()f x 的导数，利用()()0,0f x f x ''><，即可求出函数()f x 单调区间；（Ⅱ）由()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于零，即可得到关于m 的不等式，求解实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，任意0a b <<，可先代入函数的解析式，得出ln()()111bf b f a a b b a a a-=⋅---，再由0a b <<得出ln 1b b a a <-，代入即可证明出不等式．试题解析：（Ⅰ）()11mx f x m x x-'=-=，（()0,x ∈+∞）当m≤0时，f′（x ）＞0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当m ＞0时，由()110mx f x m x x-'=-=> 则10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则f （x ）在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；当m ＞0时，()max 11ln 1ln 1f x f m m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭只需m ﹣lnm ﹣1≤0即令g （x ）=x ﹣lnx ﹣1，则()11g x x'=-，函数g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． ∴g（x ）min =g （1）=0．则若f （x ）≤0在x ∈（0，+∞）上恒成立，m=1．（Ⅲ）()()lnln ln ln ln 1111bf b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----由0＜a ＜b 得1ba>，由（Ⅱ）得：ln 1b b a a ≤-，则()()2ln1111111111ba a ab a a a a a a a a--⋅-≤-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求解闭区间上的最值；函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求解闭区间上的最值、函数的恒成立问题及不等式的证明，着重考查了转化的思想及推理与运算能力，综合性较强，解答的关键值准确理解题意，对问题进行正确、合理的转化，熟练运用导数的性质是解答的中点，同时正确、合理的转化是试题的难点，属于难题，同时有事常考题，平时要注意总结和积累．。

湖北省荆州市沙市中学高二(下)期中数学(理)试卷

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设命题p：∃x0∈R，x02+2x0+3＞0，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∃x∈R，x2+2x+3≤0C．∀x∈R，x2+2x+3≤0 D．∃x∈R，x2+2x+3=02．已知A，B是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为﹣，则E的离心率为（）A． B．C．D．3．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为（）A．B．1 C．D．24．双曲线H1与双曲线H2：﹣=1具有相同的渐近线，且点（2，）在H1上，则H1的焦点到渐近线的距离为（）A．B．C．D．45．已知点A（2，0），直线l：x=1，双曲线H：x2﹣y2=2，P为H上任意一点，且到l 的距离为d，则=（）A．B．C．1 D．26．已知双曲线H：﹣=1，斜率为2的动直线l交H于A，B两点，则线段AB的中点在一条定直线上，这条定直线的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+2y=0 D．x﹣2y=07．如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．已知抛物线x2=﹣y+1与x轴交于A，B两点（A在B的左边），M为抛物线上不同于A，B的任意一点，则k MA﹣k MB=（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（）A． B．C．D．11．如图，线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=1，AC=BD=4，BD与α所成角的正弦值为，则CD=（）A．5 B．C．6 D．712．给出以下命题：（1）直线l：y=k（x﹣3）与双曲线﹣=1交于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直线有3条；（2）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=++，则P，A，B，C四点共面；（3）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2﹣+2，则P，A，B，C四点一定不共面；（4）直线θ=（ρ∈R）与曲线ρ=（ρ∈R）没有公共点．其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）13．曲线x2﹣xy+2y+1=0（x＞2）上的点到x轴的距离的最小值为．14．已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切，则抛物线的方程为．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2．，A1关于直线bx+ay=0的对称点在圆（x+a）2+y2=a2上，则椭圆的离心率为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设P：=（m，m﹣1，m+1）与=（1，4，2）的夹角为锐角．Q：点（m，1）在椭圆+=1的外部．若P与Q有且只有一个正确，求m的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上．（1）若EF⊥PA，求的值；（2）求二面角P﹣BD﹣E的大小．19．过（4，0）的直线与抛物线y2=4x交于A（x1y1），B（x2，y2）两点．（1）求证：x1x2，y1y2均为定值．（2）求证：以线段AB为直径的圆经过一定点，并求出该定点的坐标．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+1=0．（1）写出圆C的普通方程；（2）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（3）过直线l的任意一点P作直线与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的最小值．21．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，），又A1（﹣1，0）．点M在直线CD上，点N在直线BC上，且=λ，=λ（λ∈R）．（1）求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；（2）过点P（1，1）能否作一条直线l，与曲线S交于E、F两点，且点P是线段EF 的中点．22．设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长|AB|=4．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点F（1，0）作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点P、Q和点K、L．设线段PQ，KL的中点分别为R、T，求证：直线RT恒过一个定点．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设命题p：∃x0∈R，x02+2x0+3＞0，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∃x∈R，x2+2x+3≤0C．∀x∈R，x2+2x+3≤0 D．∃x∈R，x2+2x+3=0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+2x0+3＞0，则￢p为：∀x∈R，x2+2x+3≤0．故选：C．2．已知A，B是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为﹣，则E的离心率为（）A． B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为﹣得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得E的离心率．【解答】解：由题意方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），设M（x0，y0），∴，则，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得e=．故选：D．3．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】找出△PF1F2内切圆半径与P点纵坐标的关系，要使△PF1F2内切圆半径最大可得P点的纵坐标最大，由此求得△PF1F2内切圆半径的最大值．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=25，b2=16，∴c2=a2﹣b2=9，则c=3，如图，∵=，∴2c•|y P|=（2a+2c）•r，则r=|y P|，要使△PF1F2内切圆半径最大，则需|y P|最大，∵|y P|≤b=4，∴△PF1F2内切圆半径的最大值为．故选：C．4．双曲线H1与双曲线H2：﹣=1具有相同的渐近线，且点（2，）在H1上，则H1的焦点到渐近线的距离为（）A．B．C．D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用两个双曲线渐近线相同设出双曲线的方程，利用待定系数法进行求解即可得到结论．【解答】解：∵双曲线H1与双曲线H2：﹣=1具有相同的渐近线，∴设双曲线H1的方程为﹣=λ，（λ≠0），∵点（2，）在H1上，∴λ==3﹣1=2，即双曲线H1的方程为﹣=2，即﹣=1，即a2=40，b2=10，c2=40+10=50，即a=2，b=，c=5，则H1的一个焦点为（5，0），渐近线方程y=±x=±x，不妨设y=x，即x﹣2y=0，则焦点到渐近线的距离为d==，故选：B5．已知点A（2，0），直线l：x=1，双曲线H：x2﹣y2=2，P为H上任意一点，且到l 的距离为d，则=（）A．B．C．1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（x，y），根据两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行化简即可．【解答】解：设P（x，y），则x2﹣y2=2，即x2﹣2=y2，则=====，故选：A6．已知双曲线H：﹣=1，斜率为2的动直线l交H于A，B两点，则线段AB的中点在一条定直线上，这条定直线的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+2y=0 D．x﹣2y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）．利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）．则，=1，相减可得=，即=2•又=2，y1+y2=2y0，x1+x2=2x0，则2•=2，即x0=y0，即x0﹣y0=0．故线段AB的中点在直线x﹣y=0上．故选：B7．如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质求出M的坐标，求出FM的斜率，即可求解∠xFM．【解答】解：由题意抛物线y2=4x得F（1，0），M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），|FM|=4，可得M（3，2）．∴MF的斜率为：=，tan∠xFM=．∠xFM=60°．故选：C．8．已知抛物线x2=﹣y+1与x轴交于A，B两点（A在B的左边），M为抛物线上不同于A，B的任意一点，则k MA﹣k MB=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出A，B的坐标，利用斜率公式可得结论．【解答】解：令y=0，可得x=±1，∴A（﹣1，0），B（1，0），设M（x，y），则k MA﹣k MB=﹣==2，故选B．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），=（﹣2，1，2），=（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ===．∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选：D．10．已知=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（）A． B．C．D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】【解法一】利用作图法，构造正方体，考虑极端情况，可快速得出答案；【解法二】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值cos＜，＞，再利用换元法求出它的最大值即可．【解答】解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的边长为1，如图所示；则==（1，1，1），==（0，y，1），且E在线段D′C′上移动，当E在D′位置时，cos＜，＞===；当E在C′位置时，cos＜，＞===为最大值．【解法二】∵=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），∴•=y+1，||=，||=，∴cos＜，＞==；设t=，则t2﹣1=y2，∴y=（1≤t≤），∴f（t）=•=（+）；设sinα=，则1≥sinα≥，即≤α≤，∴g（α）=（+sinα）=（cosα+sinα）=sin（α+），∴当α=时，g（α）取得最大值为=．故选：D．11．如图，线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=1，AC=BD=4，BD与α所成角的正弦值为，则CD=（）A．5 B．C．6 D．7【考点】直线与平面所成的角．【分析】过B作BE⊥α于B，且BE=24，连接CE、DE，利用线段BD与平面α所成的角，求出ED，即可得出结论．．【解答】解：过B作BE⊥α于B，且BE=4（目的是把AC平移到BE），连接CE、DE，∵BD⊥AB、BE⊥AB，∴CE⊥平面BDE，∴∠CED=90°，∵BD与α所成角的正弦值为，BE=4，BD=4∴ED==2在Rt△CDE中，CE=1，CD==5．故选A．12．给出以下命题：（1）直线l：y=k（x﹣3）与双曲线﹣=1交于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直线有3条；（2）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=++，则P，A，B，C四点共面；（3）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2﹣+2，则P，A，B，C四点一定不共面；（4）直线θ=（ρ∈R）与曲线ρ=（ρ∈R）没有公共点．其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系进行判断．（2）根据四点共面的等价条件进行判断．（3）根据四点共面的等价条件进行判断．（4）根据极坐标成立的条件进行判断．【解答】解：（1）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x﹣3）过双曲线的右焦点，∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，当x=c=3时，得﹣=1，即=，即y2=，则y=±，此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（1）错误，（2）∵++=1，∴P，A，B，C四点共面，故（2）正确，（3）∵2﹣1+2=﹣1≠1，∴P，A，B，C四点一定不共面，故（3）正确，（4）当θ=时，1﹣2cosθ=1﹣2cos=1﹣2×=1﹣1=0，此时曲线ρ=无意义，即直线θ=（ρ∈R）与曲线ρ=（ρ∈R）没有公共点，故（4）正确，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）13．曲线x2﹣xy+2y+1=0（x＞2）上的点到x轴的距离的最小值为4+2．【考点】曲线与方程．【分析】将曲线进行转化为函数形式，利用基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：由x2﹣xy+2y+1=0得x2+y（2﹣x）+1=0，∵x＞2，∴y=，令t=x﹣2，则t＞0，x=t+2则函数等价为y==t++4≥2+4=4+2，当且仅当t=，即t=时，函数取得最小值，即点到x轴的距离的最小值为4+2，故答案为：4+2．14．已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=2或﹣5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线的方程，求出a，b，c利用离心率求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，当焦点在y轴时，a2=﹣m﹣1，b2=﹣m﹣2，可得c2=a2+b2=﹣3﹣2m，∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=﹣5．故答案为：2或﹣5．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切，则抛物线的方程为y2=4x．【考点】抛物线的简单性质．【分析】判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=﹣2，即可求抛物线的标准方程．【解答】解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切由已知得准线方程为x=﹣1，∴=1，∴p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2．，A1关于直线bx+ay=0的对称点在圆（x+a）2+y2=a2上，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知求出椭圆左顶点关于直线bx+ay=0的对称点，代入圆（x+a）2+y2=a2整理得答案．【解答】解：由题意可知，A1（﹣a，0），设A1关于直线bx+ay=0的对称点为（x0，y0），则，解得：．代入（x+a）2+y2=a2，得，整理得：b4+4a2b2=（a2+b2）2，即a2=2b2=2（a2﹣c2）=2a2﹣2c2，∴．故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设P：=（m，m﹣1，m+1）与=（1，4，2）的夹角为锐角．Q：点（m，1）在椭圆+=1的外部．若P与Q有且只有一个正确，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出关于p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答】解：关于命题p：，的夹角为锐角，所以•＞0但不同向∵•=m+4（m﹣1）+2（m+1）=8m﹣2，∴8m﹣2＞0解得m＞，当，同向时，存在λ＞0使=λ，即，解得：m=1，故p为真时：{m|m＞且m≠1}；关于命题q：点（m，1）在椭圆+=1的外部，则+＞1，解得：m＞2或m＜﹣2，若P与Q有且只有一个正确，则或，故m的范围是：（，1）∪（1，2hslx3y3h∪（﹣∞，﹣2）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上．（1）若EF⊥PA，求的值；（2）求二面角P﹣BD﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值．（2）求出平面BDP的法向量和设平面BDE的法向量，由此能求出二面角P﹣BD﹣E 的大小．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上，∴P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，1），设F（a，0，c），，则（a，0，c﹣2）=λ（2，0，﹣2）=（2λ，0，﹣2λ），∴a=2λ，c=2﹣2λ，F（2λ，0，2﹣2λ），=（2λ，﹣1，1﹣2λ），=（2，0，﹣2），∵EF⊥PA，∴=4λ﹣2+4λ=0，解得，∴=．（2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），=（0，0，2），=（2，2，0），=（0，1，1），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），设二面角P﹣BD﹣E的大小为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣BD﹣E的大小为arccos．19．过（4，0）的直线与抛物线y2=4x交于A（x1y1），B（x2，y2）两点．（1）求证：x1x2，y1y2均为定值．（2）求证：以线段AB为直径的圆经过一定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】（1）过点P（4，0）且斜率为k的直线l的方程为：y=k（x﹣4）．联立抛物线方程，由韦达定理可得x1•x2=16，y1•y2=﹣16，又由直线斜率不存在时，x1•x2=16，y1•y2=﹣16也成立，可得结论；（2）由图形关于x轴对称，得定点在x轴上，设定点坐标为K（m，0），可得m=0，即以线段AB为直径的圆经过必过原点（0，0）．【解答】证明：过点P（4，0）且斜率为k的直线l的方程为：y=k（x﹣4）．…把y=k（x﹣4）代入y2=4x，消去y得k2x2﹣（8k2+4）x+16k2=0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k2≠0且△＞0，x1•x2=16，而y1•y2＜0，∴y1•y2=﹣16．…当过点P（4，0）且斜率不存在时，也满足x1•x2=16，y1•y2=﹣16综上可得：x1x2，y1y2均为定值．（2）由图形关于x轴对称，得定点在x轴上，设定点坐标为K（m，0），①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB方程为x=2，求得A（4，4），B（4，﹣4），显然，以AB为直径的圆恒过定点（0，0），（8，0）；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣4），代入y2=4x：得k2x2﹣（8k2+4）x+16k2=0；设A（x1，2），B（x2，﹣2），由根与系数的关系得，x1+x2=，x1x2=16；则y1+y2=k（x1+x2﹣8）=，|AB|=，此时圆心坐标为：（，），半径r=，此时圆心到原点的距离等于半径，故以线段AB为直径的圆经过必过原点（0，0）．20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+1=0．（1）写出圆C的普通方程；（2）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（3）过直线l的任意一点P作直线与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）消去参数可得圆C的普通方程；（2）利用极坐标与直角坐标的互化方法，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（3）设过P，圆的切线长为d，则d2=|PA|•|PB|，求|PA|•|PB|的最小值，即求圆的切线长的最小值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（α为参数）．普通方程为（x﹣3）2+y2=4；（2）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+1=0，直角坐标方程x+y+1=0；（3）设过P，圆的切线长为d，则d2=|PA|•|PB|，求|PA|•|PB|的最小值，即求圆的切线长的最小值．圆心到直线的距离为=2，∴圆的切线长的最小值==2，∴|PA|•|PB|的最小值为12．21．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，），又A1（﹣1，0）．点M在直线CD上，点N在直线BC上，且=λ，=λ（λ∈R）．（1）求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；（2）过点P（1，1）能否作一条直线l，与曲线S交于E、F两点，且点P是线段EF 的中点．【考点】轨迹方程．【分析】（1）由题意M（，），N（2，），求出直线AM、直线A1N 的方程，消去参数，即可求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；（2）设点A（x1，y1），点B（x2，y2），得到2x12﹣y12=2 ①，2x22﹣y22=2 ②然后，①﹣②并结合有关中点坐标公式求解．【解答】解：（1）由题意M（，），N（2，），∴直线AM的方程为y﹣0=（x﹣1），直线A1N的方程为y﹣0=（x+1），两式相乘可得y2=2（x2﹣1），即x2﹣=1；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），直线的斜率为k，则2x12﹣y12=2 ①2x22﹣y22=2 ②①﹣②得2（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2×2﹣2k=0，∴k=2，∴y﹣1=2（x﹣1），∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0，y=2x﹣1，代入x2﹣=1，整理可得x2﹣2x+2=0，△＜0，∴直线l不存在．22．设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长|AB|=4．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点F（1，0）作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点P、Q和点K、L．设线段PQ，KL的中点分别为R、T，求证：直线RT恒过一个定点．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），根据弦AB的长|AB|=4，建立方程，化简可得点C的轨迹C的方程；（2）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点R的坐标为，可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点R的坐标为（1+，）．同理可得点T的坐标为（1+2k2，﹣2k），进而可确定直线RT的方程，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），由题意得，，化简得y2=4x，所以抛物线的标准方程为y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点R的坐标为．显然直线l1斜率存在且不为0，由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点R的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点T的坐标为（1+2k2，﹣2k）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当k≠±1时，有，此时直线RT的斜率．所以，直线RT的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线RT恒过定点E（3，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当k=±1时，直线RT的方程为x=3，也过E（3，0）．综上所述，直线RT恒过定点E（3，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年4月14日。

湖北省沙市高二数学下学期第六次半月考试题文

（Ⅱ）若圆 C上存在点 M，使
，求圆心 C的横坐标 a 的取值范围．
20．（ 12 分）设，分别是：
的左，右焦点，
是上一点且
与轴垂直，直线
与的另一个交点为．
（ 1）若直线
的斜率为，求的离心率；
（ 2）若直线
在轴上的截距为 2，且
，
求，．
21. 已知、分别是椭圆
的左、右焦点．
（ 1）若是第一象限内该椭圆上的一点，
，设
联立
，∴
．，，
7/9
且
，∴，又为 Nhomakorabea角，∴，∴
，∴
，
∴
，
∴
，又∵
，∴
，∴
22. 解：（Ⅰ）当 m≤０时， f ′（ x）＞ 0 恒成立，则函数 f （ x）在（ 0，+∞）上单调递增；…２分当 m＞0 时，由
则
，则 f （x）在
上单调递增，在
上单调递减．…４分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当 m≤０时显然不成立；
即 e= ．
（Ⅱ）由题意，原点 O是 F1F2 的中点，则直线 MF1 与 y 轴的交点 D（ 0， 2）是线段 MF1 的中点，设 M（c， y），（ y＞ 0），
6/9
则
，即
，解得 y= ，
∵OD是△ MF1F2 的中位线，
2
∴ =4，即 b =4a，
由 |MN|=5|F 1N| ，则 |MF1|=4|F 1N| ，解得 |DF1|=2|F 1N| ，即
设点 M( x， y) ，由 | MA| ＝2| MO| ，得 x2＋(y － 3)2 ＝ 2 x2＋ y2 ，
化简，得

湖北省沙市中学高二数学下学期第三次半月考试题文

2015—2016学年下学期高二年级第三次半月考文数试卷考试时间：2016年4月1日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是（）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∀∈-+≠D ．2,320x R x x ∃∈-+>2．“a b >”是“22a b >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 3．下列命题的说法错误的是（）A ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题．B ．命题“2,10x R x x ∀∈++>”为真命题．C ．“1-=x ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件．D ．命题“若2320x x -+= ，则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则2320x x -+≠”4．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（）AB ．32C ．83D ．235．已知椭圆221416x y +=与221(0)416x y n n n +=>++，则下述结论中正确的是（） A ．有相等的长轴长B ．有相等的焦距C ．有相等的离心率D ．有相同的顶点6．曲线x x y +=ln 在点（1,)1(f ）处的切线方程为（） A ．12-=x y B ．1y x =-+ C ．1y x =- D ．22y x =-+7．椭圆1203622=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 经过2F ，则1ABF ∆的周长为（） A ．22 B ．23 C ．24 D ．258．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f (x )=ln x-x ,则函数f (x )的单调递减区间是( ) A ．(-∞,1) B ．(0,1) C ．(-∞,0),(1,+∞) D ．(1,+∞)10．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±2xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x11．设点P 是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭12．设F 为双曲线191622=-y x 的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则FAFMFN -的值为（）A ．53 B ．35C ．54 D ．45二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．已知()()221f x x xf '=+，则()0f '=______．14．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________． 15．已知1)(--=ax e x f x 为增函数，则a 的取值范围为 ________。

2018-2019学年湖北省沙市中学高二下学期第二次双周考(半月考)数学(文)试题Word版含答案

2018-2019学年湖北省沙市中学高二下学期第二次双周考（半月考）文数试卷考试时间：2019年3月14日一、选择题：i ．下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若24x =，则2x =”的否命题为 “若24x =，则2x ≠”B ．命题“2,210x R x x ∃∈+-< ”的否定是“2,210x R x x ∀∈+-> ”C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题 D ．若“p 或q ”为真命题，则,p q 至少有一个为真命题ii ．如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么2)3(1-a ,2)3(2-a ,2)3(3-a ,2)3(4-a , 2)3(5-a ,2)3(6-a 的标准差是（）A ．23B ．3C ．6D ．12 iii ．函数()sin x f x e x =的图象在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为（）A ．0B ．1C ．4π D ．3πiv ．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（） A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<- B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<< v ．曲线x x y +=331在点⎪⎭⎫⎝⎛341，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A.92 B.91 C.31 D.32 vi ．若函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．1[,)3+∞B ．5[,)3+∞C ．10[,)3+∞D ．16[,)3+∞vii ．设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是（） A.413B.513C. 825D.925viii ．圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（） A ．1 B ．3 C ．19 D ．49ix ．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．123B ．163C ．203D ．323 x ．设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++()a R ∈，则()f x 的极值点有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.随a 的变化而变化xi ．若双曲线C ：222(0)x y m m -=>与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，且43AB =，则m 的值是（）A. 116B. 80C. 52D. 20xii ．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=(),0a b >的左、右焦点，与直线y b =相切的2F 交双曲线第一象限部分于点E ，E 恰好是直线1EF 与2F 的切点，则双曲线的离心率为（） A. 5 B. 3 C.52 D.153二、填空题：xiii ．函数()2019=f x x ，则120181'2019f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= ．xiv ．函数xxy e =在其极值点处的切线方程为． xv ．函数22()ln 2a f x axb x a =++-在1x =处有极小值12，则a b += ．xvi ．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(0,66)A ．则APF ∆周长最小值为．三、解答题：xvii ．已知函数3()3f x x x =-．(Ⅰ) 若方程()f x t =有且仅有一个实根，求实数t 的取值范围； (Ⅱ) 过点(2,2)P 向曲线()y f x =引切线，求切点的横坐标．xviii ．某公司生产一种产品，先投入10000元购买了一条生产线，若生产x 件产品，则需生产成本212501000x +元．该产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50元．(Ⅰ) 将总利润()C x 表示成x 的函数；(Ⅱ)生产该产品多少件时，总利润最大，并求此总利润．xix ．某班5名同学的期中和期末数学考试名次如表:名次学生A B C D E期中数学名次（x ） 8 6 12 5 4期末数学名次（y ） 10 6 14 3 2（I ）若期末数学名次y 与期中数学名次x 满足线性回归方程，求y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+；(II)若用),,,,(2E D C B A i y x ii =+表示数学成绩的“平均名次”,从“平均名次”中任选2组,求这两组名次之和小于15的概率.附：对于一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅，其回归直线ˆ垐y bx a =+，其中121()()ˆ()ni i i nii x x y y b x x ==--=-∑∑；xx ．如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∠BAC =90°，1AA ⊥BC ，1AA =AC =2AB =4，且1BC ⊥1A C ． (Ⅰ)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；(Ⅱ)设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得DE ∥平面1ABC ．若存在，求点E 到平面1ABC 的距离．xxi ．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b >>＋＝离心率为22，右焦点F 到直线2a x c=的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 与122y x =+平行，求△OAB 面积的最大值．xxii ．设函数2()(1)ln .2a f x x a x x =+-- (Ⅰ)当2a =-时，求()f x 在1[,]2e 上的最值；(Ⅱ) 当0a >时,若2()ln f x a>-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.答案i ．D ii ．A iii ．C iv ．Bv ．B 【解析】2''()+1y f x x ==，在点⎪⎭⎫ ⎝⎛341，的切线斜率为'(1)2k f ==。

湖北省沙市高二数学下学期第六次半月考试题理

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20．（ 12 分）在平面直角坐标系
中，已知点
的动点，且满足
.
（ 1）若
，求直线
的方程；
（ 2）证明：
的外接圆恒过定点（异于原点
，）。
，
分别为线段
，上
21． (12 分 ) 设（ 1）如果存在（ 2）如果对于任意的
使得，都有
，
成立，求满足上述条件的最大整数
。
成立，求实数的取值范围。
22．（ 12 分）已知圆
与圆
迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点
的斜率之积为．
（ 1）求的方程；
（ 2）证明直线
恒过定点，并求定点的坐标。
的公共点的轨
．若曲线上相异两点
满足直线
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6.17. 答案（理数）
1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10. A 11.D 12.C
6．如图，矩形 ABCD的四个顶点的坐标分别为
，
，
，
，正弦曲线
和余弦曲线
在矩形 ABCD内交于点 F，向矩形 ABCD区域内随机投掷一
点，则该点落在阴影区域内的概率是
（）
A．
B．
C．
D．
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7．若圆
关于直线
对称，则由点
向圆所作切线长的
最小值为（）
A． 1 B ．
C．
D．
8．书架上原来并排放着 5 本不同的书，现要再插入 3 本不同的书，那么不同的插入方法共有（
人参加复试 . 用表示其中男生的人数，写出
的分布列，并求的数学期望 .
18. （ 12 分）已知函数

湖北省沙市中学2015-2016学年高二数学下学期第四次半月考试题文

2015—2016学年下学期高二年级第四次半月考文数试卷考试时间：2016年5月13日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设i 为虚数单位，则复数12ii+的虚部是（） A.1B.iC.1-D.i -2．命题：“x R ∀∈，220x x -+<”的否定是（） A. x R ∀∈，220x x -+≥ B. x R ∃∈，220x x -+≥ C. x R ∃∈，220x x -+<D. x R ∀∈，220x x -+<3．已知点(,)M ρθ，则M 点关于极点对称的点N 的极坐标是（）A.ρπθ（，+）B.()ρθ-，C.()ρπθ-，D.()ρπθ-，24．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（） A.一条射线和一个圆 B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆5．若双曲线221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221(0)x y m n m n+=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=（）A.22m a -C.1()2m a - D.m a -6. 已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A.9πB.8πC.4πD.π 7．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（） A ．1(,)e eB.1(0,)eC.1(,)e-∞D.1(,)e+∞28．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0g =．则不等式()()0f x g x <的解集是（） A.(3,0)(3,)-+∞B.(3,0)(0,3)-C.(,3)(3,)-∞-+∞D.(,3)(0,3)-∞-9．若函数x a x x f ln 21)(2+-=在区间），（∞+1上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．[)∞+，1 B.），（∞+1 C.(]1-∞， D.1∞（-，） 10．设P ，Q 分别为圆22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（）A.C.7+D.11. 已知1F 、2F 为双曲线右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060,则P 到x轴的距离为（）C.12．已知F 为抛物线22(0)x py p =>的焦点，M 为其上一点，且2MF p =，则直线MF 的斜率为( )．A.±C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．极坐标方程1)6cos(=-πθρ的直角坐标方程是14．已知11abi i=-+，其中a ,b 是实数，i 是虚数单位，则a bi -= ． 15．已知函数,5)2()(2x f x x f +'⋅=则=')2(f ．16．观察下列等式1=1 2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 …照此规律，第n 个等式为 .3三、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤） 17.（10分）已知p ：“直线0x y m +-=与圆22(1)1x y -+=相交”；q ：“方程240x x m -+-=的两根异号”．若p q ∨为真，p ⌝为真，求实数m 的取值范围．18．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据 ⑴请画出上表数据的散点图；⑵请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；⑶已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (5×4＋6×4.5＝66.5)19．(12分)已知32()33f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线与直线6250x y ++=平行．（1）求函数的单调区间；（2）若[1,3]x ∈时，2()14f x c >-恒成立，求实数c 的取值范围．420．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为2e =F 的直线l交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以OP ，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。

2020-2021学年湖北沙市中学高二下第六次半月考文数学卷

2020-2021学年湖北沙市中学高二下第六次半月考文数学卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．集合{2,3}A =，{1,2,3}B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A ．23 B ．12 C ．13 D ．163．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A ．B ．C ．D ．4．已知不等式组34100{43x y x y +-≥≤≤表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A ，B ，当PAB ∠最小时，cos PAB ∠=（） A．2 B ．12C．2- D ．12- 5．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在上任取一点，则使ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形的概率为（）A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 6．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（）A ．B ．C ．2D ．27．直线y ＝x ＋b 与曲线x b 的取值范围是( )A ．|b |B ．－1<b <1或bC ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b8．已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式()0xf x '<的解集为 ( )A ．11(,)(,2)22-∞ B ．1(,0)(,2)2-∞ C ．11(,)(,)22-∞+∞ D ．1(,)(2,)2-∞+∞ 9．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为A B C D10．已知函数()cos sin 4f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B 1-C ．1D ．011．若曲线()x m f x e x =+在(),0-∞上存在垂直y 轴的切线，则实数m 取值范围为（） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(],4-∞D ．(]0,4二、填空题12．圆224x y +=被直线l ：20kx y k --=截得的劣弧所对的圆心角的大小为3π，则直线l 倾斜角的大小为． 13．如果实数x ，y 满足不等式组30,230,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，那么实数k 的值为 .14．分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，则：（Ⅰ）4a = ；（Ⅱ） n a = ．15．已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C的左支上一点，A ．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题16．某工厂36名工人的年龄数据如下表：（Ⅰ）按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．17．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18．设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .19．已知、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-，求点的坐标；（2）设过定点()0,2M 的直线与椭圆交于不同的两点、，且AOB ∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．20．已知函数()ln ,f x x mx m m R =-+∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．参考答案1．B【解析】试题分析：由题意得，2(i)(1i)m m ++23()(1)m m m i =-++，令3101m m +=⇒=-，故选B ．考点：复数的运算及复数的概念．2．C【解析】试题分析：由题意得，从A ，B 中各任意取一个数，共有6种不同的取法，其中这两数之和等于4，共有(2,2),(3,1)两种选法，所以概率为2163P ==，故选C ．考点：古典概型及其概率的计算．3．B【解析】试题分析：因为第一次循环k =2,S =12，第二次循环k =4,S =12+14，第三次循环k =6,S =12+14+16=1112，所以可填，故选B.考点：1、程序框图；2、循环结构.4．B【分析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，要使的PAB ∠最小时，则使得OPB ∠最大，因为1sin OB OPB OP OP∠==，所以只要 OP 最小即可，在P 到圆心的距离最小即可，由图象可知，当 OP 垂直直线34100x y +-=，此时 2,1OP OA ===,设APB α∠=，则2APO α∠=，即sin 2OA OPα= 12=,此时 2211cos 12sin 12()222αα=-=-⨯=，即1cos 2α=，故选B ．考点：简单的线性规划的应用．5．B【解析】试题分析：由题意得，试验发生包含的时间对应的长度为6一条线段，要使得ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形，此时情况的边界为090BAD ∠=，此时4BD =,所以要是的090BAD ∠>，必有46BD <<，所以概率为64163P -==，故选B ．考点：几何概型及其概率的求解．【方法点晴】本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对应几何概型的求解中，要根据题意判断出几何概型的度量关系——常见的几何概型的度量有长度度量、面积度量、体积度量和角度度量等，本题的解答中要使得ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形，此时情况的边界为090BAD ∠=，得出4BD =是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．C【解析】试题分析：由题意得，两圆的方程相减，得两圆的公共弦的方程为2150x y +-=，则圆2250x y +=的圆心到直线的距离为d ==l ===C ．考点：圆的弦长公式．7．D【分析】对曲线两边平方，结合范围，得到曲线是右半个圆，画出曲线的图象，再画出斜率为1的直线，平移直线，找到只有一个公共点的b 的取值范围.【详解】解：x ()221,0x y x +=≥，所以曲线为圆的右半部分. 画出曲线的图像和y=x 的图像，对y=x 进行平移，由数形结合可知：当11b -<≤时，直线与圆有且只有一个公共点；当直线与半圆相切时有且只有一个公共点，此时圆心到直线的距离1d == 解得：b=，检验时无交点，所以b=综上：－1<b ≤1或b .故答案选D ．【点睛】本题考查直线与半圆的位置关系，考查数形结合的思想，易错点是丢掉相切的情况. 8．B【分析】根据图像可得()0f x '>及()0f x '<的解，分类讨论后可得()0xf x '<的解集.【详解】由图像可得()0f x '>的解为12x <或2x >， ()0f x '<的解为122x <<，而()0xf x '<等价于0()0x f x '<⎧⎨>⎩或0()0x f x '>⎧⎨<⎩，所以0122x x x <⎧⎪⎨⎪⎩或或0122x x >⎧⎪⎨<<⎪⎩，所以1(,0)(,2)2x ∈-∞⋃，故选B. 【点睛】本题考查函数的单调性与导数的关系，属于基础题.9．B【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||2PF PF F F PF PF +-，即cos 060222=，解得2052x =，所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为0y =. 10．C【解析】试题分析：由题意得，()()(sin )cos 4f x f x x π''=-+，令4x π=，()()(sin )cos 4444f f ππππ''=-+，解得()14f π'=，即()()cos sin 4f x f x x π'=+，所以()()cos sin 1)44442f f ππππ'=+=⨯12+=，故选C ．考点：导数的运算；函数求值．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及函数的求值问题，其中熟记导数的运算公式及导数的四则运算公式和函数在某点处的导数的意义是解答此类问题的关键，本题的解答中，利用导数的运算公式得()()(sin )cos 4f x f x x π''=-+，令4x π=，求出()14f π'=是解答本题的关键，着重考查学生的推理与运算能力，属于基础题． 11．B【解析】试题分析： ()2'0x mf x e x=-=在(),0-∞上有解2x m x e ⇒=在(),0-∞上有解，设()()()22'2(0)x x g x x e g x x x e x =⇒=+<，令()'02g x x =⇒=-，当2x <-时，()'0g x >，当20x -<<时， ()()()24'002g x g x g m e <⇒<≤-=⇒∈ 240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B.考点：函数的导数及其应用.【方法点晴】本题考查函数的导数及其应用，考查了转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想，计算量比较大，属于较难题型.解题时首先将命题转化为2x m x e =在(),0-∞上有解，再设()2xg x x e =，然后利用导数工具求得()()2402g x g m e<≤-=⇒∈ 240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，解此类题型时，应注意积累命题转化技巧，即培养转化化归思想. 12．3π或23π【解析】试题分析：直线20kx y k --=变形为(2)0k x y --=，所以该直线过定点(2,0)P ，又圆224x y +=被直线20kx y k --=解得的劣弧所对的圆心角为3π，如图所示，3POA π∠=,所以直线的斜率为012PA k ==-，所以直线的倾斜角为23π，同理：(1,B ，则12PA k ==-，此时倾斜角为3π．考点：直线的倾斜角及直线与圆的位置关系． 13．2 【解析】试题分析：画出不等式组表示的可行域，如图所示，联立301x y x +-=⎧⎨=⎩，得(1,2)C ，由题意可知，使目标函数取得最大值的最优解为(3,0)B ，取得最小值的最优解为(1,2)，则63002k k =-⎧⎨=-⎩，解得2k =．考点：简单的线性规划及其应用．14．（I ）14；（II ）1312n -+.【详解】根据图中所示的分形规律，1个白圈分为2个白圈和1个黑圈，1个黑圈分为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为(,)x y ，则第一行为(1,0)；第二行为(2,1)；第三行为(5,4)；第四行为(14,13)，所以414a =；各行白圈数乘以2，分别是2,4,10,28,82,，即11,31,91,271,811,+++++，所以第n 行的白圈为1312n n a -+=．故答案为：（I ）14；（II ）1312n -+.【点晴】本题主要考查了与数列有关的归纳推理，归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况法相某项相同的性质；（2）从已知的相同相纸中推出一个明确的表达的一般性的命题，正确理解归纳推理的步骤是解答此类问题的关键.15．【解析】试题分析：由题意得，设F '是左焦点，则APF ∆的周长为2l AF AP PF AF AP PF '=++=+++2AF AF '≥++(其中,,A P F '三点共线时，取等号)，点P 的纵坐标为所以APF ∆的周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．考点：双曲线的定义；三角形的周长及面积．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质、三角的周长与面积等知识的应用，其中根据题设条件确定点P 的坐标是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力，本题的解答中，根据双曲线定义，表示出三角形的周长，确定当,,A P F '三点共线时周长最小，得出点P 的纵坐标为的关键．16．（Ⅰ）44,40,36,43,36,37,44,43,37；（Ⅱ）1009；（Ⅲ）63.89%．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，求出样本的年龄数据即可；（Ⅱ）根据平均数和方差的公式求出其平均数和方差即可；（Ⅲ）求出x s -和x s +，从而即可求解所占的百分比．试题解析：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37 （Ⅱ）由（Ⅰ），得x ＝4440364336374443379++++++++＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．（Ⅲ）由（Ⅱ），得x ＝40，s ＝103，∴x －s ＝3623，x ＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s)内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．考点：系统抽样；数据的平均数与方差； 17．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可. 【详解】（1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=．1=，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=．（2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -，则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y=22(1)4x y ++=，设为圆D ．所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴2121-≤≤+，由251280a a -+≥，得a R ∈，由25120a a -≤，得1205a ≤≤．综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.18．（1）C 的离心率为12；（2）7a =， b =【解析】试题分析：（1）根据点M 在椭圆上，并且2MF 与x 轴垂直，得到点M 的坐标，,再结合椭圆基本关系式，转化为关于a,c 的齐次方程，两边同时除以，即可求得离心率；（2）根据中位线的几何关系，可得，又根据条件,可求得点N 的坐标，而点N 在椭圆上，代入椭圆方程，再结合椭圆基本关系式，即可求得椭圆方程.试题解析：（1）记c =()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,b Mc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=，()2213,22c ca c ac e e a a∴-=⇒====-或舍去；（2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则2244b MF a =⇒=①， 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭，将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=②由①②及222c a b =-得2249,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=．考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系. 视频 19．（1）P ⎛⎝⎭；（2）32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的,,a b c ，可得左右焦点，设(,)P x y ，运用向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到点P 的坐标；（2）显然0x =不满足题意，可设设的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，由AOB ∠为锐角，∴0OA OB ⋅>，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k 的取值范围．试题解析：（1）因为椭圆方程为2214x y +=，知2,1,a b c ===∴())12,F F ，设(),(0,0)P x y x y >>，则())22125,,34PF PF x y x y x y ⋅=--⋅-=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，∴P ⎛ ⎝⎭．（2）显然不满足题意，可设的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，∴1212221216,1414k x x x x k k =+=-++，且()()2216414120kk ∧=-+⨯>，∴234k>，又AOB ∠为锐角，∴0OA OB ⋅>，∴12120x x y y +>，∴()()1212220x x kx kx +++>，∴()()()()22212122224412161241240141414k k k x x k x x k k k k k -⎛⎫++++=++-+=> ⎪+++⎝⎭， ∴24k <，又∵234k >，∴2344k <<，∴32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 考点：椭圆的标准方程及其性质；直线与椭圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系的应用，向量的数量积的表示与运算，此类问题的解答中利用直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式、韦达定理建立根与方程系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题． 20．（Ⅰ）()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m+∞上单调递减；（Ⅱ）1m =；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数()f x 的导数，利用()()0,0f x f x ''><，即可求出函数()f x 单调区间；（Ⅱ）由()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于零，即可得到关于m 的不等式，求解实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，任意0a b <<，可先代入函数的解析式，得出ln()()111bf b f a a b b a a a-=⋅---，再由0a b <<得出ln1b ba a<-，代入即可证明出不等式．试题解析：（Ⅰ）()11mx f x m x x-'=-=，（()0,x ∈+∞）当m≤0时，f′（x ）＞0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当m ＞0时，由()110mx f x m x x-'=-=> 则10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则f （x ）在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；当m ＞0时，()max 11ln 1ln 1f x f m m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭只需m ﹣lnm ﹣1≤0即令g （x ）=x ﹣lnx ﹣1，则()11g x x'=-，函数g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． ∴g（x ）min =g （1）=0．则若f （x ）≤0在x ∈（0，+∞）上恒成立，m=1．（Ⅲ）()()lnln ln ln ln 1111bf b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----由0＜a ＜b 得1ba>，由（Ⅱ）得：ln 1b b a a ≤-，则()()2ln1111111111ba a ab a a a a a a a a--⋅-≤-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求解闭区间上的最值；函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求解闭区间上的最值、函数的恒成立问题及不等式的证明，着重考查了转化的思想及推理与运算能力，综合性较强，解答的关键值准确理解题意，对问题进行正确、合理的转化，熟练运用导数的性质是解答的中点，同时正确、合理的转化是试题的难点，属于难题，同时有事常考题，平时要注意总结和积累．。

湖北省沙市中学高二数学下学期第三次双周考试题文(无

湖北省沙市中学2017-2018学年高二数学下学期第三次双周考试题文（无答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.i ．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为A ． 4B ．44i +C ．4-D ．2iii ．以下四个命题中是假命题的是A. “昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理.B. “在平面中，对于三条不同的直线a ， b ， c ，若//a b ，//b c 则//c a ，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.C. “0a ≤”是“函数()ln f x ax x =+存在极值”的必要不充分条件.D. 若02x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，则2sin sin x x+的最小值为22.iii ．已知x 、y 取值如下表: 从所得的散点图分析可知:y 与x 线性相关, 且ˆ0.95yx a =+,则a =A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.80iv ．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值为A ．245 B ．285C ．5D ．6 v ．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为804，则由此可估计π的近似值为 A ．3.126B ．3.216C ．3.213D ．3.151x0 1 4 5 6 8 y1.31.85.66.17.49.3vi ．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 A.163π B. 3π C. 29π D. 169πvii ．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=viii ．已知函数()2112f x ax bx =++，其中{}{}2,4,1,3a b ∈∈，从()f x 中随机抽取1个，则它在(],1-∞-上是减函数的概率为 A.12 B.14 C.16 D. 34ix ．已知实数6n ≤，若关于x 的不等式()2280xm x n +--≥对任意的[]4,2x ∈-都成立，则m n +的取值范围是A ．[2,8]B ．[6,8]C ．19[6,]2D ．19[8,]2x ．F 1，F 2是双曲线145422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的点，已知|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2| 依次成等差数列，且公差大于0，则∠F 1PF 2=A ．4π B ．3π C ．2πD ．23πxi ．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=6，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 A ．22(0,]3B ．6(0,]3C ．6[,1)3D ．22[,1)3xii ．已知函数()ln f x x x x =+，若(1)()k x f x -<对任意的1x >恒成立，则整数k 的最大值为 A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.xiii ．已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象过点()2,4P ，则在(]0,10内任取一个实数x ，使得()16f x >的概率为． xiv ．设5:1,2p x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使函数()()22log 22g x tx x =+-有意义，若p ⌝为假命题，则t 的取值范围．xv ．如图，在圆内画1条线段，将圆分成两部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分，那么，在圆内画n 条线段，将圆最多分割成部分。

2023-2024学年湖北省沙市高二下学期6月联考数学质量检测试题(含答案)

2023-2024学年湖北省沙市高二下学期6月联考数学质量检测试题一、单选题1．已知函数，则（）3()2f x x x =+0(12)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．5B ．10C ．15D ．202．已知随机变量，则（）13,2B ζ⎛⎫~ ⎪⎝⎭532E ζ⎛⎫+=⎪⎝⎭A ．B ．C ．4D ．732923．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、X 乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，X 110115120现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率X X 为（）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.24．已知，则（）()()11,23P A P AB ==()P B A =∣A ．B ．C ．D ．161314235．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A ．20种B ．16种C ．12种D ．8种6．已知，则6270127(1)(2)x x a a x a x a x -+=++++ （）12345623456a a a a a a +++++=A ．722B ．729C ．-7D ．-7297．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次向左移动的概率为，向32右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于31X 的位置，则（）P(X >0)=A ．B ．C ．D ．24350243529281178．若关于x 的不等式恒成立，则实数a 的最大值为（）()2e e ln xa x x x +≥-A ．1 B ．C ．D ．12-e e 22e二、多选题9．关于函数，下列说法正确的是（）()2ln 2x f x a x bx=++A ．若存在极值点，则B ．若，则有且只有一个极值()f x 240b a -<0<a ()f x 点C ．若有两个极值点，则D ．若1是的极大值点，则()f x 0ab <()f x 1a >10．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A ．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12B ．第二次抽到3号球的概率为1148C ．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D ．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种11．下列说法正确的是（）A ．函数在区间的最小值为()2sin fx x x =-[]0,ππ3B ．函数的图象关于点中心对称()321313f x x x x =--+81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．已知函数，若时，都有成立，则()12ln f x ax x x =--212x x >≥()()2121121f x f x x x x x ->-实数的取值范围为a ()1,+∞D ．若恒成立，则实数的取值范围为e ln axa x >a 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、填空题12．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性e kx y c =ln z y =回归方程，则_______.ˆ20.5zx =+c =13．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X ，则______．()E X =14．已知，若存在，使得，则()()2e 0x b g x ax a a x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()01,x ∈+∞()()000g x g x '+=的取值范围是______.ba 四、解答题15．在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数()n n +∈N 为.n X （1）求的分布列与期望；2X （2）证明为等比数列，并求关于的表达式.(){}5nE X -()nE X n 16．南澳县海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布．(32,16)N （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x （人）与年收益增量y （万元）的数据如下：人工投入增量x （人）234681013年收益增量y （万元）13223142505658该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：；ˆ4.111.8y x =+模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人y a =+工投入增量x 做变换，令，则，且有t =y b t a =⋅+．772112.5,38.9,()(81.0,()3.8i i i i i t y t t y y t t ====--=-=∑∑（i ）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程（精确到0.1）；（ii ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、2R 更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．附：若随机变量，则，2(,)Z N μσ～(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=；样本的最小二乘估计公式为：100.99870.9871≈(,)(1,2,,)i i t y i n ⋯＝，另，刻画回归效果的相关指数121()(),()ˆˆˆniii ni i t t y y bay bt t t ==--==--∑∑22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑17．已知函数，．()ln (1)f x x a x =--R a ∈（1）讨论函数的单调性；()f x （2）当时，恒成立，求实数的取值范围．1x ≥ln ()1xf x x ≤+a 18．ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%.（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT 的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期ξξ望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i ）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；（ii ）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.19．曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率():C y f x =()(),x f x ，其中为的导函数，为的导函数，已知()()()3221f x K f x =⎡⎤+⎢'⎥⎣⎦''()f x '()f x ()f x ''()f x '．()2323ln 32a x x x x f x =--（1）时，求在极值点处的曲率；0a =()f x （2）时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；0a >()f x '（3），，当，曲率均为0时，自变量()222e 4e x x g x x a x =-+10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x 最小值分别为，求证：．21,x x 221e e x x >数学答案9.BCDDAB9.BCD10.ABC9.BCD 10.ABC 11.ABD13.14.218()1,-+∞15.【解】（1）的可能取值为2，3，4.2X ，，，()222425525P X ==⨯=()223333355555P X ==⨯+⨯=()232645525P X ==⨯=则的分布列为（略），故.2X ()2436772342552525E X =⨯+⨯+⨯=（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，1n +则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；()5n E X ()n E X ②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为1n +()15n E X -.()1n E X +故，()()()()()()14111555n n n n n n E X E X E X E X E X E X +⎡⎤⎡⎤=⋅+-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()1415n n E X E X +=+则，所以是公比为的等比数列.()()14555n n E X E X +⎡⎤-=-⎣⎦(){}5n E X -45故，即.()()2224484455352555n n nn E X E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-⨯=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4355nn E X ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭16. 【解】（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，()32,16N ～ξ32,4μσ==由正态分布的对称性可知，，()111(20)[1(2044)1(33)]10.99740.0013222P P P ξξμσξμσ⎤⎡<=-<<=--<<+=-=⎥⎢⎦⎣ 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g 的牡蛎为X 只，故，()10,0,0013X B ～故，()()()10110110.001310.98710.0129P X P X ≥=-==--=-=所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性仅为1.29%．（2）（i ）由，有()()()772112.5,38.9,81.0,3.8i i i i i t y t ty y t t ====--=-=∑∑，且，()()()7172181.021.33.8ˆi ii ii t t y y bt t ==--==≈-∑∑38.921.3ˆˆ 2.514.4a y bx =-=-⨯≈-所以，模型②中关于的回归方程为y x 14ˆ 4.y =-（ii ）由表格中的数据，有，即模型①的182.479.2>()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．2R 当时，模型②的收益增量的预测值为16x =（万元），21.314.421.3414ˆ.470.8y =-=⨯-=这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．17.【解】（1）的定义域为，，()f x ()0,∞+()1axf x x ='-若，则恒成立，∴在上单调递增；若，则由0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+0a >，()10f x x a =⇒='当时，；当时，，∴在上单调递增，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在上单调递减．综上可知：若，在上单调递增；1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,∞+若，在上单调递增，在上单调递减． 0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2），令，，()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++()()2ln 1g x x x a x =--()1x ≥，令，()ln 12g x x ax +'=-()()ln 12h x g x x ax ==+-'()12ax h x x -'=①若，，在上单调递增，，0a ≤()0h x '>()g x '[)1,+∞()()1120g x g a ≥=-'>'∴在上单调递增,，从而不符合题意．()g x [)1,+∞()()10g x g ∴≥=()ln 01xf x x -≥+②若，当，，∴在上单调递增，102a <<11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '>()g x '11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而，∴在上单调递增,，()()1120g x g a ≥=-'>'()g x [)1,+∞()()10g x g ∴≥=从而不符合题意．()ln 01xf x x -≥+③若，在上恒成立，12a ≥()0h x '≤[)1,+∞∴在上单调递减，，()g x '[)1,+∞()()1120g x g a ≤=-'≤'∴在上单调递减,，综上所述，a 的取值范围()g x [)1,+∞()()10g x g ∴≤=()ln 01xf x x -≤+是．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18. 【解】（1）易知的所有可能取值为ξ0,1,2,3此时，，，()0353381056C C P C ξ===()12533815156C C P C ξ===()215338301525628C C P C ξ====，所以的分布列为………（略）()30533810535628C C P C ξ====ξ则.()115155150123565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（2）（i ）记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，记“输入的问题有语法错误”为事件B ，记“ChatGPT 的回答被采纳”为事件C ，则，，，.()0.9P A =()0.1P B =()|0.5P C B =()|0.85P C A =()()()()()()()||P C P CB P CA P B P C B P A P C A =+=+.0.10.50.90.850.815=⨯+⨯=（ii ）若ChatGPT 的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为.()()()()()()|0.90.85153|0.815163P AC P A P C A P A C P C P C ⨯====19. 【解】（1）当时，可得0a =()223ln ,02f x x x x x =->，()2ln 32(ln 1)f x x x x x x x =+-=-'令，可得，当时，，当时，，()0f x '=e x=0e x <<()0f x '<e x >()0f x '>所以当为在极小值点，又，所以，e x=()f x ()2ln f x x =''()e 2ln e 2f '='=所以；()()()23322222e 22[10]1e f K f ===⎡⎤++⎢⎥⎣'⎦''（2）由，可得()2323ln 32a f x x x x x =--，()222ln 32ln 2f x x x x ax x x x x ax =+--=--'令，则，()22()2ln 32ln 2h x f x x x x ax x x x x ax '==+--=--()2ln 2h x x ax=-'令时，可得，令，可得()0h x '=ln x a x =ln ()xx x ϕ=，21ln ()xx x ϕ'-=当时，，单调递增，0e x <<()0x ϕ'>ln ()xx x ϕ=当时，，单调递减，则，e x>()0x ϕ'<ln ()x x x ϕ=max 1()e x ϕ=所以时，有解，且有两解且，10e a <<()2ln 20f x x ax =-'='13,x x 131e x x <<<为的极小值点，为的极大值点，1x ()f x '3x ()f x '当时，有解，且有唯一解，但此解不是极值点，1e a =()2ln 20f x x ax =-'='()f x '当时，无解，所以无极值点，1e >a ()2ln 20f x x ax =-'='()f x '所以当时，存在极值点，所以；10e a <<()f x '()()()3221f x K f x ==⎡⎤+⎢⎥⎣''⎦'（3）由题意可得，可得，()222e 4e x x g x x a x =-+()2(1)e 4e 2x x g x x ax=+-+'要，曲率为0，则，即，()g x ()f x ()()0g x f x ''''==2ln 222e 0xx ax a x -=+=可得，，ln xa x =2e x a x =-所以时，有两解，，可证，10e a <<ln ()xx x ϕ=13,x x 131e x x <<<213e x x >由（2）可得，，可得，11ln 0x ax -=33ln 0x ax -=1313ln ln x x ax ax +=+．1313ln ln x x ax ax -=-要证明，即证明，也就是．213e x x >13ln ln 2x x +>13()2a x x +>因为，所以即证明，1313ln ln x x a x x -=-131313ln ln 2x x x x x x ->-+即，令，则，于是，1313132()lnx x x x x x -<+13x t x =01t <<2(1)ln 1t t t -<+令，则,2(1)()ln 1t f t t t -=-+22214(1)()0(1)(1)t f t t t t -'=-=>++故函数在上是增函数，()f t '(0,1)11 / 11所以，即成立．所以成立．()(1)0f t f <=2(1)ln 1t t t -<+213e x x >又因为，则，2a a <222323ln ln e e e x x x x x x ---=<由（2）可得在上单调递减，因为，，所以ln ()x x x ϕ=(e,)+∞2e e x ->3e x >，2221113e ee x x x x x x -=>>。