初中数学专题复习类型1：三角形中的证明与计算
三角形的证明详细知识点、例题、习题)
三角形的证明详细知识点、例题、习题)1.定义：全等三角形指的是能够完全相等的三角形。
2.性质：全等三角形的对应边和对应角都相等。
3.判定方法：XXX、SSS、ASA、AAS、HL。
需要注意的是，SSA和AAA不能作为判定三角形全等的方法，必须有边的参与。
若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角。
4.证题思路：找夹角（SAS）已知两边，找直角（HL）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS）已知一边一角，边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找已知角的另一边（SAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角，找任意一边（AAS）1.等腰三角形的性质：两个底角相等（等边对等角）。
2.判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）。
3.等边三角形的性质：三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。
4.含30°的直角三角形的边的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.勾股定理及其逆定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.命题与逆命题：命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的。
3.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
需要注意的是，勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”。
1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2.判定方法：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
初中数学三角形的计算和证明(一)
三角形的计算和证明姓名 时间【知识要点】：1.三角形的内角和，外角，中线，高线，角平分线，中位线的性质2.等腰三角形的性质：等角对等边，等边对等角，三线合一3.等边三角行的性质：三条边相等，三个角都是60°，三线合一4.直角三角行的性质：两锐角互余，勾股定理，30°和45°直角三角形三边之比【经典练习】等腰三角形和等边三角形 一、填空题1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.2.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.3.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.4.如图1，D 在AC 上，且AB=BD=DC ，∠C=40°，则∠A=_________，∠ABD=_________.图1图25.如图2，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在AB 上，且AD=AC ，若∠A=40°，则∠ACD=_________，∠DCB=_________，若∠A=α，则∠BCD=_________，由此我们可得出∠BCD 与∠A 的关系是∠BCD=_________.6.△ABC 中，若∠A=∠B=21∠C ，则此三角形为_________三角形. 7.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________. 8.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.二、选择题9.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B=α，则α的取值范围是（ ）A.α＜45°B.α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°10.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形三、解答题12.如图3，在AB=AC的△ABC中，D点在AC边上，使BD=BC，E点在AB边上，使AD=DE=EB，求∠EDB.13.如图5，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD=AF.直角三角形一、填空题14.Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离是3.8 cm，则BC=_________ cm.15.△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于D，AE是斜边上的中线，若DB=4，则AB=_________，BC=_________.16.如下图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则∠C=___ __°;CE∶EA=__________.二、选择题17.在直角三角形中，一条边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角的比为（）A.1∶2∶3B.2∶2∶1C.1∶1∶2D.以上都不对18.若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（）A.30°B.45°C.60°D.无法确定19.在△ABC 中∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于D 点，AB=a ，则BD 的长为（ ）A.2a B.3aC.4aD.以上都不对三、解答题20.△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A=60°.求证：BD=3AD.三角形综合 一、选择题21.给出下列命题，正确的有（ ）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形 A.1个B.2个C.3个D.4个22.下列命题，正确的有（ ）①三角形的一条中线必平分该三角形的面积；②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形 A.1个B.2个C.3个D.4个23．如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，则∠ADD ′的度数是( )(A)25°． (B)30°． (C)35°． (D)45°．24．如图，分别以Rt ABC ∆的直角边AC ，BC 为边，在Rt ABC ∆外作两个等边三角形ACE ∆和BCF ∆，D 'D AC连结BE ，AF.求证：BE=AF 。
三角形的证明知识点汇总
三角形的证明知识点汇总三角形是几何学中重要的一个概念，其性质和证明方法有着广泛的应用。
以下是关于三角形的一些常见性质和证明的知识点汇总。
1.三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形。
2.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度。
这一性质可以通过任意一个三角形的角平面角度等于平面内角度和来证明。
3.三角形的中位线：三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心。
重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积都是整个三角形面积的1/64.三角形的高线：三角形的三条高线相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。
垂心将三角形分成三个小三角形，每个小三角形的面积都是整个三角形面积的1/35.三角形的角平分线：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心。
内心到三角形三边的距离都相等，且内心到三边的连线与该边所对的角平分线垂直。
6.三角形的中线与角平分线的关系：在任意一条边上，三角形的中线长等于该边所对的角平分线长度的一半。
7.三角形的外角和：三角形的外角和等于360度。
这一性质可以通过任意一个三角形的一个外角与其它两个内角相加为180度来证明。
8.三角形的三边关系：在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
9.等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60度。
10.等腰三角形的性质：等腰三角形的两条边相等，两个底角相等。
11.直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
12.三角形的面积公式：三角形的面积等于底边乘以高的一半。
另外，可以使用海伦公式来计算非直角三角形的面积。
13.三角形的相似性：若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例。
14.三角形的全等性：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
全等三角形的对应角相等。
15.角平分线定理：三角形一边上的角的平分线与对边的延长线相交于一点，这一点将这条边所对的角平分为相等的两个角。
三角形的证明方法
三角形的证明方法
三角形的证明方法有以下几种：
1. 使用勾股定理证明：如果已知三角形的三边长度，可以利用勾股定理来证明三角形的存在。
勾股定理表达式为：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c为三角形的三边长度。
2. 使用余弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和它们之间的夹角，则可以使用余弦定理来证明三角形的存在。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中c为三角形的第三边长度，a、b为两边长度，C为夹角的度数。
3. 使用正弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和一个夹角的度数，可以使用正弦定理来证明三角形的存在。
正弦定理表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的三边长度，A、B、C为夹角的度数。
4. 使用面积法证明：如果已知三角形的三个顶点坐标，可以利用向量叉积的方法来计算三角形的面积。
如果面积不为零，则可以证明三角形的存在。
这些方法可以根据已知的条件选择合适的方法证明三角形的存在。
三角形的计算与证明
三角形的计算与证明三角形是几何学中最基本的图形之一，在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将探讨三角形的计算和证明，包括周长、面积、角度以及一些相关定理和性质。
一、周长的计算一个三角形的周长是指其三条边的长度之和。
假设三角形的三条边分别为a、b和c，则周长P可以表示为P = a + b + c。
在实际计算中，如果我们已知三角形的三个顶点的坐标，可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
例如，设三角形的顶点分别为A(x1,y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则边a的长度为AB的距离，边b的长度为BC的距离，边c的长度为AC的距离。
根据距离公式，我们可以计算出边a、b和c的长度，并将其求和得到周长P。
二、面积的计算三角形的面积是指三角形所围成的空间大小。
若三角形的底边为a，高为h，则其面积S可以表示为S = (1/2) * a * h。
在实际计算中，如果我们已知三角形的底边长度和对应的高，可以直接使用上述公式计算面积。
同时，如果我们知道三角形的三个顶点的坐标，可以使用行列式来计算面积。
设三角形的顶点分别为A(x1,y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则三角形的面积S可以表示为S = (1/2) *|x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|。
三、角度的计算三角形的角度是指三条边之间的夹角。
常见的角度包括内角（指三角形内部的角度）和外角（指三角形外部与之相对的角度）。
（1）内角的计算：对于任意一个三角形ABC，其三个内角A、B和C满足A + B + C = 180°。
因此，可以通过已知两个内角来计算第三个内角。
例如，如果已知角A为60°，角B为70°，则角C = 180° - 60°- 70° = 50°。
（2）外角的计算：对于任意一个三角形ABC，其三个内角的每个外角都等于其相邻两个内角之和。
三角形的证明知识点
三角形的证明知识点一、三角形的概念三角形是由三条线段首尾顺次相接组成的图形，通常用符号“△”表示。
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
二、三角形的性质1、三角形的两边之和大于第三边。
2、三角形的内角和等于180°。
3、三角形的面积公式为：面积=底×高÷2。
4、三角形的稳定性：在几何学中，三角形是一种非常稳定的图形，因为它的三条边之间存在一个固定的角度。
这种稳定性在现实生活中也有很多应用，如桥梁、建筑和机械等。
三、三角形的证明1、定义法：根据三角形的定义，通过证明三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形。
2、平行线法：通过证明两条平行线之间的距离相等来证明它们之间的线段组成的图形是三角形。
3、反证法：通过假设反面命题成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
4、角平分线法：通过证明两个角平分线的交点是三角形的一个顶点，然后证明这个交点到另外两个顶点的距离相等，从而证明这是一个等腰三角形。
5、中位线法：通过证明两条中位线的长度相等来证明三角形是等腰三角形。
6、勾股定理法：通过证明三角形的三条边满足勾股定理来证明这是一个直角三角形。
7、相似三角形法：通过证明两个三角形相似来证明它们对应边之间的比例相等，从而证明这是一个等腰三角形或等边三角形。
8、圆内接四边形法：通过证明一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，从而证明这是一个圆内接四边形，也就是一个等腰梯形。
三角形的证明知识点汇总一、三角形三条边的关系定理：三角形两边之和大于第三边推论：三角形两边之差小于第三边二、三角形内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三、三角形中线的性质性质：三角形中线平分三角形三条边；三条中线能将三角形分成面积相等的六个部分；三条中线连成的三条线段都大于第三条边的一半。
中考自招数学-三角形中的证明与计算
中考自招专题四 三角形中的证明与计算【几何最值问题】1. 已知正三角形ABC ∆、A BC ''∆边长均为2，点D 在线段BC '上，求AD CD +的最小值.2. 正方形ABCD 中有一点E ，使E 到A 、B 、C .【角平分线定理】3. 在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD 为∠A 的角平分线，若2−=AB BDBD AB，求tan C ∠的值.【S pr =】4. 等腰梯形ABCD 中，13AB CD ==，6AD =，16BC =，CE AB ⊥. 求BCE ∆内切圆的半径.5. ABC △中，5AB =，8AC =，60A ∠=︒，则它的内切圆半径是______.【三角形五心】6. 如图，锐角ABC △的内心为1，垂心为H ，M 为三角形ABC 的外接圆的劣弧AC 的中点，若MI MH =，求ABC ∠7. 如图，在ABC ∆中，O 是内心，点,E F 都在大边BC 上，已知=BF BA ，CE CA = （1）求证：O 是∆AEF 的外心；（2）若40∠=B ，30∠=C ，求∠EOF 的大小.【三角形计算】8. 在直角三角形ABC ，,CD CE 分别是斜边AB 上的高，中线，=BC a ，()33=>AC a ，若1tan 3∠=DCE ，则=a ________.9. 在直角梯形ABCD 中，90∠=∠=ABC BAD ，16=AB ，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF AB ⊥于点F ，O 为边AB 的中点，且8+=FE EO ，则+AD BC 的值为________.【基本相似模型】10. 如图，正方形ABCD ，边长为1，矩形BEFC 与矩形IJGH 全等，求=BE ________.11. 矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形折叠，B 落在AD 上点M 处，C 落在N 处，求EC FB AM−【比例线段】 12. 如图，ABCD 、AD CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE于点M 、N 、P 、Q ，求证：2+=MN PQ PN .【梅氏定理与赛瓦定理】13. 如图，ABC △中D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，AD ，BE ，CF 交于形内一点P ，PE 延长交BC 于G ，已知15BD =，6CD =，则CG =______.【三角形面积】14. 如图，若长方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为x ，y ，z ，则阴影部分的面积是______（用x ，y ，z 表示）【添平行线】15. 如图，ABC △是正三角形，111A B C △的三边11A B ，11B C 、11C A 交ABC △各边分别于2C 、3C 、2A 、3A 、2B 、3B .已知232323A C C B B A ==，且222232323C C B B A A +=，证明：1111A B C A ⊥.。
三角形的证明知识点
三角形的证明知识点三角形作为几何学中的基本形状之一，具有丰富的性质和定理。
在学习三角形的相关知识时，我们需要了解并掌握一些重要的证明方法和相关定理。
本文将介绍几个常见的三角形证明知识点。
一、等腰三角形的性质证明等腰三角形是指两边相等的三角形。
证明等腰三角形的性质时，常用到的方法是通过辅助线的引入，将原有的问题转化为易于证明的几何图形。
例如，我们要证明等腰三角形的顶角相等。
我们可以通过在等腰三角形的底边上引入一个中垂线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
由此可以得到等腰三角形的顶角相等的结论。
二、全等三角形的证明方法全等三角形是指具有相同边长和角度的三角形。
证明两个三角形全等时，可以通过使用SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）或者ASA （角-边-角）的证明方法。
以证明两个三角形全等为例，我们可以利用两个三角形的对应边和对应角相等的关系来进行证明。
通过给定的条件，分别对应地找到两个三角形的对应边和对应角，并证明它们相等，从而得出两个三角形全等的结论。
三、三角形的内角和定理的证明三角形的内角和定理是指三角形内角的和等于180°。
我们一般通过引入平行线、相似三角形等方法来证明这个定理。
例如，我们可以通过在三角形的两个角上分别引入平行线，将三角形分成一个小三角形和一个四边形。
通过推理和运用平行线的性质，可以证明四边形的内角和等于360°，进而利用三角形的三个小角和四边形的内角和等于360°的关系，得到三角形内角和定理。
四、三角形的中线性质证明三角形的中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
证明三角形中线性质时，一种常见的方法是通过分析各个线段之间的关系，运用面积相等的性质来进行证明。
以证明三角形中线平行于底边的性质为例，我们可以通过利用面积相等的性质来进行证明。
通过连接三角形的两个顶点和中点，我们可以得到两个全等的三角形。
然后利用这两个全等的三角形的面积相等，我们可以证明中线平行于底边的结论。
第一章三角形的证明知识点
第一章三角形的证明知识点在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
它由三条线段组成，它们形成了一个封闭的形状。
三角形的证明是几何学中一个重要的部分，它涉及到三角形的性质和关系的证明。
在本文中，我们将介绍一些与三角形的证明相关的主题和知识点。
1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三角形的三个内角之和。
对于任意一个三角形，它的内角和恒等于180度。
这是一个基本的几何性质，可以通过多种方法证明。
例如，可以利用平行线和同位角的性质来证明，或者利用角的外角和的性质来证明。
2. 三角形的外角和三角形的外角是指三角形内角的补角。
三角形的外角和等于360度。
这个性质可以通过利用平行线和同位角的性质来证明，或者利用三角形的内角和等于180度的性质来证明。
3. 三角形的相等条件三角形的相等条件包括SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）和AAS（角-角-边）四个条件。
这些条件是用来判断两个三角形是否相等的。
可以通过对两个三角形的边长和角度进行比较来判断它们是否相等。
4. 三角形的全等证明三角形的全等证明是一种重要的证明方式，用来证明两个三角形是全等的。
根据SSS、SAS、ASA和AAS四个条件，我们可以得出两个三角形全等的结论。
这些条件可以通过对两个三角形的边长和角度进行比较来判断。
5. 三角形的相似条件三角形的相似条件包括AAA（角-角-角）和AA（角-角）两个条件。
当两个三角形的对应角度相等时，我们可以得出它们相似的结论。
相似的三角形具有相似边长的性质，可以通过对对应边长的比较来判断。
6. 三角形的三边关系三角形的三边关系包括不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。
不等边三角形的三条边都不相等，等腰三角形有两边相等，而等边三角形的三条边都相等。
这些三边关系可以通过对三角形的边长进行比较来判断。
7. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从三角形的一个角上作出等分该角的线段。
三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。
三角形中的有关计算和证明
g3.1051三角形中的有关计算和证明一、知识回顾 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一).三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1．角与角关系：A +B +C = π，2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b <c ，b －c < a ，c －a > b ．3．边与角关系：1）正弦定理 R Cc B b A a 2s i n s i n s i n === 2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．它们的变形形式有：a = 2R sin A ，ba B A =sin sin ，bc a cb A 2cos 222-+=． 3）射影定理： a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．4）正切定理：22sin sin sin sin BA tgB A tgB A B A b a b a -+=-+=-+ …………….(轮换)5）模尔外得公式：;2cos 2sin ,2sin 2cos C B A c b a C B A c b a -=--=+ 6）半角定理：bc c s b s A ))((2sin--=bc a s s A )(2cos -= as r s c s b s a s a s a s s c s b s A tg -=----=---=))()((1)())((2 （以上公式均轮换）7）面积公式：))()((4222222sin sin sin 2)sin(2sin sin sin 21212222c s b s a s s R abc rs C ctg B ctg A ctg r C tg B tg A tg s C B A R C B C B a C ab ah a ---======+===∆ （二）、关于三角形内角的常用三角恒等式：1.三角形内角定理的变形由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出：sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而222C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．2.常用的恒等式：（1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2C ． （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin2B sin 2C ． （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2A sin 2B cos 2C ． （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos2A cos 2B sin 2C ． （5）sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sin A sin B sin C ．（6）cos2A ＋cos2B ＋cos2C ＝－1－4cos A cos B cos C ．（7）sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2＋2cos A cos B cos C ．（8）cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＝1－2cos A cos B cos C ．二、基本训练1、在ABC ∆中，已知35513sin B ,cos A ==，则cosC ＝ . 2、在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 .条件.3、在ABC ∆中，若sin Asin B cos Acos B <，则ABC ∆的形状为 .4、在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝ .5、在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++ 3sinC )a sin B -=，则C ∠＝ .三、例题分析例1、在ABC ∆中，451a ,b c ,tan A tan B tan Atan B )=+=+=-，求sin A .例2、在ABC ∆中，已知22a tan B b tan A =，试判断ABC ∆的形状.例3、已知A 、C 是三角形ABC 的两个内角，且tan A,tanC 是方程2100x p x p (p )+-=≠的两个实根。
三角形的证明知识点
三角形的证明知识点三角形是几何学中的基础概念之一，它具有重要的性质和特点。
在数学中，我们经常需要证明关于三角形的各种定理和命题，这些证明过程中的关键知识点将在本文中被详细介绍。
以下是有关三角形的证明知识点。
1. 三角形的内角和定理：在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
这个定理可以通过角度的基本性质来证明。
假设三角形的三个内角分别为A、B和C，那么根据角度的定义，有A + B + C = 180度。
2. 三角形的外角和定理：在任意三角形中，三个外角的和等于360度。
证明这一定理可以使用与相关角的性质以及内角和定理。
根据内角和定理，三个内角的和等于180度。
由于内角和外角的关系是180度，所以三个外角的和应该是360度。
3. 等边三角形的性质：等边三角形是指三个边的长度都相等的三角形。
等边三角形的内角都是60度。
证明这一定理可以通过分析每个角的大小和等边三角形的对称性质。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角（底边的两个对角）是相等的。
证明这一定理可以使用等边三角形的性质，或者通过对称性质和三角形内角和的知识点。
5. 直角三角形的性质：直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。
直角三角形的两个锐角（小于90度的角）是互补角，即两个角的和等于90度。
这一性质可以通过直角三角形的定义以及角度的基本性质进行证明。
6. 同位角定理和同旁内角定理：同位角定理指的是在平行线被一条截断时，同位角是相等的。
同旁内角定理指的是在两条平行线被一条截断时，同旁内角是补角。
这些定理可以用于证明平行线和三角形之间的各种性质。
7. 正弦定理和余弦定理：正弦定理用于计算任意三角形的边长与角度之间的关系。
余弦定理则用于计算三角形的边长与角度之间的关系。
这些定理的证明涉及到三角函数和向量的概念，并且在解决实际问题时非常有用。
以上是关于三角形的证明知识点的简要介绍。
通过理解和应用这些知识点，我们可以更好地理解和分析三角形的性质和关系。
七年级三角形的证明知识点
七年级三角形的证明知识点三角形是初中数学中一个非常重要的概念，三角形的性质和证明也是初中数学教育的重难点。
本文将介绍七年级三角形的证明知识点，包括三角形的基本概念、两条边和它们夹角的关系、三角形内角和的性质等。
一、三角形的基本概念三角形是由三条线段组成的图形，三条线段对应的点叫做三角形的顶点，三条线段叫做三角形的边。
三角形的分类有很多种，按照边长分类可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；按照角度分类可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
二、两条边和它们夹角的关系1.余弦定理当已知三角形中两条边和夹角时，可以用余弦定理求第三边的长度。
余弦定理的公式为：c²=a²+b²-2abcosC其中，a、b为两条已知边的长度，c为第三边的长度，C为已知的夹角。
2.正弦定理当已知三角形中一条边和两个角时，可以用正弦定理求出另外两条边的长度。
正弦定理的公式为：a/sinA=b/sinB=c/sinC其中，a、b、c为三条边的长度，A、B、C为三个对应的角。
根据正弦定理，可以进一步推导出三角形的面积公式为S=1/2absinC。
三、三角形内角和的性质三角形内角和是指三角形内部三个角度的总和，对于任意三角形来说，内角和总是等于180度。
这个结论可以通过以下两种方法证明：1.直角三角形的情况在直角三角形中，直角一定是其中一个角，另外两个角的和为90度。
因此，三角形内角和为180度。
2.任意三角形的情况先将任意三角形切成若干个小三角形，每个小三角形的内角和都等于180度。
因为小三角形可以拼成任意形状的大三角形，所以大三角形内角和也等于180度。
结语：本文介绍了七年级三角形的证明知识点，包括三角形的基本概念、余弦定理、正弦定理和三角形内角和的性质。
对于初学者来说，这些知识点是非常重要的，希望本文对初中数学的学习有所帮助。
三角形中的计算与证明 课件
4.在任一 ABC 中，求证：
a(sin B sinC ) b(sinC sin A) c(sin A sin B) 0 证明：由于正弦定理：
a 2Rsin A, B 2RsinB,c 2RsinC 代入左边得： 左边＝ 2R(sinAsinB sin AsinC sinB sinC sin B sin A sinC sin A sinC sin B) 0 =右边
解析： (1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B， 即 a·2aR＝b·2bR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， ∴a＝b.∴△ABC 为等腰三角形．
(2)由题意可知 m·p＝0，即 a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，c2 a2 b2 2ab cos A
解：
b sin B
c sin C
sin
C
c sin b
B
1
sin 600 3
1 2
b c ，B 600 C B ，C为锐角
C 300, A 900
a b2 c2 2
3. ABC中，c 6, A 450, a 2,求b和B,C .
解：
a sin
A
c sin C
sin
C
c sin a
∴ 等式成立
5. 在ABC中,已知 a 3 , b 2 , B 45 ,求A、C 和 c.
解法一：
ab sin A sinB a 3 ，b
sin A
2 ，B 45
3 sin 45 2
3 2
0 A 180， A 60 或 120
(1) 当 A 60时，C 75，c
解析： (1)在△ABC 中， 根据正弦定理，siAnBC＝siBnCA， 于是 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
初中数学知识归纳三角形的性质和计算
初中数学知识归纳三角形的性质和计算初中数学知识归纳：三角形的性质和计算三角形作为初中数学中的重要概念，是几何学中研究的重点之一。
在学习三角形的过程中，我们不仅要了解三角形的基本性质，还需要学会灵活地运用这些性质进行计算。
本文将对三角形的性质和计算进行归纳总结。
一、三角形的基本性质1. 三角形的定义三角形由三条线段组成，其中任意两条线段之和大于第三条线段，并且任意两条线段之差小于第三条线段。
2. 三角形的内角和公式三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
3. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可分为以下几类：- 等边三角形：三条边均相等。
- 等腰三角形：两边相等。
- 直角三角形：有一个角为90度。
- 钝角三角形：有一个角大于90度。
- 锐角三角形：三个角均小于90度。
4. 三角形的角平分线和中线三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个等角的线段。
三角形的中线是指从一个顶点出发，将对边中点连接到另外两个顶点的线段。
5. 三角形的重心和垂心三角形的重心是指三条中线的交点，记为G；三角形的垂心是指三条垂线的交点，记为H。
二、三角形的计算方法1. 三角形的周长三角形的周长等于三边之和，即周长=边1 + 边2 + 边3。
2. 三角形的面积三角形的面积可以通过以下公式进行计算：- 已知底和高：面积=底 ×高 ÷ 2。
- 已知三边长：根据海伦公式，可以计算三角形的面积，其中s表示三角形半周长。
面积=√(s × (s-边1) × (s-边2) × (s-边3))。
3. 三角形的相似若两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形为相似三角形，它们的对应边长成比例。
4. 三角形的全等若两个三角形的对应边长完全相等，则这两个三角形为全等三角形，它们的对应角度也相等。
5. 三角形的勾股定理直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和，即a^2 =b^2 + c^2（或b^2 = a^2 + c^2，c^2 = a^2 + b^2）。
初中数学知识归纳直角三角形的计算与证明
初中数学知识归纳直角三角形的计算与证明初中数学知识归纳——直角三角形的计算与证明直角三角形是中学数学中非常重要的一个概念，在计算和证明中都有广泛应用。
本文将系统归纳直角三角形的计算方法和证明过程，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、直角三角形的定义与性质直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。
在直角三角形ABC中，边AB和边BC构成直角，而边AC则为斜边。
根据勾股定理，直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，即AB² + BC² = AC²。
直角三角形还有一些重要的性质。
首先，直角三角形的两个锐角之和等于90度。
其次，直角三角形中长边对应的角为直角角，而直角三角形中的直角边则分别对应两个锐角。
这些性质在计算和证明中具有重要意义。
二、直角三角形的计算方法1. 已知两边长度计算斜边长度当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理来计算斜边的长度。
以直角三角形ABC为例，已知AB = 3cm，BC = 4cm，求AC的长度。
根据勾股定理，AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此AC = √25 = 5cm。
2. 已知一边长度和一个锐角计算其他边长度当我们已知一个直角三角形的一边长度和一个锐角的度数时，可以利用三角函数来计算其他边的长度。
假设在直角三角形ABC中，已知AB = 5cm，∠B = 30度，求BC和AC的长度。
首先，利用正弦函数sinθ = 对边/斜边，我们可以得到sin30° = BC/5，从而得到BC = 5*sin30° = 2.5cm。
然后，利用余弦函数cosθ = 邻边/斜边，我们可以得到cos30° =AC/5，从而得到AC = 5*cos30° = 4.33cm。
3. 已知两个角的度数计算第三个角的度数当我们已知一个直角三角形的两个角的度数时，可以利用三角形内角和为180度的性质来计算第三个角的度数。
中考数学 中档题突破 专项训练五 三角形、四边形中的证明与计算
在Rt△ADE中，
AE＝ AD2＋DE2＝ 42＋82＝4 5，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE
＝5＋11＋4 5＝16＋4 5，
1
1
S△ABE＝2BE×AD＝2×11×4＝22.
3．(2022·怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点， 延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
AD＝AD，
∠ADB＝∠ADC， BD＝CD， ∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠ACB.
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积． 解：在Rt△ADB中，BD＝ AB2－AD2＝ 52－42＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴DE＝CE＋CD＝8，
∴BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11，
(1)求证：四边形AECF是菱形；
证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝DC， ∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED， ∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC， ∴AF＝FC， ∴四边形AECF是菱形．
专项训练五 三角形、四 边形中的证明与计算
类型一：三角形中的证明 与计算
1．(2022·杭州)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中 点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点， ∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B， ∵∠A＝50°， ∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°， ∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°， ∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°， ∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM.
最新数学沪科版初中八年级上册专题三角形的有关计算与证明
专题：三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE 的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可.【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA),∴CF＝BG，AF＝CG.(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点.又∵AD⊥AB，∴CH∥AD,∴G为BD中点，∠D＝∠EGC.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS),∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD=30°，,求△AOC的面积.2.如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2-GE2=EA2.4.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.(1)当BE=AE时，求证：BD=AE；(2)当BE≠AE时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明.5.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE=CF；(2)在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME.求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN.参考答案1.(1)证明：由折叠的性质可得：AE ＝AB,∠E ＝∠B ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB,∠D ＝90°.∴AE ＝CD ，∠E ＝∠D ＝90°.在△AOE 和△COD 中，,,,AOE COD E D AE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AOE ≌△COD(AAS).(2)在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OC=2OD.∵AB ＝CDOD 2+CD 2=OC 2，∴OD 2)2=4OD 2,解得OD ＝1.∴OC ＝2.由折叠知：∠BCA ＝∠ACO.∵AD ∥BC ，∴∠OAC ＝∠BCA ，∴∠OAC ＝∠ACO ，∴OA ＝OC ＝2，∴S △AOC=12·OA ·CD=12×22.图中的所有的等腰三角形有：△DCC ′，△DAC ′，△ABC ′，△BCC ′，理由如下：∵正方形ABCD，∴CD=AD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.∵边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，∴DC′=DC=AD=AB，∠DCC′=∠DC′C=12(180°-30°)=75°，即△DCC′是等腰三角形.∵∠ADC=90°，∠CDC′=30°，∴∠ADC′=60°.∵DC′=AD，∴△DAC′为等边三角形.∴AC′=AD=AB，∠DAC′=∠DC′A=60°,∴△ABC′为等腰三角形，∠BAC′=90°-60°=30°,∴∠ABC′=∠AC′B=12(180°-30°)= 75°,∴∠C′BC=90°-75°=15°，∠C′CB=90°-75°=15°,∴∠C′BC=∠C′CB,∴△BCC′是等腰三角形.3.(1)BH=AC.证明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°, ∠ABC=45°,∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC.又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA. ∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC.(2)证明：连接GC.则GC2-GE2=EC2.∵F为BC中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC,∴BG=GC.∴BG2-GE2=EC2.∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE,∴△BCE≌△BAE.∴EC=EA,∴BG2-GE2=EA2.4.(1)证明：如图1，在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°. ∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB=30°.又∵CE=DE，∴∠D=∠ECD=30°.∴∠DEB=30°，∴BE=BD，∴BD=AE.(2)BD=AE还成立.证明：如图2，过点E作EF∥AC交BC于F，易证△EFB为等边三角形，∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF.∴∠CFE=∠EBD.∵CE=DE，∴∠ECD=∠D.∴△ECF ≌△EDB ，∴CF=BD.∵AB=BC ，AB-BE=BC-BF ，即AE=CF.∴AE=BD.5.证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°.∵FC ⊥BC ，∴∠BCF=90°.∴∠ACF=90°-45°=45°，∴∠B=∠ACF.∵∠BAC=90°，FA ⊥AE ，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF.在△ABE 和△ACF 中，,,,BAE CAF AB AC B ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACF(ASA).∴BE=CF.(2)①如图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△BEH 是等腰直角三角形.∴HE=BH ，∠BEH=45°.∵AE 平分∠BAD ，AD ⊥BC ，∴DE=HE ，∴DE=BH=HE.∵BM=2DE ，∴HE=HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME ⊥BC.②由题意，得∠CAE=45°+12×45°=67.5°， ∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE.在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，,,CM CM AC CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △ECM(HL)，∴∠ACM=∠ECM=12×45°=22.5°.又∵∠DAE=12×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM.∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，∴AD=CD=12BC.在△ADE 和△CDN 中，,,,DAE ECM AD CD ADE CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CDN(ASA)，∴DE=DN.。
中考数学专题训练1：相似三角形的证明与计算
【基本结论】1.比例.2.三角形相似的判定：(1)(2)对应成比例，且夹角相等，(3)3.的平方。
【基础练习】1.相似三角形.2. 如图，BD、CE是△△AED∽△ACB.3. 如图，等边△ABC中，P上一点，且∠APD=600,BP长.4.E是AC边上一∠ADE＝∠C．求证：AE•AC．ABC的边BC上的高，，求证：△ABE∽△ADC．都是等边三角形，AD、F、G，AD、BE交于(2)AF·FC=BF·FH．E是AC上的点，延F．若AE∶EC=1∶2，的值．E，过E作EF∥AB，11CD EF=.10. 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连结FG ，如果α＝45°，AB＝AF ＝3，求FG 的长．11. 如图，已知AB 是O ⊙的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的切线AP 于点P ，连结AC ． (1)求证：ABC POA △∽△； (2)若2OB =，72OP =，求BC 的长．12. 如图，⊙O 中，弦AB CD 、相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至点F ， 使DF AD =，连接BC 、BF ．(1)求证：CBE AFB △∽△；(2)当58BE FB =时，求CBAD的值13．在△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．O 为BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D 、点E ，连结DE ．过点E 作半圆O 的切线，当切线与AC 边相交时，设交点为F ．求证：△F AE 是等腰三角形．14. 已知，延长BC 到D ，使．取的中点，连结交于点． (1)求的值；(2)若，求的长．15.如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E ． (1)求证：△ABF ∽△COE ；(2)当O 为AC 边中点，2AC AB = 时，如图2，求OFOE ; (3) 当O 为AC 边中点，ACn AB= 时，请直接写出OFOE的值．ABC △CD BC =AB F FD AC E AEACAB a FB EC ==，AC BBAACE D DEC O F 图1图2F16. 如图，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为(－1，0)，过点C的直线y＝34tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．(1)填空：点C的坐标是_____，b＝_____，c＝_____；(2)求线段QH的长(用含t的式子表示)；(3)依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有17. 已知，如图1，过点E(0，-1)作平行于x轴的直线l，抛物线214y x=上的两点A B、的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B 分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．(1)求点A、B、F的坐标；(2)求证：CF⊥DF；(3)点P是抛物线214y x=对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18. 如图，已知二次函数的22)(mkmxy-++=图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．(1)求与轴的另一个交点D 的坐标； (2)如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．19.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠BPC = 60︒，AB 与PC 交于Q 点．(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论； (2)求证：； (3)若∠ABP = 15︒，△ABC 的面积为4，求PC 的长．20. 如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，连接AD ． (1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)若AB =2，AC =2，求AE 的长．21. 已知，如图，直线l 经过A (2，0)和B (0，4)两点，它与抛物线2ax y =在第一象限内相交于点C ，又知△AOC 的面积为2，(1)求直线AB 的函数关系式和a 的值.(2)在y 轴上有点P ，使由P 、C 、B 三点组成的三角形与△AOB 相似，求点P 的坐标. (3)在y 轴上有一点Q ，使△COQ 是以OC 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；x 1(0)A x ，2(0)B x ，y C ABC △P P ⊙y AB P ⊙ABC △5m k QBAQPB AP =3【巩固练习】1. 阴影部分是一个正方形，求其边长.2、ABCD 是边长为4的正方形，DEFG 是矩形，A 在EF 上，DG=5，求DE 的长.3、已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，求证：22ACBC=AD DB .4.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：(1)AE=CG ；(2)AN ·DN=CN ·MN ．5. 如图,已知DE ∥BC,CD 和BE 相交于O,若S △DOE ︰S △COB=9︰16,求AD ︰DB.6、如图，S ADE ∆=0.5S ABC ∆,且∠1=∠B,求DE ︰BC.7.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．(1)求证：∠ADE ＝∠ABD ；(2)设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长．8. Rt △ABC 中，有3个内接正方形，DF=9，GK=6，求PQ.9. 如图，DF ∥EG ∥BC ，AD ＝DE ＝EB ，且把△ABC 分成三部分，求这三部分的面积之比S1∶S2∶S3．A NM GFEDCBA∙ABCD EO。
专题 三角形的有关计算与证明
专题三角形的有关计算与证明三角形是几何学中的基本图形之一，它的计算与证明在数学中具有重要的地位。
本文将探讨三角形的有关计算与证明，包括角度、边长、面积等方面的内容。
在文章中，我们将使用数学符号和图表来清晰地表达计算过程和证明推理。
1. 三角形的角度计算三角形的内角和总是等于180度。
因此，已知两个角的情况下，可以通过减法得到第三个角的大小。
例如，若已知一个三角形有两个角分别为60度和80度，那么第三角的角度就是180度减去已知两个角的和，即40度。
2. 三角形的边长计算三角形的边长可以通过三角函数（例如正弦、余弦、正切等）来计算。
根据不同的已知条件，我们可以使用正弦定理、余弦定理和正切定理进行计算。
- 正弦定理：在一个三角形中，三个角的正弦比例与对应的边长的比例相等。
即 a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的三个角度。
通过已知两个角度和一个边长，可以通过正弦定理计算出三角形的其它边长。
- 余弦定理：在一个三角形中，两边的平方和减去它们的二倍乘积的余弦等于第三边的平方。
即 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA，可用于已知两边和夹角，计算第三边的长度。
- 正切定理：在一个直角三角形中，两个非直角角度的正切值相等。
若已知一个角和一个边长，可以通过正切定理求出其它边的长度。
3. 三角形的面积计算三角形的面积可以通过不同的方法求解，其中最常用的是利用三角形的底边和高。
假设三角形的底边长度为b，高为h，则三角形的面积S等于底边乘以高的一半，即S = (1/2)bh。
另外，如果已知三角形的三个边长a、b、c，则可以使用海伦公式来计算面积。
海伦公式定义为S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为半周长，即p = (a+b+c)/2。
该公式适用于任意三角形，不仅仅局限于直角三角形。
4. 三角形的证明在数学中，三角形的证明是非常重要的。