真空中静电场场强的计算
大学物理第13章_真空中的静电场(场强)
dl
则
q dq dl 2R
1 dq 0 dE r 2 40 r
O
x
dE
dE
dE x x
由对称性有
R
E dE x dE cosi 1 q cos l dl i 2 40 2R r
r
P
cos x r r x R
实验规律 场的 性质 场与物质的相 互作用
静电场：相对于观察者静
止的电荷所产生的电场
§1-1电荷.库仑定律
一.两种电荷 1.自然界只存在两种 电荷，同种电荷相排 斥，异种电荷相吸引
2.美国物理学家富兰克林首先称其为正 电荷和负电荷
3.带电的物体叫带电体 4.质子和电子是自然界存在的最小正、负电 荷，其数值相等，常用+e和-e表示
1986年 e 的推荐值为
e 1.60217733 10
C(库仑)为电量的单位
19
C
二.电荷量子化 1.实验表明:任何带电体或其它微观粒 子所带的电量都是 e 的整数倍
----物体所带电荷量量值不连续
2.电荷量子化：电荷量不连续的性质
三.电荷守恒定律 常见的两种起电方式： 摩擦起电 摩擦起电的本质：电子从一个 物体转移到另一个物体
定义：电场强度
F E q0
单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m) 三.场强叠加原理 设空间有点电荷q1、q2 、q3 … qn
P点处的试探电荷 q0 所受电场力为
n F F1 F2 Fn Fi
i 1
F F1 F2 Fn P点的场强为 E q0 q0 q0 q0
《真空中的静电场》选择题解答与分析
12 真空中的静电场 12.1电荷、场强公式1. 如图所示，在直角三角形ABC 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，则C 点的场强的大小为(A) 4.5104(N C -1). (B) 3.25104(N C -1). 答案：(B)参考解答：根据点电荷的场强大小的公式，点电荷q 1在C 点产生的场强大小为)C (N 108.1)(4142011-⋅⨯==AC q E πε，方向向下．点电荷q 2在C 点产生的场强大小为)C (N 107.2)(4142022-⋅⨯==AC q E πε，方向向右．C 处的总场强大小为：),C (N 1025.3142221-⋅⨯=+=E E E总场强与分场强E 2的夹角为.69.33arctan 021==E E θ对于错误选择，给出下面的分析：答案(A)不对。
你将)C (N 105.410)7.28.1(14421-⋅⨯=⨯+=+=E E E 作为解答。
错误是没有考虑场强的叠加，是矢量的叠加，应该用),C (N 1025.3142221-⋅⨯=+=E E E进入下一题：2. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为2041r qE πε=式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的Ｅ就有确定值．进入下一题： 12.2高斯定理1. 根据高斯定理的数学表达式⎰∑⋅=Sq S E 0/d ε可知下述各种说法中，正确的是： (A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零．(B) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零．(C) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷．答案：(B) 参考解答：高斯定理的表达式：∑⎰==⋅ni i q s E 101d ε .它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合面所包围的电荷电量代数和的0/1ε倍。
电磁场与电磁波--真空中恒定场的基本规律
=rr
rr
R12 = rr rr
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
r
rr
蜒 蜒 r
F12
C2
0
C1 4π
I2dl2
(I1dl1 R132
R12 )
C2
r C1 dF12
r
rr
r dF12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 ) R132
对比
r rr dFm Idl B
电流元
r Idl
Er(rr
r ) dl
0
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。
2.2 真空中静电场的基本规律
3. 利用高斯定理计算电场强度 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。
具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：
• 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
位于xy 平面上，则所求场点为P (0, 0, z ) , 如图 所示。采用圆柱坐标系，
圆环上的电流元为
位置矢量为 rr erz
r Idl
er
Iad
z ，故得
'
,
其位置矢量为 rr er a，而场点 P 的
rr
rr
r ez
z
r e a,
rr rr (z2 a2)1/2
z
r Idl
(rr
rr)
1 b2 )1/2
z0
0
z0
且
2.2 真空中静电场的基本规律
r E(0,0, z)
r ez
S0z 2 0
1 z
(z2
1 b2 )1/2
z0
电场强度的几种计算方法
电场强度的几种求法一． 公式法1．qFE =是电场强度的定义式：适用于任何电场，电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷无关，试探电荷q 充当“测量工具”的作用 2．2rk QE =是真空中点电荷电场强度的决定式，E 由场源电荷Q 和某点到场源电荷的距离r 决定。
3．dUE =是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，注意式中的d 为两点间的距离在场强方向的投影。
二．对称叠加法当空间的电场由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，其合成遵守矢量合成的平行四边形定则。
例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电。
例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d ，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，如图中a 点处的场强为零，求图中b 点处的场强多大？例：一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L 垂直AB 把半球壳一分为二，L 与AB 相交于M 点，对称轴AB 上的N 点和M 点关于O 点对称。
已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为rqk=ϕ。
假设左侧部分在M 点的电场强度为E 1，电势为1ϕ；右侧部分在M 点的电场强度为E 2，电势为2ϕ；整个半球壳在M 点的电场强度为E 3，在N 点的电场强度为E 4，下列说法中正确的是（ ） A ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＞E 2，1ϕ＞2ϕ B ．若左右两部分的表面积相等，有E 1＜E 2，1ϕ＜2ϕC ．只有左右两部分的表面积相等，才有E 1＞E 2，E 3=E 4D ．不论左右两部分的表面积是否相等，总有E 1＞E 2，E 3=E 4 答案：D例：ab 是长为L 的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示．ab 上电荷产生的静电场在P1处的场强大小为E 1，在P2处的场强大小为E2。
真空中静电场(高斯定理)
QR
电场方向、大小
Q P
o
r
E
S
dS
• 选取合适的高斯面(闭合面)
E dS EdS E dS E4 r 2
S
S
S
• 再根据高斯定理解方程
qi内
E4r 2 i 0
E 1
4 0
qi
i
r2
E 1
4 0
qi
ir2ຫໍສະໝຸດ ds E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出 E
ds r
l
Eds
E 2rl l 0
E 1 2 0 r
例三. 无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
讨论
Q P
Ro r
E
S
dS
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
1
4 0
Q r2
如何理解面内场强为0 ?
dE1 dE2
P
真空中静电场的场强
遇到积分要注意:什么是变量,什么不是变量！
现在y，r 是变量，x 不是变量，将 r =（x2+y2）1/2 代入，并利用对称性
E 2
0
L/ 2
xd y
4 π0 x y x y 2 π 0 x2 x2 y2
2
2
3/ 2
L/ 2 0
1/ 2
2 π0
方向:
L/ 2
2 2
L x x 4
1/ 2
q L 4 π0 x 1 4x2
2 2 1/ 2
当 q > 0时,为 +x方向
当 q < 0时,为 -x 方向
讨论:
E
q L 4 π0 x 1 4x2
2 2 1/ 2
通常令 （有理化）
1 12 2 2 o 8.85 10 C /N m 4k
0 —真空介电常量
有理化后的 库仑定律：
q1q2 ˆ F e 2 r 4 0 r
两个静止电荷之间的作用力符合牛顿第三定律
▲
库仑定律适用的条件： • 真空中点电荷间的相互作用； • 施力电荷对观测者静止（受力电荷可运动）。
N dN E lim S 0 S d S
S
几种电荷的 E 线分布：
带正电的
电偶极子
点电荷
均匀带电 的直线段
形象地给出各点场强的方向，各处场强的强弱。
二、电场强度通量
定义: 通过任一给定面积的电力线条数称 为通过该面积的电通量，用e 表示。 在均匀电场中，通过面积S⊥的 E 电通量为：
在电场线与曲面相切, =900 ……电通量为零。
题解1-真空中的静电场(已修改)
3 2 3 大小： 区：E i i i 2 0 2 0 2 0 2 0 2 区：E i i i 大小： 2 0 2 0 2 0 2 0 2、 E dS Q E 0 S a 0
大小： 2 0
i (i )
杆 0
EP dE
2
i
P
以无穷远处电势为零， P点电势为：
Ld x
U P dU
杆
L
0
(q / L)dx (q / L) L d ln 4 0 ( L d x) 4 0 d 1
2、一电荷面密度为σ 的“无限大”平面，在距离平面 a米远处一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径 为R的圆面积范围内的电荷产生的。试求该圆半径的大 小。 解：圆盘在其轴线上P点场强：
根据电势叠加原理，P点处的电势也与电荷在环L上的 分布状况无关，为： dq
UP
4 0 r Nq 4 0 r
L
dq
4 r
0
1
L
R dq
L
r
P
dE
Z
9、C 空间各点处的总场强为：（方法与选择题第5小题 的方法相同）
0 (r R1 ) 2 E Eer er Q1 /(4 0 r ) ( R1 r R2 ) e (Q Q ) /(4 r 2 ) (r R2 ) 2 0 r 1
'
R
dl
R
Rd
d
y
dE
θ位置处的一窄条在轴线上的一点产生的场强为：
' ' dE i sin j cos 2 0 R 2 0 R d d i sin j cos 2 2 2 0 R 2 0 R
第11章静电场
第11章静电场一、库仑定律真空中和两个点电荷之间相互作用力的规律式中比例常数牛顿·米 / 库仑库仑 / 牛顿·米二、电场强度1、定义：电场中某点的电场强度的量值等于单位正电荷所受的力，电场强度的方向就是正电荷受力的方向，定义式为：式中为试验电荷，电场强度是空间坐标的单值函数。
2、场强迭加原理，电场中任一点的总场强等于各带电体在该点产生场强的矢量和：点电荷系：连续带电体：对于线电荷分布相应；面电荷分布相应体电荷分布相应三、真空中的高斯定理：在真空中的任何静电场中，通过任何闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷数和的分之一。
1、式中的是闭合曲面内的电荷，而计算电通量中的场强是闭合曲面内和外的电荷所产生的合场强。
2、高斯定理是一个普遍规律，适用于真空中任何静电场，但要用高斯定理来计算场强，那么电荷分布必须要具有特定的对称性。
3、高斯定理说明了电力线起始于正电荷，终止于负电荷，即静电场是有源场。
四、电势与电势差1、静电场环流定律这说明静电场是保守场，试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷的大小以及路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
2、电势能:电场力所作的功等于电势能的减少定义在无限远处的电势能为零时，真空中某点的电势能3、电势：电场中某点的电势等于单位正电荷放在该点处时的电势能，也就等于单位正电荷任意路径移到无限远处电场力所作的功，即4、电势差5、电势迭加原理：点电荷系电场中某点的电势等于每个点电荷单独在该点产生电势的代数和连续分布电荷系的电场中某点的电势6、场强与电势的梯度关系：某方向上的场强：如在直角坐标系中，在、、三个方向上的分量为：，，原则上讲来，电势是标量，场强是矢量，一般先计算电势再利用求偏导数的方法来求场强各个方向的分量，比直接矢量计算场强来得简便，但应注意到计算的电势必须是电势随空间坐标的函数关系，而不是特定点的电势，对特定点（如：球心、圆心等）的场强，用场强与电势的梯度关系来计算并不方便。
大学物理第9章《真空中的静电场》习题解答
dE = k
dq λ ds λ = = dϕ 2 2 r 4πε 0 R 4πε 0 R
R1
R2
∞
=
B 点的电势为
ρ ( R22 − R12 ) ． 2ε 0
∞
∞
U B = ∫ E ⋅ d l = ∫ Ed r
rB rB
R2
=
rB
∫
3 ρ ( R2 − R13 ) ρ R13 dr (r − 2 )dr + ∫ 3ε 0 r 2 3ε 0 r R2
∞
ρ R13 2 2 = (3 R2 − rB − 2 ) ． 6ε 0 rB
4 3 V = π ( R2 − R13 ) 3
包含的电量为 q = ρV 根据高斯定理得可得球壳外的场强为
E=
A 点的电势为
3 q ρ ( R2 − R13 ) ，(R2≦r) = 4πε 0 r 2 3ε 0 r 2
∞
∞
U A = ∫ E ⋅ dl = ∫ Edr
rA rA
3 ρ ( R2 − R13 ) ρ R13 dr = ∫ 0dr + ∫ ( r − 2 )dr + ∫ 3ε 0 r 2 3ε 0 r R2 rA R1
b/2
∫
−σ = ln(b / 2 + a − x ) 2πε 0 =
b/2
−b / 2
σ b ln(1 + ) 2πε 0 a
高中物理静电场知识点总结
高中物理静电场知识点总结高中物理静电场知识点总结在我们的学习时代，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
相信很多人都在为知识点发愁，以下是店铺为大家收集的高中物理静电场知识点总结，欢迎大家分享。
1电场基本规律1、库仑定律（1）定律内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
（2）表达式：k=9.0×109N·m2/C2——静电力常量（3）适用条件：真空中静止的点电荷。
2、电荷守恒定律电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变。
（1）三种带电方式：摩擦起电，感应起电，接触起电。
（2）元电荷：最小的带电单元，任何带电体的带电量都是元电荷的整数倍，e=1.6×10-19C——密立根测得e的值。
2电场能的性质1、电场能的基本性质：电荷在电场中移动，电场力要对电荷做功。
2、电势φ（1）定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与电荷量的比值。
（2）定义式：φ——单位：伏（V）——带正负号计算（3）特点：1、电势具有相对性，相对参考点而言。
但电势之差与参考点的选择无关。
2、电势一个标量，但是它有正负，正负只表示该点电势比参考点电势高，还是低。
3、电势的大小由电场本身决定，与Ep和q无关。
4、电势在数值上等于单位正电荷由该点移动到零势点时电场力所做的功。
（4）电势高低的'判断方法1、根据电场线判断：沿着电场线电势降低。
φA>φB2、根据电势能判断：正电荷：电势能大，电势高；电势能小，电势低。
负电荷：电势能大，电势低；电势能小，电势高。
结论：只在电场力作用下，静止的电荷从电势能高的地方向电势能低的地方运动。
3电势能Ep（1）定义：电荷在电场中，由于电场和电荷间的相互作用，由位置决定的能量。
电场强度的几种计算方法
电场强度的几种求法．公式法1．E F q是电场强度的定义式：适用于任何电场，电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷无关，试探电荷q 充当“测量工具”的作用。
2． E k r Q2 是真空中点电荷电场强度的决定r式，E 由场源电荷Q 和某点到场源电荷的距离r 决定。
3．E U d是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场，注意式中的d 为两点间的距离在场强方向的投影。
二．对称叠加法当空间的电场由几个点电荷共同激发的时候，空间某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，其合成遵守矢量合成的平行四边形定则。
例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电。
例：如图，带电量为+q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心，如图中a 点处的场强为零，求图中b 点处的场强多大b a + ddd 例：一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L垂直AB 把半球壳一分为二，L与AB 相交于M 点，对称轴AB上的N 点和M 点关于O点对称。
已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为k q r。
假设左侧部分在M 点的电场强度为E1，电势为 1 ；右侧部分在M 点的电场强度为E2，电势为 2 ；整个半球壳在M 点的电场强度为E3，在N 点的电场强度为E4，下列说法中正确的是（）A．若左右两部分的表面积相等，有E1> E2，1 > 2B．若左右两部分的表面积相等，有E1<E2， 1 < 2C．只有左右两部分的表面积相等，才有E1>E2，E3=E4D．不论左右两部分的表面积是否相等，总有E1> E2，E3=E4答案：D例：ab 是长为L 的均匀带电细杆，P1、P2 是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示．ab 上电荷产生的静电场在P1 处的场强大小为E1，在P2 处的场强大小为E2。
真空中静电场场强的计算
q 4 0 r
q
图4
即：U ( z )
4 0 ( z 2 R 2 )
1
2
所以 P 点电场强度：
U qz E U k k z 4 0 ( R 2 z 2 ) 3 2
1．4、补缺法 有些带电体具有一定的规则缺陷， 求解该类带电体的场强分布， 行之有效的方法是补缺 法， 该方法的基本思想是： 先将原带电体的规则缺陷补全， 使之成为一个完整的规则带电体， 再在原带电体的规则缺陷处叠加一个与原带电体缺陷形状相同但带异号电荷的规则带电体， 也就是说， 将原带电体视为由两个带异号电荷的规则带电体叠加而成， 原带电体激发的电场 与两个规则带电体分别激发的电场叠加等同。 而对两个规则带电体， 其激发电场的场强分布 已知或易于求解，这样可简化原场强的求解。 例 1．4、在半径为 R1，电荷体密度为 的均匀带电球体内，挖 去一个半径为 R2 的球体空腔， 空腔中心 O2 与带电球体中心 O1 间的距 离为 b， 且 R1>b>R2， 如图 5 所示。 求空腔内任一点 p 的电场强度 E 。 解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求 解。 但半径为 R1 的球和半径为 R2 的空腔是球对称的， 利用这一特点， 把带电体看成半径为 R1 的均匀带电+ 的球体与半径为 R2 的均匀带 电- 的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度分别为 和 的两个球体，这时 空腔内任一点 p 的场强： 图5
������������������ cos ������ 4������������������ 2 ������������������ sin ������ 4������������������ 2
D������������ = ������������ sin ������ =
第五部分真空中的静电场,电势
第五部分 真空中的静电场，电势，静电平衡班级 ____________ 班内学号 ___________ 姓名 ____________知识点：1. 场强(1) 电场强度的定义0F E q = (2) 场强叠加原理 i i E E =∑(矢量叠加)(3) 点电荷的场强公式0204q E r r πε= (4) 用叠加法求电荷系的电场强度 0204dq E r rπε=⎰2. 高斯定理真空中 01sE dS qε⋅=∑⎰ 内电介质中 sD dS q ⋅=∑⎰ 内，自由 0r DE E εεε==3. 电势(1) 电势的定义 ppV E dl =⋅⎰零势点对有限大小的带电体,取无穷远处为零势点,则 p pV E dl ∞=⋅⎰(2 电势差 bab aV V E dl -=⋅⎰(3) 电势叠加原理 i iV V =∑ (标量叠加)(4) 点电荷的电势 04q Vrπε=(取无穷远处为零势点)电荷连续分布的带电体的电势 04dq V rπε=⎰(取无穷远处为零势点)4. 电荷q 在外电场中的电势能 aa w aV =5. 移动电荷时电场力的功()ab a b A q V V =-6. 场强与电势的关系 E V =-∇7..导体的静电平衡条件(1)0E 内＝ (2) E表面垂直导体表面8. 静电平衡导体上的电荷分布导体内部处处静电荷为零.电荷只能分布在导体的表面上. 0E σε表面＝重点：1. 掌握电场强度和电势的概念以及相应的叠加原理。
掌握电与势电场强的积分关系，了解场强与电势的微分关系。
能用微积分计算一些简单问题中的场强和电势。
2. 确切理解高斯定理，掌握用高斯定理求场强的方法。
3. 理解导体的静电平衡条件。
掌握有导体存在时的电场和导体上电荷分布的计算。
难点：1． 用微积分计算电荷连续分布的带电体的场强和电势。
2．场强与电势的微分关系。
3．有导体存在时的电场和导体上电荷分布的计算。
解题要点：A 电场部分：(根据静止的场源电荷分布求静电场分布)1） 叠加法：基于点电荷的场强分布利用叠加原理求解。
第1章 真空中的静电场2 电场,电场强度,场强叠加原理
3．电荷连续分布时的电场强度 E 一个带电体，从微观结构上看，电荷集中在一个个 带电的微观粒子（比如电子、原子核等）上边。但从宏观 上看，人们往往把电荷看成是连续分布的。根据不同的情 况，有时把电荷看成在一定体积内连续分布（体分布）； 有时把电荷看成在一定曲面上连续分布（面分布）；有时 把电荷看成在一定曲线上连续分布（线分布）等等。这样 从数学上说，求和变成了积分运算。
1 4πε 0
(
ql
2 2
r +l
) 4
3
2
方向沿 - x方向。
讨论
A. 电偶极子-----一对等量异号的点电荷组成的带电体 系，它们之间的 距离 l远比场点到它们的距离 r小得多时， 这样的带电体系叫做电偶极子。在这种情况下，可作近 似：r >> l ，于是有： i
l⎞ ⎛ l⎞ ⎛ ⎜r + ⎟ − ⎜r − ⎟ 1 1 2lr 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ = = − 2 2 2 2 l⎞ ⎛ l⎞ l⎞ l⎞ ⎛ 2 l2 ⎛ ⎛ ⎛ ⎜r − ⎜r − ⎟ ⎜r + ⎟ ⎜r − ⎟ ⎜r + ⎟ ⎜ 2⎠ 2⎠ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 4 ⎝
ii
(
l
2 2
r +l
4
)
3
2
l ≈ 3 r
1 P ql = E≈ 3 所以在中垂面上E的大小为： 4πε 0 r 4πε 0 r 3 1
B. 由上述结果可以看出，电偶极子的场强与距离r 的三次方成正比，它比点电荷的场强随距离r递减的速度 快得多。 1 （ 点电荷： E ∝ r 2 ） C. 实际中电偶极子的例子很多，比如下一章我们 将看到，在外电场的作用下，电介质（即绝缘体）的原子 或分子里正、负电荷产生微小的相对位移，形成电偶极子 。在无线电发射天线中，经常要用到振荡偶极子（在第十 章中会介绍）。
大学物理 第十二章 真空中静电场习题解答
第十二章 真空中静电场习题解答（参考）12．6 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零．[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强． 在圆弧上取一弧元 d s =R d φ， 所带的电量为 d q = λd s ， 在圆心处产生的场强的大小为 2200d d d d 44q s E kr R Rλλϕπεπε===， 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ． 总场强为2/20/2cos d 4x E Rπθθλϕϕπε--=⎰2/20/2sin 4Rπθθλϕπε--=0sin 22R λθπε=，方向沿着x 轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强． 根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为`04E Rλπε=，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为``02coscos 222x E E R θλθπε==，方向沿着x 轴负向．当O 点合场强为零时，必有`x x E E =，可得 tan θ/2 = 1，因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．12．8 （1）点电荷q 位于一个边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？ [解答]点电荷产生的电通量为图12.6RΦe = q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe /6 = q /6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe /24 = q /24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R 1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ，穿过高斯面的电通量为d d 2e SSE S E rl Φπ=⋅==⎰⎰E S Ñ，根据高斯定理Φe = q /ε0，所以02E rλπε=， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R 2）．12.11 13．9 一厚度为d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`． 在板内取一底面积为S ，高为2r 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为d e SΦ=⋅⎰E S2d d d S S S =⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰E S E S E S 1`02ES E S ES =++=，高斯面内的体积为 V = 2rS ，包含的电量为 q =ρV = 2ρrS ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r ≦d /2)．①（2）穿过平板作一底面积为S ，高为2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES ，高斯面在板内的体积为V = Sd ， 包含的电量为 q =ρV = ρSd ，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρd /2ε0，(r ≧d /2)． ②方法二：场强叠加法．（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r 为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层d y ，面电荷密度为d σ = ρd y ，产生的场强为 d E 1 = d σ/2ε0，积分得100/2d ()222rd y dE r ρρεε-==+⎰，③ 同理，上面板产生的场强为/2200d ()222d ry dE r ρρεε==-⎰，④ r 处的总场强为E = E 1-E 2 = ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r = d /2，得E 2 = 0、E = E 1 = ρd /2ε0，E 就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．12．17 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r <R ）处的电势为2230(3)8Q R r U Rπε-=． [证明] 球的体积为343V R π=， 电荷的体密度为 334Q QV R ρπ==． 利用高斯定理的方法可求球内外的电场强度大小为30034QE r r Rρεπε==，（r ≦R ）； 204Q E rπε=，（r ≧R ）．取无穷远处的电势为零，则r 处的电势为d d d RrrRU E r E r ∞∞=⋅=+⎰⎰⎰E l3200d d 44RrRQ Q r r r R rπεπε∞=+⎰⎰230084R rRQQ r R rπεπε∞-=+22300()84Q Q R r RRπεπε=-+2230(3)8Q R r R πε-=．12．21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：（1）A ，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A 点的电势就等于球心O 点的电势．在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为 d V = 4πr 2d r ， 包含的电量为d q = ρd V = 4πρr 2d r ， 在球心处产生的电势为00d d d 4O qU r r r ρπεε==，球心处的总电势为2122210d ()2R O R U r r R R ρρεε==-⎰， 这就是A 点的电势U A ．过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得22120()2B U R r ρε=-． 球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为3314()3B V r R π=-，包含的电量为 Q = ρV ，这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为332100()43B BBQ U r R r r ρπεε==-． B 点的电势为U B = U 1 + U 2322120(32)6B BR R r r ρε=--．图12.21（2）A 点的场强为0AA AU E r ∂=-=∂． B 点的场强为3120()3B B B B BU R E r r r ρε∂=-=-∂。
电场强度计算的六种方法
电场强度计算的六种方法方法1利用合成法求电场强度空间中的电场通常会是多个场源产生的电场的叠加，电场强度可以应用平行四边形定则进行矢量计算，这是高考常考的考点。
虽然电场强度的定义式为E＝Fq，但公式E＝kQr2反映了某点场强与场源电荷的特性及该点到场源电荷的距离的关系，体现了电场的来源与本质，高考常围绕此公式出题。
【典例1】如图所示，M、N为真空中两根完全相同的均匀带正电绝缘棒，所带电荷量相同，且平行正对放置，两棒中点分别为O1、O2，a、b、c、d、e为O1O2连线上的六等分点，a点处有一带正电的固定点电荷．已知c处和d处的场强大小均为E0，方向相反，则b处的场强大小为()A. E0B.C.D.【跟踪短训】1．如图在半径为R的圆周上均匀分布着六个不同的点电荷，则圆心O处的场强大小和方向为A. ；由O指向FB. ；由O指向FC. ；由O指向CD. ；由O指向C2.在真空中有两个点电荷Q1＝＋3.0×10－8 C和Q2＝－3.0×10－8 C，它们相距0.1 m，A点与两个点电荷的距离均为0.1 m。
试求A点的场强。
方法2利用补偿法求电场强度【典例1】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。
已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为()A.kq2R2－E B.kq4R2C.kq4R2－E D.kq4R2＋E【跟踪短训】1．均匀带电的球体在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
如图所示，在半球体上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球半径为R，MN为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有A、B 两点，A、B关于O点对称，AB=4R。
已知A点的场强大小为E，则B点的场强大小为A. B.C. D.2．已知均匀带电圆盘在圆外平面内产生的电场与一个位于圆心的、等电量的同种点电荷产生的电场相同。
真空中静电场的场强公式
真空中静电场的场强公式
真空中静电场的场强公式是指计算单位放电(也叫电荷)在真空中
所产生的电场强度——静电场强度，它是一个由向量表示的量，因而
其定义也是一个向量，即：E=ρ*Q/ε0 。
这里ρ表示电荷密度，即每单位体积内所包含的电荷数，Q表示
电荷量，ε0表示真空介电常数，该系数决定了空气电容器的最大容量。
根据这个公式可以知道，电场强度的大小取决于电荷的多少和介电常
数的大小，即电场强度和电荷密度成正比，且电场强度和介电常数成
反比。
真空中静电场的场强公式可以用来计算不同物体三维空间内的电
场线和电场强度差，也可以用来计算真空中不同电位下的电势能量差。
此外，真空中静电场的场强公式还可以用来估算各种电磁设备的参数，例如电感、电容、变压器等。
总而言之，真空中静电场的场强公式在电磁学研究中起着重要的
作用，它可以帮助理解空气中的电场现象，并将其准确的理论表示出来。
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真空中静电场场强的计算
张贵银
任何带电体都要在空间激发电场，静止带电体激发的电场称为静电场，静电场的空间分布通过物理量电场强度来描述，静电场的有源无旋性通过与电场强度相关联的高斯定理和场强环路定理来体现。
所以电场强度是静电学部分最重要、最基本的一个概念，对于给定的任一带电体，了解和掌握其电场强度的计算方法具有重要的实际意义。
场强的计算是静电学的重点和难点，本文对电场强度的计算方法进行了归纳、总结。
一、迭加法
电场强度的基本特性之一就是可迭加性，该特性提供了计算任意带电体场强的基本方法——迭加法，该方法的基本思想是：以熟知的点电荷场强公式r r q E
3
04πε=
为基础，当
带电体系由若干个分离的点电荷组成时，直接应用点电荷场强公式，进行矢量迭加，即得空间场强的分布；当带电体电荷连续分布时，将带电体视为由无数个电荷元组成，电荷元激发的场强由点电荷场强公式描述，无数个电荷元场强的迭加，即整个带电体激发的电场强度。
例1、一带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为φλλsin 0=，式中0λ为一常数，φ为半径R 与X 轴所成的夹角，如图1所示。
试求环心O 处的电场强度。
解：在Φ 处取电荷元，如图2，
其电量为 φφλλd R dl dq sin 0==
它在O 点产生的场强为
R d R
dq dE 002
04sin 4πεφφλπε==
在x 、y 轴上的二个分量 φφ
sin cos dE dE dE dE y x -=-=
对各分量分别求和 ⎰=-
=πφφφπελ000
0cos sin 4d R
E x R
d R E y 0002008sin 4ελφφπελπ-=-=⎰
j j i E R
E E y x 00
8ελ-
=+=∴ 迭加法求场强的一般步骤是：首先在带电体上选取适当的电荷元，写出电荷元在场点激发的电场强度，若各电荷元在场点激发的电场强度方向相同，将电荷元在场点激发的场强直接积分即得带电体在场点激发的电场强度；反之，需将电荷元在场点激发的场强沿选取的
正交方向进行分解，对场强分量积分得总场强的分量，进而获得待求点的电场强度。
原则上，利用迭加法，可计算任何带电体激发的电场分布，主要困难是积分的运算。
二、高斯定理法
场源电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性，当电荷分布具有特殊对称性时利用高斯定理可方便地求出场强。
例2、 均匀带电球面内外的场强分布。
设球面半径为 R ，所带总电量为 Q 。
解：由题意知，电荷分布具有球对称性，所以场强的分布亦具有球对称性，场强的方向沿着径向，且在以球心为圆心的各球面上的场强处处相等。
可选同心球面为高斯面。
如图3所示，当R r > 时，高斯面内电荷为Q ，通过高斯面的电通量
E r S d E S d E s
s
e 24πΦ==⋅=⎰⎰⎰⎰
根据高斯定理：02
/4επΦQ E r e ==
当R r <时，高斯面内电荷为0
亦具有球对称性。
可选取同心球面形状高斯面求场强分布。
利用高斯定理求场强的一般步骤是：首先根据电荷分布的对称性分析场强分布的对称性，然后根据场强对称性分布的特征选取适当的高斯面，最后利用高斯定理求出电场强度。
利用高斯定理求场强分布，
通常电荷分布呈现的对称性包括：球对称性（均匀带电球体、均匀带电球壳等）、柱对称性（无限长均匀带电圆柱体、无限长均匀带电圆柱面等）、面对称性（无限大均匀带电平面）。
三、场势关系法
电势是标量，迭加法计算电场中电势的分布比计算场强的分布简便的多。
对给定的电荷分布，若电势分布比较易于计算或电势分布已知时，可先计算电势的空间分布，然后利用
U E -∇=
求出场强分布。
例3、计算均匀带电圆环轴线上任一点P 的电势。
已知圆环带电量为 q ，半径为R
解：在带电圆环上取电荷元dq ，如图4所示，
电荷元在P 点激发电势：
整个带电圆环在P 点激发电势：
所以P 点电场强度：
k z R qz k z U U E 2
3220)
(4+=∂∂-=-∇=πε R
r r r
Q E >=∴ˆ42
0πε R r E
<=∴0
r dq dU 04πε=
2
1220)
(4)(R z q
z U +=
πε即：⎰
=L
r
dq U 04πεr
q 04πε=
图4
四、补缺法
有些带电体具有一定的规则缺陷，求解该类带电体的场强分布，行之有效的方法是补缺法，该方法的基本思想是：先将原带电体的规则缺陷补全，使之成为一个完整的规则带电体，再在原带电体的规则缺陷处叠加一个与原带电体缺陷形状相同但带异号电荷的规则带电体，也就是说，将原带电体视为由两个带异号电荷的规则带电体叠加而成，原带电体激发的电场与两个规则带电体分别激发的电场叠加等同。
而对两个规则带电体，其激发电场的场强分布已知或易于求解，这样可简化原场强的求解。
例4、在半径为R 1，电荷体密度为ρ的均匀带电球体内，挖去一个半径为R 2的球体空腔，空腔中心O 2与带电球体中心O 1间的距离为b ，且R 1>b >R 2，如图5所示。
求空腔内任一点p 的电场强度E 。
解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求解。
但半径为R 1的球和半径为R 2的空腔是球对称的，利用这一特点，把带电体看成半径为R 1 的均匀带电+ρ的球体与半径为R 2的均匀带电-ρ的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度分别为ρ+和ρ-的两个球体，这时空腔内任一点p 的场强：
21E E E +=
其中21.E E 分别是带电ρ+的大球和带电ρ-的小球在P 点的场强, 21.E E 都可用高斯定理求得：
)(311101r r E ==
p o ερ
)(32220
2r r E =-=p o ερ
)
(3)(321021021b o o ==-=
+=∴b r r E E E ερερ
由结果可知，空腔内的场是均匀场，方向由1o 指向2o （完）
2
R 图5。