真空中静电场场强的计算

真空中静电场场强的计算

张贵银

任何带电体都要在空间激发电场，静止带电体激发的电场称为静电场，静电场的空间分布通过物理量电场强度来描述，静电场的有源无旋性通过与电场强度相关联的高斯定理和场强环路定理来体现。所以电场强度是静电学部分最重要、最基本的一个概念，对于给定的任一带电体，了解和掌握其电场强度的计算方法具有重要的实际意义。场强的计算是静电学的重点和难点，本文对电场强度的计算方法进行了归纳、总结。 一、迭加法

电场强度的基本特性之一就是可迭加性，该特性提供了计算任意带电体场强的基本方法——迭加法，该方法的基本思想是：以熟知的点电荷场强公式r r q E

3

04πε=

为基础，当

带电体系由若干个分离的点电荷组成时，直接应用点电荷场强公式，进行矢量迭加，即得空间场强的分布；当带电体电荷连续分布时，将带电体视为由无数个电荷元组成，电荷元激发的场强由点电荷场强公式描述，无数个电荷元场强的迭加，即整个带电体激发的电场强度。

例1、一带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为φλλsin 0=，式中0λ为一常数，φ为半径R 与X 轴所成的夹角，如图1所示。 试求环心O 处的电场强度。

解：在Φ 处取电荷元，如图2，

其电量为 φφλλd R dl dq sin 0==

它在O 点产生的场强为

R d R

dq dE 002

04sin 4πεφφλπε==

在x 、y 轴上的二个分量 φφ

sin cos dE dE dE dE y x -=-=

对各分量分别求和 ⎰=-

=πφφφπελ000

0cos sin 4d R

E x R

d R E y 0002008sin 4ελφφπελπ-=-=⎰

j j i E R

E E y x 00

8ελ-

=+=∴ 迭加法求场强的一般步骤是：首先在带电体上选取适当的电荷元，写出电荷元在场点激发的电场强度，若各电荷元在场点激发的电场强度方向相同，将电荷元在场点激发的场强直接积分即得带电体在场点激发的电场强度；反之，需将电荷元在场点激发的场强沿选取的

正交方向进行分解，对场强分量积分得总场强的分量，进而获得待求点的电场强度。原则上，利用迭加法，可计算任何带电体激发的电场分布，主要困难是积分的运算。 二、高斯定理法

场源电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性，当电荷分布具有特殊对称性时利用高斯定理可方便地求出场强。

例2、 均匀带电球面内外的场强分布。设球面半径为 R ，所带总电量为 Q 。

解：由题意知，电荷分布具有球对称性，所以场强的分布亦具有球对称性，场强的方向沿着径向，且在以球心为圆心的各球面上的场强处处相等。可选同心球面为高斯面。

如图3所示，当R r > 时，高斯面内电荷为Q ，通过高斯面的电通量

E r S d E S d E s

s

e 24πΦ==⋅=⎰⎰⎰⎰

根据高斯定理：02

/4επΦQ E r e ==

当R r <时，高斯面内电荷为0

亦具有球对称性。可选取同心球面形状高斯面求场强分布。利用高斯定理求场强的一般步骤是：首先根据电荷分布的对称性分析场强分布的对称性，然后根据场强对称性分布的特征选取适当的高斯面，最后利用高斯定理求出电场强度。利用高斯定理求场强分布，

通常电荷分布呈现的对称性包括：球对称性（均匀带电球体、均匀带电球壳等）、柱对称性（无限长均匀带电圆柱体、无限长均匀带电圆柱面等）、面对称性（无限大均匀带电平面）。

三、场势关系法

电势是标量，迭加法计算电场中电势的分布比计算场强的分布简便的多。对给定的电荷分布，若电势分布比较易于计算或电势分布已知时，可先计算电势的空间分布，然后利用

U E -∇=

求出场强分布。

例3、计算均匀带电圆环轴线上任一点P 的电势。

已知圆环带电量为 q ，半径为R

解：在带电圆环上取电荷元dq ，如图4所示，

电荷元在P 点激发电势：

整个带电圆环在P 点激发电势：

所以P 点电场强度：

k z R qz k z U U E 2

3220)

(4+=∂∂-=-∇=πε R

r r r

Q E >=∴ˆ42

0πε R r E

<=∴0

r dq dU 04πε=

2

1220)

(4)(R z q

z U +=

πε即：⎰

=L

r

dq U 04πεr

q 04πε=

图4

四、补缺法

有些带电体具有一定的规则缺陷，求解该类带电体的场强分布，行之有效的方法是补缺法，该方法的基本思想是：先将原带电体的规则缺陷补全，使之成为一个完整的规则带电体，再在原带电体的规则缺陷处叠加一个与原带电体缺陷形状相同但带异号电荷的规则带电体，也就是说，将原带电体视为由两个带异号电荷的规则带电体叠加而成，原带电体激发的电场与两个规则带电体分别激发的电场叠加等同。而对两个规则带电体，其激发电场的场强分布已知或易于求解，这样可简化原场强的求解。

例4、在半径为R 1，电荷体密度为ρ的均匀带电球体内，挖去一个半径为R 2的球体空腔，空腔中心O 2与带电球体中心O 1间的距离为b ，且R 1>b >R 2，如图5所示。求空腔内任一点p 的电场强度E 。 解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求解。但半径为R 1的球和半径为R 2的空腔是球对称的，利用这一特点，把带电体看成半径为R 1 的均匀带电+ρ的球体与半径为R 2的均匀带电-ρ的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度分别为ρ+和ρ-的两个球体，这时空腔内任一点p 的场强：

21E E E +=

其中21.E E 分别是带电ρ+的大球和带电ρ-的小球在P 点的场强, 21.E E 都可用高斯定理求得：

)(311101r r E ==

p o ερ

)(32220

2r r E =-=p o ερ

)

(3)(321021021b o o ==-=

+=∴b r r E E E ερερ

由结果可知，空腔内的场是均匀场，方向由1o 指向2o （完）

2

R 图5