真空中静电场场强的计算
真空的静电场
U p E dl
p
w p qU p
适用范围：无 穷远处电势为 零；已知电场 强度。 p
电势能
2. 电势计算
点电荷的电势
Up
Q 4 0 r
Q
点电荷系的电势
Up
i
Qi 4 0 ri
场源电荷有限分布
dq
适用范围：无穷远处电势为零；
R
2
例9 均匀带电无限大平面的电场. 解： 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。
E
E
σ
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
sE dS 两底 E dS 2 ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
s s
特例：点电荷穿过球面的电通量
d e E ds E cosds Eds
而 ds d 2 r
E dS r
(立体角)
r q
de Er 2 d
q 4 0 r 2 q 4 0 r 2 d
d
可 以 证 明 ： 对 任 意 高 斯 面 — 闭 合 曲 面
V V V
① 写出元电荷dq在点 p 产生的场强dE。 ② 在特定坐标系下写出dE的分量式。 ③ 对分量式分别进行积分。
真空中静电场的场强
1. 若场点在靠近直线的中部, 物理上可以将直线看成 “无限长” 这时x <<L,
E
2 π0 x
2.若 x >>L时,即场点在远离直线 的地方,物理上可以认为该直线 是一个点电荷 q
E
4 π0 x
2
例 3. 求一个半径为 R 的均匀带电 q（设 q >0） 的细园环轴线上任一点的场强。
【解】根据对称性 的分析
dq
E d E dq = cos 2 4 π 0r
q
R
r
x
0
P
dE ∥
dE
x
d E⊥
q cos 4 π 0r 2
qx 4 π0 R x
2
2
3/ 2
方向: + x
例 4. 求半径为 R,均匀带电圆面的轴线上任一点的 场强。设面电荷密度为（设 >0） 【解】 dq = 2 r dr
ˆ n
e = E S
通过任一平面S的电 通量为：
S
S
e = EScos En S
E在n方向的分量
在非均匀电场中，通过任一面积S的 电通量为：
dΦe Ends E cos ds
e d e E cos dS
en
总结 真空中的静电场
Ey
dE
dE
y
利用高斯定理求场强
常见均匀带电体的对称性：
球对称
球体 球面
轴对称 无限长柱体
无限长柱面
面对称
无限大的平板 无限大的平面
(点电荷)
无限长线
使高斯面上的 E 为一常数，且 E 与 d S 夹角 为一常数（为0、 2 、或 ）这样 E 才能 由积分号中提出，将积分运算化为代数运算。
+
+
+
er
① 由 dE
q
1 4π 0 dq er 2 r
r
P
dE
②由
E
dE
4 π
1
0
dq er 2 r
3.高斯定理
ຫໍສະໝຸດ Baidu 1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
注意：
q1
q2
E
dS
1）高斯面上的E为所有内、
外电荷产生的总电场强度。
梯度算符： i j k x y z
E V
EZ V z
Ex
V x
EY
V y
电场中任一点的场强等于该点电势梯度的负值；强度在某 一方向的分量值，等于电势沿此方向变化率的负值。
真空中静电场(高斯定理)
2.电场通量 1) 定义
静电场为有源场 通过任一面的电力线条数
2) 场强 与 电场通量
(1) dS 场强
d
E dS
d Eds
(2) dS 与 场强 有夹角
匀强电场
E ds
E
dS dS
通过dS和dS面的电力线条数相同
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
四、 电场线 电场强度通量
1.电场线 —— 电力线 为了形象描述场强分布而人为引入的一族有向曲线
1.规定
电场线
场强
场强方向 —— 过该点电场线的切线方向；
场强大小 —— 数值上等于过该点垂直于场强 方向的单位面积的电场线数目。 电力线演示
2) 静电场电场线的性质
1) 电力线起始于正电荷、终止于负电荷， 在没有电荷的地方不会中断；
讨论
Q P
Ro r
E
S
静电场计算题
静电场计算题
1.如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷
为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的
电场强度．
解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：
()204d d x d L q E -+π=ε()
2
04d x d L L x
q -+π=ε 2分
总场强为 ⎰+π=L
x d L x L q E 0
2
0)(d 4－ε()d L d q
+π=04ε
3分 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．
2.一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，所示．试求圆心O 处的电场强度．
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π
它在O 处产生场强 θεεd 24d d 2
0220R Q
R q E π=π= 2分
按θ角变化，将d E 分解成二个分量：
θθεθd sin 2sin d d 2
02
R
Q E E x π=
= θθεθd cos 2cos d d 2
02
R
Q
E E y π-
=-= 3分
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-π=⎰⎰π
ππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R Q
E x ＝0 2分 2022/2/0202d cos d cos 2R Q
R Q E y εθθθθεπ
πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰ 2分 所以
真空中静电场1(电场强度)
dE y
y P
dE x
a
1
0
r x
dx
2
x
dEy dEsin
20
4. 选择适当的积分变量 r、 、x三变量选 一个积分变量 选 作为积分变量， 因此
2 a r2 sin2
dE
dE y
y P
dE x
a
1
0
r x
dx
2
x
d x a tg ( ) actg dx a 2 sin 2 dEx cos d 40a dEy sin d 40a
21
sin 2 sin1 E x dEx cosd 4 a 4 0a 0 2 (cos1 cos 2 ) E y dEy sind 40a L 4 a 1
2
1
0
讨论： •当直线长度L→∞，或a→0,则 1→0， 2→ Ex 0 E y j 2 0a E j 2 0 r •当异号时，E方向相反
四、场强叠加原理
• 电力的叠加原理 某个点电荷受力：
F Fj
•场强的叠加原理 n F Fi n E Ei q0 i 1 q0 i 1 +
q2
q1 +
《真空中静电场》选择题解答与分析
《真空中静电场》选择题解答与分析
12 真空中的静电场 12.1电荷、场强公式
1. 如图所⽰，在直⾓三⾓形ABC 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，则C 点的场强的⼤⼩为
(A) 4.5?104(N ?C -1). (B) 3.25?104(N ?C -1). 答案：(B)
参考解答：
根据点电荷的场强⼤⼩的公式，
点电荷q 1在C 点产⽣的场强⼤⼩为
)C (N 108.1)(41
42
011-??==
AC q E πε，⽅向向下．
点电荷q 2在C 点产⽣的场强⼤⼩为
)C (N 107.2)
(4142
022-??==
AC q E πε，⽅向向右．
C 处的总场强⼤⼩为：),C (N 1025.3142
221-??=+=E E E
总场强与分场强E 2的夹⾓为.69.33arctan 02
1
==E E θ
对于错误选择，给出下⾯的分析：
答案(A)不对。
你将)C (N 105.410)7.28.1(14421-??=?+=+=E E E 作为解答。错误是没有考虑场强的叠加，是⽮量的叠加，应该⽤
),C (N 1025.3142
221-??=+=E E E
进⼊下⼀题：
2. 真空中点电荷q 的静电场场强⼤⼩为
2
041r
q
E πε= 式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这⼀推论显然是没有物理意义的，应如何解释？
参考解答：
点电荷的场强公式仅适⽤于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适⽤．
真空中静电场的场强
基本实验规律。宏观、微观均适用
原子核尺度——地球物理尺度 天体物理、空间物理
1013 cm ~ 109 cm
精度：与-2次方相差 Coulomb时代
1971年
102
1016
2020/5/14
10
理论地位和现代含义
库仑定律是静电学的基础，说明了
带电体的相互作用问题
原子结构，分子结构，固体、液体的结构 化学作用的微观本质 都与电磁力有关，其中主要部分是库仑力
2020/5/14
2
wenku.baidu.com
§1－1 电荷 库仑定律
一、对电荷的基本认识
1. 两种电荷：
实验----用毛皮或丝绸
正电荷——与丝绢摩擦玻摩璃擦棒过产的生橡的胶棒电或荷玻相同的电荷。 负电荷——与毛皮摩擦橡璃（胶棒羽棒可毛产吸，生引头的轻发小）电物—荷体—相同的电荷。 2. 导体：可传导电荷的物体物（体金带属电，电解液）
2020/5/14
5
库仑是扭称专家,通 过精心设计“扭称 实验” 验证了他的大胆设 想：静电力的规律 与万有引力定律有 相似的形式。—— 库化定律
2020/5/14
6
点电荷模型：如果带电体的几何线度与它到其 它带电体的距离相比小得多，则它可抽象为一 个几何点，称为点电荷。
真空中的库仑定律：
真空中，两个静止的点电荷之间相互作用力 的大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之 间距离的平方成反比。静电作用力大小相等而方 向相反，并且沿着它们的联线；同号电荷相斥， 异号电荷相吸。
真空中静电场场强的计算
q 4 0 r
q
图4
即：U ( z )
4 0 ( z 2 R 2 )
1
2
所以 P 点电场强度：
U qz E U k k z 4 0 ( R 2 z 2 ) 3 2
1．4、补缺法 有些带电体具有一定的规则缺陷， 求解该类带电体的场强分布， 行之有效的方法是补缺 法， 该方法的基本思想是： 先将原带电体的规则缺陷补全， 使之成为一个完整的规则带电体， 再在原带电体的规则缺陷处叠加一个与原带电体缺陷形状相同但带异号电荷的规则带电体， 也就是说， 将原带电体视为由两个带异号电荷的规则带电体叠加而成， 原带电体激发的电场 与两个规则带电体分别激发的电场叠加等同。 而对两个规则带电体， 其激发电场的场强分布 已知或易于求解，这样可简化原场强的求解。 例 1．4、在半径为 R1，电荷体密度为 的均匀带电球体内，挖 去一个半径为 R2 的球体空腔， 空腔中心 O2 与带电球体中心 O1 间的距 离为 b， 且 R1>b>R2， 如图 5 所示。 求空腔内任一点 p 的电场强度 E 。 解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求 解。 但半径为 R1 的球和半径为 R2 的空腔是球对称的， 利用这一特点， 把带电体看成半径为 R1 的均匀带电+ 的球体与半径为 R2 的均匀带 电- 的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度分别为 和 的两个球体，这时 空腔内任一点 p 的场强： 图5
电场强度两公式
电场强度两公式
电场强度有以下两个公式：
（1）E=F/Q；（2）E=kQ/r2。
应用以上公式计算电场强度时，一定要明确各公式的适用范围和应用条件。
（1）式是电场强度的定义式，它适用于任何静电场，且E与F、Q无关，只取决于电场的本身；（2）式是点电荷的场强公式，它只适用于真空中点电荷Q形成的电场。
在已知电场强度的前提下还可以运用公式（1）求电场力，此时公式（1）变形为F=EQ。
用表格表示为：
例1关于电场强度的两个公式：（1）E=F/Q；（2）E=kQ/r2;下列说法中正确的是（）A．公式（1）和（2）只能在真空中适用
B．公式（2）只能在真空中适用，（1）在真空中和介质中都适用
C．公式（1）和（2）在任何介质中都适用
D．公式（1）只在真空中适用，公式（2）在任何介质中都适用，公式（1）适用于任何静电场，（2）只适用于点电荷的电场。
解析（1）式是定义式，它适用于任何静电场，任何介质中；（2）式只适用于真空中的点电荷的场强计算；综上所述，只有B选项正确。
例2如图1所示，正点电荷Q放在坐标原点，则当另一负点
电荷-2Q放在何处时，才能使P点（1，0）的场强为零（）
A.位于轴x上，x＞1
B.位于x轴上，x＜0
C.位于轴x上，0＜x＜1
D.位于y轴上，y＜0 图1
真空中静电场的场强公式
真空中静电场的场强公式
真空中静电场的场强公式是指计算单位放电(也叫电荷)在真空中
所产生的电场强度——静电场强度，它是一个由向量表示的量，因而
其定义也是一个向量，即：E=ρ*Q/ε0 。
这里ρ表示电荷密度，即每单位体积内所包含的电荷数，Q表示
电荷量，ε0表示真空介电常数，该系数决定了空气电容器的最大容量。根据这个公式可以知道，电场强度的大小取决于电荷的多少和介电常
数的大小，即电场强度和电荷密度成正比，且电场强度和介电常数成
反比。
真空中静电场的场强公式可以用来计算不同物体三维空间内的电
场线和电场强度差，也可以用来计算真空中不同电位下的电势能量差。此外，真空中静电场的场强公式还可以用来估算各种电磁设备的参数，例如电感、电容、变压器等。
总而言之，真空中静电场的场强公式在电磁学研究中起着重要的
作用，它可以帮助理解空气中的电场现象，并将其准确的理论表示出来。
1静电场的场强
q
0
由此可知：点电荷电场对球面的 与 r 无关，
即各球面的 连续 点电荷的E 线连续。
39
2. 求点电荷场中任意曲面的电通量：
S
q•
S0 S
q•
q
Φe
0
，q在 S内 ；
0 ， q 在 S 外 。
40
3.求点电荷系的电场中任意闭合曲面的电通量：
E Ei E j
•
E
i
j
（S内） （S外）
电磁学
(Electromagnetism)
▲ 电磁学研究的是电磁现象 的基本概念和基本规律： • 电荷、电流产生电场和 磁场的规律；
• 电场和磁场的相互联系； • 电磁场对电荷、电流的作用； • 电磁场对物质的各种效应。
1
▲ 处理电磁学问题的基本观点和方法
• 观点：电磁作用是“场”的作用（近距作用） • 对象：弥散于空间的电磁场，着眼于场的分布
q
dq
4 or 2
cos
qx
4π o（ x 2 R 2）3/2
d
E
dq
4 or
2
sin
。
q
当x>>R时 E ≈
4
π
ε x182 0
[例3] 一均匀带电平板，半径为R,面密度σ(设σ
>0),求圆面轴线上一点的场强。
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真空中静电场场强的计算
张贵银
任何带电体都要在空间激发电场，静止带电体激发的电场称为静电场，静电场的空间分布通过物理量电场强度来描述，静电场的有源无旋性通过与电场强度相关联的高斯定理和场强环路定理来体现。所以电场强度是静电学部分最重要、最基本的一个概念，对于给定的任一带电体，了解和掌握其电场强度的计算方法具有重要的实际意义。场强的计算是静电学的重点和难点，本文对电场强度的计算方法进行了归纳、总结。 一、迭加法
电场强度的基本特性之一就是可迭加性，该特性提供了计算任意带电体场强的基本方法——迭加法，该方法的基本思想是：以熟知的点电荷场强公式r r q E
3
04πε=
为基础，当
带电体系由若干个分离的点电荷组成时，直接应用点电荷场强公式，进行矢量迭加，即得空间场强的分布；当带电体电荷连续分布时，将带电体视为由无数个电荷元组成，电荷元激发的场强由点电荷场强公式描述，无数个电荷元场强的迭加，即整个带电体激发的电场强度。
例1、一带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为φλλsin 0=，式中0λ为一常数，φ为半径R 与X 轴所成的夹角，如图1所示。 试求环心O 处的电场强度。
解：在Φ 处取电荷元，如图2，
其电量为 φφλλd R dl dq sin 0==
它在O 点产生的场强为
R d R
dq dE 002
04sin 4πεφφλπε==
在x 、y 轴上的二个分量 φφ
sin cos dE dE dE dE y x -=-=
对各分量分别求和 ⎰=-
=πφφφπελ000
0cos sin 4d R
E x R
d R E y 0002008sin 4ελφφπελπ-=-=⎰
j j i E R
E E y x 00
8ελ-
=+=∴ 迭加法求场强的一般步骤是：首先在带电体上选取适当的电荷元，写出电荷元在场点激发的电场强度，若各电荷元在场点激发的电场强度方向相同，将电荷元在场点激发的场强直接积分即得带电体在场点激发的电场强度；反之，需将电荷元在场点激发的场强沿选取的
正交方向进行分解，对场强分量积分得总场强的分量，进而获得待求点的电场强度。原则上，利用迭加法，可计算任何带电体激发的电场分布，主要困难是积分的运算。 二、高斯定理法
场源电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性，当电荷分布具有特殊对称性时利用高斯定理可方便地求出场强。
例2、 均匀带电球面内外的场强分布。设球面半径为 R ，所带总电量为 Q 。
解：由题意知，电荷分布具有球对称性，所以场强的分布亦具有球对称性，场强的方向沿着径向，且在以球心为圆心的各球面上的场强处处相等。可选同心球面为高斯面。
如图3所示，当R r > 时，高斯面内电荷为Q ，通过高斯面的电通量
E r S d E S d E s
s
e 24πΦ==⋅=⎰⎰⎰⎰
根据高斯定理：02
/4επΦQ E r e ==
当R r <时，高斯面内电荷为0
亦具有球对称性。可选取同心球面形状高斯面求场强分布。利用高斯定理求场强的一般步骤是：首先根据电荷分布的对称性分析场强分布的对称性，然后根据场强对称性分布的特征选取适当的高斯面，最后利用高斯定理求出电场强度。利用高斯定理求场强分布，
通常电荷分布呈现的对称性包括：球对称性（均匀带电球体、均匀带电球壳等）、柱对称性（无限长均匀带电圆柱体、无限长均匀带电圆柱面等）、面对称性（无限大均匀带电平面）。
三、场势关系法
电势是标量，迭加法计算电场中电势的分布比计算场强的分布简便的多。对给定的电荷分布，若电势分布比较易于计算或电势分布已知时，可先计算电势的空间分布，然后利用
U E -∇=
求出场强分布。
例3、计算均匀带电圆环轴线上任一点P 的电势。
已知圆环带电量为 q ，半径为R
解：在带电圆环上取电荷元dq ，如图4所示，
电荷元在P 点激发电势：
整个带电圆环在P 点激发电势：
所以P 点电场强度：
k z R qz k z U U E 2
3220)
(4+=∂∂-=-∇=πε R
r r r
Q E >=∴ˆ42
0πε R r E
<=∴0
r dq dU 04πε=
2
1220)
(4)(R z q
z U +=
πε即：⎰
=L
r
dq U 04πεr
q 04πε=
图4
四、补缺法
有些带电体具有一定的规则缺陷，求解该类带电体的场强分布，行之有效的方法是补缺法，该方法的基本思想是：先将原带电体的规则缺陷补全，使之成为一个完整的规则带电体，再在原带电体的规则缺陷处叠加一个与原带电体缺陷形状相同但带异号电荷的规则带电体，也就是说，将原带电体视为由两个带异号电荷的规则带电体叠加而成，原带电体激发的电场与两个规则带电体分别激发的电场叠加等同。而对两个规则带电体，其激发电场的场强分布已知或易于求解，这样可简化原场强的求解。
例4、在半径为R 1，电荷体密度为ρ的均匀带电球体内，挖去一个半径为R 2的球体空腔，空腔中心O 2与带电球体中心O 1间的距离为b ，且R 1>b >R 2，如图5所示。求空腔内任一点p 的电场强度E 。 解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求解。但半径为R 1的球和半径为R 2的空腔是球对称的，利用这一特点，把带电体看成半径为R 1 的均匀带电+ρ的球体与半径为R 2的均匀带电-ρ的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度分别为ρ+和ρ-的两个球体，这时空腔内任一点p 的场强：
21E E E +=
其中21.E E 分别是带电ρ+的大球和带电ρ-的小球在P 点的场强, 21.E E 都可用高斯定理求得：
)(311101r r E ==
p o ερ
)(32220
2r r E =-=p o ερ
)
(3)(321021021b o o ==-=
+=∴b r r E E E ερερ
由结果可知，空腔内的场是均匀场，方向由1o 指向2o （完）
2
R 图5