8.2椭圆的简单几何性质(三)
椭圆的简单几何性质(说课稿)
课堂设计理念： 授人于鱼不如授人于渔。 通过创设符合学生认知规律的问题情景， 挖掘学生
内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充 分展示思维差异， 培养学生的自主探究能力， 逻辑推理能力， 提高学生的思维层 次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。 教学目标：
一点，因此椭圆曲线关于 y 轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心。 设计意图：
（1） 抓住椭圆标准方程的特点不放松， 引导学生探究如何利用方程研究椭 圆的对称性；
（2） 在学生的表述过程中重视学生的思维方式， 培养学生正确处理问题的 思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) 有什么特点？
（1）椭圆方程是关于 x, y 的二元二次方程；
（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数 1； （3）方程中 x 2和 y 2 的系数不相等；
设计意图： 类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特 点，体现了新旧知识的联系与区别， 符合学生的认知规律， 同时为利用方程研究 椭圆曲线的几何性质做好了准备 . 【问题 1】自主探究： 结合椭圆标准方程的特点， 利用方程研究椭圆曲线的范围； 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维： 学生活动过程：
附录：板书设计 8.2 椭圆的简单几何性质
2
2
椭圆的标准方程：
x a2
y b2
1(a
b
0)
1、范围：椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里。
椭圆的简单几何性质(3)
10
例：已知椭圆
与两焦点的连线互相垂直，P点的坐标为＿＿＿。
x2 y 2 1, P为椭圆在第一象限内的点，它 45 20
解法二
解：a 3 5 , b 2 5 , c 5.设P( x, y )(x 0, y 0), 2 由 PF1 PF2 2a 6 5得 （ , PF1 PF2 ） 180 ， 即 PF1 PF2 2 PF1 PF2 180 — —（ 1 ） 又PF1 PF2， PF1 PF2 F1 F2 100 — —（2） （ 1 ） （ - 2）得2 PF1 PF2 80， PF1 PF2 40 1 1 又S PF1F2 PF1 PF2 F1 F2 y得y 4, 代入方程得 2 2 x 3, P(3,4)
2.2.2椭圆的简 单几何性质（3）
高二数学 选修2-1
第二章
圆锥曲线与方程
1
复习练习：
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
形，则其离心率为
1 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
2
已知BC F1 F2 , F1 B 2.8cm, F1 F2 4.5cm, 求截口BAC所在椭圆的方 习
说明：
(第二定义 )
F1
O
F2
X
PF1 c a2 a x0 x2 y2 c 2 1 2 c a 2 F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， （a>b>0）左焦点为 a b PF1 ( x0 ) a ex0 a c其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. 则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex 0。
椭圆的简单几何性质(第3课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的几何性质（第三课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)
深圳中学罗承成
一、教学目标
1.学会椭圆与直线交点个数，交点坐标的解法
2.体会数形结合思想
二、教学重难点
1.椭圆与直线交点的代数含义
2.方程组的求解
三、教学过程
1.椭圆与直线关系的求解
1.1提出问题
平面上，一个椭圆与一条直线可以有哪些关系？
【预设的答案】相交、相切、相离
并给出图形
问题2：若已知椭圆和直线的方程，如何判断是哪种情况？
【活动预设】相切、相交、相离的本质是什么？
【答案预设】交点的个数分别为1，2，0
【设计意图】将题目转化为求交点个数的问题
【活动预设】交点的本质是什么？
【答案预设】交点是同时满足两个曲线方程的点
【设计意图】将交点个数问题转化为方程组解的个数的问题(几何代数)
1.2：如何求解方程组的解和解的个数
【活动预设】如何求方程组的解
【预设答案】将直线方程代入曲线方程
【活动预设】代入后会变成什么方程？
【预设答案】一元二次方程
【活动预设】如何判断解的个数
【预设答案】看Δ＞0，＜0或者＝0
2.实战解题
【预设的答案】
【预设答案】
【设计意图】
（1）意识到不一定要求出解
（2）不同的参数导致不同的结果，动态地看问题3.进一步的思考
这种方法能否用于判断其它曲线的关系？
【设计意图】
（1）了解方法的普适性
（2）拓展数形结合的思想
4.小结
(1)学会了椭圆与直线关系
(2)领会了数形结合的思想：用代数解决几何问题
四、课外作业。
椭圆的简单几何性质(三)
(1)d<r直线与圆相交有两个公共点；
(2)d=r 直线与圆相切有且只有一个公共点；
(3)d>r 直线与圆相离无公共点．
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
• 试试看： 尝试探究
直线L：y=2x+1与椭圆 x2 y 2 1 42
43
有公共点，求实数m的取值范围。
2、直线l：y=x+4与椭圆
x2 y2 1 4b
相y=kx+1与椭圆 恒有两个交点,求b的范围?
x2 y2 1 4b
小结
直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0
由方程组：
x2 a2
y2 b2
1
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
的位置关系如何？
同伴合作：分别从几何与代数角度去探究
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组： x2 y2 1
a2 b2
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
1直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
=0
方程组有一解
椭圆的简单几何性质(第三课时)
范例分析
例题1. 已知直线 y=x-1/2与椭圆 判断它们的位置关系.
x2+4y2=2，
训练题
练习1.无论k为何值,直线y=kx+2和 2 2 x y 1 交点情况满足( D ) 椭圆 9 4 A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.恒有公共点
范例分析 例题2. 过椭圆x2+2y2=2的右焦点F2作斜率为 1直线与椭圆交于A,B， F1是左焦点 .
2. 作业本P19 1--11.
第2题（3）；第5题（2）（3）；第6题 注意分类讨论！
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
d-r法？
椭圆没有半径啦！
△法？
△=0 关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1) △>0 直线与椭圆相交有两个公共点； (2) △=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3) △<0 直线与椭圆相离无公共点． 3. 弦长公式：
课后作业
1. 复习本节课内容，理清脉络；
(1)求线段AB的长.
(2)求△F1AB的面积.
y
(3)点P是椭圆上的动点，
求它到直线y=x+3的
F1
A
F2
x
最小值.
B
范例分析
例题3. 直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6.
(1)它们有2个公共点k的取值范围是?
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
课 题：8.2椭圆的简单几何性质(三)
课 题：8．2椭圆的简单几何性质（三）教学目的：1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题； 3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念 教学重点：焦半径公式的的推导及应用教学难点：焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点. 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c =⇒e =0<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4.椭圆的第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 5．椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 二、讲解新课：椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M 与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率推导方法一： 202021)(y c x MF ++=，202022)(y c x MF +-=022214cx MF MF =-∴，a MF MF 221=+ 又⎪⎩⎪⎨⎧=+=-∴2221021a MF MF x a c MF MF ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=∴002001ex a x a ca MF ex a x a c a MF即（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）2ex a r -=推导方法二：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x c a e MF e r +=+==，00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF（ 其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 三、讲解范例例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，设地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．解：建立如图所示直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，则 c a -＝|OA|－|O 2F |＝|2F A|＝6371＋439＝6810c a +＝|OB|＋|O 2F |＝|2F B|＝6371＋2384＝8755 解得a ＝7782.5，c ＝972.5772287556810))((22≈⨯=-+=-=c a c a c a b .卫星运行的轨道方程为1772277832222=+y x 例2 椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点P(3,y )到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得⎩⎨⎧=-=+5.335.63e a e a ，解得21,5==e a ，从而有 4,25222=-==c a b c所求椭圆方程为17542522=+y x 四、课堂练习：1．P 为椭圆192522=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P 解：由题意，得+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ⇒P 的坐标为)49,475(，)49,475(-，)49,475(--，49,475(- 2．椭圆192522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证21=+x x证明：由题意，得 ++)545(1x )545(2x +＝2)4545(⨯+⇒821=+x x 3．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为12222=+by a x ,(0>>b a )，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则由11222222OO PF PF a PF a ==-=-知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切五、小结 ：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种重要的几何图形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文档中，我们将介绍一些椭圆的简单几何性质，包括定义、方程、焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线等内容。
1. 定义椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义如下：对于给定的两个点F₁ 和F₂ 以及一条固定长度的线段 2a（长轴），满足到椭圆上任意一点的两个焦点到该点的距离之和始终等于 2a（F₁P + F₂P = 2a，其中 P 为椭圆上任意一点）。
2. 方程一般来说，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 为椭圆的中心坐标，a 和 b 分别为长轴和短轴的长度。
3. 焦点与准线椭圆的焦点是定义椭圆的两个特殊点，记作F₁ 和F₂。
它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离为 c（c² = a² - b²，对于椭圆来说，c < a）。
准线是垂直于长轴且通过中心的直线，可表示为 x = h ± a/e，其中 e 为离心率。
4. 长轴和短轴椭圆的长轴为横坐标轴的长度，并且它是离心率 e 的倒数（2a = 1/e）。
短轴则为纵坐标轴的长度，且它与长轴的关系为 b² = a² - c²。
5. 离心率离心率 e 描述了椭圆形状的独特特征。
在数值上，离心率是一个小于 1 的正实数，可以通过以下公式计算：e = c / a离心率越接近0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆形状越扁平。
6. 切线椭圆上任意一点的切线是与该点相切且仅与椭圆相交于此点的直线。
切线的斜率可通过直线与椭圆方程联立解得。
一般来说，椭圆有两条切线与其相切。
结论椭圆作为一种重要的几何图形，具有许多简单而重要的性质。
从定义到方程，再到焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线，椭圆的性质非常丰富。
通过研究这些性质，我们可以更好地理解椭圆的形状和特征，为后续的几何学习奠定基础。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质引言椭圆是几何学中常见的曲线，具有许多有趣和重要的性质。
在本文档中，我们将讨论椭圆的一些基本几何性质，包括定义、形状、焦点和直径等方面。
通过了解这些性质，我们将更好地理解椭圆的特点及其在现实世界中的应用。
定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于到一定长度（称为主轴长度）的定点（称为短轴长度）的距离。
换句话说，椭圆是一个点对的加权平均轨迹，并且总距离恒定。
形状椭圆的形状由其焦点之间的距离和主轴的长度确定。
较大的焦点之间的距离，或较短的主轴长度，将导致一个更扁平的椭圆，而较小的焦点之间的距离，或较长的主轴长度，将导致一个更靠近圆形的椭圆。
焦点和直径椭圆的定义中提到了焦点，它们在椭圆的构造中起着重要的作用。
对于任何给定的椭圆，焦点的数量是固定的，通常为两个。
这些焦点位于椭圆的主轴上，并且距离椭圆中心的距离等于椭圆的短轴长度。
椭圆的直径是经过椭圆中心的任意两点之间的线段。
一个有趣的性质是，椭圆的任何直径都会通过椭圆的两个焦点之一。
这个性质与其他几何形状，如圆或矩形不同，因此是椭圆独特的特点之一。
离心率离心率是一个用来度量椭圆形状的参数。
它定义为椭圆的焦距之间的比值与主轴的长度的比值。
离心率越接近零，椭圆的形状越接近于圆形；离心率越接近于一，椭圆的形状越扁平。
离心率是椭圆形状的一个重要特征，它对于许多应用领域具有重要意义，比如天文学中行星轨道的研究，或物理学中的电子轨道模型等。
弦在椭圆中，一条弦是连接椭圆上任意两点的线段。
一个有趣的性质是，通过椭圆上两个给定点的弦的长度之和是恒定的。
这个性质可以通过椭圆的定义和三角形的性质进行证明。
弦的垂直性质椭圆还具有一个有趣的性质，即通过椭圆上两个给定点的弦和通过这两个点的切线之间的夹角是直角。
这个性质称为弦的垂直性质，它对于椭圆的建模和分析非常有用。
总结椭圆作为几何学中的重要曲线，在许多领域都具有广泛的应用。
通过了解椭圆的基本几何性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，从而在实际问题中得到更准确和有意义的结果。
高二数学椭圆的简单几何性质3
X
b x b,Aa1 y a
关于Ｘ轴、Ｙ轴、原点对称
顶点 离心率
A1 a,0, A2(a,0), B10,b, B20,b
A10,a, A2(0,a), B1b,0, B2b,0
e c (0 e 1) a
椭圆的简单几何性质（３）－－复习旧知
椭圆的简单几何性质（３）－－新课开始
例２求适合下列条件的椭圆方程.
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2)
解:
当焦点在x轴上时,
设椭圆方程为
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0),
{ { 9
由题意可知:
a2 4
1
,
1
解得
b2
a3.所求方程为 x2 y2b2Fra bibliotek94 1.
当焦点在y轴上时,设椭圆方程为 x2 y2 1(a b 0), b2 a2
{ { 由题意可知
9
m1
,
解得
4n1
m1
.9
n1
4
故所求椭圆标准方程为 x2 y2 1. 94
椭圆的简单几何性质（３）－－新课开始
例２求适合下列条件的椭圆方程.
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2) (2)长轴长等于20,离心率等于 3 .
练习：求椭圆9x2+16y2=144的长半轴、短半轴、离心率、焦点及顶点坐标，并
画出草图。
Ｙ
解：将方程化为: x2 y2 1 16 9
Ｂ２
得出a 4,b 3, c 7, e 7 , 4
Ａ１ ＯＯ
Ａ２ Ｘ
焦点坐标F1( 7, 0), F2 ( 7, 0),
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 学会运用椭圆的性质解决实际问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及基本性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具；2. 学生准备笔记本、文具等学习用品。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习相关概念；2. 提问：圆的性质在椭圆上是否适用？引出椭圆的定义及性质。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 介绍椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 举例说明椭圆性质的应用，如：椭圆的离心率、焦距与半长轴、半短轴的关系等。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生运用椭圆性质解决问题；2. 引导学生互相讨论，共同解答；3. 教师巡回指导，解答学生疑问。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结椭圆的定义及基本性质；2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，巩固所学知识；2. 提醒学生做好作业，为下一节课做好准备。
教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义及基本性质，让学生掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等概念，并学会运用椭圆性质解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生回顾旧知识，为新知识的学习打下基础；通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、案例分析：椭圆在现实世界中的应用（15分钟）1. 教师通过展示实际案例，如行星运动、卫星轨道等，让学生了解椭圆在现实世界中的应用；2. 引导学生分析案例中椭圆的性质，如离心率、长轴、短轴等；3. 让学生探讨椭圆在这些案例中的作用和意义。
七、拓展知识：椭圆的衍生形状（15分钟）1. 介绍椭圆的衍生形状，如双曲线、抛物线等；2. 分析这些形状与椭圆的关系，让学生了解它们之间的联系和区别；3. 举例说明这些形状在实际问题中的应用。
北师大版高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质教案
圆的简单几何性质（第一课时）（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中、以及、的几何意义，、、、之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质．（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1．椭圆的标准方程是怎样的？问题2．在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．【例题分析】例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解．解：把已知方程化成标准方程是这里，，∴．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点分别是和，椭圆的四个顶点是、、、．（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下：①列表：将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标．②描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点，；（2）长轴长等于20，离心率等于．解：由椭圆的几何性质可知，、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得，．又因为长轴在轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）由已知得，∴，∴．由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．（三）随堂练习（四）总结提炼，，轴、，<, /SUB>，（五）布置作业（六）板书设计一）教学目标进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出．（二）教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．什么叫做椭圆的离心率？以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题．教师可进一步提出问题：离心率的几何意义是什么呢？让我们先来看一个问题．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（），求点的轨迹．【探索研究】椭圆的第二定义．（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演．）解：设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合由此得．将上式两边平方，并化简得设，就可化成这是椭圆的标准方程，所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．由此可知，当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．至此教师可列出下表，由学生归纳．、、、、【例题分析】例1 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程．可请一位学生演板，教师纠正，答案为，，焦点，顶点，，，准线方程．例2 已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：3，求点到两条准线的距离．可在学生练习后请一位学生回答．解答如下：由椭圆标准方程可知，，∴，．由于，．∴，．设到左准线与右准线的距离分别为与，根据椭圆的第二定义，有∴，．即到左准线的距离为，到右准线的距离为．例3 已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设在右准线上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有即．∴．显然，当、、三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．由方程组解得．即的坐标为．（四）总结提炼1．列出椭圆的几何意义．（投影展示上表）．2．通过椭圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状．两准线间的距离为是不变量．（五）布置作业（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第三课时）（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量 、 、 、熟练地求椭圆的标准方程．2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中 、 和 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．∵点在椭圆上∴即①又∵一条准线方程是∴②将①、②代入，得整理得解得或．分别代入①得或．故所求椭圆方程为或．解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定义得，即．①又由准线方程为．②将②代入①，整理得解得或．代入②及得或故所求椭圆的方程为或．例2 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点的轨迹的参数方程．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：（1）、的取值范围；（2）的取值范围．解：（1）∵，，∴，．∴，为所求范围．（2）∴．（其中为第一象限角，且）．而．∴，即这所求．例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．解：由参数方程得平方相加得为所求普通方程．∵，，∴．∴椭圆的离心率．（三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．答案：1．2．，3．（四）总结提炼1．求曲线方程的基本程序是若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参数方程求的最值较方便．（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与相应准线的距离为（）A．B．C．D．2．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（）A． B．C．D．4．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．答案：1．A 2．C 3．D 4．5．7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）内接矩形面积∴．（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第四课时）（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题．（二）教学过程【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）．2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值．【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例1 求证：椭圆上任一点与焦点所连两条线段的长分别为．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为．，则∵，∴．∴．又，∴故得证．证法二：设到左右准线的距离分别为，，由椭圆的第二定义有，又，∴．又，∴．故得证．说明：、叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵，，∴，．∴．即椭圆上焦点的距离最大值为，最小值为，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）为一个焦点的椭圆．已知它们近地点（离地面最近的点）距地面439，远地点（离地面最）距地面2384，并且、、在同一条直线上，地球半径约6371，求卫星运行的轨道方程（精确到1）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点、、在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）．因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的方程为则解得∴．因此，卫星的轨道方程是．点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．分析：要求的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆与轴的正半轴交于点，是原点．若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的取值范围．分析：依题意点的横坐标，找到与、的关系式．教师讲解为好．解：设的坐标为，由，有于是下面方程组的解为的坐标消去整理得．解得或．即为椭圆的右顶点∴即．即，而，故．（三）随堂练习1．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，求的值．答案：1．2．（四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是，则长半轴长的取值范围是___________．2．若椭圆两焦点为，，在椭圆上，且的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知是椭圆的一个焦点，是过其中心的一条弦，记，则面积的最大值是（）A．B．C．D．4．已知是椭圆上的任意一点，以过的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（）A．内切B．内含C．相交D．相离5．设是椭圆上的任一点，求点到椭圆两焦点、距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标．答案：1．2．3．D 4．A5．设则，∵∴当即或时，最大，最大值为．当即或时，最小，最小值为．6．设所求椭圆方程是依题意可得，其中如果，则当时，有最大值，即．由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，有最大值，即．由此得，，故所求椭圆方程为．由代入椭圆方程得点和到点的距离都是．注：本题也可设椭圆的参数方程是，其中，，利用三角函数求解．（六）板书设计。
椭圆的简单几何性质LW
直线与椭圆的位置关系综合应用
例 3:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
x2 y2 椭圆的标准方程为： 1；
4 16
综上所述，椭圆的标准方程是 x2 y2 1 或 x2 y2 1
41
4 16
练习：求适合下列条件 的椭圆的标准方程 （1）经过点（ - 3，0），（0，2） （2）长轴长是短轴长的 2倍，且过点（ 2，- 6）
问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆
可推广到任意二次 曲线
题型二：弦长公式 例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
8 5
注：当求过焦点的弦长时，由焦半径公式
与韦达定理结合起来求解
题型二：弦长公式
例 焦2 点: 已 ，知 过点 F2F 作1 、 倾F 斜2角分 为 别 是 4 椭 的圆 直线2 x 2 交 椭1 y 2 圆 于1 的 A、左 B、 两右 点，
通法
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线 2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没 有公共点?
练习1.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( ) A.没有公共点 B.一个公共点
x2 y2 1
94
C.两个公共点 D D.有公共点
分析：直线过定点
二、椭圆的顶点
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ 0, ±b ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ±a, 0）。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。
解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。
1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。
解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。
2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。
解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。
2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。
解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释面积公式中π的作用和意义。
3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。
举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。
解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。
4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。
举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。
第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。
解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。
5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。
举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。
椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。
2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。
（2）椭圆的短轴长度为2b。
（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。
（4）椭圆的面积S=πab。
3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。
引导学生运用椭圆的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。
三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。
2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。
3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。
五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。
(完整版)椭圆知识点总结
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆的简单几何性质
1椭圆的简单几何性质一、几何性质1.范围：椭圆的范围是b y b a x a ≤≤-≤≤-,2.对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.顶点：在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点（1）椭圆上任意一点P （x ，y ）与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，周长为2（a+c ）（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足222c b a +=4.离心率：离心率ac e =a b a b a 2221-=-=，（0＜e ＜1）⎩⎨⎧，椭圆越接近圆趋近时，趋近，椭圆越扁平趋近时，趋近001c e a c e 5.椭圆的准线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=c a y y c a x x 22准线线的方程准线线的方程轴上时，当焦点在轴上时，当焦点在二、椭圆的第二定义平面内与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 的点的轨迹是椭圆 三、椭圆的其他几何性质（1）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，焦准距cb 2=2（2）通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长=ab 2，它是过椭圆焦点的弦中最短的一条弦。
（3）椭圆上到中心距离最远或最近的点：设),(y x P 为椭圆上的任意一点，则当P 在短轴端点处时OP 最短，则当P 在长轴端点处时OP 最长 四、椭圆的焦半径及其应用（1）若椭圆方程为),(,1112222y x P by a x =+为椭圆上任一点，)0,()0,(21c F c F -是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ex a PF e ca x PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ex a PF e x ca PF若椭圆方程为),(,1112222y x P bx a y =+为椭圆上任一点，)0()0(21c F c F ，，-是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ey a PF e ca y PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ey a PF e y ca PF（2）由椭圆的焦半径公式可以推出：如果椭圆上的三点A,B,C 到同一焦点的距离成等差数列，则A,B,C 三点的横坐标（或纵坐标）也成等差数列，这样解决问题时就比较方便。
【高中数学优质课件】椭圆的简单几何性质(课时3)
复习回顾
定义
不
图形
同
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
点
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，
2 2]
B．(0，12]
C．[ 2－1,1)
D．[12，1)
解析：依题意|FA|＝|FP|. ∵|FA|＝ac2－c， |FP|≤a＋c， ∴ac2－c≤a＋c，即 a2≤ac＋2c2， ∴2e2＋e－1≥0，(2e－1)(e＋1)≥0. 又 0<e<1，∴12≤e<1.
正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（t,t)代入椭圆方程
求得
t2
a2b2 a2 b2
4a2b2 即正方形ABCD面积为 a2 b2
y
B2
AE
B
F
A1
O
A2 x
D
B1 C
变式训练3 已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为 椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求 该椭圆的离心率．
∴0<e<
2 2.
例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成 一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为 3， 求椭圆的标准方程； (2) 如图，已知椭圆 E 经过点 A(2,3)， 对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，
椭圆的简单几何性质3
a2
叫做椭圆. 叫做椭圆 其中定点F(c，0)叫做椭圆的焦点， ， 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦点 其中定点 定直线l 定直线l: x=
a2
c
叫做椭圆相对于焦点F(c，0) ， 叫做椭圆相对于焦点
常数e= 叫做椭圆的离心率 准线 常数 a 叫做椭圆的离心率. 的准线.常数 c (0<e<1)叫做椭圆的离心率
1 已知斜率为 的直线l 过椭圆 x 2 的右焦点， + y = 1的右焦点，交椭圆于 4 A、 B两点，求线段 的长 两点， AB .
2
课外作业
x2 y2 = 1 一直线过点M(1，1)，与椭圆 + 一直线过点 ， ， 4 3 相交于A、 的中点为M， 相交于 、B两点，若AB的中点为 ，求该 的中点为 直线方程. 直线方程
补充例题分析: 补充例题分析 取何值直线l ＝ ＋ 与椭圆 例1. 当m取何值直线 : y＝x＋m与椭圆 取何值直线 相切、 9x2＋16y2＝144相切、相交、相离 相切 相交、相离.
变式. 已知椭圆5x 变式 已知椭圆 2+9y2=45，椭圆的右焦点为 ， ，椭圆的右焦点为F， 求过点F且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长. 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 (1) 求过点 且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长 (2) 判断点 判断点A(1，1)与椭圆的位置关系，并求以 与椭圆的位置关系， ， 与椭圆的位置关系 并求以A 为中点的椭圆的弦所在直线的方程. 为中点的椭圆的弦所在直线的方程
相离(没有交点 相离 没有交点) 没有交点 相切(一个交点 一个交点) 相切 一个交点 相交(二个交点 二个交点) 相交 二个交点
+
a b mx2+nx+p=0（m≠ 0） （ ） = n2-4mp >0 方程组有两解 =0 方程组有一解 <0 方程组无解
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学习目标
1.椭圆的参数方程
2.椭圆内的最值问题
阅读要求及检测
（一）阅读教材P112--P113
(二)解答下列问题
22221(0)_____________.x
y a b a b +=>>椭圆的参数方程为
典型例题
221.(1),41,34.
(2),34x y x y x y x y y x y +=+=+例已知满足求的最大值和最小值已知满足求的最大值和最小值
22
12.(,0)1.22x A y +=例求定点到椭圆上的点之间的最短距离
例3.A 在椭圆
2214x y +=上运动，B 在圆()22123x y +-=上运动，求A B 的最大和最
小值．
1.F 是椭圆()222210x
y a b a b +=>>一个焦点，M N 是过其中心的一条弦，则F M N ∆面
积的最大值为（ ）
A ．a b
B ．
2ab C ．ac D ．bc 2.已知22
194x y +=，则2x y -的最大值是___________．
3.(),M x y 在右半椭圆()22210x y x +=≥上，则
1y x +的最小值为________．
224.1:32160,47.x y l x y +=--=
求椭圆
上到直
线距离最短
的点的坐标并求最短距离
点评及总结
知识要点
1.椭圆的参数方程
2.椭圆的最值
能力要点
转化为三角函数或某个变量的函数关系式求最值(注意定义域)或借助数形结合求解.
作业
3,,(0,)22,.x e P P =设椭圆的中心在坐标原点长轴在轴上离心率已知点到这个椭圆上的点的最远距离是求这个椭圆的方程并求椭圆上到点的距离等点的坐标。