广义非保守系统的新型最小作用量原理

第5卷第1期2007年3月1672 6553/2007/05 /008 5动力学与控制学报J OURNA L O F DYNAM ICS AND CONTROLV o.l 5N o .1M a r .20072006 06 30收到第1稿,2006 09 17收到修改稿.*国家自然科学基金资功项目(10272034).广义非保守系统的新型最小作用量原理*赵淑红1,2梁立孚1 乔永芬2(1.哈尔滨工程大学建筑工程学院,哈尔滨 150001)(2.东北农业大学工程学院,哈尔滨 150030)摘要 分别建立了广义非保守系统的H a m ilton-T abarrok-L eech 正则方程和R a itzin-T abarrok-L eech 正则方程.给出了广义非保守系统的三种新型最小作用量原理:L agrange -T aba rrok-L eech 最小作用量原理,R a itzi n-T aba rrok-Leech 最小作用量原理和Lagrange-R aitzi n-T aba rrok-L eech 最小作用量原理,并举例说明这些原理的应用.关键词 广义经典力学,非保守系统,最小作用量原理引言1744年法国学者P .L .M aupert u is 最先提出了完整保守系统最小作用量原理,到1760年由La grange 给以明确论证:后人称为Lagrange 最小作用量原理[1].它表明对系统的真实运动来说,Lagrange 作用量的全变分为零.1985年,M ei 研究了非完整保守系统在广义坐标和准坐标下的Lagrange 最小作用量原理[2],1990年他又将该原理推广到变质量非完整非保守系统,给出原理的H o l d er 形式和Cyc oB 形式[3].1991年Q iao 给出了非完整非保守系统的最小作用量原理[4]及广义力学系统的最小作用量原理[5].2002年,由T abarrok 和Leech 研究了具有二阶导数的泛函的H a m ilton 力学[6].沿用普通分析力学中的研究思路,引入两个新广义动量和新H a m il ton 函数,将保守系统的四阶Euler-Lag range 方程化为四个一阶的运动方程,并利用它建立了泛函依赖二阶导数的新型最小作用量原理.本文推广了T-L 的工作,在力学系统不存在能量积分的条件下,给出用新变量表示的三种广义非保守系统最小作用量原理,所得结果更具有一般性.1 非保守系统的H a m ilton T abarrok Leech 正则方程考虑非势力作用的系统,其位形由n 个广义坐标q 1,q 2,!,q n 确定.Lagrange 函数为L =L (t ,q j,q j(1),q j(2))(1)非势广义力为Q j=Q j(t ,q j,q j(1),q j(2))(2)系统的Lagrange 方程为L q j -d d t L q j(1)+d 2d t 2( L q j (2))=-Q j(j =1,2,!,n)(3)其中qj (1)= q j=d q jd t , q j (2)=d d t q j (1)=d 2qjd t2(4)文中其余各变量的导数表示记号,仿式(4)写出.定义广义动量为v j=L q j (2), p j = L q j(1)-v j(1)(5)于是,方程(3)可写为L q j =d p jd t -Q j =p j (1)-Q j(6)引入H a m ilton 函数为H (t ,q j,q j(1),p j,v j(1))=p j q j(1)+v j q j(2)-L (7)则非保守系统的H T L 正则方程为d p jd t =- H qj+Q j , d q jd t = Hp j d v jd t =- H q j (1), d q j(1)d t = Hvj(8)2 非保守系统的Lagrange Tabarrok Leech 最小作用量原理第1期赵淑红等:广义非保守系统的新型最小作用量原理假设非保守系统不存在能量积分,即H =p j qj (1)+v j qj (2)-L =h ∀const (9)系统的H a m ilton 作用量为W =#t 2t 1L (t ,q j ,q j(1),qj (2))d t(10)根据全变分与等时变分之间的关系∃W = W +W %!t 于是,有∃W =∃#t 2t 1L d t =#t 2t 1L d t+(L !t)|t 2t 1=#t 2t 1( L qj q j+L q j (1) q j (1)+ Lq j (2)q j (2))d t +(L !t)|t 2t 1(11)利用等时变分条件d ( q j)= (dq j),将式(11)进行分部积分,得∃W =#t 2t 1[ L q j -d d t L q j(1)+d 2d t 2( L q j (2))] q jd t +[L q j (1) q j + L q j (2)q j (1)-d d t ( L q j (2)) q j +L !t]|t 2t 1=#t 2t 1-Q jq jd t+[L q j (1) q j + L q j (2)q j (1)-d d t ( L q j (2)) q j +L !t]|t2t 1(12)注意到!qj(m -1)= qj(m -1)+q jm!t(m =1,2),并考虑式(5)和式(9),有∃W =#t 2t 1-Q j q jd t+[ L q j (1)(!q j -q j (1)!t )+ L q j (2)(!q j(1)-q j(2)!t)-d d t ( L q (2))(!q j -q j (1)!t)+L !t]|t2t 1=#t 2t 1-Q jq jd t+(p j!q j+v j!q j(1)-h !t)|t2t 1(13)因为!(ht)=t !h +h !t ,于是式(13)可写为!(W +ht |t 2t 1)=#t 2t1-Q j q jd t +(p j!q j+v j !q j (1)+t !h)|t2t 1(14)又因d (ht)=tdh +hdt (15)将式(15)代入式(14),得!(W +#t 2t1t d h +#t 2t1h d t)=(p j!q j+ v j!q j(1)+t !h )|t 2t 1-#t 2t1Q j q jd t(16)注意到W +#t 2t 1h d t =#t 2t 1(L +h )d t =#t 2t 1(p j q j (1)+v j q j(2))d t(17)h =h(t), d h =h (1)d t (18)于是,式(16)成为!#t 2t 1(p j q j (1)+v j q j(2)+th (1))d t =(p j!q j+v j!q j (1)+t !h )|t 2t1-#t 2t 1Q j q jd t(19)假设!h |t 1=!h |t 2=0, !q j|t 1=!q j|t 2=0,!q j(1)|t 1=!q j(2)|t 2=0(20)利用式(20),可由式(19),得!#t 2t 1(p j q j(1)+v j q j (2)+th (1))d t+#t 2t 1Q jq jd t =0(21)方程(21)就是广义非保守系统的Lagrange Tabar rok Leech 最小作用量原理.讨论特殊情况:2.1 若广义非势力Q j=0,则式(21)成为!#t 2t1(p j q j (1)+v j q j(2)+th (1))d t =0(22)2.2 平稳保守系统,有h (1)=0,Q j=0,于是,得!#t 2t1(p j q j (1)+v j q j(2))d t =0(23)方程(23)就是在2002年由Tabarrok Leech 所得的结果[6].3 非保守系统的Ra itzin Tabarrok Leech 型正则方程对于非保守系统(3),引入R aitzi n 正则变量s j =q j (1), s j (1)=q j (2),r j= L qj u j=v j(1)=d d t L q j(2)=d d t Ls j (1)(24)及Ra itzi n 函数为R (t ,s j,s j(1),r j,u j)=L (t ,q j,s j,s j(1))-r j q j-u j s j(25)于是,有R r j =-q j , R uj =-s jR s = L s -u j , R s (1)= Ls (1)(26)将式(26)对时间t 求导数,得d d t R s j =d d t ( L s j -u j )=d d t ( L s j -d v jd t )=d p jd t=r j +Q j9动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷即r j=d d t R s j -Q j , s j =-d d t Rr js j (1)=-d d t R u j , u j =d d t Rs j (1)(27)4 非保守系统的Ra itzi n Tabarrok Leech 型最小作用量原理考虑非保守系统(3),其Ra itzi n 函数为R =R (t ,s j,s j(1),r j,u j)(28)于是!R =R t !t + R s j !s j + R s j (1)!s j (1)+ R r j !r j + R uj !u j(29)对上述变分等式在有限区间[t 1,t 2]上进行积分,得#t 2t 1!R d t =#t 2t 1{ R t !t+ R sj !s j + R s j (1)!s j (1)+ R r j !r j + R u j !u j}d t (30)由于!s j=d d t !q j -s j dd t!t !sj(1)=d d t q j (1)-s j(1)d d t!t (31)#t 2t 1 R sj !s jd t =#t 2t 1R s j [d d t !q j-s j d d t !t]d t =-#t 2t1d d t ( R s j)!q jd t-#t 2t1( R s j%s j%d d t !t)d t+ R sj!q j|t 2t 1(32)#t 2t 1 R s j(1)!s j (1)d t =#t 2t 1 R s j(1)[d d t!q j (1)-s j (1)d d t !t]d t =-#t 2t1d d t ( R s j (1))!q j(1)d t-#t 2t1( R s j (1)%sj (1)%dd t!t)d t + R s j (1)!q j (1)|t 2t 1(33)将式(32)和式(33)代入式(30),并考虑正则方程(27),经整理后,有#t 2t 1{!(R +r j q j +u j s j )+( R s j s j + R s j(1))d d t !t +Q j!q j- R t !t}d t =( R s j !q j + R s j (1)!s j )|t2t 1(34)假设!q j|t 1=!q j|t 2=0, !s j|t 1=!s j|t 2=0(35)于是,式(34)成为#t 2t 1{!(R +r j q j +u j s j)+(R sj s j+ R s j(1)s j (1))d d t !t +Q j !q j - Rt !t}d t =0(36)方程(36)就是非保守系统(3)的Ra itzin TabarrokLeech 型最小作用量原理.讨论特殊情况4.1 对于保守系统,Q j=0,于是方程(36)成为#t2t 1{!(R +r j q j +u j s j)+(R sj s j+ R s j(1)s j (1))d d t !t - Rt !t}d t =0(37)4.2 若令!(r j q j+u j s j)=-(Q j!q j- Rt!t),对于保守系统,式(36)给出#t 2t1{!R +(R s j s j + R s j(1)s j (1))dd t !t}d t =0(38)4.3 对于平稳系统,有 R s j s j + R s j(1)s j(1)=R (39)于是,在(38)的条件下,式(36)成为!#t 2t1R d x =0(40)5 非保守系统的Lagrange R aitzin Tabarrok Leech 型最小作用量原理考虑非保守系统(3),在Ra itzin Tabarrok Leech 意义下的作用量为G =#t 2t 1R (t ,s j ,s j (1),r j ,u j)d t(41)于是!G =#t 2t 1{!R +R d d t !t}d t =#t 2t 1R d t+(R !t)|t2t 1(42)由于R =R s j s j + R s j (1) s j (1)+ R r j r j + R uj u j(43)R sj s j =d d t ( R s j q j )-d d t ( R s j ) q j, R s j (1)s j (1)=d d t ( R s j (1) s j )-d d t ( R s j(1)) s j (44)将式(44)代入式(43),并注意(26)和(27),得R =d d t ( R s j q j )-d d t ( R s j ) q j +d d t ( R s j (1)s j)-d d t ( R s j (1)) s j + R r j r j + R uj u j =d d t ( R s j q j)-10第1期赵淑红等:广义非保守系统的新型最小作用量原理(r j+Q j) q j+d d t ( R s j (1)s j )-q j r j -u j s j -s j u j(45)于是,式(42)可写为 !#t 2t 1R d t +#t2t 1[ (r j q j +u j s j )+Q j q j]d t =[R sj !q j+ R s j (1)!s j +R !t]|t 2t 1-( R s j s j + R s j (1)s j (1))!t |t 2t 1(46)假设!q j|t 1=!q j|t 2=0, !s j|t 1=!s j|t 2=0(47)并注意到,对平稳系统式(39)成立,于是式(46)成为!#t 2t 1R d t+#t 2t 1[ (r j q j+u j s j)+Q jq j]d t =0(48)方程(48)就是广义非保守平稳系统的Lagrange Raitzi n Tabarrok Leech 最小作用量原理.6 举例6.1 例1一棱柱形梁受轴向压力F 和横向分布载荷y (x )=x,由小挠度理论,已知系统的Lag range 函数为L =EI 2q 2(2)-xq -F 2q 2(1)(49)其中E I 是抗弯刚度,EI =const ,试求系统的运动微分方程.解:本题中将变量x 视为原理(21)中的时间t ,然后求解,则有 v =L q (2)=EIq (2),p = L q (1)-d v d x=-Fq (1)-EIq (3)(50) H =pq (1)+vq (2)-L =pq (1)+xq +F 2q 2(1)+v22EI(51)由于H a m ilton 函数(51)中显含x,所以系统不存在能量积分,令H =pq (1)+vq (2)-L =h ∀const (52)非势广义力Q =0,于是原理(21)给出 !#x 2x 1(L +h +xh (1))d x =#x 2x 1[ L + h + (xh (1))]d x +[pq (1)+vq (2)+xh (1)]!x |x 2x 1=#x 2x 1{ L q q + Lq(1)q (1)+L q (2) q (2)+ h +dd x (x h)- h}d x +[pq (1)+vq (2)+xh (1)]!x |x2x1=#x 2x 1{ L q -d d x L q (1)+d 2d x 2( L q (2))} q d x +[L q (1) q + L q (2) q (1)-d d x ( L q (2)) q]+x h +[pq (1)+vq (2)+xh (1)]!x |x 2x 1=#x 2x1{L q -d d x Lq (1)+d 2d x 2( L q (2))} q d x +(p !q +v !q (1)+x !h)x |x2x 1(53)由于!q |x 1=!q |x 2=0, !h |x 1=!h |x 2=0!s |x 1=!s |x 2=0 (!s =!q (1))(54)于是式(53)成为#x 2x 1{ L q -d d x L q (1)+d 2d x 2( Lq (2))} q d x =0(55)因为 q 是独立的,于是由(55)得L q -d d x L q (1)+d 2d x 2 L q (2)=0(56)将式(49)代入上式,有-x +d d x (F q (1))+d2d x 2(E Iq (2))=0(57)或F d 2q d x 2+E I d 4q d x 4=x (58)6.2 例2力学系统的Lagrange 函数为L =12q 2(1)+12q 2(2)(59)非势广义力Q =-q (2)(60)试求系统的运动微分方程.解:引入Ra itzin 变量及函数s =q (1), s (1)=q (2), r = Lq=0u =d d t Lq (2)=q (3)=s (2)L ~=12s 2+12s 2(1), Q =-s (1)R =L ~=rq -us =12s 2+12s 2(1)-us (61)而R =R s + R (1) s (1)+ Ru (62)考虑方程(26)和(27),运用分部积分法,原理(48)可写为#t 2t1R d t+(R !t)|t 2t 1+#t 2t1(q r +r q +u s+s u +11动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷Q q)d t =#t 2t1(-d d t R s +Q ) q d t +( Rs!q )+ R s (1)!s |t2t 1=0(63)假设!q |t 1=!q |t 2=0, !s |t 1=!s |t 2=0(64)又 q 是独立的,于是由方程(63)得-d d t R s +Q =0(65)由于d d t Rs =s (1)-u (1)=s (1)-s (3),Q =-s (1)(66)将式(66)代入方程(65),有-2s (1)+s (3)=0(67)即2q (2)-q (4)=0(68)参 考 文 献1 刘书振,陈书勤,罗绍凯.分析力学.开封:河南大学出版社,1992:145(L i u Shuzhen ,Chen Shuq i n ,Luo Shaoka.i Ana l y ti ca l M echan i cs .K a ifeng:H ean U niversity P ress ,1992:145(i n Ch i nese))2 梅凤翔.非完整系统力学基础.北京:北京工业学院出版社,1985:55~79(M e i F engx iang .Foundations o fM echan i cs of N onholonom ic Syste m s .B eiji ng :Be iji ng Insti tute o f T echno logy P ress ,1985:55~79(i n Ch i nese))3 梅凤翔.Lag range 最小作用量原理的某些推广.黄淮学刊,1990,6(3):22~30(M e i F engx i ang .Ex tension of L a grange s 'pri nc i ple to nonholonom ic nonconserva tive syste m s .H uanghuai Xuekan ,1990,6(3):22~30(i n Ch i nese))4 乔永芬,岳庆文.非完整非保守系统的最小作用量原理.东北农学院学报,1991,22(4):344~354(Q i ao Y ong fen ,Y ue Q i ngwen .P r i nciples of least ac tion o f nonho lonom ic nonconservati v e mechan i ca l syste m s .J.N ortheast Agr icul t ural Co llege ,1991,22(4):344~354(i n Ch i nese))5 乔永芬,岳庆文.广义力学系统的最小作用量原理.科学通报,1993,36(4):314~318(Q iao Y ong fen ,Yue Q i ng wen .P r i nciples of least action o f genera li zed class i ca l m echanics .Chi nese Science Bu lletin ,1993,36(4):314~318(i n Ch i nese))6 B .T abarrok ,C .M.L eech .H a m ilt on i an m echanics f o r founction ils i nvo l v i ng second orde r de ri va ti ves .AS M E J.A pp l .M ech ,2002,69:749~754Received 30J une 2006,revis ed 17S epte m ber 2006.*The p roject supported by the Nati onal Nat u ral Science Foundati on of Ch i na (10272034)PR I NC IPLES OF NE W FOR M LEAST ACT I ON OF GENERALIZEDNONCONS ERVAT I VE S Y S TE M S*Zhao Shuhong1,2L iang Lifu 1 Q i a o Yongfen2(1.Schoo l of Civil Engineer i ng of H arb i n Eng i neering U ni ver sity,H arbin 150001,Ch i na)(2.Eng i neering Co llege of N ortheastA gricultural University,H arbin 150030,Ch i na)Abst ract The canon ica l equati o ns o fH a m ilton-Tabarrok -Leech and R aitzi n -Tabarrok-Leech fo r general ized nonconservative syste m s w ere estab lished respectively .Three kinds of the princ i p les o f ne w fo r m least acti o n for generalized nonconservative syste m sw ere g iven ,na m ely ,the princi p les o f ne w for m least action of Lag range-Tabarr ok-Leech ,the princ i p l e s o f ne w for m least action o fRa itzin-Tabarr ok-Leech and the pri n ciples of ne w for m least action of Lag range-Ra itzin-T abarr ok-Leech .And t w o exa m plesw ere g iven to ill u strate t h e app lica ti o n of the results .K ey w ords generalized classicalm echanics , nonconservative syste m, pri n ciple of least acti o n12。