新教材2020-2021学年4.4对数函数 4.4.3不同函数增长的差异课件

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人教版A高中数学必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异教学设计(2)

【新教材】4.4.3 不同函数增长的差异（人教A 版）本节课在已学幂函数、指数函数、对数函数的增长方式存在很大差异.事实上,这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反应.而本节课重在研究不同函数增长的差异.课程目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养. 数学学科素养1.数学抽象:常见增长函数的定义、图象、性质;2.逻辑推理:三种函数的增长速度比较;3.数学运算:由函数图像求函数解析式;4.数据分析:由图象判断指数函数、对数函数和幂函数;5.数学建模:通过由抽象到具体,由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.重点:比较函数值得大小; 难点:几种增长函数模型的应用、教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。

教学工具:多媒体。

一、情景导入请学生用画2,2xy y x ==图像,观察两个函数图像,探索它们在区间[0,+∞）上的增长差异,你能描述一下指数函数增长的特点吗?要求:让学生自由发言,教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本136-138页,思考并完成以下问题1.三种函数模型的性质?2.三种函数的增长速度比较?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1.三种函数模型的性质2.三种函数的增长速度比较( 1)在区间( 0,+∞)上,函数y=a x ( a>1),y=log a x ( a>1)和y=x n ( n>0)都是增函数,但增长速度不同. ( 2)在区间( 0,+∞)上随着x 的增大,函数y=a x ( a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x n ( n>0)的增长速度,而函数y=log a x ( a>1)的增长速度则会越来越慢. ( 3)存在一个x 0,使得当x>x 0时,有log a x<x n <a x . 四、典例分析、举一反三题型一比较函数增长的差异例1 函数f ( x )=2x 和g ( x )=x 3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A ( x 1,y 1),B ( x 2,y 2),且x 1<x 2. ( 1)指出图中曲线C 1,C 2分别对应的函数;( 2)结合函数图象,判断f ( 6),g ( 6),f ( 2 019),g ( 2 019)的大小. 【答案】( 1)C 1对应的函数为g ( x )=x 3,C 2对应的函数为f ( x )=2x .（2）f ( 2 019)>g ( 2 019)>g ( 6)>f ( 6).【解析】( 1)C 1对应的函数为g ( x )=x 3,C 2对应的函数为f ( x )=2x .( 2)因为f ( 1)>g ( 1),f ( 2)<g ( 2),f ( 9)<g ( 9),f ( 10)>g ( 10),所以1<x 1<2,9<x 2<10,函数性质y=a x ( a>1)y=log a x ( a>1) y=x n ( n>0) 在( 0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x 增大逐渐变陡随x 增大逐渐变缓随n 值不同而不同所以x1<6<x2,2 019>x2,从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f( x)<g( x),所以f( 6)<g( 6).当x>x2时,f( x)>g( x),所以f( 2 019)>g( 2 019).因为g( 2 019)>g( 6),所以f( 2 019)>g( 2 019)>g( 6)>f( 6).变式1.在本例( 1)中,若将“函数f( x)=2x”改为“f( x)=3x”,又如何求解第( 1)题呢?【答案】C1对应的函数为g( x)=x3,C2对应的函数为f( x)=3x.【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g( x)=x3,C2对应的函数为f( x)=3x.变式2.本例条件不变,( 2)题改为:试结合图象,判断f( 8),g( 8),f( 2 019),g( 2 019)的大小.【答案】f( 2 019)>g( 2 019)>g( 8)>f( 8).【解析】因为f( 1)>g( 1),f( 2)<g( 2),f( 9)<g( 9),f( 10)>g( 10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2 019>x2,从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f( x)<g( x),所以f( 8)<g( 8),当x>x2时,f( x)>g( x),所以f( 2 019)>g( 2 019).因为g( 2 019)>g( 8),所以f( 2 019)>g( 2 019)>g( 8)>f( 8).解题技巧:（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.跟踪训练一1.当a>1时,有下列结论:①指数函数y=a x,当a越大时,其函数值的增长越快;②指数函数y=a x,当a越小时,其函数值的增长越快;③对数函数y=log a x,当a越大时,其函数值的增长越快;④对数函数y=log a x,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有 ( )A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象( 图略),在区间( 2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y 2=x 2,y 1=2x ,y 3=log 2x ,故y 2>y 1>y 3. 题型二体会指数函数的增长速度例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番. 你觉得哪个公司捐款最多?【答案】丙公司捐款最多,为102.3万元. 【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元. 解题技巧:（指数函数的增长速度的实际应用）解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.跟踪训练二1.某民营企业生产A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资的函数模型为y=k 1x ,B 产品的利润与投资的函数模型为y=k 2x α( 利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.公司捐款数量/万元时间甲乙丙第1天 5 1 0.1 第2天 5 2 0.2 第3天 5 3 0.4 第4天 5 4 0.8 第5天 5 5 1.6 第6天 5 6 3.2 第7天 5 7 6.4 第8天 5 8 12.8 第9天 5 9 25.6 第10天 5 10 51.2 总计5055102.3( 1)分别求出A,B 两种产品的利润与投资的函数关系式;( 2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B 两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?( 精确到万元) 【答案】( 1)A:y=12x ( x ≥0),B:y=54√x ( x ≥0).( 2)投资A 产品844万元,投资B 产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元. 【解析】( 1)A:y=k 1x 过点( 1,0.5),∴k 1=12.B:y=k 2x α过点( 4,2.5),( 9,3.75), ∴{k 2·4α=2.5,k 2·9α=3.75.∴{k 2=54,α=12.∴A:y=12x ( x ≥0),B:y=54√x ( x ≥0).( 2)设投资B 产品x( 百万元),则投资A 产品( 10-x)( 百万元),总利润y=12( 10-x )+54√x =-12(√x -54)2+18532( 0≤x ≤10).所以当√x =1.25,x=1.562 5≈1.56时,y max ≈5.78.故投资A 产品844万元,投资B 产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本140页习题4.4本节课通过数形结合研究不同函数增长的差异,借助结论解决相关问题,侧重用实操,培养学生的逻辑思维能力,提高学生的数学素养.。

数学 4.4.3 不同函数增长的差异-课件

3.能正确地选用函数模型解决实
际问题.
课前篇
自主预习
一
二
一、指数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较
1.(1)阅读下面材料并回答问题
1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,
而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了
整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只
兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,
而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用
各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液
瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气.
想想看,澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75
亿只?
答案:由于兔子在适宜环境下,其繁育的数量呈指数增长趋势,指
能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0,
当x>x0时,恒有logax<kx.
(2)对于y=logax(a>1)与y=x2也存在类似结论,即总会存在一个x0,
当x>x0时,恒有logax<x2.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数增长速度最快的是(
)
A.y=log2x
(2)对于y=ax(a>1)与二次函数y=x2也有这样的结论,即存在
x0∈(0,+∞),使当x>x0时总有 0 > 02 成立.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数中,增长速度最快的是(
)
A.y=2x

新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第3课时不同函数增长的差异课件新人教A

与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，
所以②式作为模拟函数比①式更好，
故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
(1)下列函数中，增长速度最快的是
A．y＝2 023x
B．y＝2 023
C．y＝log2023x
D．y＝2 023x
()
(2)下面对函数
f(x)＝log1
2
x，g(x)＝12x与
h(x)＝－2x
在区间(0，＋∞)
上的递减情况说法正确的是
()
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度
()
A
B
C
D
【答案】D
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意， ax＝a(1 ＋
0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．(题型2)以下说法正确的是 A．幂函数的增长速度一定比一次函数快 B． x＞0，xn＞logax C． x＞0，ax＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax 【答案】D
1．下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是
()
A．y＝1100ex C．y＝x100
B．y＝100ln x D．y＝100×2x

4.4.3 不同函数增长的差异-(新教材人教版必修第一册)(新教材人教版必修第一册)(37张PPT)

(2)当函数为 y＝ax2＋bx＋c 时，将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，得
a＋b＋c＝1，
4a＋2b＋c＝1.2， 9a＋3b＋c＝1.3，
a＝－0.05，
解得b＝0.35， c＝0.7.
所以 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
由此函数计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实际产量少 700 双，
数学（人教版）
必修第一册
第四章指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
第一阶段
课前自学质疑
必备知识深化预习
三种常见函数模型的增长差异
性质
函数 y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)来自y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
_增__函__数__
_增__函__数__
类型三：函数模型的选取
典例示范
探究题 1 某公司为了实现 100 万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 5 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y 随销售利润 x 的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，
2．三个变量 y1，y2，y3 随自变量 x 的变化情况如下表：
x 1.00 3.00 5.00 7.00
9.00
11.00
y1
5
135 625 1 715 3 645 6 655
y2
5
29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95
7.20
7.40
2．函数模型的应用 (1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．

新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.4 4.4.3

4.4.3不同函数增长的差异(教师独具内容)课程标准：利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，探索、比较它们的变化规律．教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：指数函数、幂函数不同区间增长快慢的差异.【知识导学】知识点几种函数模型的增长差异(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是□01增函数，并且当a越□02大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是□03增函数，并且当a越□04小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是□05增函数，并且当x＞1时，n 越□06大，其函数值的增长就越快．(4)一般地，虽然指数函数y＝a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递□07增，的增大，□08指数函数y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，即使□09k的值远远大于□10a的值，□11y＝a x(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于□12y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，□13a x会小于□14kx，但由于□15指数函数y＝a x(a>1)的增长最终会快于□16一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有□17a x>□18kx.(5)一般地，虽然对数函数y＝log a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递□19增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，□20一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而□21对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．不论□22a的值比□23k的值大多少，在一定范围内，□24log a x可能会大于□25kx，但由于□26log a x的增长慢于□27kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有□28log a x<□29kx.【新知拓展】指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．()(3)对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数(2)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝100x B．y＝100ln xC．y＝x100D．y＝100·2x(3)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．答案(1)C(2)D(3)减少3个单位题型一几类函数模型增长差异的比较例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析]以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案]y2金版点睛常见的函数及增长特点(1)线性函数线性函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数指数函数y＝a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[跟踪训练1]有一组数据如下表：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t B．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝2t－2答案 C解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B；增长速度越来越快，排除A，D，选C．题型二指数函数、对数函数与幂函数的比较例2函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2018)，g(2018)的大小．[解](1)当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2018>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2018)>g(2018)．又g(2018)>g(6)，∴f(2018)>g(2018)>g(6)>f(6)．金版点睛由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[跟踪训练2]函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e 为分界点)．解由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x 12，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)＞h(x)>g(x)．1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是() A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝1 1000ex答案 D解析指数函数y＝a x，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D．2．有一组实验数据如下表所示：下列所给函数较适合的是()A．y＝log a x(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)答案 C解析通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C．3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案 B解析解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2和y＝2x 的图象(图略)，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，如取x＝3，经检验易知选B．4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为________万件．答案 1.75解析∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有⎩⎨⎧ 1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×(0.5)x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．5．下面是四个不同函数随x 的增大而得到的函数值表：试问：(1)随着x 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？解 (1)随着x 的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f (x )＝2x 的增长速度最快，而且越来越快；其次为f (x )＝x 2，增长速度也在变大；而f (x )＝2x ＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是f (x )＝log 2x ，其增长速度越来越小．。

20-21 第4章 4.4 第3课时不同函数增长的差异

保持固定增长速度
层作业
难
返首页
7
课
情
堂
景
小
导学
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度
结提
探
新知
增长速度
_越__来__越__快___，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y
素养
＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；
课
合作探
②存在一个x0，当x>x0时，有 ax>kx>logax
探
新
素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
以下四种说法：
业
疑
难
返首页
12
课
情
堂
景
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度小
导
结
学探
越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不
提
新
素
知变．
养
合
其中说法正确的序号是________．
课时
作
分
探
层
究
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③.]
合作探
(2)下面对函数 f(x)＝log12x，g(x)＝12x与 h(x)＝－2x 在区间(0，＋
课时分层
究释
∞)上的递减情况说法正确的是(
)
作业
疑
难
返首页
15
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速课
情
景度越来越慢

新教材高中数学第4章对数函数：不同函数增长的差异pptx课件新人教A版必修第一册

• 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)；
• 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)；
• 当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)．
• 综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)；
• 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)；
• 当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)．
•
现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每
年能固定攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的
前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
• A．5年 B．7年 C．8年 D．9年 E．永远买不起
•
房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么
函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？
增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
• (4)幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[跟进训练]
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(
A．y＝6x
B
B．y＝log6x
√
C．y＝x2
)
D．y＝6x
[D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越
快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
• 反思领悟由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
• 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函
数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数
函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
• [跟进训练]
• 2．函数f (x)＝2x 和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函
，y3是对数函数．

4.4 第3课时不同函数增长的差异

解析:画出y1=log2x,y2=x2,y3=2x的图象(图略),由图象可知当
x>4时,log2x<x2<2x,故选D.
答案:D
4.某化工厂开发研制了一种新产品,前三个月的月生产量依次
为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各月的生产量,需要以这三
个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(单位:t)与月
2
5.58
3
7.00
若 f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lo x+a.

4
8.44
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取表中
你认为最适合的数据并求出相应的解析式;
(2)因企业经营不善,2023年的实际年产量比预计减少了30%,
)
x
y
4
15
5
17
6
19
7
21
8
23
9
25
10
27
A.一次函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数
解析:自变量每增加1,函数值增加2,函数值的增量不变,故为
一次函数模型.
答案:A
3.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值范围是(
)
A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(4,+∞)
探究一不同函数的增长特点及其应用
【例1】下列函数中,增长速度最快的是(
)
A.y=1 021x
B.y=1 021x
C.y=log1 021x
D.y=1 020x

4.4.3 不同函数增长的差异(课件)

2．函数模型的应用 (1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
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增长速度固定
随x增大逐渐与 _____x_轴__平__行____
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度__越__来__越__快______，会远远大于y
＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度__越__来__越__慢______； ②存在一个x0，当x>x0时，有_a_x_>_x_n_>_lo_g_a_x_____
返回导航Βιβλιοθήκη 第四章指数函数与对数函数探究二函数模型的增长差异在函数图象上的体现
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B 解析由图得水深h越大，水的体积 v 就越大，故 v ＝ f(h) 是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
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第四章指数函数与对数函数
[跟踪训练 1] 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：
x1
5
10
15
20
25
30
y1 2 26

4.4.3 不同函数增长的差异

C．y＝120x
D．y＝0.2＋log16x
解析：用排除法，当 x＝1 时，排除 B 项；当 x＝2 时，排除 D 项；
当 x＝3 时，排除 A 项．故选 C.
由于本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数后来讨论函数的增长差异，所以在教学中首先对这三种基本初等函数进行复习，了解三种基本初等函数的一些基本知识．研究函数的有关性质，一般都是通过图象，所以本节课要多利用多媒体教学平台，先画出一些特殊类函数的图象，让学生直观观察不同类函数的图象上升或下降情况，再将问题推广到一般，得出不同函数增长的差异．
4．4 对数函数
4．4.3 不同函数增长的差异
本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数之后对函数学习的一次梳理和总结．本节课提出了函数增长快慢的问题，通过函数图象及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认知．既是对三种函数学习的复习，也是后续学习的基础，对培养和发展学生直观想象、数学抽象、数学建模和数学推理的核心素养有很大的帮助．
一、导入新课一张纸对折一次，厚度变成原来的 2 倍．再对折第二次，变为原来的 2 的 2 次方倍即 4 倍．以此类推，假设纸的厚度为 0.1 mm，则对折 24 次以后，长度超过 1 千米；对折 39 次达 55 球的距离；对折 51 次达 2.25 亿千米，超过地球至太阳的距离；对折 82 次为 51 113 光年，超过银河系半径的长度．不过，以上只是一些不符合实际的数学理论推理数字．为什么会出现这样的现象呢？带着问题进入我们今天的学习．
g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数
h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋
∞)上，递减较慢，且越来越慢．

数学人教A版必修第一册4.4.3不同函数增长的差异课件

C.
)
D.
四.小结
一次函数：增长速度不变, 直线上升；
指数函数：增长先慢后快，指数爆炸；
对数函数：增长先快后慢，趋于平缓.
谢谢观看
2
y

2
在区间
上，
的图象高于
的图象，说明 2 x ；
在区间 (0,) 上， y 2 x 的图象高于 y 2 x 的图象，说明 2 x 2 x ；
2
x
二.问题探究
2.从增长方式来看：
y 2 x 的图象直线上升，说明增长速度不变
y 2 x 的图象曲线上升，且先平缓，然后越来越陡，说明增长速度先慢后快.
问题1：视察 = 2 和 = 2的图象，描述它们在[0, +∞)上的增长差异
二.问题探究
结论：
1.从图象的相对位置来看：
y
8
7
6
5
4
3
2
1
(2,4)
(1,2)
O
1
在区间 (0,1) 上， y 2 x 的图象高于 y 2 x 的图象，说明 2 x 2 x ；
x
x
(
1
,
2
)
y

2
x
当 x x0 时，恒有 loga x kx .
二.问题探究
小结
一次函数：增长速度不变, 直线上升；
指数函数：增长先慢后快，指数爆炸；
对数函数：增长先快后慢，趋于平缓.
三.典例剖析
1.三个变量1 ，2 ，3随自变量的变化情况如下表：

1
3
5
7
9
11
1
5
135
625

新教材人教A版4.4.3不同函数增长的差异课件(14张)

ab c 1,①
得 ab2 c 1.2,②
ab3 c 1.3,③
由①得ab=1-c,代入②③,
得
b(1-c) c 1.2, b2 (1-c) c 1.3,
则
c c
1.2-b , 1-b 1.3-b2
,
解得
b c
0.5, 1.4.
1-b2
则a=1-c =-0.8,源自b第四章指数函数与对数函数
第四章指数函数与对数函数
常见的函数模型及增长特点 y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. 3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
a b c 1,
a -0.05,
得 4a 2b c 1.2,解得b 0.35,
9a 3b c 1.3,
c 0.7,
第四章指数函数与对数函数
∴yx2x+0.7. 由此得出结论:由此式计算得4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数的性质可知,产量自4月份开始每月下降(图象开口向下,对称轴为x=3.5), 不符合实际. (3)令模拟函数为y=abx+c, 将A,B,C三点的坐标代入函数解析式,
∴y×x+1.4. 由此得出结论:把x=4代入,得y×4+1.4=1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣时,既要考虑误差最小,又要考虑生产的实际,如:增产的趋势和可能性.经过筛选,以y×x+1.4模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不增加设备和工人,产量必然趋于稳定,而y×x 反映了这种趋势. 因此选用指数型函数y×x+1.4模拟比较接近客观实际.

4.4.3不同函数增长的差异课件(人教版)(1)

的人具有的函数关系是( D )
A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝4x C.f3(x)＝log2x
f4(x)＝2x
解：由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为f4(x)＝2x，故选D
4.4.3 不同函数增长的差异
随堂练习
5.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种情势的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？
4.4.3 不同函数增长的差异
研探新知
知识点一常见函数模型的比较
性质函数
y=ax (a>1)
y=logax (a>1)
y=kx (k>0)
在(0,+∞)
增
增
上的增减性
图象的变化随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定
增增长速度固定
增长特点
随着自变量的增大,函数随着自变量的增大,函数
值增大的速度越来越快, 值增大的速度越来越慢,
x1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
解：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而 A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
4.4.3 不同函数增长的差异
随堂练习
2.若 x 0,1，则下列结论正确的是( A )
1
A． 2x x2 lg x
解：根据题意，. 函数解析式为 y=1.104x（x＞0）函数为指数函数，底数1.104＞1递增，选B
4.4.3 不同函数增长的差异

新教材人教A版数学必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异课件

为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型； (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论； (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越
快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
答案：B
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
y
－0.99
0.99
2.01
3.98
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是 A．y＝2x
B．y＝x2－1
不同函数的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
[跟踪训练] 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示：
(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
[跟踪训练]
某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的

新教材人教版高中数学必修第一册 4-4-3 不同函数增长的差异教学课件

新教材人教版高中数学必修第一册 4.4.3 不同函数增长的差异教学课件
科目：数学适用版本：新教材人教版适用范围：【教师教学】
4.4.3 不同函数增长的差异
第一页，共三十页。
4．4.3 不同函数增长的差异 1．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、
指数函数、对数函数的增长速度的差异． 2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实
第六页，共三十页。
题型一三类函数模型增长差异的比较
[学透用活]
[典例 1] (1)下列函数中，增长速度最快的是
A．y＝2 019x
B．y＝x2 019
C．y＝log2 019x
D． (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指
数函数增长速度最快，故选 A.
第十三页，共三十页。
[解] 作出函数 y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x 的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x 的图象都有一部分在直线 y＝3 的上方，只有 y＝log5x 的图象始终在 y＝3 和 y＝0.2x 的下方，这说明只有按模型 y＝log5x 进行奖励才符合学校的要求．
解析： D 中一次函数的增长速度不变，A、C 中函数的增长速度越来
越快，只有 B 中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
答案：B
第十页，共三十页。
2．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y 的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是 ()
A．指数函数 y＝2t C．幂函数 y＝t3
第三页，共三十页。
(二)基本知能小试
1．判断正误

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课件：4.4.3+不同函数增长的差异

(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax ＞xn.
【对点练习】❶ 下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30
40
50
60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是___y_2 __.
x 2x x2 2x＋7 log2x 12 1 9 0 2 4 4 11 1 3 8 9 13 1.585 4 16 16 15 2 5 32 25 17 2.322 6 64 36 19 2.585 7 128 49 21 2.807 8 256 64 23 3 9 512 81 25 3.170 10 1 024 100 27 3.322
[归纳提升] 三种函数模型的增长规律： (1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x 对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
单调性
在(0，＋∞)上单调___递__增___
指数函数
对数函数一元一次函数