22.3.3实际问题与一元二次方程
22.3实际问题与一元二次方程(3)
2
x 6x 8 0 解得：x1 2, x2 4
∴ x1 2, x2 4 均符合题意 答：2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2. ∵0 x 6
A P
Q
B
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿 AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交 于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等 于16cm2? A
解：设AP=xcm，则PR=xcm， PB=(8-x)cm，由已知得：
R P
x (8 x) 16
x 8x 16 0 解得： x1 x2 4
即:
2
C
Q
B
答：当AP=4cm时,平行四边形PQCR的面积 等于16cm2.
1、 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从 点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时另一点 Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后, PCQ的 面积等于450cm2? Ｃ
B Q C P A
Ａ
F角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始 以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于 BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发 几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
例3：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB于D,CD=2,P是 AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线l与 AB垂直. (1)设⊿ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之 间的函数关系式;
例题讲解
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以 1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s 的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 C 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？ D 解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2，则
22.3实际问题与一元二次方程(利润)沈贵芬
2012-10-10
22.3实际问题与一元二次方程 --利润问题
列一元二次方程解应用题的一般步骤： 第一步：审题，明确已知和未知； 第二步：设出未知数； 第三步：找相等关系； 第四步：列方程； 第五步：解方程； 第六步：检验方程的根是否符合题意；
第七步：作答。
利润问题
例题： 某水果批发商场经销一种高档水果, 如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经 市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千 克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要 保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实 惠,那么每千克应涨价多少元?
解：⑴设每件衬衫应降价x元 根据题意得： （40-x）（20+2x）=1200 解得：x1=10, x2=20 而商场为了尽快减少库存 答：每件应降价20元 ∴ x2-30x+200=0 ∴ x取20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、一个菱形的两条对角线的和是10cm， 面积是12cm2，求菱形的周长。（精确到 0.1cm ）
分析：个利润×销售量=总利润
解:设每千克水果应涨价x元,
依题意得: (500-20x)(10+x)=6000
整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去）
要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
练习：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销 售，商场决定采取适当的降价措施。经调 查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平 均每天可多售出2件。若商场平均每天销售 这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫 应降价多少元
22.3 实际问题与一元二次方程 说课
22.3实际问题与一元二次方程2009-10-12 20:35:45| 分类：说课材料| 标签：|字号大中小订阅说课流程：一、教材分析二、学情分析三、说教法和学法四、说教学过程五、几点说明一、教材分析1、教材的地位和作用数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。
生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识。
本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中的两个实际问题-—流感问题和利润率问题。
一元二次方程是应用广泛的数学工具，是中学数学的主要内容之一，在义务教育阶段的数学课程中占重要地位。
从知识发展上看，通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，也是列一元一次方程解决实际问题的深化和提高，同时本节课的学习又是后面继续学习列方程解决实际问题、用二次函数解决实际问题的基础。
因此，它有着承上启下的作用。
从知识的纵向联系上看，本节课的学习对其它学科又有着中重要意义。
比如在物理学中，利用一元二次方程等有关知识来研究物理极值、变速运动、能量守恒等问题。
2、教学目标在素质教育背景下的数学教学应该以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。
根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学目标如下：知识和技能目标：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（3）掌握列方程解应用题的一般步骤。
过程和方法目标：（1）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述。
（2）通过解决“流感”问题和“利润率”问题，学会将实际问题转化为数学问题，发展实践应用意识。
态度和价值观目标：（1）通过列方程解决实际问题，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具，培养数学观。
（2）在学习过程中学会自主学习与合作学习，发展个性特征。
223实际问题与一元二次方程辅导资料(含答案)
22.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：1. 列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.2. 一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么ac x x a b x x =•,=+2121-．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中的第6、7题.点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）A ．300(1＋x )=363B ．300(1＋x )2=363C ．300(1＋2x )=363D ．363(1－x )2=300【解析】B 设平均增长百分率为x ，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：300+300x =300（1+x ）（公顷）；到2008年底的绿化面积为：300（1+x ）+300（1+x ）x =300（1+x ）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300(1＋x )2=363． 点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
2
x 30 0 .5
x 1 0 .5 = 2 7 5 0 .5
整理得： 2 x 1 1 x 5 = 0 解得：
x1 = 5 ， x 2 = 0 .5
答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为 275 万元.
解：设每件应涨价 x 元，依题意得
5 500 - 10 x =8000
x 40x 300= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 30
当x=10时，进货量为： 5 0 0 -1 0 x = 5 0 0 -1 0 1 0 = 4 0 0（个） 当x=30时，进货量为： 500-10x= 500 -1 0 30 = 20 0（个）
40 - x 20 2 x =1200
整理得： 解得：
x 30x 200= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 20
2
为了减少库存，则降价越大，售出越多，库存就越少.故应降价20元.
答：要盈利1200元的利润，每件应降价20元.
练习 2
某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测，当每间 的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为 275 万元？ (收益＝租金－各种费用) 解：（1）5000元=0.5万元 少租的间数为：（13-10）÷0.5=6（间） 租出的间数为： 30-6=24（间） （2）设每间的年租金增加 x 万元，依题意得
22.3实际问题与一元二次方程(2)
cm，左右边衬的宽均
庆云县学案
人教版初中数学九年级上册
各显神通：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决 上面的问题？ 我来试试：
三、尝试应用 在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画的四周镶宽度相同的金 色纸边， 制成一幅矩形挂图， 如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米， 求金色纸边的宽。 我会做：
一、温故知新 考考你的记性：用一元二次方程解应用题的一般步骤及关键是什 么？组内交流。 二、探索发现 走进生活：如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm， 正中央是一个与封面长宽比例相同的长方形。如果要使四周的彩色边 衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽应 如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位） 教师引领：通过阅读我们了解到本题有上下边衬的宽度和左右边 衬宽度两个未知数，要解决这个问题的关键是找出这两个边衬宽度之 间有什么关系。 （独立思考，组内交流） 我来分析：我们发现在此问题中有以下数学信息：封面的长宽之 比与中央长方形的长宽之比相同是 ，四周的彩色边衬面积 占整个封面面积的 ，即中央图形占封面面积的 我来解答：如果设中央长方形的长是 9acm 则宽为 由此得 上下边衬与左右边衬得宽度之比是： ： = ： 设上下边衬的宽均为 9xcm，则左右边衬的宽均为 ，则中央 长方形的长为 ，宽为 cm。 根据中央图形面积占封面面积的 可得方程： 整理得： 解方程得： 根据实际意义得：上下边衬的宽均为 为 cm。
六、畅谈收获 1、我的收获与你分享； 2、你的困惑帮你解决。
庆云县学案
人教版初中数学九年级上册
庆云县学案 课 单 题 位
人教版初中数学九年级上册 课 型 新授 李树霞
22.3 实际问题与一元二次方程 （2）
22.3 实际问题与一元二次方程——图形面积问题1
四、设计封面问题
例4：如图，要设计一本书的封面，封面 长28cm,宽20cm,正中央是一个矩形图 案, 面积为整个封面面积的四分之三, 又知矩形图案的四周边衬等宽，应如 何设计四周边衬的宽度? （只列出方程)
选做
四、设计封面问题
变式：如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的矩形,如果要使四周边衬 所占面积是封面面积的四分之一,且上、 下边衬等宽， 左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度? (结果保留一位小数。）
（2）折成的长方体盒子的 侧面积会不会有最大值？
选做 二度
三、画片镶边问题
例3：在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景 画的四周镶一条金色纸边，制成一幅 矩形挂图，使整个挂图的面积是 5400cm2，求金色纸边的宽度.
三、画片镶边问题
练习：要为一幅长29cm、宽22cm的矩形 照片配一个镜框，要求镜框的四条边 宽度相等，且镜框所占面积为照片面 积的三分之二，镜框边的宽度应为多 少？ （只列出方程)
22.3
实际问题与一元二次方程 ——图形面积问题1
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 问题
22.3实际问题与一元二次方程(1)
解：设2002年,2003年 中考题 两年绿地面积的年平 美化城市，改善人们的居住环境已成 均增长率为x，根据题 为城市建设的一项重要内容。某城市 意，得 近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树， (1＋x)2＝72.6 ． 60 修公园等措施，使城区绿地面积不断 (1＋x)2=1.21． 增加（如图所示）。（1）根据图中 所提供的信息回答下列问题：2001年 ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, 底的绿地面积为 公顷，比 60 2000年底增加了 公顷；在1999 x2 =－2.1(不合题意,舍 4 年，2000年，2001年这三年中，绿 去) 答： 2002年,2003年 地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________年； 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
答：每轮传染中平均一台电脑会感染8台电脑.
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长 出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91, 每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则1+x+x x=91 2 x 90 0 即 x
●
小 分 支
小 分 支
…… …… 主 干
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则5000(1-x)2=3000
解得：x1 ≈0.225=22.5%，x2 ≈1.775（舍） 答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%.
小结 类似地 这种增长率的问题在实际生活 普遍存在,解决问题有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前 的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数 量关系可表示为
解：设每个商品涨价x元，则(500-10x)· [(50+x)-40]=8000， ∴ x2 40x 300 0, 解得：x1=10 ，x2=30 当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
22.3 实际问题与一元二次方程
22.3 实际问题与一元二次方程223 实际问题与一元二次方程在我们的日常生活和工作中，一元二次方程有着广泛的应用。
它不仅仅是数学课本上的一个知识点，更是解决许多实际问题的有力工具。
比如说，在农业生产中，农民伯伯需要规划田地的种植面积。
假设一块矩形田地，长比宽多 10 米，面积为 500 平方米。
我们就可以设这块田地的宽为 x 米，那么长就是 x ＋ 10 米。
根据矩形面积等于长乘宽，可列出方程 x(x ＋ 10) ＝ 500，通过求解这个一元二次方程，就能算出田地的长和宽，从而更好地进行种植规划。
再比如，在商业领域，一家商店计划销售某种商品。
已知该商品的进价为每件 30 元，售价为每件 50 元时，每天能卖出 200 件。
如果售价每提高 1 元，每天的销量就会减少 10 件。
为了获得每天 2240 元的利润，商品的售价应该定为多少呢？我们可以设售价提高了 x 元，那么单件利润就是 50 ＋ x 30 ＝ 20 ＋ x 元，每天的销量就是 200 10x 件。
根据利润等于单件利润乘以销售量，可得到方程（20 ＋ x)（200 10x)＝ 2240。
解这个方程，就能得出合适的售价，帮助商家制定最优的销售策略。
还有在建筑工程中，要建造一个靠墙的矩形花坛。
如果墙的长度为20 米，花坛的面积需要达到 100 平方米。
设花坛平行于墙的一边长为x 米，那么垂直于墙的一边长就是(100 ／x)米。
因为花坛有一边靠墙，所以花坛的周长为 x ＋ 2(100 ／ x)米。
考虑到材料成本的限制，总周长不能超过 40 米，就可以列出一元二次方程 x ＋ 2(100 ／ x) ＜＝ 40，通过求解这个方程，就能确定花坛边长的合理取值范围，从而在保证美观和实用的前提下，有效地控制成本。
在几何图形问题中，也常常会用到一元二次方程。
例如，一个直角三角形的两条直角边相差 3 厘米，面积为 6 平方厘米。
设较短的直角边为 x 厘米，那么较长的直角边就是 x ＋ 3 厘米。
22.3实际问题与一元二次方程（3）（浙江省台州市临海市）（行程问题）
22.3实际问题与⼀元⼆次⽅程（3）（浙江省台州市临海市）（⾏程问题）22.3实际问题与⼀元⼆次⽅程（4）教学内容本节课主要学习建⽴⼀元⼆次⽅程的数学模型解决匀变速运动问题。
教学⽬标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出⼀元⼆次⽅程，体会⽅程是刻画现实世界的⼀个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运⽤⼀元⼆次⽅程对之进⾏描述。
解决问题通过解决匀变速问题，学会将实际应⽤问题转化为数学问题，发展实践应⽤意识．情感态度通过⽤⼀元⼆次⽅程解决⾝边的问题，体会数学知识应⽤的价值，提⾼学⽣学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展⼈类理性精神的作⽤．重难点、关键重点：列⼀元⼆次⽅程解有关匀变速问题的应⽤题难点：发现匀变速问题中的等量关系，建⽴⼀元⼆次⽅程的数学模型关键：理解匀变速运动中有关物理量的关系，根据匀变速问题中的等量关系列⽅程。
教学准备教师准备：制作课件，精选习题学⽣准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程⼀、复习引⼊1．路程、速度和时间三者的关系是什么？2．某辆汽车在公路上⾏驶，它⾏驶的路程s（m）和时间t（s）?之间的关系为：?s=10t+3t2，那么⾏驶200m需要多长时间?【活动⽅略】教师演⽰课件，给出题⽬．学⽣⼝答，⽼师点评。
【设计意图】复习基本的⾏程问题，掌握其数量关系，为继续学习建⽴⼀元⼆次⽅程的数学模型解匀变速运动问题作好铺垫．⼆、探索新知【问题情境】⼀辆汽车以20m/s的速度⾏驶，司机发现前⽅路⾯有情况，?紧急刹车后汽车⼜滑⾏25m后停车．（1）从刹车到停车⽤了多少时间?（2）?从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑⾏到15m时约⽤了多少时间（精确到0.1s）?分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．?因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦⼒⽽造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为2002+=10m/s ，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s ，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所⽤的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．（3）设刹车后汽车滑⾏到15m 时约⽤除以xs ．?由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑⾏到15⽶的车速，从⽽可求出刹车到滑⾏到15m 的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x 的值．解：（1）从刹车到停车所⽤的路程是25m ；从刹车到停车的平均车速是2002+=10（m/s ）那么从刹车到停车所⽤的时间是2510=2.5（s ）（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20从刹车到停车每秒平均车速减少值是202.5=8（m/s ）（3）设刹车后汽车滑⾏到15m 时约⽤了xs ，这时车速为（20-8x ）m/s则这段路程内的平均车速为20(208)2x +-=（20-4x ）m/s 所以x （20-4x ）=15 整理得：4x 2-20x+15=0解⽅程：得510± x 1≈4.08（不合，舍去），x 2≈0.9（s ）答：刹车后汽车⾏驶到15m 时约⽤0.9s ．【思考】刹车后汽车⾏驶20ｍ时⽤多少时间？（精确到0.1秒）【活动⽅略】学⽣分组、讨论解答。
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
3.总售价=单价x总销售量
2.某农场去年种植了10亩地的 南瓜，亩产量为2000kg，根据市 场需要，今年该农场扩大了种植面 积，并且全部种植了高产的新品种 南瓜，已知南瓜种植面积的增长率 是亩产量增长率的的2倍，今年南 瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩 产量的增长率。
3.某个体经营户以2元/kg的价格购进一批 西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可卖出 200kg，为了促销，该经营户决定降价销 售。经调查发现这种西瓜每降价0.1元 /kg ,每天可多售出40kg（每天房租等费 用共计24元），该经营户要想赢利200元， 应将每千克的西瓜的售价降低多少元？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（销售问题）
列方程解应用题的一般步骤？
第一步：审清题意，找出等量关系。 第二步：设未知数(单位名称); 第三步：根据相等关系列出列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验求得的值是否符合实际意义； 第六步：写出答案（及单位名称）。
提示：隐含条件的挖掘，从中找等量关系。
1.利润=售价-进价 2.利润率=
2n +3
• 例1 有一个两位数，它的十位数字比个位数 字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的 3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。 • 例2 已知三个连续奇数，其中最小的数的平 方的3倍减去25和两个较大数的平方和相等， 试求这三个数。
－3，－1，1或15，17，19
• 例3 有一个两位数，个位数字与十位数字的 和为14，交换数字位置后，得到新的两位数， 比这两个数字的积还大38，求这个两位数。
例5.一个三角形的三边长是三个 连续奇数，这三个连续奇数的平 方和为155，这个三角形三条边 长各是多少？
问题 展示：
22.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)
a(1 x) b
2
练习:
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后 年的营业额为403.2万元，求平均每年增长 的百分率？
练习卷第15题
设平均每年增长的百分率为x，依题意得：
280(1+x)2=403.2
探究:
政府要降低药品价格,某针剂单价由100元经过
两次降价,降至64元,设平均每次下降的百分率
问题:
某校去年对实验器材的投资为2万元, (1)若设该校今年在实验器材投资上的平均增长 率是x,则今年的投资总额是 2+2x 即=2(1+x) ； (2)该校明年在实验器材投资上的平均增长率也 是x,则明年的投资总额是 2(1+x)+2(1+x)x ， =2(1+x)(1+x)=2(1+x)2 即 ； 复习:1、因式分解：
(1)2+2x
(2)2(1+x)+2(1+x)x
2、解方程:
2 （1） 100(1 x) 64
复习:
3、2万元增长10%是 2+2×10%=2+0.2=2.2万元 。
4、列一元二次方程解应用题的步骤？
①审题， ②设未知数，
③找等量关系， ④列方程，
⑤解方程， ⑥检验，⑦写答.
3000(1+x)+ 2 3000(1+x) 3000(1+x)x
解:设这两个月的平均增长率为x,依题意有
3000(1+x)2=3630
归纳:
1、增长率问题：设基数为a，平均增长
率为x，则一次增长后的值为 a(1 x) ，
二次增长后的值为
a(1 x) ．
22.3 实际问题与一元二次方程(3)
22.3 实际问题与一元二次方程（3）：（1）数字问题：有关数字的应用题，大致可以分为三种：即一般数字关系，连续数和数字排列等问题。
涉及和，差，倍，分，奇数，偶数。
（2）几何图形问题：解决此类问题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找到已知量与未知量的内在联系，根据面积（体积）公式列出方程。
（3）平均增长（降低）率问题，解决此问题通常是利用公式建立方程。
a（1±x）2=b a（1±x）n=b（4）利润问题：解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％；③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出数字问题：例1.有一个两位数，个位数字和十位数字的和是14，交换数字的位置之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数。
1.两个连续的偶说的积是288，则这两个偶数的和等于2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调之后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。
利润问题：例1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。
市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？1.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？2.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则第二次采购玩具多少件？工程问题：3.甲。
22.3实际问题与一元二次方程(1)【超强实用版】
应用2：某种植物的主干长出若干数目的 支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干,支干和小分支的总数是91,每个支 干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支。
列方程 得1+x+x =91
2
化为一般形式 2 x 90小 分 支小来自分 支…… …… 主 干
小 分 支
小 分 支
……
……
x
新 细 胞
新 细 胞
…… ……
细胞
新 细 胞
新 细 胞
新细胞
……
……
x x
x
新细胞
4.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛1场,计划安排15场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛?
5.一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群 里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息， 这个QQ群中共有多少个好友？ 6.参加一次聚会的每两人都握了1次手,所有人共握 手10次,有多少人参加聚会?
谢谢！
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人
第一轮的传染源—— 1人
第一轮新增患病人数 X人
第二轮的传染源（第一轮后患病人数） (X+1)人 第二轮新增患病人数 x(X+1)人 第二轮后患病人数
=121 (X+1) +x(X+1)人
解：设平均一台电脑会感染x台电脑. 列方程 1 x x 1 x 81 2 整理，得 x+1 81 直接开平方，得 x+1 9
所以 x1 8 x2 -10（舍去）
81+81×8=729（人）
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∴此方程无实数解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
3.甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型 H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个 传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人 患甲型H1N1流感？
22.3.2实际问题与一元二次方程
商品销售问题
问题：
1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均 每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取 适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将 多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价 多少元? ①销售价在谁的基础上降价？销售量在谁的基础上多？
x 300 x 22500 0
2
解之,得
x1 x2 150 2900-x 2750
所以，每台冰箱的定价应为2750元
学以致用：
1.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了 赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润 [（50+x) —40] （500 —10 x） 元，销售量为 个，
相等关系为： 总利润=每件商品的利润×件数 列方程为： （500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000
解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为（500 —10 x）个， 2 则（500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000，整理得 x 40x 300 0,
解得 x1 10, x2 30都符合题意。 当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
当 x=30时，50+ x =80， 500 —10 x=200。
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若 售价为80元，则进贷量应为200个。
4.甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型 H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传 染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患 甲型H1N1流感？
销售价0.3元的基础上降价；销售量在100张基础上多 ②当销售价每降价0.1元时,其销售量就将多售出100张你怎样理解？ 降1个0.1元时, 销售量就将多售出1个100张,即1×100张 降2个0.1元时, 销售量就将多售出2个100张,即2×100张 降3个0.1元时, 销售量就将多售出3个100张,即3×100张 降n个0.1元时, 销售量就将多售出n个100张,即n×100张 ③每天盈利达到120元中每天盈利你怎样计算？ 每天盈利=每张盈利×每天销售量
2.用20cm长的铁丝能否折成面 积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与 宽;若不能,请说明理由.
20 解:设这个矩形的长为xcm,则宽为( x) cm, 2 20 x( x) 30 20 2 ( x) 2 x2-10x+30=0 即 x 2 10 4 1 30 20 0
答 : 每张贺年片应降价0.1元.
2.新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明: 当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50 元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均 每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
分析： 每台冰箱的销售利润 平均每天销售冰箱的数量 5000元.
①销售价在谁的基础上降价？销售量在谁的基础上多？ 销售价2900元的基础上降价；销售量在8台基础上多 ②当销售价每降低50元时,平均每天多售出4台你怎样理解？ 降1个50元时, 销售量就将多售出1个4台,即1×4台 降2个50元时, 销售量就将多售出2个4台,即2×4台 降3个50元时, 销售量就将多售出3个4台,即3×4台 降n个50元时, 销售量就将多售出n个4台,即n×4台 (2900 x)元 如果设每台冰箱降价x元, 那么每台冰箱的定价就是 _______
…..
1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均 每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决 定采取适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其 销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元, 每张贺年片应降价多少元?
解 : 设每张贺年片应降价x元, 根据题意, 得 x (0.3 x)(500 100 ) 120. 0.1 2 整理得 : 100 x 20 x 3 0. 解这个方程, 得 x1 0.1, x2 0.3(不合题意, 舍去).
x (8 4 ) 台. 台£¬平均每天销售冰箱的数量为_____________ 50 x 列方程为: (2900 x 2500) (8 4 ) 5000
x (2900 x 2500) 每台冰箱的销售利润为____________元.平均每天销售冰箱多_______ 4 50
50
2.新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明: 当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50 元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均 每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
解：设每台冰箱降价x元,
根据题意, 得
x (2900 x 2500) (8 4 ) 5000 50 整理,得
分析（1）：第一天人数+第二天人数=9， 设每天平均一个人传染了x人。
第一天
1
列方程为；
x
x(1 x) 1 x x(1 x) 1 x x(1 x) 9
1 x)2 9
x1 2, x2 4 舍去
（2）：9(1 x)5 9(1 2)5 2187, 或(1 x)7 (1 2)7 2187