17校联考数学试题

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2023-2024学年湖北省初中多校联考九年级上学期月考数学试题

2023-2024学年湖北省初中多校联考九年级上学期月考数学试题1.下列方程是一元二次方程的是（）A．B．C．D．（a、b、c为常数）2.方程的解是（）A．B．C．，D．，3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y =﹣2（x +1）2 +2B．y =﹣2（x +1）2﹣2C．y =﹣2（x﹣1）2 +2D．y =﹣2（x﹣1）2﹣24.已知抛物线y＝－(x－1)2＋4，下列说法错误的是（）A．开口方向向下B．形状与y＝x 2相同C．顶点(－1，4) D．对称轴是直线x＝15.设A（，），B（，），C（3，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．6.关于的一元二次方程的常数项是0，则的值A．1 B．1或2 C．2 D．7.中，于F，于为的中点，若的度数为（）A．B．C．D．8.二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.计算：_______．10.若一元二次方程．的一个根为，则____________．11.若是方程的根，，则的值为____________．12.若抛物线y=x2﹣kx+k﹣1的顶点在坐标轴上，则k=_____．13.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为_________．14.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(－3,－6)，点B(1,－2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为___________.15.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为__________．16.如图，在矩形中，，，E是上一个动点，过点E作于F，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为____________．17.解方程：（1）（2）18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．19.八年级全体同学参加了学校捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况统计图如图所示（1）本次共抽查学生人，并将条形统计图补充完整；（2）捐款金额的众数是，中位数是；（3）在八年级600名学生中，捐款20元及以上的学生估计有人.20.如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东方向上．(1)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．(2)求M点与小岛P的距离．21.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？22.如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．23.某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；(2)请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？(3)若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．24.已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．。

2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案

东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A. ∅B. SC. TD. Z2. 在复平面内，复数z 对应点为()1,1-，则1iz=+（）A. 2 B. 1C. D.123. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（）A. ()()0f x f x -->B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤ D. ()()0f x f x ⋅->4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（）A. 1B. 1- C.23D. 23-7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（）的A. 9B. 8C. 3D.838. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a 上的投影向量为（）A ()2,0 B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下..列结论正确的是（）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．14. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-值为______.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率的是________．16. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC 的面积为ABC 的周长.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.05000100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投.进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A. ∅B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2. 在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则1iz=+（）A. 2B. 1C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，所以1i z =-.所以()()()()212i i i 1i 1i 1i i 21i 1i 11i z -⨯----+====-+++⨯，所以11iz ==+.故选：B.3. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（）A. ()()0f x f x --> B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<【答案】B 【解析】【分析】设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，则40n a =，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，则10400A =；101091010105502B ⨯=⨯+⨯=；10100.4(12)409.212C -==-，所以101010B C A >>．故选：B ．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()y x x t =-的单调性，从而可求得t 的取值范围.【详解】因为函数e x y =在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数()y x x t =-在()2,3上单调递减，则32t≥，解得6t ≥.故选：A6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（）A. 1B. 1- C.23D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 是边长为2的等边三角形，且13BD BC = ，可得AD AB BD =+，所以()2222cos120233AD BC AB BD BC AB BC BD BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-.故选：D.7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（）A. 9 B. 8C. 3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上投影向量为（）A. ()2,0B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-【答案】D 【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912的y 1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r 增大【答案】ABC 【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A ；由样本中心点计算 a验证选项B ；根据残差的定义计算验证选项C ；根据相关系数r 的分析验证选项D ．【详解】56891285x ++++==，1720252835255y ++++==，所以样本中心点为(8,25)，则A 正确；由ˆ2.6y x a=+，得ˆ 2.625 2.68 4.2a y x =-=-⨯=，则B 正确；由B 知，ˆ 2.6 4.2yx =+，当5x =时，ˆ 2.65 4.217.2y =⨯+=，则残差为1717.20.2-=-，则C 正确；由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，相关系数r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r 的大小不变，故D 不正确．故选：ABC ．10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B. ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：1πππ24126T T ω⎛⎫=--⇒=⇒= ⎪⎝⎭，又()f x 经过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈,故π2π,Z 3k k ϕ=+∈，由于ππ,,23ϕϕ<∴=故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π6个单位长度得到，故A 错误，对于B ，()ππππcos 2=sin 2=sin 26623f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确，对于C ， ()2πsin π03f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确，对于D ，令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得ππ,Z 5ππ1212k x k k +≤≤+∈-，故()f x 的其中两个单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故D 错误，故选:BC11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下列结论正确的是（）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO 的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据SO ⊥面ABC ，由cos OCSCO SC<=判断；对于B ，由圆锥SO 的侧面积公式求解判断；对于C ，由π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭求解判断；对于D ，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，易得SDO ∠为二面角S BC O --的平面角求解判断.【详解】对于A ，因为SO ⊥面ABC ，所以SCO ∠是SC 与底面所成角，在Rt SOC △中，圆锥的母线长是，半径2r OC ==，则cos OC SCO SC ∠===，所以SCO ∠=45︒，则A 正确；对于B ，圆锥SO 的侧面积为rl π=，表面积为+4π，则B 错误；对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时π2ASB ∠=，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2πSAB ASB ∠+∠=，可得ππ,42SAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则C 正确；对于D ，如图所示，，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，又O 为AC 的中点，则//OD AB ，因为AB BC ⊥，所以BC OD ⊥，又SO ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以BC SO ⊥，又SO OD O = ，BC ⊥面SOD ，故BC SD ⊥，所以SDO ∠为二面角S BC O --的平面角，因为点B 为弧AC的中点，所以AB =，12OD AB ==tan SO SDO OD∠==D 错误.故选：AC.12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为1h ，则4011ln ln 10p p h --=，即41110lnp h p =.因为14000h ≥，所以40110ln4000p p ≥，解得010.4ep p ≤A 正确；由0ln ln p p kh -=，得0ekhp p =.当0h >时，0e 1khp p=>，即0p p >，所以03p p >，B 错误；设在第二级阶梯某处的海拔为2h ，在第三级阶梯某处的海拔为3h ，则40224033ln ln 10ln ln 10p p h p p h --⎧-=⎨-=⎩两式相减可得()43232ln 10p h h p -=-.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈，所以[]230,1800h h -∈，则4320ln1018000.18p p -≤≤⨯=，即0.18321e p p ≤≤，故0.18232e C,D p p p ≤≤，均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，2235C (1)10a =-=.故答案为：1014. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-的值为______.【答案】43【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】()222222sin π2sin22sin cos 2tan 4tan 2,2cos 1cos sin cos sin 1tan 3αααααααααααα+---=====----.故答案为:43.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】1537【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，由题可得()()(),,P A P B P AB ，后由条件概率公式可得答案.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111137343536180P A =⨯+⨯+⨯=， ()1113412P AB =⨯=.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()115123737180P AB P B A P A ===.故答案为：153716. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.【答案】48π【解析】【分析】当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11sin 60632P OAB R V R R =⨯⨯⨯⨯⨯= －，故R =，则球O 的表面积为24π48πS R ==.故答案为：48π.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）6+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出6a b +=，进而求出ABC 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B += ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC 中，0B π<<，∴sin 0B ≠，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-⋅，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC 的周长为6+.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1//BB 1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .【小问2详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，可得m =.AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅== .19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．【答案】（1）3nn a = （2）12【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n T ，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当1n =时，1112332S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，11233n n S a --=-，因为233n n S a =-，所以1122233n n n n n S S a a a ---==-，即13n n a a -=，所以()132nn a n a -=≥，所以，{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =；【小问2详解】由题意知：1213n nb n =+-，所以()211112111331122313nn nn n T n ⎛⎫-⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=-+ ⎪⎝⎭-，易知{}n T 在*n ∈N 上单调递增，而1213121311111441150,16911502323T T ⎛⎫⎛⎫=+-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足150n T <的n 的最大值为12．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出b 的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.752 1.252 1.75 2.25)0.1=1b ⨯+⨯+++⨯，解得=2b ，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.55 1.250.65 1.750.75 2.250.8520.95 1.25 1.050.75)0.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.75≈；【小问2详解】()()()()222()400(180607090) 6.154250*********n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为6.154 3.841>，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点023=p （2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率()f p 的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则()()()2446C 1,0,1f p p p p =-∈，则()()()()()24344366C 4121C 146f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，令()0f p '=，得23p =，当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在区间2,13⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以()f p 的最大值点023=p ．【小问2详解】若选规则一，记X 为小李投进的次数，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．的则2~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2643E X =⨯=，记Y 为小李所得鸡蛋的盒数，则2Y X =，()()28E Y E X ==．若选规则二，记Z 为小李投进的次数，则Z 的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k 次投进为事件()1,2,3k A k =，未投进为事件k A ，所以投进0次对应事件为123,,A A A ，其概率为()()1231255033627P Z P A A A ===⨯⨯=；投进1次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2121121217133333333627P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；投进2次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2212111117133333333327P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．投进3次对应事件为123A A A ，其概率()2228333327P Z ==⨯⨯=，所以Z 的分布列为Z 0123P527 727 727 827所以()577850123272727273E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=；记L 为小李所得鸡蛋的盒数，则4L Z =，()203E L =，因为()()E Y E L >，所以小李应选规则一参加比赛．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0m ≤和0m >两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，构造函数()e (2)xg x x =-，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0e m <<，再构造差函数，证明出122x x +<.小问1详解】()f x 的定义域为R ，由题意，得e ()1e exx x m f x m'-=-=，x ∈R ，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0m >，且当(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增．【小问2详解】证明：由()()122f x f x ==，得1x ，2x 是方程2e xmx +=的两个实数根，即12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根．令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e g x g ==．因为当x →-∞时，()0g x →；当x →+∞时，()g x →-∞，()20g =，所以0e m <<．不妨设12x x <，因为1x ，2x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，则1212x x <<<．要证122x x +<，只需证122x x <-．因为11<x ，221x -<，【所以只需证()()122g x g x <-．因为()()12g x g x =，所以只需证()()222g x g x <-．今()()(2)h x g x g x =--，12x <<，则()22()()(2)e (1)e(1)(1)e e xxx xh x g x g x x x x --'''=+-=-+-=--22e e (1)0ex xx -=-⋅<在()1,2恒成立．所以()h x 在区间(1,2)上单调递减，所以()(1)0h x h <=，即当12x <<时，()(2)g x g x <-．所以()()222g x g x <-，即122x x +<成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.。

湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。

重庆市铜梁中学等七校2022-2023学年高二上学期第十四周(12月)联考数学试题

重庆市铜梁中学等七校2022-2023学年高二上学期第十四周（12月）联考数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。

4．考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线310x y -+=的倾斜角为（）A ．30°B ．120°C ．45°D ．150° 2．已知数列{a n }是等差数列，且a 2+2a 3+a 8=32，则a 4=（）A ．4B ．6C ．8D ．103．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =± C ．12y x =± D ．y x =±4．已知数列满足：a 1=1且，则a 2022=（）A ．-B ．C ．D ．5．圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y m m -++=>内切，则实数m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7 6．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．6B ．9C ．12D ．13 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则点B 到直线A 1M 的距离为（） A ． 2B ． 3C ．2D ． 58．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校高一上学期期末联考数学试卷含答案

2022—2023学年度第一学期期末质量检测高一数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）而部分，满分150分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题纸相对应的位置．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1,2,3,4},{2,3,4,5}A B ==，则A B 等于（）A ．{2,4}B ．{1,5}C ．{2,3,4}D ．{}1,2,3,4,52．函数()21f x x mx =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是（） A ．2m =- B ．2m = C ．1m =- D ．1m =3．a b c >>，且0a b c ++=，下列不等式恒成立的是（）A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a b c b >D ．222a b c >>4．已知sin 0,tan 0θθ<>） A ．cos θ B ．cos θ- C ．cos θ± D ．以上都不对5．指数函数x y a =与xy b =的图象如图所示，则（）A ．0,0a b <>B ．01,01a b <<<<C ．01,1a b <<>D ．1,01a b ><<6．sin1sin 2sin3sin 4⋅⋅⋅的符号为（）A ．正B ．0C ．负D ．无法确定7．若命题“2240ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．0a <或3a ≥B ．0a ≤或4a ≥C ．0a <或3a >D ．0a <或4a ≥8．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（） A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．3y x =- C ．1y x = D ．()3log y x =- 9．要得到函数212x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=的图象，只需将函数14x y -=的图象（） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位 10．如图所示的曲线对应的函数是（）A ．|sin |y x =B ．sin ||y x =C ．|sin |y x =-D ．sin ||y x =-11．已知0.30.50.53log 5,log 3,log 2,2a b c d ====，则（） A ．a b c d <<< B ．b a c d <<< C ．a b d c <<< D ．c a b d <<<12．函数y =） A ．2,2()33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．22,2()33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．2,2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．222,2()33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题“0,12x R y ∃∈<≤”的否定形式是____________．14．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_____弧度，扇形面积是_____．15．函数|sin |cos ()sin |cos |x x f x x x =+的值域是________． 16．函数22sin 2cos 33y x x x ππ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是____________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知1tan 21tan αα+=-，求下列各式的值．（1）sin 2cos 2sin cos αααα--；（2）sin cos 2αα+． 18．（本小题满分12分）已知条件{}2:60p x x x +-=∣，条件:{10}q x mx +=∣，且p 是q 的必要条件，求m 的取值集合．19．（本小题满分12分）若函数()2()33x f x a a a =-+⋅是指数函数，求函数log (1)a y x =+在区间(0,3)上的值域．20．（本小题满分12分）（1）已知0x >，求42y x x =--的最大值；（2）已知112x -<<，求(1)(12)y x x =+-的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数12()log |sin |f x x =．（1）求函数的定义域和值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断函数的周期性，若是周期函数，求其最小正周期；（4）写出函数的单调区间．22．（本小题满分12分）已知函数2()2tan 1,[f x x x x θ=+-∈-，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭．（1）当6πθ=-时，求函数的最大值和最小值；（2）求θ的取值范围，使()y f x =在区间[-上是单调函数（增函数或减函数称为单调函数）．2022－2023学年度第一学期期末质量检测（AK ）高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．∀x ∈R ，y ≤1或y >2 14．23 48 15．{2，﹣2，0} 16．－41 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解: 由2tan 1tan 1=-+αα解得，31tan =α. （1） 51tan 22tan =--=αα原式（2） 10232tan 1tan 2cos sin cos sin 222=++=++=αααααα原式 18．（本小题满分12分）解：条件p ：{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}＝A ，条件q ：{x |mx ＋1＝0}＝B ，因为p 是q 的必要条件，所以B ⊆A .所以B ＝∅或{－3}或{2}．当m ＝0时，B ＝∅满足题意．当m ≠0时，若B ＝{－3}，则－3m ＋1＝0，解得m ＝13.若B ＝{2}，则2m ＋1＝0，解得m ＝－12. 综上可得，m 的取值集合是11,0,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 19．（本小题满分12分）解：函数2()(33)x f x a a a =-+⋅是指数函数则23310,1a a a a ⎧-+=⎨≠⎩＞且解得a =2∴函数2log y x =是增函数∴函数2log (1)y x =+也是增函数，在区间（0，3）上，0<x <3，有222log (01)log (1)log (31)x +<+<+解得02y <<，即所求函数的值域为（0，2）.20．（本小题满分12分）解：（1）因为x >0，所以x ＋4x≥4，所以y ＝2－x －4x ＝2－4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2－4＝－2，所以当且仅当x ＝4x ，即x ＝2>0时，函数y ＝2－x －4x的最大值为－2. （2）因为－1<x <12，所以1＋x >0，1－2x >0，所以y ＝（1＋x ）（1－2x ）＝12（2+2x ）（1－2x ） ≤122(22)(12)2x x ++-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝98，当且仅当2＋2x ＝1－2x ，即x ＝－14∈11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，y ＝（1＋x ）（1－2x ）的最大值为98. 21．（本小题满分12分）解：（1）由|sin x|>0,得sin x ≠0,∴x ≠k π（k ∈Z ）.∴函数的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z }.∵0<|sin x|≤1，∴12log |sin x|≥0.∴函数的值域为{y|y ≥0}.（2）∵函数定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z },关于原点对称,f （－x ）=12log |sin （－x ）|=12log |sin x|=f （x ）,∴函数f （x ）是偶函数.（3）∵f （x+π）=12log |sin （x+π）|=12log |sin x|=f （x ）,∴函数f （x ）是周期函数,且最小正周期是π.（4）当x ∈,2k k πππ⎛⎤+⎥⎝⎦时,t=|sin x|是增加的; 当x ∈,2k k πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,t=|sin x|是减少的.又函数y=12log t 为减函数, ∴函数f （x ）的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（k ∈Z ），单调递减区间为 ,2k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（k ∈Z ）. 22．（本小题满分12分）解：（1）当θ＝－6π时，f （x ）＝x 2－3x －1＝x ⎛- ⎝⎭2－43.∵x ∈[－1]，∴当x ＝3时，f （x ）的最小值为－43，当x ＝－1时，f （x . （2）f （x ）＝（x ＋tan θ）2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f （x ）在区间[－1]上是单调函数．∴－tan θ≤－1或－tan θtan θ≥1或tan θ≤， ∵θ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴θ的取值范围是,23ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦∪,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。

2025届广西玉林玉州区七校联考数学七年级第一学期期末检测模拟试题含解析

2025届广西玉林玉州区七校联考数学七年级第一学期期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号f(x)来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用f(a)来表示，例如x ＝﹣1时，多项式f(x)＝x 2+3x ﹣5的值记为f(﹣1)，那么f(﹣1)等于( )A ．﹣7B ．﹣9C ．﹣3D ．﹣12．下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（）A ．把弯曲的河道改直，可以缩短航程B ．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C ．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D ．连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离3．按如图所示图形中的虚线折叠可以围成一个棱柱的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列各组两个数中，互为相反数的是（）A ．(2)--和2B ．22和2(2)-C ．32-和3(2)-D ．m 和m -5．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．甲乙两个超市为了促销一种定价相等的商品，甲超市连续两次降价10％，乙超市一次性降价20％，在哪家超市购买同样的商品最合算( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．和商品的价格有关7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中α∠与β∠一定互余的是（）A ．B ．C ．D ．8．下列说法中正确的是（）A ．0不是单项式B ．b a 是单项式C ．2x y 的系数是0D ．32x -是整式 9．商家常将单价不同的A B 、两种糖混合成“什锦糖”出售,记“什锦糖”的单价为: A B 、两种糖的总价与A B 、两种糖的总质量的比。

安徽省部分学校2024-2025学年高三上学期8月联考试题数学含答案

2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足23z z +=-（i 为虚数单位），则z =（）．A.1+B.1C.1-D.1-2.已知向量()2,1a = ，()2,b m m =- ，若a b ∥ ，则m =（）．A.4- B.2- C.2D.43.在等比数列{}n a 中，若23138a a a =，则48a a =（）．A.2B. C.4D.84.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则“a β⊥”是“a b ⊥r r”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合()(){},ln 1A x y y x ==+，(){}22,1B x y xy =+=，则A B ⋂中的元素个数为（）．A.1B.2C.3D.46.22π7πsinsin 1212-=（）．A.2B.12C.12-D.2-7.某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为23，45，34，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（）．A.1013B.23 C.713D.7308.已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作C 的一条渐近线的垂线l ，直线l 与C交于A ，B 两点，若ABF △的面积为3，则C 的离心率为（）．A.3B.C.2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个10.若01a b <<<，则（）．A.a b +>+B.cos sin a b >C .log a bb a>D.ln ln a b a b-<-11.在四棱锥S ABCD -中，已知底面ABCD 为梯形，2222AD AB BC CD SD =====，AS =，则下列说法正确的是（）．A.四边形ABCD 的面积为4B.棱SB 的长度可能为C.若SD AB ⊥，则点A 到平面SBD 的距离为1D.若SD AB ⊥，则四棱锥S ABCD -外接球的半径为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种．13.已知函数()()cos f x x ωϕ=+在区间24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且42233f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2f =__________．14.在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线ln xy x=上一点且位于第一象限，将线段OM 绕x 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PD AD ⊥．（1）证明：⊥BC 平面PCD ；（2）若4PA =，E 为棱PC 的中点，求直线PC 与平面ABE 所成角的正弦值．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin sin BC A B=+．（1）求C ；（2）若32a b c +=且3a =，求ABC V 的外接圆半径．17.已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，过点F 且互相垂直的两条动直线分别与E 交于点A ，B和点C ，D ，当AB CD =时，8AB =．（1）求E 的方程；（2）设线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，若直线AB 的斜率为正，且18FN FM=，求直线AB 和CD 的方程．18.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：对无人驾驶的态度支持中立反对频数483216用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．（3）从该校任选n 名学生，其中得分为5的学生人数为X ，若30.944nn P X ⎛⎫≤≤≥ ⎪⎝⎭，利用下面所给的两个结论，求正整数n 的最小值．结论一：若随机变量(),B n p ξ ，则随机变量η=近似服从正态分布()0,1N ；结论二：若随机变量()0,1N ξ ，则()1.280.9P ξ≤≈，()1.650.95P ξ≤≈．19.已知函数()221ln 11x x f x x x x -=--+-．（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数；（3）设10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()()()22211111nk k k k k k -+++<+-L ．附：()()2222211ln 111x x x x x x x '⎛⎫-+= ⎪+--+-⎝⎭，()()22212ln 111x x x x x x x x '--⎛⎫= ⎪+--+-⎝⎭．2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】AD 【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】18【13题答案】【答案】12##0.5【14题答案】【答案】24e 1+四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明见详解（2）5【16题答案】【答案】（1）2π3C =（2）3【17题答案】【答案】（1）24y x=（2）:210AB x y --=，:220CD x y +-=【18题答案】【答案】（1）1118（2）772（3）11【19题答案】【答案】（1）(),111122,,⎛⎛⎫+-∞--+∞ ⎝⎭⎝⎭（2）1（3）证明见解析。

2024届江西省江西省多校联考模拟预测数学试题

2024届江西省江西省多校联考模拟预测数学试题一、单选题 1．抛物线212y x =的焦点到准线的距离为（） A ．2B ．1C ．12D ．142．若i 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则q =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知数列{}n a 满足()n a n a a =-∈R ，则“1a ≤”是{}n a 是递增数列的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()e ln 0aa b b a =>，则（）A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法确定5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m ()0m >为整数，若a 和b 同时除以m 所得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若1230303030C C C a =+++L ，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（） A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>在区间()0,π上恰有两个极值点12,x x ，则()12f x x +的值为（）A．1B C ．D ．27．已知点M 是圆221x y +=上一点，点N 是圆()22:33C x y -+=上一点，则CMN ∠的最大值为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π68．现为一球形玩具设计一款球形的外包装盒（盒子厚度忽略不计）．已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入4个玩具球，则该种外包装盒的直径的最小值为（）A ．2B ．2C 2-D ．2二、多选题9．设集合{}2|3210A x x x =--=，{}|10B x ax =-=，若A B A ⋃=，则a 的值可以为（）A ．1B ．0C ．13-D ．3-10．已知函数()f x 对任意的x ，y ∈R ，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠，()21f =-，则（）A ．()01f =B ．()f x 是奇函数C ．()f x 的周期为4D ．()100215100n n f n ==∑，*n ∈N11．已知()2,0A -，()2,0B ，()1,0C ，动点M 满足MA 与MB 的斜率之积为34-，动点M 的轨迹记为Γ，过点C 的直线交Γ于P ，Q 两点，且P ，Q 的中点为R ，则（）A ．M 的轨迹方程为22143x y +=B ．MC 的最小值为1C ．若O 为坐标原点，则OPQ △面积的最大值为32D ．若线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点D ，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍三、填空题12．已知向量a r ，b r 满足2b =r ，向量a r 在b r 上的投影向量为12b r，则a b ⋅=r r ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线():e 1xC y x =<的一条切线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，则OAB V的面积的最大值为． 14．如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格．直到飞机移到第n 1-（5n ≥且n +∈N ）格（失败集中营）或第n 格（胜利大本营）时，游戏结束．则飞机移到第3格的概率为，游戏胜利的概率为．四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，且cos sin tan cos sin B CA C B-=+．(1)若π6B =，求C 的大小． (2)若2a =，求b c +的取值范围．16．如图所示，四边形BCDE 为直角梯形，且//BC DE ，ED CD ⊥，2BC =，CD =1ED =．ABE V 为等边三角形，平面ABE ⊥平面BCDE ．(1)线段AC 上是否存在一点G ，使得DG//平面ABE ，若存在，请说明G 点的位置；若不存在，请说明理由；(2)空间中有一动点Q ，满足AQ BE ⊥，且0QB QC ⋅=u u u r u u u r．求点Q 的轨迹长度．17．已知函数()()ln ,,0f x x a x b a b a =--∈≠R ． (1)若1a b ==，求()f x 的极值； (2)若()0f x ≥，求ab 的最大值．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，渐近线方程为y =，过左焦点()2,0F -的直线l 与C 交于G ，H 两点． (1)设直线AG ，AH 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；(2)若直线AG 与直线BH 的交点为P ，试问双曲线C 上是否存在定点Q ，使得PFQ △的面积为定值？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．在信息理论中，X 和Y 是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：()i i P X x m ==，()i i P Y x n ==，0i m >，0i n >，1,2,,i n =L ，111nni i i i m n ====∑∑．定义随机变量X 的信息量()21log ni i i H X m m ==-∑，X 和Y 的“距离”()21log nii i im KL XY m n ==∑． (1)若12,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，求()H X ；(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为()01p p <<，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q ，发出信号1接收台收到信号为1的概率为()01q q <<．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用p ，q 表示结果）（ⅱ）记随机变量X 和Y 分别为发出信号和收到信号，证明：()0KL X Y ≥．。

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．命题“N,3sin x x x ∀∈>”的否定是（） A ．N,3sin x x x ∀∈≤B ．N,3sin x x x ∀∈<C ．000N,3sin xx x ∃∈>D ．000N,3sin xx x ∃∈≤【答案】D【分析】由全称命题的否定的定义即可得出结果.【详解】由全称命题的否定的定义可知，N,3sin x x x ∀∈>的否定为000N,3sin xx x ∃∈≤.故选：D.2．直线0x y -=的倾斜角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求出倾斜角.【详解】由0x y -+=得斜率1tan 4k π==，故选：B.3．抛物线236y x =的准线方程是（） A ．9y = B ．9y =- C ．9x = D ．9x =-【答案】D【分析】根据抛物线方程()220y px p =>的准线方程为2px =-求解. 【详解】由236y x =得18p =，∴准线方程为92px =-=-，故选：D4．在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,1,4)A -与(2,1,4)A '关于（）对称. A ．xOy 平面 B ．yOz 平面 C ．xOz 平面 D ．原点【答案】B【分析】根据空间直角坐标系的定义求解.【详解】因为点(2,1,4)A -与(2,1,4)A '两点的横坐标互为相反数，其余坐标相等，所以两点则关于yOz 平面对称，故选:B ．5．若x ，y 满足约束条件580?2310032110x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,4-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】画出可行域如图，()1,4A ，()2,2B -，()3,1C ，y x 表示点(),x y 与()0,0O 连线的斜率，13OC k =，1OB k =-， ∴y x 的取值范围是(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C.6．某程序框图如图所示，则输出的S =（）A ．8B ．27C ．85D ．260【答案】C【分析】直接运行程序框图即可求解. 【详解】由图可知,初始值2,1S k ==；第一次循环，112,3228k S =+==⨯+=，23k =>不成立；第二次循环，213,38327k S =+==⨯+=，33k =>不成立；第三次循环，314,327485k S =+==⨯+=，43k =>成立；退出循环，输出S 的值为85. 故选：C.7．已知命题p ：直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，命题:3q a =-，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】判断命题p 与命题q 间关系可得答案.【详解】直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，则()233a a a +=⇒=-或1a =，又当1a =或3a =-时，两直线均不重合，即命题p 等价于3a =-或1a =，则由命题p 不能得到命题q ，但由命题q 可得命题p ，则p 是q 的必要不充分条件. 故选：B.8．下列命题是真命题的是（）A ．“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”的逆否命题B ．“偶函数的图象关于y 轴对称”是特称命题C ．“1x >且1y >”是”2x y +>”的充要条件D ．若0xy ≠，则x ，y 只有一个不为0 【答案】A【分析】根据命题的定义一一判断即可求解. 【详解】A 选项，原命题与逆否命题等价，原命题“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”为真命题，则逆否命题为真命题，A 正确；B 选项，原命题可改写为“所有偶函数的图象关于y 轴对称”是全称命题，B 错误；C 选项，x >且1y >可得到2x y +>，但2x y +>，如取1,4x y =-=得不到x >且1y >，所以“1x >且1y >”是”2x y +>”的充分不必要条件，C 错误； D 选项，若0xy ≠，则x ，y 都不为0，D 错误. 故选:A.9．若直线20x y m -+=与椭圆22152x y +=交于,A B 两点，且AM MB =，则点M 的坐标可能是（）A ．11,210⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(5,1)-C ．11,210⎛⎫⎪⎝⎭D ．(5,1)【答案】A【分析】利用中点弦问题的点差法求解. 【详解】因为AM MB =，所以M 为AB 中点，设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，因为,A B 在椭圆上，所以22112222152152x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()052x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()1212121225y y y y x x x x +-=-+-，即25OM AB k k ⋅=-，因为直线20x y m -+=过点,A B ，所以2AB k =，所以0015OM y k x ==-，经检验C 、D 不满足0015y x =-， A 、B 选项均满足0015y x =-，但(5,1)-在椭圆外，不符合条件，故选：A.10．已知直线()100,0x my n m n ++-=>>与圆()2219x y +-=相交于A ，B 两点，且AB 的长度始终为6，则4n mmn+的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9【答案】D【分析】由题知，直线恒过圆心()0,1，则1m n +=，结合基本不等式即可求解. 【详解】圆()2219x y +-=的圆心()0,1，半径为3，由题知，直线恒过圆心()0,1，则1m n +=，而0,0m n >>，所以()4141441559n m m n m n mn m n m n n m +⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⨯+=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4m nn m=且1m n +=，即12,33m n ==时等号成立.故选：D.11．已知动点P 在双曲线22215x y a -=的右支上，过点P 作圆22:1C x y +=的切线，切点为M ，切线长|PM | ）A ．32B ．52C D 2【答案】A【分析】由勾股定理知，切线长|PM |取得最小值可转化为|OP |取得最小值，即可求出,a c 进而求出离心率.【详解】解：由勾股定理知，切线长|PM |取得最小值可转化为|OP |取得最小值，当|OP |取得最小值时，P 为双曲线右顶点（a ，0），则2a =，则2223459,3,2c c a b c e a =+=+====. 故选：A.12．已知直线1x my =+与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，M 为抛物线上一动点，OM 与线段AB 交于点N ，且3OM ON =，则ABM 面积的最小值为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】A【分析】联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长AB ，进而求出ABOS，由3OM ON =，得2ABMABO SS =△，根据表达式求出最值即可．【详解】由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，2(4)160m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y y y m =-+=，()241AB m =+，O 到直线1x my =+的距离d =，∴12ABO S AB d =⨯⨯=△∵3OM ON =，∴2ABM ABO S S ==△△ ∴当0m =时，ABM S △取最小值4．故选：A ．二、填空题13．双曲线22152x y -=的实半轴长为___________.【分析】根据实半轴定义求解.【详解】由题可得25a =，所以a =所以实半轴长为a =故答案为:14．粮食安全是国之大者，解决吃饭问题，根本出路在科技.某科技公司改良试种了A ，B ，C 三类稻谷品种，今年秋天分别收获了A 类稻谷1200株，B 类稻谷1500株，C 类稻谷2100株.现用分层抽样的方法从上述所有稻谷中抽取一个容量为320株的样本进行检测，则从B 类稻谷中应抽取的株数为___________. 【答案】100【分析】先求出A 、B 、C 株数之比，然后按比例抽取.【详解】A 、B 、C 株数之比为457：：，则B 类抽取的株数为532010016⨯=. 故答案为：10015．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：则表中a 的值为___________. 【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解. 【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.三、双空题16．已知()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足2MB MA -=，(N ，则MNB 周长的最小值为______，此时点M 的坐标为______.【答案】 10 54⎛- ⎝⎭【分析】由题意得动点M 的轨迹是以,A B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，求出轨迹方程，根据双曲线定义及三点共线求得MNB 周长的最小值，将直线AN 的方程代入双曲线方程可求得M 的坐标．【详解】由题意得动点M 的轨迹是以,A B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，则2,1,c a b ===M 的轨迹方程为()22103y x x -=<，∵4NB =，∴MNB 的周长最小时，MN MB +最小，2MN MB MN MA +=++，又4MN MA AN +≥=，当且仅当N ，M ，A 三点共线且M 在线段AN 上时，等号成立， ∴MNB 的周长为24610MN MB NB MN MA AN ++=+++≥+=，直线AN 的方程为)2y x =+，将其代入到2213y x -=，化简得：441x --=，54x =-，则524y ⎫-+=⎪⎭，M 的坐标为54⎛- ⎝⎭.故答案为：10，54⎛- ⎝⎭.四、解答题17．已知直线1:20l x y -+=和2:0l x y +=相交于点P .(1)若直线l 经过点P 且与3:220l x y +-=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线l '经过点P 且与4:2310l x y --=平行，求直线l '的方程. 【答案】(1)230x y -+= (2)2350x y -+=【分析】（1）联立两直线方程，求出交点坐标，设l 的方程为20x y m -+=，将()1,1P -代入方程，求出参数m 的值，即可得解；（2）依题意设l '的方程为230x y n -+=，将()1,1P -代入方程，求出参数n 的值，即可得解；【详解】（1）解：由200x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以1:20l x y -+=与2:0l x y +=的交点P 为()1,1- 设与3:220l x y +-=垂直的直线l 的方程为20x y m -+=，将()1,1P -代入20x y m -+=，即()2110m ⨯--+=解得3m =，则l 的方程为230x y -+=；（2）解：依题意设l '的方程为230x y n -+=，将()1,1P -代入230x y n -+=，即()21310n ⨯--⨯+=解得5n =， ∴l '的方程为2350x y -+=.18．成都电视台在全市范围内开展创建全国文明典范城市知识竞赛，随机抽取n 名参赛者的成绩统计如下表：成绩分组频数频率[)50,60 10 0.10[)60,70 25a[)70,80 35 0.35[)80,90b0.20[]90,100100.10(1)请求出n ，a ，b 的值，并画出频率分布直方图；(2)请估计这n 名参赛者成绩的中位数和平均值（结果均保留一位小数）【答案】(1)100n =，0.25a =，20b =，频率分布直方图见解析 (2)中位数为74.3，平均值为74.5【分析】（1）根据频率计算公式求出n ，a ，b 的值，进而画出频率分布直方图；（2）由中位数左边和右边的直方图的面积相等，求出中位数；由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均值. 【详解】（1）由[)70,80组数据可得：351000.35n ==，则250.25100a ==，1000.220b =⨯=，画出频率分布直方图如图，（2）设中位数为x ，则()0.10.250.035700.5x ++⨯-=，解得74.3x ≈，平均值为550.1650.25750.35850.2950.174.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19．已知m ∈R ，命题p ：[]0,2x ∀∈，22m x x ≤-，命题q ：()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x+=成立. (1)若p 是真命题，求m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求m 的取值范围. 【答案】(1)1m ≤- (2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据恒成立的思想可知()2min 2m x x ≤-，由二次函数最值可求得结果；（2）根据基本不等式可求得44x x+≥，由能成立的思想可知4m ≥时；由题意可知,p q 一真一假，分别讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况即可.【详解】（1）若p 是真命题，则22m x x ≤-在[]0,2上恒成立， ∵()22211x x x -=--，[]0,2x ∈，∴当1x =时，()2min 21x x -=-，∴1m ≤-；（2）对于q ，当0x >时，4424x x x x +≥⋅=，当且仅当2x =时取等号，若()0,x ∃∈+∞，使得方程4x m x+=成立，只需4m ≥即可，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 和q 一真一假，当p 真q 假时，114? m m m ≤-⎧⇒≤-⎨<⎩，当p 假q 真时，144? m m m >-⎧⇒≥⎨≥⎩综上，m 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.20．已知直线:30l x y λλ+--=和圆22:6210C x y x y +--+=(1)证明：无论λ取何值，直线l 始终与圆C 有两个公共点；(2)若l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）注意到直线l 过定点，再证该定点在圆C 内部即可；（2）当l 与CM 垂直的时，弦长|AB |取得最小值，即可得答案.【详解】（1）()130：l λx y -+-=，恒过点M （1，3），22:6210C x y x y +--+=化简为()()22319：C x y -+-= 将M （1，3）代入圆的方程得()()2213319-+-<，则M （1，3）在圆内，∴无论λ取何值，直线l 始终与圆C 有两个公共点；..（2）当l 与CM 垂直的时，弦长|AB |取得最小值，则CM ==C 半径r 为3，得22AB ==⨯=.21．已知动点M 到点()1,0F 的距离等于它到直线=1x -的距离，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求动点M 的轨迹方程C ；(2)已知()2,0A -，()0,1B ，过点B 的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点P ，求PAB 的面积.【答案】(1)24y x =(2)1或18或12【分析】（1）根据抛物线定义得动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线=1x -为准线的抛物线，则2p =，即可得出答案；（2）分三种情况讨论：①当l 斜率不存在时；②当l 斜率为0时；③当l 斜率存在且不为0时，根据题意求出点P 坐标，即可得出PAB 的面积.【详解】（1）根据抛物线定义得动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线=1x -为准线的抛物线，故2p =，动点M 的轨迹方程C ：24y x =；（2）①当l 斜率不存在时，点P 与原点()0,0O 重合，12112PABS =⨯⨯=； ②当l 斜率为0时，直线l ：1y =与抛物线C ：24y x =交于点1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1111248PAB S =⨯⨯=△； ③当l 斜率存在且不为0时，设l ：()10y kx k =+≠，由214y kx y x=+⎧⎨=⎩，得：()222410k x k x +-+=，① 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点P ，则()22Δ24416160k k k =--=-=，解得1k =，将1k =代入①可得2210x x -+=，解得1x =，此时解得()1,2P ，直线AP ：()20212y x -=++，即()223y x =+，则直线AP 与y 轴交于点40,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故111112123232PAB BQA BQP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△. 综上，PAB 的面积为：1或18或12． 22．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为2，右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点()2,0A -，斜率为k 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P ，Q 均异于点A ），且满足()3AP AQ k k k +=-，设点A 到直线l 的距离为d ，若d λ<恒成立，求实数λ的最小值.【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）根据题意求出,,a b c ，写出椭圆方程即可；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理与()3AP AQ k k k +=-得,m k 的关系，可得直线l 恒过点()1,0B -，则1d AB <=，即可得出答案．【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为()21,0F ，∴1c =，∵椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为2，∴2a =，∴b =∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=. （2）设直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：()()222438430k mk m x x +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122843mk x x k -+=+，()21224343m x x k -=+ ()121212122222AP AQ y y kx m kx m k k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫++∴+=+=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()1212121222424kx x k m x x m k x x x x ++++=+++()()()2222224382244343438244343m mk k k m m k k k m mk k k --⋅+++++=--+⋅+++2221224341616mk k m mk k -==--+，化简得：22032m mk k -+=，即()()20m k m k --=，则2m k =或m k =，当2m k =时，()22y kx k k x =+=+，直线l 恒过点()2,0A -，不合题意，当m k =时，()1y kx k k x =+=+，直线l 恒过点()1,0B -，此时点A 到直线l 的距离1d AB <=，∵d λ<恒成立，∴λ的最小值为1.。

湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题(含答案解析)

湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}222,40x A x B x x =>=-<，则A B = （）A ．∅B ．{2}C ．{12}x x <<D ．{14}x x <<2．设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-3．函数21()log f x x=的导函数为（）A ．ln 2()f x x='B ．1()ln 2f x x '=C ．ln 2()f x x=-'D ．1()ln 2f x x =-'4．设复数z 满足()()()()12i 12i 412i 12i 6z z z z ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩，则z 的虚部为（）A ．12B ．12-C ．14D ．i 4-5．某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为15cm 、下底面半径为12cm 、高为25cm 的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）A ．40%B ．44%C ．48%D ．52%6．已知平面非零向量,a b满足|2|a b a b ⋅=+ ，则||||a b ⋅ 的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．167．设集合(){}1210012100{1,2,,2023},,,,A S A A A A A A A ==⊆⊆⊆⊆∣ ，则集合S 的元素个数为（）A ．1002023C B ．1012023C C ．2023100D ．20231018．设随机变量(,)X B n p ，当正整数n 很大，p 很小，np 不大时，X 的分布接近泊松分布，即e ()()(N)!np inp P X i n i -=≈∈．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知0.367879e1=…）（）二、多选题9．已知递增的正整数列{}n a 的前n 项和为n S ．以下条件能得出{}n a 为等差数列的有（）A ．()2Nn S n n n *=+∈B ．()21N n S n n *=+∈C ．()22Nn n a a n *+=+∈D ．()22Nn n a a n *=∈10．已知11ln e e 10b a c a b c-+-==>，则（）A ．a b ≥B ．b c≥C ．a c ≥D ．2b a c≥+11．已知222222:(3)9,:(4)1,:(1)(4)1P x y Q x y R x y +-=-+=++-= ．点,,A B C 分别在,,P Q R 上．则（）A ．AB 的最大值为9B ．AC的最小值为2C ．若AB 平行于x 轴，则AB的最小值为4D ．若AC 平行于y 轴，则AC 的最大值为1+12．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，点P ，Q 分别在正方形1111D C B A 的内切圆，正方形11C D DC 的外接圆上运动，则（）A．2PQ CD ⋅≤+B．||PQ ≥C ．π8PAQ ∠>D ．π2PAQ ∠<三、填空题13．已知多项式23401234()f x a a x a x a x a x =++++满足对任意R,(cos )2cos4cos3f θθθθ∈=+，则1234a a a a -+-=_________（用数字作答）．14．冰雹猜想是指：一个正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列{}n a 满足递推式*1*31,N ,2,N ,22n n n n n a a a a a +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩请写出一个满足条件的首项150a <，使得101a =，而1(1,2,,9)i a i ≠= _____________．15．设实数0a ≠，不等式e 2xax a-≥对任意实数21x ≥-恒成立，则a 的取值范围为__________．16．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ≠C 的左右焦点分别为12,F F ，点A在椭圆C 上满足122F AF π∠=．12F AF ∠的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知2AB BD =，则e =_______．四、解答题17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为线段1AA 的中点，侧面11ABB A 的面积为．(1)若111AA A B =证明：11A C B D ⊥；(2)求三棱柱111ABC A B C -的体积与表面积之比的最大值．18．为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2…y…57.864.762.6…经计算得：()()()202020202111160,1200,80,640i i i i i i i i i x y x x x x y y ======-=--=∑∑∑∑．(1)利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致，（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．附：y 关于x 的回归方程ˆˆˆya bx =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑．19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知2c =．(1)求cos C 的最小值；(2)证明：π6C A -≤．20．设点A 为双曲线22:13y C x -=的左顶点,直线l 经过点(1,2)-,与C 交于不与点A 重合的两点P ,Q ．(1)求直线,AP AQ 的斜率之和;(2)设在射线AQ 上的点R 满足APQ ARP ∠=∠,求直线PR 的斜率的最大值．21．已知数列{}n a 满足：①对任意质数p 和自然数n ，都1n p a n =+；②对任意互质的正整数对(,)m n ，都有mn m n a a a =．(1)写出{}n a 的前6项，观察并直接写出n a 与能整除n 的正整数的个数的关系()N n *∈；(2)设数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：()5N 3n S n *<∈．22．已知直线l 与曲线2ln y x =相切于点()()200,ln e x x x>．证明：(1)l 与曲线2ln y x =恰存在两个公共点()()()2'2''000000,ln ,,ln x x x x x x <；(2)'0023e x x +>．参考答案：1．C【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}{}{}2221,4022x A x x x B x x x x =>=>=-<=-<<，A B = {12}x x <<.故选：C.2．B【分析】根据三角函数的诱导公式即可求得.【详解】由题意得：sin cos 2x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ,1cos 3x = ,1sin cos 23x x π⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭,故选：B 3．D【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【详解】依题知，10x>，即0x >，由求导公式：1log ln a x x a'=，复合函数的求导法则：设()u g x =，则()()()()'''=⋅f g x f u g x 得：()211111ln 2ln 2ln 2x f x x x x x'⎛⎫⎛⎫'=⨯=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选：D.4．C【分析】通过解方程组求得z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意，()()()()12i 12i 412i 12i 6z z z z ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相加并化简得5,5z z z z +==-，所以()()()12i 12i 54z z ++--=，4i 110i z =-+，两边乘以1i 4-得51i 24z =+，所以z 的虚部为14.故选：C 5．B【分析】根据圆台的体积公式求得正确答案.【详解】水桶的体积为()221251π15151212π54925323⨯+⨯+⨯=⨯⨯，水的上底面半径为15122722+=，水的体积为222127272511953π1212π25322238⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以水的体积约占水桶总体积的11953π2538100%44%1π549253⨯⨯⨯≈⨯⨯.故选：B 6．C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把|2|a b a b ⋅=+的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】设非零向量a ，b的夹角为θ.||||cos |2|0a b a b a b θ⋅==+>，所以0cos 1θ<≤，由|2|a b a b ⋅=+ 两边平方得：22222||||cos 44a b a b a b θ=++⋅，22422a b a b +≥ ，222||cos 224cos a b a b a b θθ∴≥+⋅，即2cos 44cos a b θθ≥+ ，即2224(1cos )1111441cos cos cos cos 2a b θθθθθ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≥=+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0cos 1θ<≤ ，∴11cos θ≥，即当11cos θ=时，||||a b取得最小值，最小值为8.故选：C ．7．D【分析】由每个12023i ≤≤，在12100,,,A A A 中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】对每个12023i ≤≤，在12100,,,A A A 中的从属关系有以下101种：（1）123100,,,,i A i A i A i A ∈∈∈∈ ，（2）123100,,,,i A i A i A i A ∉∈∈∈ ，（3）123100,,,,i A i A i A i A ∉∉∈∈ ，…（101）123100,,,,i A i A i A i A ∉∉∉∉ ．由分步乘法计数原理，集合S 中共2023101个元素．故选：D 8．D【分析】结合题意记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数．(100)0.95P X a ≤-≥，记100t a =-，分别计算0,1,2,3t =，求解即可得出答案.【详解】记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数．由题意，此时X 可看成泊松分布．则(100)0.95P X a ≤-≥，记100t a =-，则()()0.0110000.011000.95!it ti et i -+=+⎡⎤⎣⎦≥∑．由于t 很小，故大致有010.95!ti i e=≥∑．分别计算0,1,2,3t =，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故3t ≥，即103a ≥．故选：D.9．ACD【分析】用n S 与n a 的关系，计算判断A 和B ；按n 的奇偶求出n a ，再结合递增的正整数列推出11n n a a +-=判断C ；按给定条件求出数列{}12n a -的通项，再结合递增的正整数列求出n a 判断D 作答.【详解】对于A ，2n ≥时，221(1)(1)2n n S S n n n n n --=+----=，当1n =时，12a =满足2n a n =，而且N n *∈时，12n n a a +-=，则{}n a 为等差数列，A 正确；对于B ，2211(1)121n n S S n n n --=+---=-，当1n =时，12a =不满足上式，得2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，因此数列{}n a 不是等差数列，B 错误；对于C ，()22N n n a a n *+-=∈，即{}n a 为隔项等差数列，且{}n a 是递增的正整数列，则210a a ->，321220a a a a -=+->，2120a a >->，且*21N a a -∈，有211a a -=，即211a a =+，于是21112(1)121n a a n a n -=+-=-+-，2212(1)12n a a n a n =+-=-+，因此11n a a n =-+，所以{}n a 为等差数列，C 正确；对于D ，()22N n n a a n *=∈，N n a *∈，N n *∈，1222n n a a -=，即数列{}12n a -是以1a 为首项，2为公比的等比数列，11122n n a a --=，则122n n a a =，从12n a -到2n a 中间恰有1122121n n n ----=-项：11212221,,,n n n a a a --++- ，它们是递增的正整数，而112n a -到12n a 中间恰有1122121n n n ----=-个递增的正整数：11111(21),(22),,(21)n n n a a a --++- ，于是得1112(2)n n i a i a --+=+，{}11,2,,21n i -∈- ，又11122n n a a --=，122n n a a =，令112,2,N n n k i i i --=+≤∈，即有1k a ka =，又11**{|2,2,N,N }N n n k k i i i n --=+≤∈∈=，故对N n *∀∈，1n a na =，显然数列{}n a 是等差数列，D 正确.故选：ACD 10．BC【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及11ln e e 10b a c a b c-+-==>进行求解.【详解】设1ln ()x f x x +=，2ln ()x f x x'=-，当1x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；当01x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以()f x 的最大值为(1)1f =，即11ln e e 101ba c ab c-+-<==≤.因为1e 0bb->，所以0b >.设()()1e 0x g x x x -=>，()()121e 0x x g x x--'+=<，所以当0x >时，()g x 为减函数；因为(1)1g =，()1(1)g b g ≤=，所以1b ≥.由e 101c c-<≤可得11e e 1c <≤-，所以b c >，故B 正确.设()ln e 2x x x ϕ=-+，()1e x x ϕ'=-，当1e x >时，()0x ϕ'<，()ϕx 为减函数；当10ex <<时，()0x ϕ'>，()ϕx 为增函数；所以()ϕx 的最大值为10eϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ≤，即ln e 2x x ≤-.e 11ln 1e 2e 1c a a a c a a a-++--=≤=.设()e 11e x h x x x-==-，易知()h x 为增函数，由()()h c h a ≤可得a c ≥，故C 正确.因为()()1e 0xg x x x-=>为单调递减函数，1ln ()x f x x +=在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，且()g x 的图象经过()f x 图象的最高点，所以当11ln e0ba a b-+=>时，,a b 的大小无法得出，故A 不正确.令e a =，则12e e b b-=，得e 22e e e e 22b b =<⋅，易知e x y x =在()0,∞+为增函数，所以e 2b <，所以2b a c ≥+不成立，故D 不正确.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，ln 1,e 1x x x x ≤-≥+等.11．AB【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB 正确；将Q 沿x 轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与Q 有公共点的最短平移距离即AB 的最小值，可求得AB 的最小值为4AC 的最大值为1，即CD 错误.【详解】因为22:(3)9P x y +-= 的圆心为()0,3P ，半径13r =22:(4)1Q x y -+=的圆心为()4,0Q ，半径21r =22:(1)(4)1R x y ++-= 的圆心为()1,4R -，半径31r =对于选项A ：12319AB r r PQ PQ ≤++=++=，当且仅当,,,A B P Q 四点共线时取到等号，故A 正确；对于B ：因为2PR =<，所以两圆内含，则312AC PR ≥--=-,,,A C P R 四点共线时取到等号，故B 正确．对于C ：试想一个将Q 向左平移的过程，使得平移后的圆与Q 有公共点的最短平移距离即AB 的最小值，如下图所示：当Q 平移到1Q （图中虚线位置）时与P 相切，此时1AB QQ =，易知13,4,4OP PQ OQ ===，所以1OQ ==所以14AB QQ ==，故C 错误；同理如下图所示：当 R 平移到1R （图中虚线位置）时与P 相切，作1,AM R N 垂直于y 轴，,PD AC RE AC ⊥⊥，所以1134AM PA PM R N PR PN ===，所以3,4AM DP AD PM ====1,14RE CE DE ===，所以114AC AD DE EC =++=+=+AC的最大值为1可得D 错误.故选：AB 12．AB【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、模的坐标表示公式、夹角公式逐一判断即可.【详解】以A 为原点，1,,AD AA AB为x ，y ，z轴正向建立空间直角坐标系．设点(1cos ,2,1sin ),(2,1,1)P Q ααββ++，()()2,0,2,2,0,0C D ，()0,0,2CD =-，()1cos cos sin sin PQ αββα=--- ，A：2(sin )2PQ CD αβ⋅=≤+B：2222||(1cos )1)sin )52cos PQ αββαα=-+-+-=--sin βαβ-5β≥-，记t β=，22||555PQ t ≥-≥-=-=，故正确；C ：取11C D 的中点M ，AM 穿过一侧的外接圆，取11A B 的中点M '，则AM '不穿过，故必存在点P ，使得AP 经过外接圆，设公共点为Q ，此时,,P A Q 共线，故不正确；D：假设成立，则2(1cos )2(1)(1sin )(1)0AP AQ αβαβ⋅=+++++>恒成立，取5π,π4αβ==，则0AP AQ ⋅= ，即π2PAQ ∠=，故不正确．故选：AB.【点睛】关键点睛：建立空间直角系，利用空间向量数量积、模的坐标表示公式进行求解是解题的关键.13．1【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.【详解】解：由题意得：(cos )2cos 4cos3f θθθ=+()222cos 21cos cos 2sin sin 2θθθθθ=-+-22224(2cos 1)2cos (2cos 1)2sin cos θθθθθ=--+--42324(4cos 4cos 1)22cos cos 2(1cos )cos θθθθθθ=-+-+---423316cos 16cos 22cos cos 2cos 2cos θθθθθθ=-++--+23423cos 16cos 4cos 16cos θθθθ=--++，由23401234()f x a a x a x a x a x =++++可知：012342316416a a a a a =⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪=⎪⎩12343(16)4161a a a a ∴-+-=---+-=.故答案为：114．12或13（写出一个即可）【分析】由递推公式，结合101a =及条件1(1,2,,9)i a i ≠= ，依次逆推出981,,,a a a ⋅⋅⋅即可.【详解】因为*1*31,N ,2,N ,22n n n n n a a a a a +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩101a =，所以若9a 为偶数，则91022a a ==，若9a 为奇数，则109103a a -==与已知矛盾；故92a =；所以若9a 为偶数，则8924a a ==，若8a 为奇数，则981133a a -==与已知矛盾；故84a =；所以若7a 为偶数，则7828a a ==，若7a 为奇数，则87113a a -==与已知矛盾；故78a =；所以若6a 为偶数，则67216a a ==，若6a 为奇数，则761833a a -==与已知矛盾；故616a =；所以若5a 为偶数，则56232a a ==，若5a 为奇数，则56153a a -==；故532a =或55a =；余下推导用图表示可得：()()()()512128256326485214284124816802040510133612⎧⎧⎧⎪⎪⎪←←⎨⎪←←⎪⎨⎪⎩⎪⎪←←⎪⎪⎩←←←←←⎨⎧⎪⎧⎪←←⎪⎪⎨←←⎨⎪⎪⎩⎪⎪←←⎩⎩舍舍舍舍故答案为：12或13（写出一个即可）.15．⎛ ⎝⎦【分析】分析可知令0x =，得03a <，证明对任意的a ⎛∈ ⎝⎦，不等式e 2x ax a -≥恒成立即可，构造函数()e 2x g a ax a=--调性分段证名即可.【详解】解：令0x =，得0a <下证：对任意的a ⎛∈ ⎝⎦，不等式e 2x ax a -≥恒成立．令()e 2xg a ax a=-①当0x >时，()g a 单调递减，所以()x g a g x ≥=-⎝⎭令e x t =，则ln x t =，则只需证明()0t ϕ=-在()0,∞+上恒成立由()3t tϕ='()t ϕ'单调递增，且(1)0ϕ'=，故()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ≥=成立；②当102x -≤<时，122e e 212xa x --≥=，()g a 单调递减，()x g a g x ≥=⎝⎭由①可知()t ϕ在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()(0)(1)0t ϕϕϕ>>=成立．综上，得证a ⎛∈ ⎝⎦．故答案为：⎛ ⎝⎦.16【分析】根据题意，作图，计算得20AF a ex =-，10AF a ex =+，再设角平分线交x 轴于(,0)T m ，根据角平分线的性质，得到()20,0T e x ，进而得到直线AB 的方程，再得到D 点，利用2AB BD =，得到B 点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案.【详解】由点A 在椭圆C 上，且122F AF π∠=，设点()()000,,A x y a x a -<<，且1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1AF ===0a ex =+，同理20AF a ex =-，设角平分线交x 轴于(,0)T m ，根据角平分线的性质，可知111011sin 4522AF T S AF AT FT y =⋅⋅=⋅⋅ △，222011sin 4522AF T S AT AF F T y =⋅⋅=⋅⋅ △，202110a ex T c m F m c a x AF T AF e F --=++∴==，解得，20m e x =，得()20,0T e x ．可得直线()()20020:1y AB y x e x e x =--．进而可得202(0,)1e y D e -⋅-，由2AB BD =，可得()2002(13)(,)331x y e B e ⋅--，设AB 中点为M ，则023M x x =．()2002223,331x e M y e ⎛⎫-⎪ ⎪-⎝⎭，点差法的结论，证明如下：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，M 为AB 中点，故22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，又由1202x x x +=，1202y y y +=，可整理得，()()01201222220x x x y y y a b--+=，最后化简得，20122012y y y b x x x a-⋅=--，进而得到，2221OM ABb k k e a=-=-，得()()2202222023121e y e e x-=--．因为122F AF π∠=，所以2221200+0F A A F x y c ⋅=-= ，联立222220022+0+1x y c x y a b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得()4202222202b y c a c b x c ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以()()2224022*******e y b x e a c b -==--，故()222231221e e e -=--，解得e =故答案为：2．17．(1)证明见解析(2)18【分析】（1）取AB 中点H ，连接11,,A H C H CH ，证明1CH B D ⊥得到1B D ⊥平面1ACH ，得到证明.（2）计算)23S t =+，38t V =，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）取AB 中点H ，连接11,,A H C H CH ，111A AH A B D ≅，111AA H A B D ∠=∠，则1AH B D ⊥．1AA ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，故1AA CH ⊥，CH AB ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11A B BA ，故CH ⊥平面11A B BA ，1B D ⊂平面11A B BA ，故1CH B D ⊥．又1A H CH H = ，1,A H CH ⊂平面1ACH ，故1B D ⊥平面1ACH ．而1AC ⊂平面1ACH ，故11A C B D ⊥．（2）设0AB t =>，表面积)212332S t t =⨯⨯⨯+=+，体积21328tV t =⨯==．18VS=≤=+，当且仅当t等号成立．18．(1)ˆ836y x=+(2)（ⅰ）前者斜率小于后者，证明见解析；（ⅱ）(3,60)【分析】（1）利用题中所给数据结合最小二乘法即可得解；（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为12,k k，分别求出12,k k，再结合相关系数的公式与性质即可得出结论；（ⅱ）根据两直线均过样本中心点结合（ⅰ）中结论即可得出答案.【详解】（1）解：6012003,602020x y====,ˆˆ6408,60243680b a===-=，故回归方程为ˆ836y x=+；（2）解：（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为12,k k，x关于y的线性回归方程为()()()111121ˆˆˆ,ni iiniix x y yx a b yyby==--=+=-∑∑()()()()()()202021112202021111ˆ,ˆi i ii ii i ii ix x y y y yk b kbx x x x y y====---==-=--∑∑∑∑，则()()(()220211202022211i iii ii ix x y yk rk x x y y===⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==--∑∑∑，r为y与x的相关系数，又12||1,,0r k k≤>，故121kk≤，即12k k≤，下证：12k k≠，若12k k=，则||1r=，即836(1,2,,20)i iy x i=+= 恒成立，代入表格中的一组数据得：58.18 2.736≠⨯+，矛盾，故12k k<，即前者斜率小于后者；（ⅱ）注意到，两直线都过()x y，且12k k<，故公共点仅有(3,60)．19．(1)12-(2)证明见解析【分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得cos C 的最小值.（2）结合正弦定理、基本不等式求得1sin()2C A -≤，进而证得π6C A -≤.【详解】（1）由余弦定理，22222cos 122a b c ab c C ab ab +--=≥=-当且仅当a b =，即::a b c =（2）方法一：当C A ≤时，π06C A -≤<．当C A >时，设线段AC 的中垂线交AB 于点D ．()222222222,2cos c a c b b cAD DB c AD A b c a b c a-===-=+-+-．在CDB △中，由正弦定理，sin sin()B CD ADC A DB DB==-．22222AD b DB ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当,2a a a b =-=时等号成立.故sin 1sin()22B C A -≤≤，由（1）cos 102C ≥->．故π02C A C <-<<．则π6C A -≤．方法二：由正弦定理，22sin sin sin sin )C A A B A -=-．由二倍角公式，221sin sin (cos 2cos 2)2S C A A C =-=-．而1[cos()cos()]sin()sin()2S A C A C A C A C C A C A =-++----=-+，故22sin 1sin()sin 22B BC A B ⎛⎫⎪⎝⎭-==≤，当且仅当sin sin ,sin sin ,22A B A A B a b =-==时第一个等号成立.由（1）cos 102C ≥->，故π02C A C <-<<．则π6C A -≤．20．(1)3-(2)512-【分析】（1）平移，利用齐次化的方法求解（2）利用平面几何知识，将几何问题转化为2AP AQ AR =⋅，求出R 的坐标，最后直线PR 的斜率用,AP AQ 的斜率表示，即可求解【详解】（1）由题知(1,0)A -.由于平移不改变斜率,作平移变换1x x y y ''=+⎧⎨=⎩.则A 点的坐标变为(0,0)A ,点(1,2)-的坐标变为(0,2)双曲线C 方程变为()22113y x ''--=,即22203y x x '''--=①设点(),x y ''与A 点连线的斜率为k ,则yk x''=.①式两边同除以2x ',得221103y x x '''⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即212103k x '+-=②由题知,直线PQ 不过点(0,0)A ,所以设直线:1PQ mx ny ''+=因为直线PQ 过点(0,2)P ,所以21n =,即12n =,所以1:12PQ mx y ''+=所以11122y m m k x x '''⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,代入(2)得212103k k m ++-=方程的两根即为AP ,AQ 的斜率,由韦达定理123k k +=-所以直线AP ,AQ 的斜率之和为3-（2）(2)设AP 斜率为1,k AQ 斜率为2k 联立221203y x x y k x ''⎧--=='''⎪⎨⎪⎩,得1221166,33k P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭.联立222203y x x y k x ''⎧--=='''⎪⎨⎪⎩,得2222266,33k Q k k ⎛⎫ --⎝⎭.由APQ ARP ∠=∠可知,AP 为PQR 外接圆的切线,且2AP AQ AR =⋅设()2,R r k r ()()()221222222136161,33k k rAP AQ AR k k ++=⋅=--所以()()()2212222213616133k k rk k ++=--即()()()22122222161133k k rk k ++=--,即()()()()22122221261331k k r k k +-=-+()()()()()()()()221211222222211212212222122112613663313661363331PQk k k k k k r k k k kk k k r kkk k +-----+-==+------+()()()()()()()()221221221222122212133113131k k k k k k k k k k +---+=+---+()()()()()()()()()()()2222222221211212121212222222121212133********k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +---+-+++-==+---+-()()()2222221212121212121223152654121212k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===≤-+--当121231k k k k +=-⎧⎨=-⎩时取等所以,直线PR 的斜率的最大值为512-【点睛】关键点点睛：本题的关键是条件APQ ARP ∠=∠的等价转化，需要运用初中学习的弦切角定理.另外就是对含有1k ，2k 这个式子的处理，运算量很大，分子展开后还需要因式分解，最终转化为21k k ⋅的二次函数问题.21．(1){}n a 的前6项分别为1，2，2，3，2，4；n a 的大小与能整除n 的自然数个数相同．(2)证明见解析【分析】（1）根据题意赋值可得{}n a 的前6项，然后根据前6项的值即可得出结论；（2）方法一：由（1）得出**1,N 221,N 22n n na n n +⎧∉⎪⎪≤⎨⎪+∈⎪⎩，然后分2n k =和21n k =-两种情况进行证明即可；方法二：设1112121222111111222222n n n T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111222n n n n ⋅⋅⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ ，利用不等式的放缩即可求解.【详解】（1）令0n =，则1011a =+=；令2,1p n ==，则2112a =+=；令3,1p n ==，则3112a =+=；令2,2p n ==，则4213a =+=；令5,1p n ==，则5112a =+=；令2,3m n ==，所以6234a a a ==，所以{}n a 的前6项分别为1，2，2，3，2，4．观察归纳可知，n a 的大小与能整除n 的自然数个数相同．（2）方法一：由（1），因为大于2n 小于n 的数不被n 整除，故**1,N 221,N 22n n na n n +⎧∉⎪⎪≤⎨⎪+∈⎪⎩当2n k =为偶数时，212342121123142112111222222222222k k k k k S -++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222311321312122kk ⋅⋅+⋅++=+++⋅ 244311321314k k ⋅+⋅++=+++122344444142424314333334444k-⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅+⋅+ ⎪ ⎪-=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14444(1)3344k k k k +⎛⎫+++ ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭144(1)515333443kk k +++=--<⋅．21n k =-为奇数时，21253k k S S -<<，得证．方法二：设1112121222111111222222n n n T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111222n n n n ⋅⋅⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ ．先说明()N n n S T n *≤∈．n T 中为1(1,2,,)2kk n = 的项数恰为(1,)ij k i j n =≤≤的正整数解数k a ，故1212222n n n na a a T S ≥+++= ．再证()5N 3n T n *<∈．1n =时，11523T =<成立；2n ≥时，221212111111111222111222111222n n n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪=+++⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111212121n <+++--- 211111322n -⎛⎫≤++++ ⎪⎝⎭ 121511323n -⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭．22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将原函数与切线方程作差构造函数，证明该函数有2个零点即可；（2）将原问题转化为均值不等式，利用（1）所构造的函数特性求解.【详解】（1）'2ln x y x=，所以在()200,ln x x 处的切线方程为()200002ln ln x y x x x x =-+，令()2200002ln ()ln ln x f x x x x x x =---，则原问题转化为()f x 存在2个零点：'00,x x ，并且'00x x ＜，'02ln 2ln ()x x f x x x =-令()()'002ln 2ln x x h x f x x x ==-，则()'2(1ln )x h x x-=，显然()h x 在(0,e)递增，(e,)+∞递减，0e x ＞，∴()()0e 0h h x =＞，02ln (1)0x h x =-<，故存在唯一的1(1,e)x ∈，使得()()'110,()f x h x f x ==在()10,x 递减，()10,x x 递增，()0,x +∞递减，并且()222000002000002ln 2ln 111ln ln 10x x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞，()()2201110002ln ln ln x f x x x x x x =---，()'00111110101002ln ln 2ln ln ln 0,ln x x x x x f x x x x x x x x =-=∴== ，()222201110001010002ln ln ln ln ln ln 2ln 2ln ln x x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=---=--+ ⎪⎝⎭()()1010ln ln ln ln 2x x x x =-+-，1010,ln ln 0x x x x ∴- ＜＜，下面证明10ln ln 2x x +＞：令11ln t x =，则101t ＜＜，00ln t x =，则01t ＞，由于0110ln ln x x x x =，即0101e e t t t t=，考察函数()e t t p t =，则()'1e tt p t -=，当1t ＞时单调递减，01t ＜＜时单调递增，()11e p =，并且当0t ＞时，()0p t ＞，()p t的图像大致如下图：下面证明极值点偏移问题：令()()()222e ett t tk t p t p t --=--=-()1t ＞，()()2'2e e 1e t t k t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21,2,e e 0t tt t t -∴-- ＞＞＞，()'0k t ＜，()k t 是减函数，()()10k t k =＜，∴102t t +＞，即10ln ln 2x x +＞，()10f x ∴＜，由于()00f x =，()f x 的大致图像如下图：故存在()''00001,,0x x f x x ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，并且只有当'0x x ＜时，()＞0f x ，当'0x x ＞时()0f x ≤；（2）先证明2'300e x x >，即3'020e x x >，由（1）的结论知，只需证明320e 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即332200022000e 2ln e ln ln 0x x x x x x ⎛⎫---> ⎪⎝⎭，即23333322000003333300000e e e e e ln ln ln 2ln 1ln 2ln ln 2ln 10x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞，整理，只需()()()300030031ln 3ln e 1e 2ln x x x x x --->->，令0ln 1t x =>，即证()()33313e 12t t t t----，即333(1)(3)()e 112t t t t t ϕ---⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦，333'29e (1)()0,()2t t t t tϕϕ--=>在(1,)+∞递增()(1)1t ϕϕ>=，得证．由均值不等式：'''0000000,23e x x x x x x x ∴+=++＞＞，故0023e x x '+>．【点睛】本题难度很大，先要将公共点问题转化为零点问题，在判断()1f x 的符号的时候需要用到极值点偏移的知识，在草图上画出()'f x 的图像，在判断出()f x 的图像，并且只有当'0x x ＜时，()f x 才大于零这个图形特征，才能在第二问中运用基本不等式.。

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是( )A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法判断2. 下列事件中，属于必然事件的是( )A. 掷一枚硬币，正面朝下B. 三角形两边之和大于第三边C. 一个三角形三个内角的和小于180°D. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球3. 由二次函数y=−3(x+2)2−1，可知( )A. 其图象的对称轴为直线x=2B. 其最大值为1C. 当x≤−2时，y随x的增大而增大D. 其图象与y轴的交点为(0,−1)4. 已知二次函数y=−x2+2x−3，用配方法化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，结果是( )A. y=−(x−1)2−2B. y=−(x−1)2+2C. y=−(x−1)2+4D. y=−(x+1)2−45. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AB⏜的中点，连结AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是( )A. CE=DEB. ∠ADG=∠GABC. ∠AGD=∠ADCD. ∠GDC=∠BAD6. 下列说法正确的是( )A. 半圆是弧，弧也是半圆B. 三点确定一个圆C. 平分弦的直径垂直于弦D. 直径是同一圆中最长的弦7. 如图，⊙O的半径为10，若OP=8，则经过点P的弦长可能是( )A. 10B. 6C. 19D. 228. A(−2,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是抛物线y=−2(x+1)2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为( )A. y1 >y3>y2B. y3>y1>y2C. y1>y2>y3D. y3>y2>y19. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3；③3a+c>0；④当y>0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC.已知OC⊥BD于点E，AB=2.下列结论：①∠CAD+∠OBC=90°；②若点P为AC的中点，则CE=2OE．③若AC=BD，则CE=OE；④BC2+BD2=4；其中正确的是( )A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 从1～9这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是______ ．12. 如图所示，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=54°，则∠BCD=__________．13. 五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，半径是10cm，有水部分弓形的高为5cm，则AB=______cm．14. 把抛物线y=x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为______．15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y=60x−1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 ________m才能停下来．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上x−6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的一动点，点C为弦AB的中点，直线y =34最小值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。

重庆市江津中学等七校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷(PDF版)

2022—2023学年度第二学期期末七校联考高二数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．考试结束后，将答题卷交回。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）已知集合{}{},1,ln |,,|>==∈==x x y y B R x x y x A 则=∩B A （）A ．∅B ．(){}1,1C ．()0,∞+D ．R2．（改编）已知命题,32,:000=−=∈∃x x R x p 或则（） A ．32,:≠−≠∈∀¬x x R x p 或B ．32,:≠−≠∈∀¬x x R x p 且C ．32,:=−=∈∀¬x x R x p 且D ．32,:000=−=∉∃¬x x R x p 或 3．（改编）012233444)12(a x a x a x a x a x ++++=+，则=++420a a a （）A ．41B ．40C ．-40D ．-414．（改编）已知函数)1(+x f 的定义域是[]32，−,则函数)12(−x f 的定义域（） A ．[]4,1−B ．[]37，−C ．[]7,3−D ．25,05．（改编）函数1212sin −+⋅=xx x y 的部分图象大致为（）6．已知函数()114,10lg ,10a x a x y x x −+<= ≥ 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1−∞B ．9,4 −+∞C ．9,14−D ．9,14−7．（改编）已知函数()24ln f x x x a x =−−，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（） A ．(),2a ∈−∞−B ．()6,a ∈+∞C ．()2,0a ∈−D ．()2,6a ∈− 8．（改编）设33e a =，2ln 2=b ，4ln 42−=e c ，则（）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c << 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（原创）已知随机变量X 服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为2)3(221)(−−=x ex f π,则下列说法正确的是（） A ．若3+=X Y ，则6)(=Y EB ．若13+=X Y ，则9)(=Y DC ．)4()2(≥=≤X P X PD ．)3()2(=<≥X P X P10．下列说法错误．．的是（） A ．回归直线必过样本中心点.B ．期望反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值与其均值偏离程度.C ．残差的平方和越小,说明模型的拟合效果越差.D ．在独立性检验中,统计变量2χ越大,说明两个变量的关系就越弱. 11．设正实数m 、n 满足2=+n m ，则下列说法正确的是（）A ．nm n 2+的最小值为3B ．mn 的最大值为1C ．n m +的最小值为2D ．22n m +的最小值为2 12．（改编题）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x f 的图像关于直线1=x 对称，当(]1,0∈x 时，1)(−=x e x f ，则下列判断正确的是（）A ．1)2025(=fB ．)(x f 的周期为4C ．)(x f 的值域为[-1,1]D ．)1(+x f 是偶函数第II 卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（改编）已知函数)(x f 满足34)12(2+=+x x f ,则=)(x f .14．（改编）43)1(xx −的展开式中常数项是 .15．（改编）已知4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,8.0)|(=A B P ,则=)|(A B P . 16．已知函数)()(2R a ax x x f ∈+=,x x x g ln )(=，若过点()10−，存在直线l 与)(x f 和)(x g 的图像相切，则a 的值 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．设函数)4ln(2)(x x x f −++=的定义域为A ,集合{}()2121|≥−≤≤+=m m x m x B . （1）求集合A ；（2）若A x p ∈:，B x q ∈:，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．（原创）今年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”。

安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题(含答案解析)

试卷第 3页，共 3页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 D
C
B
D
A
D
A
B
BCD BD
题号 11
答案 ACD
1．D 【分析】先求出集合 A 的补集，再求交集运算即可. 【详解】因为 A {x | 0 x 3} ，所以 ðR A {x | x 0或 x 3}，
所以 ðR A B {x | 3 x 6} .
m 1 2 所以 2m 1 5 解得： 1 m 2
2m 1 m 1
故选：D 7．A
【分析】正实数
x，y
满足
xy
5x
5
y
11
，利用基本不等式的性质可得
x
2
y
2
5x
5y
11
，
设 x y t,t 0 ，即可求出 x y 的最小值．
【详解】∵正实数
x，y
满足
xy
5x
5y
11，
x
2
P 是一个数域，例如实数集 R 是一个数域，则下列结论正确的是（）
A．数域中必含有 0，1 两个数
B．集合 M x∣x 2k 1, k Z 是一个数域
C．有理数集 Q 是一个数域
D．数域中必含有
1 2025
三、填空题
12．已知集合 A 0, a2, 2a ， B 0, a2 a 2 .若 B A ，则实数 a
(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围.
18．（1）当 x 1 时，求 x2 4x 7 的最小值； x 1
（2）已知

2024-2025学年贵州省部分学校高一上学期联考数学试题(含答案)

2024-2025学年贵州省部分学校高一上学期联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各组对象能构成集合的是( )A. 中国著名的数学家B. 高一(2)班个子比较高的学生C. 不大于5的自然数D. 约等于3的实数2.已知ab>bc，则下列不等式一定成立的是( )A. a>cB. a<cC. ab <cbD. ab>cb3.已知a>0，b>0，且a+3b=6，则ab的最大值是( )A. 9B. 6C. 43D. 34.金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若x>−1，P=1x+2+1，Q=1−x，则( )A. P≥QB. P≤QC. P>QD. P<Q6.已知−5≤2a+b≤1，−1≤a+2b≤3，则a−b的最大值是( )A. 1B. 2C. 4D. 87.已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p 是s的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有( )A. 5名B. 4名C. 3名D. 2名二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知命题p:有些三角形是轴对称图形，命题q:梯形的对角线相等，则( )A. p是存在量词命题B. q是全称量词命题C. p是假命题D. ¬q是真命题10.已知函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则( )A. abc<0B. b+c>0C. 2a+b+c<0D. 关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|−13<x<1}11.若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m(m≤n)个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t(4≤t≤n)子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是( )A. 3数集A有6个非空真子集B. 4数集B有6个2子集C. 若集合C={1,2,3,4,6}，则C的等和子集有2个D. 若集合D={1,2,3,4,6,13,20,40}，则D的等和子集有24个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)

河南省名校联考2024-2025学年上期高一第一次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.下列关系式正确的是A.3∈QB.—1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R2.关于命题q:∀a<b,|a|≤|b|,下列结论正确的是A. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题C. q是全称量词命题，是假命题D. q是全称量词命题，是真命题3.已知集合A={x∈Z|3x―1∈Z},则用列举法表示A=A.{—2,0,2,4}B.{—2,0,1,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数a，b满足1a +2b=1,则a+2b的最小值为A.9B.6C.4D.36.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=A.2B.6C.2或6D.—2或67.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为A.25元B.20元C.15元D.10元【高一数学第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有A.5名B.4名C.3名D.2名二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组对象能构成集合的有A.郑州大学 2024 级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10.已知a>b>0,则使得a+ca >b+cb成立的充分条件可以是A. c=-2B. c=-1C. c=1D. c=211.已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则A. a+b>0B. abc>0C.13a+b+2c>0D.不等式bx²―ax―c>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=10―6,b=6―2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)13.已知a∈R,b∈R,集合{,则(a―b)³=.14.已知m<n<0,则8nm+n ―2mm―n的最大值为▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|-2<x<3},B={x|a-1<x<2a}.(1)若a=2,求A∪B,C∪B;(2)若B⊆A,求a 的取值范围.【高一数学第2页(共4页)】 A116.(15分)给出下列两个结论：①关于x的方程.x²+mx―m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2,使(m+1)x―3=0.(1)若结论①正确，求m 的取值范围；(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.17.(15分)已知正数a,b,c 满足 abc=1.(1)若c=1,求2a +3b的最小值；(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.A11918.(17分)已知a∈R,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3.(1)当a=1时,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求x31+x32;(2)求关于x的不等式y≥1的解集.19.(17分)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.(1)若集合A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；(2)若集合.A=1,m,m²―1是“等差集”，求m的值；(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.【高一数学第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案1. D 3₃∉Q,-1∉N,N ⊆Z,Q ⊆R2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q 是全称量词命题.3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+c<a,a,b,c 不可以构成三角形的三条边.由a,b,c 可以构成三角形的三条边,得a+b>c.故“a+b>c”是“a,b,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.5. A 因为 1a +2b =1,所以 a +2b =(1a +2b)(a +2b )=5+2b a+2a b.又a>0,b>0,所以 2ba + 2ab ≥22b a⋅2ab =4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b 的最小值为9.6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 {y =x 2+ax +1,y =2x ―3,整理得 x ²+(a ―2)x +4=0,则 (a ―2)²―16=0,解得a=-2或6.7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.8. B 如图，由题可知 {a +b +9m +x ―20,a +c +m +z ―21,b +c +m +s ―21,a +b +c +1>22,a +b +z ―12,x +9z +z =24,则 3m=63-2(a+b+c)-(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.9. ABD 由题可知，A ，B ，D 中的对象具有确定性，可以构成集合，C 中的对象不具有确定性，不能构成集合.10. AB 由a +c a>b +c b,得 a +c a ―b +cb=b (a +c )―a (b +c )ab=c (b ―a )ab>0.因为a>b>0,所以c<0.11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y =ax ²+bx +c 的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 {a ―b +c =0,4a +2b +c =0,整理得 {b =―a ,c =―2a ,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由【高一数学·参考答案第 1页(共4 页)】 ·A1·{4a―2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为{b=―a,c=―2a,所以bx²―ax―c=―ax²―ax+2a>0,即x²+x―2<0,,解得-2<x<1,D正确.12.<a―b=10+2―26,因为( 10+2)2=12+45,(26)2=24,45<12(所以(10+2)2<(26)2,则10+2<26,从而a<b.13.8 由a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或a=a².若a=0,则a²=0,，不符合集合元素的互异性.若a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而((a―b)³=8.14.―18nm+n ―2mm―n―4(m+n)―4(m―n)m+n―(m+n)+(m―n)m―n=3―[4(m―n) m+n +m+nm―n].因为m<n<0,所以4(m―n)m+n >0,m+nm―n>0,则4(m―n)m+n+m+nm―n≥24(m―n)m+n⋅m+nm―n=4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为-（1）由a=2,得B={x|1<x<4}, ... 1分 (1)则或x≥4}. ... 3分 (3)因为A={x|-2<x<3},所以A∪B={x|-2<x<4}................................................5分（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A (7)若B≠∅,则由B⊆A,得分 (9)解得 (11)综上所述，a的取值范围为 (13)16.解:（1）由结论①正确,得分 (3)解得-6<m<2 (5)故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6<m<2}....................................6分（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. ... 7分 (7)若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分 (8)从而解得 (10)当结论①正确，结论②不正确时， (12)当结论②正确,结论①不正确时,m≥2 (14)综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}..........15 17.解分 (1)则 (4)当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆ (6)（2）因为, (8)当且仅当a=b=c=1时,等号成立,... 9分 (9)所以分 (10) (12)当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, ... 14分 (14)所以的最小值为8………………………………………………………………………………15分18.解:(1)当a=1时,y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程x²+5x+5=0的两个实数根， (2)由{x21+5x1+5=0, x22+5x2+5=0,得{x 31=―5x21―5x1,x32=―5x22―5x2, 4分则x i+x32=―5(x21+x22)―5(x1+x2)=―5[(x1+x2)2―2x1x2]+25=―75+25=―50.6分(2)由y≥1,得ax²+(3a+2)x+2a+2≥0.当a=0时，不等式整理为………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7分当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=...............................................................................................................9分当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1} (11)当--2<a<0时,―1<―2a+2a,则原不等式的解集为{x|―1≤x≤―2a+2a};当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；...............................................................15分当a<-2时,则原不等式的解集为 (17)【高一数学·参考答案第3页(共4页)】 ·A1·…13分1,3,5或1,5,9,………………………………………………………………………… (1)故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}...........................................4分（2）解:由A 是“等差集”,得, ... 5 分 (5)且m≥2,则 (6)（舍去）或m=2 (8)当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2 (9)（3）证明:假设{x,x²,x³, (10)则存在1≤i<j<k≤n,其中i,j,k∈N*,使得 (11)即则分 (12)因为1≤i<j<k≤n,所以k-i>j-i,从而k-i≥j-i+1,... 13分 (13)则2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分则分 (15)因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2, (16)不是“等差集” (17)【高一数学·参考答案第 4 页(共4页)】。

湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案

2024年湖北部分名校高二10月联考高二数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年10月10日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i 13iz +=+，则复数z 的虚部为（）A.1B.1- C.iD.2【答案】B 【解析】【分析】根据除法运算求得2i z =+，即可得复数z 的虚部.【详解】由题意可得：()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-，所以2i z =-的虚部为1-.故选：B.2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（）A.14B.15C.23D.25【答案】D 【解析】【分析】根据上四分位数的概念求值即可.【详解】把数据按从小到大的顺序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因为3864⨯=，∴上四分位数是2327252+=.故选：D3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深4CD =-锯道AB =则图中弧 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A.4πB.8C.4π8-D.8π8-【答案】C 【解析】【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意4AD BD OD OC CD OA ===-=-+，在Rt AOD 中，222AD OD OA +=，即(2284OA OA +-+=，解得4OA =，故OD =π2AOB ∠=，因此221π1444π8222AOB AOB S S S =-=⨯⨯-⨯=-弓形扇形△.故选：C.4.已知πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.410+ B.310+ C.410- D.310-【答案】A 【解析】【分析】以π4θ+为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin 2,cos 2θθ，结合两角和差公式运算求解.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444，且πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得πsin 410⎛⎫+==⎪⎝⎭θ，则2ππππ4sin 2sin 2cos 212cos 42445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθ，πππππ3cos 2cos 2sin 22sin cos 424445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθθ，所以π14sin 2sin 2232210+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭θθθ，故选：A.5.平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A.3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得11122BM AA AD AB =+-，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：()11111111111112222BM BB B D BB A D A B AA AD =+=+-=+-uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r uuu r uuu r uu u r，则2222211111111122442BM AA AD AB AA AD AB AA AD AA AD AB AD⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r11911323201122=+++⨯⨯-⨯⨯-=，所以BM =uuu r故选：C.6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B 与C 互斥B.()58P A B ⋃=C.()()()()P ABC P A P B P C =D.,,A B C 两两相互独立【答案】C 【解析】【分析】对于A ：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC ：先求A B ，ABC ，结合古典概型分析判断；对于D ：根据独立事件改了乘法公式可知事件A 与C 不相互独立.【详解】由题意得，事件A 的样本点为{}1,3,5,7，事件B 的样本点为{}1,2,3,4，事件C 的样本点为{}2,3,5,7，对于选项A ：事件B 与C 共有样本点2，3，所以不互斥，故A 错误；对于选项B ：A B 事件样本点n S ，所以()6384P A B ⋃==，故B 错误；对于选项D ：因为()4182P A ==，()12P C =，且AC 事件样本点{}3,5,7，则()38P AC =，可得()()()P AC P A P C ≠，所以事件A 与C 不相互独立，故D 错误；对于选项C ：因为ABC 事件样本点{}3，可得()18P ABC =，所以()()()()P ABC P A P B P C =，故C 正确.故选：C.7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为2，则此圆台与其内切球的表面积之比为（）A.43B.2C.136D.73【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得213r r =，且14BC r =，以及内切球O的半径r =，再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，如图，取圆台的轴截面，作CM AB ⊥，垂足为M，设内切球O 与梯形两腰分别切于点,E F ，可知12=+BC r r ，21BM r r =-，由题意可知：母线与底面所成角为π3B ∠=，则211212r r BM BC r r -==+，可得213r r =，即14BC r =，12BM r =，可得1CM =，可知内切球O的半径1r =，可得()222111111π9ππ3426πS r r r r r r =+++⨯=圆台，)22114π12πS r =⨯=球，所以212126π1312π6S r S r ==台球.故选：C.8.在ABC V 中，2BC =，π3BAC ∠=，O 是ABC V 的外心，则OA BC BA CA ⋅+⋅ 的最大值为（）A.2B.103C.113D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合向量运算可得22OA BC BA CA c ⋅+⋅=-+uu r uu u r uu r uu r，利用正弦定理求边c 的最大值即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为O 是ABC V 的外心，记BC 中点为D ，则有OD BC ⊥，即0OD BC ⋅=，可得()OA BC BA CA OD DB BA BC BA CA⋅+⋅=++⋅+⋅uu r uu u r uu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu rDB BC BA BC BA CA=⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu r 222122BC BA c =-+=-+，在ABC V中，由正弦定理可得：sin sin 2c a C BAC ===∠则c C =≤sin 1C =，即π2C =时，等号成立，所以OA BC BA CA ⋅+⋅的最大值为21023-+=.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“1a =-”是“直线210a x y -+=与直20x ay --=互相垂直”的充要条件B.“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C.直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.若点()1,0A ，()0,2B ，直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B ：由题意可得[]tan sin 1,1k θα==-∈-，进而可得倾斜角的范围；对于C ：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据图形结合斜率公式分析求解.【详解】对于选项A ：当1a =-时，直线10x y -+=与直线20x y +-=斜率分别为1，1-，斜率之积为1-，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”，则20a a +=，故0a =或1a =-，所以得不到1a =-，即必要性不成立，故A 错误；对于选项B ：由直线平行得()212a a a a ⎧+=⎨≠⎩，解得2a =-，所以“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件，故B 正确；对于选项C ：直线的倾斜角为θ，则[]tan sin 1,1k θα==-∈-，因为0πθ≤<，所以π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故C 正确；对于选项D ：如图所示：可得12PB k =-，1PA k =，结合图象知112k -≤≤，故D 正确；故选：BCD.10.已知函数()cos f x x =，()sin g x x =，下列说法正确的是（）A.函数()()()m x f x g x =⋅在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.函数()()()m x f x g x =⋅的最小正周期为2πC.函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣D.函数()()()n x f x g x =+的一条对称轴为π4x =【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()sin g x x =，()1sin cos sin 22m x x x x ==，此时()2π,2πx ∈，而sin y x =在()π,2π上不单调，故A 错误；B 选项，函数()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin m x x x x x m x +=+⋅+==，而()sin cos ,2π2ππsin cos ,2ππ2π2πx x k x k m x x x k x k ≤≤+⎧=⎨-+<<+⎩1sin 2,2π2ππ,Z 21sin 2,2ππ2π2π,Z 2x k x k k x k x k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，所以()m x 的最小正周期为2π，故B 正确；C 选项，当[]()2π,2ππZ x k k k ∈+∈时，()ππ5π2π+,2πZ 444x k k k ⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，所以()πcos sin 1,4⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭n x x x x ，当()()2ππ,2π2πZ x k k k ∈++∈时，()π5π9π2π,2πZ 444x k k k ⎛⎫+∈++∈ ⎪⎝⎭，πcos ,142x ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()(πcos sin 1,4⎛⎫=-=+∈- ⎪⎝⎭n x x x x ，综上，函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣，故C 正确；D 选项，因为1π3ππ2444⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，πππcos sin 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ，3π3π3πcos sin 0444n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π4x =不是()n x 的一条对称轴.故选：BC11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AB 、BC 、11B C 的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥E FGH -的外接球的表面积为πB.过点E ，F ，H 作正方体的截面，则截面面积为334C.若P 为线段11B D 上一动点(包括端点)，则直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为,33⎣⎦D.若Q 为线段CD 上一动点(包括端点)，过点1A ，G ，Q 的平面分别交1BB ，1DD 于M ，N ，则BM DN +的范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置，求出球的半径，由此可得结论；对于B ：分析可知截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，即可得面积；对于C ：根据体积关系求得点P 到平面1A BD 的距离h ，可得1sin hPA =θ，进而分析范围；对于D ：根据平面性质作截面，设CQ CD λλ==，结合平面几何性质分析求解即可.【详解】对于选项A ：由题意可得：,12EF FG EG GH ====，且GH ⊥平面ABCD ，则222EF FG EG +=，即π2EFG ∠=，可知三角形EFG 外接圆的半径为1122r EG ==，所以三棱锥E FGH -的外接球的球心为EH 的中点，可得三棱锥E FGH -的外接球的半径为2R ==，所以其表面积为24π2πR =，故A 错误；对于选项B ：取1111,,BB C D DD 的中点分别为,,K L J ，可知过点E ，F ，H 作正方体的截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，边长为2所以其面积为122336sin 602224S =⨯⨯⨯︒=，故B 正确；对于选项C ：设点P 到平面1A BD 的距离为h ，由正方体的性质可得：//BD 11B D ，11B D 不在平面1A BD 内，BD ⊂平面1A BD ，则11//B D 平面1A BD ，当点P 在线段11B D 上运动时，则点P 到平面1A BD 的距离即为点1D 到平面1A BD 的距离，由11D A BD -的体积可得111111132322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h ，设直线1PA 与平面1A BD 所成角θ，则11sin h PA =θ，若P 为11B D 的中点时，111PA B D ⊥，()111min122PA B D ==；当点P 为线段11B D 的端点时，()1max 1PA =；即112PA ≤≤，所以1sin ,33h PA θ=∈⎣⎦，故C 正确；对于选项D ：设,QG AB S QG AD T ==I I ，可知平面1A GQ 即为平面1A ST ，则1111,A S BB M AT DD N ==I I，可得1122BG CG BC ===，设CQ CD λλ==，当01λ<<时，由相似三角形知识可得：11BM λλ=+，11211112DN λλλλλλ--==-++，即1BM λλ=+，11DN λλ-=+，且当0λ=或1λ=时，也符合1BM λλ=+，11DN λλ-=+；则11111BM DN λλλλλ-+=+=+++，且01λ≤≤，可得11,112BM DN λ⎡⎤+=∈⎢⎥+⎣⎦，所以BMDN +的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()2,1A ，()4,3B 两点到直线10x ay -+=的距离相等，则a =__________．【答案】1或2【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可.=353a a -=-，可得353a a -=-或353a a -=-，解得1a =或2a =.故答案为：1或2.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】()2,1,3AC =-- ，()0,2,1AB =-，则AC =AC AB AD AB⋅=== ，所以3CD ===，故答案为：314.对任意两个非零的平面向量a 和b，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b⋅=，若平面向量a ，b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b ⊕= __________，cos ,a b =__________．【答案】①.14##0.25②.8或3【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，分析可得cos 2a b θ⊕< ，进而可得14a b ⊕= ，且1cos θ2>，分析可得1cos 2a b >>θr r e ，即可得34a b = 或1，结合向量夹角公式运算求解.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，所以其取值可能为113,,,1424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为0a b >> ，则222a b a b +> ，可得22cos cos 22a b a ba b a b a bθθ⋅⊕=<=+，因为cos 1θ≤，即cos 122θ≤，可得12a b ⊕< ，所以14a b ⊕= ；又因为cos 2a b θ⊕< ，即cos 124θ>，解得1cos θ2>，因为0a b >>，可得22cos cos 1cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅===>>，即34a b = 或1，当14a b ⊕= 且34a b = 时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且234a b b⋅=r rr ，可得23,4a b b a ⋅==r r r r，所以2234cos ,8a b b a b b a ⋅===⋅r r r r r r r r ；当14a b ⊕= 且1a b =时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且21a b b⋅=r rr ，可得2,a b b a ⋅==r r r r r，所以22cos ,3b a b a a b b ⋅===⋅r rr r r r r r ；综上所述：32cos ,8a b =或33.故答案：14；8或3.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin cos 3a C Cb =+.（1）求角B ；（2）若D 是ABC V 边AC 上的一点，且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅=，9425a c +=，求BD 的最大值．【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）根据题意可得3sin cos 3a b C b C =+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan B =，即可得结果；（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABD CBD ∠==，利用面积关系可得311BD a c=+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为3cos 3a C C b =+，即3sin cos 3a b C b C =+，由正弦定理可得sin sin sin cos 3A B C B C =+，且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即sin cos cos sin sin sin sin cos 3B C B C B C B C +=+，可得cos sin sin sin 3B C B C =，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得tan B =，又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=，即BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= ，可得cos cos ABD CBD ∠=∠，即ABD CBD ∠=∠，可知BD 平分ABC ∠，则π6ABD CBD ∠==，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即131111222222ac BD a BD c ⨯=⨯⨯+⨯⨯，整理可得311BD a c=+，又因为9425a c +=，则()11114919413131252525c a a c BD a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当49c aa c=，即53a =，52c =时取等号，可得BD ≤，所以BD 16.已知ABC V 的顶点()1,1A ，边AC 上的高BH 所在直线的方程为80-+=x y ，边AB 上的中线CM 所在直线的方程为53100x y --=．（1）求直线AC 的方程；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）20x y +-=（2）24【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，求直线方程.（2）先确定B 、C 点的坐标，可求线段AC 的长度，利用点到直线的距离求点B 到直线AC 的距离，即三角形的高，就可以求出三角形的面积.【小问1详解】由于边AC 上的高BH 所在直线方程为80-+=x y ，所以设直线AC 的方程为0x y c ++=，由于点()1,1A 在直线AC 上，即110c ++=，解得2c =-，所以直线AC 的方程为20x y +-=.【小问2详解】由于点C 既满足直线53100x y --=的方程，又满足20x y +-=的方程，所以5310020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2x y =⎧⎨=⎩，故()2,0C ，所以AC ==设(),B a b ，由于点B 满足直线80-+=x y ，故80a b -+=，设AB 的中点坐标为11,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，满足53100x y --=，所以115310022a b ++⨯-⨯-=，整理得53180a b --=，所以8053180a b a b -+=⎧⎨--=⎩，解得2129a b =⎧⎨=⎩，所以()21,29B ，则点()21,29B 到直线20x y +-=的距离d ==，故112422ABC S AC d =⨯⨯==△.17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（2）从样本数据在8090x ≤<，90100x ≤<两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：12310,,,,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差5s =，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【答案】（1）73分合理（2）815（3）22.25【解析】【分析】（1）由题意知可得，20.160.8a =计算可求得a ；根据小长方形的面积和为1求得b ，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【小问1详解】由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，20.160.8a =，解得0.032a =，又()0.0080.0160.0320.04101b ++++⨯=，解得0.004b =，所以0.032a =，0.004b =，成绩落在[)50,70内的频率为：0.160.320.48+=，落在[)50,80内的频率为：0.160.320.400.88++=，设第60百分位数为m ，则()700.040.60.48m -=-，解得73m =，所以晋级分数线划为73分合理；【小问2详解】由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，则所有的抽样有：()Ω,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd =，共15个样本点，A =“抽到的两位同学来自不同小组”，则{},,,,,,,A Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd =共8个样本点，所以()815P A =.【小问3详解】因为90x =，所以12101090900x x x +++=⨯= ，所以()2222221210190510s x x x =+++-= ，所以222121081250x x x +++= ，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为1x ，2x ，3x ，…，8x ，平均数与标准差分别为0x ，0s ，则剩余8个分数的平均数：1238090096849088x x x x x ++++--=== ，方差：()()22222222012811908125096849022.2588s x x x =+++-=---= 18.在ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥，且DE 经过ABC V 的重心．将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，存在动点M 使()110A M A D λλ=>如图所示．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）当12λ=时，求二面角C MB E --的正弦值；（3）设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ，求sin θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）20（3）148【解析】【分析】（1）先证DE ⊥平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，进而可得1A C ⊥平面BCDE ；（2）建系标点，分别求平面BMC 、平面BME 的法向量，利用空间向量求二面角；（3）根据题意可得()2,3,BM λ=-和平面1A BE 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为90C ∠=︒，则AC BC ⊥，且DE BC ∥，可得AC DE ⊥，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，始终有1DE A D ⊥，DECD ⊥，因为1A D CD D = ，1A D ，CD ⊂平面1A CD ，所以DE ⊥平面1ACD ，由1A C ⊂平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，且1A C CD ⊥，CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，所以1A C ⊥平面BCDE .【小问2详解】由（1）可知，1AC ，CD ，CB 两两垂直，翻折前，因为DE 经过ABC V 的重心，且DE BC ∥，所以2AD CD =，所以2CD =，4=AD ，223DE BC ==，翻折后14A D =，由勾股定理得1AC ===以C 为原点，直线CD ，CB ，1CA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，(10,0,A ，()2,0,0D，(M ，()0,3,0B ，()2,2,0E ，可得(CM =，(1,3,MB =- ，()2,1,0BE =-，设平面BMC 的法向量 =1,1,1，则11111030m CM x m MB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令11z =，则110x y==，可得()m =，设平面BME 的法向量 =2,2,2，则222223020n MB x y n BE x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21x =，则222,y z ==，可得1,n ⎛= ⎝，可得10cos ,20m nm n m n⋅====⋅，且[],0,πm n ∈，则sin ,20m n ===，所以二面角C MB E --的正弦值为39020.【小问3详解】由（2）可知(10,3,BA =- ，()2,1,0BE =-，(12,0,A D =- 设平面1A BE 的法向量()333,,p x y z =，则133333020p BA y p BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令31x =，则331,y z ==，可得(1,p =，且((()110,3,2,0,2,3,BM BA A D λλλ=+=-+-=-，因为直线BM 与平面1A BE 线面角为θ，则sin cos ,p BM p BM p BM θ⋅==⋅8=当且仅当74λ=时，等号成立，所以sin θ的最大值为148.19.对于一组向量123,,,n a a a a （*n ∈N 且3n ≥），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,m a m n ∈ ，使得m n m a S a ≥- ，那么称m a，是该向量组的“H 向量”．（1）设()()*,n a x n n n =+∈N ，若3a 是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若()*ππcos ,sin 22n n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，向量组1a ，2a ，3a ，，11a 是否存在“H 向量”？若存在求出所有的“H 向量”，若不存在说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，其中1x a ⎫=⎪⎭，2x a -⎫=⎪⎭，求证：222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积．【答案】（1）[]2,0-（2）存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10a （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可得312a a a ≥+ ，结合模长公式列式求解即可；（2）根据题意可得1n a = ，4n n a a +=uuu r u u r ，结合111m s a -= 可得π1cos 22m ≤-，即可分析证明；（3）根据题意分析可得1230a a a ++=，3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合模长公式分析证明即可.【小问1详解】由题意可得：33312a S a a a ≥-=+ ，因为(),n a x n n =+ ，则()()()121,2,223,3a a x x x x +=+++=+ ，()33,3a x =+ ，则22312a a a ≥+ ，即()()2239239x x ++≥++，整理得()360x x +≤，解得20x -≤≤，所以实数x 的取值范围为[]2,0-.【小问2详解】存在，理由如下：假设存在“H 向量”m a ，因为ππcos ,sin 122n n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且444ππcos π,sin πcos ,sin 2222n n n n n n a a +++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则由题意，只需要使得111m S a -= ，又因为()()()()()12340,11,00,11,00,0a a a a +++=+-+-+= ，则()11123111231,0S a a a a a a a =++++=++=- ，可得11ππ1cos ,sin 22m m m S a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，由ππ1cos ,sin 122m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1≤，整理得π22cos 12m +≤，解得π1cos 22m ≤-，又因为{}*|11m x m ∈∈≤N ，即2m =，6，10满足上式，所以存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10 a 满足题意；【小问3详解】由题意得：123a a a ≥+ ，22123a a a ≥+ ，即()22123a a a ≥+ ，222123232a a a a a ≥++⋅ ，同理222213132a a a a a ≥++⋅ ，222312122a a a a a ≥++⋅ ，三式相加并化简得：2221231213230222a a a a a a a a a ≥+++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++≤ ，1230a a a ++≤ ，所以1230a a a ++= ，由1230a a a ++=，可得3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()()222222222123e e e e e e 1e e 2222222x x x x x x x x a a a ----+++=++=++++ ()()()222e e 1e e 1e e 1e e 1x x x x x x x x ----=++=+-=+++-()()2211e 1e 1e e 1e e 1e e x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫=+++-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。