第27章证明 - 中山市初中数学网初中内部信息

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华师大版九年级数学下册《27.1证明的再认识》PPT课件

∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
你认识
外角吗? B
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (
2、构造同旁内角
A
E
A
F E
B
C图1Βιβλιοθήκη ASNP
Q
R
B
M
T
C
B
D
图2
S
N
P
Q
C
A R
M
B
C
T
图4
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图
中的其它角有什么关系?
A
能证明你的结论吗?
2
∠1+∠4=1800 ;∠1>∠2;∠1>∠3;
∠1=∠2+∠3.
3
41
B
C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠DCA=100°(已知),
∠A=45°(已知),
B
CD
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
你认识外角吗?
已知:国旗上的正五角星形如图所示.
A
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
做的辅助线(平当角已定知义条)件看待；辅助线的作∴用∠主Ａ要+∠是Ｂ移+动∠图Ａ形Ｃ，Ｂ使＝条18件0°和结论产生联系. (等量代换)

初中数学第27章证明三角形练习题

华师大九下27章证明三角形练习题班级：姓名：一、填空题：1．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是．2．在ABC ∆中，与∠B 相邻的外角等于140°，则∠A +∠C ＝度；3．两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们盯成三角形，第三根木棒长的范围是；4．等腰三角形的两条边长分别为10cm 和5cm ，它们的周长是 cm ； 5．判断具备下面条件的三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形：（1）如果4:3:1::=∠∠∠CB A ，那么ABC ∆是三角形；（2）如果B A ∠=∠，︒=∠30C ，那么ABC ∆是三角形；（3）如果C B A ∠=∠=∠51，那么ABC ∆是三角形。

6．如图3所示，︒=∠︒=∠︒=∠25,35,70ACD ABE A ，则=∠BDC ，BEC∠= 。

7、已知：如图,D 是BC 上一点, ∠C ＝62°, ∠CAD＝32°, 则 ∠AD B ＝度8．直角三角形中，两锐角之比为1：2，则两锐角的度数分别为；9.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE=4，AC=10，则AB=_____________.10、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图1的位置，若∠AOD=o 110，则∠BOC= ．11、如图，D 、E 两点分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件： 12、如果等边三角形的高是3cm ，那么它的边长是___________cm13、如下左图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，再添加一个条件，就可确定△ABD ≌△ACD.ABDE 图3CFA BED C13、如上右图，已知∠A =∠C ，要证明⊿AOB ≌⊿COD,根据“ASA ”还要一个条件__________； 14、已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为3∶4，S △ABC =2cm 2,则S △DEF = cm 2。

九年级数学第27章证明教案

第二十七章证明一、本章教学目标1、进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力。

2、理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立。

3、体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤。

4、通过对欧几里得“Elements”的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展的价值。

二、教材特点1、限止内容：教材中用逻辑推理的方法研究的几何图形仅限于三角形、四边形。

2、控制难度：教材中所选的例题、练习题和习题均经过挑选，难度适中。

3、重视分析：在许多命题的证明过程中，教材充分重视分析过程。

4、留有余地：教材为学生留下了一定的自行探索研究的空间，将一些难度适中的命题证明留给学生自行完成，充分调动学生的学习积极性。

教材中的阅读材料和课题学习——中点四边形，都为学生留下自行探索和想像的空间。

三、课时安排本章的教学时间为18课时，建议分配如下：§27.1证明的再认识 2课时§27.2用推理方法研究三角形式 5课时§27.3用推理方法研究四边形 8课时复习 2课时课题学习中点四边形 2课时证明的再认识(1)知识技能目标1．进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法；2．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式；3．能证明三角形内角和定理及推论．过程性目标通过三角形内角和定理及推论的证明，体会证明的必要性，注意证明的格式，知道每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．教学过程一、创设情景1．任意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，求出该四边形的内角和的大小．你能说说理由吗？2．下列图中的线段和线段的长度是否相等？用尺度量结果是否与你感觉一样？二、归纳总结．1．探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质．2．逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理．公理：(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；(4)全等三角形的对应边、对应角相等．定理：在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面．三、实践应用．例1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度．已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°．分析回忆以前将三个内角拼在一起，发现三角形的三个内角的和等于180°，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形ABC，延长AB到D，得平角ABD，过点B作B E∥AC，由平行线的性质把三个内角拼到点B处，证明过程如下：证明延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．因为BE∥AC（画图），所以∠A=∠EBD（两直线平行，同位角相等），∠C=∠CBE（两直线平行，内错角相等），又因为∠EBD+∠CBE+∠ABC=180°（平角定义），所以∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）．得：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度．说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；(2)该定理的推理形式：因为△ABC，所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）；(3)该定理可以作为进一步推理的依据．利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于360°．（b）n边形的内角和等于（n-2）180°．例2如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE相交于点O，且∠A=80°，求∠BOC的度数。

初三下册数学第27章知识点抛物线的性质

初三下册数学第27章知识点抛物线的性质
细心的朋友会发现，老师在讲解基础内容之后，总是给我们补充一些课外例、习题，这是大有裨益的，查字典数学网初中频道为大家准备了初三下册数学第27章知识点，欢迎阅读与选择!
1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，那么抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数
(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 精品小编为大家提供的初三下册数学第27章知识点大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。

初三数学最新课件-271证明的再认识精品

B
CD
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
你认识外角吗?
A
分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和定
·C
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1
是它的一个外角, E为边AC上一点,延长
BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
D
2
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大
C 53 E
于任何一个和它不相邻的内角).
4
1
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义)A.
BF
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
已知:如图所示,在△ABC中,外角 ∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小.
A
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∠DCA=100°(已知),
∠A=45°(已知),
———————————————A —
B
F
B
n边形的E内角和等于 (n 2) 180
A
F
B
E
C
C
D
C
O E
A
D
A
F
B n边形
D
B
n边形

新人教版初中九下第27章相似单元计划

新人教版初中九下第27章相似单元计划第二十七章相似单元计划：教学内容：1.本单元主要涉及数学方面的内容，包括：1) 相似图形和相似多边形的概念，以及探索相似多边形的性质。

2) 相似三角形的判定方法，相似测量的应用，以及相似三角形的周长和面积。

3) 位似图形的绘制方法，以及在平面直角坐标系中的位似变换。

2.本单元在教材中的地位和作用：本章是在图形的全等和全等三角形的基础上研究相似变换，是前面研究全等变换的拓展和发展，同时也是以后研究锐角三角函数和投影与视图的基础。

教学目标：1.知识和技能：1) 使学生了解线段比和成比例线段的概念，能够判断四条线段是否成比例，能够利用比例性质进行变形。

2) 使学生了解相似形和相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，能够直接应用这些定理解决一些简单的证明和计算问题。

3) 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一坐标系中感受位似变换后点的坐标的变化。

2.过程和方法：1) 通过具体的实例来认识相似图形，探索相似图形的性质，从而理解相似多边形的对应角相等、对应边的比相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

2) 结合相似三角形的判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。

3) 辨析四种变换，综合利用四种变换进行图案设计，培养学生综合运用知识的能力。

3.情感、态度和价值观：1) 通过观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，积累与人合作、探究、交流的经验，获得相应的知识和技能。

2) 通过大量实际应用，获得解决实际问题的经验，体会相似的意义和价值，同时提高综合运用知识的能力。

3) 通过理论联系实际，对学生进行唯物认识教育，通过相似形与全等形的类比从特殊到一般，把握图形的运动变化关系，对学生进行辩证唯物主义教育。

教学重点：1) 相似多边形的有关性质。

2) 相似三角形的判定。

3) 利用位似变换将一个图形放大或缩小。

人教版初中数学《第27章极端原理》竞赛专题复习含答案

人教版初中数学《第27章极端原理》竞赛专题复习含答案第27章极端原理27.1.1** 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？解析本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．评注本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”．这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：1．有限个数中一定有最大数和最小数；2．无限个正整数中有最小数；3．无限个实数不一定有最大数或最小数．27.1.2** 在一次乒乓球循环赛中，n（n≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．解析没取胜场数最多的一名选手为A，由于没有一个选手是全胜的，所以在这n名选手中存在一名选手C，C胜A．考虑A击败的选手的全体，其中必有选手B胜C．事实上，若A的手下败将也都负于C，那么C胜的场数比A胜的场数至少要多1，这与A是获胜场数最多的选手矛盾．所以，存在三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．27.1.3** 平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．解析997个点中每两点都有一个距离，因而共有9979962个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设AB是最大的距离．分别以A、B为圆心，12AB为半径作圆，如图所示．点A与除点B之外的995个点的连线的中点在圆A的内部或边界上；点B与除点外的995个点的连线的中点在圆B的内部或边界上，这样我们得到了995+995＝1990个红点．另外，AB的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：32，42，52，…，19922，19932，故红点恰有1991个．27.1.4** 证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．解析如图所示，在凸五边形ABCDE 中，一共有5条对角线：AC 、AD 、BD 、BE 、CE ，所以其中一定有一条是最长的，不妨设AC 最长．ABEPD由于ACDE 是凸四边形，设AD 与CE 的交点为P ，则 AC AP PC AD CE <+<+．因为AC 最长，所以，AC 、AD 、CE 这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．27.1.5* 平面上给定3个点。

华师大第27章证明教案

第27章证明本章用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说理得到的有关三角形、四边形的一些命题重新进行了研究。

通过对证明的方法与步骤的介绍，让学生充分地感受到用直观感知、操作说理的方法是研究几何图形属性的重要方法，而用逻辑推理的方法也是研究几何图形属性的重要方法。

一、教学目标：1．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用学得的公理、定理、定义进行逻辑推理。

2．理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

3．体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤。

4．通过对欧几里得的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展的价值。

二、教材特点：1. 限制内容：教材中用逻辑推理方法研究的几何图形仅限于三角形、四边形。

2. 控制难度：教材中所选例题、练习题和习题均经过挑选，难度适中。

3．重视分析：在许多命题的证明过程中，教材充分重视分析过程。

4．留有余地：教材为学生留下了一定的自行探索研究的空间，将一些难度适中的命题证明留给了学生自行完成，充分调动学生的学习积极性。

教材中的阅读材料、课题学习：中点四边形，都为学生留下自行探索、想象的空间。

三、知识结构图：四、课时安排：§27.1 证明的再认识---------------2课时§27.2 用推理方法研究三角形-------6课时§27.3 用推理方法研究四边形-------8课时复习-----------------------------2课时课题学习中点四边形--------------2课时五、教学建议：§27.1 证明的再认识1．本节首先回顾了探索几何图形性质的常用的两种方法：（1）通过看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜，并在实验、操作中对它们作出解释的方法。

（2）用逻辑推理的方法。

其次指出逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，从而根据全日制义务教育数学课程标准给出了本教材所规定的公理。

九年级数学上册第27章证明电子教材华东师大版

第27章证明 (2)§ 27.1 证明的再认识 (2)阅读材料 (5)图形中的“裂缝” (5)§27.2 用推理方法研究三角形 (6)1. 等腰三角形 (6)2. 角平分线 (8)3. 线段的垂直平分线 (9)4. 逆命题、逆定理 (11)§ 27 .3用推理方法研究四边形 (14)1. 平行四边形 (14)2. 矩形、菱形 (16)3. 正方形 (17)4. 等腰梯形 (18)5. 中位线 (20)6. 反证法 (21)阅读材料 (22)《几何原本》 (22)小结 (23)复习题 (24)课题学习 (25)中点四边形 (25)第27章证明逻辑推理是研究数学的一个重要的基本方法，几何学的研究充分运用了这一方法．这就是中国古代伟大的科学家徐光启与他翻译的《几何原本》．§ 27.1 证明的再认识我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法，并在实验、操作中对它们作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的性质．例如我们曾经遇到如下问题：如图27.1.1，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形．图27.1.1解由于平行四边形对边平行，可得AD∥BC，即AE∥CF，又AE＝CF，由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形AFCE是平行四边形．其中“由于平行四边形对边平行，所以AD∥BC”以及“由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从AE∥CF，AE＝CF，即可推出四边形AFCE 是平行四边形”都是逻辑推理．逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此在第24章中，给出了如下的公理：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等．（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．我们还提到，等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据．我们可以在这些公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．第24章中已经用逻辑推理的方法证明了有关平行线的一些命题，下面将继续用逻辑推理的方法证明几何图形的有关命题．回忆你是怎样知道三角形的内角和是180°的呢？当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将任一个三角形的三个内角拼在一起（如图27.1.2），发现三角形的三个内角的和等于180°．用测量的方法能保证每次画出的三角形的三个内角的和正好等于180°吗？用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗？为了确保精确无误，人们发现了以下的证明方法．如图27.1.3，任意作一个三角形ABC，延长线段AB到D，并经过点B作BE ∥AC．由于BE∥AC，于是根据“两直线平行，内错角相等”，可知∠C＝∠2，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠A＝∠1，由于A、B、D三点在同一条直线上，因此根据平角的定义，∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°．于是可知，不论三角形的形状如何，它的三个内角的和等于180°．图27.1.3为了一目了然地把上述证明过程表达出来，我们把证明的每一步的依据写在所得到结论后面，这样上述的证明过程就可以用如下的证明格式表示．已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．证明：如图27.1.3，延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．因为BE∥AC（画图），所以∠A＝∠1（两直线平行，同位角相等），∠C＝∠2（两直线平行，内错角相等），又因为∠1＋∠2＋∠ABC＝180°（平角的定义），所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°（等量代换）．我们把“三角形的内角和等于180°”作为定理．利用这个定理，通过推理，可以得到“n边形的内角和等于（n－2）×180°”这个定理．例求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．图27.1.4已知：如图27.1.4，∠CBD是△ABC的一个外角．求证：∠CBD＝∠A＋∠C．证明：因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），所以∠A＋∠C＝180°－∠ABC（等式的性质）．又因为∠ABC＋∠CBD＝180°（平角的定义），所以∠CBD＝180°－∠ABC（等式的性质）．因此∠CBD＝∠A＋∠C（等量代换）．由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理．思考有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，你能证明直角三角形的两个锐角之间所具有的数量关系吗？练习1. 求证：直角三角形的两个锐角互余．2.求证：四边形的内角和等于360°；五边形的内角和等于540°．3.已知一个多边形的内角和等于1 080°，求这个多边形的边数．1.利用“n边形的内角和等于（n－2）×180°”这个结论，证明：任意多边形的外角和等于360°．2.已知一个多边形的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形的边数．3.求证：有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“A.A.S.”）．4.如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C，求证：△ABD≌△ACE．(第4题)阅读材料图形中的“裂缝”几何图形的割补问题，有时会使人不知所措．下面的图形问题就是出现在萨姆·劳埃德（SamLoyd）的《趣题大全》（CyclopediaofPuzzles）中的一个趣题：将图1按所画粗线条剪开，再按图2拼合．方格线的面积增加了一个平方单位．8×8=64 13×5=65图1图2为什么面积会增加了？这是视觉上的错觉欺骗了我们．实际上，当图1剪成四块拼成图2时，中间有一个平行四边形的缝隙，如图3中的ABCD，它的面积正好为1．也就是说A、B、C三点及A、D、C三点都不在一条直线上，图形中出现了“裂缝”，而图2中误以为它们都在同一条直线上．这就说明了证明的重要性．图3 图4 图5后来，有人将图4中的三角形区域按所画的粗线条剪开，再按图5重新拼合，结果在三角形的内部出现了一个“黑洞”．你能对图4和图5中的现象作出解释吗？§27.2 用推理方法研究三角形1. 等腰三角形在第9章中我们已经知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法．回忆你是怎样知道等腰三角形的这个识别方法的呢？如图27.2.1，在△ABC 中，∠B ＝∠C ．当时是用刻度尺找出边BC 的中点D ，连结AD ，然后沿AD 对折，经过观察AB 与AC 完全重合，于是得到AB ＝AC ．你想过没有，为什么当△ABC 沿AD 对折时，AB 与AC 完全重合？为了说明这个问题，我们可以用逻辑推理的证明方法．已知：如图27.2.1，在△ABC 中，∠B ＝∠C ．求证： AB ＝AC ．图27.2.1分析要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到画∠BAC的平分线AD．证明画∠BAC的平分线AD．在△BAD和△CAD中，∠B＝∠C（已知），∠1＝∠2（画图），AD＝AD（公共边），所以△BAD≌△CAD（A.A.S.）．所以AB＝AC（全等三角形的对应边相等）．于是得到：等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）我们还可以用逻辑推理的方法得到等腰三角形的性质：等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）我们曾经通过画图、比较，发现：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的．现在有了等腰三角形的性质定理，就可以用逻辑推理的方法证明这个结论的正确性．已知：如图27.2.2，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB＝∠AˊCˊBˊ＝90°，AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ．图27.2.2求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ．分析把△ABC和△AˊBˊCˊ拼在一起，使相等的直角边AC和AˊCˊ重合在一起，并使点B和Bˊ在AˊCˊ的两旁，B、C（Cˊ）、Bˊ在一条直线上．由此图，利用等腰三角形的性质与全等三角形识别法，即可证明这两个直角三角形全等．证明如图27.2.2那样，把△ABC和△AˊBˊCˊ拼在一起．因为∠AˊCˊBˊ＝∠ACB＝90°（已知），所以∠BˊCˊB＝180°（等式的性质），即点Bˊ、Cˊ、B在同一条直线上．在△AˊBˊB中，因为AˊBˊ＝AB＝AˊB（已知），所以∠B＝∠Bˊ（等边对等角）．在△ABC和△AˊBˊCˊ中，因为∠ACB＝∠AˊCˊBˊ（已知），∠B＝∠Bˊ（已证），AB＝AˊBˊ（已知），所以△ABC≌△AˊBˊCˊ（A.A.S.）．通过上述证明，可以得到：斜边、直角边定理如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为（.）练习1. 求证：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．2. 求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．2. 角平分线回忆我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？如图27.2.3，OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ．垂足分别为点D 和点E ．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC 对折．通过观察，线段PD 和PE 完全重合．于是得到PD ＝PE ．与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明PD ＝PE ．已知：如图27.2.3，OC 是∠AOB 平分线，点P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足．求证： PD ＝PE ．分析图中有两个直角三角形△PDO 与△PEO ，容易看出满足（A.A.S.）定理的条件．证明因为PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知），所以 ∠PDO ＝∠PEO ＝90°（垂直的定义）．在△PDO 和△PEO 中，因为∠DOP ＝∠EOP （已知），∠PDO ＝∠PEO （已证），PO ＝PO （公共边），所以 △PDO ≌△PEO （A.A.S ）．因此 PD ＝PE （全等三角形的对应边相等）．图27.2.3于是就有：定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．图27.2.4已知：如图27.2.4，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的平分线上．分析为了证明点Q 在∠AOB 的平分线上，可以画射线OQ ，利用（H.L.）定理证明△QOD ≌△QOE ，从而得到∠AOQ ＝∠BOQ ．于是就有：定理到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．试一试从图27.2.5中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．请你完成证明．练习1. 如图，在直线l 上找出一点P ，使得点P 到∠AOB 的两边OA 、OB 的距离相等．图27.2.5(第1题) （第2题）2. 如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠DAE 的平分线上．3. 线段的垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．如图27.2.6，设直线MN 是线段AB 的垂直平分线，点C 是垂足．点P 是直线MN 上任意一点，连结P A 、PB ．现在我们用推理的方法来证明P A ＝PB ．已知： MN ⊥AB ，垂足为点C ，AC ＝BC ，点P 是直线MN 上任意一点．求证： P A ＝PB ．证明因为 MN ⊥AB （已知），所以 ∠PCA ＝∠PCB ＝90°（垂直的定义）．在△PCA 和△PCB 中，因为AC ＝BC （已知），∠PCA ＝∠PCB （已证），PC ＝PC （公共边），图27.2.6所以△PCA≌△PCB（S.A.S）．因此P A＝PB（全等三角形的对应边相等）．于是就有：定理线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．反过来，到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以用“证明”来解答这个问题．已知：如图27.2.7，QA＝QB．求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．分析为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB 的中点为点C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB．图27.2.7于是就有：定理到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．图27.2.8试一试从图27.2.8中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．试试看，相信你一定行．练习1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等．2.如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证：BA＋DA＝BC＋DC．(第1题) （第2题）（第3题）3.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证：点D在AC的垂直平分线上．4. 逆命题、逆定理我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的题设为______________________________ ____________________________________________________________________；结论为______________________________________________________________．它的逆命题为_________________________________________________．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．在第19章中，我们已经学过勾股定理，即勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．我们可以证明，勾股定理的逆命题也是正确的．勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图27.2.9，在△ABC中，AB＝c, BC＝a,CA＝b,且a2＋b2＝c2．图27.2.9求证：△ABC是直角三角形．分析首先构造一个直角三角形A' B' C'，使得∠C'＝90°，B' C'＝a，C' A'＝b，然后可以证明△ABC≌△A' B' C'，从而可知△ABC是直角三角形．做一做设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角．（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）35，91，84．练习1. 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．（2）等边三角形的每个角都等于60°．（3）全等三角形的对应角相等．（4）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．2. 举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除．（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．3. 在你所学过的知识中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出2对．4. 三角形ABC三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？（1）a＝8, b＝15, c＝17;（2）a＝241, b＝10, c＝8;（3）a＝6, b＝8, c＝10;（4）a＝1, b＝2, c＝3．5. 给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？习题27.21.1.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．求证：（1）∠1＝∠2；（2）AD⊥BC．（第1题）（第2题）2.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，且EF∥BC．求证：EF＝BE＋CF．3.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥AO，ED⊥BO，垂足分别是C、D．求证：∠EDC＝∠ECD．(第3题) （第4题）4.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D．求证：点D在AB的垂直平分线上．5.如图，△ABD、△ACE都是等边三角形．求证：CD＝BE．（提示：找出分别以CD、BE为边的两个全等三角形）(第5题)6.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．（1）如果x＝y，那么x2＝y2；（2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角．（3）§ 27 .3用推理方法研究四边形1. 平行四边形在第12章中，我们已学过平行四边形的判定方法，我们也可以用逻辑推理的方法来证明这些判定方法．平行四边形判定定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．分析要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等．图27.3.1证明如图27.3.1，连结AC．因为AB∥CD，所以 ∠BAC ＝∠DCA （两直线平行，内错角相等）．在△ABC 和△CDA 中，因为AB ＝CD ，∠BAC ＝∠DCA ，AC ＝CA ，所以 △ABC ≌△CDA （S.A.S.）．因此 ∠BCA ＝∠DAC （全等三角形的对应角相等），BC ∥DA （内错角相等，两直线平行）．所以四边形ABCD 是平行四边形．利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形．同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等．已知：如图27.3.2，四边形ABCD 是平行四边形．求证： AB ＝CD ， BC ＝DA ．分析要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论．证明连结AC ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥CD ，因此 ∠BAC ＝∠DCA （两直线平行，内错角相等）．同理 ∠BCA ＝∠DAC ．在△ABC 和△CDA 中，因为图27.3.2∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，∠BCA＝∠DAC，所以△ABC≌△CDA（A.S.A.），因此AB＝CD，BC＝DA（全等三角形的对应边相等）．由△ABC≌△CDA，我们还可以得出∠B＝∠D，同样也可得出∠BAD＝∠DCB，于是可得：平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等．同样，我们也可证明：平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分．例1如图27.3.3，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．图27.3..3证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD（平行四边形对边相等）．因为AE＝CF，所以BE＝DF．又BE∥DF，因此四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．所以BF∥DE．练习1. 求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2. 求证：平行四边形的对角线互相平分．3. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 、F 分别是边AB 、DC 的中点．求证：EF ＝BC ． 2. 矩形、菱形我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此它们都具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：定理矩形的四个角都是直角．根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，而平行四边形的对边相等，因此可得：定理菱形的四条边都相等．我们还可以证明以下一些定理．定理矩形的对角线相等．已知：如图27.3.4，四边形ABCD 是矩形．求证： AC ＝BD ．分析由于AC 、BD 分别是△ABC 、△DCB 的边，因此要证AC ＝BD ，只要证△ABC≌△DCB ．请你完成证明．定理菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角(第3题)图27.3.4线平分一组对角．已知：如图27.3.5，四边形ABCD 是菱形．求证： AC ⊥BD ；AC 平分∠DAB ，CA 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ，DB 平分∠CDA ．分析要证AC ⊥BD ，AC 平分∠DAB ，只要证明△DAB 是等腰三角形，且AC 平分BD ．证明设对角线AC 与BD 交于点O ．因为四边形ABCD 是菱形，故AB ＝AD ，即△ABD 为等腰三角形．又BO ＝DO （平行四边形的对角线互相平分），所以AC ⊥BD ，AC 平分∠DAB （等腰三角形的三线合一）．同理，CA 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ，DB 平分∠CDA ．利用矩形的性质，还可以证明下面的定理．定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图27.3.6，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线．求证：21CD ＝AB ．分析要证CD ＝21AB ，可以延长CD 到E ，使DE ＝CD ，此时只要证CE ＝AB ．本题的关键在于证明四边形AEBC 是一个矩形．要判定一个四边形是不是矩形或菱形，除了利用矩形或菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理有三个角是直角的四边形是矩形．定理四条边相等的四边形是菱形．思考图27.3.6根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形或菱形呢？在平行四边形中，保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形？在平行四边形中，保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？练习1. 试写出“矩形的对角线相等”的证明过程．2. 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．(第2题) (第3题)3. 如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．求证：EB＝ED．3. 正方形我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质．定理正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形．于是可得：定理有一个角是直角的菱形是正方形．定理有一组邻边相等的矩形是正方形．例2 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．已知：如图27.3.7，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是正方形．分析要证四边形EFGH 是正方形，可先证四边形EFGH 是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可先证四边形EFGH 是菱形，然后再证有一个角是直角．证明因为四边形ABCD 是正方形，所以∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ．因为点E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，所以BE ＝BF ＝CF ＝CG ，∠BEF ＝∠BFE ＝∠CFG ＝∠CGF ＝45°，因此 ∠EFG ＝90°．同理 FGH ＝∠GHE ＝90°．所以四边形EFGH 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．因为 BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BF ＝CG ，所以 △BEF ≌△CFG （S.A.S.），EF ＝FG （全等三角形的对应边相等）．因此四边形EFGH 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．练习1. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠1＝∠2＝45°．求证：四边形ABCD 是正方形． 2. 尽可能多地说出识别一个四边形为正方形的方法．（说明理由）（第1题）4. 等腰梯形在第12章中，我们已学过等腰梯形的一些性质．现在也可以用逻辑推理的方法来证明这些性质．定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．已知：如图27.3.8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．求证：∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．图27.3.8分析可以过点D作DE∥AB，交BC于E．请你写出完整的证明过程．定理等腰梯形的两条对角线相等．已知：如图27.3.9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．求证：AC＝BD．图27.3.9分析可以通过证明△ABC≌△DCB得出结论．请你写出完整的证明过程．我们同样可以探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形．定理同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．已知：如图27.3.10，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．求证：四边形ABCD 是等腰梯形．图27.3.10证明过点D 作DE ∥AB ，交BC 于E ，则∠B ＝∠DEC （两直线平行，同位角相等）．因为 ∠B ＝∠C ，所以 ∠DEC ＝∠C ，DE ＝DC （等角对等边）．因为 AD ∥BC ，DE ∥AB ，所以四边形ABED 是平行四边形（平行四边形的定义），所以 AB ＝DE （平行四边形的对边相等）．因此 AB ＝DC ，即四边形ABCD 是等腰梯形．我们还可以得到：定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形．练习1. 用图中所示的添辅助线的方法，证明等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．2. 已知等腰梯形的一个底角为60°，它的两底分别是6 cm 、16 cm ．求这个等腰梯形的周长．3. 求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形．(第1题)5. 中位线我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．三角形、梯形的中位线具有哪些性质呢？三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图27.3.11所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ．求证： DE ∥BC ，DE ＝21BC ．分析要证DE ∥BC ，DE ＝21BC ，可延长DE 到F ，使EF ＝DE ，于是本题就转化为证明DF ＝BC ，DE ∥BC ，故只要证明四边形BCFD 为平行四边形．证明延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连结CF ．因为AE ＝CE ，∠AED ＝∠CEF （对顶角相等），ED ＝EF ，所以 △ADE ≌△CFE （S.A.S.），AD ＝CF （全等三角形的对应边相等），∠ADE ＝∠F （全等三角形的对应角相等），所以 AD ∥CF （内错角相等，两直线平行）．因为 AD ＝DB ，所以 CF ＝DB ．因此四边形BCFD 是平行四边形，于是DF ∥BC ，DF ＝BC （平行四边形的对边相等），即 DE ∥BC ，DE ＝BC ．图27.3.11。

华师大版数学九下第27章证明复习课教案

华师大版数学九下第27章证明复习课教案一、主要内容1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，称为“等边等角”。

2.推断：顶角平分线、底边中心线和底边高度重合。

等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直，也可证线段或角的倍分问题。

3.判断：具有两个相等角度的三角形是等腰三角形，称为“等角到等边”。

4.斜边和直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

5、中位线概念：（1）三角形中线的定义：连接三角形两侧中点的线段称为三角形中线。

⑵ 梯形中线的定义：连接梯形两腰中点的线段称为梯形中线。

小心：⑴要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

⑵ 梯形的中线是连接两个腰部中点的线段，而不是连接两个底部中点的线段。

⑶两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

6.中线定理：⑴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

⑵梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

二、重点与难点分析重点：三角形和梯形中线的概念和定理。

通过三角形、梯形中位线的概念及定理的证明的学习使学生掌握三角形、梯形中位线的定义，掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用难点：1.三角形中线定理的证明基于教科书中的“相同方法”。

其基础是：（1）三角形中线定理和平行线平分线定理1的推论是逆命题的关系；（2）线段的中点是唯一的，经过两个点点的直线也是惟一的。

定理证明的其他方法：⑴通过旋转图形构造基本图形――平行四边形。

（2）通过三个顶点与中线垂直。

2、梯形中位线定理的证明，课本采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线问题来证明。

定理证明的其他方法：⑴连结一条对角线⑵过上底端作一腰平行线⑶过一腰中点作另一腰平等线通过添加辅助线来解决三角形中线和梯形中线的问题，可以提高分析和解决问题的能力。

人教版初中数学第27章相似

九年级第二十七章相似一、知识点集结考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用图形的相似比例的基本性质，线段的比。

成比例线段 ∨ 认识图形的相似，探索相似图形的性质 ∨ 相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方 ∨ 两个三角形相似的概念，图形的位似∨ 探索两个三角形相似的条件∨ 利用位似将一个图形放大或缩小∨一、考点的引发、思维的拓展考点一、比例的基本性质，线段的比。

考点内容分解：1、比例式与比例系数。

1、==dcb a ……=k 2、比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积； 2、①bc ad dcb a =⇒= 黄金分割与比例中项。

②ac b cbb a =⇒=2 3、等比性质。

3、==dc b a ……=k k dcb a d bc a ===++++⇒4、合分比性质。

4、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=-⇒=d d c b b a d d c b b a d c b a 例01．已知811=+x y x ，求y x 的值。

变式：线段x ，y 满足1:4:)4(22=+xy y x ，求y x :的值例02．已知432zy x ==，求y x z y x -+-33的值例03．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，第三个数是________。

例04．设k yx zx z y z y x =+=+=+，求k 的值变式1．如果0432≠==c b a ，则b c a cb a 24235-++-的值为。

变式2．若3753=+b b a ，则b a的值是__________变式3．已知：如图，在ABC ∆中，12=AB ，6=AE ，4=EC ，且ECAEDB AD = （1）求AD 的长；（2）求证：ACECAB DB =考点二、认识图形的相似，探索相似图形的性质考点内容分解：⑴对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。

初三数学第27章证明复习

初三数学第27章证明复习一．知识体系表解角平分线差不多概念中线用高推三中位线（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）理角三边关系定理（任意两边这和（差）大于（小于）第三边）的形性质三角形按边分类方内角和定理（180º）三角形按角分类法判定（S ，S ，S ； S ，A ，S ； A ，S ，A ； A ，A ，S 研全等三角形直角三角形角形还有专门的：H L ）究性质（边、角、高、中线、角平分线、面积）四边形见背面二．例题1．已知，如图，AC 平分∠PAQ ，点B 、D 分别在边AP 、AQ 上，假如添加一个条件，即可推出AB=AD ，那么添加的条件能够是。

A 、BD ⊥ACB 、BC=DC C 、∠ACB=∠ACD D 、∠ABC=∠ADC 2．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，AD//BC ，E 是梯形外一点，且EA=ED 。

求证：EB=EC 。

3．已知：△ABC 中，AB=10，AC=6，则BC 边上的中线的取值范畴是。

4．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C 。

求证：AB+BD=DC 。

5．如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，M 、N 分别是BC 、AD 的中点， ∠B+∠C=90º，求证：MN =)(21AD BC 。

6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD 于点O ， MN 是梯形的中位线，∠DBC=30º。

求证：AC=MN 。

7．如图，△ABC 是等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 边上的点，且CD=BF ，以AD 为边作等边△ADE 。

求证：四边形CDEF 为平行四边形。

8．已知：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE//AC 交AB 于点E ，Q P DCB A EDCB A DC B A N MD CB A O NM D C BAF EDCBA F E DCBAEF//BC 交AC 于点F 。

初中数学竞赛专题-第27章圆的解析性质及应用

第二十七章圆的解析性质及应用【基础知识】圆有如下一系列有趣的解析性质:性质1 圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的方程为222()()x a y b r -+-=．性质2 二次方程表示圆的方程所应满足的条件是2240D E F +->,且220x y Dx Ey F ++++=．性质3 圆心为（,a b ）,半径为r 的圆的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（θ为参数）．性质 4 与两定点(,0)a ,(,0)b （a b ≠）距离的比为mn（n m ≠且0,0n m >>）的点的轨迹是圆:22222222()an bm mn a b x y n m n m ⎛⎫--⎡⎤-+= ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭．性质 5 与两定点(,0)a ,(0,)c 的距离的比为mn (n m ≠且0n >,0m >)的轨迹是圆:2222an x n m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 2222222()cm mn a c y n m n m ⎛⎫+⎡⎤++= ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭．性质6 以点11(,)A x y ,22(,)B x y 为圆的直径两端点的圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．注上述方程可变形为2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=．此式说明:若两曲线的两交点坐标满足它,则此两点为这圆的直径的两端点．性质7 若直线(),0f x y =与二次曲线(,)0F x y =相交于P ,Q 两点,且由(,)0,(,)0.f x y F x y =⎧⎨=⎩消去y ,得()0g x =；消去x ,得()0h y =(其中()g x 与()h y 的二次项系数均为1）,那么以P ,Q 为直径端点的圆的直径式方程为()()0g x h y +=．证明设P ,Q 的坐标分别为11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则1x ,2x 是方程()0g x =的两个根；1y ,2y 是方程()0h y =的两个根,即12()()()0g x x x x x =--=,12()()()0h y y y y y =--=．两式相加,有1212()()()()()()0g x h y x x x x y y y y +=--+--=．由性质6,即证得结论成立．性质8 设O 为平面直角坐标系原点,P 为直线l :(,)1g x y Ax By =+=(A ,B 不同时为零）上一点,射线OP 交圆:2222(,)1x y f x y r r=+=于点R ,若点Q 在OP 上且满足22OQ OP OR r ⋅==,则点P 在l 上移动时,Q 点的轨迹是圆2222224()224Ar Br A B r x y ⎛⎫⎛⎫+⋅-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,或(,)(,)0f x y g x y -=．证明设00(,)P x y ,(,)Q x y ,则由Q 在OP 上可设OP k OQ =⋅．由2OQ OP r ⋅=,有OQ R OQ ⋅⋅= 2r ,即22r k OQ=,亦即22r OP OQ OQ=⋅,从而2022r x x x y =⋅+,2022r y y x y =⋅+．又00(,)x y 在直线l 上,即有001Ax By +=,亦即2222221r x r yA B x y x y ⋅⋅⋅+⋅=++,由此得222Ar x ⎛⎫- ⎪⎝⎭22224()24Br A B r y ⎛⎫+⋅+-=⎪⎝⎭．上式又可化为2222x y Ax By r r+=+,故(,)(,)0f x y g x y -=．性质9 过两圆1(,)0f x y =,2(,)0f x y =（或一圆与一二次曲线）交点的圆的方程为1(,)f x y +2(,)0(1)f x y λλ=≠-．注若1λ=-,则为一直线方程．性质10 设直线l :0Ax By C ++=,圆Γ:222()()x a y b r -+-=,圆心(,)O a b 到直线l 的距离为d =则(1)当d R <时,直线l 与圆Γ相交,反之亦真；(2)当d R =时,直线l 与圆Γ相切,反之亦真； (3)当d R >时,直线l 与圆Γ相离,反之亦真．性质11 直线0Ax By C ++=与圆222x y r +=相切的充要条件是()2222A B r C +=．性质12 设00(,)M x y ,圆的方程222x y r +=,对于直线l 的方程200x x y y r +=,则(1)当M 在圆上时,l 为圆的切线；(2)当M 在圆外时,l 为圆的切点弦直线；(3)当M 在圆内时,l 为与以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上,这可由第二十五章的性质7推论后的注即得．这里,其实l 即为点M 关于圆的极线．【典型例题与基本方法】例1 已知一圆在x 轴上的截距为a ,b ,在y 轴上的截距为(0)c c ≠,求此圆的方程．解法1 由于圆过点(,0)A a ,(,0)B b ,(0,)C c 三点,则圆心M 在AB ,AC 的垂直平分线上,即M 点是两直线1()2x a b =+,2222()()x a y x y c -+=+-的交点,求得2,22a b c ab M c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,又可求得半径22222a b c ab r MA b c ⎛⎫++⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故由性质1,得所求圆的方程为22222a b c ab x y ⎛⎫++⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222b a c ab c ⎛⎫-+⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法2 设此圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．此圆在x 轴上的距离是a ,b ,则20a Da F ++=,① 20b Db F ++=． ②由①,②知a ,b 是方程20x Dx F ++=的两根,从而由韦达定理,有a b D +=-,ab F =．又此圆在y 轴上截距为c ,有20c Ec F ++=．③从而20c Ec ab ++=,即2c abE c+=-．此时,显然满足2240D E F +->,故由性质2知所求圆的方程为22()0ab x y a b x c y ab c ⎛⎫+-+-++= ⎪⎝⎭．注也可由①,②,③联立求出D ,E ,F ．例2 设A 为定点(b ,0),P 为圆229x y +=上一点,M 是AP 上的一点,且满足12AM MP =．当点P 在圆上运动时,求点M 的轨迹方程．解法1 如图27-1,作MN PO ∥交x 轴于N ,显见MN 为定长,即1MN =,且N 为定点(4,0)．由圆的平面几何定义知,到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心,定长为半径,故所求圆的方程为22(4)1x y -+=．解法2 设点M 的坐标是(,)x y ,设圆229x y +=的参数方程为3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）于是可设点P 的坐标为(3cos ,3sin )θθ,由此例定理（或由定比分点坐标公式）得点M 的轨迹的参数方程为4cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）由此即知,线段AP 上的点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心,以1为半径的圆．例3 已知一曲线是与两个定点(0,0)O ,A (3,0)的距离的比为12的点的轨迹,求此曲线的方程．解法1 由题设,运用性质4,知0a =,3b =,1m =,2n =．或运用性质5,知3a =,0c =,1n =,2m =,可求得曲线方程为22(1)4x y ++=．解法 2 由题设及圆的轨迹定义和所求的曲线为圆,即可推知其圆心在直线OA 上,且圆与直线OA 的两个交点即为直径的两端点．由平面几何知识得动点P 满足12PO PA=点为(1,0)P ,(3,0)Q -,从而所求方程为(1)(3)(0)(0)0x x y y -++--=,即22(1)4x y ++=．例 4 求以相交两圆1C :22410x y x y ++++=,及2C :222210x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程．解法1 由两圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程:20x y -=．设所求圆的方程为2241(2)0x y x y x y λ+++++-=,即 22(42)(1)10x y x y λλ++++-+=．其圆心12,2λλ-⎛⎫-- ⎪⎝⎭必在直线20x y -=上,即由()122202λλ----=,求得75λ=-．故所求圆的方程为2255161250x y x y ++++=．解法2 可求得两已知圆的公共弦方程为20x y -=．运用性质7,由22410,20.x y x y x y ⎧++++=⎨-=⎩分别消去y ,x ,得25610x x ++=及251240y y ++=．此两式相加,得225561250x y x y ++++=,此即为所求圆的方程．例5 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ,B ．求证:OA OB ⊥．证明由222y x y x=-⎧⎨=⎩分别消去y ,x ,得2640x x -+=,2240y y -+=．此两式相加,得以AB 为直径的圆的方程:22620x y x y +--=．显然,原点O 在圆22620x y x y +--=上,故OA OB ⊥．例6 已知双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,P ,Q 两点．若OP OQ ⊥,且4PQ =,求双曲线的方程．（1991年全国高考理科题）解设双曲线方程为22221x y a b-=,直线方程为3()5y x c =-,其中22c a b =+．联立直线和双曲线方程分别消去y ,x ,得2222222222635()05353a c a c a b g x x x b a b a+=+-=--． 24222222153()05353b c b h y y y b a b a =++=--．由性质7,知以PQ 为直径的圆的方程为()()0g x h y +=．因OP OQ ⊥,所以圆过原点,则(0)(0)0g h +=,即222243530a c a b b +-=．解得223b a =．设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则PQ 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．由题设得122OM PQ ==,即221212()()16x x y y +++=．而2122261532a c x x cb a +=-=--,21221515b c y y +==．将其代入()*式,得22151644c c +=,解得24c =．由此求得21a =,23b =．故所求双曲线方程为2x213y -=．例7 已知函数1sin 1sin y x x =+-求y 的最大值．（新加坡竞赛题）解令1sin u x =+1sin v x -则有直线方程:0u v y +-=,及圆的方程:222u v +=．由已知可知直线与圆有公共点(,)u v ）,从而22y即2y ≤,等号当且仅当0x =时成立,故max 2y =．例8 确定最大的实数z ,使5x y z ++=,3xy yz zx ++=,并且x ,y 也是实数．（第7届加拿大竞赛题）解由已知,得22222()2()52319x y z x y z xy yz zx ++=++-++=-⋅=．令直线l :(5)0x y z ++-=,O :22219x y z +=-．由已知可知l 与O 有公共点,从而 25192z z --即2310130z z --≤．解得313z 1-≤≤,故max 133z =．例9 112()2x y z x y z --++．（1978年罗马竞赛题）解 x u =1y v -2z t -=,u v t s ++=,则可令l :()0u v t s ++-=,O :222u v s +=- 23t -．因l 与O 有公共点,2232t s S t ---即222(2)360s t t s t -+++≤．因s 有实数解,则22[2(2)]4(36)0t t ∆=-+-+≥,即2(1)0t -≤,故1t =．此时23s t =+=,223z t =+=,代入l 与O 的方程得2u v +=,222u v +=．解此方程得1u v ==,故原方程的解为1x =,2y =,3z =．【解题思维策略分析】1．运用圆的解析性质证明圆锥曲线性质例10 从椭圆22221x y a b+=上一点P ,引以短轴为直径、原点为圆心的O 的两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴,y 轴分别相交点M ,N ,则222222a b a bONOM+=．图27-2证明如图27-2,设00(,)P x y ,O 的方程为222x y b +=,则切点弦AB 的方程为200x x y y b +=．由0x =得20b ON y y ==,0y =得20b OM x x ==,从而2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM++===．注类似地,(i )可证明将上例中的O 换为以长轴为直径的圆,P 为此圆上一点,引椭圆的两条切线,则44222a b a OMON+=；(ii)可证明对于双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,抛物线22(0)y px p =>的类似于上例的结论:(a)从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P ,向以实轴为直径、原点为圆心的圆O 引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ,N ,则 222222b a b a OMON-=． (b)从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P ,向以虚轴为直径,原点为圆心的圆O 引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ,N ,则 222222b a a b OMON-=． (c)从抛物线22(0)y px p =>上一点P ,向以2p （通径）为直径,原点为圆心的圆引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴,y 轴相交于点M ,N ,则222OM pON=．例11 设P 是半径为R 的圆O 内任意一点,过点P 任意引(2)n n ≥条直线1l ,2l ,…,n l ．如果这n 条直线相邻两条所成的角都为πn ,且第i 条直线i l 交圆于i M ,i M '两点（1i =,2,…,n ）,那么221()ni i i PM PM ='+∑是与P 点无关的定值22nR ．证明以圆心O 为坐标原点,射线OP 为x 轴正半轴建立直角坐标系,则圆的方程为222x y R +=．设(,0)P r ,不妨设直线1l 的倾斜角α最小,1l 的参数方程为cos ,sin ,x r t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）将此方程代入圆的方程222x y R +=,整理得 2222cos 0t r t r R α+⋅⋅+-=．设关于t 的上述二次方程的两根为1t ,2t ,则知 122cos t t r α+=-,2212()t t R r =--．由t 的几何意义,从而222211121212()2PM PM t t t t t '+=+=+-222222(1cos2)2()2(cos2)r R r r R αα=++-=+ （*）设直线i l （1i =,2,…,n ）对应的倾斜角为(1)πi n α-+,分别以πn α+,2πn α+,…,(1)πn nα-+代（*）式的α,然后将n 个式子(连同(*)式）相加,并注意三角公式 12(1)πcos 0ni m i n θ=-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑,（n m >均为正整数）从而22222112(1)π()2cos 22nn ii i i i PMPM r nR nR n α==⎧-⎫⎡⎤'+=++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑∑．注若注意到22211111212()4M M PM PM t t t t ''=-=+-,可得22212(2)niii M M n R r ='=⋅-∑；211PM +21212222121()21t t t t t t PM +-=⋅',可得2222221112()n i i i nR R r PM PM =⎛⎫ ⎪+= ⎪-'⎝⎭∑；221212221112()411t t t t PM PM t t ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪'⋅⎝⎭,可得22222212(2)()i i n R r PM PM R r ⎛⎫1-∑+= ⎪ ⎪'-⎝⎭等． 2．注意点圆方程的巧用例12 已知圆0C 的方程为222x y r +=,求经过圆0C 上一点00(,)M x y 的切线方程．解视点00(,)M x y 为点圆曲线0Γ:2200()()0x x y y -+-=．于是00{}C M Γ=∩,由性质9,得曲线系2222200[()()]0x y r x x y y λ+-+-+-=．且由题设知其中1λ=-,故有22220000222x x y y x y r r +=++=．即得200x x y y r +=即为所求．例13 求与圆C :2268170x y x y +--+=切于点(1,2)的圆的方程．解视点(1,2)为点圆曲线0Γ:22(1)(2)0x y -+-=,由性质9得所求圆的方程为2268x y x y +-- 2217[(1)(2)]0x y λ-+-+-=．即 ()2223428111x y λλλλλ+⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+．由228(1)λ=+⎝⎭,求得115λ=-或295λ=-．于是得1C :2227922x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭及2C :2223122x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．易知点(1,2)满足圆1C 的方程,且圆1C 与圆C 的圆心距等于两圆半径之差的绝对值,所以圆1C 与圆C 内切于点(1,2),圆1C 为所求．同理,圆1C 与圆C 外切于点(1,2),圆2C 也为所求． 3．借助圆的解析性质求解其他代数问题例14 若正数x ,y ,z 满足x y z a ++=,2222(0)2a x y z a ++=>,求证:203x <≤,203y <≤,203z <≤．证明由已知有x y a z +=-,22222a x y z +=-,此二式同时成立,即知直线x y a z +=-与圆22222a x y z +=-（z ）有公共点,即原点到直线的距离不大于圆的半径,得2320z az -≤．又0a >,则203z a <≤．同理有203y a <≤,203z a <≤．例15 已知cos cos 2m αβ+=,sin sin 2n αβ+=．求cot cot αβ的值．解令(cos ,sin )A αα,(cos ,sin )B ββ,则知A ,B 在圆221x y +=上．设线段AB 的中点为(,)C m n ,则1(cos cos )2m αβ=+,1(sin sin )2n αβ=+,且OC n k m =,AB m k n =-．AB 的方程为22m m n y x n n +=-+,并代入圆的方程,得222222222222()()10m m m n n m n x x n n n ⎛⎫++-+-+= ⎪⎝⎭．又cos α,cos β为此方程两根,有222222()cos cos n m n m n αβ+-⋅=+．同理22222()sin sin m n m m n αβ+-⋅=+．故2222222()cot cot ()m n n m n m αβ+-⋅=+-为所求．【模拟实战】习题A1．求过直线l :240x y ++=与圆C :222410x y x y ++-+=的两个交点P ,Q ,且面积最小的圆的方程．2．已知直线1y x =-与椭圆22221(1)1x y a a a +=>-相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆过椭圆的左焦点,求a 的值．3．已知圆C :2224x y +=,直线l :1128x y+=,P 是l 上一点,射线OP 交圆于点R ,又点Q 在OP 上且满足:2OQ OP OR ⋅=．当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线． 4．求与抛物线24y x =相切于点P (1,4)且过点(3,0)的圆的方程． 5．求函数3cos ()2sin xy f x x+==-的值的取值范围．6．解方程组222 1.x y z x y z ⎧++⎪⎨++=⎪⎩7．已知a ,b +∈R ,且1a b +=,求证:2211252a b b a ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．8．已知α,β是锐角,目4422sin cos 1cos sin ααββ+=．求证:π2αβ+=．9．已知sin sin()cos()ααβαβ++++=,π,π4β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求β的值．习题B1．自点A (3-,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在直线方程．2．半径等于某个正三角形高的圆在这个正三角形的一边上滚动．证明三角形两边截圆的弧的总长等于60︒． 3．（九点圆定理）证明:三角形三边的中点,三高的垂足,垂心与顶点连接线段的中心,这九个点共圆．第二十七章圆的解析性质及应用习题A1．面积最小的圆是以PQ 为直径的圆,由240x y ++=与222410x y x y ++-+=分别消去y ,x ,得()22633055g x x x =++=,()2124055h y y y =-+=,故所求圆的方程为22261240555x y x y ++-+=． 2．将1y x =-代入椭圆方程,得()2242222202121a a a g x x x a a -=-+=--．将1x y =+代入椭圆方程,得()22422222202121a a a h y y y a a --=++=--．从而以AB 为直径的圆的方程为2224222222224210212121a a a a x y y a a a ---+-++=---．因为此圆过椭圆的左焦点()1,0-,由此代入上述方程得42410a a -+=．而1a >,从而求得()1622a =+．3．由2224241218x y x y +=+整理,得()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,此即为以31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心,132为半径的圆． 4．因为点()1,4P 在抛物线上,所以由圆锥曲线的一般性质,知过点P 与抛物线相切的切线方程为442y x +=,即840x y --=．视点()1,4为点圆曲线0Γ:()()22140x y -+-=,设所求圆方程为()()()2214840x y x y λ-+-+--=．此圆过点()3,0,从而求得1λ=-．于是有22107210x y x y +--+=．将上述方程与24y x =联立,消去y ,得42162710210x x x --+=,即()()2211632210x x x -++=．易知此方方程的实根有仅有二重根1x =,从而推知抛物线24y x =与圆22107210x y x y +--+=有且仅有公共点()1,4,也即它们相切于点()1,4,因此22107210x y x y +--+=为所求圆的方程． 5．令cos u x =,sin v x =,则l :()320u yv y ++-=,O :221u v +=,由已知l 与O 有公共点,有23211y y -+≤,即231280y y -+≤,解得23232233y -+≤≤． 6．令l :()30x y z ++-=,O :2221x y z +=-．由已知l 与O 有公共点,知2312z z --≤,即()310z -≤,故33z =,由此求得33x y ==．7．令2211a b u b a ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1a x b +=,1b y a +=,则l :110x y ab ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭O :22x y u +=．由已知条件知l 与O 有公共点,有112ab u ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,即21112u ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥．又由已知1a b +=得14ab ≤,由此知()21251422u +=≥． 8．令2sin cos x αβ=,2cos sin y αβ=,则l :cos sin 10x y ββ⋅+⋅-=,O :221x y +=（由已知所设）．又l 与O 有公共点,从而有1,即22cos sin 1ββ+=,而22cos sin 1ββ+=,这说明l 与O 有且只有一个公共点,而22sin cos ,cos sin P ααββ⎛⎫⎪⎝⎭与点()cos ,sin Q ββ均是l 与O 上的点,从而2sin cos cos αββ=,亦即22sin cos αβ=,又α,β均为锐角,故2αβπ+=． 9．由已知得()()1cos sin sin sin cos cos ββαββα+-⋅++⋅．令sin u α=,cos v α=, 则l :()()1cos sin sin cos cos 0u ββββα+-⋅++⋅． O :221u v +=．由l 与O 有公共点,1即cos sin ββ≥,而,4βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,从而cos sin ββ=,故4βπ=．习题B1．已知圆的方程为22221x y -+-=（）（）,它关于x 轴的对称圆方程为()()22221x y -++=．此圆与直线l 相切,设切点()11,B x y ,l 上任一点为(),M x y ,B 分MA 为定比λ,则131x x λλ-=+,131y y λλ+=+．又B 在圆上有()()22249255194470y x x y x y λλ+-+++-++=,又l 与圆相切有0=△,即()()83434330x y x y -+-++=,故所求两条光线方程为3430x y +-=,4330x y ++=．2．取正ABC △的顶点A 为原点,BC 边上的高DA 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则AB,AC 的程分别为0y -=,0y +=．若正ABC △的高为r ,则与边BC 相切而滚动的圆的方程为()222x m y r -+=．设圆与AB ,AC 分别交于Q ,R 两点,则Q ,R 两点的横坐标Q x ,R x 为方程()2223x m x r -+=,即222420x mx m r -+-=的根．即有2Q R m x x +=,()214Q R x x mr ⋅=-．又Q Q y ,R R y ,则()()()2222222232Q R Q R Q Q R R Q Q R R RQ x x y y x x x x x x x x =-+-=-++++()222224444Q R Q R m m r x x x x r ⎛⎫-⎡⎤=+-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．从而RQ r =,故RQ 在圆心所张的角恒为60︒的圆上．3．以垂心为原点,ABC △的高AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系．设()0,2A a ,()22B b d ，,()22C c d ，,则三边中点的坐标分别为()2P b c d +，,(),Q c a d +,(),R b a d +垂心与三顶点连线的中点分别为()0,J a ,(),K b d ,(),L c d ．因AD ,BE ,CF 是ABC △的三条高,则JPD △,KQE △,LRF △都是直角三角形,故它们的外接圆直径分别为JP ,KQ ,LR ．又因这三条线段的中点坐标均为2,22b c a d ++⎛⎫⎪⎝⎭,故三外接圆的圆心重合．而()()2222JP b c d a =++-,()2222KQ LR b c a ==-+,且从BE AC ⊥可得()2220d d a b c -+⋅=,即2d bca d+=,故 ()()()22222220JP KQ b c d a b c a -=++----=,故JP KQ LR ==,即三圆直径相等,由此得JPD △,KQE △,LRF △的三外接圆重合,故九个点共圆．。

初中数学《相似三角形的判定》优质公开课2

相似三角形的判定定理的运用方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC
【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于
点E.
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
4．(1)如图①，在△ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上，
且 DE∥BC，AQ 交 DE 于点 P. 求证：BDQP ＝QPEC ； (2)在△ABC 中，∠BAC＝90°，正方形 DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接 AG，AF，分别交 DE 于 M，N 两点． ①如图②，若 AB＝AC＝1，直接写出 MN 的长； ②如图③，求证： MN2＝DM·EN.
∴ DE 与AB 垂直．
课堂检测
1．(广西中考)如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH 一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( B)
A．15 B．20 C．25 D．30
2．(贵阳中考)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，
在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，
12 13
另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为___1_3___.
3．已知锐角△ABC 中，边 BC 长为 12，高 AD 长为 8. (1)如图，矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其余两个顶点 E，F 分别在 AB，AC 边上，EF 交 AD 于点 K；
①求EAFK 的值； ②设 EH＝x，矩形 EFGH 的面积为 S，求 S 与 x 的函数解析式，并求 S 的最大值； (2)若 AB＝AC，正方形 PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形 PQMN 的边长．