06级第二学期期末《数学分析B》A卷参考标准答案

合集下载

六年级数学下学期期末考试试卷B卷附解析

乡镇（街道）学校班级姓名学号 ………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不……………………. 准…………………答…. …………题…绝密★启用前六年级数学下学期期末考试试卷B 卷附解析题号填空题选择题判断题计算题综合题应用题总分得分考试须知：1、考试时间：100分钟，本卷满分为100分。

2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。

3、请在试卷指定位置作答，在试卷密封线外作答无效，不予评分。

一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1、三年期国库券的年利率是2.4％，某人购买国库券1500元，到期连本带息共（）元。

2、在长5dm ，宽3dm 的长方形纸上剪出直径是4cm 的圆，至多可以剪（）个。

3、2/5=( )%=（）÷40 =( )(填小数)。

4、一辆汽车从A 城到B 城，去时每小时行30千米，返回时每小时行25千米。

去时和返回时的速度比是（），在相同的时间里，行的路程比是（），往返AB 两城所需要的时间比是（）。

5、九亿五千零六万七千八百六十写作（），改写成用万作单位的数是（）万，四舍五入到亿位约是（）亿。

6、一个圆柱的底面周长是9.42dm ，它的高是直径的2倍，圆柱的侧面积是（）dm2，它的表面积是（）dm2。

7、从（）统计图很容易看出各种数量的多少。

（）统计图可以很清楚地表示各部分同总数之间的关系。

8、小明集邮的数量占小华的2/3，把（）看作单位“1”。

9、（）∶20＝4∶（）＝0.2＝ 50 （）＝（）%。

10、因为A∶5＝7∶B，所以A 和B 成（）比例。

二、选择题（共10小题，每题1.5分，共计15分）1、一种商品现价90元，比原价降低了10元，降低了（）。

A ．1/9 B ．10% C ．9%2、一个圆和一个正方形的周长相等，他们的面积比较（）。

六年级下学期数学期末试卷【含答案】

六年级下学期数学期末试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的体积是：A. 24cm³B. 12cm³C. 48cm³D. 8cm³2. 在下列各数中，哪一个数是最大的？A. -5B. 0C. 3D. 23. 一个圆的半径是4cm，那么它的周长是：A. 8πcmB. 16πcmC. 4πcmD. 2πcm4. 一个正方形的边长是6cm，那么它的面积是：A. 36cm²B. 18cm²C. 12cm²D. 24cm²5. 一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，那么它的周长是：A. 18cmB. 20cmC. 22cmD. 24cm二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。

（）2. 任何数乘以0都等于0。

（）3. 一个等边三角形的三个角都是60度。

（）4. 两个圆的面积相等，那么它们的半径也相等。

（）5. 任何数除以自己都等于1。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

2. 一个正方形的边长是10cm，那么它的面积是______cm²。

3. 一个等腰三角形的底边长是10cm，腰长是12cm，那么它的周长是______cm。

4. 一个圆的半径是5cm，那么它的面积是______cm²。

5. 两个数的和是15，它们的差是3，那么这两个数分别是______和______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述等边三角形的性质。

2. 请简述长方体的体积公式。

3. 请简述圆的周长公式。

4. 请简述等腰三角形的判定方法。

5. 请简述正方形的面积公式。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，求它的体积。

武汉理工大学高数A下 2006级 B卷及答案理工科

高数A 下 2006级 B 卷及答案理工科武汉理工大学考试试题纸（ B 卷）课程名称专业班级一填空（每小题3分，共15分）1 函数xz y x u ++=22在点)1,0,1(沿方向)1,2,2(-=l 的方向导数是（）2 函数)1ln(22y x z ++=在点)2,1(处的微分是（）3 微分方程02=-'+''y y y 的通解是（）4 设)0(02222>⎩⎨⎧=++=++a z y x a z y x L ，则ds z y x L )(222⎰++=（）5 设级数∑++12n n np收敛，则)(>p 。

二选择填空（每小题3分，共15分）1 曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的法线方程是（）A142142--=-=-z y x ; B 0624=--+z y x C 441122-=-=-z y x ; D 242142-=-=-z y x 2 设)4)(6(22y y x x z --=，则下列结论正确的是（）)0,0(f ),(y x f )0,0(f ),(y x f )4,0(f ),(y x f )4,0(f ),(y x f xyy x f =),(A ),(y x f 在点)0,0(可微；B ),(y x f 在点)0,0(关于y 偏导数存在；C ),(y x f 在点)0,0(不连续；D ),(y x f 在点)0,0(关于x 偏导数不存在； 4设),(y x f 连续，则⎰⎰-1112),(x dy y x f dx =（）A ⎰⎰-10),(yydx y x f dyB ⎰⎰1),(ydx y x f dyC ⎰⎰1),(2ydx y x f dy D⎰⎰-11),(ydx y x f dy5微分方程1332+=-'-''x y y y 具有形如（）的特解。

A )(2b ax x y +=B b ax y +=C x axe y 3=D x e b ax x y -+=)(2三设),(v u f 有二阶连续偏导数，),(y xy f z =，求22y z∂∂。

数学分析期末试题B答案

（时间：120分钟共100分）课程编号：4081103 课程名称：数学分析适用年级：2006 学制:_4_ 适单项选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）1.122lim 1dxx ααα→=++⎰.( B )A. 2πB. 4πC. D.2.()Lx y ds +=⎰ 其中是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形（ A ）A. 1+B. 1C.D. 0 3.()Ly x dy -=⎰ .，其中L 为直线,AB(1,1),(2,2)A B （ D ）A. 1B. 2C.2D. 0 4 Syzdxdy =⎰⎰ ,其中是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。

( D )A. 2B.C. 1D. 05.Lydx xdy +=⎰. , 其中22:1L x y +=　（ A ）A. 0B. 1C. 2D. 3 二、填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）1.22()Dx y dxdy +=⎰⎰, 其中22:4D x y +≤ 2. Vxyzdxdydz =⎰⎰⎰. 其中:02,02,02V x y z ≤≤≤≤≤≤3. 将(,)DI f x y d σ=⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为24422(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由24,2y x y x =-=围成。

4. 设是半圆周,0,sin ,cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x L则第一型曲线积分()22Lxy ds +=⎰5. 格林公式建立了区域上二重积分与的边界曲线的第二型曲线积分之间的联系。

设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为LPdx Qdy +=⎰()DQ Pdxdy x y∂∂-∂∂⎰⎰。

三、得分阅卷人(本题共2小题，每题10分, 共20分）1．计算DI dxdy =⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。

数学分析期末试题A答案doc

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

06高数下(含答案)2022

2006（2）华南农业大学工科高数期末考试试卷（A ）卷一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____ 二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （） A. 0 B. e C. e 1 D. e11+3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（）A.1B.2C.3D.4 5.下列级数中为条件收敛的级数是（）A.∑∞=+-11)1(n n n n B.∑∞=-1)1(n n n C.∑∞=-11)1(n n n D.∑∞=-121)1(n n n 三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性 2.设z e z y x =-+2，求y z x z ∂∂∂∂, 3.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(y dx y x dy I4.求二重积分⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++D y x dxdy xey )(21221的值，其中D 是由直线1,1,=-==x y x y 围成的平面区域5.求微分方程01122=--+dy yx dx 的通解6.试将函数x 3展开成x 的幂级数，并求其收敛域7.计算曲面积分⎰⎰∑+dxdz x 2)1(，:∑半球面2222R z y x =++)0(≥y 的外侧四.解答题（每题7分，共21分）1.设⎪⎭⎫⎝⎛=23x y f x z ，其中f 为可微函数，证明z y z yx z x 32=∂∂+∂∂ 2.在所有对角线为d 的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长 3.设函数)(x ϕ连续可微，且21)0(=ϕ，试求)(x ϕ，使曲线积分[]⎰-+Lxdy x ydx x e)()(ϕϕ与路径无关华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科）考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k _____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2vu y v u x -=+=，从而 2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR x R xR y x R dz z y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr r d d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1 因此通解为)sin cos (212x C x C e y x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx 的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim 1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（）A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C. 141332--=-=-z y x D. 141332-=-=--z y x 解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x 选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （）A.0B. eC. e 1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--101011)1(e dx e dy xe dx xxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy 2（）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdy ydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nn C. ∑∞=-11)1(n nn D. ∑∞=-121)1(n n n解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分） 1.判别级数∑∞=+1231n n 的敛散性解答：11231lim 232lim 21231lim =+=+=+∞→∞→∞→nn n n n n n n ，因此该级数与等比∑∞=121n n 同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yzx z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy eydx e dz zz +++=1211 因此zz e y y z e x z +=∂∂+=∂∂12,11 3.计算二次积分⎰⎰-+=110222)sin(y dx y x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。

数学分析2试题B及答案(

fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
2
二、1、解:
lim
n
n2 2n2 1
1 2
0
，所以该级数发散。
2、解： lim n n
n 2n1
1 2
1 ，所以该级数收敛。
3、解： x [0, ),
sgn(sin x) 1 x2
1
1 x
2
1 x2
，因为
1 dx 收敛，所以 1 x2
sgn(sin x) dx 绝对收敛。 1 1 x2
4、解： x R, lim n
n1
n1
n1
n1
级数 bn (bn an an ) (bn an ) an 收敛。
n1
n1
n1
n1
四、解： A 2 1 a2 (1 cos )2 d 3 a2
20
2
五、解：
R
1，收敛域为 (1,1)
，和函数
f
(x)
n1
nxn
x
n1
nxn1
x
n1
xn
x
1
x
5、求极限： lim 0
x0

2006——2007学年第二学期数学分析试题B答案

2006——2007学年第二学期数学分析试题Ｂ答案（0601，0602，0603）一：填空（20分）1. 12. ≤3. 1、04. 05. ''()()x t y t 与不同时为06. ()x e C ϕ+7. 绝对收敛8. 1p >9. 充要条件 10.[,]a b 二：判断（16分）⨯∨⨯∨∨⨯⨯⨯三：计算下列各题（15分）2222212221()(3)21241)241(1) (5)22x x x x x x C ====-+⎰⎰分分分2令6x u =则原式变为523216(1)(3)16(ln |1|)326ln |1| 5u u du u u u u u C C ==-+-+=-+-++=+⎰⎰分（分）2020220020cos 3sin cos 1cos sin sin cos (3)2sin cos 11(sin cos )22sin cos (ln |sin cos |)| (4)44d d d d πππππθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπ++-+=++=++=+=⎰⎰⎰⎰分分 (5)分四：解下列各题（28分）1、求幂级数 +++++++12531253n x x x x n )1,1(-∈x 的和函数0011,12121n n n x n n ∞∞====±++∑∑2n+1(-1)解：因且，与都是发散级数该幂级数的收敛区域为(1,1)- （4分）设3521()3521n x x x F x x n +=++++++在收敛区域||1x <内逐项微分之，得'2321()11F x x x x =+++=- （5分）注意(0)0F =，即得2011()ln (||1)121xdt xF x x t x+==<--⎰于是当||1x <时，有352111ln (||1)352121n x x x x x x n x+++++++=<+- （7分）2、计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x t x t x dte dt e 022022lim 解：该极限是∞∞型的不定式极限，利用洛必塔法则有 ()22222222222020lim2lim(3)2lim (5)2lim20 (7)x t xx t x xt x x xt x x xxx e dt e dte e dtee dte e xe →∞→∞→∞→∞====⎰⎰⎰⎰分分分112(1)3lim sin sin sin1(1)lim sin (3)n n n i n n n n n i n n ππππππ→∞→∞=-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-=⋅∑分其中的和式是()sin f x x =在区间[0,]π上的一个积分和，这里所取的是等分分割，(1),i i i x nn ππξ-∆==为小区间1,(1)[][,]i i i i x x n nππ--=的左端点，1,2,,i n =故有12(1)lim sin sin sin1sin (6)n n n n n n xdxπππππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎰分1(cos )|2(7)x πππ=-=分4 解：为方便起见。

2006级《高等代数(2)》试卷A参考答案及评分标准

重庆大学《高等代数（2）》课程试题（A 卷）参考答案2006~2007学年第 2 学期考试时间：2007-7-111. 解：显然所给集合对于定义的加法和数乘运算封闭。

对于加法运算，易证：（1） 11222211(,)(,)(,)(,)a b a b a b a b ⊕=⊕；………………………….（1分）（2） 112233112233[(,)(,)](,)(,)[(,)(,)]a b a b a b a b a b a b ⊕⊕=⊕⊕；...（2分）（3）(,)(0,0)(,)a b a b ⊕=；………………….………………………….（3分）（4）2(,)(,)0a b a a b ⊕--=；………………….……………………….（4分）对于数乘运算，（5）21(11)1(,)(1,1)(,)2a b a b a a b -=+=；…….…………..………….（5分）（6） 2(1)[(,)](,)()(,)2kl kl k l a b kla klb a kl a b -=+=；………….（6分）（7）2[(,)][(,)]()(1)((),())2()(,);k a b l a b k l k l k l a k l b a k l a b ⊕++-=+++=+.…………..………..…….（8分）（8）11222121212121122[(,)][(,)](1)((),()())2[(,)(,)].k a b k a b k k k a a k a a b b a a k a b a b ⊕-=+++++=⊕……..…….（10分）故构成实数域上的一个线性空间。

2. 解：取中间基1(1,0,0,0)e =，2(0,1,0,0)e =，3(0,0,1,0)e =，4(0,0,0,1)e =。

则12341234(,,,)(,,,)e e e e A εεεε=，12341234(,,,)(,,,)e e e e B ηηηη=，其中1111212111100111A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，2021111302111222B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，从而， 112341234(,,,)(,,,)A B ηηηηεεεε-=，..…………………..….（5分）其中13265513412341133278A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，1101110101110010A B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这就是由基1234(,,,)εεεε到基1234(,,,)ηηηη的过渡矩阵。

《数学分析(二)》题库及答案

《数学分析（二）》题库及答案一、填空1、⎰=+11- 251dx xx ____________。

2、⎰∞+-= 02dx xe x ____________。

3、=++++⋅+⋅ )1(1321211n n ___________。

4、⎰∞+∞=+ - 2______1xdx。

5、_______)15)(45(11161611=++-++⋅+⋅ n n 。

6、幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域为______ 。

二、单项选择题1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。

A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。

A ．⎰+='c x f dx x f )2(21)2( B ．⎰+='c x f dx x f )2()2( C ．⎰+='c x f dx x f )()2( D ． ⎰=')2(2))2((x f dx x f3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则⎰=xdt t f x F 0)()(是___________。

A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。

A ．存在原函数B ．有界C ．连续D ．可导 5、若0lim =∞→n n a ，则数项级数∑∞=1n na______ 。

A ．收敛B ．发散C ．收敛且和为零D ．可能收敛，也可能发散 6、若反常积分⎰∞+ 12)(dx x f 收敛，则⎰∞+ 1)(dx x f ______ 。

A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．可能收敛，也可能发散。

三．判断对错1．若)(x f 在（a 、b ）内可微，则⎰+=c x f x df )()(。

06级高数(下)试题及答案-8页word资料

一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r==，则当y =时, rr a b ⊥;当y = 时, //rr a b .2. 函数 (,,)u x y z z x y=--221的间断点是.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3．函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 2、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧.2、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）: 1、设幂级数11n n nx ∞-=∑. (1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数. 2、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.南昌大学 2019～2019学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r ==，则当y =-103时, rr a b ⊥;当y = 6时, //rr a b .2. 函数(,,)u x y z z x y=--221的间断点是{}(,,)|x y z z x y =+22.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =()xydx x y dy++222.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是P Q y x∂∂=∂∂.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( C ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3．函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( B ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( D ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( D ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632u u u ur r r .则(,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446. 取 (,,)n =-223r.故所求平面方程为:x y z +-=2230. 解法二: 设所求平面法向量(,,),n A B C =r则,(,,)n OM n ⊥⊥-412u u u ur r r .于是有 ,.A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩6320420解得: ,A B C B ==-32. 由平面的点法式方程可知,所求平面方程为Ax By Cz ++=0.将,A B C B ==-32代入上式,并约去()B B ≠0,便得：x y z +-=2230. 即为所求平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.解:'.zy f x∂=⋅∂2 ()'''''z f y f f x x y∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 解:x y Ded d ed πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰2222240012122、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.解:,,Q P x x x y ∂∂=-=-∂∂2422 .Q P x y∂∂-=-∂∂2 由格林公式,有原式().Dd σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧. 解:,,.P x Q y R z ===,,PQRxy z∂∂∂===∂∂∂111 则由高斯公式有原式().dv abc Ω=++=⎰⎰⎰11132、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.解:lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222Qlim .()n n n →∞+==<+311222所以原级数收敛.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、设幂级数11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数.解: (1). limlim .n n n na n a n ρ+→∞→∞+===111 所以收敛半径.R =1当x =1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为:(,)-11.(2). 设和函数为:()n n S x nx ∞-==∑11. ()xx xn n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰110011 .x n nn n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭2111112、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.解:..r r r r ++===-2122101()x Y C C x e -∴=+12.λ=2Q 不是特征根,所以设特解为: *x y Ae =2.则(*)',(*)''x x y Ae y Ae ==2224,代入原方程得A =29. *xy e ∴=229.故通解为:().x x y C C x e e -=++21229七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.解: 依题意: ',().y x y y =+⎧⎨=⎩200则： x y x Ce =--+22.把()y =00 代入上式, 得C =2.故().x y e x =--21。

200655104819315数学分析试卷和答案

1
P0
cos xy dx 一致收敛。 ⋯⋯⋯ (4′) x2
又因为 f ( x, y ) 在 (− ∞， ∞ ) 上连续 + 所以， g ( y ) = ∫
+∞ 1
P0
且此时过 P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面方程为： y 0 z 0 x + x0 z 0 y + x0 y 0 z = x0 y 0 z 0 截距乘积为： x0 y 0 z 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (3′) 所以，此时的目标函数为: f ( x, y, z ) = xyz 为求极值，构造拉格朗日函数为：
)
= 2a 4 ∫ sin 2θ ⋅ cos 2 θdθ
0
2π
f ( x, y )dy = ∫ dy ∫
0
1
1− y
− 1− y
f ( x, y )dx &#− y 2
− 1− y 2
f ( x, y )dx ⋯⋯⋯ (2′)
=
a4 2
∫ ∫
2π
0
sin 2 2θdθ 1 − cos 4θ d 4θ 2
2
二、填空题（每题 2 分，计 10 分）填空题（
1、函数 f ( x, y, z ) = xy 2 + yz 3 在点 P0 (2,−1,1) 处的梯度为 2、曲面 x 2 − 2 y 2 + z 2 = 0 在点 (1,1,1) 处的切平面方程是： 3、设 f(t)在 R 上连续， F ( x ) = ∫ f (t )dt ，则 F ′( x ) =
故： ∫∫ f ( x, y )dxdy > 0 与 ∫∫ f ( x, y )dxdy = 0 矛盾。
D D

06级高等数学(II) (A,B)

高等数学（II ）试题（A ）一填空（每小题3分共15分）1 曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面的方程为____。

0624=--+z y x2 设隐函数),(y x z z =是由方程2=++yze xz e 确定的，则=∂∂==0y x xz _____。

03 设1:=++∑z y x 在第一卦限部分，则⎰⎰∑=++dS z y x )(___________。

23 4 设)(x f 周期为π2，且⎩⎨⎧<≤-<≤=0,0,)(x x x e x f x ππ，)(x S 是)(x f 的Fourier 级数的和函数，则 =)0(S ______________。

215 设幂级数∑∞=1n nn x a 在2=x 处条件收敛，则幂级数∑∞=13n nnn x a 的收敛半径=R _。

6 二选择（每小题2分共10分）1 设D 是平面区域，则下面说法正确的是（ D ）A.若),(y x f 在D 上可微，则),(y x f 的一阶偏导在D 上一定连续B.若),(y x f 在D 上一阶偏导存在，则),(y x f 在D 上一定可微C.若),(y x f 在D 上一阶偏导存在，则),(y x f 在D 上一定连续D.若在D 上xy f 与yx f 均连续，则xy f yx f = 2 下列级数中绝对收敛的级数是（ A ）A.∑∞=-12)1(n n nn B.∑∞=+1)11ln(n n C.n n n1sin )1(1∑∞=- D.∑∞=+-11)1(n nn n 3 直线过点 )3,0,0(且与直线z y x ==垂直相交，则交点的坐标是（ B ） A.)1,2,2(- B.)1,1,1( C.)2,1,1(-- D.)0,0,0( 4 方程08422=+-+x z y 表示 D 。

A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.锥面D.旋转抛物面 5 一阶微分方程0)(332=+-dy y x ydx x 的类型是（ C ）A.全微分方程B.可分离变量方程C.齐次方程D.一阶线性微分方程三（6）设)(r f u =是具有二阶连续导数的函数，222z y x r ++=，求22xu∂∂。

(完整版)数学分析选讲参考答案

《数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案1、选择题：（共18题，每题3分）1、下列命题中正确的是（ A B ）A 、若，则是的不定积分，其中为任意常数'()()F x f x =()F x c +()f x c B 、若在上无界，则在上不可积()f x [,]a b ()f x [,]a b C 、若在上有界，则在上可积()f x [,]a b ()f x [,]a b D 、若在上可积，则在上可积()f x [,]a b ()f x [,]a b 2、设，则当时，有（ B ）243)(-+=x x x f 0→x A ．与是等价无穷小)(x f x B ．与同阶但非是等价无穷小)(x f x C ．是比高阶的无穷小)(x f x D ．是比低阶的无穷小)(x f x 3、若为连续奇函数,则为( A )f ()x f sin A 、奇函数 B 、偶函数C 、非负偶函数D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数.4、函数在上连续是在上可积的（ A ）条件()f x [,]a b ()f x [,]a b A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要条件D. 非充分也非必要条件.5、若为连续奇函数,则为( B )f ()x f cos A 、奇函数 B 、偶函数C 、非负偶函数D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数.6、设则是的（ B ）arctan (),xf x x=0x =()f x A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点7、设,当时,恒有,已知,.则正确的+N ∈∃N N n >n n b a >A a n n =∞→lim B b n n =∞→lim 选项是( A )A 、B 、C 、D 、A 和B 的大小关系不定.B A ≥B A ≠B A >8、函数f(x,y) 在点连续是它在该点偏导数都存在的（ A ）00(,)x y A.既非充分也非必要条件 B 充分条件C.必要条件 D.充要条件9、极限( D )=+-∞→3321213limx x x A 、B 、C 、D 、不存在.323323-323±10、部分和数列有界是正项级数收敛的( C )条件}{n S ∑∞=1n n u A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要11、极限( A )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x A 、 B 、 C 、 D 、不存在.13e -13e 3e -12、与的定义等价的是（ B D ）lim n n x a →∞=A 、总有0,ε∀>n x a ε-<B 、至多只有的有限项落在之外0,ε∀>{}n x (,)a a εε-+C 、存在自然数N ，对当，有0,ε∀>n N >n x a ε-<D 、存在自然数N ，对有0(01),εε∀><<,n N ∀>n x a ε-<13、曲线( D )2211x x ee y ---+=A 、没有渐近线B 、仅有水平渐近线C 、仅有垂直渐近线D 、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线14、下列命题中，错误的是（ A D ）A 、若在点连续，则在既是右连续，又是左连续 ()f x 0x ()f x 0xB 、若对在上连续，则在上连续0,()f x ε∀>[,]a b εε+-()f x (,)a bC 、若是初等函数，其定义域为，，则()f x (,)a b 0(,)x a b ∈00lim ()()x x f x f x →=D 、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在且相()y f x =0x ()f x 0x 等15、设为单调数列，若存在一收敛子列，这时有（ A ）{}n a {}j n aA 、　j n j n n a a ∞→∞→=lim lim B 、不一定收敛 {}n a C 、不一定有界{}n a D 、当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A 成立{}n a 16、设在R 上为一连续函数，则有（ C ） )(x f A 、当为开区间时必为开区间　I )(I f B 、当为闭区间时必为闭区间)(I f I C 、当为开区间时必为开区间　)(I f I D 、以上A,B,C 都不一定成立17、下列命题中错误的是（ＡＣ）A 、若，级数收敛，则收敛；lim 1nn nu v →∞=1n n v ∞=∑1n n u ∞=∑B 、若，级数收敛，则不一定收敛；(1,2)n n u v n ≤= 1n n v ∞=∑1n n u ∞=∑C 、若是正项级数，且有则收敛；1n n u ∞=∑,,N n N ∃∀>11,n n u u +<1n n u ∞=∑D 、若，则发散lim 0n n u →∞≠1n n u ∞=∑18、设为一正项级数，这时有（ D ）∑∞=1n n uA 、若,则收敛 0lim =∞→n n u ∑∞=1n n u B 、若收敛，则∑∞=1n n u 1lim1<+∞→nn n u u C 、若收敛，则　∑∞=1n n u 1lim <∞→n n n u D 、以上A,B,C 都不一定成立2、填空题：（共15题，每题2分）1、设，则2或-22sin cos cos 20x y y y -+=='=2πy y 2、=n n n )11(lim -∞→e 13、=111(lim +∞→+n n n e 4、= 2 221lim 220---→x x x x 5、设收敛，则= 1021(10)n n x ∞=-∑lim n n x →∞6、= 121lim 221---→x x x x 327、2(,)limx y →=8、8 =-+→114sin limx xx9、设，则3()cos F x x '==)(x F C xx +-3sin sin 310、设，则 x y e =(2016)y =x e 11、幂级数的收敛半径为 11n ∞=12、积分的值为 0321421sin 21x xdx x x -++⎰13、曲线与轴所围成部分的面积为 36228y x x =--x 14、lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭1e -15、= 02222)0,0(),(lim y x y x y x +→三、计算题：（共15题，每题8分）1、求.⎰222,2sin 2cos 2cos 4cos t t tdt t d t t t t tdt===-=-+⎰⎰⎰⎰222cos 4sin 2cos 4sin 4sin t t td t t t t t tdt=-+=-+-⎰⎰=2x C-+2、将展开成的幂级数，并指出其收敛域。

2006年数二真题、标准答案及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰ .（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则A dydx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<< （D ）0.dy y <∆< 【】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. 【】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.-- （D ）ln 2 1.- 【】（10）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--=（C ）23.x y y y xe '''+-= （D ）23.x y y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）0(,).x f x y dy ⎰⎰（B ）00(,).f x y dy ⎰⎰（C ）0(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）00(,).f x y dx ⎰⎰ 【】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.（D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. 【】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. （C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -= （C ）.T C P AP = （D ）.T C PAP = 三解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e ⎰求. 17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y+=++⎰⎰计算二重积分 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim(n x n x nx x +→∞计算. 19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得T Q AQ A =.2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== （3）广义积分220(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=-- 001(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A] （A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆< （C ）0y dy ∆<< （D ）0dy y <∆< 由()0()f x f x '>可知严格单调增加 ()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数（B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31-- （C ）ln 21-- （D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e += g (1)= ln 21-- （10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--= （C ）23x y y y xe '''+-= （D ）23x y y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A）0(,)xdxf x y dy ⎰（B）0(,)dxf x y dy ⎰（C）0(,)yf x y dx ⎰（D）0(,)f x y dx ⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则（C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则（D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今 000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''=' 今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则故选[D] (13)设1,2,…,s都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（）成立.(A) 若1,2,…,s线性相关,则A 1,A 2,…,A s线性相关. (B) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s线性无关. (C) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s线性相关. (D) 若1,2,…,s 线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,c s使得c11+c22+…+c s s=0,用A左乘等式两边,得c1A1+c2A2+…+c s A s=0,于是A1,A2,…,A s线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,…,s⇔ r(1,2,…,s)=s.2. r(AB)≤ r(B).矩阵(A1,A2,…,A s)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,A s)≤ r(1,2,…,s).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.(C) C=P T AP. (D) C=PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)(()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得 B +1=A ①C +B +12=0 ②1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则代入①得 13A =代入②得 16C =（16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰ 2arcsin 1t dut u =-+-⎰ arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. 解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1limn n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，limn n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式1sin lim "1"n xn n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 2011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t t t te→-=2323330010()0()26cos sin lim lim22t t t t t t t t t t tt te e→→⎡⎤⎡⎤-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a>>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==求函数()f u的表达式. 证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f xx y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积. 解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处 (0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+ （III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y dy ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy =--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，ax 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解. 解:① 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意. (23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T ,2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ. 解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c 0, c ≠0. 属于0的特征向量:c 11+c 22, c 1,c 2不都为0.② 将单位化,得=(33,33,33)T .对1,2作施密特正交化,的1=(0,-22,22)T ,2=(-36,66,66)T. 作Q =(,1,2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0 Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0分数分配：11+11+11+12+12+10+9+9+9。