3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新人教A版选修2_2
高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题 新人教A版选修2-2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
人教A版高中数学选修高二新课程复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新
3.2.1 复数的代数形式的加减运算教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品
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第三章 3.2 3.2.1
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【解析】 (1)由减法的运算法则，得 z1－z2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i. (2)在复平面内，复数 z1－z2 所对应的向量如图所示．
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第三章 3.2 3.2.1
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探究 2 两个代数形式的复数的减法运算法则和加法运算法 则一样，都类似于两个多项式加减运算时的合并同类项，即(a＋ bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，差仍是一个复数．
(3)已知 z＝11－20i，则 1－2i－z 等于( )
A．z－1
B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
【答案】 (1)A (2)B (3)C
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第三章 3.2 3.2.1
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题型三 复数加减法的几何意义 例 3 已知复平面上的▱ABCD 中，A→C对应的复数为 6＋8i，B→D对应的复数为－4＋6i，求向量D→A对应的复数．
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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3．2 复数代数形式的四则运算
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
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第三章 数系的扩充与复数的引入
【答案】 D
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第三章 3.2 3.2.1
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题型二 复数减法 例 2 已知复数 z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i. (1)求 z1－z2； (2)在复平面内作出复数 z1－z2 所对应的向量． 【思路分析】 (1)复数 z1、z2 都是由复数的代数形式表示的， 因此可直接用减法的运算法则求解；(2)在复平面内可先找出 z1 －z2 对应的点，然后作出复数 z1－z2 所对应的向量．
人教A版选修2-2 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 学案
3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义[学习目标]1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．[知识链接]在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．[预习导引]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．要点一 复数加减法的运算 例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)． 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项． 跟踪演练1 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i. 要点二 复数加减法的几何意义例2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD →＝BC →，∴⎩⎨⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.规律方法 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i. 求：(1)AO →表示的复数； (2)对角线CA →表示的复数； (3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 要点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|. 解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， ① (a －c )2＋(b －d )2＝1 ②由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c2＋b ＋d2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，→|＝∴|z1＋z2|＝|OC|OA→|2＋|AC→|2－2|OA→||AC→|cos 120°＝ 3.规律方法(1)设出复数z＝x＋y i(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪演练3 本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2.求|z1－z2|.解由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝ 2.1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )A．0 B．2iC．6 D．6－2i答案 D解析z＝3－i－(i－3)＝6－2i.2．复数i＋i2在复平面内表示的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．3．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则BC→表示的复数为( )A．2＋8i B．－6－6iC．4－4i D．－4＋2i答案 C解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(4，－4)． ∴BC →表示的复数为4－4i.4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限答案 B解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a＝－1.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52iC ．52－52iD ．52－32i答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－i D ．－1－3i答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i 答案 C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i 答案 D解析 由⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i.5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________． 答案 3＋i解析 ∵P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，∴PQ →对应的复数为3＋i.6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________． 答案 1解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i.(3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ，z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i.二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( ) A ．5 B ．13 C ．15 D ．17 答案 B 解析 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎨⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)， 所以|BD →|＝13.10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 答案115＋3i 解析 设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标． 解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎨⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )． 则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎨⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎨⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ，(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。
高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 新人教A版 选修22
3．复数(fùshù)加、减法的几何意义
若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为两邻边的__平__行__四_边__形___的对角线O→Z所对应的 复__数__(f_ù_s_hù_)，即复数的加法可以按照向量的__加__法_(_j_iā_f_ǎ)_来进行， 如图(1)这就是复数加法的几何意义．
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复数的加、减法(jiǎnfǎ)法则
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝_(_a_＋__c_)＋__(b_＋__d_)_i ___ ， z1－z2＝__(a_－__c_)_＋_(_b_－__d_)i___. 2．加法(jiāfǎ)运算律： 设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝_z2_＋__z_1 _____， (z1＋z2)＋z3＝__z1_＋__(_z2_＋__z3_)___．
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3．已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解析： 设 O 为坐标原点，z1，z2，z1＋z2 对应的复数分别 为 A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2， ∴OBCA 是一个内角为 60°，边长为 2 的菱形． ∴|z1－z2|＝|AB|＝ OA2＋OB2－2OA×OB×cos 120° ＝ 22＋22＋2×2×2×12 ＝2 3.
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(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1 ＋i.
(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
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复数的加、减法运算 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合 并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加、减运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或 相减)的混合运算； (4)实数(shìshù)的加法交换律和结合律在复数集中仍适 用．
2019版高中数学 第三章 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修2-2
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. 梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.梳理1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ ) 3．复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( × )类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. (2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 (1)－1 (2)1＋43i解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ， 由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i.反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )． (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i 解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义例2 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数； ②CA →表示的复数； ③OB →表示的复数．考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应解 ∵A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i. ①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i. ②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|. 考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的模的问题解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形． 如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3. 在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3， ∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1. 引申探究若将本例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，求|z 1＋z 2|. 解 如例2(2)图，向量BA →表示的复数为z 1－z 2， ∴|BA →|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC ＝30°， 则|OD →|＝32，∴|OC →|＝3，OC →表示的复数为z 1＋z 2，∴|z 1＋z 2|＝ 3.反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点． ①四边形OACB 为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________. (2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________． 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数的加减法与向量的对应 答案 (1)10 (2)(－∞，1) 解析 (1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ， ∴|OB →|＝12＋32＝10.(2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ，由题意知a －1<0，即a <1.1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－2或1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 C解析 由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，得a ＝－2.3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A ．2＋8i B ．4－4i C ．6－6iD ．－4＋2i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 B解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝4－4i.4．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 因为z 1－z 2＝5＋5i ，5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 答案 5－2i解析 设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、选择题1．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 B解析 ∵z ＋(3－4i)＝1， ∴z ＝－2＋4i ，故z 的虚部是4.2．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 A解析 z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3B ．2精 品 试 卷C ．1D ．－1考点 复数加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.4．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 A解析 由图知z ＝－2＋i ，则z ＋1＝－1＋i ，由复数的几何意义可知，A 是正确的．6．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用 答案 A解析 因为z 1＋z 2＝(a －3)＋(4＋b )i 为实数， 所以4＋b ＝0，b ＝－4.因为z 1－z 2＝(a ＋4i)－(－3＋b i)＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数， 所以a ＝－3且b ≠4.故a ＝－3，b ＝－4.7．在复平面内点A ，B ，C 所对应的复数分别为1＋3i ，－i ，2＋i ，若AD →＝BC →，则点D 表示的复数是( ) A ．1－3i B ．－3－i C ．3＋5iD ．5＋3i考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 答案 C解析 ∵点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ， ∴BC →对应的复数为2＋2i.设D (x ，y )， ∵AD →＝BC →，∴(x －1，y －3)＝(2,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.∴点D 表示的复数为3＋5i. 二、填空题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 5－9i －8－7i解析 ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.9．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 三解析 因为z ＝3－4i ，所以|z |＝5，所以z －|z |＋(1－i)＝3－4i －5＋(1－i)＝－1－5i.复数z ＝－1－5i 在复平面内的对应点Z (－1，－5)位于第三象限． 10．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 ±23－2i解析 因为z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， 所以a 2＝12，所以a ＝±23， 所以z ＝±23－2i.11.如图所示，在复平面内的四个点O ，A ，B ，C 恰好构成平行四边形，其中O 为原点，A ，B ，C 所对应的复数分别是z A ＝4＋a i ，z B ＝6＋8i ，z C ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z A －z C ＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 2－4i解析 因为OA →＋OC →＝OB →， 所以4＋a i ＋(a ＋b i)＝6＋8i. 因为a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋a ＝6，a ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以z A ＝4＋2i ，z C ＝2＋6i ，所以z A －z C ＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i. 三、解答题12．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则解 因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 13．(1)若f (z )＝z ＋1－i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2＋i ，求f (z 1－z 2)；(2)若z 1＝2cos θ－i ，z 2＝－2＋2isin θ(0≤θ≤2π)，且z 1＋z 2在复平面内对应的点位于第二象限，求θ的取值范围．考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 解 (1)z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝5＋3i ，f (z 1－z 2)＝f (5＋3i)＝(5＋3i)＋1－i ＝6＋2i.(2)z 1＋z 2＝(2cos θ－2)＋(2sin θ－1)i ，由题意得⎩⎨⎧2cos θ－2<0，2sin θ－1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<22，sin θ>12.又θ∈[0,2π]，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π6. 四、探究与拓展14．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2D.2＋1考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的模的问题 答案 D解析 |z 1－z 2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(cos θ－sin θ) ＝3＋22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4max ＝1，∴|z 1－z 2|max ＝3＋22＝2＋1.15．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：精 品 试 卷推荐下载 (1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5.(2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. 所以sin B ＝7210. 所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 所以平行四边形ABCD 的面积为7.。
高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
高中数学 3.2.1复数的加减法及其几何意义教案 新人教A版选修2
3.2.1 复数的加减法及其几何意义[教学目标]： 理解复数代数形式的加法.减法运算法则 能运用运算律进行复数的加法.减法. 理解复数加减法的几何意义[教学重、难点]： 复数的加减法、加减法的几何意义 [教学过程]： 一、复习、引入 问题情境： 问题（1）：实数可以与i 进行四则运算吗？进行四则运算时，原有的加法. 乘法运算律仍然成立吗？问题（2）：计算:=-++)41()32(x x =-++)241()232( 那么)()(di c bi a +++怎么计算？问题（3）：任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？ 二、新课1、复数的加法设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数， 复数的加法按照以下的法则进行：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++探究： （1）：两个复数的和仍是一个复数吗？ （2）：复数的加法满足交换律 结合律吗？ （3）：复数加法的几何意义是怎么样的？ 2、复数的减法探究：复数的减法是加法的逆运算，那么复数的减法法则是怎样的？ （1）即设di c z bi a z +=+=21,，则?21=-z z 探究过程：复数的减法按照以下的法则进行：=+-+)()(di c bi a（2）复数减法的几何意义是什么？结论：两个复数相加（减）就是把 。
三、数学运用例1．计算：（1）)43()2()65(i i i +---+- （2）|43|)21(2i i i ++++练习1：课本P109练习1例2.已知复数i z i z 21,221+=+=在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？练习2:如图的向量OZ 对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量： (1)1+z (2)i z - (3))2(i z +-+例3.设C z z ∈21,，已知2||,1||||2121=+==z z z z ，求||21z z -练习3：复数z 满足条件3||=-i z ，求|2|i z -的最大值。
-高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教a版选修2-2
3．2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．基础梳理1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加、减法的几何意义．复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线．(1)复数加法的几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是连结向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．想一想：(1)类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？(2)若z 1＝－1＋2i ，z 2＝3－5i ，则z 1＋z 2＝________，z 1－z 2＝________．(1)解析：|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．(2)解析：z 1＋z 2＝(－1＋2i)＋(3－5i)＝2－3i ，z 1－z 2＝(－1＋2i)－(3－5i)＝－4＋7i.答案：2－3i －4＋7i自测自评1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为(D )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i 2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(B )A.58B.10 C ．2 D ．－1＋3i解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32.故选B.3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则AOB 一定是(B )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB 为直角三角形．基础巩固1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于(D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析：z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.2．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于(B )A. 2 B ．2C.10 D ．4解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(1＋3i)－(1＋i)＝2i.∴|AB →|＝2.3．(2014·昆明高二检测)实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是(A )A ．1B ．2C ．－2D ．－1解析：z 1－z 2＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0⇒xy ＝1. 4．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________．解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i. 答案：76－4i 能力提升5．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为(D )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，因为CA →＝CB →＋BA →.所以CA→对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.6．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为(D )A ．3－2 2 B.2－1C ．3＋2 2 D.2＋1解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝（1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ）＝3＋22sin （θ－π4）≤3＋22＝2＋1.故选D. 7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i. 答案：2±i8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i ，1，4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA →对应的复数为____________；(2)向量BC →对应的复数为____________；(3)向量BD →对应的复数为____________；(4)点D 坐标是____________．答案：(1)－1＋i (2)3＋2i (3)2＋3i (4)(3，3)9．设m ∈R，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解析：因为z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ， z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m －2＋(m 2－2m －15)i. 因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2，所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．解析：向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝（－8）2＋（－2）2＝217.。
(教师参考)高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 新人教A版选修2-2
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第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2.1复数代数形式的加、减运算 及其几何意义
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在上一节，我们把实数系扩充到了复数系. 下面，我们按照那里的分析，进一步讨论 复数系中的运算问题.
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2
1、复数代数形式的加法 我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么
因此 所以
c+x=a, d+y=b, x=a-c, y=b-d
x+yi=(a-c)+(b-d)i
即
(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
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典例剖析
例1、计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
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3
探究：复数的加法满 足交换律、结合律吗 ？
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2、复数加法满足交换律、结合律的证明 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.
(1)因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i,
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思考：复数是否有减 法？如何理解复数的 减法？
人教版高中数学选修2-2学案：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义【学习目标】1.复数的加法和减法原则；2.理解复数的加法与减法的几何意义.【新知自学】知识回顾：1.复数的几何意义是:（1）复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面； （2）实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数； (3)复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即：Z a bi =+↔一一对应复数平面向量OZ ， 特别地：实数０与零向量对应；2.复数),(R b a bi a z ∈+=的模记作z 或a bi +，且22(0)z a bi r a b r r R =+==+≥∈且新知梳理：1.复数的加法运算及其几何意义⑴我们规定复数的加法运算法则为：设z 1=a+bi ，z 2=c +di 是两个任意复数，则()()di c bi a +++= ..⑵两个复数的和仍然是 .⑶复数的加法满足交换律、结合律，即： .⑷设−→−−→−21OZ OZ 、分别与复数a+bi 和c +di 对应，则−→−−→−+21OZ OZ 对应复数就是 . ⑸复数加法的几何意义是 . 2.复数减法及几何意义类比实数减法的意义，我们规定复数的减法是 . ⑵复数减法的运算法则为 . ⑶两个复数的差是 . ⑷复数减法的几何意义是对点练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是（ ）A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11iB.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数4.已知z 1=3+2i, z 2 =1-4i,计算：z 1+z 2 ，z 1-z 2 。
2019高中数学 第三章 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修2-2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图321，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．图321思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？ [提示] |z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．[基础自测]1．思考辨析(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( ) (2)复数与复数相加减后结果为复数．( )(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( ) [答案] (1) √ (2)√ (3) √2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2＝ ( )【导学号：31062210】A ．8iB ．6C ．6＋8iD ．6－8iB [z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝(3＋3)＋(4－4)i ＝6.] 3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A.] 4．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( ) A ．0B ．6iC ．6D ．6－6iD [∵z ＋3i －3＝3－3i ， ∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.]5．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________． [解析] Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. [答案] 1－i[合 作 探 究·攻 重 难](1)计算：(2－(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ， 所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2) 2[规律方法] 复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减[跟踪训练] 1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________. 【导学号：31062211】 [解析] (1)(3＋5i)＋(3－4i) ＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i ＝－11i. [答案] (1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i(1)复数z 1(2)如图322，平行四边形OABC 的顶点O 、A 、C 对应复数分别为0、3＋2i 、－2＋4i ，试求图322①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．[解析] (1)由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.(2)①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →.∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，|OB →|＝12＋62＝37. [规律方法] 1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2.常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形.[跟踪训练]2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【导学号：31062212】[解] 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.[1．满足|z |＝1的所有复数z 对应的点组成什么图形？提示：满足|z |＝1的所有复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上． 2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点组成什么图形？提示：∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．3．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？提示：复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．(1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B ．12 C ．2D ． 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．(1)A [设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z－i|＝2, |Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1.](2)如图所示， |OM →|＝－32＋－2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.母题探究：1.(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z 满足|z －3－4i|＝1”，求|z |的最大值．[解] 因为|z －3－4i|＝1，所以复数z 所对应的点在以C (3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z |的最大值是32＋42＋1＝6.2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值． [解] 因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1.[规律方法] |z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.[当 堂 达 标·固 双 基]1. a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) 【导学号：31062213】A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－iD [∵z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，∴z 1＋z 2＝2＋b i ＋(a ＋i)＝0，所以a ＝－2，b ＝－1，即a ＋b i ＝－2－i] 2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．] 3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.[解析] |(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5. [答案] 54．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. [答案] －15．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离.【导学号：31062214】[解] 向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2. ∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为 (－3－i)－(5＋i)＝－8－2i. ∴A ，B 两点间的距离为 |－8－2i|＝－2＋－2＝217.。
32(复数代数形式的四则运算)教案(新人教选修2-2) 第三章 复数
§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 一、教学目标： 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义 二、教学重点： 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义三、教学难点：复数减法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z =1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a－c )+(b －d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。
(新课程)高中数学3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义导学案 新人教A版选修1-2
3.2.1复数的加法和减法【使用说明】 1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型； 2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】加减法运算法则加减法的几何意义【学习目标】1、 知识与技能：掌握复数加法、减法的运算法则，能够熟练地进行加减运算；理解复数（1）通过实例分析，加减法的几何意义，能用平行四边形和三角形法则解决一些简单的问题2、过程与方法：小组合作探究；3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
一，自主学习引例：已知m=3x+4y ，n=5x-6y ，求m+n ，m-n 。
1. 复数的加法运算：①.复数的加法法则：12z a bi a b R z c di c d R =+∈=+∈设（，）与（，），则二合作探究，展示，点评例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律相反数2. 复数的减法运算：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,从相反数角度转化减为加。
③：()()()()()()a bi c di a bi c di a c b d i +-+=++--=-+-，显然，两个复数的差仍为复数。
例2．计算（1）(14)(72)i i +-- （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[从几何意义出发，再看复数的加减运算：1.当复数的对应向量共线时，可直接运算。
2.当复数的对应向量不共线时，加法运算可类比与向量加法的平行四边形法则；减法运算可类比与向量减法的三角形法则。
3.将所得和向量或差向量一直起点坐标原点时，该向量终点坐标就对应复数所求的坐标。
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3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
一、教学目标：
1.知识目标：掌握复数的加减法运算及理解其几何意义，
2.能力目标：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．
3.情感态度价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．
二、重点难点：
重点:复数加减法运算及其应用．.
难点:复数加减法运算的几何意义．
三、学习新知：
阅读课本5856P P -页, 找出疑惑之处，并自主探究下列问题：
1. 复数加减法运算的法则？
2.复数加法满足的运算律？
3. 复数加减法运算的几何意义？
四、教学过程：
【活动一】：探究复数代数形式的加法运算
问题1：复数的加法法则是如何规定的？
设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么其和为？
问题2：两个复数的和仍然是复数吗？
问题3：复数的加法满足交换律、结合律吗？
对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z +=+
123123()()z z z z z z ++=++吗？
你能给出证明吗？
例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)（）
例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)
你有几种方法计算该题？
【活动二】：探究复数加法的几何意义
阅读教材第56-57页的内容，思考以下问题：
问题4：复数与复平面内的向量有一一对应的关系，.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
由平面向量的坐标运算，有OZ =12OZ OZ
=（ ）
问题:5：复数加法的几何意义是什么呢？
【活动三】：探究复数的减法
问题6：复数是否有减法？如何理解复数的减法？
类比实数集中减法的意义，我们怎样规定复数的减法？
复数的减法法则是什么？
问题7：两个复数的差是一个确定的复数吗？.
【活动四】：探究复数减法的几何意义：
问题8类比复数加法的几何意义，你能给出复数减法的几何意义吗？
例3已知复数z1=2+i ，z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？（C 级）
点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是zB －zA. ，而BA 所表示的复数是zA －zB ，故切不可把被减数与减数搞错，尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关
例4 复数z1=1+2i ，z2=－2+i ，z3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
请用两种方法计算，哪种思路好？
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。