非线性有限元方法及实例分析

非线性有限元方法及实例分析

梁军

河海大学水利水电工程学院，南京（210098）

摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。 关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析

1引 言

有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]：

1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题

3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性）

2 非线性方程组的求解

在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]：

()()()00

021212211=…

…==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1）

其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记

号

[]T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3）

上述方程组（1.1）可表示为

()0=δψ （1.4）

可以将它改写为

()()()0=−≡−≡R K R F δδδδψ （1.5）

其中()δK 是一个的矩阵，其元素

是矢量的函数，n n ×ij

k R 为已知矢量。在位移有限

元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。

在线弹性有限元中，线性方程组

0＝－R K δ （1.6）

可以毫无困难地求解，但对线性方程组()0=δψ则不行。一般来说，难以求得其精确解，通常采用数值解法，把非线性问题转化为一系列线性问题。为了使这一系列线性解收敛于非线性解，曾经有过许多方法，但这些解法都有一定的局限性。某解法对某一类非线性问题有效，但对另一类问题可能不合适。因而，根据问题性质正确选用求解方法成为非线性有限元的一个极重要的问题。常见的求解非线性方程组的数值方法有迭代法、增量法和混合法[3][4][5]。

2.1. 迭代法

在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐步修改位移和应变，使之满足非线性的应力－应变关系。迭代法还分为直接迭代法、Newton-Raphson 方法、修正的Newton-Raphson 方法和拟Newton 法。

①直接迭代法 对非线性方程组

()0＝－R K δδ （1.7）

设其初始的近似解为，由此确定近似的0

δδ＝K 矩阵

()

00δK K ＝ （1.8）

可得改进的近似解

()R K 1

01−＝δ （1.9）

重复这一过程，以第i 次近似解求出第1+i 次近似解的迭代公式为

()

i i K K δ＝ （1.10）

()R K i i 11

−+＝δ （1.11）

直到变得充分小，即近似收敛时，终止迭代。

i i i

δδδ−=Δ+1

对于单变量问题，这一迭代过程是收敛的，单对于多自由度情况，由于未知量通过矩阵

K 耦合，迭代过程可能不收敛。

在迭代过程中，得到的近似解一般不会满足()0＝－R K δδ即

()()0≠−≡R K i i i δδδψ （1.12）

()δψ作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。

② Newton-Raphson 方法

Newton-Raphson 方法是求解非线性方程组

()()()0=−≡−≡R K R F δδδδψ （1.13） 的一个著名方法，简称Newton 法。

设()δψ为具有一阶导数的连续函数，是方程（1.13）的第i 次近似解。若

i

δδ＝()()0≠−≡=R F i i i δδψψ （1.14）

希望能找到一个更好的、方程（1.13）的近似解为

i i i δδδδΔ+=+1＝ （1.14）

将（1.15）代入（1.13），并在附近按一阶Tayor 级数展开，则i

δδ＝()δψ在

i

δ处的线性近似公式为

i

i

i

i δ

δψψψ

Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=+1

（1.16）

引入记号

()

i

i

T i T

K K ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂≡=δψδ Newton 法的迭代公式可归纳为

()()(i

i T

i

i

T

i F R K K −=−=Δ−−11

ψδ) （1.17）

i

i

i T

F K ⎟

⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=δδψ （1.18）

i i i δδδΔ+=+1 （1.19）

Newton 法的收敛性是比较好的，但对于某些非线性问题，如理想塑性和塑性软化问题，在迭代过程中可能事奇异或病态的，于是的求逆就会出现困难。为此，可引入一个

阻尼因子T K T K η，使矩阵或者成为非奇异的，或者使它的病态减弱。 I K i i T

η+③修正的Newton-Raphson 方法

上述两种方法求解非线性方程组时，在迭代过程中的每一步都需要重新计算。如将Newton 法迭代公式中的改用初始矩阵i

T K i T K ()

0δT T K K =，就成为修正的Newton-Raphson 法。此时，仅第一步迭代需要完全求解线性方程组，并将三角分解后的存储起来，以后的每

一步迭代都采用公式

T K ()

i T i K ψδ1

−−=Δ （1.20）

修正的Newton 法的每一步迭代所用的计算时间较少，但迭代的收敛速度降低。 ④拟Newton 法

拟Newton 法的主要特点是每次迭代后用一个简单的方法修正K ，K 的修正要满足以下的拟牛顿方程

()()()

i i i i i K δψδψδδ−=−+++111 （1.21）