08-09高数(下)(A)试卷及答案

高数A试题及答案[1]

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln lnx+2x-2x+22-x2．()002lim1cos tt xx e e dtx-→+-=-⎰（）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导 5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________.7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________. 14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.a ⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

安徽大学期末试卷MK08-09(1)高数A(一)、B(一)试卷.pdf

).
A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件
C.充分必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
姓名
专业
院/系
《高等数学 A(一)、B(一) 》（A 卷）第 1 页共 6 页
安徽大学期末试卷
2.
设
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x
sin
1 x
,
⎪⎩1,
A．跳跃间断点
x ≠ 0 ，则 x = 0 是 f (x) 的(
=
_______________.
5. 曲线 y = 1 (x > 0) 与直线 y = x, y = 2 所围成的面积为_______________. x
二、选择题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
得分
1.
lim
x → x0−
f (x) =
lim
x → x0+
f (x) 是
f
(x) 在 x0 处可微的(
安徽大学期末试卷
4.
lim
(sin
1
+
sin
1
+
sin
1
+
"
+
sin
1
)
1 n
n→∞
2
3
4
n
∫ 5.
x2 1− x4 dx
∫ 6.
dx
ex + 4e−x
《高等数学 A(一)、B(一) 》（A 卷）第 3 页共 6 页
∫ 7.
a
1
0 (a2 + x2 )3/ 2 dx
(a > 0)

试卷点评：2008级《高等数学》(下册)试卷

2008-2009学年第二学期
《高等数学》
试卷点评
h
1
一、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处可微分是它在该点偏导数 z 与 z 连续的
x y __________条件（填必要、充分或充要）, 又是它在该点有方向导数的 __________条件（填必要、充分或充要）.
h
9
四、（本题 7 分）求球面 x2 y2 z2 4含在圆柱面 x2 y2 2x 内部的那部分面积.
h
10
五、（本题 7 分）计算三重积分 (x y z)2 dv , 其中是由单位球面
x2 y2 z2 1围成的闭区域.
h
11
六、（本题 7 分）计算曲面积分 (z2 3x) dydz (x y) dzdx ( y z) dxdy ,
h
14
九、（本题 7 分）求满足下述方程的可导函数 y y(x)
x
y(x)cos x 20 y(t)sin t dt x 1.
h
15
十、（非化工类做）（本题 6 分）设 a 0且 a e , 试根据 a 的值判定级数
n1
nn a n n!
的敛散性.
h
16
十一、（非化工类做）（本题 6 分）设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 它在 [ , ) 上的表达式为 f (x) x , 试将 f (x) 展开成傅里叶级数.
h
4
4.
交换二次积分的积分次序
2
dy
2y
f (x, y) dx
____________________.
0
y2
h
5
5. 设曲面为圆柱面 x2 y2 1介于平面 z 0 与 z 1部分的外侧, 则曲

2008-2009(1)高等数学试题(A卷)(90)答案

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案课程：高等数学（A 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f 1 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2xax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a 2 ，=b 0 .3．曲线x x x y 1sin 22-=有水平渐近线=y __1_ 和铅直渐近线=x __2____.4．已知1)(0-='x f ，则=+--→h h x f h x f h )2()(lim 000 3 .5．设C x dt t f x++=⎰501)()(，则常数=C -1 ，=)(x f 415)(+x .二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( A )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学院专业班级姓名2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( B ). (A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y ; (D) 2521--=x y 3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( B ). (A) 31(B) 21(C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( A) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f(C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( C ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数（D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212x xy -=arctan ，求dy . 解：22212112⎪⎭⎫⎝⎛-+'⎪⎭⎫⎝⎛-='x x x x y2222212112212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----=x x x x x x )()(）（……………………………………………3分212x += ………… ………………………………………………..4分dx xdy 212+=∴……………………………………………………6分 2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n . 解： )sin()cos(π211221221++=+='x x y ，……………….1分 )sin()sin(π2212212222++=+-=''x x y ，……………2分 )sin()cos(π2312212233++=+-='''x x y ，……………3分所以有N n n x x y n n ∈++=),sin()()(π2122……………….……………6分3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dx dy . 解：dtdxdt dydx dy = ……………….…………………………….........3分 tt 2312--= ………….…………………………….................6分4．求x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim . 解： =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 2lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→221lim ………….………….........2分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222221x x x x x lim ………….………….......................4分2-=e ……………….……………………………...................6分5．求⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x sin lim 110. 解： =⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x sin lim 110x x x x x sin sin lim -→0………….……..............2分 20xx x x -=→sin lim xx x 210-=→cos lim ………………….…………............................4分 020==→x x sin lim .………….………… ………………………6分四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分） 1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222. 解：⎜⎠⎛+-+=⎜⎠⎛++dx x x x x dx x x x )()(1331322222222 ⎜⎠⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x11322………….………………………………….3分 C x x+--=arctan 3…………………… ……………………….6分 2．⎜⎠⎛+901dx xx . 解：令x t =，则tdt dx t x 22==,……..……….…….................1分 ⎜⎠⎛+=⎜⎠⎛+3090211tdt t t dx xx ……………………….…………..........2分 ⎜⎠⎛++-=301112dt tt )( ()302122)ln(t t t ++-=…………………………….………… …….5分 243ln +=………………………………………….……....................6分3．⎰∞+-02dx e x x .解：⎰⎰∞+-∞+--=0202x x de x dx e x ⎰∞+-+∞-+-=0022dx xe e x x x ……………………...……....................2分 ⎰∞+-+∞---=0022x x xde e x x d e xe e x x x x ⎰∞+-+∞-+∞-+--=000222……………...………..........4分 220=-=+∞-xe .………………………...………….……....................6分五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x 解：根据对称性⎰=a ydx S 04令20π≤≤⎩⎨⎧==t t b y t a x sin cos………………...…….......................2分则 ⎰⎰==02044π)cos (sin t a td b ydx S a⎰=2024πtdt ab sin …………...……………………………….5分 ⎰-=202214πdt t ab cos .ab π= ...………………………………………………………..7分六．（本题满分7分）1．设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。

考研高数a真题及答案解析

考研高数a真题及答案解析A真题及答案解析考研数学是研究生招生考试中不可或缺的一项科目，而高等数学A部分更是其中最为关键的知识点。

为了帮助考生更好地备考，我们将为大家提供一道典型的高数A真题及答案解析。

首先，让我们来看一下这道真题：【题目】设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明存在一点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(ξ)。

接下来，我们将逐步解析这道题：1. 首先，我们需对问题进行分析，理解题目的意思。

题目要求我们证明在函数f(x)在区间[a,b]上可导的前提下，存在一个点ξ使得f′(ξ)=f(ξ)。

2. 接下来，我们需要考虑如何使用中值定理来证明这个结论。

根据中值定理，如果一个函数在某个区间上可导，并且在区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在这个区间内必定存在一个点，使得其导数等于函数值。

3. 现在，我们可以开始着手证明了。

首先，我们设h(x) = f(x) - f′(x)，这样我们的目标就是要证明在某个点ξ上，h(x)等于零。

4. 由于f(x)在区间[a,b]上可导，那么h(x)也在这个区间上可导。

根据导数的定义，我们可得h′(x) = f′(x) - f′′(x)。

5. 接下来，我们来观察h′(x)的值。

由于f′(x)可导，则h′(x)也可导。

我们在这里使用了函数的可导性的性质，即如果一个函数在某个点可导，则它在这个点的左右导数存在且相等。

6. 根据题设，我们知道f(a) = 0，因此h(a) = f(a) - f′(a) = 0 - f′(a) = - f′(a)。

同样地，我们可得h(b) = - f′(b)。

7. 现在，我们来分析h(a)和h(b)的符号。

根据题设可知f(a) = f(b) = 0，即f(a)和f(b)都等于零。

因此，我们可以得出结论：h(a)和h(b)的符号相反。

8. 根据导数的连续性，我们可以知道在区间[a,b]上，h(x)的符号一定发生了改变，即h(x)在这个区间内至少存在一个根。

高数A(二)A卷参考答案

……………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
考试班级
05级A类
考试标准用时
120
试卷代号
A
参考答案及评分标准：
一、填空题：（每小题4分，共24分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、3
二、选择题：（每小题4分，共16分）
1、D 2、C 3、B 4、C
三、计算重积分：（每小题7分，共14分）
1、 3分
7分
2、 3分
7分
四、计算曲线积分（每小题7分，共14分）
1、 4分
7分
2、，
2分
= 4分
7分
五、（本题共有两小题，第1题5分，第2题7分，共12分）
1、 3分
发散5分
2、 2分
命题人
的收敛区域为 3分
5分
7分
六、求解微分方程（每小题7分，共14分）
1、先求对应的齐次方程：，变量分离可得：
两边积分可得：是对应的齐次方程的通解3分
再利用常数变易法，设为原方程的解，代入原方程可得：
为原方程的通解6分
又即为原方程满足初始条件的解7分
2、特征方程为得所对应的齐次方程的通解为 2分
命题
时间
2006年6月16日
教研室
审核人
审核
时间
年月日
……………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）

高数下期末考试试题及答案解析

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二)》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（）. （A ）-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b （D ）⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ）. (A) 0 （B ） 1 （C) 2 （D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是（ ).（A）(,)f x y xy = (B ）00(,),f x y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D)(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的（）.（A)驻点与极值点（B ）驻点，非极值点（C ）极值点，非驻点（D)非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰,2D I σ=,3DI σ=,则有（）。

(A ）123I I I << （B)123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. (A ） l (B ） l 3 （C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数,0()n a n →→+∞，则( ）.（A ）该级数收敛（B)该级数发散（C ）该级数可能收敛也可能发散 (D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是（）。

(A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B ）若级数21nn a ∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题（7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为。

08-09高数(下)(A)试卷及答案

08-09 高等数学(下) A 考试方式：闭卷完成时限： 120分钟一、填空（每小题3分，满分15分）：1. 与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行,且过点)5,2,3(-的直线方程_______________.2. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数 =a _______________.3. 若积分区域D 为x y x 222≤+,则二重积分⎰⎰σDd y x f ),(化为极坐标下的二次积分为_____________.4. 设)ln(222z y x u ++=则=)(u grad _______________.5.若级数∑∞=0n n nx a在5-=x 处条件收敛,则该级数的收敛半径为._______. 二、单项选择（每小题3分，满分15分）：1. ()00,y x f x 和()00,y x f y 存在是函数()y x f ,在点()00,y x 连续的( )A. 必要非充分条件;B. 充分非必要条件;C. 充分且必要条件;D. 既非充分又非必要条件2. 已知 dy y x dx ay x )43()(+++为某一函数的全微分,则=a ( )A. 0 ;B. 1 ;C. 3 ;D. 4.3. 二次积分dx y x f dy y y⎰⎰22),(交换积分次序后为( )A. ⎰⎰⎰⎰+221210),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx;B.dy y x f dx x ⎰⎰22),( ;C.⎰⎰22),(xxdy y x f dx; D.⎰⎰⎰⎰+21221),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx .4. 22y x z +=在点(1,2)处沿着从点(1,2)到点)32,2(+的方向的方向导数为( )A. 32+ ;B. 321+ ;C. 342+;D. 34+ .5. 下列级数中条件收敛的是( )A.∑∞=-1)1(n nnB. ∑∞=-13)1(n nnC. ∑∞=--22)1(n n nn nD. ∑∞=-12)1(n nn 三、计算下列各题（每小题7分，满分49分）： 1. 求直线⎩⎨⎧=--+=++-0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程.2. 设⎩⎨⎧=+=-10xv yu yv xu ，求y vx u ∂∂α∂ ,.3. 求曲线⎩⎨⎧=+-++=0253222z y x y x z 上点)9,2,1(-处的切线方程和法平面方程.4. 计算dy yye dx x y ⎰⎰-121 .5. 设Ω是由z y x 222=+和2=z 所围在的区域，求⎰⎰⎰Ω+dv y x z )(22. 6. 求幂级数nn n nx n ∑∞=-12)1(的收敛域.7. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 , 10 , arctan 1)(2x x x x x x f ,求)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑+∞=--1241)1(n n n 的和. 四、应用题（每小题8分，满分16分）： 1.设长方体的三个面在坐标面上,其一顶点在平面1=++czb y a x 上,且.0,0,0>>>c b a 试问长方体的高z 取什么值时,其体积最大.2. 求球体2222R z y x ≤++与球体Rz z y x 2222≤++的公共部分的体积. 五、证明题（5分）设),2,1(,⋅⋅⋅=≤≤n b c a n n n ,并设级数∑∞=1n na和∑∞=1n nb均收敛,试证明∑∞=1n nc也收敛.08-09高数(下)A 参考答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1153243-=-=+z y x ， 2 -5 3 ⎰⎰-θππρρθρθρθcos )sin ,cos (2022d f d4 )2,2,2(222222222zy x zz y x y z y x x ++++++ 5 5. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A三、计算题（每小题7分，共49分）1.解: 现求过直线和平面垂直的平面方程有1=-z y (5)那么所求直线方程为⎩⎨⎧=++=-01z y x z y (7)2.解: 方程两边求微分，得⎩⎨⎧=+++=--+00vdx xdv udy ydu vdy ydv udx xdu …………………………………………………………(3) 22y x yvxu x u ++-=∂∂，……………………………………………………………………（5） 22yx yvxu y v ++-=∂∂……………………………………………………………………（7） 3. 解 ⎩⎨⎧='-'+'+='05342x x xx z y y y x z ，在点)9,2,1(-处，解得334,35='='xx z y ,…………..(3) 所以在点)9,2,1(-处的切向量为 {}34 ,5 ,3,……………………………………………..(5) 因此切线方程3495231-=-=+z y x ,.....................................................(6) 法平面方程 3133453=++z y x (7)4.解:交换积分次序,1d e d d 1e 1110==-=⎰⎰⎰y y x y yy I y yy (7)5.解: 采用柱面坐标，⎰⎰⎰=22320202d d d r z z r r I πθππ8d )44(2122043=-⋅=⎰r r r (7)6.解:收敛半径为 2121lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n , (4)当21-=x 时,级数为∑∞=-11n n,发散； (5)当21=x 时,级数为∑∞=--11)1(n n n ,收敛， (6)所以收敛区间为 ]21,21(-； (7)7.解: 211x + ,)1(02∑∞=-=n n n x )1,1(-∈x ………………………………………….(1) x a r c t a n ∴ ⎰+=xx x 02d 11 ,12)1(012∑∞=++-=n n n x n ]1,1[-∈x ……………………(3) 于是)(x f ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=++-+02212)1(n n n xn ………………………………..…..(4) ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=---+12112)1(n nn x n (5)∑∞=⎥⎦⎤--+⎢⎣⎡-+=12121121)1(1n nn x n n ,41)1(21122∑∞=--+=n nn x n ]1,1[-∈x ……………………………………….(6) ∑∞=--∴1241)1(n nn]1)1([21-=f 214-=π (7)四、应用题（每小题8分，共16分）1.解: 1. 目标函数 xyz V =，约束条件1=++c zb y a x ，………………………….(2) 设拉格朗日函数 )1(-+++=czb y a x xyz L λ， (4)令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+='=+='=+='1000cz b y a x c xy L b xz L a yz L z y x λλλ，解得唯一驻点 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ， (7)由实际问题，当高3cz =时，其体积最大 (8)2.解: 可用三重积分⎰⎰⎰Ωdv ……计算, 也可用二重积分⎰⎰σ-Dd )(底顶…计算.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ+σ==Ω)(2)(221z D RR z D R d dz d dzdv V (4)⎰⎰-π+-π=RR R dz z R dz z Rz 22222)()2( (6)=3125R π (8)五、证明题（每小题5分，共5分）证明：由条件知，n n n n a b a c -≤-≤0,),2,1( =n ,由题设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 均收敛，故正项级数∑∞=-1)(n n n a b 收敛，由比较判别法知正项级数∑∞=-1)(n n na c也收敛，而n n n n a a c c +-=)(,),2,1( =n ，再由∑∞=1n n a 的收敛性，证明了∑∞=1n n c 收敛. (5分)。

高数下期末考试试题及答案解析

专业资料值得拥有2017学年春季学期1．已知与都是非零向量，且满足,则必有（）.（A) (B) (C ） (D ） 2.极限（）.(A ） 0 (B) 1 （C ） 2 （D)不存在3．下列函数中,的是（）. （A ）（B ）（C) （D ）4．函数，原点是的( ）。

（A)驻点与极值点（B ）驻点,非极值点（C ）极值点，非驻点（D ）非驻点,非极值点 5．设平面区域,若，,,则有( ）。

(A ） (B) (C ）（D ） 6．设椭圆:的周长为，则( ）。

（A ）（B ） (C ）（D ） 7．设级数为交错级数，，则( ）.(A ）该级数收敛（B)该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散（D ）该级数绝对收敛 8。

下列四个命题中，正确的命题是（）。

（A)若级数发散，则级数也发散（B ）若级数发散,则级数也发散 (C)若级数收敛，则级数也收敛（D)若级数收敛，则级数也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共141。

直线与轴相交,则常数为 . 2．设则______ _____.3．函数在处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设，二重积分= . 5．设是连续函数,，在柱面坐标系下的三次积分为 . 6。

幂级数的收敛域是 .7。

将函数以为周期延拓后，其傅里叶级数在点处收敛于。

三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设，其中有连续的一阶偏导数，求，．解：2．求曲面在点处的切平面方程及法线方程．解：3.交换积分次序，并计算二次积分．解：4．设是由曲面及所围成的空间闭区域，求。

解:5．求幂级数的和函数，并求级数的和．解：四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1。

从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解2．计算积分,其中为圆周 ()．解：3．利用格林公式，计算曲线积分，其中是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线．4．计算，为平面在第一卦限部分。

08-09年高数A B试卷答案 1.4元

x →0
( x − x0 )
2
= A > 0 ，则 f ( x0 ) 是(
)。
A．极小值 B．极大值
C．不是极值 D．不能确定是否是极值
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得分
评卷人
三、计算下例各题：（每小题 5 分，共 40 分）
.15、 ∫ cos x + 1dx
11、 lim +
x →0
ln(arcsin x) cot x
一．
单项选择题：（每小题 3 分，共 15 分）
15. cos x + 1dx 解: x = t − 1, dx = 2tdt （1 分）
2
1.C 2. B 3.D ４.A ５.C
二．填空题：（每小题 3 分，共 15 分）
∫
1 2 6. ( −∞, 0 ) ∪ (2, ∞) .7. 2 . 8. ( 0,1) .9. − (1 − x ) + C .10. 2
上海大学 2008-2009 学年度秋季学期高等数学 A（1）考试试卷答案（A 卷）
1 ⎤ ⎡ 14.设 y = ⎢ f (sin ) ⎥ , 其中 f 是可微函数,求 y′( x) . x ⎦ ⎣
解: y′ = 2 f (sin ) f ′(sin ) cos
2
1 x
1 x
1 1 (− 2 ) （5 分） x x
ln x dx (1 − x) 2
得分
评卷人
四、应用题（8 分）
19．在曲线 y =
1 2 ( x + 1) （ x > 0 ）上任意点 P 作切线，切线与 x 轴交点是 M ，又从点 P 向 2 x 轴作垂线，垂足为 N 。试求三角形 PMN 面积的最小值。

09本科《高数A下》期终试卷(A)答案

上海立信会计学院2009―2010学年第二学期 09级本科《高等数学(下)》期终试卷(A )答案一．单项选择题（每题2分，共10分）1．非零向量,a b 的夹角正弦 sin(,)=a b ( D )。

A.||||⋅a b a b B. ||||||⋅a b a b C. ||||⨯a b a b D. ||||||⨯a b a b2．函数),(y x f 在点),(00y x 处可偏导是),(y x f 在点),(00y x 处连续的( D )。

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3．函数22),(y x y x f -=在其定义域上( D )。

A. 有极大值无极小值B. 无极大值有极小值C. 有极大值有极小值D. 无极大值无极小值 4．设级数∑∞=1n nu的部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n nu收敛的充分必要条件为( B )。

A.lim 0n n s →∞= B.lim n n s s →∞= C.lim 0n n u →∞= D.lim n n u u →∞= 5．设0≤≤n n v u ，如果级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nv的敛散性为( A )。

A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 未必收敛D. 发散二．填空题（每题3分，共15分）1．设向量,a b 满足⋅0a b =，则a 与b 的关系为⊥a b 。

1．过点(1,1,1)垂直于平面230x y z ++=的直线点向式方程为111123x y z ---== 2．交换积分次序：=⎰⎰dy y x f dx x x),(1dx y x f dy yy⎰⎰2),(14．设}2{22x y x D ≤+=，则极坐标⎰⎰=Ddxdy y x f ),(rdr θr θr f θd θππ⎰⎰-cos 2022)sin ,cos (5．-p 级数∑∞=11n p n收敛的充分必要条件是1p >三．计算题（每题5分，共50分）1．设yx z 1=，求偏导数x z ∂∂，y z ∂∂。

(8)08-09高数A(下)A卷试题参考答案

2008-2009（2）高数A （下）试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1. 1；2. 0；3. 22 ；4. 05. 512x x y C e C e -=+二、选择题（每小题3分，共15分）：1. B2. C 3 . B 4 . A 5 . C三、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：z y y y x xy x∂==∂ …………………………………2分 ()()ln ln 1z x xy y xy y xy∂=+=+∂ …………………………………5分 21z x y x∂=∂∂ …………………………………7分 2.解：21111y e Dd dy dx xy xy σ=⎰⎰⎰⎰ …………………………………4分 []21111ye lnx dy y==⎰ …………………………………7分 3.解：补上曲面1∑：1,z =(,)x y ∈22:1x y +≤D ，取上侧.则∑和1∑围成封闭空间闭区域 Ω.由高斯公式得()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰=3dv Ω⎰⎰⎰ 221100332d d dz πρθρρπ==⎰⎰⎰ …………………………………4分 ()12x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰1Ddxdy dxdy π∑===⎰⎰⎰⎰ ………………………5分()2x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰=()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰()12x z dydz zdxdy ∑-++⎰⎰3122πππ=-= …………………………………7分四、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：补上BA :0,y x =从a 到-a 。

设L 与BA 所围成的区域为 D.由格林公式，得()2222DL BA xy dy x ydx x y dxdy +-=-+⎰⎰⎰340014ad d a πθρρπ=-=-⎰⎰ …………………………………4分而 220BA xy dyx ydx -=⎰ …………………………………5分所以 222222414L L B A B A x y d y x y d x x y d y x y d x x y d y x y d x a π+-=---=-⎰⎰⎰………7分2.解：原方程可变形为211dxx dy y y -= …………………………………2分设()()211P y ,Q y y y =-=，代入公式，得原方程的通解为()()()P y dy P y dyx e Q y e dy C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 1121dy dyy y e e dy C y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎰⎰=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰ 21122y C Cy y y⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ …………………………………7分3.解：222u u uu i j k y zi xyzj xy k x y z ∂∂∂∇=++=++∂∂∂函数在点P 处的梯度为 24P u i j k ∇=-+…………………………………4分函数在点P 处沿24P n u i j k =∇=-+处的方向导数为 2421P P uu i j k n ∂=∇=-+=∂…………………………………7分五、计算及应用（每小题8分，共16分）1.解：幂级数的收敛半径为1R =，当1x =±时，级数发散，级数的收敛域为()11,-.设()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑，()11x ,∈- …………………………………3分()101112222n n n n n n n n nx x nx xx x x∞∞∞∞-===='⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑()22211x x x ,x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()11x ,∈- …………………………………5分 01,1n n x x∞==-∑ ()11x ,∈- …………………………………7分 ()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑()221xx =-11x +-()211x x +=-， ()11x ,∈- …………………………………8分 2.解：曲面22z xy x y =++在点()P x,y,z 处的法向量为()221n y x,x y,=++- ，由条件知，已知平面的法向量()1331n ,,=- 与向量n 平行，得2211331y x x y ++-===-，又点P 在曲面22z xy x y =++上，所以点P 的坐标为(1,1,3) ……………………4分所求的法平面方程为()()()313130x y y z -+---= ，即 3330x y z +--=…………6分法线方程为113331x y z ---==- …………………………………8分六、证明题（每小题6分，共12分）1.证： ()()u u f u yf u y y ∂∂'=+∂∂ ()()1f u u y yf u ∂='∂-…………………………………3分 ()1u u yf u x x ∂∂'=+∂∂ ()11u x yf u ∂='∂-…………………………………5分 ()u u f u y x∂∂∴=∂∂ …………………………………6分 2.证：（1）因为已知数列{}n a 为有界单调增加数列，且0n a >，所以由单调有准则知n n lim a →∞存在，不妨设为n n lim a A →∞=。

高数A期末考试答案(2008级)

一、DDAB 二、1．10π， 2．32π 3．334a -4． 614５．12012)1(+∞=∑+-n n nxn ；]1,1[- ６． ⎩⎨⎧±=<<-πππx x x 0,三．1．（A 类）解：记，)(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=则xQ y xyx yP ∂∂=+-=∂∂22222)(2。

（1）设D 是由L 所围成的闭区域。

因奇点D ∉)0,0(，所以由格林公式，得⎰⎰⎰=∂∂-∂∂=+-DLdxdy yP xQy x xdy ydx 0)(222。

（2）设D 是由L 所围成的闭区域。

选取一正数12-<r ，则222:r y x l =+是位于D 内的圆周(取逆时针方向)。

记L 和l 所围成的闭区域为1D ，1)0,0(D ∉，从而由格林公式，得122d d d d 02()L lD y x x yQP x y x y xy-+-∂∂=-=+∂∂⎰⎰⎰，故2222222222d d d d sin cos d 2()2()2Lly x x yy x x yr r x y x y rπθθθπ----===-++⎰⎰⎰。

（B 类）解：补上曲线:0,:02l y x a =→，记L 和l 所围成的闭区域为D 。

由格林公式，得 (sin 2)d (cos 2)d (sin 2)d (cos 2)d xxx xL lle y y x e y y e y y x e y y +-+---+-⎰⎰2d d 0Dx y =-⎰⎰2a π=2．（A 类）解：利用对称性和曲面方程，得222[22]d I x y z xy y z S ∑=++++⎰⎰222[]d x y z S ∑=++⎰⎰2()d x z S ∑=+⎰⎰ 4d x S ∑=⎰⎰41d S ∑=⋅⋅⎰⎰32π=（B 类）解：设1:z ∑=(,)xy x y D ∈；2:1z ∑=，(,)xy x y D ∈，其中22{(,)|1}xy D x y x y =+≤。

海南大学高数A下试卷及答案

海南大学高数A下试卷及答案试卷题目一：函数的极限1.计算下列极限：(a)$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}$(b)$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x$(c)$\\lim_{x\\to\\infty} \\frac{x+2}{x+3}$2.求函数$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}$的极限，并说明极限存在的条件。

题目二：导数与微分1.求函数$f(x)=\\sqrt{x+1}$的导数。

2.求曲线y=y y在y=0处的切线方程。

题目三：积分1.计算定积分$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx$。

2.求曲线y=y2与y轴所围成的面积。

题目四：级数1.讨论级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$的敛散性。

2.求级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}$的和。

答案题目一：函数的极限(a)使用夹逼定理可知，$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}=1$(b)根据自然对数的性质，$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x=e$(c)当$x\\to\\infty$时，$\\frac{x+2}{x+3}\\to1$1.当y yy1时，根据因式分解，$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}=(x+2)$。

当y=1时，y(1)不存在。

所以存在极限的条件是y yy1。

题目二：导数与微分1.根据求导法则，$f'(x)=\\frac{1}{2\\sqrt{x+1}}$2.在y=0处，y=y y的斜率为1，所以切线方程为$y=1\\cdot x= x$题目三：积分1.根据积分的基本公式，$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx=\\left[x^3-x^2+x\\right]_{0}^{1}=1$2.曲线y=y2与y轴所围成的面积为$\\int_{0}^{1}x^2dx=\\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_{0}^{1} =\\frac{1}{3}$题目四：级数1.根据比较判别法，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$收敛，因为$\\frac{1}{n^2}$与y-级数$\\frac{1}{n^p}$（其中y>1）同阶，且y=2>1。

08-09-2高数试卷A(A考试卷)

广东工业大学考试一试卷(A)课程名称 :高等数学A(2) 试卷满分100分：名考试时间 :20XX 年6月29日 ( 第 20周礼拜一)姓题号一二三四五六七八九十总分评卷得分线评卷署名复核得分：复核署名号一、填空题：（每题 4 分，共 20 分）学1．设 OA 2i j ，OB i 2k ，令 m OA OB . 则向量m的方向余弦为：。

2．曲面3x2 y2 z2 27 在点 (3, 1, 1) 处的切平面方程为：。

订3．设地区D : 1 x 1,0 y 1，则(x3 y2 xcos y)d = 。

D4．设z z( x, y) 是由方程 f ( x z, y z) 0 所确立的隐函数，此中 f (u, v) 拥有连续的偏导数，且f f 0 ，则z z 。

u x yv5．设 f ( x) 是周期为2的周期函数，它在区间( , ] 上的定义为：f (x) 2, x 0，则 f ( x) 的傅里叶级数在处收敛于 ________．业1x,0 x专装二、选择题：（每题 4 分，共20 分）1．平面 3 x 3y 8 0 的地点是（） .A. 平行于 z 轴 .B. 斜交于 z 轴C. 垂直于 z 轴 .D. 经过 z 轴.2.考虑二元函数 f (x, y) 的下边 4 条性质：① f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续；② f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续；：③ f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微；④ f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在．院若用“ P Q ”表示可由性质P 推出性质Q，则有（）学A ②③①；B ③②① ；C ③④①；D ③①④3．关于二元函数f ( x, y)xy 2 ，极限 lim f ( x, y) 为（）。

x 2y( x, y) (0,0)A ． 0B. 不存在 C ． 1D.无量大2 x44 x x 24．改变积分序次后0 dx 0 f ( x, y)dy2dxf ( x, y)dy =（）。

08-09高数(下)(A)试卷及答案

最新级高数(下)试题及答案汇总

高数A试题及答案[1]

安徽大学期末试卷MK08-09(1)高数A(一)、B(一)试卷.pdf

试卷点评：2008级《高等数学》(下册)试卷

2008-2009(1)高等数学试题(A卷)(90)答案

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