爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第9讲二元一次方程组的应用

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爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第7讲二元一次方程组的概念和解法

二元一次方程组的概念和解法模块一二元一次方程的基本概念知识点睛二元一次方程的基本概念1．含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程。

判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式一一整式方程； ②含有两个未知数一一“二元”；③含有未知数的项的次数为1一一“一次”．2．二元一次方程的一般形式：ax +by +c =0（a ≠0，b ≠0）3．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。

典型例题【例1】(1)方程2x -3y =4，324x y+=，342xy -=，2x +3y -z =5，21x y -=中，是二元一次方程的有( )A .1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)下列方程是二元一次方程的是（）A .3x -1=xyB . 24x +3x = 0C . 2+y =3D . 3x =y能力提升【例2】(1)若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值。

(2)己知关于x ，y 的方程()()2182620n mm x n y +--++=是二元一次方程。

①求m ，n 的值；②若y = -2，求x 的值。

【例3】(1)若方程()123a xa y -+-=是二元一次方程，则a 的取值范围是( )A . a ＞2B . a =2C . a = -2D . a ＜-2 (2)己知方程()1122m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。

巅峰冲刺【例4】(1)设x 、y 为正整数，求5x +y =24的所有解 (2)设x 、y 为非负整数，求2x +y =5的所有解(3)设x 为正数，y 为正整数，求3x +y =6的所有解【例5】若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则()()22m n m mn n -++的值为．模块二二元一次方程组的概念知识点睛二元一次方程组：1．由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

(人教版)七年级数学寒假精品课第09讲二元一次方程组与解法-【寒假自学课】解析版

第09讲二元一次方程组与解法【学习目标】1.了解二元一次方程及二元一次方程组的概念.2.理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念.3.会判断一组数是不是二元一次方程组的解.4.掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤.5.了解解二元一次方程组的基本思路.6.初步体会化归思想在数学学习中的运用.7.掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤.8.熟练运用消元法解简单的二元一次方程组.9.培养学生的分析能力，能迅速根据所给的二元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组.【基础知识】1.二元一次方程：(1)定义：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程.(2)二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值.2.二元一次方程组：(1)定义：有2个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有2个方程的方程组.(2)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解.【钙奶能理解】1.判断对错：(1)方程x+2y-z=0是二元一次方程(×)(2)方程x2+y=0是二元一次方程(×)(3)方程x=y是二元一次方程(√)2.在1434(1),(2),(3)52732x xxy yy⎧==⎧⎪=⎧⎪⎪⎨⎨⎨=-=-⎩⎪⎪=⎩⎪⎩这三组数值中，（1）（2）是方程x-3y=9的解，（1）（3）是方程2x+y=4的解，（1）是方程组3924x yx y-=⎧⎨+=⎩的解.3.消元思想：二元一次方程组中有2未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.4.代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解的方法.【概念理解】1.判断对错：(1)方程3x+2y-8=0用含x的代数式表示y为823yx-=(×)(2)方程3x+2y-8=0用含x的代数式表示y为832xy-=(√)2.下列各对数中，满足方程组5232x yx y-=⎧⎨+=⎩的是(B)3.由方程组213x my m+=⎧⎨-=⎩可得出x与y的关系是2x+y=4.5.加减法：两个二元一次方程中，同一个未知数的系数相反或相同时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称减加法.6.代入法与加减法的关系：代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是采用的方法不同.【自我诊断】1.判断对错：(1)当方程组中相同未知数的系数绝对值相等时，两式相减消去该未知数.(×)(2)当方程组中两个方程，没有一个未知数的系数的绝对值相等时，不能用加减消元法.(×)2.方程组839845x yx y-=⎧⎨+=-⎩消去x得到的方程是(D)A.y=4B.y=-14C.7y=14D.-7y=14【考点剖析】考点一：二元一次方程(组)的概念例1．已知方程(m-2)x n-1+2y|m-1|=m是关于x，y的二元一次方程，求m，n的值. 【答案】∵(m-2)x n-1+2y|m-1|=m是关于x，y的二元一次方程，∴n-1=1，|m-1|=1，解得n=2，m=0或2.若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，则m=0，n=2.例2．已知方程(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x，y的方程.(1)k为何值时，方程为一元一次方程？(2)k为何值时，方程为二元一次方程？【解析】(1)若方程是一元一次方程，则2060kk+=⎧⎨-≠⎩或2060kk+≠⎧⎨-=⎩解得k=-2或k=6.所以当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程.(2)若方程是二元一次方程，则2060 kk+≠⎧⎨-≠⎩解得k≠-2且k≠6.所以当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程.【注意】1.二元一次方程具备的条件：方程整理后满足：(1)含有2个未知数.(2)未知数的次数都是1.(3)整式方程.2.二元一次方程组满足的条件：(1)组中一共有两个一次方程.(2)组中含有两个未知数.考点二：二元一次方程(组)的解例3．（1）若在方程2x-y=13的解中，x，y互为相反数，求xy的值.(2)已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求m+n的值.【分析】(1)把解代入方程→一元一次方程→求解→计算xy.(2)把解代入方程组→二元一次方程组→求解→计算m+n. 【详解】(1)∵x，y互为相反数，∴y=-x，将y=-x代入方程2x-y=13中，得2x+x=13，解得x=19，∴y=1 9 -.所以xy=1 81 -.(2)因为21xy=⎧⎨=⎩是方程组的解，所以22(1)12211mn⨯+-⨯=⎧⎨⨯+=⎩解得1mn=-⎧⎨=⎩所以m+n=-1.【注意】如何判断二元一次方程、二元一次方程组的解就是把已知的未知数的值分别代入二元一次方程或二元一次方程组中，满足方程左右两边相等的两个未知数的值，是二元一次方程的解，否则不是；同时满足组中两个方程成立的两个未知数的值，是二元一次方程组的解，否则不是.考点三：代入法解二元一次方程组例4．解方程组：2425x y x y +=⎧⎨+=⎩①②【详解】由②得52x y =-③，把③代入①，得2(52)4y y -+=，解得：y=2，把y=2代入③，得x=1， ∴原方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩.【注意】代入消元法解二元一次方程组的步骤(1)变形：变形方程组中系数较简单的方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. (2)代入：将变形后的方程代入另一个方程，得到一个一元一次方程. (3)求解：解一元一次方程，求出未知数的值.(4)代入：把求出未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数. (5)写解：把两个未知数的值用大括号联立起来. 考点四：二元一次方程组的应用例5．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km ，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km.求隧道累计长度与桥梁累计长度. 【分析】设隧道累计长度为xkm ，桥梁累计长度为ykm ，根据“隧道累计长度+桥梁累计长度=342km ，2×隧道累计长度-桥梁累计长度=36km ”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解方程组可得结论. 【详解】设隧道累计长度为xkm ，桥梁累计长度为ykm ，根据题意得：342236x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：126216x y =⎧⎨=⎩答：隧道累计长度为126km ，桥梁累计长度为216km.【注意】列方程组解应用题的步骤(1)找出题中的两个未知量，设出两个未知数. (2)找准题中的两个等量关系，列出方程组.(3)解方程组得出方程组的解，检验是否符合实际意义，再作答.考点五：加减消元法解二元一次方程组例6．解方程组【详解】①×3+②×2得：13x=52，解得x=4，把x=4代入①得：y=3，所以方程组的解为43x y =⎧⎨=⎩.【注意】加减消元法解二元一次方程组的步骤(1)变形：变形组中的一个方程或者两个方程，使其中一个未知数的系数相同或者互为相反数. (2)加减：若同一个未知数的系数相等(互为相反数)，两式相减(相加).(3)求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值；用代入或者加减再求出另一个未知数的值.(4)作答：写出方程组的解.考点六：二元一次方程组的应用例7．六一前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需多少元. 【分析】本题的等量关系：1.1套文具花费+3套图书花费=104元.2.3套文具花费+2套图书花费=116元.【详解】设一套文具x元，一套图书y元，由题意，得∴x+y=48(元).答：1套文具和1套图书需48元.【注意】列方程组解应用题列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量.(2)同类量的单位要统一.(3)方程两边的数值要相等.【真题演练】1．若11xy=⎧⎨=-⎩是方程2x﹣ay＝﹣1的一个解，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【答案】C【分析】根据题意，将11xy=⎧⎨=-⎩代入方程中，即可求a的值．【详解】根据题意，将11xy=⎧⎨=-⎩代入方程2x﹣ay＝﹣1中得，21a+=-，解得a＝-3．故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握已知二元一次方程的解求参数的方法是解答本题的关键．2．已知24xy=-⎧⎨=⎩和41xy=⎧⎨=⎩都是方程y=ax＋b的解，则a和b的值分别是().A．a=2，b=3 B．a=－0.5，b=3 C．a=1，b=3 D．a=3，b=0.5【答案】B【解析】【分析】根据题意得到关于a和b的二元一次方程组，再求出a和b的值．【详解】∵24xy=-⎧⎨=⎩和41xy=⎧⎨=⎩都是方程y=ax＋b的解，∴2441a ba b-+=⎧⎨+=⎩，解得：0.53ab=-⎧⎨=⎩，故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解以及二元一次方程组的解法,.解题关键是根据方程组的解概念，代入方程得到关于a、b的二元一次方程组即可求解.3．用加减消元法解方程组258345x yx y+=⎧⎨-=⎩，先消去y，下面运算正确的是（）A．①×5＋②×4 B．①×5﹣②×4 C．①×4＋②×5 D．①×4﹣②×5 【答案】C【分析】用加减消元法消去y，只需①×4+②×5即可．【详解】解：258 345 x yx y+=⎧⎨-=⎩①②①×4得，8x+20y=32③，②×5得，15x-20y=25④，③+④得，23x=57，故选：C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．4．若|321|0x y--=，则x，y的值为（）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D 【解析】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．详解：∵3210x y --=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②，①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．5．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．【详解】解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩，∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．6．方程组3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩，的解是（）A．15xy=-⎧⎨=⎩，B．12xy=⎧⎨=⎩，C．31xy，=⎧⎨=-⎩D．212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，【答案】D【分析】利用加减消元法求出解即可．【详解】解：327 6211x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①＋②得：9x=18，即x=2，把x=2代入②得：y=12，则方程组的解为：212 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，故选D．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．用加减法解方程组235327x yx y-=⎧⎨-=⎩①②下列解法错误的是（）A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去yC．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y【答案】D【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．A 、32⨯-⨯①②，可消去x ，故不合题意；B 、23⨯-⨯①②，可消去y ，故不合题意；C 、(3)2⨯-+⨯①②，可消去x ，故不合题意；D 、2(3)⨯-⨯-①②，得，不能消去y ，符合题意．故选D ． 8．已知方程组3,21x y n x y n +=⎧⎨+=+⎩中的x 、y 相等，则n 的值等于( ) A ．1B ．3C ．－3D ．－4【答案】D【解析】【分析】先根据方程组3,21x y n x y n +=⎧⎨+=+⎩中的x 、y 相等用y 表示出x 把原方程组化为关于y 、n 的二元一次方程组，再用n 表示出y 的值，代入方程组中另一方程求出n 的值即可．【详解】∵方程组3,21x y n x y n +=⎧⎨+=+⎩中的x 、y 相等， ∴原方程组可化为：431y n y n ⎧⎨+⎩＝①＝② , 由①得，y=4n ，代入②得，34n =n+1，解得n=-4．故选：D ．【点睛】考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答此题的关键． 9．解二元一次方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，最恰当的变形是( )A．由①得243yx-=B．由②得y=2x﹣5 C．由①得234yx-=D．由②得52yx+=【答案】B【详解】试题分析：根据二元一次方程的解法—代入消元法，可把某一个系数为1或为-1的项，移项变形即可，因此可由②得y=2x-5.故选B.10．甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为11xy=⎧⎨=-⎩，乙把ax-by=7看成ax-by=1，求得一个解为12xy=⎧⎨=⎩，则a，b的值分别为( )A．25ab=⎧⎨=⎩B．52ab=⎧⎨=⎩C．35ab=⎧⎨=⎩D．53ab=⎧⎨=⎩【答案】B 【解析】把甲的解代入ax-by=7可得a+b=7，把乙的解代入可得a-2b=1，由它们构成方程组可得721a ba b+=⎧⎨-=⎩，解方程组得52ab=⎧⎨=⎩，故选B．【过关检测】1．若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是32xy=⎧⎨=⎩，则a=_____．【答案】4【详解】分析：把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．详解：把32xy=⎧⎨=⎩代入方程得：9﹣2a=1，解得：a=4，故答案为4．点睛：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．2．已知235,23,x y x y +=⎧⎨+=⎩则2 016＋x ＋y ＝_______. 【答案】2018【解析】【分析】方程组两方程相减求出x+y 的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】235,23,x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①－②，得x ＋y ＝2，则原式＝2 016＋2＝2 018.故答案是：2 018.【点睛】考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．已知二元一次方程2x-3y=6，用关于x 的代数式表示y ，则y=______．【答案】263x - 【分析】把x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：方程2x-3y=6，解得：y=263x -，故答案为263x -. 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．4．若323m x -－21n y - =5是二元一次方程，则m =______，n =_____．【答案】2 1根据二元一次方程的定义求解即可，方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.【详解】解：∵3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程，∴2m-3=1，2n-1=1，∴m=2，n=1.故答案为2，1.【点睛】二元一次方程的概念是本题的考点，熟练掌握其概念是解题的关键.5．已知x、y满足方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值为___．【答案】1【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x-y或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：21xy=⎧⎨=⎩，∴x-y=1；方法二：两个方程相减，得.x-y=1，故答案为1.【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．6．已知关于x、y的方程221255x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y+=-，则a的值为__________________．【答案】5①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【详解】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ，∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．7．若()235230x y x y ，-++-+=则x y +的值为______.【答案】-3【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出x+y 的值．【详解】∵（3x-y+5）2+|2x-y+3|=0，∴3x-y+5=0，2x-y+3=0，∴x= -2，y= -1．∴x+y= -3．【点睛】本题考查的知识点是：某个数的平方与另一数的绝对值的和等于0，那么平方数的底数为0，绝对值里面的代数式的值为0．8．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____．【答案】 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于,x y 的二元一次方程组，此题得解．【详解】设木条长x 尺，绳子长y 尺，依题意，得： 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩故答案为 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．解下列方程组（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩ （2）33255(2)4x y x y +⎧=⎪⎨⎪-=-⎩ 【答案】（1）55x y ⎧=⎨=⎩；（2）025x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．【详解】（1）257320x y x y -=⎧⎨-=⎩，整理得63157320-=⎧⎨-=⎩x y x y ，两式相减得：5x =，把 5x =代入25x y -=中，得y 5=；所以原方程组的解为：55x y ⎧=⎨=⎩．（2）原方程组变式为51565104x y x y ⎧+=⎨-=-⎩，两式相减得：25y =，将25y=代入5156x y+=中，得251565x+⨯=，解得：0x=．所以原方程组的解为25xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．【点睛】本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．10．（1）用代入法解方程组：3 759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩（2）用加减法解方程组：2232(3)31 x yx y⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩【答案】（1）1x=21y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩；（2）x=2y=3⎧⎨⎩.【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答. 【详解】解：（1）3759 x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②由①得x=3+y③将③代入②得：y=1 22 -将y=122-代入③得：x=12-所以原方程组的解为：1x=21 y=22⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（2）原方程组可化为：3x212 235yx y+=⎧⎨-=-⎩①②①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3 将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：x=2 y=3⎧⎨⎩【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.11．已知关于x，y的方程组54522x yax by+=⎧⎨+=-⎩与2180x yax by-=⎧⎨--=⎩有相同的解，求a，b的值．【答案】12 ab=⎧⎨=-⎩.【详解】试题分析：将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，解答即可得到结论．试题解析：解：由题意可将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组521x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：23xy=⎧⎨=⎩．把23xy=⎧⎨=⎩代入4ax＋5by＝－22，得：8a＋15b＝－22．①把23xy=⎧⎨=⎩代入ax－by－8＝0，得：2a－3b－8＝0．②①与②组成方程组，得：815222380a ba b+=-⎧⎨--=⎩，解得：12ab=⎧⎨=-⎩．12．已知方程组515412ax yx by+=⎧⎨+=⎩①②，王芳看错了方程①中的a，得到的方程组的解为54xy=⎧⎨=⎩，李明看错了方程（2）中的b，得到的方程组的解为45xy=⎧⎨=⎩，求原方程组的解.【答案】原方程组的解为6 {6 xy==【详解】试题分析：根据没看错的方程和方程的解代入可求的a、b的值，然后还原返程组，根据加减或代入消元法求解即可.试题解析：由题意得4×5+4b=12，解得b=-2, 4a+5×5=12，解得a=52-，代入可得5515{24212x y x y -+=-= 解得6{6x y ==13．善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时,采用了一种“整体代换”的解法: 将方程②变形:4105x y y ++=，即()2255x y y ③++=把方程①代入③,得2351y y ⨯+=∴=-，把1y =-代入①,得4x =，∴原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩请你解决以下问题:模仿小军的“整体代换法”解方程组3259419x y x y ；-=⎧⎨-=⎩(2)已知x y 、满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①，②求224x y +与xy 的值. 【答案】（1）方程组的解为32x y ⎧⎨⎩＝＝；（2）19. 【分析】（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y 的值，即可确定出x 的值；（2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．【详解】解：（1）由②得：3（3x-2y ）+2y=19③，把①代入③得：15+2y=19，解得：y=2，把y=2代入①得：x=3，则方程组的解为32x y ⎧⎨⎩＝＝；（2）由①得：3（x 2+4y 2）-2xy=47③，由②得：2（x2+4y2）+xy=36④，③+④×2得：7（x2+4y2）=119，解得：x2+4y2=17．③×2得：6（x2+4y2）-4xy=94⑤，④×3得：6（x2+4y2）+3xy=108⑥，⑥-⑤得：7 xy=14xy=2.【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法。

初一数学培训讲义第9讲二元一次方程组及其解法

第九讲二元一次方程组及其解法一、主要知识点回顾1．二元一次方程：含有未知数，并且未知数的次数都是的整式方程叫做二元一次方程。

2．二元一次方程组：由两个含有未知数的二元一次方程构成的，叫做二元一次方程组。

注意：第一，二元一次方程组中的方程（填“一定”或“不一定”）都是二元一次方程。

例如5321xx y=⎧⎨-=⎩的第一个方程不是二元一次方程，但它仍然是二元一次方程组；第二，两个二元一次方程联立在一起的方程组也（填“一定”或“不一定”）是二元一次方程组，5324x yy z+=⎧⎨-=⎩不是二元一次方程组。

3．二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程组的各个方程左右两边的值都的两个未知数的，叫做二元一次方程组的解。

4．二元一次方程组的基本解法：（1）；（2）。

二、感悟与实践例题1：解下列方程组：（1）1323y xx y=-⎧⎨-=⎩①②（2）（2010丽水）2337x yx y-=⎧⎨+=⎩①②解：把（1）代入（2）得：解：①+②得：∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩变式练习1：解下列方程组：（1）（2011湖北宜昌）122x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）（2011广东中山）2360y xx xy=-⎧⎨--=⎩例题2：用适当的方法解下列方程组：（1）（2011山东潍坊）524050x yx y--=⎧⎨+-=⎩（2）（2011江苏扬州）：20128180x yx y+=⎧⎨+=⎩变式练习2：解下列方程组：（1）2353212x yx y-=-⎧⎨+=⎩（2）1231342m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩例题3：解下列方程组：（1）631x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩（2）2233x yx y zx z-=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩变式练习3：解下列方程组：（1）6810x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（2）3331xx y zx y z=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩例题4：已知方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩和31ax byax by+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求222a ab b-+的值。

七年级数学二元一次方程组讲义

二元一次方程组知识点一（二元一次方程和方程组）【知识梳理】1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。

注意：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。

注意：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。

2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。

3.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.4.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．【例题精讲】例题引入（1）如果设这个班有x名女同学，y名男同学.由女生人数的一半比男生人数少15人，可得什么方程？答：______.由再来4名女同学，男女生人数就相等了，你能得怎样的方程？答：______. （2）如果设小华买了x 张80分的邮票，y 张2元的邮票，你能得到怎样的方程？答：______.例1. 下列方程①x x 263=+，②3=xy ，③42=-x y ，④y y x 2410=-，⑤21=+y x ，⑥532=+xy x ，⑦03=+-z y x ，⑧1332=+y x 中，二元一次方程有个。

例2. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）.A.⎩⎨⎧+==-13032x y y xB.⎩⎨⎧=-=+211z y xC.⎩⎨⎧=+-=+63222y x y x x x D.⎩⎨⎧-=+=6352x x y例3. 若321325a b b x y +---=是二元一次方程，则a = ，b = ．例4、以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是（）.A.⎩⎨⎧=-=+10y x y x B.⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C.⎩⎨⎧=-=+20y x y x D.⎩⎨⎧-=-=+20y x y x例5、若⎩⎨⎧-==22y x 是二元一次方程3=+by ax 的一个解，则=--1b a .例6、写出5=+y x 的一组正整数解；题型二代入法解法二元一次方程组例1、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则（） A 、35-=x y B 、3--=x y C 、35+=x y D 、35--=x y 例2、用代入法解方程组5341x y x y =+⎧⎨+=⎩ . ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+14766.0532.0y x y x ；题型三加减法解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+.732,423t s t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-.732,143n m nm题型四二元一次方程组解法的运用例1、方程组43235x y kx y -=⎧⎨+=⎩的解x y 与的值相等，则k 的值是 .例2、小明和小华同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩，小明看错了m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩小华看错了n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，你能知道原方程组正确的解吗？请求出来．例3、阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．解方程组191817171615x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得222x y +=，所以1x y +=．③ ③×16，得161616x y += ④，②－④，得1x =-，从而2y =．所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩．请你用上述方法解方程组200820072006200620052004x y x y +=⎧⎨+=⎩，【课堂练习】1. 有一些苹果箱，若每只装苹果25kg，则剩余40kg无处装；若每只装30kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.某校春季运动会比赛中，八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(1)班与(5)班得分比为6:5；乙同学说：(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分，若设(1)班得x分，(5)班得y分，根据题意所列的方程组应为 ( ) .A．65240x yx y=⎧⎨=-⎩B．65240x yx y=⎧⎨=+⎩C．56240x yx y=⎧⎨=+⎩D．56240x yx y=⎧⎨=-⎩4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元 C．赔了约7元 D．赚了约7元二、填空题5．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．6．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为 _______ 元．7．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.8．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．知识点二（二元一次方程的解法）【知识梳理】1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．【例题精讲】题型1 运用某些概念列方程求解在学习过程中，我们常常会遇到二元一次方程的未知数的指数是一个字母或关于字母的代数式，让我们求字母的值，这时巧用定义，可简便地解决这类问题例1. 若01212=+--++b a b a y x 是关于x,y 的二元一次方程,则a =_______,b =_______.题型2 列方程组解决实际问题方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域都有广泛的应用，列二元一次方程组的关键是寻找相等关系，寻找相等关系应以下两方面入手；（1）仔细审题，寻找关键词语；（2）采用画图、列表等方法挖掘相等关系.例2. 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天？列方程解下列问题1、有甲乙两种债券，年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？2、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。

二元一次方程组的应用PPT课件

解得
x=50 y=300
答：火车的速度为50 m/s，长度为300m.
知识要点
CONTENTS
3
知识要点
1.(2019·自贡)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费
了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单
价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依
题意，可列方程组为
七年级数学下册冀教版
第六章二元一次方程组
6.3 二元一次方程组的应用
知识要点
1
知识要点
CONTENTS
1
知识要点
想一想：
前面所学的解二元一次方程组的基本思路及常见方法是什么呢？
基本思路:
加减消元法
消元: 二元
一元
代入消元法
1.代入法：求表示式代入消元解一元一次方程回代求解
2.加减法：变换系数加减消元解一元一次方程回代求解
(2)如果设大马驮货x包，小马驮货y包，请列出二元一次方程组. (3)请你试着解出2中所列的二元一次方程组，并和同学们进行交流.
知识要点
利用二元一次方程组解决实际问题
根据题意，得 x1 y1, x+1=2( y1).
整理，得 x y2, ① x2 y3. ② ①－②，得 y=5. 把y=5代入①，得 x=7. 所以，方程组的解为 x7, y 5. 答：大马驮物7包，小马驮物5包.
x y 4, 4x 5y
466.
.
知识要点
2.如图，周长为68 cm的长方形ABCD被分成7个相同的小长方形，设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
（ 3x y） 2 68,
则可以列出的方程组为 2x=5y.

爱智康2017七年级尖子班春季讲义第7讲坐标系中动点问题

坐标系中动态专题模块一课前检测【题1】如图，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD，AD∥x轴，点E在x轴上，EC交AD于G，BF平分∠CBE交OC于F，若∠CGD=2∠OCE，则下列结论正确的是()A.∠BEC=∠BFOB.∠BEC+∠BFO=135°C.11∠BEC+∠BFO=90°D．∠BEC+∠BFO=90°22【题2】在平面直角坐标系中，点A（m，0），B(0，n），且m，n满足n=m2-4+4-m2+12若点C m-2为x轴正半轴上一点，过C作CD∥AB，E为线段AB上一点，过O作OF⊥OE交CD于F，其中∠BEH 11=∠BEO，∠FCH =∠FCO，试写出∠H与∠BOF之间的数量关系，并证明你的结论.33模块二典型动点压轴题知识点睛坐标系动点类题型经常出现在期末考试的压轴题中，其中出题套路比较清晰，通常第一问考察绝对值的非负性、解方程知识、点的平移等求解点的坐标；第二问已知面积求点坐标，通常有多个解；第三问与动点结合，考察坐标系中角度的关系，通常会涉及到平行线的4大模型和角平分线等。

同学们做此类题时要结合之前所学内容，联系模型，利用割补法，方能求得正确答案。

典型例题【例1】如图：在平面直角坐标系中，A (a ，0)，D (6，4)，将线段AD 平移到BC ，使B (0，b )，且a ，b 满足2-a +(6+b )2=0(1)求A 点、B 点的坐标；(2)设点M （-3，n ）且三角形ABM 的面积为16，求n 的值；(3)若∠DAO =150°，设点P 是x 轴上的一动点（不与点A 重合），问∠APC 与∠PCB 存在什么具体的数量关系？写出你的结论并证明．【例2】如图，平面直角坐标系中A （-1，0），B (3，0)，现同时将A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD(1)直接写出C 、D 的坐标：C ，D 及四边形ABCD 的面积：；(2)在y 轴负半轴上是否存在点M ，连接MA 、MB 使得S △MAB ＞S 四边形ABCD，若存在，求出M 点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由；(3)点P 为线段BD 上一动点，连PC 、PO ，当点P 在BD 上移动（不含端点），现给出①值不变；②∠DCP +∠BOP 的∠CPO∠DCP +∠CPO 的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．∠BOP能力提升【例3]在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （1，a ）、B (b ，1)，且实数a ，b 满足a -3+-(4-b )2=0(1)求a ，b 的值；(2)平移线段AB 至线段PQ 处（A 的对应点为P ），使得点P 、Q 正好都在坐标轴上，求点P 、Q 的坐标；(3)点C (3，c )，c ≠0，D 是x 轴负半轴上任意一点，连接OC 、OM 平分∠DOC ，ON ⊥OM （ON 在x 轴上方），CE ⊥CO 交x 轴正半轴于点E ，当c 的值发生变化时，探究∠NOD 与∠OEC 之间的数量关系，并说明理由．【例4]如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A 、C 坐标分别为（-4，2）、（1，-4），且AD ∥x 轴，交y 轴于M 点，AB 交x 轴于N .(1)求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积；1个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动，在P 点运动过程中，连接MP 、OP ，2请直接写出∠AMP 、∠MPO 、∠PON 之间的数量关系；(2)一动点P 从A 出发，以1(3)是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐3标；若不存在说明理由.【例5]长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA =5，OC=3，点B在第三象限求点B的坐标；(1)如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；(2)如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM =∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD 交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，说明理由∠D的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请∠CNM【例6】）如图，△ABC中，A(m，n)，B（-4，-1），C（a，b），且满足条件a=-b2+2，m+2+n-3=0(1)写出A、C的坐标，并画出△ABC.(2)P为坐标轴上一点，且△PBC的面积等于6，直接写出满足条件的所有P的坐标，并根据所学过的初一、小学知识选一个P点坐标写出求解过程．(3)将AB平移到A 'B'使B'(4，0)，现让点C沿x轴负方向运动，点N从点A'出发，沿A'A方向运动，且点N的速度比点C慢．当点C到达点（-3，0）时，点C、N同时停止（自己在坐标系中完成图形）．∠BAC+∠CNB'问：点N、C在运动过程中，的值是否变化？如不变，求其值；如变化，说明理由．∠ACN+∠NB'A'模块三动点与面积及其他类典型例题【例7]如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC在x轴上，如果点A坐标是（-1，42），C 点坐标是(3，0)．(1)求B点和D点的坐标；(2)将这个长方形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写出平移后四个顶点的坐标；(3)如果Q点以每秒2个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从A出发到C点停止，沿着A→D→C的路径运动，那么当Q点的运动时间分别是1秒和4秒时，△BCQ的面积各是多少？请分别求出来.【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-1，0），(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD .(1)求点C ，D 的坐标；(2)若在y 轴上存在点M ，连接MA ，MB ，使S △MAB =S 平行四边形ABDC，求出点M 的坐标；(3)若点P 在直线BD 上运动，连接PC ，PO .①若P 在线段BD 之间时（不与B ，D 重合），求S △CDP +S △BOP 的取值范围；②若P 在直线BD 上运动，请直接写出∠CPO 、∠DCP 、∠BOP 的数量关系．模块四真题链接【2015-2016汉阳区期中】如图所示，A (1，0)、点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，且点C 的坐标为(a ，b )，且a =b -2+2-b -3．(1)直接写出点C 的坐标；(2)直接写出点E 的坐标；(3)点P 是CE 上一动点，设∠CBP =x °，∠P AD =y °，∠BP A =z °，确定x ，y ，z 之间的数量关系，并证明你的结论．【2014-2015青山区期末】己知，在平面直角坐标系中，A (l ，a )、B (b ，1)，其中a 、b 满足2a -b -2+(a +b -7)2=0(1)求a 、b 的值(2)平移线段AB 至CD ，其中A 、B 的对应点分别为C 、D ．①若CD 所在的直线过O 点，求将线段AB 向下平移了多少个单位长度？②如图2，若C 、D 两点的坐标分别为C (0，c )、D (d ，0)，点P (m ，1)是第二象限内一点，且m 为整数，动点Q 在线段DO 上以1个单位/秒的速度从D 出发向O 运动，运动到O 点停止，若S △POQ =S △COP ，且S四边形CDOP＞2S △COP ，请求出点Q 的运动时间.课后作业【题1】平面直角坐标系中，A (a ，b )，B (2，2)，且2a +b -2+a +b -4=0(1)如图1，过点A ，作AC ⊥x 轴于C ，连接BC ，求△ABC 的面积；(2)如图2，平移线段AB ，使它的端点B 与x 轴上的点P (a ，0)对应，当线段AB 经过一次平移，扫过的平行四边形面积大于24时，求a 的取值范围。

七年级数学二元一次方程组的应用

详细描述
在建立方程组时，需要充分理解问题的实际情况和数学模型，根据已知条件和未知数的数量关系列出方程组。方程组可以是二元一次方程组、三元一次方程组等，具体形式取决于问题的复杂程度和需要求解的未知数数量。
解方程组并得出结论
总结词
通过解方程组得出未知数的值，并对结果进行解释和应用。
详细描述
解方程组是解决问题的关键步骤，可以采用代入法、消元法、矩阵法等不同的方法进行求解。得出未知数的值后，需要对结果进行解释和应用，判断其是否符合实际情况，并对结果进行合理的分析和推理，以得出最终的结论。
详细描述
消元法的基本步骤是先将两个方程进行适当的变换，消去其中一个变量，然后将得到的方程代入另一个方程中，得到一个一元一次方程，最后解这个一元一次方程得到一个变量的值，再将这个值代回原来的方程中求另一个变量的值。
图像法
总结词
通过将二元一次方程组的解在平面坐标系中表示出来，利用图像的交点求得二元一次方程组的解。
详细描述
在购物问题中，通常有两个未知数，分别代表两种商品的数量或价格。通过题目给出的信息，我们可以列出两个方程，然后解这个方程组，得出每种商品的数量或价格。
距离问题
总结词
距离问题是二元一次方程组在行程问题中的应用，主要涉及到速度、时间和距离之间的关系。
详细描述
在距离问题中，通常有两个未知数，分别代表两个物体的速度或距离。通过题目给出的信息，我们可以列出两个方程，然后解这个方程组，得出物体的速度或距离。
未来可以对二元一次方程组的解法进行深入研究，探索更加高效、精确的解法，并应用于实际问题中。
培养数学素养
通过学习和应用二元一次方程组，可以培养学生的数学思维和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

七年级数学第九章学教案二元一次方程组

七年级《数学》学教案
9．1 二元一次方程组
学习目标：
知识目标：理解二元一次方程和它的解、二元一次方程组和它的解．能力目标：会检验一对数是不是某个二元一次方程或二元一次方程组的解．
情感目标：
学习重点、难点：
学习重点：正确理解二元一次方程和它的解、二元一次方程组和它的解．
学习难点：对“元”、“次”的理解．
预习导航：（预习课本P60 —P61回答下列问题）
1．什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程的解？
2．什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？
6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是
（）
A． B．C． D．
7方程组的解是（）
A． B． C． D．
8．甲、乙两数的和是18，差是4，求这两个数．如果设甲数为x，乙数为y，请你列出x、y应当满足的二元一次方程组．
六、点滴收获：
七、布置作业：课后习题1、3 题纳的习惯，做学习的有心人．
通过完成课后作业巩固、运用所学知识．
板书设计：
x = 1
y=16
和
x+y=17
5x+3y =75
x+y=17
5x+3y=75
x=12
y=5
一、二元一次方程及其解二、.二元一次方程组及其解
1.定义 1.定义
2.解的检验： 2.解的检验：
9.1二元一次方程组学生板演区：。

二元一次方程组--辅导讲义(学)

二元一次方程组一、知识梳理知识点1. 二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．例1.方程41ax y x -=-是二元一次方程，则a 的取值为（）A 、0a ≠B 、1a ≠-C 1a ≠D 、2a ≠ 例2.若二元一次方程321x y-=有正整数解，则x 的取值应为（） A 正奇数 B 、正偶数 C 、正奇数或正偶数 D 、0例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则_____.a b +=练习 1.已知,x y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，则x y -的值为。

2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为⎩⎨⎧==32y x ，这样的方程组可以是___________. 知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．例1：解方程组：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩例2解方程组：4143314312 x yx y+=⎧⎪⎨---=⎪⎩练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。

七年级暑假复习讲义专题：-二元一次方程组

专题复习：二元一次方程组【知识概要】1.二元一次方程：像x ＋y ＝2这样的方程中含有两个未知数（x 和y ），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组：把两个方程x ＋y ＝3和2x ＋3y ＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.7.二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）8.方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

9.求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的方程。

【主要思想】一、转化思想“转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法.本章中二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”： “二元”转化为“一元”.二、方程的思想将数量关系转化为方程（组）的形式，通过解方程（组）使问题得以解决的思维形式就是方程的思想，用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多。

初一数学第9讲二元一次方程组教案

第9讲二元一次方程组教案8．1 二元一次方程组教学目标1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解．2．学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣．重点难点重点理解二元一次方程组的解的意义．难点求二元一次方程的正整数解．教学设计一、创设情境，引入新课古老的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”解：设鸡有x 只，则兔有(35－x)只，则可列方程：2x ＋4(35－x)＝94，解得：x ＝23，则鸡有23只，兔有12只．二、尝试活动，探索新知1．讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念．教师提问：上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？设有x 只鸡，y 只兔，依题意得：x ＋y ＝35 ①2x ＋4y ＝94 ②针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题：(1)你能给这两个方程起个名字吗？(2)为什么叫二元一次方程呢？(3)什么样的方程叫二元一次方程呢？教师结合学生的回答，总结定义1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移和类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念．教师追问：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程．把①、②两个二元一次方程结合在一起，用大括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝94. 学生思考，教师总结定义2：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．2．讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念．探究活动：满足x ＋y ＝35，且符合问题的实际意义的值有哪些？请填入表中．x …y …教师启发：(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？(3)它与一元一次方程的解有什么区别？教师总结定义3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，记为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b. 二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，表示“且’．三、例题讲解【例】下列各对数值中不是二元一次方程x ＋2y ＝2的解的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0解法分析：将A 、B 、C 、D 中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选D .变式练习：上题中的选项是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝－2的解的是( ) 解法分析：在例题的基础上，进一步检验A 、B 、C 、D 中各对值是否满足方程2x ＋y ＝－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程．四、巩固练习1．根据下列语句，列出二元一次方程：(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11；(2)甲数和乙数的2倍的差为17.2．方程x ＋2y ＝7在自然数范围内的解( )A ．有无数组B ．有一组C ．有两组D ．有四组3．若mx ＋y ＝1是关于x ，y 的二元一次方程，那么( )A ．m ≠0B ．m ＝0C ．m 是正有理数D ．m 是负有理数【答案】 1. (1)0.5x ＋3y ＝11 (2)x －2y ＝172. D3. A。