2019年浙江省中考数学方法技巧专题(六)中点联想训练(附解析)

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2019年浙江中考数学复习方法技巧专题六：中点联想训练(含答案)

方法技巧专题六中点联想训练1．与中点有关的定理(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(2)等腰三角形“三线合一”的性质．(3)三角形的中位线定理．(4)垂径定理及其推论．2．与中点有关的辅助线(1)构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点；取一边的中点，然后与另一边的中点相连结；过三角形一边的中点作另一边的平行线等等．(2)延长角平分线的垂线，构造等腰三角形的“三线合一”．(3)把三角形的中线延长一倍，构造平行四边形．一、选择题1．[2019·宜昌] 如图F6－1，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离．可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找出它们的中点D、E，连结DE.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( ) A．50 m B．48 mC．45 m D．35 m图F6－12．[2019·株洲] 如图F6－2，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是( )图F6－2A．一定不是平行四边形B．一定不会是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC＝BD时，它为矩形3．[2019·湖州] 如图F6－3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于( )A．1 B. 2C.32D ．2图F6－34．如图F6－4，在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )图F6－4A ．2.5 B. 5 C.322 D ．2 5．如图F6－5，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则PGPC＝( )图F6－5A. 2B. 3C.22 D.33二、填空题6．[2019·巴中] 如图F6－6，在△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC ＝________．图F6－67．[2019·宁夏] 如图F6－7在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE∥BC，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM⊥BM 时，BC 的长为________．图F6－78．[2019·天津] 如图F6－8，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F ，G 分别在边BC ，CD 上，P 为AE 的中点，连结PG ，则PG 的长为________．图F6－89．如图F6－9，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE ＝12∠BAC，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F.若BC ＝2，则EF 的长为________．图F6－9三、解答题10．[2019·徐州] 如图F6－10，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连结DO 并延长，交AB 的延长线于点E.连结BD ，EC.(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD 是矩形．图F6－1011．[2019·成都] 如图F6－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH⊥AC 于点H ，连结DE 交线段OA 于点F.(1)求证：DH 是⊙O 的切线； (2)若A 为EH 的中点，求EFFD的值；(3)若EA＝EF＝1，求⊙O的半径．图F6－1112．[2019·舟山] 如图F6－12①，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：(1)如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；(2)如图③，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；(3)在(2)的条件下求出正方形CFGH的边长．图F6－12参考答案1．B 2.C 3.A 4.B5．B [解析] 延长GP交DC于点H，则△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD.∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD＝CB，GF＝GB，∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC.∵∠ABC＝60°，∴∠GCP＝12∠BCD＝60°.∴PGPC＝ 3.故选B.6．1∶4 7.88. 5 [解析] 如图，延长GE交AB于点N，过点P作PM⊥GN于M.由正方形的性质可知AN＝AB－BN＝AB －EF ＝2，NE ＝GN －GE ＝BC －FC ＝2.根据点P 是AE 的中点及PM∥AN，可得PM 为△ANE 的中位线，所以ME ＝12NE ＝1，PM ＝12AN ＝1，因此MG ＝2.根据勾股定理可得PG ＝PM 2＋MG 2＝ 5.9.3－1 [解析] 如图，BD ＝DC ＝1，AF ＝CF ＝2，FD ＝ 3.过点F 作FG∥BC 交AB 于点G ，则GF BD ＝AF AD ，∴GF ＝2(2－3)．由GF BC ＝EFEC，得EF ＝3－1.10．解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AE ∥DC ， ∴∠EBO ＝∠DCO，∠BEO ＝∠CDO， ∵点O 是边BC 的中点，∴BO ＝CO ， ∴△EBO ≌△DCO(AAS)，∴EO ＝DO ， ∴四边形BECD 是平行四边形．(2)若四边形BECD 为矩形，则BC ＝DE ，BD ⊥AE ，又AD ＝BC ，∴AD ＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE ＝100°.11．解：(1)证明：连结OD ，如图，∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB，又∵AB＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB，∴∠ODB ＝∠ACB，∴OD ∥AC ，∵DH ⊥AC ，∴DH ⊥OD ，∴DH 是⊙O 的切线． (2)∵∠E＝∠B，∠B ＝∠C，∴∠E ＝∠C， ∴△EDC 是等腰三角形，又∵DH⊥AC，点A 是EH 中点， ∴设AE ＝x ，则EC ＝4x ，AC ＝3x ，连结AD ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BD，又∵△ABC 是等腰三角形，∴D 是BC 中点， ∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，OD ＝12AC ＝32x ，∴∠E ＝∠ODF.在△AEF 和△ODF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E＝∠ODF，∠AFE ＝∠OFD，∴△AEF ∽△ODF ，∴EF FD ＝AEOD ，∵AE OD ＝x 32x ＝23，∴EF FD ＝23. (3)设⊙O 的半径为r ，即OD ＝OB ＝r ， ∵EF ＝EA ，∴∠EFA ＝∠EAF，又∵OD∥EC，∴∠FOD ＝∠EAF，则∠FOD＝∠EFA＝∠OFD，∴DF ＝OD ＝r ，∴DE ＝DF ＋EF ＝r ＋1， ∴BD ＝CD ＝DE ＝r ＋1， ∵∠BDE ＝∠EAB，∴∠BFD ＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE， ∴BF ＝BD ＝1＋r ，∴AF ＝AB －BF ＝2OB －BF ＝2r －(1＋r)＝r －1.在△BFD 与△EFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD＝∠EFA，∠B ＝∠E，∴△BFD ∽△EFA ， ∴EF FA ＝BF DF ，∴1r －1＝r ＋1r，解得r 1＝1＋52，r 2＝1－52(舍去)． ∴⊙O 的半径为1＋52.12.解：(1)证明：如图，连结BD ， ∵C ，H 是AB ，DA 的中点，∴CH 是△ABD 的中位线， ∴CH ∥BD ，CH ＝12BD ，同理FG∥BD，FG ＝12BD ，∴CH ∥FG ，CH ＝FG ，∴四边形CFGH 是平行四边形． (2)如图所示．(3)∵BD＝5， ∴FG ＝12BD ＝52，∴正方形CFGH 的边长是52.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是（）A ．15B ．30C ．45D ．602．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（）A.10B.8C.6D.44．据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为( ) A.542.110⨯B.54.2110⨯C.64.2110⨯D.74.2110⨯5．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出cos ∠AOB 的值是（）A.34B.710C.45D.356．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝( )A ．4πB ．2πC ．πD ．23π 7．如图所示，点A ，B ，C ，D 在O 上，CD 是直径，ABD 75∠=，则AOC ∠的度数为( )A ．15B ．25C ．30D ．358．如表是小明同学参加“一分钟汉字听写”训练近6次的成绩：则这组数据的平均数和中位数分别是（） A ．245个、244个 B ．244个、244个 C ．244个、241.5个D ．243个、244个91导致乘积减小最大？( )A B C D10．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a+b ＞0；②a+c ＜0；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣5a 2＞2ac ．其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②③④11．如图，一段抛物线293y x x =-+（-3≤≤）为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为12D D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象.垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()P x y ，，与线段12D D 交于点333()Px y ，，且1x ，2x ，3x 均为正数，设123t x x x =++，则t 的最大值是（）A ．15B ．18C ．21D ．2412．若a ＜b ，则下列结论不一定成立的是（） A ．a ﹣2＜b ﹣2 B ．﹣a ＞﹣bC ．33a b< D ．a 2＜b 2二、填空题13．如图，将边长为2m 的正六边形铁丝框ABCDEF 変形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB （阴影部分）的面积_____．14．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，DE ＝4BE ，连接CE ，过点E 作EF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，若AF ＝8，则正方形ABCD 的边长为_____．15．如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是_____．16在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．17．分解因式：x2﹣4=_____．18．圆锥形冰淇淋的母线长是12cm，侧面积是60πcm2，则底面圆的半径长等于_____．三、解答题19．在△ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A、C且与边AB、BC分别交于点D、E，点F是AC上一点，»»=，DE AF连接CF、AF、AE．（1）求证：△ACF≌△BAE；（2）若AC为⊙O的直径，请填空：①连接OE、DE，当△ABC的形状为时，四边形OADE为菱形；②当△ABC的形状为时，四边形AECF为正方形．20．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点E，且BE＝CE．（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝6，ED＝2，求AE的长．22．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝12，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．23．如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF．请说明四边形BFDE是平行四边形．24．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛五，羊二，直金十二两.牛二，羊五，直金九两，牛羊各直金几何？”意思是：5头牛，2只羊共价值12两“金”.2头牛，5只羊共价值9两“金”.求每头牛，每只羊各价值多少两“金”？25．在如图所示的5×5的方格中，我们把各顶点都在方格格点上的三角形称为格点三角形．如图1是内部只含有1个格点的格点三角形．设每个小正方形的边长为1，完成下列问题：（1）在图甲中画一个格点三角形，使它内部只含有2个格点，并写出它的面积．（2）在图乙中画一个面积最大的格点三角形，使它的内部只含有A，B，C这3个格点（图乙中已标出），并写出它的面积．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．8m 2．14．51516．x≥317．（x+2）（x ﹣2）18．5cm.三、解答题19．（1）详见解析；（2）①等边三角形；②当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形AECF 为正方形.【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形性质可得CFA AEB ∠∠＝，由“AAS ”可证ACF BAE ∆∆≌；（2）① 四边形OADE 为菱形，可得OA OE DE AD ＝＝＝，可得AOD DOE ∆∆，都是等边三角形，可求120AOE ∠︒＝，可得60ACB ∠︒＝，即可求解；② 四边形AECF 为正方形，90FCE FAE F AF CF ∠︒∠∠＝＝＝，＝，可证ACF BAE ∆∆≌，可得45EAD FCA ∠∠︒＝＝，可得90CAB ∠︒＝，即可求解. 【详解】证明：（1）∵四边形AECF 是圆内接四边形CFA AEB ∴∠∠＝DE AF =ACF DAE CFA AEB AB AC ∴∠∠∠∠＝，且＝，＝ACF BAE AAS ∴∆∆≌（）（2）①如图：若四边形OADE 为菱形；OA OE DE AD ∴＝＝＝OA OD AD OE OD DE ∴＝＝，＝＝AOD DOE ∴∆∆，都是等边三角形60AOD DOE ∴∠∠︒＝＝120AOE ∴∠︒＝2AOE ACB ∠∠＝60ACB AC AB ∴∠︒＝，且＝∴△ABC 是等边三角形，∴当△ABC 是等边三角形时，四边形OADE 为菱形；故答案为：等边三角形②若四边形AECF 为正方形，90FCE FAE F AF CF ∴∠︒∠∠＝＝＝，＝45FAC FCA CAE ∴∠∠︒∠＝＝＝ACF BAE ∆∆≌45EAD FCA ∴∠∠︒＝＝90CAB AC AB ∴∠︒＝，且＝，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形AECF 为正方形，【点睛】本题主要考查了圆的综合，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，正方形的性质，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是解题关键.20．该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4合理．【解析】【分析】过点A 作BC 的平行线AG ，过点E 作EH ⊥AG 于H ，则∠BAG ＝90°，∠EHA ＝90°．先求出∠AEH ＝53°，则∠EAH ＝37°，然后在△EAH 中，利用正弦函数的定义得出EH ＝AE•sin∠EAH ，则栏杆EF 段距离地面的高度为：AB+EH ，代入数值计算即可．【详解】解：如图，过点A 作BC 的平行线AG ，过点E 作EH ⊥AG 于H ，则∠EHG＝∠HEF＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，∠EAH＝37°，在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），∵AB＝1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92＞1.9米．∴该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4合理．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．21．（1）AD⊥BC，理由见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）如图，连接OB、OC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）设半径OC＝r，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）AD⊥BC，理由：如图，连接OB、OC，在△BOE与△COE中，BE CE OE OE OB OC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BOE≌△COE（SSS），∴∠BEO＝∠CEO＝90°，∴AD⊥BC；（2）设半径OC＝r，∵BC＝6，DE＝2，∴CE＝3，OE＝r﹣2，∵CE 2+OE 2＝OC 2，∴32+（r ﹣2）2＝r 2，解得r ＝134， ∴AD ＝132， ∵AE ＝AD ﹣DE ，∴AE ＝132﹣2＝92．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．(1)直线EF 的解析式为y ＝；(2)AM ＝(3)满足条件的点P 的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．【解析】【分析】(1)过点E 作EH ⊥OA 于点H,进而求出点E 的坐标,再根据勾股定理求出OF 的值,然后利用待定系数法,即可求出直线EF 的解析式(2)作MN ⊥AM 交x 轴于点N,此时△AEM ≌△NOM,得到AE=ON=4,△AMN 是等腰直角三角形,即可求出AM 的长;(3)根据点F 落在y 轴正半轴上,通过改变正方形的边长,画出直线AE 与直线FG 相交的点P,并判断△OEP的其中两边之比能否为2:1,当△OEP :1时,再通过分类讨论确定出图形,根据图形性质,利用勾股定理、相似三角形、三角函数等知识求得点P 的坐标【详解】(1)∵OE ＝OA ＝8，α＝45°，∴E(﹣，F(0，)，设直线EF 的解析式为y ＝kx+b ，则有b b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线EF 的解析式为y ＝．(2)如图3中，作MH ⊥OA 于H ，MK ⊥AE 交AE 的延长线于K ．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝12AEOA=，OA＝8，∴AE＝4，∵四边形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四点共圆，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝．(3)如图2中，设F(0，2a)，则E(﹣a，a)．∵A(﹣8，0)，E(﹣a，a)，∴直线AP的解析式为y＝888a axa a+--，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由22424,84884a ay x a xa ay x a aa a y⎧-=-+=⎧⎪⎪⎪⎨⎨=++⎪⎪--⎩=⎪⎩解得，∴P(2244,44a a a a-+)．①当POOE时，∴PO2＝2OE2，则有：2222(4)(4)1616a a a a-++＝4a2，解得a＝4或﹣4(舍弃)或0(舍弃)，此时P(0，8)．②当PO PE时，则有：2222(4)(4)1616a a a a-++＝2[(22244+)44a a a aa a-++-（)2]，解得：a＝4或12，此时P(0，8)或(﹣24，48)，③当PE EO时，[(22244+)44a a a aa a-++-（)2]＝4a2，解得a＝8或0(舍弃)，∴P(﹣8，24)综上所述，满足条件的点P的坐标为(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．【点睛】本题考査了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线23．证明见解析.【解析】【分析】连接BD，利用对角线互相平分来证明即可．【详解】证明：连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)又∵AE＝CF∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．24．每头牛价值2两“金”，每只羊价值1两“金”.【解析】【分析】设每头牛价值x两“金”，每只羊价值y两“金”.由题意，得5212,259,x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组可得.【详解】设每头牛价值x两“金”，每只羊价值y两“金”.由题意，得5212,259,x yx y+=⎧⎨+=⎩解得2,1.xy=⎧⎨=⎩答：每头牛价值2两“金”，每只羊价值1两“金”.【点睛】考核知识点：二元一次方程组的应用.理解题意，列出方程是关键.25．（1）见解析，S△ABC＝3；（2）见解析，最大面积为8【解析】【分析】（1）根据要求画出三角形即可（大不唯一）．（2）根据要求画出图形即可解决问题．【详解】解：（1）如图（甲）中，△ABC即为所求．S△ABC＝×2×3＝3．（2）如图（乙）中，△DEF即为所求，最大面积为8【点睛】此题考查了作图-位似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC的长是( )A.4B.5C.6D.72．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知抛物线y＝﹣x2+bx+2﹣b在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6，则b的值为（）A．﹣1或2 B．2或6 C．﹣1或4 D．﹣2.5或84．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）A.1B.C.D.5．方程组的解是( )A. B. C. D.6．如图，在△ABC中，D、F分别是AB、BC上的点，且DF∥AC，若S△BDF：S△DFC=1：4，则S△BDF：S△DCA=（）A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：247．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．①②③D ．②③④8．如图，在△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ．甲、乙两人想在BC 上取一点P ，使得∠APC ＝2∠ABC ，其作法如下：（甲）作AB 的中垂线，交BC 于P 点，则P 即为所求；（乙）以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于P 点，则P 即为所求．对于两人的作法，下列判断何者正确？（）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确 9．如果a 2+2a ﹣1＝0，那么代数式(a ﹣4a )•22a a -的值是( )A.1B.12 D.210．一个不透明的袋子中装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，先从袋子中随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从袋子中随机摸出一个小球记下标号；把第一次摸出的小球标号作为十位数字，第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是3的倍数的概率是（）A ．14B ．13C ．512D ．51611．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（） A ．﹣16 B ．16 C ．﹣6 D ．6 12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 平分∠ABC ，点A 是BE 的中点．若∠D ＝110°，则∠AEB 的度数是( )A ．30°B ．35°C ．50D ．55°二、填空题13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，tanD ＝34，点E 在BC 上运动（不与B ，C 重合），将四边形AECD 沿直线AE 翻折后，点C 落在C′处，点D′落在D 处，C′D′与AB 交于点F ，当C′D'⊥AB 时，CE 长为_____．14．如图，已知▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，∠BAC ＝90°，E 、F 分别是AB ，BC 上的动点，EF ⊥BC ，△BEF 与△PEF 关于直线EF 对称，若△APD 是直角三角形，则BF 的长为_____．15．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是优弧AB 上的一个动点，若∠P ＝40°，则∠ACB ＝_____°．16．圆的内接四边形ABCD ，已知∠D=95°, ∠B=__________ .17．若关于x 的一元二次方程()2k 1x 4x 10-++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 18．已知关于x 的方程212mx x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______．三、解答题19．如图，旗杆AB 的顶端B 在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D 处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A 处测得点D 的仰角为15°，AC ＝10米，又测得∠BDA ＝45°．已知斜坡CD 的坡度为i ＝1AB 1.7≈，结果精确到个位）．20．计算：（﹣12）21）0+|1﹣2| 21．如图，抛物线y=-x 2+4x-1与y 轴交于点C ，CD ∥x 轴交抛物线于另一点D ，AB ∥x 轴交抛物线于点A ，B，点A在点B的左侧，且两点均在第一象限，BH⊥CD于点H．设点A的横坐标为m．（1）当m=1时，求AB的长.（2）若（CH-DH），求m的值.22．计算：|﹣﹣（2019﹣π）023．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，连接AC，BC．该函数在第一象限内的图象上是否存在一点D，使得CB平分∠ACD？若存在，求点D的坐标，若不存在，说明理由．2410 1|3|5( 3.14) 2π-⎛⎫--⨯--⎪⎝⎭25．为了了解八年级学生参加社会实践活动情况，某区教育部门随机调查了本区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（I）本次接受随机抽样调查的学生人数为_______________，图①中的m的为______________（Ⅱ）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；（Ⅲ）若该区八年级学生有300人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数。

热点突破-与中点有关的联想(初中几何证明)

10，则EF的长为⁠ 4
⁠.
例2题图
模型解读
遇到直角三角形斜边的中点：连中线构造斜边上的中线.
结论：出现两个等腰三角形.
变式2
如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，
CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点.若BC＝
10，DE＝6，则△MDE的面积为⁠ 12
变式2题图ຫໍສະໝຸດ ⁠.类型三见多个中点，联想到中位线
A.3
B.4
第4题图
C.2
B ）
D.3 ��
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC

的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是⁠
第5题图
⁠.
6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG
上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长
是⁠ ⁠.
第6题图
⁠
2MN＝6.∴AC＝AD＋DC＝16.
类型四
见中线
联想
倍长中线
典例精讲
例4 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，
BD⊥BC，∠ABC＝120°，AB＝8，则BC的长为
（
B ）
例4题图
A.3
B.4
C.5
D.6
变式4
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC
的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD，
的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF＝（
A.2
B.8
第1题图
C.4
A
D.1
）
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝
2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则AE

中点联想

中点联想线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．基本图形：解读：（一）遇到中点时常见的五种思路：1.遇到等腰三角形底边的中点时考虑：三线合一2.遇到直角三角形斜边的中点时考虑：斜边的中线等于斜边的一半。

3.遇到三角形一边上的中线时考虑：倍长中线4.遇到平行线所截线段的中点时考虑：类倍长中线5.多个中点考虑（或构造）：中位线（二）例题：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A． B． C． D．2.如图, 在△ABC中,BE,CF分别为边AC，AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。

求证：D M⊥EF3.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．（三）练习1.已知，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A 的直线MN//BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF。

求证：DE=DF2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=FDC．3.如图, 在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°，O为BC的中点。

如果点M,N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保证AN=AM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

4.如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，求FG的长．5. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，点E为DC的中点，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.6. 如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AB、AC的中点，求证：AD与EF互相平分.7.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE 的中点.（1）求证BF⊥DF(用两种方法正明)（2）若AB=8,AD=6,求DF的长.8．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE ⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ∙∙（四）中考重现1.如图，已知：在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线l经过点B，且直线l绕着点B旋转，AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，连接OM，ON（1）当直线l经过点D时，如图1，则OM、ON的数量关系为；（2）当直线l与线段CD交于点F时，如图2（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）当直线l与线段DC的延长线交于点P时，请在图3中做出符合条件的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立？不必说明理由．2.如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．3.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）4..如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=AC，CD=CE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．。

专题22 关于中点的联想_答案

专题22 关于中点的联想例1 、6例2 B 提示：取CG 的中点T ，连MT ，NT ，则12MT =，2NT =，∠90MTN =? 例3 提示：取AC 中点F ，连BF ，证明BF CE =例4 （1）四边形EFGH 为菱形；（2）成立，连AD ，BC ，由APD D≌CPB D ，得AD BC =，又12EF BC =， 12FG AD =，12HG BC =，12EH AD =，则EF FG GH HE ===，故四边形EFGH 为菱形；（3）四边形EFGH 是正方形例5 证明：延长BD 至P ，使D P D B =，延长CE 至Q ，使E Q E C =，连AP ，AQ ，PCA B A P = ，AC AQ =，∠PAC =∠BAQ ，ABQ \D≌APC D ，有PC BQ =，又 MD ，ME 分别是BPC D与BQC D 的中位线，12MD PC \=，12ME BQ =，故 MD ME =例6 （1）如图a ，b ，CPM D ，CNQ D 皆为等腰三角形，连CE ，CF ，则CE ⊥PM ，CF ⊥NQ（2）如图c ，分别延长CE ，CF 交AB 于S ，R ，则EF ∥12RSA 级1.平行四边形（1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对角线互相垂直且相等2.303.64.30230cm 5.D 6.C 7.C 8.C 9.提示：取AC 中点N ，连结MN ，DN ，则12MN AB =，证明DM MN = 10.提示：取BC 中点R ，连结MR ，NR ，则MR NR = 11.（1）略（2）连MB ，MD ，则四边形BCDM 为平行四边形，可证明FBM D≌MDH D ，则 FM MH =，∠BFM =∠DMH ，延长AC 交MH 于S ，则∠DMH =∠CSM ∠BFM ，则∠FBC =∠90FMH =?，故∠FMH 是等腰直角三角形（3）是12.如图，作□ABPF ，连接DP ，取DP 的中点M ，则四边形BCDP 是梯形，连接1B M ， 1E M ，由梯形中位线定理知，1B M ∥CD ∥BP ∥AF ，1ME ∥DE ∥FP ∥AB ，且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，同理作□BCDO ，取OF 的中点N ，连接1A N ，1D N ，由梯形中位线定理知，1A N ∥AF ∥BO ∥CD ， 1ND ∥EF ∥OD ∥BC且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DE D N +++===，在11B ME D 与11A ND D 中，11B M A N =，11E M D N =。

中考数学和中点有关的问题

点p是矩形abcd对角线ac所在直线上的一个动点点p不与点ac重合分别过点ac向bp做垂线垂足分别为点ef点o是ac中点
与“中点”有关的几何问题
问题：由“中点”你能想到什么？
1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”性质；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
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谢谢聆听、谢谢参与！
3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4.两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联
想“八字型”全等三角形）；
5.有中点时常联想构造垂直平分线； 6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7.联想倍长中线； 8.联想中心对称。
学以致用：
例1 如图，在△ABC中，BE是
AC边上的高，CF是AB边上的
高，D是BC边上的中点，连接 EF，点H是EF的中点. 探究：DH与EF的位置关系．
学以致用：
例2 点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向BP 做垂线，垂足分别为点E、F,点O是AC中点。（1）如图1，如果点P与点O 重合时，请你判断 OE与OF的数量关系；
学以致用：
例2 点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向BP 做垂线，垂足分别为点E、F,点O是AC中点。
（2）如图2，当点P运动到如图2的位置时，（1）中结论还成立吗？
学以致用：
如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

由中点想到什么

由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法．【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( )A．AB=MN B．AB>MN C．AB<MN D．上述三种情况均可能出现(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．(浙江省宁波市中考题)思路点拨联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．(2003年黑龙江省中考题)思路点拨图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ． (2001年天津赛区试题)思路点拨通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口．注需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．学历训练1．BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，则GH= ．(2003年广西中考题)（第1题）（第2题）（第3题）2．如图,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分别是AB、AC的中点，则112aD E=；若 D2、E2分别是D1B、E1C的中点，则2213()224aD E a a=+=：若 D3、E3分别是D2B、E2C的中点.则33137 () 248D E a a a=+=……若Dn、En分别是D n-1B、E n-1C的中点，则DnEn= (n ≥1且 n为整数). (200l年山东省济南市中考题)3．如图，△ABC边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是．4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位线的长等于cm．(2002年天津市中考题)5．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A．40 B．48 C 50 D．56（第4题）（第5题）（第6题）6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若AD=6cm，BC=18㎝，则EF的长为( )A．8cm D．7cm C．6cm D．5cm7．如图，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB的长为6，则梯形ABCD的中位线长为( )A．不能确定B．23C．3D．3+1(2001年浙江省宁波市中考题)（第7题）（第9题）（第10题）8．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④. (2001年江苏省苏州市中考题)9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ． (2003年上海市中考题)10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系．12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．(2002年四川省竞赛题)（第12题）（第13题）（第14题）13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．(重庆市竞赛题)14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255 C ．32 D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( ) A ．1 D ．2 C ．3 D ．3（第15题）（第16题）（第17题） 17．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．(2003年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明你的结论．(山东省竞赛题)20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE，设M为D正的中点．(1)求证：MB=MC；(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB；MC是否还能成立?并证明其结论．(江苏省竞赛题)21．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CC l、DD l，垂足分别为A l、B1、C l、D1．(1)求证AA1+ CC l = BB1 +DD l；(2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD l之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?(作者不详）。

初中几何“中点问题”解题技巧总结实例

初中几何“中点问题〞解题技巧总结实例
模型一：多其中点出现或平行＋中点〔中点在平行线上〕时，常考虑或结构三角形中位线
练一练
答案：
模型二：直角三角形中碰到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半〞
练一练
答案：
模型三：等腰三角形中碰究竟边上的中点，常联想“三线合一〞的性质
练一练
答案：
模型四：碰到三角形一边垂线过这边中点时，能够考虑用垂直均分线的性质
练一练
答案：
模型五：中线均分三角形面积
练一练
模型六：圆中弦〔或弧〕的中点，考虑垂径定理及圆周角定理
练一练
模型七：碰到三角形一边上的中点〔中线或与中点相关的线段〕，考虑倍长中线法结构全等三角形
练一练
答案：。

关于中点的联想

北京师范大学出版社八年级下册专题：关于中点的联想一．教材分析本课内容是北师大版八年级下第六章《平行四边形》整章学完后增设的一节专题课．经过两年的学习，我们已经掌握了很多关于中点的知识，比如直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，三角形的中位线，利用旋转思想构造全等三角形等。

那么我们在遇到有关中点信息的问题时应该如何去选取最佳途径来解决问题呢，这是一个很值得研究的问题。

所以通过该专题的探究，可以帮助学生把相关知识归纳起来，形成知识的系统性，进一步提高几何分析能力。

二．学情分析通过初一学年的学习，学生已经掌握了中点的概念，也在日常的具体实践中，熟悉了利用中点构造全等三角形来解题这一基本方法。

通过对初二下期第一章《三角形的证明》的学习，学生掌握了“等腰三角形三线合一”和“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的知识，通过第六章《平行四边形》的学习，学生也已掌握了平行四边形的相关知识。

这些学习都为本节课的探究奠定了知识基础。

在平时的几何教学中，教师非常注重对学生分析问题的能力的培养，注意引导学生用科学的思考方式来分析问题，所以学生已具备较为科学的思维方式。

但是，学生通过解题经验的积累形成的解题习得显得琐碎、零散，不够系统。

三．目标及重难点分析教学目标分析1．通过课前学生的自学探究，小组讨论，培养学生主动学习，归纳总结，分享交流的能力。

2．促使学生对中点的相关知识进行归纳总结，以便于在遇到有关中点的问题时能合理地进行探索。

3．启发学生在思考问题时，通过中点联想，有效的利用条件和结论，多角度思考问题，寻找适当的解决问题的途径。

4.培养学生在较复杂的图形中，找到问题的入手点，全面分析，合情推理的能力。

教学重点：归纳有关中点的知识，合理利用这些知识解决相关的问题。

教学难点：在分析几何问题的过程中采用科学的分析方法，有效的建立起已知和未知的联系，寻找出适当的解决问题的方法。

四．教法与学法1.教法:探究法、问题化教学．2.学法:小组学习、归纳总结、应用实践．五．课前准备多媒体课件，学案．六．教学过程设计本节课分成六个环节：（1）温故知新（2）课前学习交流；（3）例题解析；（4）提高练习；（5）课堂小结；（6）课后作业．六．板书设计。

浙江省2019届中考数学复习题方法技巧专题训练(10套,Word版,含答案)

方法技巧专题(一) 数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3.[2017·怀化] 一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则△AOB的面积是()A.B.C.4D.84.[2018·仙桃] 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.[2018·白银] 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x 轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()图F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.[2018·白银] 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4),则关于x的不等式组的解集为.图F1-59.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得:+++…+= .10.当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1=,b2+1=,则2018|a-b|= .12.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1= .14.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B[解析] 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4,所以n=7.4,故④错误.综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B.5.B[解析] 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图①,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);(2)如图②,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B.6.A[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即x=-=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0,∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0,∴③错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m 时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),∴④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,根据抛物线的对称性可知,当-1<x<0时,也有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,∴⑤错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2<x<2[解析] ∵y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-n-2=-4,解得n=2.∴P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m<-x-2的解集为x<2.解不等式-x-2<0可得x>-2.∴不等式组的解集是-2<x<2.9.1-10.311.112.1或2[解析] 画出函数解析式的图象,要使y=k成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=k这条直线有3个交点.函数y=的图象如图.根据图象知道当y=1或2时,对应成立的x值恰好有3个,∴k=1或2.故答案为1或2. 13.解:(1)1+3+5+7=16=42.观察,发现规律,第一个图形:1+3=22,第二个图形:1+3+5=32,第三个图形:1+3+5+7=42,…,第(n-1)个图形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.故答案为:42n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第(n+1)行,(n+2)行到(2n+1)行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)+[(2n-1)+…+5+3+1]=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.故答案为:2n+12n2+2n+1.14.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图,易知抛物线与y轴交于点(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.方法技巧专题(二) 分类讨论思想训练【方法解读】当数学问题中的某一条件模糊而不确定时,需要对这一条件进行分类讨论,然后逐一解决.常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等.1.点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,点C不与A,B重合,则∠ACB的度数为 ()A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°2.[2018·山西权威预测] 已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或43.[2018·枣庄] 如图F2-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连结PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P 有()图F2-1A.2个B.3个C.4个D.5个4.[2018·鄂州] 如图F2-2,已知矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2 cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是()图F2-2图F2-35.[2018·聊城] 如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.6.[2018·安徽] 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.7.如图F2-4,已知点A(1,2)是反比例函数y=图象上的一点,连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是.图F2-48.[2017·齐齐哈尔] 如图F2-5,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图F2-59.[2017·义乌] 如图F2-6,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个,则x的值是.1.D2.A[解析] 解方程组得当2作为腰长时,等腰三角形的周长为5;当1作为腰长时,因为1+1=2,不满足三角形的三边关系.故等腰三角形的周长为5.3.B[解析] 如下图,设每个小矩形的长与宽分别为x,y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是长与宽为2∶1的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2,过点A与AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个.故选B.4.A[解析] 由题意可知,0≤t≤4,当0≤t<2时,如下图,S=BP·CQ=t·2t=t2;当t=2时,如下图,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=BP·CQ=×2×4=4;当2<t≤6时,如下图,点Q在AD上运动,S=BP·CD=t·4=2t.故选A.5.180°或360°或540°[解析] 如图,一个正方形被截掉一个角后,可能得到如下的多边形:∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.6.3或[解析] 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=DC=3.(2)如图,若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD==10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴==,∴PE=CD=.综上所述,PE的长为3或.7.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)8.10或4或2[解析] 在△ABC中,∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,∴AD==8.∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=4.(3)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.9.x=0或x=4-4或4<x<4[解析] 根据OM=x,ON=x+4,可知MN=4.作MN的垂直平分线,该线与射线OB始终有一个公共点,分别以点M,N为圆心,4为半径画圆,观察两圆与射线OB 的交点情况:(1)当☉N与射线OB没有公共点,☉M与射线OB有两个公共点时,满足题意,如图①,此时4<x<4.(2)当☉N与射线OB相切,只有一个公共点时,☉M与射线OB也只有一个公共点时,也满足题意,如图②,此时x=4-4;(3)当☉N与射线OB有两个公共点时,此时☉M与射线OB只有一个公共点,因此当☉N与射线OB有两个公共点时,必须出现不能与点M,N构成三角形的一个点,也能满足题意,如图③,此时x=0.方法技巧专题(三) 整体思想训练【方法解读】整体思想是研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.1.[2018·乐山] 已知实数a,b满足a+b=2,ab=,则a-b=()A.1B.-C.±1D.±2.[2018·泸州] 如图F3-1,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为()图F3-1A.20B.16C.12D.83.[2018·济宁] 如图F3-2,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是()图F3-2A.50°B.55°C.60°D.65°4.[2018·襄阳] 如图F3-3,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3 cm,△ABD的周长为13 cm,则△ABC的周长为()图F3-3A.16 cmB.19 cmC.22 cmD.25 cm5.[2018·岳阳] 已知a2+2a=1,则3(a2+2a)+2的值为.6.[2018·扬州] 若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为.7.[2018·成都] x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为.8.[2018·江西] 一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则-4x1+2x1x2的值为.9.[2018·黄冈] 若a-=,则a2+的值为.10.计算(1----)(++++)-(1-----)(+++)的结果是.11.先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.12.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求下列各式的值:(1)a2+b2和ab;(2)a4+b4;(3)+.参考答案1.C[解析] ∵a+b=2,∴(a+b)2=4,即a2+2ab+b2=4,又∵ab=,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4×=1,∴a-b=±1.故选C.注:此题把“a+b”,“ab”分别当作整体.2.B[解析] 因为▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,所以O为AC的中点.又因为E是AB的中点,所以AE=AB,EO是△ABC的中位线,所以EO=BC.因为AE+EO=4,所以AB+BC=2(AE+EO)=8.在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,所以周长为2(AB+BC)=2×8=16.故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.3.C[解析] 根据五边形的内角和等于540°,由∠A+∠B+∠E=300°,可求∠BCD+∠CDE的度数,再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和,进一步求得∠P的度数.∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°.∵∠BCD,∠CDE的平分线在五边形内相交于点P,∴∠PDC+∠PCD=(∠BCD+∠CDE)=120°,∴∠P=180°-120°=60°.故选C.注:此题把“∠BCD+∠CDE”当作整体.4.B[解析] 由尺规作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD,AC=2AE=6(cm),∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13 cm,∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19(cm).故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.5.5[解析] ∵a2+2a=1,∴3(a2+2a)+2=3+2=5.注:此题把“a2+2a”当作整体.6.2018[解析] 由题意可知:2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=3(2m2-3m)+2015=2018,故答案为2018.注:此题把“2m2-3m”当作整体.7.0.36[解析] ∵x+y=0.2①,x+3y=1②,①+②,得2x+4y=1.2,∴x+2y=0.6,∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.36.注:此题把“x+y”“x+3y”“x+2y”分别当作整体.8.2[解析] ∵x2-4x+2=0的两根为x1,x2,∴x1x2=2,-4x1+2=0,即-4x1=-2,∴-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.9.8[解析] ∵a-=,∴原式=a2+-2·a·+2·a·=(a-)2+2=()2+2=8.注:此题把“a-”当作整体.10.[解析] 设+++=a,则原式=(1-a)·(a+)-(1-a-)=+a-a2-a+a2=.注:此题中的整体是“+++”.11.解:原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m-1).∵m是方程x2+x-2=0的根,∴m2+m-2=0,∴m2+m=2,∴原式=2×(2-1)=2.注:此题把“m2+m”当作整体.12.解:(1)依题意得a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=3②.①+②,得2(a2+b2)=10,即a2+b2=5.①-②,得4ab=4,即ab=1.(2)a4+b4=(a2+b2)2-2(ab)2=52-2×12=25-2=23.(3)原式=+===.注:此题把“ab”“a2+b2”分别当作整体.方法技巧专题(四) 构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.1.[2018·自贡] 如图F4-1,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连结OB,OC,则边BC 的长为()图F4-1A.RB.RC.RD.R2.[2018·遵义] 如图F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数的解析式为()图F4-2A.y=-B.y=-C.y=-D.y=3.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根分别为α,β,且α<β,则α,β满足()A.1<α<β<2B.1<α<2<βC.α<1<β<2D.α<1且β>24.如图F4-3,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于.图F4-35.[2018·扬州] 如图F4-4,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB= .图F4-46.[2018·滨州] 若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于a,b的二元一次方程组的解是.7.[2018·扬州] 问题呈现如图F4-5①,在边长为1的正方形网格中,连结格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan ∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连结DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为;(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N,使BN=2BC,连结AN交CM 的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图F4-5参考答案1.D[解析] 如图,延长CO交☉O于点D,连结BD,∵∠A=60°,∴∠D=∠A=60°.∵CD是☉O的直径,∴∠CBD=90°.在Rt△BCD中,sin D===sin 60°=,∴BC=R.故选D.注:此题构造了直角三角形.2.C[解析] 如图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.由三垂直模型,易得△BNO∽△OMA,相似比等于,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,所以=tan 30°=,所以=.因为点A在双曲线y=上,所以S△OMA=3,所以S△BNO=1,所以k=-2.即经过点B的反比例函数的解析式为y=-.故选C.注:此题构造了相似三角形.3.D[解析] 一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根实质上是抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m两个交点的横坐标.如图,显然α<1且β>2.故选D.注:此题构造了二次函数.4.15[解析] 分别将线段AB,CD,EF向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为8,则EF=2,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注:此题构造了等边三角形.5.2[解析] 如图,在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,OA,OB,∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=2.故答案为2.注:此题构造了直角三角形.6.[解析] 根据题意,对比两个方程组得出方程组所以注:此题构造了一个二元一次方程组.7.[解析] (1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出MN和DM的值,即可求出tan∠CPN的值;(2)仿(1)的思路作图,即可求解;(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可.解:(1)由勾股定理得:DM=2,MN=,DN=.∵(2)2+()2=()2,∴DM2+MN2=DN2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM===2,∴tan∠CPN=2.(2)如图,取格点D,连结CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.易得△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=cos 45°=.(3)构造如图网格,取格点Q,连结AQ,QN.易得PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.方法技巧专题(五) 转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.1.[2018·铜仁] 计算+++++…+的值为()A.B.C.D.2.[2018·嘉兴] 欧几里得的《原本》记载形如x2+ax=b2的方程的图解法:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正根是()图F5-1A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长3.[2018·东营] 如图F5-2,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()图F5-2A.3B.3C.D.34.[2018·白银] 如图F5-3是一个运算程序的示意图,若开始输入的x的值为625,则第2018次输出的结果为.5.[2018·广东] 如图F5-4,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连结BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)图F5-46.[2018·淄博] 如图F5-5,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为.图F5-57.如图F5-6①,点O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE.(1)求证:DE⊥AG.(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如图②.①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数;②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.图F5-61.B[解析] ∵==1-,==-,==-,==-,==-,…,==-,∴+++++…+=1-+-+-+-+-+…+-=1-=.故选B.2.B[解析] 利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+2=b2+,解得x=-或x=--(舍去).根据勾股定理得AB=,由题意知BD=.根据图形知道AD=AB-BD,即AD的长是方程的一个正根.故选B.3.C[解析] 将圆柱沿AB侧面展开,得到矩形,如图,则有AB=3,BC=.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===.故选C.4.1[解析] 当x=625时,代入x得x=×625=125,输出125;当x=125时,代入x得x=×125=25,输出25;当x=25时,代入x得x=×25=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;当x=1时,代入x+4得x+4=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;…观察发现从第4次以后奇数次就输出5,偶数次就输出1.因此,第2018次输出的应是1.5.π[解析] 连结OE,易证四边形ABEO为正方形,则扇形OED的圆心角为90°,半径为2,因此可求扇形OED的面积,阴影面积看成正方形ABEO的面积+扇形OED的面积-△ABD的面积,正方形ABEO、扇形OED和△ABD的面积均可求,即可求得阴影部分的面积.6.9+[解析] 如图,将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,连结PH,作AI⊥CH交CH的延长线于点I,易知△APH为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4.PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=,HI=,∴CI=+4,∴AC2=2++42=25+12,∴S△ABC=AC2=(25+12)=9+.7.解:(1)证明:如图,延长ED交AG于点H.∵点O为正方形ABCD对角线的交点,∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.∵四边形OEFG为正方形,∴OG=OE,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°.∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:(i)α由0°增大到90°的过程中,当∠OAG'为直角时,∵OA=OD=OG=OG',∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O==,∴∠AG'O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG',∴OD∥AG'.∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°,所以α=180°-30°=150°.综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或150°.②AF'长的最大值是2+,此时α=315°.理由:当AF'的长最大时,点F'在直线AC上,如图所示.∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=,AO=OD=.∴OE'=E'F'=2OD=.∴OF'==2.∴AF'=AO+OF'=+2.∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.方法技巧专题(六) 中点联想训练【方法解读】1.与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.(4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线:(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”.(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1.[2018·南充] 如图F6-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为()图F6-1A.B.1 C.D.2.[2017·株洲] 如图F6-2,点E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,则下列关于四边形EFGH的说法正确的是()图F6-2A.一定不是平行四边形B.一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它为矩形3.[2018·荆门] 如图F6-3,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()图F6-3A.πB.πC.1D.24.如图F6-4,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()图F6-4A.2.5B.C.D.25.[2018·眉山] 如图F6-5,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF,BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的结论有()图F6-5A.1个B.2个C.3个D.4个6.[2018·苏州] 如图F6-6,在△ABC中,延长BC至点D,使得CD=BC.过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD.连结DF,若AB=8,则DF的长为.图F6-67.[2018·天津] 如图F6-7,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF ⊥AC于点F,G为EF的中点,连结DG,则DG的长为.图F6-78.[2018·哈尔滨] 如图F6-8,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连结EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为.图F6-89.[2018·德阳] 如图F6-9,点D为△ABC的AB边上的中点,点E为AD的中点,△ADC为正三角形,给出下列结论,①CB=2CE,②tan B=,③∠ECD=∠DCB,④若AC=2,点P是AB上一动点,点P到AC,BC边的距离分别为d1,d2,则+的最小值是3.其中正确的结论是(填写正确结论的序号).图F6-910.[2017·徐州] 如图F6-10,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E.连结BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°,则当∠BOD= °时,四边形BECD是矩形.图F6-1011.[2017·成都] 如图F6-11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连结DE交线段OA于点F.(1)求证:DH是☉O的切线;(2)若A为EH的中点,求的值;(3)若EA=EF=1,求☉O的半径.图F6-1112.[2018·淄博] (1)操作发现:如图F6-12①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN,小明发现:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.图F6-12参考答案1.B[解析] 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=4,CD=AB,∴CD=×4=2.∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF=CD=×2=1.故选B.2.C3.C[解析] 如图,连结OM,CM,OC.∵OQ⊥OP,且M是PQ的中点,∴OM=PQ.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=PQ,∴OM=CM,∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分线上.∵当点P在A点时,点M为AC的中点,当点P在C点时,点M为BC的中点,∴点M所经过的路线长为AB=1.故选C.4.B5.D[解析] 如图①,连结AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证△ADF≌△MCF,∴AF=MF,AD=MC.又∵AD=BC,DC=AB=2AD,∴AB=BM,∴∠ABC=2∠ABF,故①正确.如图②,延长EF,BC相交于点G.易得△DEF≌△CGF,∴FE=FG.∵BE⊥AD,AD∥BC,∴∠EBG=90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得EF=BF,故②正确.如图②,由于BF是△BEG的中线,∴S△BEG=2S△BEF,而S△BEG=S四边形DEBC,∴S四边形DEBC=2S△EFB,故③正确.如图②,设∠DEF=x,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠G=x,又∵FG=FB,∴∠G=∠FBG=x,∴∠EFB=2x.∵CD=2AD,F为CD的中点,BC=AD,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF=x,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF,故④正确.故选D.6.4[解析] 解此题时可取AB的中点,然后再利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质.取AB的中点M,连结ME,则ME∥BC,ME=BC.∵EF∥CD,∴M,E,F三点共线,∵EF=2CD,CD=BC,∴MF=BD,∴四边形MBDF是平行四边形,∴DF=BM=AB=×8=4.7.[解析] 如图,连结DE.∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE∥AC,DE=AC=2,EC=2.∵EF⊥AC,∴DE⊥EF,∴△DEG为直角三角形.在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=.∵G为EF的中点,∴EG=.在Rt△DEG中,DE=2,EG=,由勾股定理,得DG==.故答案为.8.4[解析] 如图,连结BE,由E,F分别为OA,OD的中点可知EF=AD,EF∥AD,易证△BEC 是等腰直角三角形,EM三线合一,可证得△EFN≌△MBN,可得到BN=FN=,tan∠NBM=,就能求出BM=2,所以BC=4.9.①③④[解析] 由题意得,AE=DE,AD=BD=CD.∵△ACD是正三角形,∴∠CDA=60°,CE⊥AD,∴∠B=∠DCB=30°.在Rt△BCE中,∠B=30°,∴CB=2CE,故①正确;∵∠B=30°,∴tan B=,故②错误;在正△ACD中,CE是△ACD的中线,∴∠ECD=∠ACD=30°,∴∠ECD=∠DCB,故③正确;如题图,PM=d1,PN=d2.在Rt△MPN中,+=MN2.∵∠ACB=∠CMP=∠CNP=90°,∴四边形MPNC为矩形,∴MN=CP.要使+最小,只需MN最小,即PC最小,当CP⊥AB时,即P与E重合时,+最小.在Rt△ACE中,∵AC=2,∠ACE=30°,∴CE=AC·cos30°=,则CE2=3,∴+的最小值为3,故④正确.故正确的有①③④.10.解:(1)证明:∵平行四边形ABCD,∴AE∥DC,∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO.∵点O是边BC的中点,∴BO=CO,∴△EBO≌△DCO(AAS),∴EO=DO,∴四边形BECD是平行四边形.(2)100°提示:若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.∵∠A=50°,根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠EDB=40°,∴∠BOD=180°-∠ADE=100°.11.解:(1)证明:连结OD,如图.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH是☉O的切线.(2)∵∠E=∠B,∠B=∠C,∴∠E=∠C,∴△EDC是等腰三角形.又∵DH⊥AC,点A是EH中点,∴设AE=x,则EC=4x,AC=3x.连结AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.又∵△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点, ∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,OD=AC=x,∴∠E=∠ODF.在△AEF和△ODF中,∴△AEF∽△ODF,∴=,∵==,∴=.(3)设☉O的半径为r,即OD=OB=r.∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF.又∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,∴∠FOD=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1.∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD=1+r,∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1.在△BFD与△EFA中,∴△BFD∽△EFA,∴=,∴=,解得r1=,r2=(舍去).∴☉O的半径为.12.[解析] (1)通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;(2)连结BE,CD,可得△ACD≌△AEB,从而得DC⊥BE,DC=BE,利用中位线得GM∥CD且等于CD的一半,GN∥BE且等于BE的一半,从而得到MG和GN的关系;(3)连结BE,CD,仿照(2)依然可得相同的结论.解:(1)操作发现:线段GM与GN的数量关系为GM=GN;位置关系为GM⊥GN.(2)类比思考:上述结论仍然成立.理由如下:如图①,连结CD,BE相交于点O,BE交AC于点F.①∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理可得NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵∠AEB+∠AFE=90°,∴∠OFC+∠ACD=90°,∴∠FOC=90°,易得∠MGN=90°,∴GM⊥GN.(3)深入探究:△GMN是等腰直角三角形.证明如下:如图②,连结BE,CD,CE与GM相交于点H.②∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵GM∥CD,∴∠MHC+∠HCD=180°,∴∠MHC+(45°+∠ACD)=180°,∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,∴∠MHC+45°+(45°+∠CEB)=180°,∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GNH+∠GHN=90°,∴∠NGM=90°,即GM⊥GN,∴△GNM是等腰直角三角形.方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是()图F7-1A.30°B.35°C.45°D.60°2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC 的平分线交AD于点E,则AE的长为()图F7-2A.B.2C.D.33.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()。

中考数学一轮复习关于中点的联想课件

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中点引发七联想
1.联想等腰三角形“三线合一”的性质 2.联想“三角形的中位线定理” 3.联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” 4.联想“垂径定理” 5.构造全等三角形 6.中线倍长 7.三角形中线所分的两三角形面积相等
求证：S△ABE=
1 2
S四边形ABCD。
A
D
构造全等三角形
B
E
CF
1
2
3
4
5
6
7
例6：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=4，AC=3，求AD的取值范围
A
中线倍长，构造全等三角形
4-3＜2AD＜4+3
B
C D
E1234567
例7：如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
B
M
C
1
2
3
4
5
6
7
例2：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
中点四边形
A E
H
D
B
根据三角形中位线定理
G F
C
1
2
3
4
5
6
7
例3：在⊿ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、 AC的中点，求证：EF=DG
D S四边形AGCD 等于（

中考数学复习方法技巧九大专题：中考数学复习方法技巧专题六：中点联想解析

， ∴△BDG≌△ADC， ∴BG=AC，∠BGD=∠C， ∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F 分别是 BG，AC 的中点，
∴DE= BG=EG，DF= AC=AF， ∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD， ∴∠EDG+∠FDA=90°， ∴DE⊥DF；（2）解：∵AC=10， ∴DE=DF=5，
∴EF∥AB，EF= AB=2 ， ∵tan∠PAB=1， ∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°， ∴PF=PE=2，PB=PA=4，
如图 2，当∠PAB=30°，c=2 时，a= ，b=
；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2、b2、c2 三者之间的关系，用等式表示出来，并
利用图 3 证明你的结论．
【拓展证明】（3）如图 4，▱ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的三等分点，且 AD=3AE，BC=3BF，连接
由勾股定理得，EF=
=5 ．
二、中点在等腰三角形中的应用
【例题】（2016·广西桂林·3 分）如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，
AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD 于 H，点 O 是 AB 中点，连接 OH，则 OH= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图
（3）中，AM、BN 是△ABC 的中线，AN⊥BN 于点 P，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”
．设 BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图 1，当 tan∠PAB=1，c=4 时，a= 4 ，b= 4 ；

方法专题：中点联想 (学生版)

方法专题:中点的联想联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

几何图形中，与线段中点相关的试题很多，一般的遇到中点问题可以尝试从以下几方面去着手分析：看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于【】A ．65 B ．95 C ．125D ．165 2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”例2：如图，点D 为△ABC 的BC 边上一个动点（不与B 、C 重合），连接AD ，过点D 分别作DE ⊥AC于点E ，DF ⊥AB 于点F ，点M 是AD 的中点，连接ME ，MF ，在点D 的移动过程中，∠EMF 的大小是否发生改变，请说明理由。

3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”例3：已知:E 为平行四边形A B C D 中D C 边的延长线上一点,且C E =D C ,连结A E ,分别交B C 、B D 于点F 、G ，连接A C 交B D 于O ，连结O F . 求证: A B = 2 O F4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形例4：如图甲，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图甲中的正方形CGE F 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。

（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明5、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等例6、如图9所示，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于：【】A 、65B 、54C 、43D 、326、倍长中线法（延长中线2倍法）例6：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，M 为BC 的中点，过A 点作某直线l ，过B 作BD l ⊥于点D ，过C 作CE l ⊥于点E 。

浙江省2019年中考数学复习题方法技巧专题六中点联想训练新版浙教版20181204225

方法技巧专题(六) 中点联想训练【方法解读】1.与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.(4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线:(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”.(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1.[2018·南充] 如图F6-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为()图F6-1A.B.1 C.D.2.[2017·株洲] 如图F6-2,点E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,则下列关于四边形EFGH的说法正确的是()图F6-2A.一定不是平行四边形B.一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它为矩形3.[2018·荆门] 如图F6-3,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC 边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()图F6-3A.πB.πC.1D.24.如图F6-4,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()图F6-4A.2.5B.C.D.25.[2018·眉山] 如图F6-5,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF,BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的结论有()图F6-5A.1个B.2个C.3个D.4个6.[2018·苏州] 如图F6-6,在△ABC中,延长BC至点D,使得CD=BC.过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD.连结DF,若AB=8,则DF的长为.图F6-67.[2018·天津] 如图F6-7,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC 于点F,G为EF的中点,连结DG,则DG的长为.图F6-78.[2018·哈尔滨] 如图F6-8,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连结EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC 的长为.图F6-89.[2018·德阳] 如图F6-9,点D为△ABC的AB边上的中点,点E为AD的中点,△ADC为正三角形,给出下列结论,①CB=2CE,②tan B=,③∠ECD=∠DCB,④若AC=2,点P是AB上一动点,点P到AC,BC边的距离分别为d1,d2,则+的最小值是3.其中正确的结论是(填写正确结论的序号).图F6-910.[2017·徐州] 如图F6-10,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E.连结BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°,则当∠BOD= °时,四边形BECD是矩形.图F6-1011.[2017·成都] 如图F6-11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA 的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连结DE交线段OA于点F.(1)求证:DH是☉O的切线;(2)若A为EH的中点,求的值;(3)若EA=EF=1,求☉O的半径.图F6-1112.[2018·淄博] (1)操作发现:如图F6-12①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN,小明发现:线段GM 与GN的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.图F6-12参考答案1.B[解析] 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=4,CD=AB,∴CD=×4=2.∵E,F 分别为AC,AD的中点,∴EF=CD=×2=1.故选B.2.C3.C[解析] 如图,连结OM,CM,OC.∵OQ⊥OP,且M是PQ的中点,∴OM=PQ.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=PQ,∴OM=CM,∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分线上.∵当点P在A点时,点M为AC的中点,当点P在C点时,点M为BC的中点,∴点M所经过的路线长为AB=1.故选C.4.B5.D[解析] 如图①,连结AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证△ADF≌△MCF,∴AF=MF,AD=MC.又∵AD=BC,DC=AB=2AD,∴AB=BM,∴∠ABC=2∠ABF,故①正确.如图②,延长EF,BC相交于点G.易得△DEF≌△CGF,∴FE=FG.∵BE⊥AD,AD∥BC,∴∠EBG=90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得EF=BF,故②正确.如图②,由于BF是△BEG的中线,∴S△BEG=2S△BEF,而S△BEG=S四边形DEBC,∴S四边形DEBC=2S△EFB,故③正确.如图②,设∠DEF=x,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠G=x,又∵FG=FB,∴∠G=∠FBG=x,∴∠EFB=2x.∵CD=2AD,F为CD的中点,BC=AD,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF=x,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF,故④正确.故选D.6.4[解析] 解此题时可取AB的中点,然后再利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质.取AB的中点M,连结ME,则ME∥BC,ME=BC.∵EF∥CD,∴M,E,F三点共线,∵EF=2CD,CD=BC,∴MF=BD,∴四边形MBDF是平行四边形,∴DF=BM=AB=×8=4.7.[解析] 如图,连结DE.∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE∥AC,DE=AC=2,EC=2.∵EF⊥AC,∴DE⊥EF,∴△DEG为直角三角形.在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=.∵G为EF的中点,∴EG=.在Rt△DEG中,DE=2,EG=,由勾股定理,得DG==.故答案为.8.4[解析] 如图,连结BE,由E,F分别为OA,OD的中点可知EF=AD,EF∥AD,易证△BEC是等腰直角三角形,EM三线合一,可证得△EFN≌△MBN,可得到BN=FN=,tan∠NBM=,就能求出BM=2,所以BC=4.9.①③④[解析] 由题意得,AE=DE,AD=BD=CD.∵△ACD是正三角形,∴∠CDA=60°,CE⊥AD,∴∠B=∠DCB=30°.在Rt△BCE中,∠B=30°,∴CB=2CE,故①正确;∵∠B=30°,∴tan B=,故②错误;在正△ACD中,CE是△ACD的中线,∴∠ECD=∠ACD=30°,∴∠ECD=∠DCB,故③正确;如题图,PM=d1,PN=d2.在Rt△MPN中,+=MN2.∵∠ACB=∠CMP=∠CNP=90°,∴四边形MPNC为矩形,∴MN=CP.要使+最小,只需MN最小,即PC最小,当CP⊥AB时,即P与E重合时,+最小.在Rt△ACE中,∵AC=2,∠ACE=30°,∴CE=AC·cos30°=,则CE2=3,∴+的最小值为3,故④正确.故正确的有①③④.10.解:(1)证明:∵平行四边形ABCD,∴AE∥DC,∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO.∵点O是边BC的中点,∴BO=CO,∴△EBO≌△DCO(AAS),∴EO=DO,∴四边形BECD是平行四边形.(2)100°提示:若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.∵∠A=50°,根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠EDB=40°,∴∠BOD=180°-∠ADE=100°.11.解:(1)证明:连结OD,如图.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH是☉O的切线.(2)∵∠E=∠B,∠B=∠C,∴∠E=∠C,∴△EDC是等腰三角形.又∵DH⊥AC,点A是EH中点,∴设AE=x,则EC=4x,AC=3x.连结AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.又∵△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,OD=AC=x,∴∠E=∠ODF.在△AEF和△ODF中,∴△AEF∽△ODF,∴=,∵==,∴=.(3)设☉O的半径为r,即OD=OB=r.∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF.又∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,∴∠FOD=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1.∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD=1+r,∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1.在△BFD与△EFA中,∴△BFD∽△EFA,∴=,∴=,解得r1=,r2=(舍去).∴☉O的半径为.12.[解析] (1)通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;(2)连结BE,CD,可得△ACD≌△AEB,从而得DC⊥BE,DC=BE,利用中位线得GM∥CD且等于CD的一半,GN∥BE且等于BE的一半,从而得到MG和GN的关系;(3)连结BE,CD,仿照(2)依然可得相同的结论.解:(1)操作发现:线段GM与GN的数量关系为GM=GN;位置关系为GM⊥GN.(2)类比思考:上述结论仍然成立.理由如下:如图①,连结CD,BE相交于点O,BE交AC于点F.①∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理可得NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵∠AEB+∠AFE=90°,∴∠OFC+∠ACD=90°,∴∠FOC=90°,易得∠MGN=90°,∴GM⊥GN.(3)深入探究:△GMN是等腰直角三角形.证明如下:如图②,连结BE,CD,CE与GM相交于点H.②∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵GM∥CD,∴∠MHC+∠HCD=180°,∴∠MHC+(45°+∠ACD)=180°,∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,∴∠MHC+45°+(45°+∠CEB)=180°,∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GNH+∠GHN=90°,∴∠NGM=90°,即GM⊥GN,∴△GNM是等腰直角三角形.。

中考数学二轮复习专题关于中点的联想2倍长中线及中位线

1.6 关于中点的联想（二）三、倍长中线法思考1：如图，△ABC中，AD为中线，延长AD至点E，使得DE=DA，连接CE，BE，你能得到哪些结论？例1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是________。

（限时训练第4题）思考2：如图，△ABC中，D为中点，E为AB上一点，延长DE至点F使得DFDE ，连接CF，你能得到哪些结论？例2 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE.（限时训练第5题）四、构造中位线思考3：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，你能得到哪些结论？思考4：如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC交AC与E，你能得到哪些结论？例3如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是________（限时训练第3题）【变式练习1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分．【拓展提升】如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，M,N分别是AD，BC的中点，AB=4，DC=2，则MN的长不可能是( )A. 3B. 2.5C. 2D. 1.51.6 关于中点的联想（二）限时训练1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°2.如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为( )A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它是矩形3.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC 的长是________4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是________。

中考数学复习专题--关于中点的联想

1 第1题第2题中考复习专题——关于中点的联想类型一：三角形中点→全等三角形（倍长中线）1.如图，在△ABC 中，AB=12，AC=8，AD 是BC 边的中线，则AD 的取值范围是。

2.如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF=EF ，求证：AC=BE 。

线段中点线段的垂直平分线三线合一两线段互相平分平行四边形倍长中线 Rt △斜边中线三角形中位线重心：1：2关系中点四边形2第3题第4题第5题第6题第7题第8题第9题第10题第11题类型二、等腰+底边中点→等腰三角形（三线合一）3.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M是BC中点，MN⊥AC于点N，则MN= 。

4.如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边BC、AC分别交半圆O与点D、E，且D为BC的中点，已知∠BAC=50°，则∠C= 。

类型三、中点+中点→中位线5.（2018苏州）如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=BC21，过AC的中点E作EF∥CD（点F在点E右侧），且EF=2CD，连接DF，若AB=8，则DF的长为---------------------------------------------（）A.3B.4C.32 D. 236.（2017株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的各边中点，则关于四边形EFGH的下列说法正确的是-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------（）A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时，它是矩形7.（2018天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G 是EF的中点，连接DG，则DG的长为。

遇到中点引发六联想

遇到中点引发六联想联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？相信你阅读下文后，能给你带来一定的启示。

1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于【】(2008年安徽省)A ．65 B ．95 C ．125 D ．165分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC 是等腰三角形，且边BC 是底边；由点M 为BC 中点，如果连接AM ，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM 是底边BC 上的高线，这样就能求出三角形ABC 的面积，而三角形AMC 的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC 中利用三角形的面积公式，求可以求得MN 的长。

解：连接AM ，因为，AB=AC=5，所以，三角形ABC 是等腰三角形，且边BC 是底边；因为，点M 为BC 中点，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM ⊥BC ，在直角三角形AMC 中，AC=5，CM=21BC=3, 所以，AM=222235-=-CM AC =4，所以，三角形ABC 的面积是：21×BC ×AM=21×6×4=12, 所以，三角形ACM 的面积是：6；所以，6=21×AC ×MN ，所以，MN=512. 所以，选择C 。

2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”例2、在三角形ABC 中，AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形。

分析：由点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，根据三角形中位线定理，知道FG ∥BC,FE ∥AC ，FE=21AC ，由直角三角形ADC ，DG 是斜边上的中线，因此，DG=21AC ，所以，EF=DG ，这样，我们就可以说明梯形EFGD 是等腰梯形了。

初中数学几何思维训练由中点你想到了什么

∠ABC=∠ADC=90°M、N分别是AC、BD的中点。求证： MN⊥BD
导学：图形中有哪些几何特征？导做：独立完成导思：你知道特征组合的思考方向吗？
达标检测 2.如图示，在平行四边形 ABCD 中，AB=4 ，∠BAD 的平分线与 BC的延长线交于点 E，与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE，垂足为 G点，若DG=1，求AE 的长？
导做：组内交流共享，组间互评质疑，展示交流提高要求：讲解站位合理，思路清晰，声音洪亮
中点常见特征组合及思考方向
序号
特征组合
给定条件
1
线段的中 C是线段AB的点中点
示意图形
结论
思考方向
BC ? AC ? 1 AB 2
线段的中 C是线段AB的
点中点；
2
+
过CD垂直于
垂直 AB
N
BN ? AN
的中点
7
平行线
+ 中点
E是梯形ABCD 腰AC的中点
DE//BC
1 DE ? BC
2
ΔDCE=ΔMA E
B是弦AB的中
8
以圆为背景
点 E是弧AC的中
O
点
OD⊥AB ∠AOE=∠E
OC
初中几何思维训练探索——中点
导思：解决几何综合题的思路 1、标注条件符号，合理转化 2、抓住特征组合，分析结构 3、活用由因导果，执果索因
初中几何思维训练探索——中点
由中点你想到了什么？
大一中学夏世兵
学习目标
初中几何思维训练探索——中点
1、熟悉中点特征及其常见特征组合；
2、通过探索特征组合的结论，明确中点的思考方向并解决几何问题；

中点联想,模型魅力

119教研园地JIAO YAN YUAN DI中点联想，模型魅力罗丽云浙江省临海市临海中学（浙江省临海市 317000）1　原题呈现如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E 在边AB 上，BE＝4；过点E 作EF ∥BC ，分别交BD 、CD 于点G ，F 两点．若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，则MN 的长是。

2　题目分析本题源自2017年宁波中考卷第11题，是一道融推理与计算于一体的几何综合题。

它考查知识众多，内涵丰富。

2.1　基本知识考查了三角形的中位线，正方形、矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形性质与判定，直角三角形斜边的中线，平行线分线段成比例，勾股定理及逆定理，证明线段的数量关系等核心知识；2.2　基本能力考查学生的推理能力和计算能力。

2.3　基本思想方法考查数形结合思想和转化思想。

利用中点找到突破口，并归纳解决此类问题的条件、依据和模型，再进一步挖掘问题的本质，探究解题通法，落实解决此类问题的方法和策略，发展学生的逻辑推理、几何直观等数学核心素养。

3　学情分析本题的难点是添加辅助线，关键信息是两个中点。

要求MN 的长度，多数同学会想到勾股定理之类，但与MN 有直接相关的条件不足，必须添加适当的辅助线来解决本题，而学生可能会遇到的问题是不能从条件中提取关键有效的信息；不知道如何综合利用条件进行联想，进行添加辅助线，是学生的思维障碍所在。

单个条件，添一条辅助线，学生容易，而多个条件，添多条辅助线，学生倍感困难。

4　解法赏析同一个问题，从不同的角度探究与分析，有不同的解法。

一题多解，有利于沟通各知识间的联系，培养学生的发散性和创造性。

视角一：构造Rt △BMF ，使MN 为斜边BF 的中线方法1：如图1，连接BF ，MF 。

∵四边形ABCD 是正方形，EF ∥BC ∴四边形EBCF 是矩形，∠GFD ＝90° ∵N 是CE 的中点 ∴N 是BF 的中点 ∵G 点在BD 上∴∠DGF ＝∠GDF ＝45° ∵M 是DG 的中点 ∴MF ⊥DG ∴12MN BF=∵BC ＝6，CF＝BE ＝4 ∴12MN BF ==图1【说明】：此法运用等腰三角形的“三线合一”构造直角三角形，利用矩形对角线性质，及勾股定理，解题思路明确简洁。