4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(2)

合集下载

高中数学第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2正弦函数余弦函数的性质学案含解析新人教A版必修4

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确．答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]．【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线．方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二正、余弦函数曲线的简单应用例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误．答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得．答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 知识点及习题

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．______时，y min ＝－1一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π)D ．y ＝cos(x ＋π)7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．31．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin168°＝sin (180°－12°)＝sin12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎡⎦⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos2x >0且y ＝cos2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos2x )的增区间为⎝⎛⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。

整理数学必修四教材帮电子版

数学必修四教材帮电子版整理表姓名:职业工种:申请级别:受理机构:填报日期:A4打印/ 修订/ 内容可编辑高一数学必修4§1.4.2《正弦函数﹑余弦函数的性质(2)》习题案姓名: 班级:【学习目标】1﹑通过学习图像得到正﹑余弦函数的定义域、值域、最值、单调性。

2、能利用正﹑余弦函数单调性求解单调区间以及比较三角函数的大小。

【重点难点】▲重点：正﹑余弦函数的单调性、及利用换元法解题。

▲难点：利用正、余弦函数的性质解决一些简单问题。

【学法指导】1、在学习正﹑余弦函数单调性时结合函数单调性定义来理解。

2、在求解正﹑余弦函数单调区间时结合求解函数单调区间的方法，体会数学中整体代换思想和数形结合的思想。

【学习过程】一：探究正弦函数、余弦函数的单调性观察正弦函数的图像，并利用图像完成下列内容：当x在区间……_________，__________，__________，……上时，曲线逐渐上升，sinx的值由_____变化到_______当x在区间……_________，__________，__________，……上时，曲线逐渐下降，sinx的值由_____变化到______由正弦函数的周期性知：正弦函数在每个闭区间_________________________都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间______________________________上都是减函数，其值从1减小到－1。

观察余弦函数的图像，并利用图像完成下列内容：当x在区间……_________，__________，__________，……上时，曲线逐渐上升，cosx的值由_____变化到_______当x在区间……_________，__________，__________，……上时，曲线逐渐下降，cosx的值由_____变化到______由余弦函数的周期性知：在每个闭区间____________________________都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间__________________________上都是减函数，其值从1减小到－1。

2019A新高中数学必修第一册：1.4.2 正余弦函数的性质(第2课时)

且 250<260, 又 y = sinx 在 [90, 270] 是减函数,
∴ sin250>sin260.
5. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组中两
个三角函数值的大小:
(1) sin250与sin260; (2) cos185 与 cos194;
解:
(3) (2)
cos515与cos530;
习题 1.4 A组
第 2、4、5 题.
练习: (课本40页)
1. 观察正弦曲线和余弦曲线, 写出满足下列条件的区间:
(1) sinx>0;
(2) sinx<0;
(3) cosx>0;
(4) cosx<0.
y=sinx
y
1
-3
5
2
-2
3
2
o 21
3 2 5 3 x
2
2
2
(1) sinx>0 x(2k, 2k+). (2) sinx<0 x(2k, 2k).
2
时,
sinx 取得最小值 1,
则 y = 2sinx 取得最小值 2.
即函数取得最大值 2 时, x 的取值集合为
{x| x = 2k
+
2
,
kZ};
函数取得最小值 2 时, x 的取值集合为
{x| x = 2k
2
,
kZ}.
3. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的
集合, 并写出最大值、最小值各是多少?
(4) sin( 574 )= sin(8
+ (274))s=ins(in52774, )与sin( 683 ).
sin(

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)

(2)将函数式转化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
12/9/2021
第二十一页，共三十三页。
已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
12/9/2021
第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
12/9/2021
第六页，共三十三页。
3 ． (2018 年内蒙古呼伦贝尔二模 ) 若函数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的最大值为 3 ，则 f(x) 的最小正周期为 ________．
求最值．
12/9/2021
第二十七页，共三十三页。
1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
12/9/2021
第一页，共三十三页。
目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在

1.4.2 正弦余弦函数的性质(单调性、最值)

3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-

2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…

2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k，其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2

y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

正弦函数、余弦函数的性质(全)

2
2
由 2k 1 x 3 2k ,
2
2 32
得 5 4k x 11 4k , k Z .
函数 y

Asin(x
)
的周期是
2
2
函数y Acos(x ) 的周期是
二.奇偶性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1

2
3 2
2
5 3
2
x
(1) f ( x) sin x, x R
任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
{x | x (2k 1) , k Z}
函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R;
其值从1减小到－1。
练习
▪ P46 (4) y 4sin x x [ , ]
先画草图，然后根据草图判断
y
4
3 5
2
2 3
2
O
2
2
4
3 2
2
5 3
2
x
▪ P46 练习1
练习
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1

当且仅当 x

2
k
y
，
（
k

Z
）

高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时提升

正弦函数、余弦函数的性质(二)（45分钟 100分）1.符合以下三个条件：①在上单调递减；②以2π为周期；③是奇函数.这样的函数是( )A.y=sinxB.y=-sinxC.y=cos2xD.y=cos2.(2013·广州高一检测)函数f(x)=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间是( ) A. B.C. D.3.若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π-x)都是减函数，则x的集合是( )A.B.C.D.4.(2012·山东高考)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2-B.0C.-1D.-1-5.(2013·南充高一检测)已知函数f(x)=πsi n x，如果存在实数x1，x2使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1-x2|的最小值为( )A.4πB.πC.8πD.2π二、填空题(每小题8分，共24分)6.函数y=的定义域是.7.将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为.8.f(x)=2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω= .三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.求下列函数的最大值和最小值：(1)y=.(2)y=3+2cos.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间.11.(能力挑战题)已知ω是正数，函数f(x)=2sinωx在区间上是增函数，求ω的取值范围.答案解析1.【解析】选B.在上单调递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.2.【解析】选D.由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈Z，得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，又x∈[-π，0]，所以此函数的单调递增区间为.3.【解析】选A.因为y=sin(π+x)=-sinx，其单调递减区间为(k∈Z)；y=cos(2π-x)=cosx，其单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z.所以y=sin(π+x)与y=cos(2π-x)都是减函数时的x的集合为.【变式备选】函数y=sinπ的单调递增区间是( )A.[4kπ，(4k+1)π](k∈Z)B.[4k，4k+2](k∈Z)C.[2kπ，(2k+2)π](k∈Z)D.[2k，2k+2](k∈Z)【解析】选B.y=sinπ=sin，由-+2kπ≤-≤+2kπ(k∈Z)，得2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z)，所以4k≤x≤2+4k(k∈Z).4.【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.【解析】选A.因为0≤x≤9，所以0≤x≤9×，所以-≤x-≤，所以-≤sin≤1，所以-≤2sin≤2.所以函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2-.5.【解析】选A.因为正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1-x2|的最小值为半周期，因为T==8π，所以选A.6.【解析】由题意得，2cosx+1≥0，即cosx≥-.在x∈[-π，π]上需使x∈，故该函数的定义域为(k∈Z).答案：(k∈Z)7.【解析】cos150°<0，sin470°=sin110°=cos20°>0，cos760°=cos40°>0且cos20°>cos40°，所以cos150°<cos760°<sin470°.答案：cos150°<cos760°<sin470°8.【解析】因为0≤x≤，所以0≤ωx≤ω<.所以f(x)在上是增函数，所以f=，即2sin=，所以ω=，所以ω=.答案：9.【解析】(1)因为所以≤1-cosx≤.所以当cosx=-1时，y max=.当cosx=1时，y min=.(2)因为-1≤cos≤1，所以当cos=1时，y max=5；当cos=-1时，y min=1.10.【解题指南】由f(x)≤对x∈R恒成立知，f(x)在x=处取得最大值或最小值，从而得到φ的两组取值，再利用f>f(π)排除一组，从而得到φ的取值，利用整体代换思想求出f(x)的单调递增区间. 【解析】由f(x)≤对x∈R恒成立知，2×+φ=2kπ±(k∈Z)，得到φ=2kπ+或φ=2kπ-，代入f(x)并由f>f(π)检验得，φ的取值为-，所以由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).【拓展提升】求三角函数最值的常见类型(1)y=asin2x+bsinx+c(a≠0)，利用换元思想设t=sinx，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.(2)y=Asin(ωx+φ)+b，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)的范围，最后得最值.(3)y=log a(Asin(ωx+φ))，设t=Asin(ωx+φ)，由定义域求t的范围，然后求值域.11.【解析】由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得-+≤x≤+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).据题意，⊆(k∈Z).从而当k=0时有ω>0，解得0<ω≤.故ω的取值范围是.。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)[学习目标]1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． [知识链接]1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期答由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)也是周期函数，最小正周期也是2π|ω|.2．观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答正、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质：续表续表要点一求正、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z . ∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为 u ＝cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．要点二正、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°；从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.规律方法用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 要点三求正、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D. 2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25πD ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2 x －4sin x ＋5的值域．解设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1) g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内． g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2,10]．所以y＝f(x)的值域为[2,10]．1．求函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.一、基础达标1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么()A．sin α>sin βB．sin β>sin αC．sin α≥sin βD．sin α与sin β的大小不定答案D3．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是()A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 答案 C解析由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.答案 34解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案 C解析由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间． 9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋a sin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{ a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ，∴{ b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{ a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π；当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π.12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的解析式．解由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π) 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

正弦函数余弦函数的性质

1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（2）一、【教学目标】重点: 是正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性和最值，研究函数的思想方法. 难点：是利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值．知识点：正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最大值和最小值的概念.能力点：会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值.教育点：经历由三角函数性质的探讨过程，感受研究函数性质的一般思路与方法，培养学生运用函数图象分析、探究问题的能力.自主探究点：如何运用三角函数的图像研究三角函数的性质. 考试点：求三角函数的单调区间、最值，判断三角函数的奇偶性.易错易混点：（1）确定函数的奇偶性时易忽略定义域必须关于原点对称这个前提；（2）求()()sin 0y x ωϕω=+<的单调区间易出错.拓展点：如何利用正、余弦函数的有界性求最值.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学二、【引入新课】1、观察正弦函数和余弦函数的图象，回顾正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性.2、奇函数与偶函数的定义？3、增函数与减函数的定义？具有单调性的函数在单调区间内的图象特征如何？本节课我们将在这些知识的基础上继续研究正、余弦函数的性质———奇偶性、单调性与最值.三、【探究新知】探究一：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图象，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？（1）正弦函数图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y 轴对称.（2）由诱导公式()()sin sin ,cos cos x x x x -=--=可知: 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. [设计意图]：正、余弦函数的奇偶性的探究主要由学生来完成，结合图象及诱导公式学生不难得出结论. 探究二：1.单调性问题1：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，观察正弦函数的图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？对于周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的单调性，那么整个函数的情况也就清楚了.我们该选择哪一个周期进行研究呢？为什么？讨论得出：应以3[,]22ππ-为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.问题2：你能写出正弦函数在3[,]22ππ-这个单调递增区间及单调递减区间吗？（学生讨论，代表发言）从sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降， sin x 的值由1减小到－1.问题3：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么统一表示呢？请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？结合其周期性可知（强调加上周期的整数倍）：正弦函数在每一个闭区间()2,222ππκπκπκ⎡⎤-++∈Z ⎢⎥⎣⎦上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间()32,222ππκπκπκ⎡⎤++∈Z ⎢⎥⎣⎦上都是减函数，其值从1减小到－1.问题4：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？应该选择余弦函数的哪个周期来作为研究对象？其函数值的变化情况又怎样呢？（观察余弦曲线）得出余弦函数单调递增区间：[2,2],k k k Z πππ-∈，其值从-1增至1；得出余弦函数单调递减区间：[2,2],k k k Z πππ+∈，其值从1减至-1.2.正弦、余弦函数的最值从对正弦、余弦函数的单调性讨论中可知：正弦函数当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时取得最大值1，当且仅当2()2x k k Z ππ=-+∈时取得最小值-1；余弦函数当且仅当2()x k k Z π=∈时取得最大值1，当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时取得最小值-1. [设计意图]：单调性与最值的结论的得出主要在教师的引导下，利用数形结合的方法由学生给出，然后教师与学生共同归纳总结.充分发挥学生的学习主动性，成为真正的主人.四、【理解新知】1、判断三角函数的奇偶性时要注意定义域优先的原则,若定义域关于原点对称了，再考察()f x 与()f x -的关系.2.正余弦函数都不是单调函数，但它们有无数个单调区间，利用单调性可以求值，还可以求三角函数的单调区间，有些函数的单调区间可直接通过其图像获得，同时要注意，求三角函数的单调区间必须在其定义域内进行.3. 正弦函数、余弦函数的性质：函数y ＝sin xcos y x =图象定义域值域奇偶性周期性最小正周期：________最小正周期：______单调性在__________________________ ____上单调递增；在_________ __________________________ 上单调递减在________________________ ___上单调递增；在______ ______________________上单调递减最值在______________________时， max y ＝1；在__________________ ______时，min y ＝－1在_______________________时，max y ＝1；在____ ____ 时，min y ＝－1[设计意图]：总结其性质为准确地运用新知，作必要的铺垫.五、【运用新知】例1．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数，求||ϕ的最小值．[分析]：利用函数()sin()f x A x ωϕ=+的特殊性，(0)=sin =1f ϕ±时，函数为偶函数，(0)=sin =f ϕ0时函数为奇函数．解：∵()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数， ∴ (0)sin 1f ϕ==±，,()2k k Z πϕπ=+∈所以函数||ϕ的最小值为2π． [设计意图]：利用正、余弦函数的奇偶性的特殊性，“(0)=sin =1f ϕ±⇔函数为偶函数”、“(0)=sin =f ϕ0⇔函数为奇函数”，相比于学生利用“()=()f x f x -±”方便了计算．变式训练1. 2()lg(sin 1sin f x x x =+解：函数的定义域为R ，2()lg[sin()1sin f x x x -=-+=2lg(sin 1sin )x x -+=1lg(sin x -=lg(sin x -=()f x -所以函数()lg(sin f x x =例2.求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？ (1)cos 1y x =+，x R ∈； (2)3sin 2,y x x =-∈解:(1)使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos ,y x x R =∈取得最大值的x 的集合}{2,x x κπκ=∈Z；使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最小值的x 的集合，就是使函数cos ,y x x R =∈取得最小值的x 的集合}{(21),x x κπκ=+∈Z.函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=；最小值是110-+=.(2)（由学生板书）答案：最大值是3，x 的集合,.4x x πκπκ⎧⎫=-+∈Z ⎨⎬⎩⎭最小值是-3，x 的集合,.4x x πκπκ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭变式训练2：求使函数2cos ,3xy x R =-∈取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小解：22k π-+43k π-+所以，所求函数的递增区间是5[3AB π=-因此所求函数的单调递增区间是：对于函数 π[设计意图]:通过典型例题让学生进一步体会确定三角函数的单调区间的整体代换的思想方法，特别是当0ω<时，借助复合函数单调性原理将x 的系数化成正的再求解.六、【课堂小结】教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识点：(1)正、余弦函数的奇偶性问题； (2)正、余弦函数的最值问题；(3)利用单调性比较三角函数值的大小，关键是运用诱导公式将角转化到三角函数的同一单调区间内； (4)求函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的单调区间，均可由sin y x =和cos y x =的单调区间，列不等式解出不等式来求解，但要清楚A 和ω的符号对单调性的影响； 2．思想：数形结合思想、整体换元思想、类比思想．教师总结: 本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件，在课堂上演示给学生;有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.七、【布置作业】必做题：P40 练习4，5. P46 习题1.4 A 组 2，4，5.y =巩固练习：1．已知是正数，函数()2sin f x x ω=在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围. [分析]：由22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈ 得，22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递增区间是22,,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 据题意有,23,240,ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪⎪>⎩解得30<2ω≤.故ω的取值范围是30,]2（. 2．设函数()sin(4),3f x a b x π=--其中a b 、为实常数，x R ∈，已知函数()f x 的值域是[1,5]，求a b、的值.[分析]：()sin(4),3f x a b x x R π=+-∈.1sin(4)1,3x π-≤-≤则（1）当0b >时，max min (),()f x a b f x a b =+=-.由已知5,3,1 2.a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ （2）当0b <时，max min (),()f x a b f x a b =-=+.由已知5,3,1 2.a b a a b b -==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ （3）当0b =时，()f x a =为常数，不合题意，综上分析，3, 2.a b ==±3．已知3sin ()3,(5)2,cos a x bx f x f c x+=+=-求(5)f -的值. 4．课外思考求函数223sin 4cos 1,,33y x x x ππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦的最小值.[设计意图]培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用正、余弦函数的性质解题；课外思考的安排，是让学生理解本节知识，从而让学生深刻地体会到正、余弦函数性质的重要性．八、【教后反思】1.本教案的亮点是在原教案的基础上，增加了例2的变式训练，做到了讲练结合，替换了巩固练习，使题目对本节知识更有针对性的训练.2.本节课涉及知识点进行了分类整理，并对各类题目设计出难度梯队.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上有限的时间对选做题有选择的利用.九、【板书设计】。

《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-4-2正弦函数、余弦函数的性质-2

若函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<π2)与函数 g(x)＝cos(ωx－ π6)(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则 φ＝________.
解析：∵两函数图象具有相同的对称中心， ∴它们的周期相同， ∴ω＝2.令 2x＋φ＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－φ2(k∈Z)，即 f(x) 的图象的对称中心为(k2π－φ2，0)(k∈Z)．令 2x－π6＝k′π＋2π (k′∈Z)，则 x＝k′2 π＋π3(k′∈Z)，即 g(x)的图象的对称中心为(k′2 π＋3π，0)(k′∈Z)．又 g(x)，f(x)的图象的对称中心
解：(1)由 x∈(－4π，π)知，23x∈(－6π，23π)．当23x∈(－π6，2π]，即 x∈(－π4，34π]时，函数 y＝－2sin23x 为减函数．
所以 2kπ<x＋π4<2kπ＋π，k∈Z，即 2kπ－π4<x<2kπ＋34π，k∈Z. 所以 u＝ 2sin(x＋π4)的单调递减区间为[2kπ＋π4，2kπ＋34 π)，k∈Z. 所以 y＝log 1 [ 2sin(x＋4π)]的单调递增区间为[2kπ＋4π，
π
2kπ＋34π)，k∈Z.
求函数的单调区间：y＝－2sin23x，x∈(－4π，π)．
(4)要注意定义域对单调区间的制约．
2．求三角函数最值或值域的常用方法 (1)对于求形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题，常利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx， cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋ c)，x∈D的函数的值域或最值时，一般先通过换元，令t＝ sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，然后利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或 cosx)的取值范围.

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件(人教A版必修4)

栏目导引
第一章三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)．所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)；单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目导引
第一章三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间．解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目导引
第一章三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z，得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目导引
归纳总结
第一章三角函数
栏目导引
函数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域值域
最值及相应的 x的集合
单调性
对称轴对称中心

高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件

∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为常数 ,A0,. 0)的周期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质2(奇偶性、单调性及最值)

作业：P40练习3，5，6.
函数 y= sinyx (k∈z)
y= cosx y(k∈z)
பைடு நூலகம்性质
定义域值域
周期性奇偶性单调性
最值
对称中心对称轴
0
2 -1 2
3 2 x
2
2
0
-1 2
3 x
2
R
R
[-1,1]
周期为T=2kπ
奇函数
在x∈[2kπ-
π
2
π
, 2kπ+ 2
]
上都是增函数
在x∈[2kπ+
(1)
sin(
18
)与
sin(
10
)；
(2) cos(
23
5
)与
cos(
17
4
).
解：cos(
23
5
) cos
23
5
cos
3
5
，
cos(
17
4
)
cos
17
4
cos
4
.
Q
0
4
3
5
,
且 y=cosx 在[0, π] 上是减函数,
cos
4
cos
3
5
,
即
cos(
17
4
)
cos(
23
5
).
例4.求函数 y sin(1 x )，x∈[－2π，2π]的单调递
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)=- sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数

人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质---周期性公开课教学课件 (共24张PPT)

2
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？换句话说，只要过的天数具有什么特征，就会再次出现星期四？
3
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
ysixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
ycoxs
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
4
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正数就叫做f(x)的最小正周期。
如果不加特别说明，我们谈到函数周期时，都是指最小正周期。
正弦函数y=sinx是周期函数，周期是多少？
正弦函数y=sinx的周期是2
12
知识探究
类比的方法，得到余弦函数y=cosx的周期性.
余弦函数y=cosx是周期函数，周期是2
思考：是不是所有的周期函数都有最小正周期？
2
2
8
3
建构概念
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期
9
问题探究2
？？思考？？
y sinx,x[0,8]是不是周期函数为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
y
B
1
A
O1
O
-1
2
4
5
2
x
3
3
3

4-1.4.2.2正弦、余弦函数l图象与性质小结(2)-高一上学期必修四【理教案】

4-1.4.2.2正弦、余弦函数的图象与性质小结(2)
一、选择题：
1、函数的单调递减区间是（）
A． B．
C． D．
2、已知函数，则（）
A．与都是奇函数 B．与都是偶函数
C．是奇函数，是偶函数 D．是偶函数，是奇函数
3、若函数y=2sin(8x+θ)+1的图象关于直线对称，则θ的值为（）
A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数
C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
二、填空题：
8、函数f(x)=11-8cosx-2sin2x的最大值是______．
9、函数函数的定义域是．
10、若是方程的解,其中 ,则 =
11、已知函数（a、b为常数），且f(5)=7，则f( 5)= ____.
18．画出下列函数的图象
（1）（2）
19、若函数的图象和直线围城一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积。
20、已知
(1)求函数值域
(2)求函数的单调区间
A．0B． C．kπ(k∈Z) D．kπ+ （k∈Z）
4、函数的最小正周期是（）
A． B． C． D．
5、函数的单调递减区间ห้องสมุดไป่ตู้（）
6、已知函数，则下列命题正确的是（）
A．是周期为1的奇函数B．是周期为2的偶函数
C．是周期为1的非奇非偶函数D．是周期为2的非奇非偶函数
7、函数是（）
12、给出下列命题：
①函数是偶函数;
②方程是函数的图象的一条对称轴方程;
③若α、β是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ.
其中正确命题的序号是.（填序号）

高中数学第一章三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示：____当x ＝____________时，y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是RB ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__当x ＝________时，y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1]B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一判断三角函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二求三角函数的单调区间【例2】求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间．反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三求三角函数的值域(最值) 【例3】求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四比较三角函数值的大小【例4】比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五易错辨析易错点忽视x 的系数是－1【例5】求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋sin π2－cos2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2无意义，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．【例2】解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )．故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．【例3】解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]．【例4】解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°，从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】正解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin11°3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。

正弦函数、余弦函数的性质(二)

2
5 2
x
3
7 2
4
-1
3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？提示:
正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上，函数值从 1 增大到 1 ，
在每个减区间上，函数值从 1 减Байду номын сангаас到 1 .
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z ) 2 2
y
1 -2
3 2
y=sinx

2
-

2
o
-1

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x sinx

2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
(xR) 增区间为 [ ， ] 2 2 3 减区间为 [ 2 ， ] y=sinx
2
还有其他单调区间吗?
其值从-1增至1
D．最小正周期是 2π
2、已知函数 y＝cosx，x∈R，则下列说法错误的是 ( B ) A．值域为[－1,1] B．是奇函数 C．在定义域上不是单调函数 D．在[0，π]上是减函数
3. （2015· 安徽高考）已知函数 f x sin x （，，均为正的常数）的最小正周期为，
1 x , 函数 y sin z 的单调递增区间是 2 3
【变式练习】
求函数 y＝cos2x 的单调区间．
解析：函数 y＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定 2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)② π 解①得，kπ－ ≤x≤kπ(k∈Z)， 2 π 解②得，kπ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 2 故函数 y ＝ cos2x 的单调增区间、单调减区间分别为