高考数学 必考热点大调查5 排列组合和概率
高考数学排列组合与概率问题2025版解析
高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是让许多同学感到头疼的难点。
但别担心，让我们一起来深入剖析一下这些问题，找到解题的窍门。
首先，我们来谈谈排列组合。
排列组合是研究从给定的元素中按照一定的规则选取部分或全部元素的方法数。
比如说，从 5 个不同的苹果中选 2 个，有多少种选法？这就是一个简单的组合问题。
排列和组合的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑。
举个例子，从 3 个不同的字母 A、B、C 中选 2 个进行排列，有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这 6 种情况；但如果是组合，就只有 AB、AC、BC 这 3 种情况。
在解决排列组合问题时，有几个重要的原理和方法需要掌握。
加法原理：如果完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
乘法原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如，安排一场晚会，有 5 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目，若歌唱节目和舞蹈节目相间演出，有多少种安排方法？我们可以先排舞蹈节目，有 A(3,3)种方法，再在舞蹈节目之间和首尾共 4 个位置排歌唱节目，有 A(5,5)种方法，根据乘法原理，总的安排方法有 A(3,3) × A(5,5) 种。
在排列组合问题中，还有一些常见的题型，比如捆绑法、插空法、隔板法等。
捆绑法：当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
例如，4 个男生和 3 个女生排成一排，要求 3 个女生必须相邻，我们可以先把3 个女生看作一个整体，与4 个男生一起排列，有A(5,5)种方法，然后 3 个女生内部有 A(3,3)种排列方法，所以总的排列方法有 A(5,5) ×A(3,3) 种。
2024高考数学排列组合与概率计算
2024高考数学排列组合与概率计算二〇二四年高考数学排列组合与概率计算数学是高中学科中的一门重要学科，也是高考科目中的核心科目之一。
在高考数学中，排列组合与概率计算是一个重要的章节。
下面将详细介绍2024年高考数学排列组合与概率计算的相关内容。
一、排列组合排列组合是数学中的一种基本概念，主要用于计算对象的不同排列与组合方式。
在排列组合中，排列指的是从若干不同的元素中选择出若干元素按一定顺序排列的方式，而组合则指的是从若干不同的元素中选择出若干元素不考虑顺序的方式。
在高考数学中，排列组合通常涉及计算不同的方式。
其中，乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的基本原理。
在计算过程中，可以根据问题的特点选择适当的方法。
二、概率计算概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。
在高考数学中，概率计算是一个重点考查内容。
概率计算常常涉及到样本空间、事件和概率等概念。
在概率计算中，常用的方法包括古典概型、几何概型和统计概型等。
通过合理选择适当的概率计算方法，可以解决各种高考数学中的概率计算问题。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合与概率计算不仅仅是高考数学中的理论知识，更是有着广泛的应用。
在现实生活中，排列组合与概率计算常常涉及到选班委、抽奖、生日问题等。
例如，在选班委的过程中，有10个候选人，其中需要选出4个担任班委的职务。
此时，就需要利用排列组合的知识来计算不同的选班委方式数量。
再例如，在抽奖的过程中，有50个人参与抽奖，其中有5个一等奖，10个二等奖，35个三等奖。
此时，就可以利用概率计算的知识来计算获得不同奖项的概率。
四、总结综上所述，2024年高考数学排列组合与概率计算是一个重要的考点。
通过深入理解排列组合与概率计算的基本原理和方法，掌握其在解决实际问题中的应用，将有助于提高数学解题能力。
希望广大考生在备考过程中能够加强对排列组合与概率计算的学习和理解，为取得好成绩打下坚实基础。
管综数学排列组合和概率
一、排列组合排列组合是管综数学中常见的题型，也是非常重要的知识点。
排列组合主要研究从一组元素中选取一定数量的元素，并按一定顺序排列或组合的数学方法。
排列组合的应用非常广泛，例如在统计学、概率论、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
排列组合主要包括排列和组合两种。
排列是指从一组元素中选取一定数量的元素，并按一定顺序排列。
排列的计算公式为：P(n, r) = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)其中，n为元素总数，r为选取元素的数量。
组合是指从一组元素中选取一定数量的元素，而不考虑元素的顺序。
组合的计算公式为：C(n, r) = frac{P(n, r)}{r!}其中，n为元素总数，r为选取元素的数量，r!表示r的阶乘。
二、概率概率是管综数学中另一个重要的知识点。
概率主要研究随机事件发生的可能性。
概率的计算公式为：P(E) = frac{n(E)}{n(U)}其中，P(E)表示事件E发生的概率，n(E)表示事件E发生的次数，n(U)表示样本空间中所有可能事件的次数。
概率的应用也非常广泛，例如在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
三、排列组合和概率在管综考试中的应用排列组合和概率是管综数学中非常重要的知识点，也是管综考试中经常考查的题型。
排列组合和概率的应用非常广泛，例如在统计学、金融学、保险学等领域都有着广泛的应用。
因此，掌握排列组合和概率的知识对于管综考试的成功非常重要。
排列组合和概率在管综考试中的应用主要包括以下几个方面：* 计算排列和组合的数量。
* 计算事件发生的概率。
* 分析排列和组合的规律。
* 解决排列和组合的应用问题。
四、排列组合和概率的学习方法排列组合和概率是管综数学中比较难的知识点，因此需要掌握一定的学习方法才能学好排列组合和概率。
排列组合和概率的学习方法主要包括以下几个方面：* 理解排列组合和概率的基本概念。
* 掌握排列组合和概率的计算公式。
* 熟悉排列组合和概率的应用场景。
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。
本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。
对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
1.2 组合组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、概率计算的基本原理概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率计算基于排列组合的概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。
2.1 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
例如，掷一枚普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。
2.2 事件事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。
例如，掷一枚硬币出现正面是一个事件。
2.3 概率概率是事件发生的可能性。
对于一个随机试验和事件，概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个具体的例子说明它们的具体应用。
3.1 组合在概率计算中的应用在扑克牌游戏中，计算一个牌型的概率就可以使用组合的概念。
高中数学中的排列组合与概率统计
高中数学中的排列组合与概率统计高中数学是我们学习的重要学科之一，其中排列组合与概率统计是数学中的两个重要概念。
它们在数学中的应用广泛，不仅帮助我们解决实际问题，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。
一、排列组合排列组合是数学中的一种方法，用于计算一组对象的不同排列或组合的数量。
在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是不重要的。
排列的计算方法可以通过以下例子来理解。
假设有3个球，分别是红球、蓝球和绿球，现在要将这3个球放在一个篮子里。
那么，一共有多少种不同的排列方式呢？首先，我们可以将红球放在篮子的第一个位置，然后将蓝球放在第二个位置，最后将绿球放在第三个位置。
这样的排列方式是一种情况。
同样的，我们可以将红球放在第一个位置，绿球放在第二个位置，蓝球放在第三个位置，这样的排列方式也是一种情况。
根据这个思路，我们可以得出结论，一共有3个球，所以一共有3!（3的阶乘）种不同的排列方式。
组合的计算方法则是通过以下例子来理解。
假设有5个人，我们要从中选出3个人组成一个小组。
那么，一共有多少种不同的组合方式呢？首先，我们可以从5个人中选出一个人作为小组的第一个成员，然后从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，最后从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员。
这样的组合方式是一种情况。
同样的，我们可以从5个人中选出一个人作为第一个成员，从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员，这样的组合方式也是一种情况。
根据这个思路，我们可以得出结论，一共有5个人，我们要选出3个人，所以一共有5C3（5的组合数）种不同的组合方式。
二、概率统计概率统计是研究随机事件发生的可能性的一门学科。
它可以帮助我们预测事件发生的概率，并根据概率进行决策和分析。
概率的计算方法可以通过以下例子来理解。
假设有一个装有10个红球和10个蓝球的箱子，现在我们从中随机抽取一个球。
那么，抽到红球的概率是多少呢？首先，我们可以计算出总共有20个球，其中10个是红球。
高考数学排列组合与概率问题2025版解析
高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是重点和难点。
对于即将参加2025 年高考的同学们来说，深入理解和掌握这部分知识至关重要。
排列组合是研究从一些元素中取出部分元素，按照一定的顺序排列或组合成一组的方法数。
它的应用广泛，在解决实际问题时能帮助我们准确计算各种可能性。
首先，我们来了解一下排列的概念。
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n,m) 。
其计算公式为：A(n,m) ＝ n! ／（n m)！。
例如，从 5 个不同的球中取出 2 个进行排列，那么排列数就是 A(5,2) ＝ 5! ／（5 2)！＝ 5×4 ＝ 20 种。
组合则是从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。
组合数的计算公式是：C(n,m) ＝ n! ／ m!×（n m)！。
比如，从 5 个不同的球中取出 2 个的组合数就是 C(5,2) ＝ 5! ／ 2!×（5 2)！＝ 10 种。
在实际解题中，我们需要准确判断是用排列还是组合。
如果元素的顺序对结果有影响，就用排列；如果顺序无关，就用组合。
接下来，我们看一些常见的题型。
“相邻问题”是经常出现的一种。
例如，将5 个人排成一排，其中甲、乙两人要相邻，我们可以将甲、乙看作一个整体，先计算整体的排列数，再计算甲、乙内部的排列数。
即 A(4,4)×A(2,2) 。
“不相邻问题”则相反。
比如，将 5 个人排成一排，其中甲、乙两人不能相邻。
我们先计算所有人的排列数，再减去甲、乙相邻的情况，即 A(5,5) A(4,4)×A(2,2) 。
“定序问题”也比较典型。
若有 5 个人排成一排，其中甲必须在乙前面，此时无需考虑甲、乙的顺序，直接计算全排列除以 2 即可，即A(5,5) ／ 2 。
在排列组合问题中，还常常需要用到分类讨论和分步计算的思想。
分类讨论时，要确保不重复、不遗漏。
高考数学排列组合与概率计算重点清单
高考数学排列组合与概率计算重点清单一、背景介绍在高考数学中，排列组合和概率计算是不可忽视的重要内容。
掌握了这两个知识点，可以帮助学生在考试中获得更好的成绩。
本文将为大家列出高考数学排列组合与概率计算的重点清单，帮助大家快速掌握这些知识点。
二、排列组合的重点1. 排列的定义和运算法则- 不重复元素的全排列：n!- 重复元素的全排列：n!/(n1!×n2!×...)- 部分相同元素的排列：n!/(n1!×n2!×...)，其中n1、n2等表示重复出现的元素个数2. 组合的定义和运算法则- 不重复元素的组合：C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)- 重复元素的组合：C(n+k-1, k-1)- 全部选或全不选的方案数：2^n3. 排列组合的应用- 在几何问题中，通过排列组合可以确定数量关系、判断位置关系等- 在概率问题中，通过排列组合可以计算事件发生的概率- 在工程问题中，通过排列组合可以计算不重复的方案数三、概率计算的重点1. 事件的概率定义- 事件发生的概率：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A发生的可能性，n(S)为样本空间中的所有可能性数- 事件的对立事件：P(A') = 1-P(A)- 事件的必然事件：P(S) = 1，其中S为样本空间2. 概率的运算性质- 事件的和事件概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)- 事件的积事件概率：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率3. 条件概率与独立事件- 条件概率的计算：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)- 事件的独立性：如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则事件A与事件B 相互独立4. 一些常见的概率问题- 排列组合与概率计算相结合的问题- 球与盒子问题、扑克牌问题等四、总结通过本文的介绍，我们了解到高考数学中排列组合与概率计算的重点知识点，这些内容对于考生来说至关重要。
高中数学研究数学中的排列组合与概率
高中数学研究数学中的排列组合与概率在高中数学课程中，排列组合与概率是重要的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将深入探讨排列组合与概率的概念、性质和应用，并展示它们在解决问题中的实际意义。
一、排列组合1. 排列的概念排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，元素的顺序是重要的。
对于n个不同的元素，选择r个进行排列的方法数可以用P(n,r)来表示。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，!表示阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
2. 组合的概念组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，元素的顺序不重要。
对于n个不同的元素，选择r个进行组合的方法数可以用C(n,r)来表示。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)3. 排列组合的性质排列和组合有一些重要的性质，可以利用这些性质简化计算和问题的解决。
（1）互补原则：P(n,r) = n! / (n-r)! = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1)，C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) = P(n,r) / r!（2）相同元素的排列：如果有n个元素中有m1个相同，m2个相同，...，mk个相同，那么排列的方法数可表示为P(n, n) / (m1! × m2! × ... × mk!)。
（3）0的阶乘：0! 等于1。
二、概率1. 概率的概念概率是研究随机事件发生可能性或可能性大小的数学方法。
概率的范围在0-1之间，事件发生的概率越高，其值越接近于1；事件发生的概率越低，其值越接近于0。
随机事件的概率可以用P(A)来表示，其中A表示随机事件。
2. 概率的计算（1）古典概型：对于有限个样本点的等可能概率试验，事件A发生的概率可以通过计算满足事件A的样本点的数量除以总样本点的数量来计算。
高考数学一轮复习必考知识点：排列、组合和概率
高考数学一轮复习必考知识点：排列、组合和概
率
排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进
行排序。
以下是整理的高考数学一轮复习必考知识点，请考生学习。
.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多
元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。
.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。
二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。
二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r.
.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同
时发生的概率公式。
)
.二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。
通项公式：它是第r+1项而不是第r项;
事件A发生k次的概率：。
其中k=0，1，2，3，…，n，且0
.求分布列的解答题你能把步骤写全吗?
如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。
)
.你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)
高考数学一轮复习必考知识点：排列、组合和概率的所有内容就是这些，预祝广大考生可以取得更优异的成绩。
高考数学 必考热点大调查5 排列组合和概率
高考数学 必考热点大调查5 排列组合和概率【最新考纲解读】1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．2．排列与组合(1)理解排列、组合的概念．(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．(3)能解决简单的实际问题．3．事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．4．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．5．随机数与几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．(2)了解几何概型的意义．【回归课本整合】1.排列数m n A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。
(2)组合数公式 ()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =. (3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
排列、组合、概率与统计的高考热点分析
排列、组合、概率与统计的高考热点分析每年的高考考试，排列组合、概率与统计等知识点都经常出现在高考考题中，也是学生们头疼的课题之一，对考生们掌握好此类知识，可以提高他们应用排列组合、概率与统计的能力，大大提升他们在高考考试中的表现，所以本文针对此类考题进行热点分析，为考生提供此类知识的复习和研究帮助。
首先介绍一下排列组合，这是一类数学思维的学科，也是高考考题中经常出现的科目之一。
排列组合是一种可以在指定字符集中任意排列组合，计算组合中字符个数的学科。
它可以应用于分层抽样等社会调查中，也可以用于数学逻辑、统计分析等各个领域，其计算方法复杂而实用性强，在高考中经常出现。
其次介绍概率，概率也是高考考题中经常出现的科目之一。
概率是研究事件发生的可能性的一种数学方法，它可以帮助确定某一事件发生的几率，是研究和评价不同情况下物品具有不同可能性的工具，它也是用于描述不同情况之间的相互关系的学科。
在高考中，考生除了要知道概率的原理和计算方法，还要了解概率的应用情况。
最后介绍统计学，它是一类结合计算机应用的学科，主要研究社会科学中的定量数据，可以帮助我们更好地了解特定社会的情况，从而进行更有效的管理和决策。
统计学也是高考考题中经常出现的，最常见的统计学问题是简单抽样、方差分析等，这些考题需要学生有系统的理解，能够根据不同条件计算出准确的结果。
总体来说，在高考考题中，排列组合、概率与统计是重要的知识点，它们的考题不仅考查学生的数学技能，还考查学生的应用能力。
考生在复习时一定要充分把握此类知识点，多多练习，熟悉此类考点，并多多思考，才能够在高考考试中取得一个好的成绩。
本文从排列组合、概率与统计三个角度，分析了高考中此类知识点的热点，指出此类考题的重要性，帮助考生把握好知识点复习，以期取得高考考试的优异成绩。
高考数学总复习排列组合与概率统计.doc
高考数学总复习------ 排列组合与概率统计【重点知回】1.排列与合⑴ 分数原理与分步数原理是关于数的两个基本原理，两者的区在于分步数原理和分步有关，分数原理与分有关.⑵ 排列与合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素行排列或合，求共有多少种方法的 . 区排列与合要看是否与序有关，与序有关的属于排列，与序无关的属于合.⑶ 排列与合的主要公式①排列数公式：(m≤n)A=n! =n(n ―1)(n ―2) ... 2·1.② 合数公式：(m≤n).③ 合数性：① (m≤n).②③2.二式定理⑴ 二式定理(a +b) n nn－ 1 n－r r nC，展开式共有 n+1 =Ca +Ca b+⋯+Ca b +⋯＋ Cb ，其中各系数就是合数n－r r，第 r+1 是 T r+1 =Ca b .二展开式的第r+1T r+1 =Ca n－r b r (r=0,1,⋯n)叫做二展开式的通公式。
⑶ 二式系数的性①在二式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二式系数相等，即C= C (r=0,1 ,2, ⋯,n).②若 n 是偶数，中( 第 ) 的二公式系数最大，其两 ( 第和第 ) 的二式系数相等，并且最大，其C= C.C；若n 是奇数，中③所有二式系数和等于2n，即 C+C＋C+⋯+C=2n.④奇数的二式系数和等于偶数的二式系数和，即 C+C+⋯=C+C+⋯=2 n―1.3.概率（ 1）事件与基本事件：基本事件：中不能再分的最的“ 位”随机事件；一次等可能的生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）率与概率：随机事件的率是指此事件生的次数与次数的比．率往往在概率附近，且随着次数的不断增加而化，幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的次数的化而化．（ 3）互斥事件与立事件：事件定集合角度理解关系互斥事件事件与不可能同生两事件交集空事件与立，与必立事件事件与不可能同两事件互互斥事件；生，且必有一个生事件与互斥，但不一是立事件（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能生的有限个基本事件”的概率模型．几何概型：每个事件生的概率只与构成事件区域的度（面或体）成比例．两种概型中每个基本事件出的可能性都是相等的，但古典概型中所有可能出的基本事件只有有限个，而几何概型中所有可能出的基本事件有无限个．（ 5）古典概型与几何概型的概率算公式：古典概型的概率算公式：．几何概型的概率算公式：．两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性与公式①事件的概率的范：．②互斥事件与的概率加法公式：．③ 立事件与的概率加法公式：．（7）如果事件 A 在一次中生的概率是p，它在n 次独立重复中恰好生k 次k ―p) n―k上，它就是二式n 的展开式的第k+1 . 的概率是 p (k) = Cp (1 . [(1 ―p)+p]n（ 8）独立重复与二分布①．一般地，在相同条件下重复做的 n 次称 n 次独立重复．注意里了三点：（ 1）相同条件；（ 2）多次重复；（ 3）各次之相互独立；②．二分布的概念：一般地，在n 次独立重复中，事件 A 生的次数X，在每次中事件 A 生的概率p，那么在 n 次独立重复中，事件 A 恰好生 k 次的概率．此称随机量服从二分布，作，并称成功概率．4、（ 1）三种抽方法① 随机抽随机抽是一种最、最基本的抽方法．抽中取个体的方法有两种：放回和不放回．我在抽中用的是不放回抽取．随机抽的特点：被抽取本的体个数有限．从体中逐个行抽取，使抽便于在践中操作．它是不放回抽取，使其具有广泛用性．每一次抽，每个个体等可能的被抽到，保了抽方法的公平性．施抽的方法：抽法：方法，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出0， 1，2，⋯， 9 十个数字的数表．随机数表中各个位置上出各个数字的等可能性，决定了利用随机数表行抽抽取到体中各个个体序号的等可能性．②系抽系抽适用于体中的个体数多的情况．系抽与随机抽之存在着密切系，即在将体中的个体均分后的每一段中行抽，采用的是随机抽．系抽的操作步：第一步，利用随机的方式将体中的个体号；第二步，将体的号分段，要确定分段隔，当（Ｎ体中的个体数，n 本容量）是整数，；当不是整数，通从体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被 n 整除，；第三步，在第一段用随机抽确定起始个体号，再按事先确定的抽取本．通常是将加上隔 k 得到第2个号，将加上k，得到第3个号，下去，直到取整个本．③分抽当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（ 2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．（ 3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时, 我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．（4）求回归直线方程的步骤：第一步：先把数据制成表，从表中计算出；第二步：计算回归系数的 a， b，公式为第三步：写出回归直线方程．（ 4）独立性检验列联表 1①列联表：列出的两个分类变量和，它们的取值分别为和的样本频数表称为分类总计1 212总计构造随机变量（其中）得到的观察值常与以下几个临界值加以比较：如果，就有的把握因为两分类变量和是有关系；如果就有的把握因为两分类变量和是有关系；如果就有的把握因为两分类变量和是有关系；如果低于，就认为没有充分的证据说明变量和是有关系．【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
排列组合与概率计算
排列组合与概率计算在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。
本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。
排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。
根据排列公式可得：P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120所以，共有120种不同的放法。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。
组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组合公式来计算不同的组合可能性：C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!)举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不同的组合？这就是一个组合问题。
根据组合公式可得：C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84所以，共有84种不同的组合方式。
三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。
在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。
例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2张红心和3张黑桃的概率是多少？首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。
根据排列公式，总共有：P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑桃的不同排列数量。
{高中试卷}高考数学高频考点、排列、组合和概率[仅供参考]
![{高中试卷}高考数学高频考点、排列、组合和概率[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/e6cf27f65901020207409ce5.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX年高考数学高频考点10、排列、组合和概率命题动向1．排列、组合是进一步学习概率统计、组合论的基础，纵观全国各地的数学试题，几乎都有1～2道排列、组合的实际应用问题或是以排列、组合为载体的概率问题出现．多数试题的难度与课本习题难度相当，但也有难度较大的试题作为选择题、填空题的把关题，这些题目背景新颖，解法灵活，具有较强的选拔功能．2．高考对二项式定理的考查，主要在应用方面出招，如用二项式定理证明不等式等．3．求随机事件的概率的试题主要考查其基本概念和基本公式，出题方向多集中在等可能性事件的概率、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率、独立重复试验五个基本概率类型上，且多以选择题、填空题的形式考查．4．随机事件的概率问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，如分类讨论、逆向思维等．概率统计为人们处理实际的数据信息，分析、把握随机事件提供了强有力的工具，也丰富、完善了中学数学的思想方法体系，进一步拓宽了概率知识的应用空间．因此，合理选择解题方法是快速解答概率问题的有效手段．押猜题18小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种植一种作物），若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有（ ）A ．36种B ．48种C ．60种D ．64种解析 依题意分两类：①茄子与辣椒只有一种被选中，则不同的种植方案种数为;123312=A C ②茄子与辣椒都被选中，则不同的种值方案种数为36331223=A C C ，故不同的种值方案共有48种.故选B.点评在处理有关计数问题时，应当注意结合题目进行恰当地分类或分步，再结合有关排列组合知识将问题解决.押猜题19已知,)1()1()1()1(221032n n n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 且,126210=++++n a a a a 那么二项式n x x )13(-的展开式中常数项为_______. 解析令1=x 可得,126222232210=++++=++++n n a a a a 而,2221)21(22222132-=--=+++++n n n 所以,126221=-+n 可得,6=n 则6)13(x x -的展开式的通项公式为,)1(3)1()3(366661r r r r r r r r x C x x C T ---+-=-⋅=令,303=⇒=-r r ∴所求的常数项为.540)1(33336-=-⋅⋅C 故应填.540-点评本题考查二项展开式的系数和问题，解决这类问题的有效方法是“赋值法”，即对x 赋予特殊值即可.另外，本题对等比数列的求和公式及二项展开式的通项公式的考查也相当充分.。
高考必背的排列组合与概率统计
n+1 n+1 数 ， 中间两项 + （第 项及第 2 2
的二项式系数相等且最大 . 1项 ）
6． 你 对 随 机 事 件 之 间 的 关 系
熟悉吗 ？ 提醒 （1 ） 必然事件 Ω ，P （Ω ）=
4． 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 是
解决二项式问题的重要工具 ， 二项 展开式的通项公式是什么 ？ 提醒
语法错误 、解题步骤错误 、答案错误等 。 奖励只属于第一个打进电话正确纠错的同学 。 纠错热线 ：（023）63658982，来电请找张老师 。
高考金刊
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xmin）； ② 确 定 组 距 和 组 数 ； ③ 确 定
分 点 ；④ 列 频 率 分 布 表 ；⑤ 画 频 率 直方图 ， 其中 ， 频率 = 小长方形的面 积 = 组距 × 频率 组距
（ r=0 ， 1 ， … ， n ）， C
（区别于该项的系数 ） . 5． 二项式定理的性质有哪些 ？
.
有奖纠错 读金刊 ，找错误 ，得奖金 。 凡在本期 《高考金刊 》上找出错误者 ，均有机会获得现金奖励 （10 元/处 ）。 错误包括 ：错别字 ，辅导类文章
A包含的等可能结果的个数
一次试验的等可能结果的总数
=
m . n
（2） 互 斥 事 件 ：P （A+B） =P （A） +
n（n-1）…（n-m+1） = n！ m！ m！ （n-m ）！
规定 C =1.
0 n
P （B ）. 对立事件 ：P （A ）=1－P （A ）.
（3 ） 相 互 独 立 事 件 ：P （A· B） = · P （A ） P （B ）.
2 n
4 n
高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用
高中数学排列组合及概率的基本公式概念及应用一、排列组合的基本公式1.排列的基本公式：排列是从一组物体中选取一部分物体按照一定的顺序进行排列的方式。
对于n个不同的物体，如果选取其中的r个进行排列，那么排列的总数为P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×12.组合的基本公式：组合是从一组物体中选取一部分物体，不考虑排列顺序的方式。
对于n个不同的物体，如果选取其中的r个进行组合，那么组合的总数为C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)。
1.排列的概念：排列是指从一组物体中选取若干个物体按照一定的顺序进行排列的方式。
在实际问题中，排列常常用于涉及位置、次序和顺序的计数问题。
应用举例：a.选取n个人中的r个人进行座位的排列问题。
b.选取n个数字中的r个数字进行排列组合的问题。
2.组合的概念：组合是指从一组物体中选取若干个物体，不考虑排列顺序的方式。
在实际问题中，组合常常用于涉及选择、挑选和组合的问题。
应用举例：a.随机抽取n张纸牌中的r张纸牌的组合问题。
b.从n个人中选取r个人进行团队的组合问题。
三、排列组合的应用1.定理应用：排列组合的概率问题中，常常可以利用排列组合的基本公式结合概率计算的定理来解决问题。
比如，使用乘法原理、加法原理、条件概率等定理来计算问题中所需的概率。
应用举例：a.在一副牌中，抽取连续的三张牌均为红桃的概率问题。
b.在一群人中，选取两个人的组合中至少有一名男性的概率问题。
2.实际问题应用：排列组合的概念和基本公式在实际问题中有着广泛的应用。
它们常常用于计数问题、组合问题、选择问题、排列问题等等。
应用举例：a.排队问题：计算n个人进行排队的方式有多少种。
b.选课问题：计算从n门课程中选择r门课程的组合有多少种。
总结起来，排列组合是高中数学中非常重要的概念和公式，可以用来解决许多实际问题。
排列组合概率专题讲解
专题五：排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点分析】1.突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2.有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两3.个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难(理科)的题目。
4.有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
5.有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大(既一道选择题或填空题、一道解答题)的形式出现，属于中等偏难的题目。
6.有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
【疑难点拨】1.知识体系：2 .知识重点：(1)分类计数原理与分步计数原理。
它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。
(2)排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。
排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选(元素)后排(顺序)这一通法。
(3)二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。
二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法一一赋值法(令X 1)的应用。
(4)等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率一、排列与组合基础知识在学习排列组合与概率之前，我们首先需要了解一些基础的排列与组合知识。
1. 排列排列是从一组元素中选取出若干元素按照一定的顺序排列的方式。
这些元素可以是数字、字母、物品等。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行排列，则表示为 P(n, m) 或 nPm，排列的公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从一组元素中选取出若干元素而不考虑顺序的方式。
与排列不同，组合只关心元素的选择而不涉及元素的顺序。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行组合，则表示为 C(n, m) 或 nCm，组合的公式为：C(n, m) = n! / [m! * (n - m)!]二、排列组合的应用排列组合的应用广泛，不仅限于数学领域，在实际生活中也能见到许多与排列组合相关的问题。
下面列举几个常见的应用场景：1. 抽奖问题在抽奖活动中，我们常会遇到从一堆奖品中抽取若干个奖品的问题，这就涉及到组合的应用。
2. 选课问题学校的选课系统通常会要求学生从众多课程中选择若干门进行学习，这就是一个排列问题。
3. 组队问题在进行体育竞赛或其他集体活动时，我们需要将一群人分成几个小组，这就是一个组合问题。
三、排列组合的公式总结在实际应用中，我们常常需要用到排列组合的公式来解决问题。
下面是一些常见的排列组合公式：1. 排列公式：- 样本不放回排列：P(n, m) = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - m + 1)- 样本放回排列：P(n, m) = n^m2. 组合公式：- C(n, m) = C(n, n - m)- C(n, m) = P(n, m) / m!- C(n, m) * C(m, k) = C(n, k) * C(n - k, m - k)四、概率与排列组合的关系排列组合与概率有着密切的关系，概率问题常常需要借助排列组合的概念来求解。
高考数学排列组合与概率题型讲解
高考数学排列组合与概率题型讲解在高考数学中，排列组合与概率是非常重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
今天，咱们就来好好梳理一下这部分的题型，帮助大家更轻松地应对高考。
一、排列组合题型1、排列问题排列是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列。
比如，从 5 个不同的球中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排法。
解决排列问题的关键是要明确元素的选取是否有顺序要求。
如果有顺序要求，就用排列数公式 A(n,m) ＝ n! ／（n m)！来计算。
例：有 5 个不同的班级，要从中选出 3 个班级按照一定的顺序进行参观，有多少种不同的选法？解：这是一个排列问题，因为班级的选取有顺序之分。
根据排列数公式，A(5,3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5×4×3 ＝ 60（种）2、组合问题组合是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。
比如，从5 个不同的球中取出3 个组成一组，有多少种不同的组法。
解决组合问题用组合数公式 C(n,m) ＝ n! ／ m!（n m)！。
例：从 10 名学生中选出 5 名参加比赛，有多少种选法？解：这是一个组合问题，C(10,5) ＝ 10! ／ 5!（10 5)！＝ 252（种）3、排列组合综合问题有些题目会同时涉及排列和组合的知识，需要我们仔细分析，分步或分类来解决。
例：从 5 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加活动，其中至少有一名女生，有多少种选法？解：可以分为两种情况，一种是有 1 名女生 2 名男生，另一种是有2 名女生 1 名男生。
有 1 名女生 2 名男生的选法：C(3,1)×C(5,2) ＝ 3×10 ＝ 30（种）有 2 名女生 1 名男生的选法：C(3,2)×C(5,1) ＝ 3×5 ＝ 15（种）所以，总的选法为 30 ＋ 15 ＝ 45（种）二、概率题型1、古典概型古典概型具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
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2014高考数学必考热点大调查：热点5排列组合和概率【最新考纲解读】1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．2．排列与组合(1)理解排列、组合的概念．(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．(3)能解决简单的实际问题．3．事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．4．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．5．随机数与几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．(2)了解几何概型的意义．【回归课本整合】1.排列数m n A 中1,n m n m ≥≥∈N 、、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅。
(2)组合数公式 ()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =. (3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
（5）多排问题单排法。
（6）多元问题分类法。
（7）有序问题组合法。
（8）选取问题先选后排法。
（9）至多至少问题间接法。
（10）相同元素分组可采用隔板法。
4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以n ！。
5．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；6.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm .理解这里m 、ｎ的意义. 7、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）.计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B ).8、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）.计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；9、独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B) .提醒：（1）如果事件A 、B 独立，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件；（2）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （A ⋅B ）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ⋅B ）＝1－P(A )P(B ).10、独立事件重复试验：事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-(是二项展开式[(1)]n p p -+的第k +1项)，其中p 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率.提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质.在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件.（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答. 11.古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：(1)有限性：在一次试验中，可能出现的不同的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，随机事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n.12．几何概型区域A 为区域Ω的一个子区域，如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型．几何概型的概率P(A)＝μA μΩ，其中μA 表示构成事件A 的区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积)．13、解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.【方法技巧提炼】1.求排列应用题的主要方法：(1)对无限制条件的问题——直接法；(2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接法或间接法，具体如下：①每个元素都有附加条件——列表法或树图法；②有特殊元素或特殊位置——优先排列法；③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法；④有不相邻元素(间隔排列)——插空法；2.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．4.事件A 的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么？它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．5．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积 (总体积、长度)”之比来表示．【考场经验分享】1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．2．解决排列、组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．3．要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．4.几何概型求解时应注意：(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．(2)由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．5.如果题设条件比较复杂，且备选答案数字较小，可考虑利用穷举法求解；如果试题难度较大并和其它知识联系到一起，感觉不易求解，一般不要花费过多的时间，可通过排除法模糊确定，一般可考虑去掉数字最大和最小的答案.【新题预测演练】1.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】“2012”含有数字0,1，2，且有两个数字2,则含有数字0,1,2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为（）A.18 B 24 C. 27 D. 362.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有（）A．80种B．100种C．120种D．240种3.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为A.36B.30C.24D.124.【2013届河北省重点中学联合考试】.甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（A））72种（B〕52种（C）36种（D）24种5.【河南省中原名校2013届高三第三次联考】用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（）A．36 B．32 C．24 D．206.【河南省中原名校2013届高三第三次联考】用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（）A．36 B．32 C．24 D．207.【武汉市部分学校2013届高三12月联考】在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种 B．48种 C．96种 D．144种8.【武汉市部分学校2013届高三12月联考】在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种 B．48种 C．96种 D．144种9.【2013届高三年级第二次四校联考】从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6 B．12 C．18 D．2410.【石室中学高2013级“一诊模拟”】反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（）（A）360种（B）840种（C）600种（D）1680种11.【2013届高三年级第二次四校联考】从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6 B．12 C．18 D．2412.【石室中学高2013级“一诊模拟”】反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（）（A）360种（B）840种（C）600种（D）1680种13.【内江市2013届高中三年级第一次模拟考试试题】某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为A、16B、18C、24D、3214.【山西省忻州实验中学2013届高三第一次月考摸底】在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有【】A．34种 B．48种 C．96种 D．144种15.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.6016.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】为继续实施区域发展总体战略，加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持力度，某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远山区中学支教，得到了积极响应，统计得知各边区学校教师需求情况如下表：现从大量报名者中选出语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名 (包含2名干部）、物理教师3名(包含1名干部），要求向每个学校各派一名干部任组长.则不同派遣方案的种数有(A)24 种（B)28种（C)36 种（D)48 种17.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种18.【河南省中原名校2013届高三第三次联考】用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（）A．36 B．32 C．24 D．2019.【武汉市部分学校2013届高三12月联考】在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种 C．96种 D．144种20.【2013届高三年级第二次四校联考】从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6 B．12 C．18 D．2421.【石室中学高2013级“一诊模拟”】反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（）（A）360种（B）840种（C）600种（D）1680种22. (2013·北京海淀区期末)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是( )A．72 B．60C．48 D．1223【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（）A.24种B.30种C.36种D. 81种24.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少名教师，则不同的分配方案的种数为（）A．12 B．36 C．72 D．10825.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x等于（）A．2 B．4 C．3 D．2或426.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]由a,a,a,b,b,c六个字母所成的排列中，a在最前，c在最后的有种27.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法种数为 （用数字作答）.概率部分1.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3a 的概率为（ ） A ．127 B ．116 C ．19 D ．133.【“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2012-2013学年上学期第三次月考】函数[]2()2,55f x x x x =--∈-，,定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是( )101.A 32.B 103.C 54.D4.【石室中学高2013级一诊模拟试题】已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}01234b c ∈、，，，，，记“该方程有实数根12x x 、且满足1212x x -≤≤≤” 为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ）（A ）516 （B ）1225 （C ）1425 （D ）16255.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为A ．14B ．13C ．34D ． 237.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和m ，则函数32y =mx nx +13-在[1，+∞)上为增函数的概率是A.12B.23C.34D.568.【2012-2013学年上学期第三次月考】同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是( )． Ａ．87 Ｂ．85 Ｃ．83 Ｄ．81 9.【邯郸市2013届高三教学质量检测】在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，M 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到M 的距离大于1的概率为（ ） A. 4π B.8π C.14π- D.18π-10.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为1625，则该队员的每次罚球命中率为 A.12 B.35 C.34 D.4511.【四川省德阳市高中2013届高三“一诊”考试 】已知Rt △ABC 中，AB =3，AC =4， ∠BAC= 90°，AD ⊥BC 于D ，E 在△ABC 内任意移动，则E 于△ACD 内的概率为（ ）A ．35B ．34C ．1625D ．45 12.【武汉市部分学校2013届高三12月联考】投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数2)(ni m +为纯虚数的概率为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．11213.【上海市浦东2013届高三一模】已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 .14.【“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2012-2013学年上学期第三次月考】口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，若摸出白球的概率为23.0，则摸出黑球的概率为____________．15.【德阳市高中2013级“一诊”考试】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m,n 设(,)a m n =,则满足||5a <的概率为_______16.【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】在区间[－6，6]，内任取一个元素 x O ，若抛物线y=x 2在x=x o 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。