福建省高三数学 寒假作业试题(理)

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知222{|},{|2}M y y x N y x y ===+=，则=⋂N M（ ）A ．{(1,1),(1,1)}-B ．{1}C ．[0，1]D ． 2．不等式|log ||||log |33x x x x +<+的解集是（ ）A ．（0，1）B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．（-∞，+∞） 3．已知点(,)P x y 在曲线22:(cos sin )(sin cos )1C x y x y θθθθ++-=上，则|OP |（O 为坐标原点）的值为（ ）A ．21B ．22C ．23 D ．1 4．已知函数4()1||2f x x =-+的定义域是[a ，b ]（a ，b ∈Z ），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a ，b ）共有（ ） A ．2个 B ．5个C ．6个D ．无数个5．如图，非零向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为6π和23π，且0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是（ ）A ．(0,)3πB ．5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 6．在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4、B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段(14,15)i j A B i j ≤≤≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则共有 对“和睦线”.A ．60B ．80C ．120D ．1607．指数函数x a y=和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象分别为C 1、C 2，点M 在曲线C 1上，线段OM （O 为坐标原点）交曲线C 1于另一点N ，若曲线C 2上存在一点P ，点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 横坐标的2倍，则点P 的坐标为（ ） A ．（4，4） B ．(4,log 4)a C ．4(,4)a D ．(log 4,2)a8．当实数x 、y 满足约束条件0(),320x y x k z x y x y k ≥⎧⎪≤=+⎨⎪++≤⎩为常数时有最大值为12，则实数k的值是（ ）A ．-12B ．-9C ．9D ．129．过点A (a ，0)作椭圆22122:1x y C a b+=的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为C 2，若C 1和C 2的离心率分别为e 和e '，则e 和e '的关系是（ ）A ．e =e 'B ．e =2e 'C ．2e =e 'D ．不能确定 10．如图，在三棱锥P ——ABC 中，PA ⊥平面ABC ，90,,,BAC AB AC D E∠=︒≠分别是BC 、AB 的中点，AC>AD ，设PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P —BC —A 的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是（ ）A ．αβγ<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γβα<<11．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组个数为（ ）A ．57B ．49C ．43D ．37 12．如图，在公路MN 的两侧有四个村镇：A 1、B 1、C 1、D 1通过小路和公路相连，各路口分别是A 、B 、C 、D ，现要在公路上建一个长途汽车站，为使各使镇村民到汽车站所走的路程总和最小，汽车站应建在（ ） A ．A 处 B ．D 处 C ．B 、C 之间的任何一处（包括B 、C ） D ．A 、B 之间的任何一处（包括A 、B ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填在题中的横线上.13．i 是虚数单位，复数3(1i)(2i)i z -++=的虚部为 .14．函数)(x f 满足1()ln 1()f x x f x +=-，且12,x x 均大于e ，12()()1f x f x +=，则12()f x x 的是小值为 .15．将正整数按表所示规律排列，把i 行j 列交叉处的一个数记作ij a (i ，j ∈N *). 如第2行第4列的数是15，记作1524=a ，则有序实数2883(,)a a = .1 4 5 16 17 36 …23 6 15 18 35 … 9 8 7 14 19 34 … 10 11 12 13 20 33 … 25 24 23 22 21 32 … 26 27 28 29 30 31 … … … … … … … …16．设集合{1,2,3,,},n n S n X S =⊆若，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集. 若n =4，则S n 的所有奇子集的容量之和为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分10分）在不等边ABC ∆中，设A 、B 、C 、所对的边分别为a ，b ，c ，已知222sin ,sin ,sin A B C 依次成等差数列，给定数列cos cos cos ,,.A B Ca a a（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：数列cos cos cos ,,()A B Ca a aA ．是等比数列而不是等差数列B ．是等差数列而不是等比数列C ．既是等比数列也是等差数列D ．既非等比数列也非等差数列 （2）证明你的判断.18．（本小题满分12分）某小组中有男生、女生若干人，如果从中选一人参加某项测试，女生被选中的概率是53；如果从中选两人参加测试，两人都是女生的概率为31（每个人被选中是等可能的）. （1）求该小组男生、女生各多少人？（2）从该小组中选出3人，求男、女生都有的概率； （3）若对该小组的同学进行某项测试，其中女生通过的概率为54，男生通过的概率为53，现对该小组中男生甲、乙和女生丙三人进行测试，求至少有2人通过测试的概率.19．（本小题满分12分）如图，O ，P 分别是正四棱柱ABCD ——A 1B 1C 1D 1的底面中心，E 是AB 的中点，AB=kAA 1. （1）求证：A 1E ∥平PBC ；（2）当k =PA 与平面PBC 所成角的正弦值； （3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ∆的重心？20．（本小题满分12分）设双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，12,R R 是它实轴的两个端点，I 是其虚轴的一个端点.已知其一条渐近线的一个方向向量是(，12IR R ∆O 为坐标原点，直线(),y kx m k m =+∈R 与双曲线C 相交于A 、B 两点，且OA OB ⊥．（1）求双曲线C 的方程；（2）求点(),P k m 的轨迹方程,并指明是何种曲线.21．（本小题满分12分）已知函数()ln ,().f x x g x x ==（1）若11,:()21x x f x g x -⎛⎫>> ⎪+⎝⎭求证；（2）是否存在实数k ，使方程221()(1)2g x f x k -+=有四个不同实数根，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.22．（本小题满分12分）已知曲线1:=xyC ，过C 点上一点(,)n n n A x y 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲线C于另一点111(,)n n n A x y +++，点A 1、A 2、A 3、…A n 、…的横坐标构成数列}{n x ，其中11117x =. （1）求1+n n x x 与的关系式； （2）若1(),()2n n f x a f x x ==-，求}{n a 的通项公式； （3）求证：212(1)(1)(1)1n n x x x -+-++-<（∈n N *）.参考答案：1－6.DADBBA 7－12.BBAABC ；13.－3；14. 57；15.(63，52)；16.7；17. (1)B ；(2)略 18.(1)男4女6；(2)；(3)9312519.(1)； 20. (1)2213y x -=；(2)22233(y x x -=≠ 21.(1)略；(2) 当02ln 21<<-k 时，原方程有四个不同的实根.22.(1) 21+=+n n n x x x ；(2) 31)2(--=n n a ；大田一中2011－2012学年高三上寒假作业二数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）1. 设集合{}2,A xx x =∈R ≤，{}2|,12Byy x x ==--≤≤，则∁R ()A B 等于 A.RB.(,2)(0,)-∞-+∞C.(,1)(2,)-∞-+∞ D.∅2. 若复数2)(i a +在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是A.B.1-C.2D.2-3. “2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 阅读右侧程序框图，输出的结果s 的值为A.0B.23C.3D.23-5. 在A B C △中，3A π∠=，3B C =，AB ，则C ∠=A.4π或34π B.34π C.4πD.6π6. 设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D.47. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A.3π2B.2πC.3πD.4π8. 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB=A.2π=x B.2π=x C.2x = D.1x =9. 在△ABC 中，P 是B C 边中点，角AB C 、、的对边分别是a b c 、、，若0c A C a P A b P B ++=，则△ABC 的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：()xxS x a a -=-，()x xC x a a-=+，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是 ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③2()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ④2()()()()()S x y S x C y C x S y -=-. A.①②B.③④C.①④D.②③11. 设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足1212P F P F F F +=,的值为A.B.2D.112. 设()f x 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立. 如果实数m n 、满足不等式组22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，那么22m n +的取值范围是 A.(3, 7)B.(9, 25)C.(13, 49)D. (9, 49)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 若等差数列{a n }的前5项和5S =25，且23a =，则4=a .14. 已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切，且与直线2:l 3460x y +-=平行，则直线1l 的方程是 .15. 设2,[0,1]1(),(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则0()e f x dx ⎰的值为 .16. 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根.其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． ⑴如果A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求co s α和sin β； ⑵在⑴的条件下，求c o s ()βα-的值；⑶已知点C (1-，求函数()f O A O Cα=⋅的值域．18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121(*)n na a n +=+∈N . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足()31231112144441n nb n b b b na ----⋅⋅⋅⋅=+，求数列{}nb 的通项公式.19. （本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D-中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D ⊥平面A B C D ，A D =1，AB 4BC =． ⑴求证：BD ⊥P C ；⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角；⑶设点E 在棱P C 上，P E P C λ=，若DE ∥平面PAB ，求λ的值.20. （本小题满分12分）已知点(1,0)A - ，(1,0)B ，动点M的轨迹曲线C满足2A M B θ∠=，2c o s 3A MB M θ⋅=，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点. (1)求A M B M +的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 面积的最大值.21. （本小题满分12分） 已知函数()1(0,)xf x e a x a e =-->为自然对数的底数. ⑴求函数()f x 的最小值；⑵若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；⑶在⑵的条件下，证明：121()()()()(*)1n n n n n n e n n n n n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中.22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π.⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q =，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++⑴解不等式()5f x >；⑵若不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围.大田一中2011－2012学年高三上寒假作业一数学（理）参考答案与解析1．D {|0},{|M y y N y y =≥=，选D.思路点拨：本题主要利用绝对值不等式||||||||||||b a b a b a +≤+≤-，左边等号成立当且仅当0≤ab ，右边等号成立当且仅当0≥ab .3．D 令cos sin ,sin cos u x y v x y θθθθ=+=-，则•v u122=+， 222222(cos sin )(sin cos )u v x y x y x y θθθθ+=++-=+，故|OP |=1思路点拨：本题考查了三角函数运算性质及换元、函数思想方法的运用. 观察到cos sin sin cos x y x y θθθθ+-与两式的对称关系，采用换元法的思想予以解决4．B ()f x 在R 上是偶函数，故()f x 的图象关于y 轴对称，作出()f x 的图象，截取值域是[0，1]的一段，发现a ，b 的取值只可能在-2，-1，0，1，2中取得，但在0，-2，2中必须至少有一个，故选B.拓展迁移：本题是利用函数的奇偶性结合函数的图象解决的，体现数形结合的思想. 在解题中要注意其图象的特点，从图形入手就会简单明了.5．B OC x 与轴正半轴的夹角的取值范围应在向量,OA OB x --与轴正半轴的夹角之间，故选B.拓展迁移：同一顶点出发的三向量之和为零向量，它们的方向有什么特点，可以通过合力为零进行思考，通过本题也可以进行总结.又O 、M 、N 三点共线，故12122x x x a x a==，即2222x x a a =，解得2log 2a x =，故(4,log 4)a P思路点拨：本题考查了对数运算性质及运算能力. 指数与对数的互换要熟练掌握，同时，结合三点共线的条件解决.8．B 当0≥k ，画出可行域，可知y x z 3+=在点（0，-k ）处取得最大值，故z =-3k ，得k =-4与0≥k矛盾. 当0<k 时，由,,.32033y x k k B z x y x y k =⎧⎛⎫--=+⎨⎪++=⎝⎭⎩得在点B处取得最大值. 即3k--k =12，解得k =-9符合条件. 拓展迁移：本题考查了线性规划的最优解问题，考查了学生逆向思维的能力，本题是含有参数的线性规划问题，解决过程中渗透分类讨论、数形结合的思想. 9． A 设弦AB 中点2222(2)4(,),(2,2),1x a y P x y B x a y a b--+=则由，规律总结：本题考查了相关点方法求轨迹，用相关点法求轨迹时，关键是分清主动点与从动点，从主动点的轨迹探求从动点的轨迹.10．A 过A 作AF ⊥BC 于F ，连结PF ，则∠PFA 为二面角P —BC —A 的平面角， ∴∠PFA =γ，∠PCA 为异面直线DE 与PC 的夹角，即∠PCA =α，连结AD ，PD 与平面 ABC 的夹角为∠PDA ，则∠PDA =β， ∵AB AC ≠，∴AF<AD ，又AC>AD ， ∴AF<AC ，∴PA PA PAAF AD AC>>， ∴tan tan tan ,,,γβααβγ>>又为锐角，∴αβγ<<.规律总结：为比较三个锐角的大小，设法比较同一个三角函数值的大小即可.11．B 以顶点为线段端点的共线三点组有C 2828=个，以棱中点为端点的共线三点组有182312=⨯个，面的中心为端点的共线三点组共3个，故共有共线三点组49个.命题动向：对于应用性题目，在近几年高考中有加强考查的趋势，应用题的解决，要善于建立函数模型，转化为数学问题予以解决.13．-3 3(1i)(2i)2i-13i13i i -i -iz -++-+-+====--.误区警示：本题考查了复数的运算，注意复数i b a +的虚部是b ，而不是b i.14．57 由题设知l n 1()ln 1x f x x -=+，故而111121()2()ln 11()()f x f x x f x f x +==+-，222211()2()ln 11()()f x f x x f x f x +==+-，则121212212()2()ln()ln ln 116()()f x f x x x x x f x f x =+=+++≥，故12()f x x 的最小值为251617-=+. 思路点拨：本题考查了函数的最值的求法、均值不等式的运用. 解决中关键是整体思想的运用.15．（63，52） 第1，3，5，…行的第一个数分别为12，32，52，…，第2，4，6…列的第一个数分别为22，42，62，可得28188371163,1252a a a a =-==++=.（2）因为222sin ,sin ,sin A B C 成等差数列， 所以2222222sin sin sin ,2B A C b a c =+=+所以.又222222222cos cos cos ,,222B a c b A b c a C a b c b abc a abc c abc +-+-+-===. 显然2cos cos cos cos cos cos ,,,B AC A B C b a c a b c=+即成等差数列. 若其为等比数列，有cos cos cos A B Ca b c==，所以tan tan tan A B C ==∴男生4人，女生6人.（2）由题意得：3346310C C 41.C 5+-= （3）22123433434931C 1.5555555125⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∙-+∙∙-∙+∙= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又M B ⊂平面PBC ，∴A 1E ∥平面PBC .（2）过A 作AF ⊥MB ，垂足为F ，连PF ，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，AF ⊂平面ABB 1A 1，∴AF ⊥BC ， BC ⋂MB=B ，∴AF ⊥平面PBC ，∴∠APF 就是直线AP 与平面PBC 所成的角，设AA 1=a ，则,AB AF =，,sin AF AP APF AP ===所以，直线AP 与平面PBC （3）连OP 、OB 、OC ，则OP BC ⊥，由三垂线定理易得OB PC ⊥，OC PB ⊥，所以O 在平面PBC 中的射影是PBC ∆的垂心，又O 在平面PBC 中的射影是PBC ∆的重心，则PBC ∆为正三角形.即PB=PC=BC ，所以k =考点拓展：本题考查了立体几何中的线面平行，直线与平面所成的角. 测试了空间想象能力和推理论证能力. 对于立体几何中的证明，最常见的是证明平行或垂直，分清脉络，从线线，到线面，到面面，形成知识网络，这类问题解决就得心应手了. 立体几何中的计算性问题，一般要遵循“一作”、“二证”、“三算”的步骤.20．解：（1）由题意，双曲线的渐近线方程为y =，则有,2b c a ==（2）设()()2211,,,y x B y x A ，直线AB ：m kx y +=与双曲线2213y x -=联立消去y ， 得222(3)230k x kmx m ----=由题意230k -≠， （2分）又由OA OB ⊥知12120x x y y +=而()()2212121212121212()x x y y x x kx m kx m x x k x x km x x m +=+++=++++所以22222223320333m m km k km m k k k+++++=--- 化简得22233m k -=① 由0∆>可得223k m <+②由①②可得22233m k -= （6分）故点P 的轨迹方程是22233(y x x -=≠ （8分）知F (x )在（1，+∞）上为增函数，又F (x )在x =1处连续，所以F (x )在[)1,+∞上为增函数，当x >1，得()(1)0F x F >=，即1()21x f x g x -⎛⎫> ⎪+⎝⎭.（2）将)(x f 与)(x g 代入原方程得k x x =+-)1ln(2122，①令2x t=，并变形得k t t =+-)1ln(21，②要使方程①有四个不同的解，则就要使方程②有两不同的正根.令121,ln(1)2y t k y t =-=+，它们的图象如图所示，当直线y 1在点0t t =处与曲线y 2相切时，由2111,121y t t '==++得，于是10=t ，得切点为（1，ln2），这时切线方程为111ln 2(1),(ln 2)222y t y t ==-=+-即，y 与y 轴的所以当02ln 21<<-k 时，原方程有四个不同的实根. 规律总结：在导数的应用中，用导数证明不等式的考查在加大. 一般其解题步骤是：一作差；二构造函数；三求函数的最小值.22．（1）11111111n n n n n n n n n n ny y x x k x x x x x x +++++--===--，∴21+=+n n n x x x .（2）12n n a x =-，则1111122222n n n n n nnx a a x x x x ++====--+---， ∴1112()33n n a a ++=-+，又02311≠-=+a ，令n 为奇数，则111111122(1)(1)22(2)(2)3333n n nn n n n n nn x x ++++++-+-=+=<+++- 11122112222n n n n n n ++++=+∙. （令n 为偶数，也可得11111(1)(1)22n n n n n n x x +++-+-<+）1111221*********n n n +<-+=-<+-++.综上：212(1)(1)(1)1n n x x x -+-++-<.大田一中2011－2012学年高三上寒假作业二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1．B 2．B 3．A 4． B 5． C 6． D 7．A 8．D 9．C 10．B 11．A 12．C 简答与提示：1. B 化简A 为[2,2]-，化简B 为[4,0]-，故()AB R ð＝(,2)(0,)-∞-+∞.2. B ai a i a 21)(22+-=+在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则210,a -=且0a <，∴1.a =-3. A ()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点，则(1)(2)0f f -<，即(3)(23)0a a -+<，∴3a >或32a <-，∴“2a <-”是“3a >或32a <-”的充分不必要条件，∴“2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的充分不必要条件. 4. B()sin3n f x π=的函数值构成周期为6的数列，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，则(1)(2)(2011)f f +++= (2011)f =(1)f =s i nπ= 5. C由正弦定理sin C =，又3B C =，A B ，∴A C >，则C 为锐角，故4C π=. 6. D 由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确.7. A 几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，全面积为21132()21222πππ+⨯⨯=. 8. D 由c o s ()y x ωϕ=+为奇函数，得2k πϕπ=+()k ∈Z ，又0ϕπ<<，∴2πϕ=.结合图象知14T =，∴2πω=，∴c o s ()s i n 222y x xπππ=+=-，当1x =时，sin 12y π=-=-，∴1x =是其一条对称轴. 9. C 由题意知11()()022c A Ca A B A C b A B A C -++-=， ∴()022a b a b c A C A B +---=，∴()22a b a b c A C A B+--=， 又A B 、A C 不共线，∴0202a ba b c -⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，∴.a b c == 10. B 经验证，只有③④正确.11. A 设1212||,||,||2P F m P F n F F c ===，不妨设m n >.由1212P F P F F F +=知，∠1290F P F =︒,则2224m n c +=,∴12c e m n =+，22ce m n=-，∴2222212112()24m n e e c ++===. 12. C 由(1)(1)0f x f x -++=得(1)(1)f x f x -=-+， 又22(623)(8)0f m m f n n -++-<，∴22(623)[1(81)]f m m f n n -+<-+--，∴222(623)[1(81)](28)f m m f n n fn n -+<---=-+. ∵()f x 是R 上的增函数，∴2623m m -+＜228n n-+， ∴22(3)(4)4m n -+-< 又3m >为半圆22(3)(4)4(3)m n m -+-=>内的点到原点的距离，故7<，∴221349.m n <+< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13. 7 14. 3410x y +-=或3490x y ++= 15.4316. ①② 简答与提示：13. 7 依题意35a =，23a =，则2d =，∴47.a =14. 3410x y +-=或3490x y ++= 设直线1:340l x y b ++=，与圆22(1)1x y ++=相切，故|4|1,5b -=∴9b =或1,b =-∴所求直线方程为3410x y +-=或3490x y ++=. 15.4313210011114()ln 1.333ee ex f x dx x dx dx x x =+=+=+=⎰⎰⎰16. ①② 由()f x 的图象知()0f x >,则2,0[()],0x xe e xf f x e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥, 根据[()]f f x 的图象(如图)可知，①②正确.三、解答题（本大题必做题5小题,三选一中任选1小题,共70分） 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义，两角和、差的正余弦公式的运用，以及三角函数的值域的有关知识，同时还考查了向量的数量积的运算等知识. 【试题解析】解：（1）根据三角函数的定义，得4sin 5α=，12sin 13β=． 又α是锐角，所以3cos 5α=． ( 4分) （2）由（1）知12sin 13β=． 因为β是钝角，所以5cos 13β=-． 所以5312433c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565βαβαβα-=+=-⨯+⨯=． ( 8分) （3）由题意可知，(c o s s i n)O A αα=，，(O C ．所以()3s i nc o s 2s i n ()6f O A O C παααα=⋅=-=-，因为02πα<<，所以663πππα-<-<，1s i n ()26a π-<-从而1()f α-<()f O A O C α=⋅的值域为(-． ( 12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式.【试题解析】解：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+nn a a ， 而11a =，故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列，12nn a +=即，因此12-=n n a ． ( 5分) （2）∵()nnnb b b b a n14444113121321+=⋅⋅---- ，∴23212432nn nb b b b n=-++++ ，( 7分) ∴()23212322n n nb b b b n =-++++ ， 即()n n nb b b b n23222321+=++++ ，① 当2n ≥时，221212[2(1)](1)2(1)1n b bn b n n n -+++-=-+-=-，② ①－②得()2212n n b n n =+≥，()1122n b n n=+≥． （10分）可验证1=n 也满足此式，因此nb n 211+=．（12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：【方法一】（1）证明：由题意知D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥=面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥面在面内， （4分） （2）∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面AB C D . ∴平面PDC ⊥平面AB C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G,则∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.在Rt △DFC中，∠90D F C =︒，3D F C F =， ∴t a n F D ∠，∴∠60F D G =︒.即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （8分）（3）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .又∵DE ∥平面PAB ， ∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .又∵1,4,1,A DB CB F === PEB CDA GP E B C DA∴1,4P E B F P C B C ==∴14PE PC =，即1.4λ= （12分） 【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）设P D a =，则(1,3,0),(3,)B D PC a =--=--， ∵330BD P C ⋅=-=，∴B D P C ⊥. （4分） （2）由（1）知B D P D C D B⊥面就是， 由条件知A （1，0，0），B （10），(0,3,0),(1,30)A B D B ==.设A B P D C 与面所成角大小为，则||si n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒， 即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （8分） （3）由（2）知C （－3，3，0），记P （0，0，a ），则A B =），(0,0,)D P a =，P A a =（1，0，-），P C a =--）， 而PE P Cλ=，所以P E a =-（，）， D E D P P E D P P C λ=+=+(0,0,)(33)a a λλλ=+--，，=3,.aa λ--）设n x y z =（，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.1z x a==取，得， 进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而， （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设(,)M x y ，在△M A B 中，2AB =，2A M B θ∠=，根据余弦定理得222c o s 24A M B MA M B M θ+-⋅=. （2分） 即2()2(1c o s 2)4A M B M A M B M θ+-⋅+=.22()4c o s 4A M B MA M B M θ+-⋅=.而2c o s 3A M B M θ⋅=，所以2()434A M B M +-⨯=. 所以4A M B M +=. （4分） 又42A M B M A B +=>=，因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆（点M 在x 轴上也符合题意）， 2a =，1c =.B所以曲线C 的方程为22143x y +=. （6分）(2)设直线P Q 的方程为1x m y =+. 由221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690m y m y ++-=. ① 显然方程①的0∆>,设11(,)P x y ,22(,)Qx y ,则1212122A P Q S y y y y ∆=⨯⨯-=- 由韦达定理得122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. （9分） 所以2221212122233()()448(34)m yy y y y y m +-=+-=⨯+. 令233t m =+，则3t ≥，21248()12y y t t-=++. 由于函数1()t t tϕ=+在[3,)+∞上是增函数.所以1103t t +≥，当2333t m =+=，即0m =时取等号. 所以21248()91023y y -=+≤，即12y y -的最大值为3. 所以△APQ 面积的最大值为3，此时直线P Q 的方程为1x =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题意0,()xa f x e a'>=-， 由()0xf x e a '=-=得l n x a =.当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增.即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值， 其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- （4分）（2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.g a a aa =--，所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. ∴()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（8分）（3）由（2）知，因为1a =，所以对任意实数x 均有1x e x --≥0，即1x x e+≤. 令kx n=- (*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01kn k e n - <-≤.∴(1)()k n n kn k e en - --=≤. ∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n-------+++++++++≤ (11)11111ne ee e e ----=<=---. （12分） 22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程的求解，以及轨迹方程等内容.【试题解析】解：（1）设M ),(θρ是圆C 上任一点，过C 作C H O M ⊥于H 点，则在R t△CO H 中，c o s O H O C C O H =⋅∠，而3C O H C O M πθ∠=∠=-，1122O H O M ρ==，2O C =，所以12c o s 23πρθ=-，即4co s ()3πρθ=- 为所求的圆C 的极坐标方程. ( 5分)（2）设(,)Q ρθ点的极坐标为，由于3O P O Q =，所以1(,)3P ρθ点的极坐标为代入⑴中方程得14c o s ()3πρθ=-，即6c o s i nρθθ=， ∴26c o s si n ρ=，226x y x +=, ∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为2260x y x =. (10分) 23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1)根据条件311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩≤≤，，， 当1x >时，5)(>x f 44315,1,;33x x x x ⇔+>⇔>>>又所以 当11x -≤≤时，5)(>x f 352,1;x x x ⇔+>⇔>≤≤又此时无解-1， 当1x <-时，5)(>x f 3152,1,2.x x x x ⇔-->⇔<-<-<-又所以 综上，5)(>x f 的解集为4{|3x x >或2}x <-. （5分） (2)由于311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩≤≤，，，可得()f x 的值域为∞[2,+).又不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，所以a ∞的取值范围是(-,2]. （10分）。