2017-2018学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞1}D．{x|x＞0}2．（5分）执行如图所示程序框图，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥n，则n⊥α4．（5分）要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度5．（5分）已知非零平面向量，，则“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）函数f（x）在其定义域内满足xf'（x）+f（x）=e x，（其中f'（x）为函数f（x）的导函数），f（1）=e，则函数f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值8．（5分）袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=1，a4=8，则{a n}的前5项和S5=．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），将线段OA绕原点O 按逆时针方向旋转60°，得到线段OB ，则向量的坐标为．11．（5分）已知函数，若方程f（x）=m有2个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为；表面积为．13．（5分）某品牌连锁便利店有n个分店，A，B，C三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：表1某日总店向各分店分配的商品A，B，C的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A，B，C的总价和总重量：表3则a=；b=．14．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）=0．试写出一个函数解析式f（x）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为，满足S n=2a n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项积为T n，求T n．17．（13分）已知△ABC中，，a=．（Ⅰ）若b=，求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的值．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一个动点．（Ⅰ）若E为PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱锥P﹣BDE的体积是四棱锥P﹣ABCD体积的，求的值．19．（13分）已知函数f（x）=kx﹣﹣（k+1）lnx，k∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＞0时，若函数f（x）在区间（1，2）内单调递减，求k的取值范围．20．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方，并说明理由．2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞1}D．{x|x＞0}【解答】解：集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}={x|log2x＞log22}={x|x＞2}，则A∩B={x|x＞1}∩{x|x＞2}={x|x＞2}，故选：A．2．（5分）执行如图所示程序框图，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第1次执行循环体后，S=4，i=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，S=8，i=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，S=14，i=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，S=22，i=5，满足退出循环的条件；故输出的i值为5，故选：C．3．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥n，则n⊥α【解答】解：对于A，若β∥α，则β内的任意两条直线都与α平行，故A错误；对于B，若n⊂α，则结论显然不成立，故B错误；对于C，若n⊂α，则结论显然不成立，故C错误；对于D，若m⊥α，则m与α内的所有直线都垂直，又m∥n，∴n与α内的所有直线都垂直，∴n⊥α，故D正确．故选：D．4．（5分）要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，可得y=sin2x，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得y=sin2（x﹣）=sin（2x ﹣）．故选：C．5．（5分）已知非零平面向量，，则“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若||=||+||，则方向相同，∴共线，∴存在非零实数λ，使=λ．∴“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的充分条件；（2）若存在非零实数λ，使=λ，则共线，∴当方向相同时，||=||+||，当方向相反时，||＜||+||，∴∴“||=||+||”不是“存在非零实数λ，使=λ”的必要条件．故选：A．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，底面面积S=1×1+×（1+2）×1=，高h=2，故体积V=Sh=5，故选：A．7．（5分）函数f（x）在其定义域内满足xf'（x）+f（x）=e x，（其中f'（x）为函数f（x）的导函数），f（1）=e，则函数f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值【解答】解：由xf′（x）+f（x）=e x，得到[xf（x）﹣e x]'=0，设xf（x）﹣e x=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，=f（1）=e，无极大值，故f（x）极小值故选：B．8．（5分）袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球【解答】解：因为2+3=5，2+4=6，2+5=7，2+6=8，3+4=7，3+5=8，3+6=9，4+5=9，4+6=10，5+6=11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3=6，2×4=8，2×5=10，2×6=12，3×4=12，3×5=15，3×6=18，4×5=20，4×6=24，5×6=30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1=1，a4=8，则{a n}的前5项和S5=31．【解答】解：数列{a n}为公比为q的等比数列，a1=1，a4=8，可得a1q3=q3=8，解得q=2，则{a n}的前5项和S5===31．故答案为：31．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），将线段OA绕原点O 按逆时针方向旋转60°，得到线段OB，则向量的坐标为（﹣，）．【解答】解：B点坐标为（cos150°，sin150°），即（﹣，）∴=（﹣，）．故答案为：（﹣）．11．（5分）已知函数，若方程f（x）=m有2个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（1，] ．【解答】解：0＜x＜1时，x∈（0，+∞），x≥1时，2﹣x+1∈（1，]，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若方程f（x）=m有2个不相等的实数根，则y=f（x）和y=m有2个不同的交点，结合图象m∈（1，]，故答案为：（1，]．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为24；表面积为14．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是4，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是3，故底面面积为：2×4=8，高h=3，故体积V=24，侧面VAD的面积为：6，侧面VAB和VCD 的面积均为：，侧面VBC的面积为：2，故棱锥的表面积为：14故答案为：24，1413．（5分）某品牌连锁便利店有n个分店，A，B，C三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：表1某日总店向各分店分配的商品A，B，C的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A，B，C的总价和总重量：表3则a=1080；b=0.2m1+0.3m2+0.4m3．【解答】解：由已知中的表1，表2得：a=12×15+15×20+20×30=1080，b=0.2m1+0.3m2+0.4m3故答案为：1080；0.2m1+0.3m2+0.4m314．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）=0．试写出一个函数解析式f（x）=2|cosx| ．【解答】解：由题意得：f（x）的定义域是R，值域是[0，2]，函数f（x）是偶函数，故y=2|cosx|或y=cosx+1或y=等，故答案为：2|cosx|．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【解答】解：因为，所以===．（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．所以．所以．即函数f（x）的取值范围为[0，]．16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为，满足S n=2a n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项积为T n，求T n．【解答】解：（Ⅰ）由S n=2a n﹣1可得，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，即有a1=1；当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1，a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，则数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，即，n∈N*．（Ⅱ）．17．（13分）已知△ABC中，，a=．（Ⅰ）若b=，求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，可得．所以sinA=．在三角形中，由已知b＞a，所以．…（6分）（Ⅱ）由面积公式可得，，解得c=3．由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB=18+2﹣6=14，所以b=…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一个动点．（Ⅰ）若E为PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱锥P﹣BDE的体积是四棱锥P﹣ABCD体积的，求的值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，设AC交BD于O，连接EO．因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点．又因为E为PA的中点，所以EO∥PC．因为PC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．…（10分）解：（Ⅲ）设四棱锥P﹣ABCD的体积为V．因为PA⊥平面ABCD，所以．又因为底面ABCD是菱形，所以，所以．根据题意，，所以．又因为，所以．…（14分）19．（13分）已知函数f（x）=kx﹣﹣（k+1）lnx，k∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＞0时，若函数f（x）在区间（1，2）内单调递减，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，==，（1）当k≤0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）为单调递增函数；令f'（x）＜0，解得x＞1，此时函数f（x）为单调递减函数．（2）当k＞0时，①当，即k＞1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1，此时函数f（x）为单调递增函数；令f'（x）＜0，解得，此时函数f（x）为单调递减函数．②当k=1时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；③当，即0＜k＜1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或，此时函数f（x）为单调递增函数；令f'（x）＜0，解得，此时函数f（x）为单调递减函数．…（9分）综上所述，当k≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；当0＜k＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞），单调递减区间为（1，）；当k=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当k＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，+∞）．（Ⅱ），因为函数f（x）在（1，2）内单调递减，所以不等式在在（1，2）上成立．设g（x）=（kx﹣1）（x﹣1），则即，解得．…（13分）20．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方，并说明理由．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），（Ⅰ），又，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为．即．…（4分）（Ⅱ）“要证明”等价于“”．设函数g（x）=xlnx．令g'（x）=1+lnx=0，解得．因此，函数g（x）的最小值为．故．即．…（9分）（Ⅲ）曲线y=f（x）位于x轴下方．理由如下：由（Ⅱ）可知，所以．设，则．令k'（x）＞0得0＜x＜1；令k'（x）＜0得x＞1．所以k（x）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数．所以当x＞0时，k（x）≤k（1）=0恒成立，当且仅当x=1时，k（1）=0．又因为，所以f（x）＜0恒成立．故曲线y=f（x）位于x轴下方．…（14分）。