人教B版高中数学必修四测试卷一

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高中数学必修四(人教B版)练习：第三章三角恒等变换3.1.1 Word版含解析

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)．求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0，即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角．又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3，又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-旋转体

课时练习(十三) 旋转体(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台C [圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．]3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2πA [设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π.]4．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( )A ．54πB ．8πC ．4πD ．16πA [S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π.]5．长方体的体对角线长为52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200πC [∵对角线长为52，∴2R ＝52，S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222＝50π.] 二、填空题6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是________． 2π＋4π2 [由题意可知，2πr ＝h ＝2π，则r ＝1，所以圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ＝2π＋4π2.]7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．2∶1 [S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.] 8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．100π [设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .由母线长为10可知10＝(3r )2＋(4r )2＝5r ，∴r ＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]三、解答题9.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ．当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的几何体．10．已知一个表面积为120 cm 2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．[解] 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a ，半球的半径为R ，由6a 2＝120，得a 2＝20，在Rt △AOB 中，AB ＝a ，OB ＝22a ，由勾股定理，得R 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝3a 22＝30. 所以半球的表面积为S ＝2πR 2＋πR 2＝3πR 2＝3×30π＝90π(cm 2)．11．(多选题)下列命题中正确的是( )A ．过球面上任意两点只能作球的一个大圆B ．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径C ．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面D ．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫做球面BCD [过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A 错误；由球及球面的概念可知B 、C 、D 均正确．]12．我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”(注：1丈等于10尺)( )A ．29尺B ．24尺C ．26尺D ．30尺C [由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边(圆木的高)长24尺，与其相邻的边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长＝242＋102＝26(尺)．]13．若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．3π [因为棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，所以球的半径是r ＝32，所以球的表面积是4×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.] 14．(一题两空)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392，母线所在的直线与轴的夹角是45°，则这个圆台的高为________，母线长为________．14 142 [圆台的轴截面如图所示，由题意可设圆台上、下底面半径分别为x,3x ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S .在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，∠SOA ＝90°，∴SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，∴OO 1＝2x ，∴S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14，母线长A 1A ＝2OO 1＝14 2.]15．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的底面半径为3 cm ，圆锥SO 的高为24 cm.(1)试求圆台的母线长l ；(2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．[解] (1)设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，O′A′＝3，∴O′A′OA＝14，∴OA＝12 cm.又SO＝24 cm，∴SA＝122＋242＝125cm.AA′＝34SA＝9 5 cm，即圆台的母线长为95cm.(2)如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则OC＝22x，∴22x12＝24－x24，解得x＝24(2－1)，∴正方体的棱长为24(2－1)cm.。

数学导学练人教B版全国通用必修四练习：第二章平面向量2.3.2 Word版含答案(1)

高中数学必修四
2.1.3 向量的减法
1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点) 2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 向量的减法阅读教材 P84 倒数“第 7 行”以上内容，完成下列问题.
【导学号：72010046】
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则 a 与 b 方向相同；
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 有相等的模；
④若||a|－|b||＝|a－b|，则 a 与 b 方向相同.
【解析】当 a，b 方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当 a，b 方
“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB”改为“BA”.
[再练一题]
→→→ 2.如图 2121，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE
→→→→→ ＝c，试用 a，b，c 表示向量BD，BC，BE，CD及CE.
图 2121
【解】 ∵四边形 ACDE 为平行四边形，
→→→ 所以||AB|－|AD||<|AC|
→→ → → ＝|AB＋AD|<|AB|＋|AD|，
→ 即 0<|AC|<4.
→ 【答案】 (1)D (2)①0 ②AB (3)2 (0,4)
1.向量加法与减法的几何意义的联系：
高中数学必修四
→→
→
→
(1)如图所示，平行四边形 ABCD 中，若AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b.

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-棱锥与棱台

课时练习(十二) 棱锥与棱台(建议用时：40分钟)一、选择题1．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥D[因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．]2．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④D．①②C[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]3．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形B[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．]4．下列三种叙述，其中正确的有()①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个A[①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点．②不正确，因为所得几何体两底面不相似，侧棱延长后不交于一点．③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．]5．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A ．34a 2 B ．32a 2 C ．334a 2 D ．332a 2A [如图，在三棱锥S -ABC 中，AB ＝a ，SO ＝66a ，于是OD ＝13·AB ·sin 60°＝36a ，从而SD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫66a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝a2，故三棱锥的侧面积为S ＝3×12×a ×a 2＝34a 2.]二、填空题6．如图，已知四边形ABCD 是一个正方形，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，沿折痕DE ，EF ，FD 折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．]7．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．七 [由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．]8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为________．3＋34a 2[底面边长为a，则斜高为a2，故S侧＝3×12×a×12a＝34a2.而S底＝34a2，故S表＝3＋34a2.]三、解答题9．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．10．如图，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．[解]设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16 cm，则OB＝8 2 cm，OE＝8 cm；在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，则O′B′＝2 2 cm，O′E′＝2 cm.在直角梯形O′OBB′中，BB′＝OO′2＋(OB－O′B′)2＝172＋(82－22)2＝19(cm)．在直角梯形O′OEE′中，EE′＝OO′2＋(OE－O′E′)2＝172＋(8－2)2＝513(cm)．即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为513 cm.11．(多选题)对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是()A．可能是棱锥B．可能是棱台C．一定不是棱锥D．一定不是棱柱BCD[有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选B、C、D．]12．若棱长为1的正四面体ABCD中，M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为()A．22B． 2 C．33D．2A[如图，连接AN，BN，∵正四面体ABCD的棱长为1，N是CD的中点，∴BN＝AN＝3 2.∵M是AB的中点，∴MN⊥AB，∴MN＝BN2－BM2＝34－14＝22.]13．已知正三棱锥的高是10 cm，底面积是12 3 cm2，则它的侧棱长是________cm.229 [如图，已知三棱锥高SO＝10 cm，S正△ABC＝123，∴底面正三角形边长BC＝4 3.又O为△ABC中心，∴OC＝23CD＝23·32·43＝4.在Rt△SOC中，SC＝SO2＋OC2＝102＋42＝229.]14．在如图所示的三棱锥A-BCD中，BD＝2，DC＝3，∠DAB＋∠BAC＋∠DAC ＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝90°.现有一只蚂蚁从点D出发经三棱锥A-BCD 的三个侧面绕行一周后回到点D，则蚂蚁爬行的最短距离为________．52[三棱锥的侧面展开图如图(实线部分)所示．由题意知，蚂蚁爬行的最短距离即为DD ′. ∵∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DAD ′＝90°.∵∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝90°且AD ＝AD ′， ∴四边形ADED ′为正方形．由题意，得BC ＝22＋32＝13，设CE ＝x ，则BE ＝13－x 2. ∵DE ＝D ′E ，∴3＋x ＝2＋13－x 2，解得x ＝2， ∴DE ＝D ′E ＝5， ∴DD ′＝25＋25＝5 2.]15．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图所示，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，连接SE ，则SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴3×12ah ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，且OE ＝13×32a ＝36×3h ′＝h ′2， ∴由SO 2＋OE 2＝SE 2，得32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′22＝h ′2，∴h ′＝23，a ＝3h ′＝6，∴S底＝34a2＝34×62＝93，S侧＝2S底＝183，∴S表＝S侧＋S底＝183＋93＝27 3.。

新教材人教B版高中数学必修第四册全册各章知识点汇总及配套习题

人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 -第九章解三角形知识体系题型探究利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．[思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ，进而得cos ∠ABD 的值，利用余弦定理可解；(2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin ∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解．[解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理知，BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12×54×54×45＝58.利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求． (2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用．(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错误．(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．如图所示，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． [解] (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.三角变换与解三角形的综合问题【例2】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系．(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[跟进训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1. ∵0°<C <120°， ∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，则A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，化简得(a －c )2＝0. ∴a ＝c .又B ＝60°， ∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．角度2 三角形边、角、面积的求解【例3】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由已知，根据正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角， ∴B ＝π4.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ，由正弦定理知a ＝b sin A sin B ＝222×sin A ＝22sin A ，同理，c ＝22sin C ，∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A －cos 3π4sin A＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin 2A ＋1－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＋1，∴当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，S △ABC 有最大值2＋1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．[跟进训练]3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin (π－B －C ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝sin B cos π4＋cos B sin π4 ＝7210. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4A 处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B 处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究] 假设经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x 海里，BC ＝10x 海里，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－34舍去.故AC ＝28海里，BC ＝20海里．根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.应用解三角形知识解决实际问题四步曲(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[跟进训练]4．甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解] 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P ，Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t <2时，如图①，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2×(20－10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝84t 2－240t ＋400 ＝221t 2－60t ＋100； ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16； ③当t >2时，如图②，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos 60°＝221t2－60t＋100.综合①②③知，PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)．当且仅当t＝3021＝107时，PQ最小．所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．[培优层·素养升华]【例题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C.[思路探究](1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小；(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sin C.[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，整理得cos(C＋60°)＝－2 2.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查直观想象、数学运算等学科素养.[素养提升练]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5 C．4 D．3A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.]第十章复数知识体系·题型探究复数的概念【例1】 32 (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解． [解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0，③由②得x ＝4，经验证满足①③式．所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0，③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．[跟进训练]1．(1)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D ．45(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.故选D ．(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1.法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1.]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z－＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝2.故选C ．(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z 为实数.[跟进训练]2．(1)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB ．35i C ．－i D ．i(2)已知复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.(1)C (2)4＋2i [(1)依题意知，2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i5＝i ，∴其共轭复数为－i. (2)z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2∈R ，所以a ＝4. 所以z 2＝4＋2i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数i1－i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(0,1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35[思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)B (2)A [(1)复数i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i. ∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.∴复数i1－i在复平面内对应的点位于第二象限．故选B ． (2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A ．]1．复数的几何表示法复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)|z －z 1|＝r 表示复数对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆．(2)|z －z 1|＝|z －z 2|表示以复数z 1，z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．[跟进训练]3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A ．(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．]函数与方程思想【例4】已知f (z )＝|1＋z |－z ，且f (－z )＝10＋3i ，求复数z .[思路探究] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由复数相等列方程组求解即可．[解] ∵f (z )＝|1＋z |－z －，∴f (－z )＝|1－z |＋z －. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.由f (－z )＝10＋3i ，得|1－(a ＋b i)|＋a －b i ＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＋a ＝10，－b ＝3，解方程组得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3，∴复数z ＝5－3i.一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．[跟进训练]4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．[解] 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝(x ＋3)＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．[培优层·素养升华]【例1】设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD ．－1－2iD [∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.] 【例2】设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0Da 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．]高考对复数的考查较为基础，通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算，属容易题，重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.[素养提升练] 1．设z ＝3－i1＋2i，则|z |＝( ) A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．1C [∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.] 2．i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．13 [∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.]第十一章立体几何初步知识体系[提升层·题型探究]空间几何体的表面积与体积【例们将体积公式“V ＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( )A ．π4∶π6∶1B ．π6∶π4∶2C ．1∶3∶12πD ．1∶32∶6πD [球中，V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 23＝π6D 3＝k 1D 3，所以k 1＝π6；等边圆柱中，V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·D ＝π4D 3＝k 2D 3，所以k 2＝π4；正方体中，V ＝D 3＝k 3D 3，所以k 3＝1，所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1＝1∶32∶6π.]记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关键.涉及古代文化背景的题目，首先读懂题意，再按题意与所学的知识联系起来，将问题转化为我们熟悉的问题后再解决.[跟进训练]1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．142π平方尺B ．140π平方尺C ．138π平方尺D ．128π平方尺C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为72＋52＋82＝138尺，所以表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫13822＝138π平方尺．] 与球有关的切、接问题【例2 [思路探究] 正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O 重合，则内切球的半径为点O 到各面的距离，外接球的半径为点O 到各顶点的距离，棱切球的半径为点O 到各棱的距离．[解] 由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合．如图所示，设正四面体A -BCD 的高为AG ，O 为正四面体的中心，连接CG 并延长交BD 于点E ，连接OC ，OE ，则外接球的半径R ＝OA ＝OC ．由题意可得CE ＝3a 2，则CG ＝23CE ＝3a 3，EG ＝13CE ＝3a 6，所以AG ＝AC 2－CG 2＝6a 3.所以OG ＝6a 3－R .在Rt △OCG 中，OC 2＝OG 2＋CG 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 3－R 2＋a 23，解得R ＝6a 4. 所以内切球的半径r ＝OG ＝6a 3－6a 4＝6a 12.棱切球的半径为OE ＝EG 2＋OG 2＝a 212＋a 224＝2a 4.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下：[跟进训练]2．(1)已知正方体的外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长是( )A ．2 2B ．233C ．423D ．433(2)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．543(1)D(2)B[(1)根据球的体积，求得其半径r＝2，再由r＝3a2可得棱长a为43 3.(2)设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，解得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－(23)2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.]空间中的平行关系【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．[思路探究]假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF，PM，则必有AF∥PM，又PB ＝2MA，则点F是PB的中点．[解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝12PB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD．又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA 12PB，∴PF MA．∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC．∴平面AFC∥平面PMD．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MO∥AP，又因为MO⊂平面BDM，P A⊄平面BDM，所以P A∥平面BDM，又因为P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BDM＝GH，所以P A∥GH.空间中的垂直关系【例4】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．[解](1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，所以AD⊥侧面BB1C1C．所以AD⊥CC1.(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因为A1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥侧面BB1C1C．因为C1N⊂截面MBC1，所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[跟进训练]4．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上(P 不与B ，C 重合)，E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .(1)证明：BP ⊥平面DCP ；(2)若BC ＝2，当三棱锥D -BPC 的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离．[解] (1)证明：因为平面ABCD ⊥平面BPC ，ABCD 是正方形，平面ABCD ∩平面BPC ＝BC ，所以DC ⊥平面BPC ．因为BP ⊂平面BPC ，所以BP ⊥DC ．因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP ⊥PC ．又DC ∩PC ＝C ，所以BP ⊥平面DCP .(2)当点P 位于BC ︵的中点时，△BCP 的面积最大，三棱锥D -BPC 的体积也最大．因为BC ＝2，所以PE ＝1，所以△BEP 的面积为12×1×1＝12，所以三棱锥D -BEP 的体积为13×12×2＝13.因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP＝(22)2－(2)2＝6，△BDP的面积为12×2×6＝ 3.设E到平面BDP的距离为d，由于V D-BEP＝V E-BDP，则13×3×d＝13，得d＝33，即E到平面BDP的距离为33.空间中的角的求解【例5】如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝23，SC ＝1.(1)画出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度数；(2)求三棱锥S-ABC的体积．[解](1)取AB中点D，连接SD，CD，因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，所以SD⊥AB，CD⊥AB，且SD⊂平面SAB，CD⊂平面CAB，所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．在直角三角形SDA中，SD＝SA2－AD2＝22－(3)2＝1，在直角三角形CDA中，CD ＝CA 2－AD 2＝22－(3)2＝1，所以SD ＝CD ＝SC ＝1，所以△SDC 是等边三角形，所以∠SDC ＝60°.(2)法一：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDC ，且平面ABC ∩平面SDC ＝CD ，在平面SDC 内作SO ⊥DC 于O ，则SO ⊥平面ABC ，即SO 是三棱锥S -ABC 的高．在等边△SDC 中，SO ＝32，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝13S △ABC ·SO ＝13×12×23×1×32＝12.法二：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ．在等边△SDC 中，S △SDC ＝34SD 2＝34，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝V A -SDC ＋V B -SDC ＝13S △SDC ·AB ＝13×34×23＝12.1．两条异面直线所成的角(1)一般通过平移(在所给图形内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．2．直线和平面所成的角当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步骤一找(寻找现成的二面角的平面角)；二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．[跟进训练]5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32A [如图，分别取BC ，CD ，AD ，BD 的中点M ，N ，P ，Q ，连接MN ，NP ，MP ，PQ ，MQ ，则MN ∥BD ，NP ∥AC ，所以∠PNM 即为异面直线AC 和BD 所成的角(或其补角)．又由题意得PQ ⊥MQ ，PQ ＝12AB ，MQ ＝12CD ．设AB ＝BC ＝CD ＝2，则PM ＝ 2.又MN ＝12BD ＝2，NP ＝12AC ＝2，所以△PNM 为等边三角形，所以∠PNM ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角为60°，其余弦值为12.][培优层·素养升华]【例题】如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．[思路探究](1)连接B1C，ME，可得四边形MNDE为平行四边形，进而得出MN∥DE，可证MN∥平面C1DE.(2)由已知可证DE⊥平面C1CE，过点C作CH⊥C1E于点H，则DE⊥CH，进而可证CH⊥平面C1DE，计算可得CH的长，从而得所求距离．[解](1)证明：如图所示，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)如图所示，过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.本题属中档题，难度不大，考查了线面平行的证明及点面距离的计算，充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.[素养提升练]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，所以AB⊥PD．又因为P A⊥PD，P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB．所以平面P AB⊥平面PCD．(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC．所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．。

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-多面体与棱柱

课时练习(十一) 多面体与棱柱(建议用时：40分钟)一、选择题1．下面多面体中，是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个D[这4个多面体均为棱柱．]2．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是()A．Q⊇N⊇M⊇P B．Q⊇M⊇N⊇PC．P⊇M⊇N⊇Q D．P⊇N⊇M⊇QD[正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故P⊇N⊇M⊇Q.] 3．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A．22 B．20 C．10 D．11A[所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法错误的是()A．该几何体可看作由2个同底的四棱锥组成的组合体B．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形D [该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它可看作两个四棱锥的组合体，但是平面ABCD 是它的一个截面而不是它的一个面．故D 说法不正确．]5．正三棱柱ABC A ′B ′C ′的底面边长是4 cm ，过BC 的一个平面交侧棱AA ′于D ，若AD 的长是2 cm ，则截面BCD 的面积为( )A ．6 cm 2B ．2 2 cm 2C ．8 cm 2D ．2 3 cm 2C [如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ．因为AE ＝32×4＝23，所以DE ＝(23)2＋22＝4，所以S △BCD ＝12BC ·ED＝12×4×4＝8(cm 2)．所以截面BCD 的面积为8 cm 2.]二、填空题6．(一题多空)如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2,2,1，则长方体的表面积为________，面对角线有________条，体对角线有________条．16 12 4 [由表面积的定义，可得长方体的表面积为4×1×2＋2×2×2＝16，面对角线有2×6＝12(条)，体对角线有4条．]7．如图，在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能构成的平面图形或几何体是________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体．①③④[①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1-C1BD；④正确，如四面体B1-ABD．] 8．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________．6[因为用平面去截正方体时，最多与六个面相交得六边形，即截面的边数最多为6.]三、解答题9．画出如图所示的几何体的表面展开图．[解]表面展开图如图所示(答案不唯一)．10．如图所示，在长方体A′B′C′D′ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，BB′＝1 cm，把长方体侧面展开，求BD′的最短距离．[解]如图①得BD′＝52＋1＝26，由图②得BD′＝18＝32，由图③得BD′＝20＝25，∴(BD′)min＝3 2.11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．10D [如图，在五棱柱ABCDE -A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．]12．(多选题)一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形BD [因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状可以是矩形，所以B 是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以D 是正确的；过正方体的中心的平面截正方体得到的截面不可能是三角形和五边形．故选BD ．]13．一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm ，全面积等于144 cm 2，则这个棱柱的侧面积为________ cm 2.112或72 [设底面边长、侧棱长分别为a cm ，l cm ，则⎩⎨⎧ a 2＋a 2＋l 2＝9，2a 2＋4al ＝144，∴⎩⎨⎧ a ＝4，l ＝7，或⎩⎨⎧a ＝6，l ＝3. ∴S 侧＝4×4×7＝112(cm 2)，或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．]14．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]15．给出一块正三角形纸片(如图所示)，要求将其剪拼成一个底面为正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪接方案，并用虚线标示在图中，并作简要说明．[解]如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.。

高中数学(人教,必修4)第一章《三角函数》测试题B卷.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高中数学必修4第一章《三角函数》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．sin(－103π)的值等于 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为 ( )A ．0 B.33C ．1 D. 33．函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是 ( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π124．已知f (sin x )＝x ，且x ∈[0，π2]，则f (12)的值等于( )A ．sin 12 B.12 C ．－π6 D.π65．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于 ( )A ．－2 2B ．22C ．－24 D.246．如果sin α＋cos α＝34，那么|sin 3α－cos 3α|的值为 ( )A.2512823 B ．－2512823 C.2512823或－2512823 D ．以上全错7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为 ( )A ．－81727 B.81727 C.82027D ．－820278．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝ ( )A.35B.53C.45D.549．若函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( ) A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 10．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：t /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米2321322320.99322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.12．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____________．13．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________. 14．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号) 三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知：f (x )＝2010x ＋2011sin 3x ＋1，且f (5)＝7，求f (－5)．16.（本题满分12分）已知α是第三象限的角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋32π)·tan (－α－π)sin (－α－π)，(1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)；(3)若α＝－313π，求f (α)．17.（本题满分12分）设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一个对称中心是(π8，0)．(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18.（本题满分12分）已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1，x ∈R . 求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1的图象？19.（本题满分14分）如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .试求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离．20.（本题满分14分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高中数学必修4第一章《三角函数》测试题B 卷参考答案一、选择题1.【答案】C.【解析】 sin(－103π)＝sin(－4π＋2π3) ＝sin 2π3＝sin(π－π3)＝sin π3＝32.2. 【答案】D.【解析】∵点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，∴9＝3a ，∴a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3.3. 【答案】D.【解析】 y ＝sin(2x ＋π3)的对称轴方程为2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴x ＝k ·π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0即得．4. 【答案】D.【解析】∵f (sin x )＝x ，且x ∈[0，π2]， ∴求f (12)，即解sin x ＝12，且x ∈[0，π2]，∴x ＝π6，故选D.5.【答案】A.【解析】sin(α＋π2)＝cos α＝13. ∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.6. 【答案】 C【解析】由已知，两边平方得sin αcos α＝－732. ∴|sin 3α－cos 3α|＝|(sin α－cos α)(sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α)|＝1－2sin αcos α·|1＋sin αcos α|＝2523128.∴sin 3α－cos 3α＝±2523128. 7. 【答案】 C【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ ， ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θsin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110， ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 8. 【答案】 B【解析】方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2.则sin α＝－35 ，原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.9.【答案】B【解析】逆向法解决，将y ＝12sin x 的图象沿y 轴向上平移1个单位，得函数y ＝12sin x ＋1的图象；再将函数y ＝12sin x ＋1的图象向右平移π2个单位，得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋1的图象；再将函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋1图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1. 10. 【答案】 B【解析】 ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6. 又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，∴y ＝12cos π6t ＋32.二、填空题11.【答案】107【解析】sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ ＝sin 3θ＋sin θcos 2θsin 3θ－cos 3θ ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1 ＝23＋223－1＝107.12. 【答案】[－32，3]【解析】由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.13.【答案】 2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6. 周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6. 14. 【答案】 ①③【解析】①f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos(π2－2x －π3)＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．②T ＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，函数f (x )关于点(－π6，0)对称．④2x＋π3＝π2＋k π，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾．∴①③正确．二、解答题15. 解：法一：f (－x )－1＝－2010x －2011sin 3x ＝－[f (x )－1]， ∴f (x )－1为奇函数．∴f (－5)－1＝－[f (5)－1]＝－(7－1)＝－6.∴f (－5)＝1－6＝－5，即f (－5)＝－5即为所求．法二：⎭⎪⎬⎪⎫f (5)＝2010×5＋2011·sin 35＋1＝7f (－5)＝－2010×5－2011·sin 35＋1二式相加，得：f (－5)＋7＝2，∴f (－5)＝2－7＝－5.16. 解：(1)f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan[π＋(π2－α)]tan[－(α＋π)]sin[－(π＋α)]＝sin α·cos α·tan (π2－α)[－tan (π＋α)][－sin (π＋α)]＝sin αcos α·cot α(－tan α)sin α＝－cos α.(2)由cos(α－32π)＝15得：cos[－2π＋(α＋π2)]＝cos(π2＋α)＝－sin α＝15.∴sin α＝－15.∵α是第三象限的角，∴cos α<0.∴f (α)＝－cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265. (3)若α＝－313π，∵－313π＝－5×2π－π3，∴cos(－313π)＝cos(－5×2π－π3)＝cos(－π3)＝cos π3＝12.∴此时，f (α)＝－cos(－313π)＝－12.17. 解：(1)∵(π8，0)是函数y ＝f (x )的图象的对称中心，∴sin(2×π8＋φ)＝0，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )．∵－π<φ<0，∴φ＝－π4.(2)由(1)知φ＝－π4，因此y ＝sin(2x －π4)，由题意得：2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即：k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(2x －π4)的单调增区间为：[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .18. 解： (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z . (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象； ②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象；③将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象；④将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1的图象． 19. 解： ∵函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)图象的最高点为S (3,23)， ∴A ＝2 3.由图象，得T4＝3，∴T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6，即y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4,3)．又P (8,0)． ∴|MP |＝42＋32＝5，即MP 的长是5.20. 解： (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1]，∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3]，即实数m 的取值范围是[3＋1,3]．。

人教B版高中数学必修四平面向量知识点过关检测(一)

信达信达平面向量知识点过关检测（一）1．向量的有关概念既有又有的量叫做向量。

的向量叫做零向量，记作：0，规定零向量的方向是．与向量a ，且的向量叫做a 的单位向量，记作：0a ，则0a =a a ，或=0a a a。

与非零向量a 共线的单位向量可记作：．方向的向量叫做平行向量（或共线向量），记作：．规定零向量与任何向量平行。

若//a b ，//b c ，且≠b 0，则．且的向量叫做相等向量；且的向量叫做相反向量，a 的相反相反向量记为．2．向量的表示方法(1)用小写字母表示：如,,a b c 等，手写时，不要忘记“箭头”。

(2)用带有箭头的向线段表示：如向量AB u u u r ，切记起点在前，终点在后。

(3)用坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对任一向量a ，一对实数,x y ，使得x y =+a i j ，则叫做向量a 在基底{}12,e e 下的坐标．即(),x y a =．其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，y 叫做a 在y 轴上的坐标分量。

特别的，当OA =u u u r a 时，A 点的坐标为。

若向量a 的方向相对于x 轴的正方向的转角为θ，则=a ．相等的向量坐标，坐标相同的向量是的向量．3．向量的线性运算（向量的加、减、数乘运算，结果仍然是向量）(1)加法运算法则：平行四边形法则（起点重合，做平行四边形），只适用于不共线向量；设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，以AB u u u r 、AD u u u r 为邻边作平行四边形ABCD ，则+a b = ．三角形法则（首尾相接，首尾连）。

设AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则AB BC +=+=u u u r u u u r a b ．(2)减法的运算法则：三角形法则(头头重合，减指被减)。

高中数学第九章解三角形测评新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题

第九章解三角形测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则2sin A-sin Asin2A=()A.37B.57C.97D.107解析由题意2sin A-sin Asin2A =2sin A-sin A2sin A cos A=2A-A2A cos A,因为a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cos C=(16+9-4)A22×4×3A2=78,则2sin A-sin Asin2A=(8-3)A4×78A=107.故选D.2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.50√3米C.50(√3+1)米D.50√2米AB=h,△ABC中,∠ACB=45°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=AA+100=√33,解得h=50(√3+1)米.故选C.3.若sin AA =cos AA=cos AA,则△ABC是()A.等边三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D .有一内角是30°的等腰三角形解析因为sin AA=cos AA,所以a cos B=b sin A ,所以由正弦定理得2R sin A cos B=2R sin B sin A ,2R sin A ≠0.所以cos B=sin B ,所以B=45°.同理C=45°,故A=90°.4.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD ,则cos ∠DAC=() A.2√55B.√55C.3√1010D.√1010,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为点D.易知四边形BCDE 是正方形,则BE=CD=1, 所以AE=AB-BE=1.在Rt △ADE 中,AD=√AA 2+AA 2=√2,同理可得AC=√AA 2+AA 2=√5, 在△ACD 中,由余弦定理得 cos ∠DAC=AC 2+AA 2-AA 22AA ·AA=22×√5×√2=3√1010.故选C .5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为()海里/小时. A.2√6B.4√6C.8√6D.16√6PM=64,∠MPN=120°,在△PMN中,由正弦定理得AAsin∠AAA =AAsin∠AAA,即64sin45°=AAsin120°,得MN=32√6,所以船的航行速度为AA14-10=8√6(海里/小时).故选C.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin 2A+√2a sin B=0,b=√2c,则AA的值为()A.1B.√33C.√55D.√77b sin2A+√2a sin B=0,所以由正弦定理可得sin B sin2A+√2sin A sin B=0, 即2sin B sin A cos A+√2sin A sin B=0.由于sin B sin A≠0,所以cos A=-√22,因为0<A<π,所以A=3π4,又b=√2c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2b cos A=2c2+c2+2c2=5c2,所以AA =√55.故选C.7.一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西45°方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行1 km后到达D处,这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°,则塔B与寺庙C的距离为()A.2 kmB.√3 kmC.√2 kmD.1 km,先求出AC,AB的长,然后在△ABC中利用余弦定理可求解.在△ABD中,AD=1,可得AB=√3.在△ACD中,AD=1,∠ADC=105°,∠DCA=30°,所以由正弦定理得AA sin∠AAA =AAsin∠AAA , 所以AC=AA ·sin∠AAA sin∠AAA=√6+√22. 在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos45°=8+4√34+3-2×√6+√22·√3·√22=2,所以BC=√2.故选C .8.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q 上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为15°,地面某处A 的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ 为()A.100 mB.200 mC.300 mD.100 m,可得Rt △ABC 中,∠BAC=60°,BC=300,所以AC=AAsin60°=√32=200√3;在△ACQ 中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,所以∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°.由正弦定理,得AAsin45°=AAsin60°,解得AQ=200√3×√22√32=200√2,在Rt △APQ 中,PQ=AQ sin45°=200√2×√22=200m .故选B .二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在△ABC 中,a ,b 分别是角A ,B 的对边,a=1,b=√2,A=30°,则角B 为() A .45°B.90°C .135°D .60°或135°,可得sin B=A sin AA =√2sin30°=√22,又由a<b,且B∈(0°,180°),所以B=45°或135°.故选AC.10.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°B满足c sin60°<b<c,选项C满足b sin45°<a<b,所以B,C有两解;对于选项A,可求B=180°-A-C=65°,三角形有一解;对于选项D,由sin B=A·sin AA,且b<a,可得B为锐角,只有一解,所以三角形只有一解.故选BC.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是()A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin CABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:在A中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc cos A,故A正确;在B中,由正弦定理得:Asin A =Asin A,∴a sin B=b sin A,故B正确;在C中,∵a=b cos C+c cos B,∴由余弦定理得:a=b×A2+A2-A22AA +c×A2+A2-A22AA,整理,得2a2=2a2,故C正确;在D中,由余弦定理得a cos B+b cos A=a×A2+A2-A22AA +b×A2+A2-A22AA=c≠sin C,故D错误.故选ABC.12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sin A ∶sin B ∶sin C=4∶5∶6 B .△ABC 是钝角三角形C .△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D .若c=6,则△ABC 外接圆半径为8√77a+b )∶(a+c )∶(b+c )=9∶10∶11,可设a+b=9t ,a+c=10t ,b+c=11t ,解得a=4t ,b=5t ,c=6t ,t>0,可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=4∶5∶6,故A 正确;由c 为最大边,可得cos C=A 2+A 2-A 22AA=16A 2+25A 2-36A 22·4A ·5A=18>0,即C 为锐角,故B 错误;由cos A=A 2+A 2-A 22AA=25A 2+36A 2-16A 22·5A ·6A=34,cos2A=2cos 2A-1=2×916-1=18=cos C ,由2A ,C ∈(0,π),可得2A=C ,故C 正确;若c=6,可得2R=Asin A =√1-64=√7,△ABC外接圆半径为8√77,故D 正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边的长分别为a ,b ,c ,已知a=1,sin A=√210,sin C=35,则c=.解析由正弦定理Asin A=Asin A ,得c=A sin A sin A=1×35√210=35×√2=3√2.√214.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值是.cos A=A 2+A 2-A 22AA,所以bc cos A=12(b 2+c 2-a 2).同理,ac cos B=12(a 2+c 2-b 2),ab cos C=12(a 2+b 2-c 2).所以bc cos A+ac cos B+ab cos C=12(a 2+b 2+c 2)=612.15.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a 2-2ab cos C+b 2=c 2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x ,y ,z ,满足x 2+xy+y 2=9,y 2+yz+z 2=16,z 2+zx+x 2=25,则xy+yz+zx=.ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,利用余弦定理得出△ABC 的三边长,由此计算出△ABC 的面积,再利用S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 可得出xy+yz+zx 的值.设△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 在△ABC 内取点O ,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x ,OB=y ,OC=z ,由余弦定理得c 2=x 2-2xy ·cos ∠AOB+y 2=x 2+xy+y 2=9,∴c=3. 同理可得a=4,b=5,∴a 2+c 2=b 2,则∠ABC=90°, △ABC 的面积为S △ABC =12ac=6, 另一方面S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC=12xy sin2A 3+12yz sin2A 3+12zx sin2A 3=√34(xy+yz+zx )=6,解得xy+yz+zx=8√3.√316.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ,B ,灯塔B 位于灯塔A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A 的北偏西75°,与A 相距3√2海里的D 处;乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向,与B 相距5海里的C 处,此时乙船与灯塔A 之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.ABC 为等边三角形,所以AC=5.∠DAC=180°-75°-60°=45°,在△ADC 中,根据余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos ∠DAC =18+25-2×3√2×5×(√22)=13,解得CD=√13.√13四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin B+1=b sin A+2cos C. (1)求角C 的大小;(2)若a=2,a 2+b 2=2c 2,求△ABC 的面积.因为由正弦定理得Asin A =Asin A ,所以a sin B=b sin A ,∴2cos C=1,cos C=12.又0<C<π,∴C=π3.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ,∴4+b 2=2(4+b 2-2b ),解得b=2. ∴S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin π3=√3.18.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 2B+sin 2C=sin 2A+sin B sin C. (1)求角A 的大小;(2)若cos B=13,a=3,求c 的值.由正弦定理可得b 2+c 2=a 2+bc ,则cos A=A 2+A 2-A 22AA=12,因为A ∈(0,π),所以A=π3.(2)由(1)可知,sin A=√32,因为cos B=13,B为三角形的内角,所以sin B=2√23,故sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√32×13+12×2√23=√3+2√26,由正弦定理Asin A =Asin A,得c=A sin Asin A=√32×√3+2√26=1+2√63.19.(12分)要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距200 m的C,D两点,并测得∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,求A,B两点之间的距离.ACD中,因为∠ACD=30°,∠ADC=105°,所以∠DAC=180°-30°-105°=45°.由正弦定理得AAsin45°=AAsin30°,且CD=200,所以AD=100√2.同理,在△BCD中,可得∠CBD=45°,由正弦定理得AAsin120°=AAsin45°,所以BD=100√6.在△ABD中,∠BDA=105°-15°=90°,由勾股定理得AB=√AA2+AA2=200√2,即A,B两点间的距离为200√2.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3c sin B=4a sin C.(1)求cos B的值;(2)求sin (2A +π4)的值.由正弦定理A sin A =Asin A ,则3cb=4ac ,所以b=43a.而b+c=2a ,则c=23a. 故由余弦定理得cos B=A 2+A 2-A 22AA=A 2+49A 2-169A 22A ·23A =-14.(2)因为cos B=-14, 所以sin B=√154. 所以sin2B=2sin B cos B=-√158, cos2B=2cos 2B-1=-78. 所以sin (2A +π4)=√22(sin2B+cos2B ) =√22×(-√158-78)=-7√2+√3016.21.(12分)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距4(3+√3)海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距16√3海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时. (1)求BD 的长;(2)该救援船到达D 点所需的时间.由题意可知:在△ADB 中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,则∠ADB=105°.由正弦定理AAsin∠AAA =AA sin∠AAA ,得4(3+√3)sin105°=AA sin45°.由sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=√6+√24,代入上式得DB=8√3.(2)在△BCD 中,BC=16√3,DB=8√3,∠CBD=60°, 由余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos60° =(16√3)2+(8√3)2-2×16√3×8√3×12=242,∴CD=24,∴t=A A =2424=1.即该救援船到达D 点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在△ABC 中,C=π4,角B 的平分线BD 交AC 于点D ,设∠CBD=θ,其中tanθ=12.(1)求sin A ;(2)若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =28,求AB 的长.由∠CBD=θ,且tan θ=12,∵θ∈(0,π2),∴sin θ=12cos θ,sin 2θ+cos 2θ=14cos 2θ+cos 2θ =54cos 2θ=1,∴cos θ=√5,sin θ=√5.则sin ∠ABC=sin2θ=2sin θcos θ=2×√5×√5=45,∴cos ∠ABC=2cos 2θ-1=2×45-1=35, sin A=sin [π-(π4+2A )]=sin (π4+2A ) =√22sin2θ+√22cos2θ=√22×(35+45)=7√210. (2)由正弦定理,得AA sin A =AA sin∠AAA ,即7√210=AA 45, 所以BC=7√28AC.又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28,所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28√2, 由上两式解得AC=4√2,又由AA sin A =AA sin∠AAA ,得√22=AA 45,解得AB=5.。

高中数学B版必修4 教科书课后习题参考答案

新课标人教A高一数学必修1测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于A.{x|x∈R}B.{y|y≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.2.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于A.21B.8C.6D.73. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|4.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4〕上递减,则a的取值范围是A.〔-3,+∞〕B.(-∞,-3)C.(-∞,5〕D.〔3,+∞)5. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是A.y=( )2B.y=C.y=D.y=6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是A.y=x2-2x+2(x＜1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x＜1)D.y=x2-2x(x≥1)7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤48.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是10. 已知函数f(n)= 其中n∈N，则f(8)等于A.2B.4C.6D.711．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（）A、a<b<c<dB、a<b<d<cC、b<a<d<cD、b<a<c<d12．.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=ax+b的图象不经过:（）A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知f(x)=x2－1(x<0)，则f－1(3)=_______.14．函数的定义域为______________15.某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是_______.16. 函数y= 的最大值是_______.三、解答题17. 求函数y= 在区间〔2,6〕上的最大值和最小值.（10分）18.(本小题满分10分) 试讨论函数f(x)=loga (a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.答案一. BACCB BDCAD BA 二。

人教B版高中数学必修第四册滚动练习一-正弦定理[含答案]

正弦定理一、选择题1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为()A．3＋1B．23＋1C．26D．2＋232．在△ABC中，若a＝2，b＝23，A＝30°，则B＝()A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°3．在平面直角坐标系中，大小为4π3的角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点O重合，其终边与圆心在原点，半径为3的圆相交于一点P，点Q坐标为(0，3)，则△OPQ的面积为()A．92B．94C．334D．24．(多选)在△ABC中，下列说法正确的有()A．若A>B，则sin A>sin BB．若A>B，则cos A<cos BC．若A>B，则sin2A>sin2BD．若A>B，则cos2A<cos2B二、填空题5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，a>b，则△ABC 的形状一定是____________．6．设△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________．7．在△ABC中，角A，B的对边分别是a，b，且A＝60°，b＝2，a＝x，若解此三角形有两解，则x的取值范围是________．三、解答题8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝27，c＝3，B＝2C,求cos2C的值．9.在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．[尖子生题库]10．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a －c b＝cos C cos B .(1)求角B 的大小；(2)求3cos 2C 2－sin A 2cos A 2的取值范围．参考答案1．解析：由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝26.答案：C2．解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝23sin 30°2＝32.因为b ＞a ，所以∠B ＞∠A ，所以∠B ＝60°或∠B ＝120°.答案：B3．解析：由题意知，OP ＝OQ ＝3，∠POQ ＝4π3－π2＝5π6，所以S △POQ ＝12OP ×OQ sin ∠POQ ＝12×3×3sin 5π6＝94.答案：B4．解析：对于A 选项，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，A 对；对于B 选项，因为0<B <A <π，且余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上为减函数，故cos A <cos B ，B 对；对于C 选项，取B ＝π6，A ＝2π3，则sin 2B ＝sin π3＝32，sin 2A ＝sin 4π3＝－32，此时，sin 2A <sin 2B ，C 错．对于D 选项，若A >B ，则sin A >sin B ，则cos 2A ＝1－2sin 2A <1－2sin2B ＝cos 2B ，D 对．答案：ABD5．解析：由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，又a >b ，∴A ≠B ，因此A ＋B ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形6．解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<∠B <π，∴∠B ＝π6或∠B ＝56π.又∵∠B ＋∠C <π，∠C ＝π6，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π－π6－π6＝23π.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1.答案：17．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝3x ，因为A ＝60°，所以0°<B <120°，要使此三角形有两解，则60°<B <120°，且B ≠90°，即32<sin B <1，所以32<3x<1，解得3<x <2.答案：3<x <28．解析：由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ，即b c ＝sin B sin C ＝sin 2C sin C ＝2sin C cos C sin C ＝2cos C ＝273⇒cos C ＝73，所以cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×79－1＝59.9．解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B .又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∴2∠A ＝2∠B 或2∠A ＋2∠B ＝π，即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．10．解析：(1)由2a －c b ＝cos C cos B 得到2sin A －sin C sin B ＝cos C cos B 即2sin A cos B ＝sin (B ＋C )，即2sin A cos B ＝sin A ，又因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝12，从而B ＝π3.(2)3cos 2C 2－sin A 2cos A 2＝32(cos C ＋1)－12sin A ＝32cos C －12sin (2π3－C )＋32＝34cos C －14sin C ＋32＝12cos (C ＋π6)＋32，因为0<C <2π3，所以π6<C ＋π6<5π6，所以－32<cos (C ＋π6)<32，所以34<12cos (C ＋π6)＋32<334.所以3cos 2C 2－sin A 2cos A 2的取值范围为(34，334).。

【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第四册单元综合测试第十一章立体几何初步

单元综合测试三(第十一章)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．垂直于同一条直线的两条直线肯定(D)A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝22，则异面直线BD与AC所成的角为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE 即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝2，所以∠BDE＝60°.3．下列说法正确的是(D)①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②假如一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作很多个平面与已知平面垂直；④假如两个平面相互垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作很多个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对．4．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC ⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．5．已知P A⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是(C)A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．P A⊥BD解析：如图所示，由于P A⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以P A⊥BD(即D正确)，BC⊥P A，BC⊥BA，而P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB(即A 正确)．同理PD ⊥CD (即B 正确)，PD 与BD 不垂直，所以C 不正确．6．三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( C )A ．1倍B ．2倍 C.95倍D.74倍解析：设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r,3r ，则各球的表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比值为36πr 24πr 2＋16πr2＝95. 7．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( B )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：本题考查正方体中长度的运算问题．不妨设P 是靠近B 的一个三等分点，正方体棱长a ，则P 到B 、D 1距离分别为33a ，233a ，由对称性知，P 到A ，C ，B 1的距离都为63a ，而P 到A 1，D ，C 1的距离都是a ，故选B.本题对同学的空间想象力量提出了较高要求．8．若一个n 面体中有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为mn .如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四周体A 1-ABC 的直度为( D )A.14B.12C.34 D ．1解析：由已知n ＝4，∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB .又∵BC ⊥平面A 1AB ，∴BC ⊥AB ，BC ⊥A 1B ，∴m ＝4.故直度mn ＝1.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．以下命题中假命题的序号是( BCD )A ．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不肯定是棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台C ．用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台D ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱解析：对于A ，若棱柱被与底面不平行的平面所截，则分成的两部分不肯定是棱柱，所以A 正确；对于B ，有两个面平行，其余各面都是梯形，并且侧棱的延长线交于同一点的几何体叫棱台，所以B 错误；对于C ，当截面与底面不平行时，截得的底面和截面之间的几何体不是圆台，所以C 错误；对于D ，依据棱柱定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行的几何体叫棱柱，所以D 错误．故选BCD.10．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是( BD )A．若m∥β，n∥β，m，n⊂α，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥nC．若m⊥α，α⊥β，α∩β＝n，那么m∥nD．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，那么m∥n解析：A选项中没有说明两条直线是否相交，结论错误，B选项中能推出m ⊥γ，所以结论正确，C选项能推出m⊥n，推不出m∥n，结论错误，D选项依据线面平行的性质可知正确．11．如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论正确的有(ABD )A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PB解析：选项A，连接BD，明显O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON，由线面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN；选项B，由M，N分别为侧棱P A，PB的中点，得MN∥AB，又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN，又选项A得PD∥平面OMN，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN；选项C，由于MN∥CD，所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角，又由于全部棱长都相等，所以∠PDC＝60°，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°；选项D，因底面为正方形，所以AB2＋AD2＝BD2，又全部棱长都相等，所以PB2＋PD2＝BD2，故PB⊥PD，又PD∥ON，所以ON⊥PB，故选ABD.12．如图，矩形ABCD，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中全部正确的是(BD )A．存在某个位置，使得CN⊥AB1B．翻折过程中，CN的长是定值C．若AB＝BM，则AM⊥B1DD．若AB＝BM＝1，当三棱锥B1-AMD的体积最大时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π解析：对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1.则NE∥AB1，NF∥MB1，假如CN⊥AB1，则EN⊥CN，由于AB1⊥MB1，则EN⊥NF，由于三线NE，NF，NC共面且共点，故这是不行能的，故不正确；对于B，如图1，由∠NEC＝∠MAB1，且NE＝12AB1，AM＝EC，∴在△CEN中，由余弦定理得：NC2＝NE2＋EC2－2NE·EC·cos∠NEC，也是定值，故NC是定值，故正确；对于C，如图2，∵AB＝BM，即AB1＝B1M，则AM⊥B1O，若AM⊥B1D，由于B1O∩B1D＝B1，且B1O，B1D⊂平面ODB1，∴AM⊥平面ODB1，OD⊂平面ODB1，∴OD⊥AM，则AD＝MD，由于AD≠MD，故AM⊥B1D不成立，故不正确；对于D，依据题意知，只有当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，取AD的中点为E，连接OE，B1E，ME，如图2.∵AB＝BM＝1，则AB1＝B1M＝1.且AB1⊥B1M，平面B1AM∩平面AMD＝AM.∴B1O⊥AM，又B1O⊂平面B1AM.∴B1O⊥平面AMD，OE⊂平面AMD，∴B1O⊥OE，则AM＝2，B1O＝12AM＝2 2.OE＝12DM＝12AM＝22.从而EB1＝(22)2＋(22)2＝1，易知EA＝ED＝EM＝1，∴AD的中点E就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D正确．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且P A＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是垂直．解析：∵P A＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC.又PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.14．已知一个正方体的全部顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为 3.解析：由题意知V球＝43πR3＝9π2，R＝32.设正方体的棱长为a，则3a2＝2R，a＝3，所以正方体的棱长为 3.15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各棱长为1 m，圆锥SO的底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，顶点S是正方形ABCD的中心，则圆锥SO的体积为112πm3，侧面积为54πm2.解析：圆锥的高为1，底面半径为12，母线长为1＋14＝52，所以体积为π3×(12)2×1＝π12.侧面积为π×12×52＝54π.16．如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是(6，＋∞)．解析：由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ， ∴DE ⊥平面P AE ，又AE ⊂平面P AE ，∴DE ⊥AE . 易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD ，即3a －x ＝x3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，a >0.解得a >6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥B 1C ； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.证明：(1)∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC . ∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC . 又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，而B 1C ⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥B 1C .(2)连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD .如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1.又OD ⊂平面CDB 1， AC 1⊄平面CDB 1. ∴AC 1∥平面CDB 1.18．(12分)(1)如图(1)，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．证明EF ∥平面P AD ；(2)如图(2)，已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是P A ，BD ，PD 的中点，求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明：(1)E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . ∵底面ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ∥AD ，又AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD . (2)∵点M ，N ，Q 分别是P A ，BD ，PD 的中点，∴MQ∥AD，QN∥PB，∵底面ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴MQ∥BC，∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN⊂平面MNQ，PB，BC⊂平面PBC，∴平面MNQ∥平面PBC.19．(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，F A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面ABF.解：(1)由于四边形ADEF是正方形，所以F A∥ED，故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．由于F A⊥平面ABCD，所以F A⊥CD，故ED⊥CD，在Rt△CDE中，由于CD＝1，ED＝22，所以CE ＝CD2＋ED2＝3，所以cos∠CED＝EDCE ＝223.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为223.(2)证明：如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°，由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.又由于CD⊥F A，F A∩AB＝A，F A，AB⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF.20．(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．解：(1)证明：∵P A⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，又∵AC∩P A＝A，AC，P A⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC.(2)存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角．理由：∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC，又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC. 这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角．21．(12分)如图所示，在正三棱柱(底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D .(1)求证：A1B∥平面AC1D；(2)在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD.又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∴D是BC的中点．如图，连接A1C，与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点．连接DE，则在△A1BC中，∵D、E分别是BC、A1C的中点，∴A1B∥DE.又DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.(2)存在这样的点P，且点P为CC1的中点．下面给出证明：由(1)知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD.设PB1与C1D相交于点Q，如图，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，由于∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，所以B1P⊥C1D.由于AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D.22．(12分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD .(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED；(2)求证：平面DAF⊥平面BAF；(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D-AFC的体积．解：(1)证明：∵点G是DC的中点，AB＝CD＝2EF，AB∥EF，四边形ABCD是矩形，∴EF∥DG且EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形．∴FG∥DE，又FG⊄平面AED，ED⊂平面AED，∴FG∥平面AED.(2)证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面BAF.又AD⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF.(3)∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∠EAB＝90°，EA⊂平面ABFE，∴EA⊥平面ABCD.∵EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，∴F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，∴V三棱锥D-AFC＝V三棱锥F-ADC＝13·S△ADC·EA＝13×12×1×2×1＝13.。

(人教版B版)高中数学必修第四册第十一章综合测试试卷02及答案

第十一章综合测试一、选择题1.已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（）A.1B.2C.3D.42.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d»，人们还用p»L判断，下列近似公式中最精确的一个是（）过一些类似的近似公式，根据 3.14159A.d»B.d»C.d»D.d»∥的充要条件是（）3.设a，b为两个平面，则a bA.a内有无数条直线与b平行B.a内有两条相交直线与b平行C.a，b平行于同一条直线D.a，b垂直于同一平面4.如图，在直角梯形SABC中，90^交SC于点D，以AD为折痕把ABC BCS°Ð=Ð=，过点A作AD SC-的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是（）△折起，当几何体S ABCDSAD①AC SB^②AB∥平面SCD③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角A.4B.3C.2D.15.（多选题）设l为直线，a，b是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A .若l a ∥，l b ∥，则a b∥B .若l a ^，l b ^，则a b ∥C .若l a ^，l b ∥，则a b ∥D .若a b ^，l a ∥，则l b^6.（多选题）如图正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论正确的是（）A .异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°B .直线A 1D 与BC 1垂直C .直线A 1D 与BD 1平行D .三棱锥A —A 1CD 的体积为316a 二、填空题7.一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是________.8.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.9.在正方体ABCD —A'B'C'D'中，过对角线BD'的一个平面交AA'于点E ，交CC'于点F ，则：①四边形BFD'E 一定是平行四边形；②四边形BFD'E 有可能是正方形；③四边形BFD'E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④平面BFD'E 有可能垂直于平面BB'D .以上结论正确的为________.（写出所有正确结论的编号）10.如图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，使ABD △和ACD △折成互相垂直的两个平面，则：（1）BD与CD的关系为________；（2）BACÐ=________.三、解答题11.如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，14AA=，2AB=，60BADÐ=°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离.12.如图，在三棱锥P—ABC中，90ACBÐ=°，PA^底面ABC.（1）求证：平面PAC^平面PBC；（2）若AC BC PA==，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.第十一章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面m a b =I 平面，n a Ì，l b Ì，Q 平面a ^平面b ，\当l m ^时，必有l a ^，而n a Ì，l n \^，而在平面b 内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B 。

1467_高中数学试卷：必修一滚动练习四模块质量检测(新人教B版)_0

滚动练习四模块质量检测一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集为U＝{x∈N |x <7}，集合A ＝{1，3，6}，集合B ＝{2，3，4，5}，则集合A ∩(∁U B )＝()A．{3}B．{1，3，6}C．{2，4，5}D．{1，6}2．已知函数f (x x ，x ≥0，2，x ＜0，则f (f (－2))的值是()A．4B．－4C．8D．－83．设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设函数f (x x ，x ≤0，2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或25．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (2)<0且f (3)>0，则f (x )在(2，3)上的零点()A．至多有一个B．有1个或2个C．有且仅有一个D．一个也没有6．函数f (x )＝x －1＋2x 2－4的定义域为()A．[1，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．[1，2)∪(2，＋∞)7．若二次不等式ax 2＋bx ＋c >0|15<x 那么不等式2cx 2－2bx －a <0的解集是()A.{x |x <－10或x >1}|－14<x C．{x |4<x <5}D．{x |－5<x <－4}8．已知函数f (x )＝x (|x |＋1)，则不等式f (x 2)＋f (x －2)＞0的解集为()A．(－2，1)B．(－1，2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是()A．A ∩B ＝∅B．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C．A ∪(∁R B )＝{x |x ≤－1或x >2}D．A ∩(∁R B )＝{x |2<x ≤3}10．下列图形中是函数的图象的是()11．下列四个命题中是假命题的为()A．存在x ∈Z ，1＜4x ＜3B．存在x ∈Z ，5x ＋1＝0C．任意x ∈R ，x 2－1＝0D．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞012．下列说法正确的是()A．x ＋1x 的最小值为2B．x 2＋1的最小值为1C．3x (2－x )的最大值为2D．x 2＋7x 2＋2的最小值为27－2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为________．14．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．15．能说明“若a >b ，则1a <1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次可以为________．16．已知λ∈R ，函数f (x －4，x ≥λ，2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－6x －16≤0}，B ＝{x |－3≤x ≤5}．(1)若C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，C ⊆(A ∩B )，求实数m 的取值范围；(2)若D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝1x－1＋1.(1)证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数；(2)记函数g(x)＝f(x＋1)－1，判断函数g(x)的奇偶性，并加以证明．19．(12分)已知函数f(x)＝ax2－(3＋2a)x＋6(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，6)上的值域；(2)当a>0时，解关于x的不等式：f(x)>0.20．(12分)函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围．21．(12分)高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m (40＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求m 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a ＞0).(1)判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并加以证明；(2)若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)＝f (m )成立，求实数a 的取值范围．滚动练习四模块质量检测1．解析：由题意U ＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁U B ＝{0，1，6}，A ∩(∁U B )＝{1，6}．答案：D2．解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f (f (－2))＝f (4)＝2×4＝8.答案：C3．解析：x 3>8的解集为M ＝(2，＋∞)，|x |>2的解集为N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，M N .答案：A≤0，a＝4，>0，2＝4，得a＝－4或a＝2.答案：B5．解析：由二次函数的图象得出．答案：C6．解析：令x－1≥0且x2－4≠0得出[1，2)∪(2，＋∞).答案：D＋14＝－ba，×14＝ca，＝－920a，＝120a，代入2cx2－2bx－a<0，得110ax2＋910ax－a<0，∵a<0，即为x2＋9x－10>0，解得x<－10或x>1.答案：A8．解析：因为f(x)＝x(|x|＋1)，所以f(－x)＝－x(|－x|＋1)＝－x(|x|＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x，可知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上也单调递增，即f(x)为R上的增函数，所以f(x2)＋f(x－2)＞0⇒f(x2)＞－f(x－2)⇒f(x2)＞f(2－x)，所以x2＞2－x，解得：x＜－2或x＞1.答案：D9．解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x ≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2，或x>－1}，故C不正确；A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2，或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．答案：BD10．解析：对于B，因为对任意的自变量x可能有两个不同的y值与其对应，这与函数的定义有唯一确定的元素y与之对应矛盾．答案：ACD11．解析：选项A 中，14＜x ＜34且x ∈Z ，不成立；选项B 中，x ＝－15，与x ∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．答案：ABC12．解析：当x <0时，x ＋1x <0，故选项A 错误；因为x 2＋1≥1，所以选项B 正确；因为3x (2－x )＝－3(x －1)2＋3≤3，当x ＝1时取等号，故3x (2－x )的最大值为3，所以选项C 错误；因为x 2＋7x 2＋2＝(x 2＋2)＋7x 2＋2－2≥2（x 2＋2）·7x 2＋2－2＝27－2，(当且仅当x 2＋2＝7x 2＋2时取“＝”)，所以选项D 正确．答案：BD13．解析：化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(32，＋∞)14．解析：函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则函数的对称轴为y 轴，所以m －1＝0，即m ＝1，所以函数的解析式为f (x )＝－x 2＋2，所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0].答案：(－∞，0]15．解析：由题意知，当a ＝1，b ＝－1时，满足a >b ，但是1a >1b ，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a >0，b <0即可)答案：1，－1(答案不唯一)16．解析：令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.答案：(1，3]∪(4，＋∞)17．解析：(1)因为A ＝{x |x 2－6x －16≤0}＝{x |－2≤x ≤8}，B ＝{x |－3≤x ≤5}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}，因为C ⊆(A ∩B )，C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，①若C ＝∅，则m ＋1>2m －1，所以m <2；②若C ≠∅＋1≤2m －1，＋1≥－2，m －1≤5，所以2≤m ≤3，综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤3}，(2)由(1)得A ∪B ＝{x |－3≤x ≤8}，因为D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，所以只需3m ＋2≥8，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围为{m |m ≥2}．18．解析：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1≠x 2，则x 1－1>0，x 2－1>0.则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1x 1－1－1x 2－1x 1－x 2＝－1（x 1－1）（x 2－1）<0，∴f (x )在(1，＋∞)上递减．(2)解：g (x )＝f (x ＋1)－1＝1x，g (x )是奇函数，证明如下：∵g (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且g (－x )＝－1x ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．19．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－5x ＋6是开口向上，对称轴为x ＝52的二次函数，又因为x ∈[1，6)，所以当x ∈[1，52)时，函数f (x )单调递减；当x ∈[52，6)时，函数f (x )单调递增；所以f (x )min ＝f (52)＝254－5×52＋6＝－14，又因为f (1)＝2，f (6)＝12，所以f (x )max ＝12，因此f (x )在x ∈[1，6)上的值域为[－14，12).(2)由f (x )>0，得ax 2－(3a ＋2)x ＋6＝(ax －3)(x －2)>0.因为a >0，所以①当a ＝32时，由f (x )>0解得x ≠2；②当0<a <32时，由f (x )>0解得x <3a 或x >2；③当a >32时，由f (x )>0解得x <2或x >3a ，综上，当a ＝32时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当0<a <32时，原不等式的解集为|x <3a 或x当a >32时，原不等式的解集为|x <2或x 20．解析：(1)方法一f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，可知Δ＝a 2－4(3－a )≤0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].方法二x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，只需g (x )＝x 2＋ax ＋3－a 的最小值g (x )min ≥0，又g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ＝(x ＋a 2)2＋3－a －a 24，∴g (x )min ＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].(2)原不等式可化为x 2＋ax ＋3－a ≥0，x ∈[－2，2]，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则只需g (x )在x ∈[－2，2]上的最小值大于等于0.①若－a2≥2，即a ≤－4，则g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7，∴－7≤a ≤－4；②若－2<－a2<2，即－4<a <4，则g (x )min ＝g (－a 2)＝3－a －a 24≥0，∴－6≤a ≤2，∴－4<a ≤2；③若－a2≤－2，即a ≥4，则g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73，∴a ∈∅，综上，得－7≤a ≤2.21．解析：(1)当0＜x ≤40时，y ＝100x ；当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ；当x ＞m 时，y ＝(140－m )x,所以y x ，0<x ≤40，x 2＋140x ，40<x ≤m ，m ）x ，x >m .(2)因为当0＜x ≤40时，y ＝100x ，y 随x 的增大而增大，当x ＞m 时，因为40＜m ≤100，所以140－m ＞0.所以y ＝(140－m )x ，y 随x 的增大而增大，当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ＝－(x －70)2＋4900，所以当40＜x ≤70时，y 随x 增大而增大，当x ＞70时，y 随x 增大而减小，因为x ≤m ，所以，当40＜m ≤70时，景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加．22．解析：(1)函数f (x )在[0，1]上单调递增．证明如下：设0≤x 1＜x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）＝（x 1－x 2）（x 1x 2＋x 1＋x 2）（x 1＋1）（x 2＋1），因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增．(2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈[1，32].因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增，所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]，依题意，只需[1，32]⊆[5－2a ，5－a ]，a ≤1，a ≥32，解得2≤a ≤72，即实数a 的取值范围为[2，72].。

(人教版B版)高中数学必修第四册第十一章综合测试试卷01及答案

第十一章综合测试基础练习一、单选题1.如图，四棱锥P ABCD -，AC BD O =I ，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD 于点N ，则下列结论正确的是（）A.O ，N ，P ，M 四点不共面B.O ，N ，M ，D 四点共面C.O ，N ，M 三点共线D.P ，N ，D 三点共线2.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC BC ===，则异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为（）A.12-B.12 C.14- D.143.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A.AC BD ^B.AC ∥截面PQMNC.AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45°4.设E ，F 分别是正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，给出下列四个命题：①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45°；③11D B ^平面1B EF ；④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60°。

其中正确的命题为（）A.①② B.②③C.②④D.①④5.在如图的正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢-中，3AB =，点M 是侧面BCC B ¢¢内的动点，满足'AM BD ^，设AM 与平面BCC B ¢¢所成角为q ，则tan q 的最大值为（）C.43D.34二、填空题6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ^面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，过E ，F ，H 的平面交棱CD 于点G ，则四边形EFGH 面积为________。

7.如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的是________。

高中数学第九章解三角形单元综合测试(含解析)新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题

单元综合测试一(第九章)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于( D )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°解析：由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×222＝12. ∵a <b ，∴A 为锐角．∴A ＝30°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A ＝( A )A ．30°B ．60°C ．150°D ．30°或150°解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝sin45°2＝12.∵a <b ，∴A <B ，∴a ＝30°.3．三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的面积是( B )A ．12B ．6C ．24D ．4解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2. ∴两边夹角的余弦值为－35，则正弦值为45.故三角形的面积为12×5×3×45＝6.4．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，且cos B cos C ＝c b ，则△ABC 是( D )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．正三角形解析：由cos A cos B ＝b a 得∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，由cos B cos C ＝c b 得∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝π2.∴∠A ＝∠B ＝∠C ，即△ABC 为正三角形．5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( B ) A.322 B.332C.32D ．3 3解析：由余弦定理，得cos A ＝9＋16－132×3×4＝1224＝12， ∴sin A ＝32，∴AC 边上的高为AB ·sin A ＝332.6．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2(sin A ＋sin B ＋10sin C )，A ＝60°，则a 等于( A )A. 3 B ．2 3C ．4D ．不确定解析：由已知及正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入有k (sin A ＋sin B ＋10sin C )＝2(sin A ＋sin B ＋10sin C )，∴k ＝2.∴a sin A ＝2.a ＝2sin A ＝2sin60°＝3，选A.7．某小区的绿化地有一个三角形的花圃区，若该三角形的三个顶点分别用A ，B ，C 表示，其对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0，则在A 处望B ，C 所成的角的大小为( B )A.π2B.π3C.π6D.2π3解析：在△ABC 中，(2b －c )cos A －a cos C ＝0，结合正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即2sin B cos A －sin B ＝0.又因为A ，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3，即在A 处望B ，C 所成的角的大小为π3.8．已知锐角△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值X围是(C)A．x>2 B．x<2C．2<x<22D．2<x<2 3解析：∵三角形有两解，如图，∴a>b>CD＝a sin45°.∴2<x<222＝2 2.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是(ABD) A．若A<B，则sin A<sin BB．若sin A<sin B，则A<BC．若A>B，则1tan2A>1tan2BD．A<B，则cos2A>cos2B解析：A.若A<B，则a<b,2R sin A<2R sin B，所以sin A<sin B，所以该选项是正确的；B ．若sin A <sin B ，∴a 2R <b 2R ，∴a <b ，则A <B ，所以该选项是正确的；C ．若A >B ，设A ＝π3，B ＝π6，∴1tan2A <0，1tan2B >0，所以该选项错误；D ．A <B ，则sin A <sin B ，sin 2A <sin 2B ，∴－sin 2A >－sin 2B ，∴1－sin 2A >1－sin 2B ，∴cos 2A >cos 2B ，故该选项正确．故选ABD.10．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( BC )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．b ＝45，c ＝48，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°解析：选项A ：因为A ＝45°，C ＝70°，所以B ＝65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；选项B ：由正弦定理可知b sin B ＝c sin C ，即sin B <sin C <1，所以角C有两解；选项C ：由正弦定理可知b sin B ＝a sin A ，即sin A <sin B <1，所以角B有两解；选项D：由正弦定理可知bsin B＝asin A，即sin A>sin B，所以角B仅有一解，综上所述，故选BC.11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的命题是(AC)A．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形B．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形C．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形解析：由acos A＝bcos B＝ccos C，利用正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B⇒sin2A＝sin2B,2A＝2B或2A＋2B＝π，△ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sin B cos C＋sin C cos B＝sin B，即sin(B＋C)＝sin B，sin A＝sin B，则A＝B，△ABC等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，角C 为锐角，角A ，B 不一定是锐角，D 不正确，故选AC.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )＝91011，则下列结论正确的是( ACD ) A ．sin A sin B sin C ＝45 6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆半径为877解析：因为(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )＝91011. 所以可设：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9x a ＋c ＝10xb ＋c ＝11x (其中x >0)，解得：a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x .所以sin A sin B sin C ＝a b c ＝456，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(4x )2＋(5x )2－(6x )22×4x ×5x＝18>0, 所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又cos A ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝(6x )2＋(5x )2－(4x )22×6x ×5x＝34. 所以cos2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos2A ＝cos C ，由三角形中C 角最大且C 角为锐角可得：2A ∈(0，π)，C ∈(0，π2)．所以2A ＝C ，所以C 正确；由正弦定理得：2R ＝c sin C ，又sin C ＝1－cos 2C ＝378. 所以2R ＝6378，解得：R ＝877，所以D 正确；故选ACD. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为a 2＋b 2<c 2.解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∵∠C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.14．在△ABC 中，tan B ＝1，tan C ＝2，b ＝100，则c ＝4010.解析：由tan B ＝1，tan C ＝2，得sin B ＝22，sin C ＝255，由b sin B ＝csin C得c15．在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A的值等于2，AC的取值X解析：设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin2θ＝BC sinθ，又0°<θ<90°，所以sinθ≠0，所以AC2cosθ＝1⇒ACcosθ＝2. 由锐角三角形ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cosθ<32，所以AC＝2cosθ∈(2，3)．16．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为解析：如图所示，由已知条件，得AC＝60 km，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，故∠ABC＝45°.由正弦定理得：BC＝AC sin∠BACsin B＝30 2 km.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．解：(1)cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12.又因为C ∈(0°，180°)，所以C ＝120°.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，所以AB ＝10.18．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及正弦定理得c ＝2a .由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3.19．(12分)如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD cos ∠ADB .设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos60°，x 2－10x －96＝0.∴x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，可得BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.20．(12分)已知△ABC 中，A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ，sin B 及△ABC 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(b ＋c )2－2bc －a 22bc ＝－12.将a ＝7，b ＋c ＝8代入得bc ＝15，又b ＋c ＝8.∴⎩⎨⎧ b ＝3，c ＝5或⎩⎨⎧ b ＝5，c ＝3.当b ＝3，c ＝5时，由正弦定理得3sin B ＝7sin120°，∴sin B ＝3314. S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534.当b ＝5，c ＝3时，同理可得sin B ＝5314，S △ABC ＝1534.21．(12分)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值X 围．解：(1)由题意知1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又∵0<C <π，∴C ＝2π3.(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin 2π3＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋ 3. ∵0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3≤1， ∴23<2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3≤2＋3， ∴△ABC 周长的取值X 围是(23，2＋3]．22．(12分)如图所示，直线a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一个信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，先用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值及PB ，PC 的长度；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．解：(1)P A ，PB ，PC 的长度关系可以由收到信号的先后时间建立．由题意P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)．所以PB ＝(x －12) km ，PC ＝(18＋x ) km.在△P AB 中，AB ＝20 km ，由余弦定理，得cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝3x ＋325x . 同理，在△P AC 中，AC ＝54 km ，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC＝72－x 3x . 由cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，解得x ＝1327.因此PB ＝x －12＝1327－12＝487(km)，PC ＝18＋x ＝18＋1327＝2587(km)．(2)过P 作PD ⊥a ，垂足为D .在△PDA 中，PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km)．即静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 km.。

整理人教版高中数学必修4 综合测试题B卷(含答案)

20 年月日A4打印/ 可编辑高中数学必修一必修四综合检测题一高中数学必修一必修四综合检测题（一）一、选择题1．若向量，，满足条件，则=（）A．6 B．5 C．4 D．32．如果，那么等于（）A．B．C．[ D．3．已知向量（）A．B．C．D．4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．2 5．若,则的值为（）A．B．C．D．6．函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．B．C．D．7．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（）.A．(0, ) B．C．D．（0,1）8．为三角形的一个内角,若,则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形9．设是定义在上的奇函数，且，，则（）A．0 B．0.5 C．2 D．10．已知函数满足:对任意实数,当时,总有,那么实数的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题11．已知,则= .12．方程在上有两个不等的实根，则实数的取值范围是13．设，则14．若，则的取值范围是15．关于x的方程有实根，且一个大于2，一个小于2，则m取值范围为_ __ __.三、解答题16．已知集合，,。

（1）求；（2）求；（3）若，求的取值范围17．已知向量与的夹角为30°，且||＝，||＝1，（1）求|－2|的值（2）设向量＝＋2，＝－2，求向量在方向上的投影18．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈，设函数＝a ·b .（1）求的最小正周期；（2）求在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．19．设是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b，当时，都有.（1）若，试比较与的大小关系；（2）若对任意恒成立，求实数k 的取值范围.20. 在每年的“春运”期间，某火车站经统计每天的候车人数（万人）与时间（小时），近似满足函数关系式，，并且一天中候车人数最少是夜晚2点钟，最多是在下午14点钟。

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