山东省德州市跃华学校高二上学期期中考试数学试题

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山东省德州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学含解析

2023-2024学年上学期期中考试高二数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知双曲线222:1y C x b -=的一个焦点为(2,0)-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A.0x +=B.0y +=C.10x -=D.10y +-=2.若向量()1,,0a λ= ，()2,1,2b =- ，且,a b的夹角的余弦值为23，则实数λ等于（）.A.0B.43-C.0或43-D.0或433.已知直线1l ：10x my -+=过定点A ，直线2l ：30mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=（）A.10B.12C.13D.204.直线():120l kx y k k ---=∈R 与圆22:5C x y +=的公共点个数为（）．A.0个B.1个C.2个D.1个或2个5.如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA a = ，OB b =，OC c = ，则OG =（）A.111444a b c ++B.113444a b c ++C.311444a b c ++D.113444a b c -+ 6.如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A.22B.40C.10D.227.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为224x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A.102B.52- C.10 D.258.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的长轴长为26，且与x 轴的一个交点是(2,0)，过点13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM的最小值为（）A.1B.2C.2D.22二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆M 的标准方程为22(4)(3)25x y -++=，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()4,3-B.点()1,0在圆内C.圆M 的半径为5D.点()3,1-在圆内10.已知椭圆22116x y m+=的焦距是23m 的值可能是（）A.13B.13C.19D.1911.已知直线:0l kx y k --=，圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B.4,2D E =-=-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A.1A C ⊥平面EFGB.C 到平面EFG 的距离为C.过点E ，F ，G 作正方体的截面，所得截面的面积是D.平面EGF 与平面11BCC B 夹角余弦值为3第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是____.14.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．15.已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12||||||PF PF -=___________.16.若点P 在曲线C ：222610x y x y +--+=上运动，则3yx +的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知(3,2,1),a =- (2,1,2)b =.（1）求()()2a b a b +⋅-；（2）求a 与b夹角的余弦值；（3）当()()ka b a kb +⊥- 时，求实数k 的值.18.已知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .（1）求过点P 且与直线310--=x y 平行的直线方程；（2）若直线l 与直线310--=x y 垂直，且P 到l 的距离为5，求直线l 的方程.19.已知圆C 经过()2,0A ，()0,4B 两点，且圆C 的圆心在直线60x y +-=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线370x y +-=与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅.20.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积．21.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，10AB =，6BC =，8CD =，E 为AD 的中点，且平面BCE ⊥平面ACD ．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若AD =，求二面角A BD C --的正弦值．22.如图，经过点()2,3P ，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的弦,PA PB所在直线交x轴于点,C D，且PC PD.求证：直线AB的斜率为定值.2023-2024学年上学期期中考试高二数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知双曲线222:1y C x b -=的一个焦点为(2,0)-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A.0x +=B.0y +=C.10x -=D.10y +-=【答案】B 【解析】【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，1,2a c ==，又222c a b =+，解得b =.所以双曲线C的一条渐近线方程为by x a=-=0y +=.故选：B.2.若向量()1,,0a λ= ，()2,1,2b =- ，且,a b的夹角的余弦值为23，则实数λ等于（）.A.0B.43-C.0或43-D.0或43【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的数量积运算及夹角公式，代入坐标计算即可．【详解】由题意得2cos ,3a b a b a b ⋅=== ，解得0λ=或43λ=-，故选:C ．3.已知直线1l ：10x my -+=过定点A ，直线2l ：30mx y m +-+=过定点B ，1l 与2l 相交于点P ，则22PA PB +=（）A.10B.12C.13D.20【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得直线1l 过定点(1,0)A -，直线2l 恒过定点(1,3)B -，结合1()10m m ⨯+-⨯=，得到PA PB ⊥，利用勾股定理，即可求解.【详解】由直线1:10l x my -+=过定点(1,0)A -，直线2:30l mx y m +-+=可化为(1)30m x y -++=，令1030x y -=⎧⎨+=⎩，解得1,3x y ==-，即直线2l 恒过定点(1,3)B -，又由直线1:10l x my -+=和2:30l mx y m +-+=，满足1()10m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥，所以PA PB ⊥，所以22222(11)(03)13PA PB AB +==--++=.故选：C.4.直线():120l kx y k k ---=∈R 与圆22:5C x y +=的公共点个数为（）．A.0个B.1个C.2个D.1个或2个【答案】D 【解析】【分析】求直线过的定点，再判断直线与圆位置关系，【详解】():120l kx y k k ---=∈R 为(2)10k x y ---=，故l 过定点(2,1)-，在圆225x y +=上，故直线l 与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个，故选：D5.如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA a = ，OB b =，OC c = ，则OG =（）A.111444a b c ++B.113444a b c ++C.311444a b c ++ D.113444a b c -+【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】由在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，如图所示，连接OQ ，根据空间向量的线性运算法则，可得：11111111()[()]22222222OG OP PG OA PQ a OQ OP a OB OC OA =+=+=+-=+⋅+-1111[()]2222111444a b c a a b c =+⋅+++-= .故选：A.6.如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A.22B.40C. D.【答案】C 【解析】【分析】过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，易得60CAE ︒∠=，通过线面垂直的判定定理可得ED ⊥平面AEC ，继而得到ED EC ⊥，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则四边形ABDE 是平行四边形，因为BD AB ⊥，所以平行四边形ABDE 是矩形，因为BD l ⊥，即AE l ⊥，而AC l ⊥，则CAE ∠是二面角l αβ--的平面角，即60CAE ︒∠=，因为3BD AE AC ===，即ACE △为正三角形，所以3CE =，因为,ED AE l AC ⊥⊥，即ED AC ⊥，,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面AEC ，所以ED ⊥平面AEC ，因为EC ⊂平面AEC ，所以ED EC ⊥，所以在Rt EDC中，ED ==，所以AB ED ==故选：C7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为224x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A.2B.2-C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用点关于直线的找到最短距离，根据两点之间的距离公式即可求得.【详解】由已知得()3,1A 关于直线5x y +=的对称点为(),A a b '，AA '中点坐标为31,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，且直线AA '斜率为1所以31=522113a b b a ++⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得4a =，2b =即()4,2A '圆心()0,0O，可知OA '=2OA r '-故选：B8.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的长轴长为，且与x轴的一个交点是(，过点13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由题意可求得椭圆方程为22162y x +=，由0PA PB += ，得点P 为线段AB 的中点，然后利用点差法可求出直线AB 的方程，则OM 的最小值为点O 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】由题意得2a b ==，则a b ==，2c ==，所以椭圆方程为22162y x +=，因为22311221622⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=<，所以13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB +=，所以点P 为线段AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12121,3x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以21212121()()3()()0y y y y x x x x +-++-=，所以21213()3()0y y x x -+-=，即2121()()0y y x x -+-=，所以21211y y x x -=--，所以直线AB 为3122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即20x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离d ==，故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆M 的标准方程为22(4)(3)25x y -++=，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()4,3- B.点()1,0在圆内C.圆M 的半径为5D.点()3,1-在圆内【答案】ABC【解析】【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.【详解】圆22:(4)(3)25M x y -++=的圆心为()4,3-，半径为5，AC 正确；由22(14)(03)2518+=-+<，得点()1,0在圆内，B 正确；由22(34)(13)2565-+=-+>，得点()3,1-在圆外，D 错误.故选：ABC 10.已知椭圆22116x y m+=的焦距是m 的值可能是（）A. B.13C. D.19【答案】BD【解析】【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.【详解】由题知，==解得13m =或19m =.故选：BD11.已知直线:0l kx y k --=，圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B.4,2D E =-=-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称【答案】ABD【解析】【分析】求解直线系结果的定点判断A ；圆的圆心求解D 、E 判断B ；求解直线被圆截的弦长判断C ，利用圆的圆心到直线的距离判断D ．【详解】直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，所以A 正确；圆22:10M x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为(2,1)，4D =-，2E =-，所以B 正确；圆22:4210M x y x y +--+=的圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2．直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，直线l 被圆M 截得的最短弦长为=≠，所以C 不正确；当1k =时，直线方程为：10x y --=，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确．故选：ABD ．12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A.1A C ⊥平面EFGB.C 到平面EFG 的距离为C.过点E ，F ，G 作正方体的截面，所得截面的面积是D.平面EGF 与平面11BCC B 夹角余弦值为3【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B ，用空间向量求平面EFG 的法向量，再CF在法向量上的投影即可判断；对于C ，补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；对于D ，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.【详解】以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，则1(2,2,2)A C =-- ，(1,1,0)EF = ，(0,2,2)EG = ，10A C EF ⋅= ，10A C EG ⋅= ，则1A C ⊥平面EFG ，故A 正确；向量1AC 为平面EFG 的法向量，且1(2,2,2)A C =-- ，(2,1,0)CF =- ，所以C 到平面EFG的距离为11|(2,1,0)(2,2,2)||(2,2,2)|CF A C A ⋅-⋅--==-- ，故B 正确；作11C D 中点N ，1BB 的中点M ，1DD 的中点T ，连接GN ，GM ，FM ，TN ，ET ，则正六边形EFMGNT 为对应截面面积，则截面面积为：2364S =⨯⨯=C 错误；平面11BCC B 的一个法向量为(0,1,0)n = ，平面EGF 的一个法向量为1(2,2,2)A C =--，设两个平面夹角为θ，11cos 3||n A C n A C θ⋅=== ，故D 正确．故选：ABD ．第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过直线30x y +-=和260x y -+=的交点，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是____.【答案】290x y -+=【解析】【分析】通过解方程组，利用互相垂直直线的方程的特征进行求解即可.【详解】两直线方程联立，得3012604x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以交点为()1,4-设与直线230x y +-=垂直的直线方程为20x y c -+=，把()1,4-代入20x y c -+=中，得12409c c --⨯+=⇒=，故答案为：290x y -+=14.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ= ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．【答案】5【解析】【分析】根据P ，A ，B ，C 四点共面，由PA xPB yPC =+ 求解.【详解】解：因为()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ= ，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以PA xPB yPC =+ ，则122332x y x y x y λ=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得115x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：515.已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12||||||PF PF -=___________.【答案】43【解析】【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形的性质即可求解.【详解】解：椭圆22:1204x y C +=得25a =，2b =，4c =，设1||PF m =，2||PF n =，则45m n +=，12PF PF ⊥ ，2264m n ∴+=，2222()()16mn m n m n ∴=+-+=，22()()4803248m n m n mn ∴-=+-=-=，||43m n ∴-=，即12||||||43PF PF -=.故答案为：4316.若点P 在曲线C ：222610x y x y +--+=上运动，则3y x +的最大值为__________.【答案】247##337【解析】【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可.【详解】曲线C 方程化为()()22139x y -+-=，是以()1,3为圆心，3为半径的圆，3y x +表示点(),P x y 与点()3,0-连线的斜率，不妨设3y k x =+即直线l ：30kx y k -+=，又P 在圆上运动，故直线与圆C3≤，化简得27240k k -≤解得2407k ≤≤，故3y x +的最大值为247.故答案为:247.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知(3,2,1),a =- (2,1,2)b = .（1）求()()2a b a b +⋅- ；（2）求a 与b夹角的余弦值；（3）当()()ka b a kb +⊥- 时，求实数k 的值.【答案】（1）-10（2）7（3）32k =或23-【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.（3）由()()ka b a kb +⊥- ,转化为数量积为0即可.【小问1详解】()()2a b a b +⋅- ()()5,3,11,0,510=⋅--=-；【小问2详解】cos ,7||||a b a b a b ⋅<>==⋅ ；【小问3详解】当()()ka b a kb +⊥- 时，()()0ka b a kb +⋅-= ，得(32,21,2)(32,2,12)k k k k k k ++-+⋅----=0，(32)(32)(21)(2)(2)(12)0k k k k k k +-++-+-+⋅--=，32k =或23-.18.已知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .（1）求过点P 且与直线310--=x y 平行的直线方程；（2）若直线l 与直线310--=x y 垂直，且P 到l 的距离为5，求直线l 的方程.【答案】（1）320x y -+=；（2）320x y +-=或360x y +-=.【解析】【分析】（1）联立直线方程求得交点(1,1)P ，根据直线平行及点在直线上求平行直线方程；（2）设垂直直线为2:30l x y c ++=，由已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程.【小问1详解】联立231020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，交点(1,1)P ，设与直线310--=x y 平行的直线方程为130x y c -+=把(1,1)P 代入可得1130c -+=，可得12c =，∴所求的直线方程为：320x y -+=.【小问2详解】设与直线310--=x y 垂直的直线方程为2:30l x y c ++=，∵(1,1)P 到l 5=，解得22c =-或6-，∴直线l 的方程为：320x y +-=或360x y +-=19.已知圆C 经过()2,0A ，()0,4B 两点，且圆C 的圆心在直线60x y +-=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线370x y +-=与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅.【答案】（1）()()223310x y -+-=（2）1【解析】【分析】（1）求出AB 的中垂线方程联立60x y +-=，即可求得圆心坐标，继而求得半径，可求得圆的方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线和圆的方程，可得根与系数的关系式，结合向量的数量积的坐标表示，即可求得答案.【小问1详解】因为()2,0A ，()0,4B ，所以40202AB k -==--，线段AB 的中点坐标为()1,2，则AB 的中垂线方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=，故圆C 的圆心在直线230x y -+=上.联立方程组23060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，故圆C 圆心的坐标为()3,3，圆C 的半径r ==，则圆C 的标准方程为22(3)(3)10x y -+-=.【小问2详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组()()223310370x y x y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，整理得22630x x -+=，120∆=>，则123x x +=，1232x x =.故()()()12121212121237371021491OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+-+-+=-++= .20.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积．【答案】（1）24y x =；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p 值作答.（2）求出直线l 的方程，与C 的方程联立，再求出三角形面积作答.【小问1详解】抛物线C ：22(0)y px p =>的准线方程为2p x =-，依题意，4(52p --=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】由（1）知，(1,0)F ，则直线l 的方程为1y x =-，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：2440y y --=，解得12y =-，22y =+，所以OMN 的面积1211||||122OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯=21.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，10AB =，6BC =，8CD =，E 为AD 的中点，且平面BCE ⊥平面ACD ．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若AD =，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53434【分析】（1）通过面面垂直的性质，找到CE AD ⊥后证明线面垂直，从而证明线线垂直，通过两组线线垂直即可得证；（2）通过已知条件以}{,,CA CB CD 为正交基底建立空间直角坐标系，通过二面角向量方法计算公式求解即可.【小问1详解】因为AB 是⊙O 的直径，所以ACBC ⊥，因为10AB =，6BC =，所以8AC ==，又因为8CD =，E 为AD 的中点，所以CE AD ⊥，因为平面BCE ⊥平面ACD ，平面BCE 平面ACD CE =，AD ⊂平面ACD ，所以AD ⊥平面BCE ，因为BC ⊂平面BCE ，所以AD BC ⊥，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AD AC A ⋂＝，所以BC ⊥平面ACD【小问2详解】因为8AC =，8CD =，AD =，所以222AC CD AD +=，所以CD CA ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，CA,CD ⊂平面ACD ，所以,BC CA BC CD ⊥⊥，以}{,,CA CB CD 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则()8,0,0A ，()0,6,0B ，()0,0,8D ，()4,0,4E ．显然，()11,0,0n =u r是平面BDC 的一个法向量，设()2,,n x y z =u u r是平面ABD 的一个法向量，则22860880n AB x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令3x =，则()23,4,3n = ，所以121212334cos ,34n n n n n n ⋅=== ，设二面角A BD C --所成角为α，[]0,πα∈，则12sin sin ,34n n α== ，所以二面角A BD C --的正弦值为5343422.如图，经过点()2,3P ，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的弦,PA PB 所在直线交x 轴于点,C D ，且PC PD =.求证：直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2211612x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，12c e a ==，即2a c =，22223b a c c =-=，将点(2,3)P ，代入即可求得a 和b 的值，求得椭圆C 的方程；（2）联立直线,PA PB 的方程与椭圆方程,可得,A B 坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.【小问1详解】由题意可知：焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由椭圆的离心率12c e a ==，即2a c =，22223b a c c =-=，将(2,3)P 代入椭圆方程：2249143c c+=，解得：24c =，216a ∴=，212b =，∴椭圆的标准方程为：2211612x y +=；【小问2详解】由题意可知：直线PA 有斜率，且0k ≠，设直线PA 方程为()32y k x -=-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴222311612y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()()222(34)823423480k x k k x k +-+--=-，()()()22228234(34)42348016210k k k k k ∆⎡⎤---+-->⇒+>⎡⎤⎣⎣=⎦⎦，故12k ≠-由韦达定理可知：()()211222412382324343k k k k x x k k ---+=⇒=++，由PC PD =得：0PC PD k k +=,故直线PB 方程为()32y k x -=--()22224+12343k k x k -=+，因此()212212244348,4343k k x x x x k k -+-==++所以()()()()222121212121212443443224148243AB k k k k x k x k x x y y k k x x x x x x k ⎛⎫- ⎪-- ⎪+-----+--⎝⎭=====---+因此12ABk ，为定值.。

高二数学上学期期中试题_1 8_1(共6页)

耀华中学2021-2021学年(xu éni án)高二数学上学期期中试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共100分．考试用时100分钟．祝同学们考试顺利！第一卷〔选择题一共48分〕一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分，在每一小题的4个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1.假设命题,那么命题的否认是A ．B ．，C ．x R ∀∈ ，D ．x R ∀∈ ，2. 数列是等差数列，假设，，那么公差A ．B ．C ．D ．3. 假设，那么“成等比数列〞是“〞的4. 在等差数列中，首项，公差，前项和为，且满足，那么的最大项为A ．B ．C ．D ．5. 假设数列满足12a =，，那么的值是A. 2B.C.D.6.假设(jiǎshè)不等式的解集是，那么不等式的解集是A. B. C. D.7.假如关于x的不等式对一实在数x恒成立，那么实数的取值范围是A. (－∞，2]B.(－∞，－2)C.(－2，2]D.(－2， 2)8.设常数，假设对一切正实数成立，那么a的取值范围为A. B. C. D.a=，那么数列{}的前n项和为9.数列{}满足nA. B. C. D.10.，且满足，那么的最小值为A. B. C. D.11.数列{}n a满足，假设对于任意列都有，那么实数a的取值范围是A ．B ．C ．D ．12. 设正实数(shìshù)满足．那么当获得最大值时，的最大值为A ．0B ．1C ．D ．第二卷〔非选择题一共52分〕二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分，将答案填写上．．．．．．在答题．．．卡．上．． 13. 等比数列中，为其前n 项和，假设，那么a = ▲ ．14. ，，假设是p 的充分非必要条件，那么实数a 的取值范围为 ▲ ． 15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .假设，那么=▲ ，= ▲． 16.等比数列中，假设，那么的值是 ▲ ．17. 数列满足，那么的最小值为 ▲ ．18. 以下命题中：①假设(ji ǎsh è)，那么的最大值为；②当时，；③函数的最小值为2； ④当且仅当均为正数时，恒成立.其中是真命题的是 ▲ ．(填上所有真命题的序号)三、解答题：此题一共2个题，一共计22分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．将答案填写上在答题．．．．．．．．．卡．上．． 19. 〔此题满分是9分〕}{n a 为正项等比数列，；n S 为等差数列的前n 项和，.〔Ⅰ〕求}{n a 和}{n b 的通项公式；〔Ⅱ〕设，求n T .20. 〔此题满分是13分〕函数．〔Ⅰ〕当时，解关于x 的不等式〔Ⅱ〕假设正数,a b 满足，且对于任意的，恒成立，务实数,a b 的值．耀华中学2021—2021学年度第一学期期中形成(xíngchéng)性检测高二年级数学学科参考答案一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBCCDCABACC二．填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共计30分 13．； 14．； 15．，； 16．9； 17．；18．①②．三．解答题：本大题一一共2小题，一共22分. 18．(此题满分是9分) 解：〔Ⅰ〕设n S 的公比为q ,由,得所以设}{n b 的公差为，由8525S S =得, 所以〔2〕〔Ⅱ〕nT ① ②②-①得：所以19．(此题满分是13分)解：〔Ⅰ〕当2231b a a =-+时 ,不等式()0f x ≤即为．①当时 ,不等式的解集为；②当时 ,不等式的解集为；③当时 ,不等式的解集为．〔Ⅱ〕问题(wèntí)转化为()0f x ≥对于任意[)1,x ∈+∞恒成立,可得．从而，又因为43a b+≤,所以．内容总结（1）耀华中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共100分．考试用时100分钟．祝同学们考试顺利（2）②当时 ,不等式的解集为。

山东省德州市跃华学校2013-2014学年高二上学期期中考试数学试卷Word版无答案

考试时间：2013、11 (考试时间120分钟总分150分)一、选择题（共60分） 1. 在△ABC 中，︒===120,3,1B b a ，则A 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 2．在等比数列{n a }中,已知911=a ,95=a ，则=3a （） A ． 1 B ． 3 C ． ±1 D ．±3 3．若0,ab >>则下列不等式成立的是（）A ．2a b a b +>>> B ． 2a ba b +>>>C ． 2a b a b +>>>D ． 2a ba b +>>>4．三角形三边长为c b a ,,，且满足等式()()ab c b a c b a 3=++-+,则边c 所对角为（）A ． 150°B ． 30°C ． 60°D ．120° 5．不等式3260x y +-<表示的平面区域是（）A B C D6,则）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 7. 若,1>a 则11-+a a 的最小值是（） A. 2 B. a C. 3 D.1-a a2 8．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则此三角形是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且965=a a ，则1032313log log log a a a +++ 的值为（）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 5log 23+ 10．函数)38(3x x y -=（380≤≤x ）的最大值是（） A ． 0 B ．34C ． 4D ． 16 11．已知数列{}n a 满足1221n n na a a +⎧⎪=⎨⎪-⎩1(0)21(1)2n n a a ≤<≤<，若167a =，则2008a 的值为（）A ．67 B ．37 C ．57D ．1712．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围为（）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2123<<-a D ．2321<<-a 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sinC=23,则∠C= . 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，*N n ∈，且22n S n =，则=n a15．已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是 .16．编辑一个运算程序:*1&12,&,&(1)2(,,)m n k m n k m n k N ==+=+∈ 则1&2008的输出结果为跃华学校2013-2014学年第一学期期中考试高二数学答题纸一、选择题（60分）二、填空题（16分）13. 14. 15. 16. 三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)（1）在△ABC 中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若8,60,75a B C =∠=︒∠=︒,求∠A 及b ；（2）在△ABC 中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，已知4,5,a b c === 求：（Ⅰ）C ∠的大小；（Ⅱ）△ABC 的面积.18．(12分) 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且a 3=2csinA(Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。

2014-2015年山东省德州市跃华学校高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)

2014-2015学年山东省德州市跃华学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）有下列四个命题：其中真命题为（）A．5≥2 B．5≤2C．若x2=4，则x=2 D．若x＜2，则2．（5分）在正项等比数列{a n}中，a3•a5=4，则a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7=（）A．64 B．128 C．256 D．5123．（5分）下列叙述中正确的是（）A．两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数B．两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数C．若两个数的和为常数，则它们的积有最大值D．若两个数的积为常数，则它们的和有最小值4．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定5．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（5分）设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4，∠C=45°，则R=（）A．B．C．D．7．（5分）等差数列{a n}中a1＞0，前n项和S n，若S38=S12，则当S n取得最大值时，n为（）A．26或27 B．26 C．25或26 D．258．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1 B．S n=3a n﹣2 C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n9．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p410．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）2与10的等差中项是．12．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．13．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．14．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为．三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16．（12分）解关于x的不等式（1）x2﹣6x+5＜0；（2）x2﹣（k+5）x+5k＜0．17．（12分）在△ABC中，cosB=﹣，sinC=（1）求sinB；（2）求cosC的值；（3）求sinA的值．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）已知一个等比数列{a n}的首项为a1，公比为q：（1）数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…是等比数列吗？如果是，首项和公比分别是多少？（2）数列是等比数列吗？如果是，首项和公比分别是多少？20．（13分）某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg．现有A种原料1200kg，B种原料800kg．如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？21．（14分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．2014-2015学年山东省德州市跃华学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）有下列四个命题：其中真命题为（）A．5≥2 B．5≤2C．若x2=4，则x=2 D．若x＜2，则【解答】解：因为5＞2为真命题，所以5≥2为真命题，故A正确，B错误；若x2=4，则x=±2，故C错误；x＜0，显然结论不成立故选：A．2．（5分）在正项等比数列{a n}中，a3•a5=4，则a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7=（）A．64 B．128 C．256 D．512【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，a3•a5=4，∴a42=a3•a5=4，即a4=2，又a1a7=a2a6=a3a5=a42，则a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7=（a1a7）•（a2a6）•（a3a5）•a4=a47=128．故选：B．3．（5分）下列叙述中正确的是（）A．两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数B．两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数C．若两个数的和为常数，则它们的积有最大值D．若两个数的积为常数，则它们的和有最小值【解答】解：选项A，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，故A错误；选项B，两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，只有相等时取等号，故两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数，故B正确；选项C和D，都需保证两数均为正数才成立，故C和D均错误．故选：B．4．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．5．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：c==4，b=atan30°=2∴c﹣b=4﹣2=2故选：C．6．（5分）设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4，∠C=45°，则R=（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB=c=4，∠C=45°，∴由正弦定理=2R得：R===2．故选：D．7．（5分）等差数列{a n}中a1＞0，前n项和S n，若S38=S12，则当S n取得最大值时，n为（）A．26或27 B．26 C．25或26 D．25【解答】解：由S 38=S12，得：38a1+d=12a1+d，解得：a1=﹣637d，又a1＞0，得到d＜0，所以S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，由d＜0，得到S n是一个关于n的开口向下抛物线，且S38=S12，由二次函数的对称性可知，当n==25时，S n取得最大值．故选：D．8．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1 B．S n=3a n﹣2 C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n【解答】解：由题意可得a n=1×=，∴S n==3﹣=3﹣2=3﹣2a n，故选：D．9．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4﹣a n=d＞0，∴命题p1：数【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n﹣na n=（n+1）d+a n，不+1一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+10，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．10．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）2与10的等差中项是6．【解答】解：设a为2与10的等差中项，则2a=2+10，解得a=6故答案为：612．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．13．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．【解答】解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：14．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故答案为：∃x∈R，sinx＞1．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为0．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z=F（1，1）=﹣1+1=0最小值故答案为：0三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16．（12分）解关于x的不等式（1）x2﹣6x+5＜0；（2）x2﹣（k+5）x+5k＜0．【解答】解：（1）x2﹣6x+5＜0化为（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得1＜x＜5，因此不等式的解集为（1，5）；（2）x2﹣（k+5）x+5k＜0化为（x﹣5）（x﹣k）＜0，当k=5时，不等式化为（x﹣5）2＜0，其解集为空集∅；当k＜5时，不等式的解集为k＜x＜5，其解集为（k，5）；当k＞5时，不等式的解集为5＜x＜k，其解集为（5，k）．综上可得：当k=5时，不等式解集为空集∅；当k＜5时，不等式的解集为（k，5）；当k＞5时，不等式的解集为（5，k）．17．（12分）在△ABC中，cosB=﹣，sinC=（1）求sinB；（2）求cosC的值；（3）求sinA的值．【解答】解：（1）∵cosB=﹣，B∈（0，π），∴=．（2）∵B为钝角，∴C为锐角．∵sinC=，∴=．（3）由（1）（2）可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．19．（12分）已知一个等比数列{a n}的首项为a1，公比为q：（1）数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…是等比数列吗？如果是，首项和公比分别是多少？（2）数列是等比数列吗？如果是，首项和公比分别是多少？【解答】解：（1）∵a1+a2+a3=，a2+a3+a4=，a3+a4+a5=，…，∴数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…是等比数列，其首项为，公比为q．（2）∵，∴．∴数列是等比数列，首项和公比分别是，．20．（13分）某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg．现有A种原料1200kg，B种原料800kg．如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？【解答】解：设甲、乙两种产品各生产x，y工时，利润为z元，则由题意可得，，z=30x+40y；作平面区域如下，由解得，x=200，y=300；此时z有最大值，最大值为30×200+40×300=18000，故最大利润为18000元．即甲、乙两种产品各生产200，300工时时，利润的总额最大，最大利润是18000元．21．（14分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d ∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===。

山东省德州市跃华学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题Word版无答案

跃华学校2015-2016学年第一学期期中考试高二（数学）试题命题人：刘玉杰审核：陈祥和考试时间：120分钟（总分150分）日期：2015、11 注意事项：1.答第二卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．不共面的四点可以确定平面的个数为（）A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ．无法确定2．已知不同直线a 、b 与不同平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A ．a ⊥α且a ⊥βB ．α⊥γ且β⊥γC ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥bD ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．5)πB ．5)π+C ．6πD ．6)π4．若球的半径是3cm ，则球的内接正方体的体积是（）A. 8cm 3B. 86cm 3C. 243cm 3D. 466cm35．直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13 B ．1或13 C ．－13或－1 D ．－13或1 6．已知四个命题：①两条直线确定一个平面；②点A 在平面α内，也在直线a 上，则直线a 在平面α内；③如果平面α与平面β有不同的三个公共点，那么这两个平面必重合；④三条直线两两平行，最多可确定三个平面．其中正确的命题有( )个A.1B.2C.3D.47. 方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( )A. 2a <-或23a >B.203a -<<.C.20a -<<.D.223a -<<. 8．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 的值等于( ) A. 2 B. 2－1 C ．2－ 2 D. 2＋19．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( ) A ．－7 B ．－4 C ．1 D ．2 10．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A ．62－2B ．8C ．4 6D ．10第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 如果一条直线b 与平面α内的一条直线m 平行，则直线b 与平面α的位置关系为 .12．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的周长为 .13. 若两圆422=+y x 与012222=-+-+a ax y x 相内切，则=a . 14. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是________________.15. 若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16．（12分）有一地球仪的半径为30cm ，地球仪上标有A 、B 两地，A 地北纬045，东经040， B 地北纬045，西经050.（1）求地球仪的表面积与体积；（2）求地球仪上A 、B 两地所在纬线圈的半径；（3）求地球仪上A 、B 两点的球面距离.17．（12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1）PA∥平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE.18. (12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点．(1)若AA 1=AB=AC=BC=2,求三棱锥A 1-AEF 的体积；(2)求证：平面EFA 1∥平面BCHG .19.（12分）已知直线l ：y ＝3x ＋3，试求：(1)过点P (4,5)与直线l 垂直的直线方程；(2)直线l 关于点A (3,2)对称的直线方程．20．（14分）已知圆C 1的圆心为点C 1（3,0），并且圆C 1过点A .（1）求圆C 1的方程；（2）求圆C 1的过点(1,4)-的切线方程;（3）若圆C 2：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，是否存在m 使得圆C 1与圆C 2内含，并说明理由.21.（13分）某运输公司接受了向四川地震灾区每天至少运送180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车往返的成本费是A 型卡车320元，B 型卡车504元．（1）设所需A型、B型卡车分别为x辆和y辆，每天A型车和B型车往返的成本费之和为z，请完成下表的空格；（2）请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的往返成本费最低？。

2022-2023学年山东省德州市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省德州市高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知直线1l：10x +=，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，则直线2l 的斜率是（） A．B．CD．C【详解】1l：10x +=的斜率k =30，因此直线2l 的倾斜角为23060⨯=，所以2l 的斜率为tan 603= 故选：C2．已知直线20x my +-=与直线y nx =垂直，则m ，n 的关系为（） A ．10mn -= B ．10mn += C ．0-=m n D ．10++=m nC【分析】根据直线一般式中两直线垂直系数满足的关系即可求解.【详解】直线20x my +-=与直线0nx y -=垂直,则()1100n m n m ⨯+⨯-=⇒-=，即0-=m n 故选：C3．已知(P 为双曲线()22210y x a a-=>上点．则该双曲线的离心率为（）ABCDB【分析】利用点在双曲线上及双曲线的离心率公式即可求解.【详解】因为(P 为双曲线()22210y x a a-=>上点，所以2211a -=，解得a =或a =，所以双曲线的方程为22132y x -=，所以223,12a b ==，所以22235122c a b =+=+=，解得c =c =，所以该双曲线的离心率为10262153c e a ===. 故选：B.4．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c ++B ．1162a b c -++C ．1132a b c -+D ．1162a b c --+D【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD =，12DN DP =，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量．【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP =++=-+=-+-=--+ 即1162MN a b c =--+故选：D ．5．已知两圆221x y +=和()2216x y a +-=无公共点，则实数a 的取值范围为（） A ．()3,3- B ．()(),55,-∞-⋃+∞ C ．()()5,33,5--⋃ D ．()()(),53,35,-∞-⋃-⋃+∞D【分析】由两圆221x y +=和()2216x y a +-=无公共点，可得两圆外离或内含，从而可得答案. 【详解】解：圆221x y +=的圆心为()0,0，半径11r =，圆()2216x y a +-=的圆心为()0,a ，半径24r =，设圆心距为d ，则d a =，因为两圆221x y +=和()2216x y a +-=无公共点，所以两圆外离或内含，则21d r r <-或21d r r >+，即3a <或5a >，解得33a -<<或5a >或5a <-，所以实数a 的取值范围为()()(),53,35,-∞-⋃-⋃+∞. 故选：D.6．如图所示，在正方形中ABCD ，AB 6=，以AC 为折痕把ABC 顺时针折起，折成一个大小θ为的二面角，若1cos 2θ=，则四面体A BCD -的体积为（）A ．12B 3C 3D ．32D【分析】根据线面垂直可得椎体的高，由二面角可求三角形BOD 的面积，进而根据体积公式即可求解.【详解】由于四边形ABCD 为正方形，所以,,,,OB AC OD AC OB OD O OB OD ⊥⊥⋂=⊂平面BOD , 所以BOD θ∠=，且AC ⊥平面BOD , 故1cos 2BOD ∠=，又因为1232OB OD AC AB ====故BOD 为等边三角形，故11111sin 60sin 6033232A BCDBOD V S AC OB OD AC OB OD AC -=⋅=⨯⋅⨯=⨯⋅⨯ 11333323322=⨯ 故选：D7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △的面积32，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE 的周长是（）A ．42B ．8C ．219D ．16B【分析】先根据12AF F △的面积为3，焦距为2，求得椭圆方程为22143x y +=，然后根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.【详解】因为12AF F △的面积为3，焦距为2，所以1,3c b ==，所以222a b c =+=，故椭圆方程为22143x y +=，假设A 为椭圆C 的上顶点，因为两个焦点为1F ，2F ，所以122AF AF a ===，1222F F c ==，故1212AF AF F F ==,所以12AF F △为等边三角形，又因为过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，所以2AD DF =，2AE EF =,由椭圆的定义可知：212224DF DF a +==⨯=，212224EF EF a +==⨯=，所以ADE 的周长为22114428AD AE DE DF EF DF EF a ++=+++==⨯=，故选.B8．已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，22SA SC ==，二面角B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9A【分析】如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，则可得SDB ∠为二面角B AC S --的平面角，得5π6BDS ∠=，过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，然后在△OSD 中利用余弦定理可求出R ，从而可求得球的表面积. 【详解】如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，因为2AB BC ==，22SA SC ==，所以,BD AC SD AC ⊥⊥，所以SDB ∠为二面角B AC S --的平面角，所以5π6BDS ∠=，因为AB ⊥BC ，2AB BC ==，所以22AC =，2BD CD ==，因为22SA SC ==，所以826SD =-=，过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，可得22OD R =-，在△OSD 中，π3ODS ∠=，由余弦定理可得2222cos OS OD SD OD SD ODS =+-⋅⋅∠，即2221262262R R R =-+--⨯⨯，解得2143R，所以其外接球的表面积为256π4π3R =. 故选：A.二、多选题9．已知曲线C 的方程为2213224x y m m -=--（2R,3m m ∈≠且2m ≠），则（）A ．若曲线C 表示圆，则65m =B ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为2,23⎛⎫⎪⎝⎭C．若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为26, 35⎛⎫ ⎪⎝⎭D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为2,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭ACD【分析】根据曲线表示的圆锥曲线的类型，列出相应的不等式组，求得参数范围，即可判断出答案.【详解】由题意知曲线C的方程为221 3224x ym m-=--，若曲线C表示圆，则32024032(24)mmm m->⎧⎪-<⎨⎪-=--⎩，解得65m=，故A正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则32024032(24)mmm m->⎧⎪-<⎨⎪->--⎩，解得625m<<，B错误；若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则32024032(24)mmm m->⎧⎪-<⎨⎪-<--⎩，解得2635m<<，C正确；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则32<0240mm-⎧⎨-<⎩，解得23m<，D正确，故选.ACD10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点．则（）A．12 MN=B．AB CD⊥C3D．直线AM与CN所成角的余弦值为1 3BC【分析】把,,,MN AM NC CD分别用,,AB AC AD表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD ，连接DM ，在DM 上取点O ，使得2OD OM =，连接OA ，则OA ⊥平面BCD ，解ADM △即可判断C.【详解】解：由正四面体ABCD ，可得π3BAC BAD DAC ∠=∠=∠=，对于A ，()()1122MN AN AM AN AB AC AD AB AC =-=-+=--，则()212MN AD AB AC ⎡⎤=--⎢⎥222222AD AB AC AB ACAB AD AD AC =+++⋅-⋅-⋅ ==A 错误；对于B ，CD AD AC =-，则()11022AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=-=，所以AB CD ⊥，故B 正确；对于D ，111,222AM AB AC NC AC AN AC AD =+=-=-，则32AM NC ==111222AM NC AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112424AB AC AB AD AC AD AC =⋅-⋅+-⋅ 1111148282=-+-=，设直线AM 与CN 所成角为θ，则12cos cos ,33AM NC AM NC AM NCθ⋅====，所以直线AM 与CN 所成角的余弦值为23，故D 错误；对于C ，连接DM ，在DM 上取点O ，使得2OD OM =，连接OA ，则OA ⊥平面BCD ，则ADM ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，在ADM △中，1AM DM AD ===，则331344cos 33212ADM +-∠==⨯⨯，由正四面体的结构特征可得，直线,,AB AC AD 与平面BCD 所成角的相等，所以侧棱与底面所成角的余弦值为33，故C 正确故选：BC11．双曲线具有如下光学性质：如图1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，从右焦点2F 发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线过左焦点1F ．若双曲线C 的方程为224121x y -=，则（）A ．双曲线的焦点2F 21B ．若m n ⊥，则1242PF PF =C ．当n 过点()3,6Q 时，光线由2F P Q →→所经过的路程为8D ．反射光线n 所在直线的斜率为k ，则212k ⎡∈⎢⎣⎭ABD【分析】对于A ，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；对于B ，判断出1290F PF ∠=︒，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于C ，利用双曲线的定义直接求得；对于D ，先求出双曲线的渐近线方程，由P 在双曲线右支上，即可得到n 所在直线的斜率的范围；【详解】对于A ，由双曲线C 的方程为224121x y -=知双曲线的渐近线方程为：2120x y -=，焦点()25,0F 到直线2120x y -=的距离为：52121214=+，故A 正确；对于B ，若m n ⊥，则1290F PF ∠=︒.因为P 在双曲线右支上，所以124F P F P -=.由勾股定理得：2221212F P F P F F += 二者联立解得.()22121212100164222F F F P F P PF PF ---⋅===故B 正确；对于C ，光由2F P Q →→所经过的路程为()()222111222356046F P PQ F P a PQ F P PQ a FQ a +=-+=+-=-=++--=.，故C 不正确；对于D ，双曲线224121x y -=的渐进线方程为212y x =±.设左、右顶点分别为A 、B .如图示：当m 与2F B 同向共线时，n 的方向为2BF ，此时k =0，最小. 因为P 在双曲线右支上，所以n 所在直线的斜率为212k <.即210,2k ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭. 故D 正确. 故选：ABD.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点，()11101B G B C λλ=≤≤，则（）A ．无论λ取何值，三棱锥C EFG -的体积始终为1B ．若2λ=122EG BD ⋅=C ．点1D 到平面EFG 15D ．若异面直线EF 与AG 11710λ= AB【分析】对于A ，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于B ，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；对于C ，由B 选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面EFG 的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求解；对于D ，由B 选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线EF 与AG 的方向向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；【详解】对于A ，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点, 所以1113221121212222EFCS⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭,在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，由等体积法知，V三棱锥C EFG-=V三棱锥G EFC-=111321332EFC S CC ⋅⋅=⨯⨯=，所以无论λ取何值，三棱锥C EFG -的体积始终为1，故A 正确；对于B,由题意可知，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以()2,2,0B ，()12,2,2B ，()2,1,0E ，()10,2,2C ，()10,0,2D , 由24λ=，得11124B G B C =，设(),2,2G x ，则所以()()1112,0,0,2,0,0B G x B C =-=-，所以())22,0,02,0,0x -=-，所以()222x -=-，解得22x = 所以222,2G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()12,1,2,2,2,22EG BD ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()1221222222EG BD ⎛⋅=⨯-+⨯-+⨯=+ ⎝⎭B 正确；对于C ，由B 选项建立的空间直角坐标系知，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()10,0,2D ，设(),2,2G x ，则()()1112,0,0,2,0,0B G x B C =-=-，()11101B G B C λλ=≤≤，所以()()2,0,02,0,0x λ-=-，所以()22x λ-=-，解得22x λ=-，所以()22,2,2G λ-，所以()()()11,1,0,12,2,2,1,0,2,EF FG D F λ=--=-=-，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则00n EF n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即()012220x y x y z λ--=⎧⎨-++=⎩，令1,x =则121,2y z λ--=-=，所以1221,1,n λ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点1D 到平面EFG 的距离为12D F n d n⋅==+ 由于λ无法确定，所以点1D 到平面EFG 的距离无法确定，故C 错误；对于D,由B 选项建立的空间直角坐标系知，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()2,0,0A ,()2,2,0B ，()12,2,2B ，()10,2,2C ,设(),2,2G x ，则()()1112,0,0,2,0,0B G x B C =-=-，111BG BC λ=，所以()()2,0,02,0,0x λ-=-，所以()22x λ-=-，解得22x λ=-，所以()22,2,2G λ-，所以()()1,1,0,2,2,2EF AG λ=--=-，因为异面直线EF 与AG 11cos ,22EF AGEF AG EF AG⋅<>==22=23λ=或107λ=（舍），故D 错误. 故选：AB.三、填空题13．在空间直角坐标系中，已知()3,2,1OA =，()1,0,5OB=，()1,2,1OC =--，点M 为线段AB 的中点，则CM =________．【分析】利用中点坐标公式及向量的线性运算的坐标表示，结合两点间的距离公式即可求解；【详解】因为()3,2,1OA =，()1,0,5OB =，点M 为线段AB 的中点，所以()()12,1,32OM OA OB =+=, 所以()3,1,4CM OM OC =-=-, 所以23CM = 故答案为14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -+-=都相切的一条直线方程________．（写出一条即可） 1y =-（填4350x y +-=，247250x y -+=都正确）.【分析】利用圆的标准方程及两圆位置关系，结合直线的斜截式方程及点关于直线对称即可求解. 【详解】由题意可知，圆221x y +=的圆心坐标为()0,0O ,半径为11,r =圆()()224316x y -+-=的圆心坐标为()4,3C ,半径为24,r =如图所示所以()()2240305OC -+-,125r r +=，即12OC r r =+，所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条. 当切线为1l 时，因为303404OC k -==-，所以143l k =-，设直线1l ：()403y x b b =-+>，即4330+-=x y b ，223143b-=+，解得53b =或53b =-（舍），故所求直线1l 的方程为4533y x =-+，即4350x y +-=.由图可知，2:1l y =-；2l 与3l 关于直线34y x =对称，联立134y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得431x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以2l 与3l 的一个交点为4,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在2l 上取一点()0,1-，该点关于直线34y x =的对称点为()00,x y ，则000013242143y x y x -⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以对称点为2472525,⎛⎫⎪⎝⎭-.所以37124252447253l k +==-+，故所求直线3l 的方程为244173y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即247250x y -+=. 所以与圆221x y +=和圆()()224316x y -+-=都相切的一条直线方程为:1y =-（填4350x y +-=，247250x y -+=都正确）.故1y =-（填4350x y +-=，247250x y -+=都正确）.15．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：()22101x y a a a+=>+的蒙日圆方程为227x y +=，则椭圆C 的离心率为________． 12##0.5【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标C，又因为C在227x y +=，代入可求出a ，再由离心率的公式即可得出答案.【详解】由椭圆C ：()22101x y a a a+=>+知，椭圆的右顶点为)A ，上顶点为(B ，过,A B 作椭圆的切线，则交点坐标为C，因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，所以C在227x y +=，所以17a a ++=，解得：3a =，则椭圆C 的离心率为12e ==. 故1216．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为：()122311112πk k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --∠+∠++∠+∠，其中()1,2,,,3i Q i k k ==≥为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 遍历多面体M 的所有以点P 为公共点的面，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，1AA =S 为底面1111D C B A 的中心，记三棱锥1A A BD -在点A 处的离散曲率为m ，四棱锥S ABCD -在点S 处的离散曲率为n ，则m n -=________．112-【分析】根据离散曲率的定义，结合结合体的结构特征，分别求出三棱锥1A A BD -在点A 处的离散曲率m ，四棱锥S ABCD -在点S 处的离散曲率n ，相减即可求得答案. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中,11π2A AD A AB BAD ∠=∠=∠=,故三棱锥1A A BD -在点A 处的离散曲率1111πππ11()1()2π2π2224mA AD A ABBAD ；设,AC BD 交于O ,连接SO ,4AB BC ==，122AA =ABCD 为正方形，则22SO =,1222OB BD ==,故4SB = ,同理4SA SD SC ===, 四棱锥S ABCD -为正四棱锥，而4AB = ,则四棱锥S ABCD -每个侧面都为正三角形，所以π3ASB ASD CSB CSD ∠=∠=∠=∠=, 故四棱锥S ABCD -在点S 处的离散曲率11ππππ11()1()2π2π33333nASB ASDCSBCSD ，故1114312m n -=-=-，故112-四、解答题17．已知圆C 与x 轴相切，圆心C 在直线2y x =上，且与y 轴正半轴相交所得弦长为23 (1)求圆C 的方程；(2)过点()0,2P 的直线l 交圆于C ，于E ，F 两点，且14EF =，求直线l 的方程． (1)22(1)(2)4x y -+-=(2)2y x =+ 或2y x =-+【分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解，（2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解.【详解】（1）设圆心(,2)C m m ，因为圆C 与x 轴的正半轴相切，所以0m >，圆C 的半径为2m ，因为圆C 截y 轴所得弦的弦长为23，所以222(3)(2)m m +=，即233m =，又0m >，所以1m =，所以圆22:(1)(2)4C x y -+-=．（2）当直线l 无斜率时，此时直线l 方程为0x =，由题知：此时直线l 与圆C 截得的弦长为23，不满足条件，当直线l 有斜率时，设直线方程为：2y kx =+，则圆心()1,2M 到直线l 的距离为21k k+ ，所以222214221k k ⎛⎫⎡⎤+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎣⎦⎝⎭，解得1k =± ，所以直线l 的方程为：2y x =+ 或2y x =-+18．如图，圆柱轴截面ABCD 是正方形，2AD =，点E 在底面圆周上，AF DE ⊥，F 为垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)当直线DE 与平面ABE 2时，求三棱锥B CDE -的体积． (1)见解析 (2)23【分析】（1）先证明BE AED ⊥平面，证明AF BE ⊥，进而证明AF ⊥平面BED ，根据线面垂直的性质定理可证明结论.（2）建立空间直角坐标系，求出三角形CDE 的面积，平面DCE 的法向量，利用空间向量的距离公式求出点B 到平面CDE 的距离，再由三棱锥的面积公式即可求出答案.. 【详解】（1）由题意可知DA ⊥底面ABE ,BE ⊂ 底面ABE ,故BE DA ⊥ ，又BE AE ⊥，AEDE E =，,AE DE ⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ,由AF ⊂平面AED ,得AF BE ⊥，又AF DE ⊥，,BE DE E BE DE ⋂=⊂，平面BED ，故AF ⊥平面BED , 由DB ⊂平面BED ,，可得AF DB ⊥．（2）由题意，以A 为原点，在底面圆内过点A 作AB 的垂线作为x 轴，以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则()000A ,,，()0,2,0B ，()0,2,2C ，()0,0,2D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以∠DEA 就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DADEA AE∠==2AE =()1,1,0E ， 1146DE CE ==++=()2116125522ECDSCD =-=⨯由上可得()0,2,0DC =，()1,1,2DE =-，设平面DCE 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,20,y x y z =⎧⎨+-=⎩ 取2x =，得()2,0,1n =．因为()1,1,0BE =-，所以点B 到平面CDE 的距离()1210012541BE n d n⋅⨯+-⨯+⨯===+ 所以三棱锥B CDE -的体积为.112525333CDEV Sd =⋅⋅==19．已知圆M ：()2218x y +-=，点()0,1N -，P 是圆M 一动点，若线段PN 的垂直平分线与PM 交于点Q ．(1)求点Q 的轨迹方程C ；(2)若点A 是曲线C 上的动点，求OA AN ⋅的最大值（其中O 为坐标原点）． (1)2212y x +=(2)12-【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断Q 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，即可求解其方程，（2）根据向量的坐标运算，计算数量积，进而根据椭圆的有界性和二次函数的性质求解.【详解】（1）圆22:(1)8M x y +-=的圆心(0,1)M ，半径为r =由题意可知||||QN QP =，又点P 是圆上的点，则||PM =且||||||PM PQ QM =+，则||||2QN QM +=，由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，其中a =1c =，1b =，则点Q 的轨迹方程22:12y C x +=；（2）设(),A x y ，则()(),,,1OA x y AN x y ==---，进而()2221OA AN x y y x y y ⋅=-+--=---①又2212y x +=，所以22112x y =-，将其代入①得()2211111222OA AN y y y ⋅=---=-+- ，由椭圆的有界性可知y ≤，所以当1y =- 时，取最大值12-20．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>经过点()2,1P ，且双曲线C 的右顶点到一条渐近线的距(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 分别作两条互相垂直的直线P A ，PB 与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 两点均与点P 不重合），设直线AB ：()0y kx m k =+≠，试求k 和m 之间满足的关系式． (1)2212x y -=(2)22128230m k km m +++-=【分析】（1）将点代入得22411a b -==，求得22,a b ，即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据PA PB ⊥，可得0PA PB ⋅=，计算从而可得出答案.【详解】（1）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>经过点()2,1P ，则22411a b -=，右顶点为(),0a ，不妨取渐近线为by x a=-，即0bx ay +=，=从而可解得222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，则2121222422,1212km m x x x x k k --+==--，则()121222212my y k x x m k +=++=-，()22221212122212m k y y k x x km x x m k -=+++=-，()()11222,1,2,1PA x y PB x y =--=--，因为PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=，即()()()()121222110x x y y --+--=，即()()12121212250x x x x y y y y -++-++=，即2222222222282251001212121212m km m k m k k k k k k -----+-+=-----，整理得22128230m k km m +++-=，所以22128230m k km m +++-=.关键点点睛：本题考查了利用待定系数法求双曲线的方程，考查了直线与双曲线的位置关系，解决第二问的关键在于由PA PB ⊥转化为0PA PB ⋅=，计算量比较大，有一定的难度.21．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，4AB AC ==，12AA =，点D 是棱BC 的中点．(1)求证：1//A B 平面1AC D ；(2)在棱上AC 是否存在点M ，其中()01AM AC λλ=<<，使得平面1BA D 与平面1A DM 所成角的大小为60°，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． (1)见解析(2)存在，14λ=【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）连接1A C 交1AC 于点O ,由于四边形11ACC A 为矩形，所以O 为1A C 的中点，又点D 是棱BC 的中点，故在1A BC 中，OD 是1A BC 的中位线，因此1//OD A B ,OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄ 平面1AC D ,所以1//A B 平面1AC D（2）由1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥可知，三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;则()()()()()10,0,0,0,0,2,4,0,0,0,4,0,2,2,0,A A B C D由()01AM AC λλ=<<得()0,4,0M λ,()()14,0,2,2,2,0A B BD =-=- ,设平面1BA D 的法向量为(),,m x y z =，则1420220m A B x z x y m BD⎧⊥-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⊥⎩⎪⎩ ，取2z =，得()1,1,2m =， ()()10,4,2,2,42,0A M DM λλ=-=-- ,设平面1A DM 的法向量为()111,,x n y z =，则()111114202420y z n A M x y n DMλλ⎧-=⊥⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⊥⎪⎩⎩ ，取12z λ=，得()211,2n λλ=-，，故()2221141cos ,261214m nm n m n λλλλ⋅-++===⨯+-+ ，化简得()()2821=04121=0λλλλ+-⇒-+由于01λ<< ，所以14λ=，故棱上AC 存在点M ，其中14AM AC =，即14λ=，使得平面1BA D 与平面1A DM 所成角的大小为60°.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点Q 为椭圆C 上任意一点，且QF 的最51．(1)求椭圆的C 标准方程；(2)设椭圆1C ：22226x y a b+=，过点Q 作椭圆C 的切线交椭圆1C 于M ，N 两点，求证：MON △（O 为原点）的面积为定值，并求出此定值．（注：在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点(),m n 的切线方程为221mx ny a b +=） (1)22154x y +=； (2)证明见解析，定值为10.【分析】（1）根据椭圆上的点到右焦点的最小值，即可根据两点距离求解最值，进而得,a b 的值，（2）根据椭圆切线方程，以及直线与椭圆相交，弦长公式即可求解.【详解】（1）设(),Q x y ，则()()222222222222222211112=11b x x x b x x b a a a c QF x y x b ⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭，记()222221f x x a c x b =-++，由于对称轴为222a x a c==，且a x a -≤≤，且1a c >=，故()f x 在[],a a -单调递减，故当x a =时，此时(),0Q a ，()f x 取最小值为()2a c -，故QF的最小值为1a c -，故a =2b = ，故椭圆的方程为22154x y +=，（2）设(),Q m n ，则过Q 的切线方程为：154mx ny +=， 1C 方程为：22654x y +=，联立()22222265454401001500154x y n m x mx n mx ny ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪+=⎪⎩，由于(),Q m n 在椭圆22154x y +=上，所以22221452054m n m n +=⇒+= 设()()1122,,,M x y N x y ,当切线MN无斜率时，则方程为x =,M N -或((,M N -，故MN =此时1122MON S MN =⨯; 设切线有斜率时，设斜率为k ，且45m k n =-则2212122222401001501015==2,=54542m n n x x m x x n m n m --+⋅=++，故MN=d=故1122MONS MN d=⋅==代入212121015=2,=2nx x m x x-+⋅得：1=102MONS =，综上，MON△的面积为定值10.关键点点睛：考查了直线与圆锥曲线的位置关系，联立方程得韦达定理，进而根据弦长公式以及点到直线的距离公式表示三角形的面积，对计算能力要求较高.。

山东省德州市高二上学期期中数学试卷

山东省德州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共16题；共32分)1. （2分）设点A（2，－3），B（－3，－2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k 的取值范围是（）。

A . k≥或k≤－4B . k≥或k≤C . －4≤k≤D . ≤k≤42. （2分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A . πR3B . πR3C . πR3D . πR33. （2分）过两点A（﹣1，2），B（1，3）的直线方程为（）A . x﹣2y+5=0B . x+2y﹣3=0C . 2x﹣y+4=0D . x+2y﹣7=04. （2分）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·上海月考) 教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A . 平行B . 垂直C . 相交D . 异面6. （2分） (2018高一下·虎林期末) 圆 :与圆 :的位置关系是（）A . 相交B . 外切C . 内切D . 相离7. （2分）(2016·兰州模拟) 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A .B .C . 5D . 28. （2分）(2017·枣庄模拟) 若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（）A . 34πB .C .D . 114π9. （2分）在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均等于2 ，E，F分别为PD，PB的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C .D .10. （2分） (2016高二上·重庆期中) 直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）A . 5x+6y﹣28=0B . 5x﹣6y﹣28=0C . 6x+5y﹣28=0D . 6x﹣5y﹣28=011. （2分） (2016高一下·平罗期末) 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为（）A . 2B .C . 2D . 412. （2分） (2017高二上·湖北期末) 在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2＞4F，则圆的位置满足（）A . 截两坐标轴所得弦的长度相等B . 与两坐标轴都相切C . 与两坐标轴相离D . 上述情况都有可能13. （2分） (2016高二上·青岛期中) 若m，n满足m+2n﹣1=0，则直线mx+3y+n=0过定点（）A .B .C .D .14. （2分）已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则15. （2分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个16. （2分）(2017·长宁模拟) 已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A . 4 ﹣B . 4 ﹣C .D . +二、填空题 (共8题；共8分)17. （1分） (2015高二上·昌平期末) 若直线（1+a）x+y+1=0与直线2x+ay+2=0平行，则a的值为________．18. （1分）(2017·渝中模拟) 设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x﹣my=0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x+y=0对称，则|AB|=________．19. （1分） (2017高一上·延安期末) 已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为________．20. （1分） (2016高二上·诸暨期中) 如果二面角α﹣L﹣β的大小是60°，线段AB在α内，AB与L所成的角为60°，则AB与平面β所成角的正切值是________．21. （1分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为________．22. （1分） E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则EG2+HF2的值为________．23. （1分）(2018·新疆模拟) 在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是________．24. （1分） (2016高二上·安徽期中) 如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是________．三、解答题 (共5题；共40分)25. （5分） (2017高三下·西安开学考) 已知椭圆C：的焦距为，离心率为，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．（Ⅰ）若，求△ABF外接圆的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．26. （10分）(2017·鹰潭模拟) 如图半圆柱OO1的底面半径和高都是1，面ABB1A1是它的轴截面（过上下底面圆心连线OO1的平面），Q，P分别是上下底面半圆周上一点．（1）证明：三棱锥Q﹣ABP体积VQ﹣ABP≤ ，并指出P和Q满足什么条件时有AP⊥BQ（2）求二面角P﹣AB﹣Q平面角的取值范围，并说明理由．27. （5分）已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，且∠DAB=．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成的角θ的正弦值．28. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于 ,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.29. （10分） (2017高二下·保定期末) 如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共16题；共32分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、填空题 (共8题；共8分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、三、解答题 (共5题；共40分)26-1、26-2、27-1、28-1、28-2、29-1、29-2、。

山东省德州市跃华学校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题

跃华学校2014-2015学年第一学期期中试题高二数学（理科）试题命题人：毛立强审核：贺同光考试时间：120分钟（总分150分）日期：2014、11 注意事项：1.答第二卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

第一卷一、选择题（10个题目，每小题5分，共50分）1.数列⋅⋅⋅,25,16,9,4,1的一个通项公式n a =（）A ．12-n B ．2n C ．122-n D ．12-n 2.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =( ) A ．21- B ．2- C ．2 D ．213.下列命题错误的是（）A ．命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD ．若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题4.在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则C ∠=( )A ．030 B ．045 C ．0150 D ．0135 5.函数y ＝x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为（） A ．5B ．6C ．7D ．86.两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于( )A. 49B. 837C. 1479D. 241497.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ,则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( )．A ．6B ．7C ．8D ．238.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东015方向走l0米到位置D ，测得∠BDC=45°，则塔AB 的高是( )A ．10米B ．102米C ．103米D ．106米 9.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=( )A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 10.已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(12)210(21n n n n n a a a a a，若751=a ，则2014a 的值为（） A ．76 B ．75 C ．73 D ．71二、填空题（5个题，每小题5分，共25分）11.数列{}n a 中，11a =，对于所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ⋅⋅=，则3a =_______。

山东省德州市某中学高二数学上学期期中试题

高二数学期中考试试题2015/11第I 卷（选择题）一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）1.平面内，“动点P 到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P 的轨迹是椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.抛物线y=4x 2的焦点坐标是（） A （0，1）B ．（1，0）C ．D ．3.过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线与B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）A ．10B ．8C ． 6D ．4 4.已知p ：x≥k，q ：＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（） A ． [2，+∞）B ．（2，+∞）C ． [1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）5.设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为( ) A ．y 2=4x 或y 2=8x B ．y 2=2x 或y 2=8x C ．y 2=4x 或y 2=16x D ．y 2=2x 或y 2=16x6.已知抛物线方程为24y x =，点Q 的坐标为(2,3),P 为抛物线上动点，则点P 到准线的距离和到点Q 的距离之和的最小值为（）A ．3 B．D7.已知1F 、2F 为双曲线C ：22124y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限. 若1243PF PF =，则12PF F △内切圆半径为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （﹣5，0）和C （5，0），顶点B 在双曲线﹣=1，则的值为（）A ．B ．C ．D ． 9.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为（）A ．32B ． 3C ．10.设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（）A.13 B.23第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11.命题：“存在x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是． 12.A 是锐二面角βα--l 的α内一点,β⊥AB 于点A AB B ,3,=到l 的距离为2，则二面角βα--l 的平面角大小为————13.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准线上，则双曲线的方程是．14.如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为．15.已知椭圆22143x y +=上一动点P ，与圆22(1)1x y -+=上一动点Q ，及圆22(1)1x y ++=上一动点R,则PQ PR +的最大值为 ;三、解答题（本题共6道小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知a ＞0，命题p ：∀x ＞0，x+≥2恒成立，命题q ：∀k ∈R ，直线kx ﹣y+2=0与椭圆x 2+=1有公共点，求使得p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题的实数a 的取值范围． 17. (本小题满分12分) 设圆C 与两圆 ()4522=++y x ，()4522=+-y x 中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点⎪⎪⎭⎫⎝⎛554,553M ，()0,5F ，且P 为L 上动点，求||PM |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．18.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过点A （0，﹣b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C 、D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．19. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是正方形，△ PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点. （1）求证：AF EF ⊥；（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.图4EFDCBAP20.（本小题满分13分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，1AD =，2BC =，E 为CD 上一点，且1DE =，2EC =，现沿BE 折叠使平面BCE ⊥平面ABED ，F 为BE 的中点．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）能否在边AB 上找到一点P 使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为23？若存在，试确定点P 的位置，若不存在请说明理由．B21.（本小题满分14分）椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知直线l 过点1(,0)2M -且与开口向上，顶点在原点的抛物线C 切于第二象限的一点N ，直线l 与椭圆E 交于A B 、两点，与y 轴交于D 点，若AD AN λ=，BD BN μ=,且4λμ+=-，求抛物线C 的标准方程．高二数学试题答案1.B2.C3.B4.B5.C6.D7.D8.C9.A 10.D11.﹣16≤a≤0 12.600 13.14.﹣1 15.616.解答：解：命题p：因为a＞0时，对∀x＞0，x+，则：2，a≥1；命题q：由得：（k2+a2）x2+4kx+4﹣a2=0 则：△=4a2（a2+k2﹣4）≥0，即a2≥﹣k2+4；而﹣k2+4在R上的最大值为4；∴a2≥4，∵a＞0，∴解得a≥2；p∨q为真命题，p∧q为假命题时，p，q一真一假；∴（1）若p真q假，则：；∴1≤a＜2；（2）若p假q真，则：；∴a∈∅；综上可得，a的取值范围是，不等式恒成立，求实数a的取值范围．17.(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，18.解答：解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0…①，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则而y 1•y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4，要使以CD 为直径的圆过点E （﹣1，0），当且仅当CE⊥DE 时，则y 1y 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，∴（k 2+1）x 1x 2+（2k+1）（x 1+x 2）+5=0…③ 将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD 为直径的圆过点E ． 19.（1）证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =， ∴ AF PB ⊥.∵ △PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ PA AD ⊥，PA AB ⊥.∵ AD AB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥平面ABCD . ∵ BC ⊂平面ABCD ， ∴ PA BC ⊥.∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ BC AB ⊥. ∵ PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ BC ⊥平面PAB . ∵ AF ⊂平面PAB ， ∴ BC AF ⊥. ∵ PBBC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴ AF ⊥平面PBC . ∵ EF ⊂平面PBC ，∴ AF EF ⊥. ………6′ （2）以A 为坐标原点，分别以,,AD AB AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设1PA =，则()0,0,1P ，()0,1,0B ，()1,1,0C ,()1,0,0D . ∴()0,1,1PB =-，()1,0,0BC =. 设平面PBC 的法向量为,m x y z =（，），由0,0,m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得0,0.y z x -=⎧⎨=⎩ 令1y = ，得1z =， ∴ ()0,1,1m =为平面PBC 的一个法向量. ∵ PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， ∴ 平面PAC ⊥平面ABCD . 连接BD ，则BD AC ⊥. ∵ 平面PAC平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥平面PAC . ∴ 平面PAC 的一个法向量为()1,1,0BD =-. 设二面角A PC B --的平面角为θ，则1cos cos ,2m BD m BD m BDθ⋅===.∴sin2θ==.∴二面角A PC B--…………12′20（1）证明：在直角梯形ABCD中易求得AB AE BE===分∴ 222AE BE AB+=，故AE BE⊥,且折叠后AE与BE位置关系不变……4分又∵ 面BCE⊥面ABED,且面BCE面ABED BE=∴AE⊥面BCE………………6分（2）解：∵ 在BCE∆中，2BC CE==，F为BE的中点∴CF BE⊥又∵ 面BCE⊥面ABED,且面BCE面ABED BE=∴ CF⊥面ABED, 故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则((0,0,(0,3333A C E--易求得面ACE 的法向量为(0,2,1)m=-……8分假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为23，且 ()AP AB Rλλ=∈∵(0,(,333B AB∴=-故(,,0)33APλ=-y又2(,)333CA=-- ∴2((1),(21),)333CP CA AP λλ=+=---又FC =设面PCF 的法向量为(,,)n x y z=∴0)1)0z x y z λλ⎧=⎪⎪---=令21x λ=-得(211),0)n λλ=--……………………10分∴2|cos ,|||||33(2m n m n m n <>===解得23λ= …………………………12分因此存在点P 且P 为线段AB 上靠近点B 的三等分点时使得平面ACE 与平面 PCF 所成角的余弦值为23. …………………………13分21.（1）由题意知2c e a ==，22222212c a b ea a -∴===，即222a b =..................1分又1b ==， (2)分222,1a b ∴==故椭圆的方程为2212x y += ………………4分（2）设抛物线C 的方程为2,(0)y ax a =>，直线l 与抛物线的切点为200(,)N x ax设切线l 的斜率为k ，则切线的方程为200()y ax k x x -=-，联立方程2002()y ax k x x y ax ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，由相切得0=，则直线l 的斜率为02k ax=则可得直线l 的方程为20002()y ax ax x x -=- ………………6分直线l 过点1(,0)2- 200012()2ax ax x ∴-=-- 即2000ax ax -=200(,)N x ax 在第二象限 00x ∴< 01x ∴=- ∴直线l 的方程为2y ax a =--………………8分代入椭圆方程整理得2222(18)8220a x a x a +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y 则22121222822,1818a a x x x x a a -+=-=++………10分由AD AN λ=，BD BN μ=, 得1212,11x xx x λμ==++21212122121212244411121x x x x x xa x x x x x x a λμ++--∴+=+===-+++++-22a ∴=0,a a >∴∴抛物线的标准方程为22x y =………………13分。

山东省德州市跃华学校高二上学期期中考试数学(理)试题

2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

第一卷一、选择题（10个题目，每小题5分，共50分）1.数列的一个通项公式=（）A ．B ．C ．D ．2.已知是等比数列，，则公比=( )A ．B ．C ．2D ．3.下列命题错误的是（）AB ．CD4.在中，已知，则 ( )A ．B ．C ．D ． 5.函数y ＝x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为（） A ．5B ．6C ．7D ．8 6.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于( )A. B. C. D.7.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ,则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( )．A ．6B ．7C ．8D ．238.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东方向走l0米到位置D ，测得∠BDC=45°，则塔AB 的高是( )A ．10米B ．10米C ．10米D ．10米9.已知等比数列满足，且，则当时，2123221log log log n a a a -+++=( )A. B. C. D.10.已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(12)210(21n n n n n a a a a a ，若，则的值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（5个题，每小题5分，共25分）11.数列中，，对于所有的，都有，则=_______。

2023-2024学年山东省德州市高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，则AD →+12(DB →+DC →)=（）A ．AB →B ．AC →C ．AE →D ．DE →2．已知直线l 的一个法向量为（1，﹣2），且经过点A （1，0），则直线l 的方程为（） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．x +2y ﹣1＝03．若向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，则|b →|=（） A ．2B ．2√2C ．√6D ．2√64．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为（） A ．√5B ．√52C ．√3或√62D ．√52或√5 5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），动点M 满足|MA|=√2|MO|，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C ．直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[−√22，√22]C ．[−√32，√32] D ．[﹣2，2]6．三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为边长为2的等边三角形，∠P AB ＝∠P AC ＝45°，PA =√2，则直线P A 与平面ABC 所成角的正弦值为（） A ．√63 B ．√33C ．√62D ．√327．双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上异于顶点的任意一点，且∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=（） A ．√33B ．√32C ．1D ．√38．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为椭圆上位于x 轴上方的两点且满足F 1M ∥F 2N ，|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |，则椭圆C 的离心率为（） A ．√10515B ．√10525C ．√10535D ．12二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（） A ．BC 1⊥DA 1 B ．BC 1⊥CA 1C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角为60°D ．直BC 1线与平面ABCD 所成的角为45°10．已知直线l ：√3x −y +1=0和圆C ：x 2+y 2+2x ＝0，则（） A ．直线l 的倾斜角为60° B ．圆C 的圆心坐标为（﹣1，0） C ．直线l 平分圆C 的周长D ．直线l 被圆C 所截的弦长为√311．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2AD ＝12，PM →=2MC →，N 为PD 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（）A ．MN →=(−8，−1，2)B ．PC ⊥BDC ．直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55D ．点A 到平面PBD 的距离为4√312．抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），M （﹣1，0），则（） A ．|AB |最小值为4B ．△AMB 可能为钝角三角形C ．当直线l 的倾斜角为60°时，△AFM 与△BFM 面积之比为3D ．当直线AM 与抛物线C 只有一个公共点时，|AB |＝4 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3，m ＝． 14．若x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m 的取值范围为．15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B ﹣AA 1﹣C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为． 16．已知圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 坐标为；|PC 1|2+|PC 2|2的最小值为．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，且AE ＝2EC '．（1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA ′→来进行表示．设EF →=xAB →+yAD →+zAA′→，求x ，y ，z 的值．18．（12分）已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣6＝0和直线l 2：mx +y ﹣3＝0，其中m 为实数．（1）若l 1⊥l 2，求m 的值；（2）若点P （1，2m ）在直线l 2上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线2x ﹣y ﹣2＝0上，且与直线l ：3x +4y ﹣28＝0相切于点P （4，4）．（1）求圆C 的方程；（2）求过点Q （﹣4，1）与圆C 相切的直线方程．20．（12分）如图，两个等腰直角△P AC 和△ABC ，AC ＝BC ，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点．（1）求证：AC ⊥PM ；（2）求二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜10），F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，且|DE|=45|DF|．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求证：AB 过定点． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别F 1、F 2，长轴长为2√2，且椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若F 1P →=λQF 1→且λ∈[12，2]，求OP →⋅OQ →的最大值．2023-2024学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，则AD →+12(DB →+DC →)=（） A ．AB →B ．AC →C ．AE →D ．DE →解：如图所示：所以AD →+12(DB →+DC →)=AD →+DE →=AE →．故选：C ．2．已知直线l 的一个法向量为（1，﹣2），且经过点A （1，0），则直线l 的方程为（） A ．x ﹣y ﹣1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣2y ﹣1＝0D ．x +2y ﹣1＝0解：因为直线l 的一个法向量为（1，﹣2），所以可设直线方程为x ﹣2y +m ＝0，因为直线经过点A （1，0），所以m ＝﹣1，则直线l 的方程为x ﹣2y ﹣1＝0．故选：C ．3．若向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，则|b →|=（） A ．2B ．2√2C ．√6D ．2√6解：由于向量a →=(x ，−1，2)，b →=(−2，2，y)，且a →∥b →，故x −2=−12=2y，解得x ＝1，y ＝﹣4；故b →=(−2，2，−4)，所以|b →|=√(−2)2+22+(−4)2=2√6．故选：D ．4．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为（） A ．√5B ．√52C ．√3或√62D ．√52或√5 解：双曲线的焦点在y 轴时，设双曲线方程为：y 2a 2−x 2b 2=1，a ＞0，b ＞0，双曲线的一条渐近线为y ＝2x ，可得a ＝2b ，可得离心率e =c a =√a 2+b2a 2=√52，故此双曲线的离心率为：√52．故选：B ．5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），动点M 满足|MA|=√2|MO|，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C ．直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[−√22，√22]C ．[−√32，√32] D ．[﹣2，2]解：设点M （x ，y ）， ∵|MA|=√2|MO|， ∴（x +3）2+y 2＝2x 2+2y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣9＝0，即圆心（3，0）半径r ＝3√2，∵直线l ：y ＝k （x +3）与圆C 恒有公共点则圆心（3，0）到直线kx ﹣y +3k ＝0的距离d =|6k|√k +1≤3√2，∴18k 2≤18，即k 2≤1， ∴﹣1≤k ≤1，则k 的取值范围是[﹣1，1]．故选：A ．6．三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为边长为2的等边三角形，∠P AB ＝∠P AC ＝45°，PA =√2，则直线P A 与平面ABC 所成角的正弦值为（）A ．√63B ．√33C ．√62D ．√32解：如图，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，们为底而ABC 为边长为2的等边三角形，且∠PAB =∠PAC =45°，则△P AB ≅△P AC ，即PB ＝PC ，所以PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，且AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以BC ⊥平面P AD ，且P A ⊂平面P AD ，所以P A ⊥BC ，则AP 在平面ABC 的投影落在AD 上，所以∠PAD 为直线P A 与平而ABC 所成角，且PA =√2，AB =2，∠PAB =45°，由余弦定理可得， PC =PB =√22+(√2)2−2×2×√2×√22=√2，则PD =√(√2)2−12=1，AD =√22−12=√3，所以AD 2＝AP 2+PD 2，即∠APD =90°，所以sin ∠PAD =PDAD =13=√33，故选：B ． 7．双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上异于顶点的任意一点，且∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=（） A ．√33B ．√32C ．1D ．√3解：双曲线x 22−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，可得a =√2，c =√3，不妨设P 在第一象限，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2√2，m 2+n 2﹣2mn ＝8， ∠F 1PF 2＝60°，可得4c 2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°＝12，可得8+2mn ﹣mn ＝12，可得mn ＝4，则S △F 1PF 2=12mn sin60°=12×4×√32=√3．故选：D ． 8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为椭圆上位于x 轴上方的两点且满足F 1M ∥F 2N ，|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |，则椭圆C 的离心率为（） A ．√10515B ．√10525C ．√10535D ．12解：如图，设|F 1M |＝2|F 2M |＝4|F 2N |＝4x ，则|F 1M |+|F 2M |＝4x +2x ＝2a ，∴x =a 3， ∴|F 1M |＝4x =4a 3，|F 2M |＝2x =2a 3，|F 2N |＝x =a 3， ∴|F 1N |＝2a ﹣|F 2N |＝2a ﹣x =5a3，又|F 1F 2|＝2c ，又F 1M ∥F 2N ，∴∠MF 1F 2+∠F 1F 2N ＝π， ∴cos ∠MF 1F 2+cos ∠F 1F 2N ＝0， ∴4c 2+16a 29−4a 292⋅2c⋅4a 3+4c 2+a 29−25a 292⋅2c⋅a 3=0，∴4c 2+4a 2316ac 3+4c 2−8a 234ac 3=0，∴20c 2=28a 23，∴c 2a 2=715，∴椭圆C 的离心率e =c a =√10515．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则（） A ．BC 1⊥DA 1B ．BC 1⊥CA 1C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角为60° D ．直BC 1线与平面ABCD 所成的角为45° 解：如图，如图在正方体中，BC 1∥AD 1，AD 1⊥A 1D ，则BC 1⊥A 1D ，所以A 正确； BC 1⊥A 1D ，BC 1⊥DC ，A 1D ∩DC ＝D ，则BC 1⊥平面A 1DC ， CA 1⊂平面A 1DC ，所以BC 1⊥CA 1，所以B 正确；设正方体棱长为1，边C 1作C 1H ⊥B 1D 1于H ，连接BH ，则∠C 1BH 即为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成角，sin∠C 1BH =C 1H BC 1=12⇒∠C 1BH =30°，所以C 错误；对于D ，易知∠C 1BC 即为直线BC 1线与平而ABCD 所成的角，∠C 1BC =45°，所以D 正确．故选：ABD ．10．已知直线l ：√3x −y +1=0和圆C ：x 2+y 2+2x ＝0，则（） A ．直线l 的倾斜角为60° B ．圆C 的圆心坐标为（﹣1，0） C ．直线l 平分圆C 的周长D ．直线l 被圆C 所截的弦长为√3解：将直线l 的方程变形可得y =√3x +1，可知斜率k =√3，所以直线l 的倾斜角为60°，可知A 正确；将C ：x 2+y 2+2x ＝0改写成标准方程为（x +1）2+y 2＝1，即可得C 的圆心坐标为（﹣1，0），所以B 正确；易知直线l ：√3x −y +1=0不过圆心（﹣1，0），可知直线l 没有平分圆C 的周长，即C 错误；易知圆的半径r ＝1，圆心（﹣1，0）到直线l ：√3x −y +1=0的距离为d =|−3+1|√3+1=√3−12，所以弦长为2√r 2−d 2=2√1−(3−12)2=√2√3，可得D 错误．故选：AB ．11．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2AD ＝12，PM →=2MC →，N 为PD 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（）A ．MN →=(−8，−1，2)B ．PC ⊥BDC ．直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55D ．点A 到平面PBD 的距离为4√3解：依题意，A （0，0，0），B （12，0，0），C （12，6，0），D （0，6，0），P （0，0，12），对于A ，PC →=(12，6，−12)，PD →=(0，6，−12)，MN →=PN →−PM →=12PD →−23PC →=(−8，−1，2)，故A 正确；对于B ，PC →=(12，6，−12)，BD →=(−12，6，0)，PC →⋅BD →=12×(−12)+6×6≠0，即PC 与BD 不垂直，故B 错误；对于C ，BC →=(0，6，0)，PD →=(0，6，−12)，cos ＜BC →，PD →＞=BC →⋅PD →|BC →||PD →|=366×√36+144=√55，所以直线PD 和直线BC 所成角的余弦值为√55，故C 正确；对于D ，设平面PBD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PD →=6y −12z =0n →⋅BD →=−12x +6y =0，令x ＝1，得n →=(1，2，1)，AD →=(0，6，0)，所以点A 到平面PBD 的距离d =|AD →⋅n →||n →|=12√6=2√6，故D 错误．故选：AC ．12．抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），M （﹣1，0），则（） A ．|AB |最小值为4B ．△AMB 可能为钝角三角形C ．当直线l 的倾斜角为60°时，△AFM 与△BFM 面积之比为3D ．当直线AM 与抛物线C 只有一个公共点时，|AB |＝4解：A 中，抛物线C ：y 2＝4x ，所以焦点F （1，0），当AB 为通径时，|AB |为最小值，此时直线l 的方程为x ＝1时，代入抛物线的方程，可得|AB |＝4，当直线的斜率为0时，直线为x 轴，与抛物线的只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0，且直线的斜率存在时，设直线l 的方程为x ＝my +1，m ≠0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +1y 2=4x，整理可得y 2﹣4my ﹣4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，所以x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2＝4m 2+2，由抛物线的性质可得：|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+4＞4，所以|AB |的最小值为4，所以A 正确；B 中，当k ＝1时，联立{y =x −1y 2=4x，整理可得x 2﹣6x +1＝0，解得x ＝3±2√2，设A （3+2√2，2+2√2），B （3﹣2√2，2﹣2√2），BA →=（4√2，4√2），BM →=（﹣4+2√2，2√2−2），所以BM →•BA →=4√2•（﹣4+2√2）+4√2（2√2−2）＝4√2（4√2−6）＜0，所以cos ∠ABM =BM →⋅BA→|BM →|⋅|BA →|＜0，所以∠ABM 为钝角，即△ABM 为钝角三角形，所以B 正确；C 中，当直线l 的倾斜角为60°时，直线方程为y =√3（x ﹣1），由选项A 的分析可知可知3x 2﹣10x +3＝0，可得x 1＝3，x 2=13，代入直线方程可得|y 1|＝2√3，|y 2|=2√33， △AFM 与△BFM的面积之比为12|MF|⋅|y 1|12|MF|⋅|y 2|=3，故C 正确；D 中，因为点A 在第一象限，直线的斜率不可能为零，设直线AM 的方程为x ＝my ﹣1，联立{x =my −1y 2=4x ，整理可得y 2﹣4my +4＝0，Δ＝16m 2﹣16＝0，可得m ＝±1，又因为点A 在第一象限，所以m ＝1，此时y 2﹣4y +4＝0，可得y ＝2，所以A （1，2），直线l 的斜率不存在时，|AB |＝4，故D 正确．故选：ABCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3，m ＝ 0 ．解：a →=(m ，−1，√3)，e →=(0，1，0)，＜a →，e →＞=2π3， ∴cos ＜a →，e →＞=−1√4+m 2=−12，解得m ＝0．故答案为：0．14．若x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．解：由于x 2m−y 2m+1=1为双曲线，则m （m +1）＞0，解得m ＞0或m ＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B ﹣AA 1﹣C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为 √24．解：如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， ∴二面角B ﹣AA 1﹣C 1的平面角即为∠BAC ，且为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，由题意知侧面与底面垂直，由面面垂直的性质定理可知，B 到AC 的距离为√3， ∵点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，同理可知，C 到AB 的距离为2√3， ∴在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝2√3，AC ＝4，∠ABC ＝90°， ∴AB 1→⋅BC 1→=（BB 1→−BA →）•（BB 1→+BC →）=BB 1→2=AA 1→2=4， ∵|AB 1→|=√22+22=2√2，|BC 1→|=√22+(2√3)2=4， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC→|AB 1→|⋅|BC 1→|=√24，∴直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为√24．故答案为：√24．16．已知圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 坐标为 (12，−1) ；|PC 1|2+|PC 2|2的最小值为710．解：由圆C 1：x 2+y 2﹣4kx +2y +1＝0与圆C 2：x 2+y 2+2ky ﹣1＝0，可得2kx ﹣y +ky ﹣1＝0，即k （2x +y ）+（﹣y ﹣1）＝0，所以{2x +y =0−y −1=0，解得{x =12y =−1，所以点P(12，−1)，又C 1（2k ，﹣1），C 2（0，﹣k ），则|PC 1|2+|PC 2|2=(2k −12)2+(12)2+(−1+k)2=5k 2−4k +32=5(k −25)2+710，所以当k =25时，|PC 1|2+|PC 2|2取最小值为710，经检验，当k =25时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意．故答案为：(12，−1)；710．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，且AE ＝2EC '．（1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA ′→来进行表示．设EF →=xAB →+yAD →+zAA′→，求x ，y ，z 的值．解：（1）由于AC ′→=AB →+AD →+AA′→，所以AC ′→2=AB →2+AD →2+AA′→2+2(AB →⋅AD →+AB →⋅AA′→+AD →⋅AA′→)=42+32+52+2×3×4×12+2×4×5×12+2×3×5×12=16+9+25+12+15+20＝97，故AC ′=√97．（2）利用向量的线性运算，EF →=C′F →+EC′→=13AC′→−12BC′→=13(AB →+AD →+AA′→)−12(AD →+AA′→)=13AB →−16AD →−16AA′→， ∴x =13，y =z =−16．18．（12分）已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣6＝0和直线l 2：mx +y ﹣3＝0，其中m 为实数．（1）若l 1⊥l 2，求m 的值；（2）若点P （1，2m ）在直线l 2上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．解：（1）若m ＝0，则直线l 1：2x ﹣6＝0，即x ＝3，l 2：y ＝3，两直线垂直，符合题意；若m ≠0，则−m+2m⋅(−m)=−1，解得m ＝﹣3．综上所述，m ＝﹣3或0．（2）由P （1，2m ）在直线l 2上，则m +2m ﹣3＝0，解得m ＝1，故P （1，2）显然直线l 的斜率一定存在且不为0，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1），令x ＝0，可得y ＝2﹣k ，再令y ＝0，可得x =k−2k ，在x 轴上的截距与在y 轴上的截距互为相反数，所以k−2k=−(2−k)，解得k ＝2或k ＝1，所以直线l 的方程为2x ﹣y ＝0或x ﹣y +1＝0．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线2x ﹣y ﹣2＝0上，且与直线l ：3x +4y ﹣28＝0相切于点P （4，4）．（1）求圆C 的方程；（2）求过点Q （﹣4，1）与圆C 相切的直线方程．解（1）根据题意，直线l ：3x +4y ﹣28＝0，其斜率为−34，则过点P （4，4）与直线l ：3x +4y ﹣28＝0垂直的直线m 的斜率为k =43，所以直线m 的方程为y −4=43(x −4)，即4x ﹣3y ﹣4＝0．由{4x −3y −4=02x −y −2=0，解可得{x =1y =0，即C （1，0），所以圆C 的半径r =√(4−1)2+(4−0)2=5．故圆C 的方程为：（x ﹣1）2+y 2＝25．（2）根据题意，分2种情况讨论：①若过点Q （﹣4，1）的直线斜率不存在，即直线是x ＝﹣4，与圆相切，符合题意； ②若过点Q （﹣4，1）的直线斜率存在，设直线方程为y ﹣1＝k （x +4），即kx ﹣y +4k +1＝0，若直线与圆C 相切，则有√k 2+1=5，解得k =125．此时直线的方程为12x ﹣5y +53＝0．综上，切线的方程为x ＝﹣4或12x ﹣5y +53＝0．20．（12分）如图，两个等腰直角△P AC 和△ABC ，AC ＝BC ，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点．（1）求证：AC ⊥PM ；（2）求二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值．（1）证明：取AC 中点D ，连接MD ，PD ，如图，又M 为AB 的中点，所以MD ∥BC ，又AC ⊥BC ，则MD ⊥AC ，又△P AC 为等腰直角三角形，P A ⊥PC ，P A ＝PC ，所以PD ⊥AC ，又MD ∩PD ＝D ，MD ，PD ⊂平面PMD ，所以AC ⊥平面PMD ，又PM ⊂平面PMD ，所以AC ⊥PM ；（2）解：由（1）知，PD ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PD ⊂平面P AC ，所以PD ⊥平面ABC ，即PD ，AC ，DM 两两互相垂直，故以D 为原点，DA →，DM →，DP →为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设AC ＝2，则A （1，0，0），B （﹣1，2，0），C （﹣1，0，0），P （0，0，1），所以CP →=(1，0，1)，CM →=(1，1，0)，设n →=(x ，y ，z)为平面PCM 的一个法向量，由n →⊥CP →，n →⊥CM →，则有{CP →⋅n →=x +z =0CM →⋅n →=x +y =0，令z ＝1，即n →=(−1，1，1)，取平面BCM 的一个法向量为m →=(0，0，1)，则cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=13=√33，由图可知，二面角P ﹣CM ﹣B 的平面角为钝角，故二面角P ﹣CM ﹣B 的余弦值为−√33．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜10），F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，且|DE|=45|DF|．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求证：AB 过定点．解：（1）因为F 为抛物线的焦点，D （8，y 0）为抛物线上一点，点E 为点D 在x 轴上的投影，所以|DE|=4√p ，|DF|=8+p2，因为|DE|=45|DF|，所以4√p =45(8+p 2)，对等式两边同时平方并整理得p 2﹣68p +256＝0，解得p ＝8或p ＝64，因为0＜p ＜10，所以p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线交于一点，不符合题意，所以直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +ny 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my ﹣8n ＝0，此时Δ＝64m 2+32n ，当Δ＞0时，由韦达定理得y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝﹣8n ，所以x 1⋅x 2=y 128⋅y 228=n 2，因为OA ⊥OB ，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=n 2−8n =0，解得n ＝8，此时满足Δ＞0，故AB 过定点（8，0）． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别F 1、F 2，长轴长为2√2，且椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若F 1P →=λQF 1→且λ∈[12，2]，求OP →⋅OQ →的最大值．解：（1）∵椭圆C 的离心率与双曲线x 2﹣y 2＝2的离心率乘积为1，双曲线的离心率为√2， ∴椭圆的离心率e =√22，又长轴长为2a =2√2，∴a =√2，∴c ＝1，∴b 2＝1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则F 1P →=(x 1+1，y 1)，QF 1→=(−1−x 2，−y 2)，∵F 1P →=λQF 1→，∴{x 1+1=λ(−1−x 2)y 1=−λy 2，即{x 1=−λx 2−λ−1y 1=−λy 2，∴{(−λx 2−λ−1)22+λ2y 22=1x 222+y 22=1，解得x 2=1−3λ2λ．∴OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−λx 2−λ−1)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ=74−58(λ+1λ)． ∵λ∈[12，2]，∴λ+1λ≥2，当且仅当λ=1λ，即λ＝1时，取等号． ∴OP →⋅OQ →最大值为12．。

山东省德州市跃华学校2020年学年高中高二数学上学期期中试卷试题无答案新人教B版本

山东省德州市跃华学校2020学年高二数学上学期期中试题（无答案）新人教B版考试时间：2020、11(考试时间120分钟总分150分)一、选择题（共60分）1.在△ABC中，a1,b3,B120，则A等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．在等比数列{a n}中,已知a11,a59，则a3（）9A．1B．3C．±1D．±3 3．若a b0,则以下不等式建立的是（）A．a ba bab B．aa b2ab b2a bb ab D．aa babbC．a224．三角形三边长为a,b,c，且知足等式a b c a bc3ab,则边c所对角为（）A．150°B．30°C．60°D．120°5．不等式3x2y60表示的平面地区是（）A B C D6．已知数列2,5,22,11L,则25是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项7.若a1,则a1）的最小值是（a1A.2B.aC.3D.2aa18．在 ABC 中，若acosA bcosB ，则此三角形是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．等比数列 a n 的各项均为正数，且 a 5a 69，则log 3a 1 log 3a 2log 3 值为（）A ．12B．10 C．8 D． 2log 3510．函数y3x(83x) （0x 8））的最大值是（43A ．0B．C．4D ．1632a n(0 a n 1)611．已知数列a n 知足a n12若a 1，则a 2008 的值为（(1，72a n 1 a n 1)2A ．6B ．3C ．5777D ．1a 10的）712．在R 上定义运算：x yx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对随意实数x建立，则a 的取值范围为（）A ．1a1B ．0a2C ．3 a1 1 32 D ．2a22二、填空题(本大题共 4小题，每题 4分，共16分)13．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sinC=3,则∠C=.214．数列a n 的前n 项和为S n ，nN *，且S n2n 2 ，则a nx 1,15．已知xy1 0, 则zxy 的最小值是.2x y 2 016．编写一个运算程序:1&12,m&n k, m&(n 1) k 2 (m,n,k N*)则1&2008的输出结果为跃华学校2020学年第一学期期中考试高二数学答题纸一、选择题（60分）题123456789101112号答案二、填空题（16分）13.14.15.16.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)（1）在△ABC中,A, B, C所对的边分别为a,b,c，若a8, B 60, C 75,求名∠A及b；姓（2）在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4,b5,c61.求：（Ⅰ）C的大小；（Ⅱ）△的面积.ABC号考18．(12分)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a=2csinA(Ⅰ)确立角C的大小：级班7,且△ABC的面积为33（Ⅱ）若c＝,求a＋b的值。

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(考试时间120分钟总分150分) （第Ⅰ卷）一、选择题（每小题5分，共60分） 1、在中，,,,则（） A. B. C. D. 2、在中，则角等于（） A． B． C． D． 3、等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（） A．40B．53 C．63D．76 4、已知是等比数列，，则公比=( ) A B C 2 D 5、在等差数列中，若则的值等于（） 6、等比数列中，（） A．2B．C．2或D．－2或 7、不等式的解集是（）A.{x|-1＜x＜3}B.{x|x＞3或x＜-1}C.{x|-3＜x＜1}D.{x|x>1或x＜-3} 8、已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )A 2B 6C 4D 12 9、“a>1”是“<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 10、中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆的标准方程是（） A. B. C. D. 11、下列叙述中正确的是（）. A。

两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 B。

两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 C。

若两个数的和为常数，则它们的积有最大值 D。

若两个数的积为常数，则它们的和有最小值 12、下列命题中，不是真命题的是（） A．“若，则一元二次方程有实数根”的逆否命题 B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题 C．“若，则的否命题 D．“对顶角相等”的逆命题二、填空题(每小题4分，计16分) 13、数列中，，则。

15．离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为． 16、在中，三个内角之比，那么等于 . 14、在△ABC中，三顶点A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点在△ABC内部及边界运动，则的最大值是. (考试时间120分钟总分150分) （第Ⅱ卷）一、选择题（共60分）题号123456789101112答案二、填空题（16分） 13、。

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