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【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
2012高中数学 3.1.1、2变化率与导数 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1
2
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
人教新课标版数学高二课件 变化率问题_ 导数的概念
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示， 则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√ B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义
知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝_2__.
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及 邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔyx ＝_Δ_x_.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
解析 答案
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
A.4
B.4.1 √
C.0.41
D.3
3＋2.12－3＋22
解析 v ＝
0.1
＝4.1
12345
解析 答案
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变D.－2
人教版高中数学选修一课件 《变化率问题》
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。
3
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
第3章 导数及应用
3.1.1 变化率问题
1
变化率 问题
内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤.
应用
求函数在某区间上的平均 变化率
求函数在某点附近的平均 变化率
2
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研 讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识, 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。
2.若函数f(x)为常函数时，△y=0
3.变式
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f (x1 x) x
f (x1)
11
观察函数f(x)的图象平均变化率
表示什么?
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x) B
直线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为
3
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
第3章 导数及应用
3.1.1 变化率问题
1
变化率 问题
内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤.
应用
求函数在某区间上的平均 变化率
求函数在某点附近的平均 变化率
2
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研 讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识, 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。
2.若函数f(x)为常函数时，△y=0
3.变式
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f (x1 x) x
f (x1)
11
观察函数f(x)的图象平均变化率
表示什么?
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x) B
直线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
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