上极限和下极限

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非单调数列上极限和下极限

非单调数列上极限和下极限非单调数列是指数列中的元素不按照递增或递减的顺序排列的数列。

在数学中，我们常常研究数列的极限，即数列随着项数的增加而趋向的某个值。

而对于非单调数列来说，它的上极限和下极限并不总是存在，因此需要特殊的讨论和分析。

我们来定义非单调数列的上极限和下极限。

对于一个非单调数列，我们可以找到一个子数列，使得其中的元素递增或递减。

这样，我们定义非单调数列的上极限为这个递减子数列的极限，下极限为递增子数列的极限。

如果递减子数列不存在，则上极限为正无穷；如果递增子数列不存在，则下极限为负无穷。

对于一个非单调数列来说，它的上极限和下极限并不一定相等。

这是因为非单调数列的元素可以在趋近无穷大或无穷小的过程中，经历多次的递增和递减。

这种情况下，数列的上极限和下极限分别代表了数列趋近无穷大和无穷小时的极限值。

下面我们以一个具体的实例来说明非单调数列的上极限和下极限。

考虑数列{-1, 2, -3, 4, -5, 6, ...}，其中正数项递增，负数项递减。

这个数列的递增子数列为{2, 4, 6, ...}，其极限为正无穷；递减子数列为{-1, -3, -5, ...}，其极限为负无穷。

因此，这个非单调数列的上极限为正无穷，下极限为负无穷。

在实际应用中，非单调数列的上极限和下极限具有一定的重要性。

它们可以用来描述数列的趋势和发展方向。

当上极限和下极限存在且相等时，说明数列趋向于一个确定的值；当上极限和下极限存在但不相等时，说明数列在不同的方向上趋向于不同的值；当上极限或下极限不存在时，说明数列的趋势不明确或者在趋向于无穷大或无穷小的过程中震荡不定。

为了更好地理解非单调数列的上极限和下极限，我们可以通过数列的图像来进行观察。

在数学软件或者绘图工具中，我们可以将数列的元素按照其在数轴上的位置绘制出来。

通过观察数列图像的变化，我们可以更加直观地理解数列的递增和递减过程，从而推测出数列的上极限和下极限的可能取值。

公差上极限下极限,中偏差_解释说明

公差上极限下极限,中偏差解释说明1. 引言1.1 概述在工程设计与制造领域中，公差是一个非常重要的概念。

它描述了由于各种因素引起的零件尺寸变化或误差范围，以确保产品能够在一定的允许范围内正常工作。

而公差上极限、下极限和中偏差则是衡量和控制这些误差的关键参数。

1.2 文章结构本文将围绕公差上极限、下极限和中偏差展开论述，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

具体而言，文章会从定义解释、应用场景、影响因素等方面进行阐述，并介绍测量和控制方法以及效果评估与分析方法。

1.3 目的本文的目的是为读者提供关于公差上极限、下极限和中偏差的全面解释和说明。

通过对这些概念的深入理解，读者可以更好地应用它们于工程实践中，并提高产品质量与可靠性。

以上为“1. 引言”部分的内容。

2. 公差上极限2.1 定义解释在工程和制造领域中，公差是指允许的偏离标准规格或设计要求的范围。

公差上极限是指在加工或组装过程中，所允许的最大偏差值。

这个值表示了一个零件或产品能够偏离其理论设计尺寸的最大限度。

2.2 应用场景公差上极限在实际生产中具有广泛的应用。

它可以用于确定产品之间的可互换性，确保不同供应商提供的零部件能够无缝配合。

此外，在制造过程中对零部件进行检验时，公差上极限也被用来判断产品是否合格。

例如，在汽车制造业中，发动机零部件需要具备一定的精度和质量才能正常工作。

零部件与周边部件之间存在一定的间隙和装配误差，而这些误差必须在一定范围内控制。

公差上极限就是通过定义这个范围来保证发动机正常运行。

2.3 影响因素公差上极限受到多种因素影响。

首先是产品本身的要求和设计规范，不同的产品和行业对公差的要求会有所差异。

其次是加工和制造过程中使用的工艺和设备，例如机床、测量工具等。

这些设备的精度和准确性也会影响公差上极限的确定。

此外，材料的物理特性、环境条件以及操作员技能水平等因素也可能对公差上极限产生影响。

因此，在实际应用中需要综合考虑这些因素来确定适当的公差上极限值。

序列的上极限和下极限

序列的上极限和下极限序列的上极限和下极限是数列理论中常用的概念，它们能够帮助我们更好地理解数列的性质和趋势。

下面我将详细介绍这两个概念的定义、性质和应用。

首先，让我们来了解一下序列的定义。

序列是有序数列的集合，其中每个数都有一个特定的位置。

序列中的每个数称为“项”，它们可以按照任意方式排列在一起。

序列中的项可以是整数、分数、小数等各种类型的数。

序列可以按照其项的规律分类。

如果一个序列的各项之间有明显的规律，则称此序列为等差数列、等比数列或斐波那契数列等。

接下来，我们来介绍序列的上极限和下极限。

序列{an}的上极限定义如下：（1）存在实数M，使得对于任意正整数n，都有an≤M。

（2）对于任意实数ε>0，总存在正整数N，使得当n≥N时，有an≤M+ε。

序列{an}的下极限定义如下：（1）存在实数m，使得对于任意正整数n，都有an≥m。

（2）对于任意实数ε>0，总存在正整数N，使得当n≥N时，有an≥m-ε。

序列的上极限和下极限是序列的一种性质，代表了序列中数据的界限。

对于有界序列，上极限和下极限分别是该序列中最大值和最小值，但对于无界序列，则不存在最小值和最大值。

在一般情况下，上极限和下极限都可能是无穷大或无穷小，但它们之间的差值不能为零。

除了定义，了解上极限和下极限的性质也是十分重要的。

我们来看一下下面的性质：1. 若序列{an}单调递增，则其下极限为an序列的第一个元素，上极限为正无穷大。

2. 若序列{an}单调递减，则其上极限为an序列的第一个元素，下极限为负无穷小。

3. 若序列{an}既不单调递增也不单调递减，则其上极限和下极限均存在且相等。

4. 当序列有界时，它的上极限和下极限均存在且有限。

5. 对于任意一个数列{an}，存在一个子数列{an(k)}，使得其上极限和下极限与{an}相等。

在数学的研究中，上极限和下极限经常被用来研究函数的连续性、收敛性等性质。

特别是在传统数学领域的微积分、数学分析中，它们是非常有用的工具与基础概念。

第8节上极限下极限的概念及应用

n N
k 1
两边取上极限
, 则有
能否用夹逼定理？
lim
n
sup y n A
lim
n
(
n
1
N
xk A ) .
k 1
由任意性，
lim
n
sup y n A 0 .
从而
lim
n
inf y n A
lim
n
sup y n A 0 .
A.
能否用夹逼定理？
由任意性， A
lim
n
inf
an bn

lim
n
sup
an bn
A.
b a inf( A )( 1 N ) N A lim bn bn n bN aN lim sup( A )( 1 b ) b A n n n
n sup x n , x n 1 , sup { x k },
kn
则， n }单调递增， { n }单调递减， {
且 lim n a * ,
n
lim n a .
* n
应用举例
例1.
设
lim
n
x n A ，证明
lim
n
k
0,
n 2 k 1,
lim
a n a n1 bn bn1
n
lim
k
例3.
设 lim a n a ，
n
求证 lim
a1 a 2 a n n
n
a.
解：

上极限与下极限

{
}
(ii)当 H = +∞ 时,数列 {an }无上界,由此便获得所要的结论. (iii)当 H = −∞ 时,对任何 G > 0 ,存在 n 0 ,当 n > n0 时 a ≤ β < −G 这表明{an } 的极限为 −∞ .
n +1 n
(i)当 h 为有限时,对 h 的任何ε 邻域 (h − ε , h + ε ) ，在数列 {an } 中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有限多项小于 h − ε (包括一项也没有);
n →∞
}
0
0
因此
H = liman = lim β n ≤ H − ε o
n →∞
这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何 ε > 0，在 {an } 中必有无穷多个项大于 H − ε 再来证明，在 {an } 中最多只有有限多个项大于H + ε ．因为，由于 lim β n = H ，故存在 N,当 n > N 时 n→ ∞ 有 β n < H + ε ,而 β n 又是 an +1, an + 2, an + 3, L 的上确界, 所以当 n > N 时,对一切正整数成立 an + k ≤ β n < H + ε , 这就证明了大于 H + ε 的 an 只可能有有限多个(包括一个也没有).
n>k n>k
可见 α k ≤ β k．令 k = 1,2,3,L ，于是得到一列 {β k } 和一 { 列 {α k }．显然数列 {β k }是单调减少的，α k } 是单调增加的, 所以这两个数列的极限都存在．我们称 {β k }的极限是 { a n } { 的上级限，设它是H ．α k } 的极限是{ a n } 的下极限, 设它是 h .并分别将上极限和下极限记为 lim an , lim an , ．也就 n →∞ n →∞ 是 H = lim a = lim sup{a } = lim β

数学分析7.3上极限和下极限

第七章实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。

定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项；将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项；依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项，且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。

数学分析——上下极限经典讲义

37第二章极限论§2.1 上极限与下极限设{}n x 是有界数列,E 是{}n x 的聚点之集, 由Weierstrass 定理可知E ≠Φ, 且对任意∈a E , 有{}n x inf ≤a ≤{}n x sup , 这表明E 是有界集合。

定义1. α＝sup E , β＝inf E 分别称为数列{}n x 的上极限、下极限，记作 α＝_____lim ∞→n n x , β＝∞→n lim n x由定义可得定理1. 对任意有界数列{}n x , 有 ∞→n lim n x ≤_____lim ∞→n n x定理2. 设α,β是有界数列{}n x 的上、下极限，则α,β是{}n x 的聚点。

证明：设E 是{}n x 的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个n x , 满足|n x －α|＜ε. 事实上, α＝sup E , 对任意ε＞0, 存在α0∈E , 满足α－2ε＜α0≤α＜α＋2ε,对于α0∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个n x 满足 α0－2ε＜n x ＜α0＋2ε从而存在无穷多个n x 满足 α－ε＜n x ＜α＋ε, 这表明α是{}n x 的聚点。

同理可证β是{}n x 的聚点。

证毕。

定理3. α是有界数列{}n x 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:(1) 存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋ε;38(2) 对任意自然数k , 存在k n k ≥, 使k n x ＞α－ε.证明: 设E 是有界数列{}n x 的聚点之集, 由定理2, 若α是{}n x 的上极限, 则α∈E⇐：由条件可知，α是{}n x 的聚点, 即α∈E , 若α＜sup E ＝α',则对0ε＝α'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋0ε＝α'＋α另一方面, 由于α'E ∈, 对如上的自然数N, 存在≥N n N, 使 N n x ＞α'－0ε＝α'＋α 引出矛盾, 因此必有 α＝α'＝sup E .⇒：由定理2, α是{}n x 的聚点, 因而(2)成立。

集合列的上下极限

集合列的上下极限
集合列的上下极限是指在一个集合中，最大值和最小值的概念。

它们是集合中最重要的概念，可以用来描述集合的范围和边界。

上极限是指集合中的最大值，它表示集合中的最大值不会超过上极限。

例如，如果一个集合的上极限是10，那么集合中的最大值不会超过10。

下极限是指集合中的最小值，它表示集合中的最小值不会低于下极限。

例如，如果一个集合的下极限是5，那么集合中的最小值不会低于5。

上极限和下极限可以用来描述集合的范围和边界。

它们可以帮助我们更好地理解集合中的数据，并且可以用来检测数据是否超出了集合的范围。

总之，集合列的上下极限是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解集合中的数据，并且可以用来检测数据是否超出了集合的范围。

上极限与下极限

上极限与下极限
上极限和下极限是数学中重要的概念，常常出现在极限和微积分的学习中。

它们是描述数列或函数在趋向某一点时的行为的指标。

首先我们来定义一下数列的上极限和下极限：
设有一个数列{an}，它的所有项都是实数。

数列{an}的下极限，又称为极限下确界，定义为数集{a1, a2, ……, an, ……}的下确界，记为lim inf an。

对于一个函数f(x)，其下极限和上极限的定义与数列类似：
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义。

函数f(x)在点x趋向a时的下极限，定义为：lim inf f(x) (x → a) = inf{f(x)：x∈(a, a + δ)，δ > 0}。

1. 若数列{an}收敛，则它的上极限和下极限相等，都等于该数列的极限值。

3. 若数列{an}无界，则它的上极限和下极限均为无穷大或负无穷大。

4. 若函数f(x)在点x=a处存在左右极限，则该函数的上极限和下极限均存在。

上极限和下极限

xn
,
A lim xn.
n
注由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质提供了一个新的平台.
例1 考察以下两个数列的上、下极限:
an
A
2
,
bn
B
2
,
故
an bn A B .
再由定理 7.8 的 (4) 式, 得
nlim(an bn ) A B . 因为是任意的, 故
nlim(an
bn )
A
B
lim
n
an
lim
n
bn
.
注这里严格不等的情形确实会发生, 例如
an (1)n1, bn (1)n.
lim
这样就得到了 { xn } 的一个子列
满足: { xnk },
lim
k
xnk
lim (
k
xnk
ak
)
lim
k
ak
A
,
即证得 A 也是 { xn}的一个聚点, 所以
同理可证
A E.
A E.
定义 2 有界数列
{ xn } 的最大聚点
A 分别称为
{ xn } 的上、下极限, 记为
A 与最小聚点
A
lim
n
定理7.9 设 { xn } 为有界数列. 则有
(i) A 是 { xn } 的上极限的充要条件是
A
lim
n
sup
k n
{
xk

第二次课、上极限与下极限

A
lim
n
yn
2 ,
同理可证
cn
supxk
k n
yk
A
sup yk
k n
A
lim
n
yn
2 ,
于是当 n N 时恒有
A
lim
n
yn
2
cn
A
lim
n
yn
2 ,
令
n ，得
A
lim
n
yn
2
lim
n
cn
A
lim
n
yn
2
,
由的任意性，得
lim(
n
xn
yn )
lim
n
cn
A lim n
yn.
制作人：杨寿渊
第二节上极限与下极限
定义2.1 设xn是一个有界数列，令
bn supxn1, xn2 , supxk ,
k n
an
inf
xn1,
xn2 ,
inf
k n
xk ,
则bn 单调递减且有下界，bn 单调递增且有上界，因此
它们都存在极限，记
lim
n
xn
lim
n
bn
lim sup
n k n
xk
a
(n
1
1) n1
n
n
1
n1
,
n
1
b
n
n
1
n1
n n
2 1
n1
,
得
n
n
(n
1
1) n1
n 1 n1 n
n n1 n 1

上极限偏差和下极限偏差计算公式

上下极限偏差：如何防止误判和漏判？
在各种检测、测量工作中，上下极限偏差都是必不可少的概念。

那么，上下极限偏差到底是什么呢？我们该如何计算它们呢？本文将详细解读这些概念，为大家提供指导意义。

一、上下极限偏差的定义
上下极限偏差是指产品的最大允许偏差量和最小允许偏差量。

它们是指产品在工艺生产过程中所能允许的偏差范围。

一旦产品超过了这个范围，就会被视为不合格品。

因此，上下极限偏差是制定产品质量标准时必不可少的参数。

二、上下极限偏差的计算公式
上下极限偏差的计算公式如下：
上极限偏差=最大允许尺寸-实际尺寸
下极限偏差=实际尺寸-最小允许尺寸
三、上下极限偏差的示例运用
假设我们现在要检测一批零件的长度是否符合标准，已知最大允许长度为20厘米，最小允许长度为18厘米，实际测量出来零件长度为19.5厘米。

那么，我们可以按照上下极限偏差的计算公式来计算：上极限偏差=20-19.5=0.5厘米
下极限偏差=19.5-18=1.5厘米
四、上下极限偏差存在的意义
上下极限偏差的存在，有利于减少误判和漏判的发生。

通过合理
确定产品的上下限，可确保产品在工艺生产过程中保持一定的稳定性。

同时，也有利于保证产品的品质，提高产品的竞争力和市场占有率。

总之，上下极限偏差是重要的质量参数，了解和正确使用上下极
限偏差的计算公式，可以帮助我们更好地掌握质量控制的核心技术，
提高产品质量，为企业的发展打下坚实的基础。

上极限和下极限

an < A + , 2
ε
bn < B + , 2
前页后页返回
ε
故
an + bn < A + B + ε .
再由定理 7.8 的 (4) 式, 得
n→∞
lim ( an + bn ) ≤ A + B + ε .
因为 ε 是任意的故是任意的,
n →∞
lim (an + bn ) ≤ A + B = lim an + lim bn .
定义 2 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点
A 分别称为 { xn } 的上、下极限记为的上、下极限,
A = lim xn ,
n→ ∞
A = lim xn .
n→ ∞
前页后页返回
得知, 有界数列必有上、下极限. 注由定理 7.4 得知有界数列必有上、下极限这样, 下极限的优越性就显现出来了: 这样上、下极限的优越性就显现出来了一个数列若有界, 它的极限可以不存在, 数列若有界它的极限可以不存在此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的; 极限来研究该数列往往是徒劳的但是有界数列的上、下极限总是存在的的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质提供了一个新的平台. 提供了一个新的平台
(i) 存在 N, 当 n > N 时, xn > B ε ;
(ii) 存在 { xnk }, xnk < B + ε , k = 1, 2, .
n→∞
lim xn = B 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, 的充要条件是
在形式上是对称的, 证 1 和 2 在形式上是对称的所以仅证明 1 .

上极限和下极限

若 B A,
取
0
|B 2
A|
0,
那么在
U (B; 0 ) 内( 此时必
在 U ( A; 0 ) 之外 ) { xn }只有有限项. 这就是说, B
不是 { x的n聚}点, 故仅有一个{ x聚n点} A, 从而
lim
n
xn
lim
n
xn .
反之, 若上式成立, 则的聚点惟{一xn(设} 为 A) ,
0, 0,
1o
必要性所以存在
设
lim
n
xn
A.
因为
A
是
{ xn } 的一个聚点,
{ xnk }, 使得 xnk A (k ), 故对于任
意的存0在,
K 0, 当 k > K 时， A xnk .
将 { xnk } 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii).
又因 A 是
1 1, 存在 xn1 , 使 | xn1 a1 | 1;
2
1, 2
存在
xn2 (n2 n1), 使
|
xn2
a2
|
1 2
;
............
k
1, k
存在
xnk (nk nk1), 使
|
xnk
ak
|
1; k
............
这样就得到了 { xn } 的一个子列
满足: { xnk },
{ xn } 的最大聚点, 所以对上述在区间 ,
[ A , ) 上, 至多只含
{ xn } 的有限项. 不然的
话, 因为 { xn } 有界, 故 { xn } 在 [ A , 上 )

§9 上极限和下极限

liminf yn limsup yn ,
n
n
lim yn A. n
§应用： Stolz 定理
定理１
lim 设bn严格增 ,若
n
an an1 bn bn1
A，
lim 则
an A.
b n n
lim lim 即
an
an an1 .
b n n n bn bn1
证明： ⑴ 设Ａ为有限数
n
n
limsup xn limsup yn .
n
n
三、应用举例
lim lim 例1.
设
n
xn A，证明
n
x1 x2 xn A. n
证明： 0, N 0, n N , xn A ,
令
yn
x1
n
xn
,则
yn
A
( x1
A) ( x2
A) n
( xn
A)
1 n
N k 1
例２.
1k
lim
n
2k nk 1
nk
解： nk1 (n 1)k1
k N*
nk1 [nk1 (k 1)nk ck21nk1 (1)k1]
(k 1)nk ck21nk1 (1)k2
lim 原式
n
nk nk1 (n 1)k1
lim
n
nk (k 1)nk
(1)k2
xk
A
,
n N
两边取上极限, 则有
lim lim n
sup yn A
n
(1 n
N k 1
xk
A
)
.
由任意性， limsup yn A 0. n

数列上,下极限的新定义及其应用

数列上,下极限的新定义及其应用
极限是计算数学中一个重要的概念，它的定义是：当一个函数的变量不断接近某一确定值（或不断增大或不断减小）时，函数值不断接近某一确定值，那么这个确定值叫做函数在
这一点上的极限值。

或者说，对一个变量趋近某一值时函数值无限逼近的某一数值叫做函
数的极限值。

极限的概念被应用于非常广泛的领域，有时甚至可以用来求解问题不可解的
函数的行为。

有时在满足一定条件的情况下，可以定义一个序列的上极限，它是表示当序列中n正无穷
大时，序列的值不再增加，此时所对应的值就为序列的上极限。

也可以定义序列的下极限，表示当序列中n正无穷大时，序列的值不再减小，此时所对应的值就为序列的下极限。

新定义了序列上下极限之后，这个概念就可以被广泛应用到数学中。

比如在分析分形几何
中有非常全面的应用，可以用来计算复杂的图形的边界线。

例如，海龟的脊背上有一个矩形，当海龟不断放大时，该矩形的边界线可以表示为序列的上限和下限极限。

此外，极限
还可以应用在微积分中，用于表示值的无穷加线性逼近，有助于分析曲线周围的空间区域。

因此，新定义的序列上下极限在有限的数学中有重要的作用，不仅可以帮助求解和分析更
多的数学问题，还可以应用在更多的领域，更有利于计算机的更多应用。

数列上下极限的不同定义方式及相关性质综述

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1；数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点；数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥；（2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>，如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =，这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证：先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1）设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-，则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2）以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3）如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=；再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=；如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞，且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证）若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2）如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠，则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

上极限和下极限

非单调数列上极限和下极限

公差上极限下极限,中偏差_解释说明

序列的上极限和下极限

第8节 上极限下极限的概念及应用

上极限与下极限

数学分析7.3上极限和下极限

数学分析——上下极限经典讲义

集合列的上下极限

上极限与下极限

上极限和下极限

第二次课、上极限与下极限

上极限偏差和下极限偏差计算公式

上极限和下极限

上极限和下极限

§9 上极限和下极限

数列上,下极限的新定义及其应用

数列上下极限的不同定义方式及相关性质综述

第8节上极限下极限的概念及应用