八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题
初二下册二次根式专题(所有题型)
二次根式专题题型一：二次根式的概念【例题1】当为实数时，下列各式，，，属于二次根式的有________个.【练一练】1. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（x ＞1）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2. 下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式的个数有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型二：二次根式的意义（取值范围）【例题2】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1） （2）y=－；【练一练】 1. 若使二次根式有意义，则x 的取值范围是 ；2. 使式子x211-有意义的x 的取值范围为______________________； 3. 代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是__________________；4. 函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是_____________________； 5. 函数21-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是___________________； 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是______________________.x ()2223,1,,,,x x x x x --y =2+x x 23-题型三：二次根式的性质（)0()(22≥==a a a a a ，） 【例题2】 1. 计算下列各式：(1)（3）（4）2. 已知a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简：．3. 已知a 、b 都是实数，且b ，化简•＋1的结果是多少？【练一练】 1. =________. 若，则______.若=0，则=__________.2.若，则____________；若，则______________.3.已知，求的值为____________.4.若，则化简的结果是__________.5.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ．2-2)252(-2)2(2a a ---22x x -+-2(1)1x x--6. 已知实数x ，y 满足，求代数式的值.7.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+c|+﹣|﹣2b|．8.已知a,b,c 在数轴上的位置如右图所示，化简：题型四：二次根式的乘除；；；【例题3】(1) ×(2)× (3) (4)(5) （5）． （6）b ba b a x xb a -÷+⋅-54336222222013()x y +【练一练】（1） 21521)74181(2133÷-⨯ (2)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)(3)-3÷()×(a ＞0). （4）243)2()()(a a a -÷-⋅-题型四：最简二次根式【例题4】1. 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).2. 已知0<<,a b3. 的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【练一练】 1. 化简：（1）= ．（2）111a a +=_________,（3）2411a a a+=___________.2.=_______________.3. 若9,4312a b ab a b ---和求的值.4. 2的整数部分为a ，小数部分为,b 求2222444a ba ab b -++的值.5. 若m m m m -⋅+=-+213)2)(13(成立，化简216942-++++-m m m m .题型五：同类二次根式【例题5】(1)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A.-1B.0C.1D.2(2)如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是（）A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1(3)如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是（）A.a＝2，b＝1B.a＝1，b＝2C. a＝1，b＝-1D. a＝1，b＝1(4)若最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．【练一练】1.下列二次根式，不能与合并的是（）A． B ．C ． D.2.下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．B． C． D．3. 与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.4．化简基础训练：__________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；__________；5. 当_________.7.若最简二次根式与是同类二次根式，则.6无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）.113a=题型六：二次根式的混合运算【例题6】 1. 计算：(1)(2)2.已知x y ==求22x xy y -+的值.3. 计算：已知2310,x x -+=.【练一练】 1.(1)如果+=0，那么= (2)=_________. 2. 当_________. 3. 计算(1) (2)﹣a2+3a ﹣．)753)(753(-++-101100103103）（）（-+a =4. 已知x=，y=，求的值．5.若x，y为实数，且y=++．求﹣的值．。
人教版八年级数学下册第十六章-二次根式专项攻克练习题(名师精选)
人教版八年级数学下册第十六章-二次根式专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1x的取值范围是（）A．5x≥B．5x<-C．5x≥-x>-D．52、实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简|a﹣b|）A．a B．﹣a C．2b D．2b﹣a3、实数a，b||+的结果为（）a bA．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b4、下列二次根式中，最简二次根式是（）A B C D5、若01x <<，则2x ，x 1x ，这四个数中（ ）A ．1x 最大，2x 最小 B ．x 最大，1x 最小C ．2xD ．x 最大，2x 最小6、下列各式是最简二次根式的是（ ）A B C D7、下列计算正确的是（ ）．A B 4=CD8、实数a ，b a b -=（ ）A ．2a -bB ．bC ．-bD ．2a +b9、下列计算正确的是（ ）A 2=B 2=C D ．)112=10 ）A B C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1=x的取值范围是_______．2x的取值范围是___________．3、计算：2(-=______．4___________．5．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b√2=（m+n√2）2＝m2+2n2+2mn√2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：【问题解决】（1）若a+b√5=（m+n√5）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝，b＝．（均用含m、n的式子表示）（2）若x+4√3=（m+n√3）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．【拓展延伸】（3）化简√5+2√6=．2、计算：√18−(π+2021)0+(12)−1．3、计算：（1）(√5+√3)(√5−√3)+2；（2）√24×√13−3√2÷√63．4、计算：−√3×(√6+3√3)．5、计算：（1）√27+(−13)2−|2−√3|；（2）√2−√3+|√2−√3|−√−83+（3.14﹣π）0； （3）解方程组{2π−π=1−3π+2π=3； （4）解不等式组{5π−3＜π+3π+12≤2π−1 ．---------参考答案-----------一、单选题1、D【解析】【分析】 根据二次根式被开方数是非负数列出不等式求解即可．【详解】50x +≥，解得，5x ≥-；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于或等于0．2、A【解析】【分析】根据数轴可知0b a <<，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由数轴可知：0b a <<，∴0a b ->，∴原式＝()a b b a ---=，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的化简，解题的关键使根据数轴得出0b a <<，属于基础题型．3、B【解析】【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b ＜a ＜0，且|b |＞|a|，所以a -2b ＞0，a +b ＜0，再把二次根式化简即可．【详解】解：根据数轴可知b ＜a ＜0，且|b |＞|a |，所以a -2b ＞0，a +b ＜0，||a b +a b +（a +b ）=a -2b -a -b=-3b ．故选：B ．a ≥0=a ；当a ＜0a ，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．4、B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：ABCD故选：B ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5、A【解析】【分析】由01x <<，可知10x -<，01<<，先利用作差法求得()210x x x x -=->即2x x >，同理求得x <再由01x <<，01<<，得到01<<10x =<，由此即可得到答案．解：∵01x <<，∴10x -<，01<，∴()210x x x x -=->10<，∴2x x >，)10x =<，∴x <∵01x <<，01<<，∴01<<，10x =<，∴21x x x <<， 故选A ．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，二次根式的运算，解题的关键在于能够利用作差法进行求解．6、D【解析】【分析】最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此依次分析即可．【详解】解：A 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、被开方数含有开方开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式．7、D【解析】【分析】根据二次根式运算法则逐项判断即可．【详解】解：2，不符合题意；=故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则进行准确计算．8、C【解析】【分析】首先根据数轴上a 、b 的位置，判断出a b -、a 的符号，然后再进行化简．【详解】解：由图知：0a b <<；0a b -<，0a <；()()a b a a b a a b b ⎡⎤-=----=-+-=-⎣⎦，故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的性质的应用，能正确去绝对值符号及化简二次根式是解题关键．9、D【解析】【分析】根据二次根式的四则运算法则依次计算即可判断．【详解】解：A 2=BCD 、)21112=-=，选项正确；故选：D ．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．10、C【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断0a<，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二、填空题1、34x≤<【分析】3040xx-≥⎧⎨-⎩＞，再解不等式组可得答案. 【详解】解：=3040xx-≥⎧∴⎨-⎩＞解30x-≥可得3,x≥解40x-＞可得4,x＜34,x∴≤＜∴ x的取值范围是3 4.≤＜x故答案为：34x≤＜【点睛】)a b≥＞”是解题的关键.0,02、2x≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】∴20x-≥，∴2x≥；故答案为2x≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．3、12【分析】根据二次根式的性质计算即可求解．【详解】解：222((2)4312-=-⨯=⨯=，故答案为：12．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．4、2.828【分析】=【详解】=≈⨯=．2 1.414 2.828故答案为：2.828【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．5、【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【详解】=故填【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是解决本题的关键．三、解答题1、（1）m 2+5n 2，2mn ；（2）当m =1，n =2时，x=13；当m =2，n =1时，x =7；（3）√2+√3．【解析】【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到4＝2mn ，利用x 、m 、n 均为正整数得到{π=1π=2 或{π=2π=1，然后利用x ＝m 2+3n 2计算对应x 的值；（3）设√5+2√6=m +n √6，两边平方5+2√6=(π+π√6)2，可得{π2+6π2=5ππ=1消去n 得π4−5π2+6=0，可求m =√2或m=√3即可． 【详解】解：（1）设a +b √5＝（m +n √5）2＝m 2+5n 2+2mn √5（其中a 、b 、m 、n 均为整数）， 则有a ＝m 2+5n 2，b ＝2mn ；故答案为m 2+5n 2，2mn ；（2）∵π+4√3=(π+π√3)2=π2+3π2+2ππ√3∴4＝2mn ，∴mn ＝2，∵x 、m 、n 均为正整数，∴{π=1π=2 或{π=2π=1， 当m ＝1，n ＝2时，x ＝m 2+3n 2＝1+3×4＝13；当m ＝2，n ＝1时，x ＝m 2+3n 2＝4+3×1＝7；即x 的值为为13或7；（3）设√5+2√6=m +n √6，∴5+2√6=(π+π√6)2，∴{π2+6π2=52ππ=2， ∴π=1π，π2+6(1π)2=5，∴π4−5π2+6=0，∴（m 2-2）（m 2-3）=0，∴m =√2,m =√3，∴π=√22，π=√33． ∴{π=√2π=√3 或{π=√3π=√2∴√5+2√6=√2+√22√6=√2+√3，√5+2√6=√3+√33×√6=√3+√2． 故答案为√2+√3．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2、3√2+1【解析】【分析】根据二次根式的化简、零指数幂的计算和负指数幂的计算得出结果．【详解】原式=3√2−1+2=3√2+1．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握各类运算法则．3、（1）4；（2）2√2−3√3【解析】【分析】（1）先计算乘法，然后计算加法，即可得到答案；（2）先计算乘法和除法，然后计算减法，即可得到答案．【详解】解：（1）原式＝5－3＋2＝4；（2）原式＝√24×13−3√2×√62＝√8−3√3＝2√2−3√3；【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行计算．4、−3√2−9【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式=−√3×√6+(−√3)×3√3=−√3×6−3√3×3=−3√2−9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．5、（1）4√3−189；（2）3−2√2；（3）{π=5π=9；（4）1≤π<32 【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简，有理数的乘方，绝对值的计算法则进行求解即可；（2）根据分母有理数，立方根，绝对值，零指数幂的计算法则求解即可；（3）利用加减消元法解方程即可；（4）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）√27+(−13)2−|2−√3| =3√3+19−(2−√3) =3√3+19−2+√3 =4√3−189；（2）√2−√3+|√2−√3|−√−83+(3.14−π)0 √2+√3(√2−√3)(√2+√3)+√3−√2+2+1=√2+√32−3+√3−√2+3=−√2−√3+√3−√2+3=3−2√2；（3）{2π−π=1①−3π+2π=3②把①×2得：4π−2π=2③，用③+②得π=5，把π=5代入①得10−π=1，解得π=9，∴方程组的解为：{π=5π=9； （4）{5π−3<π+3①π+12≤2π−1② 解不等式①得：π<32，解不等式②得：π≥1，∴不等式组的解集为：1≤π<32．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，实数的运算，分母有理化等等，熟知相关计算法则是解题的关键．。
二次根式的加减(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。
初二数学分母有理化练习题
初二数学分母有理化练习题除法中出现的分数的分母有理化是数学中一个重要的概念。
在初二数学学习中，理解和掌握分母有理化的方法和技巧对学生来说非常重要。
本文将提供一些初二数学分母有理化练习题，以帮助学生巩固知识和提高解题能力。
1. 分母有理化练习题1）已知一个分数的分母是√3 + √2，试将该分数的分母有理化。
解析：根据分母有理化的原理，我们将分母的有理化公式乘以该分数的共轭形式即可。
即：(√3 - √2) * (√3 + √2) = 3 - 2 = 1所以，该分数的分母有理化后为1。
2）将分数1/ (√2 - √5) 的分母有理化。
解析：同样地，根据公式乘以共轭形式。
(√2 + √5) * (√2 - √5) = 2 - 5*(-1) = 2 + 5 = 7所以，该分数的分母有理化后为7。
3）分母有理化练习题：a) 将分数1/ (√3 - √7) 的分母有理化。
b) 将分数1/ (√5 + √6) 的分母有理化。
c) 将分数1/ (√6 - 2√2) 的分母有理化。
2. 总结与归纳通过以上练习题的训练，我们可以总结出分母有理化的方法和技巧：a) 分母有理化的关键是通过乘以共轭形式，消去分母中的根式。
b) 共轭形式是指将分母中的加号变为减号，或将减号变为加号。
c) 其中，乘以共轭形式之后，分子将会出现两个数的积，且分母会化为一个有理数。
3. 实际应用分母有理化不仅仅是数学理论知识，它在实际应用中也有很多用途。
例如，在物理学中，分母有理化可以帮助我们计算电阻、电容等相关问题，从而解决实际的电路问题。
4. 总结本文提供了初二数学分母有理化的练习题，通过这些练习题的训练，可以帮助学生巩固分母有理化的方法和技巧。
同时，分母有理化也是一个重要的数学概念，在物理学等实际应用中具有很大的意义。
希望本文对初二数学学习有所帮助，并能够提高学生的解题能力和数学思维能力。
易错03 二次根式分母有理化(原卷版)-八年级数学下册期末突破(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）易错03二次根式分母有理化【典型例题】1．（2020·广东佛山市·平洲一中八年级月考）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；===模仿上例完成下列各小题：（1）______；（2）_______（31n++（为正整数）．【专题训练】一、解答题1．（2021·全国八年级）已知a＝，b＝．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．2．（2020·忠县乌杨初级中学校八年级月考）阅读下面的问题：；1⨯==试求：(1)； (2)3．（2020·重庆涪陵区·八年级期末）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（+3）（﹣3）＝﹣4，像（+3）和（﹣3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如（）与（）也互为有理化因式．于是，下面二次根式除法可以这样运算：＝＝7+4．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化．解决问题：（1）2+3的一个有理化因式是，分母有理化结果是；（2）计算：+．4．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：1 ===；；；……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2（3）设，，，比较a，b，c的大小关系．5．（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简．解：＝＝﹣．[理解应用]（1）化简：；（2）若a是的小数部分，化简；（3）化简：++…+．6．（2020·河南洛阳市·九年级月考）阅读下面的材料，并解决问题．﹣1；；…（1）观察上式并填空：＝．（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，．（用含n的式子表示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：①＝；②．7．（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：＝＝；＝＝；＝＝＝2﹣；…则：（1）＝；＝；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝；（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．8．（2021·全国八年级）把二次根式的分母中的根号去掉，叫做二次根式的分母有理化．例如：===-（1）请仿照例题将分母有理化；（2）直接写出________．（3）化简……________（写出解答过程）．9．（2021·()22111====-，====-（1）请运用上面的运算方法计算：；（2）利用上面的规律，比较与的大小．10．（2021·3===-述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）的有理化因式是________；的有理化因式是________．（2）将下列式子进行分母有理化：①________；②________．（32013++．11．（2020·重庆市第一一〇中学校八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：111====，则，，（1）请直接写出下列式子的值：；．（21100+++的值；（31101 ++12．（2021·湖北十堰市·八年级期末）（1）观察探究：①；②；③．（2）尝试练习：（仿照上面化简过程，写出①的化简过程，直接写出②化简结果）①，②；（3）拓展应用：①化简：；②计算的值．。
第04讲 二次根式的加减与分母有理化(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与常见题
第04讲二次根式的加减与分母有理化【知识梳理】一、二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．二、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．【考点剖析】题型一：二次根式的加减一．填空题（共7小题）1．（2022秋•浦东新区期中）计算：＝．2．（2022秋•普陀区校级期中）计算：﹣＝．3．（2022秋•虹口区校级期中）化简：+（5≤x≤8）＝．4．（2022秋•嘉定区月考）计算：﹣＝．5．（2022秋•宝山区期中）计算：＝．6．（2022秋•虹口区校级月考）化简：+（1＜x＜2）＝．7．（2022秋•虹口区校级月考）计算：＝．二．解答题（共17小题）8．（2022秋•静安区校级期中）已知y＝﹣，化简+﹣．9．（2022秋•嘉定区期中）计算：+﹣m．10．（2022秋•宝山区期中）计算：（6﹣）﹣（+）．11．（2022秋•宝山区期中）计算：﹣（﹣）．12．（2022秋•浦东新区期中）计算：．13．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．14．（2022秋•虹口区校级月考）计算：﹣．15．（2022秋•嘉定区月考）计算：．16．（2022秋•闵行区校级期中）计算：．17．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0 ）．18．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：2+﹣12．19．（2022秋•徐汇区期末）（+2）﹣（﹣）20．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：6﹣﹣（4﹣）．21．（2022秋•黄浦区月考）计算：．22．（2022秋•浦东新区校级月考）计算：．23．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．24．（2022秋•宝山区校级期中）计算：+3﹣+3．题型二：分母有理化一．选择题（共2小题）1．（2022秋•奉贤区校级期中）的一个有理化因式是（）A．B．C．D．2．（2022秋•浦东新区校级月考）二次根式的一个有理化因式是（）A．B．+C．﹣D．2二．填空题（共10小题）3．（2022秋•徐汇区校级期中）的倒数是．4．（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．5．（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．6．（2022秋•虹口区校级期中）写出a+b的一个有理化因式：．7．（2022秋•嘉定区期中）若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是．8．（2022秋•普陀区期中）2+的有理化因式可以是．（只需填一个）9．（2022秋•虹口区校级月考）设x＝，y＝，当t为时，代数式20x2+62xy+20y2＝2022．10．（2022秋•奉贤区校级期中）不等式x＞2+2x的解集是．11．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是．12．（2022秋•奉贤区期中）的有理化因式可以是．三．解答题（共1小题）13．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．【过关检测】一、单选题n a ++=（n 八年级校考期中）m二、填空题“”三、解答题。
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习09 分母有理化
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题09 分母有理化一、单选题1A ．3BC ．D ．2．如果a =2b =，那么a 与b 的关系是（） A ．0a b +=B ．a b =C ．1a b=D ．a b <3．下列计算正确的是（）A =BC ．D=24．下列运算中，错误的是（）A =B2=C ．=D 3=-5．已知，a+b+ab 的值为（）A ．B ．C ．-5D ．36．下面计算中正确的是（ ）A =B ．（2=36 C 1= D ．7．下列各组中互为有理化因式的是（）A B ．2-2CD8( )A1. B1CD9时，甲、乙两位同学的解答如下：()x y-==()()()22x y-=--.22-===关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错10．下列运算中错误的是 ( )AB2C．＋D＝411A．2 B．C．12D．212===；小娟：7===．对于两位同学的解法，正确的判断是（）A．小燕、小娟的解法都正确B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确C．小燕、小娟的解法都不正确D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确13．若a、b，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式14．已知a=1+则a与b的关系是( )A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．互为负倒数15．下列计算正确的是（）．A=B．3=C．(21-=D1=16．下列式子中，与互为有理化因式的是（）A．B．C+D17A．B．2C．12D．218．若a、b，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式19．某海防哨所O发现在它的西南方向A处有一艘船，向正东AC方向航行，当船行驶到距离A处400米的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则BO的长为（）A．200B．400C．200D．40020．若x ，2y =，则x 与y 的关系是（） A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．1xy =21A B CD22．已知a =，b=，那么a 与b 的关系为( ) A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．a 是b 的平方根23．计算（1-）﹣（1+ ）A ．12B C D ．224．下列说法中，正确的是（）AB ．方程23x x =的解是x =C ．方程2(3)16x -=的解为7=±xD ．若方程20ax bx a -+=有两个实数根，则这两实数根互为倒数25))1111==)))1112⎡⎤=+=⎣⎦)))1113⎡⎤=++=⎣⎦从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：)···的值为（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020260=，那么yx的值为（）A ．1B ．-1C ．5D ．5-27==5=，④2=-；其中运算正确的有（）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个28．已知a =2b =a 与b 大小关系是（） A ．a b ≥B ．a b ≤C ．a b <D ．a b =29．已知，在ABC 中，D 是BC 边上一点，30,45ABC ADC ∠=∠=．若D 是BC 边的中点，则ACB ∠的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°30．已知三个数2，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（）．A ．B ．2C ．D ．，2或31．下列运算正确的有（）个.①6-==7==2=④=⑤=5==A ．1B ．2C ．3D ．432．已知a =，b =，则a 与b 的大小关系是（）．A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定33．已知1a =，b =a 与b 的关系为（） A ．a b = B ．1ab = C ．=-a b D ．1ab =-34．若a =，2b =+a b 的值为（）A ．12B ．14CD 35．已知√3+√2<x <√5−√3，那么满足上述条件的整数x 的个数是（）. A ．4B ．5C ．6D ．736．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x==-=，解得x=，即=（）A．5+B．5+C．5D．5-37．若a＝3235++，b＝2+610-，则ab的值为（）A．12B．14C．321+D38．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2=a；（32；（4）（5）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题39．化简：=______．40=__________．41=______．42=_______．43=______．44=_______．45．已知函数()f x =，那么()5f =______．46的有理化因式是___________．47=_________．48．2的一个有理化因式是__________．49．实数2_____． 50．已知x =a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba=______．51=______．52_____________．53．不等式(21x -<的解集是____________．54．关于x >+_________．55．不等式1x ≤的解集是__________56．已知11,x y ==，则22232x xy y ++的值是_____．57．已知函数y ＝1xx -，当x 时，y ＝_____． 58．已知a b ==，则223a ab b -+的值为__________．59＝__． 60．已知a，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．61．已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______三、解答题 62．计算（12|--；（225|2-．6311()(34---6465．化简并求值：2256•32m m m m m m m -+⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，其中m =66(33)+；1016(3.5)2π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭67．先化简，再求值：2321(2)236m m m m m -++-÷++，其中1m =. 68．计算：(1)(2)已知2x =，2y =+，求22x xy y ++的值. 69．观察下列等式：第一个式：1a ==第二个式：2a ==第三个式：3a ==按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第四个等式：a 4=___________=_________ ； （2）利用以上规律计算：a 1+a 2+a 3+…+a 11；（3）求+的值。
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原卷版)
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a√12ab化去分母中的根号后得（ ） A ．4b B ．2√b C ．12√b D ．√b 2b变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：√8= ．2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a化成最简二次根式，结果是 ． 技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母 典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简√2+1．解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．上述化简的过程，就是进行分母有理化． 【问题解决】 （1）化简2−√3的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n进行分母有理化的结果为： ；（3）若有理数a ，b 满足√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．变式训练1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝ ．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简 典例3 化简：3332变式训练： 1.化简：2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值√x+√y+√xy+y √x−√y，其中x ＝5，y =15．针对训练：化简：（1y （24323技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5．化简√10√5+√13+√8，并将这一问题作尽可能的推广．变式训练： 12235(23)(35)类型二分子有理化典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：√7−√6=1√7+√6，√6−√5=1√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2=4√x+2+√x−2．当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；（2）求y=√1+x−√x的最大值．针对训练1．（青羊区校级期中）已知a=√2−1，b＝3﹣2√2，c=√3−√2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•绥化期末）化简√21√3的结果是 ． 2．（2021秋•阳城县期末）化简√8√20的结果是 ． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：√x−3−1= ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简√12= ，√2−1= ．5．（2012秋•珙县校级月考）化简：2−√3= ．6．（2021春•江城区期末）化简√2√27的结果是 ． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，求x 2+xy +y 2的平方根．8．（2022春•普陀区校级期末）计算：√5−√5−1．9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：√32+√3−1+√3．10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法． 如：√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． 如：化简√2+√3−√2−√3．解：设x =√2+√3√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x ＞0．由于x 2＝（√2+√3−√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2． 解得x =√2，即√2+√3−√2−√3=√2 根据以上方法，化简：√23+2√2+√√−√√11．（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如√3=√3√3×√3=√33，√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是，3√2分母有理化得．（2）计算：①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000．②已知：x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求x2+y2的值．12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简√3+√2解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a +2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn ＝b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n ． 例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1 【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ．（2）计算： ①√7−2√10； ②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020．14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5． 因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5． 再例如，求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下： 解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2．当x ＝2时，分母√x +2+√x −2有最小值2．所以y 的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较√15−√14和√14−√13的大小； （2）求y =√x +1−√x −1+3的最大值．。
八年级数学下册第16章 微专题4 二次根式的分母有理化
(2)
1 6＋
5分母有理化得：__6_－___5_；
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微专题4 二次根式的分母有理化
(3)计算：2－1
－ 2
4 2.
解：2－1
－ 2
42＝(2－
2＋ 2 2)(2＋
2)－2
2
＝24＋－22－2 2
＝1＋ 22－2 2
＝1－32 2.
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微专题4 二次根式的分母有理化 3．【教材改编】阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与
∴ 2024－ 2023＜ 2022－ 2021.
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谢谢观看
2n－1；
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微专题4 二次根式的分母有理化
解：原式＝ (
3＋13)－( 13－1)＋(
5＋
5－ 3)(
3 5－
＋ 3) (
7＋
7－ 5)(
5 7－
＋…＋ 5)
2n＋1－ 2n－1 ( 2n＋1＋ 2n－1)( 2n＋1－ 2n－1)
＝12( 3－1＋ 5－ 3＋ 7－ 5＋…＋
2n＋1－ 2n－1)＝12( 2n＋1－1)；
个二次根式互为有理化因式，于是二次根式的除法可以这样解：如 1 ＝ 2
1× 2×
2＝ 2
22，22＋－
33＝((22－＋
3)(2＋ 3)(2＋
33))＝7＋4
3，像这样通过分子、分母同
乘一个式子，把分母中的根号化去叫做分母有理化．
1 (1)3
2的有理化因式是__2_，2＋
3的有理化因式是_2_－___3_.(写出一个即可)
运算时，我们有时会碰到形如 3 ， 5
32＋1的式子，其实我们还可以将其进一
步化简：
二次根式专项训练-最简分数分母有理化
二次根式专项训练-最简分数分母有理化简介本文档将提供关于二次根式最简分数分母有理化的专项训练。
了解如何将二次根式中的分数分母有理化是解决相关问题的关键。
分母有理化概述二次根式是形如√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，如果分母包含二次根式，则称为分母含二次根式的二次根式分数。
有理化分母是将分母含二次根式的二次根式分数转化为分母只含有理数的形式。
这样做的目的是为了更方便地进行计算和简化。
最简分数分母有理化方法以下是最简分数分母有理化的方法步骤：1. 将二次根式分母中的含二次根式部分提取出来。
2. 将提取出来的含二次根式部分乘以该部分的共轭形式。
共轭形式是将二次根式中的加减号互换得到的。
3. 将乘积作为新的分母，并将整个二次根式分数乘以一个合适的因式，使得分母变为有理数。
4. 化简结果。
示例以下示例演示了如何最简分数分母有理化：例1：将分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分母有理化。
解：1. 提取出来的含二次根式部分为$\sqrt{2}$。
2. 共轭形式为$-\sqrt{2}$。
3. 新的分母为$-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -2$。
将整个分数乘以$\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}$。
4. 最简化结果为$\frac{-\sqrt{2}}{-2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
例2：将分数$\frac{3}{\sqrt{3} - 2}$的分母有理化。
解：1. 提取出来的含二次根式部分为$\sqrt{3} - 2$。
2. 共轭形式为$\sqrt{3} + 2$。
3. 新的分母为$(\sqrt{3} - 2) \cdot (\sqrt{3} + 2) = 3 - 2\sqrt{3} +2\sqrt{3} - 4 = -1$。
将整个分数乘以$\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} +2}$。
4. 最简化结果为$\frac{3(\sqrt{3} + 2)}{-1} = -3(\sqrt{3} + 2)$。
人教版八年级下册知识点试题精选-二次根式的分母有理化
二次根式的分母有理化一．选择题（共20小题）1．下列各数中，与的积为有理数的是（）A．B．C．D．2．下列各式与的乘积是有理数的是（）A．B．C．D．3．不等于以下哪一项（）A．B．C．D．4．已知a=，b=，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣25．化简，甲，乙两同学的解法如下：甲：==﹣．乙：==﹣．对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是（）A．甲，乙解法都正确B．甲正确，乙不正确C．甲，乙都不正确 D．乙正确，甲不正确6．化简的结果是（）A．B．C．D．7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜8．如果，，那么a与b的关系是（）A．a＜b且互为相反数B．a＞b且互为相反数C．a＞b D．a=b9．甲、乙两位同学对代数式（a＞0，b＞0），分别作了如下变形：甲：==﹣乙：==﹣关于这两种变形过程的说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确C．只有甲正确D．只有乙正确10．﹣1的倒数为（）A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣111．已知x=+1，y=﹣1，则x2﹣5xy+y2+6等于（）A．5 B．7 C．9 D．1112．设r≥4，a=，b=，c=，则下列各式一定成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a13．的一个有理化因式是（）A．B．C．+D．﹣14．已知a=，b=﹣2，则a，b的关系是（）A．a=b B．a=﹣b C．a= D．ab=﹣115．下列结论正确的是（）A．是最简二次根式B．的有理化因式可以是C．=1﹣D．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）16．二次根式的有理化因式是（）A．B．+C．D．﹣17．下列各数中，与2的积为有理数的是（）A．2+B．2﹣C．D．﹣18．化简的结果是（）A．+B．﹣ C．D．19．已知a=+，b=，则a与b的关系是（）A．a=b B．ab=1 C．a=﹣b D．ab=﹣520．若a=1+，b=1﹣，则a与b的关系是（）A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．互为负倒数二．填空题（共20小题）21．计算：=，=，=．22．（1）；（2）；（3）…．猜想第n个式子（n为正整数）的值应为：．23．不等式x＞2+2x的解集是．24．化简：=．=．=．25．计算化简：=．26．计算（1）=，（2）=，（3）=．27．计算：+++…+=．28．有理化分母：=．29．已知，则=．30．计算：=．31．与的关系是．32．化简：（1）=；（2）=．33．试写出一个式子，使它与﹣1之积不含二次根式，则这个式子是．34．的绝对值等于，倒数等于．35．化简：=．36．已知x=﹣，y是x的倒数，则x+y=．37．观察规律：同理可得：依照上述规律，则：=；=（n≥1的整数）；=．38．化简的结果是．39．已知x=+，y=﹣，则xy﹣y2的值为．40．化简：=．三．解答题（共10小题）41．计算：+．42．观察下列分母有理化的计算：，，，，…在计算结果中找出规律，用含字母n（n表示大于0的自然数）表示；再利用这一规律计算下列式子的值：的值．43．阅读下列解题过程：；请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，化简：①②（2）利用上面提供的解法，请计算：．44．观察下列各式的化简过程（其中a＞2）：①==；②===+；③===﹣2．（1）上述各式化简过程的共同特点是：先将变形，通过约分．化去中的根号．（2）试用上述方法化去下列各式分母中的根号．①；②；③．（3）你还有别的方法化去上列各式分母中的根号吗？45．已知=﹣1，=﹣，=﹣，…，从计算结果中找出规律，利用规律计算：（+++…+）×（+1）46．请仔细阅读下面的问题：像上面解题中，与相乘，积不含二次根式，称与为互为有理化因式，化去分母中的根式而使原式的大小不变称为分母有理化．根据上面的数学思想方法，完成下面各题：（1）写出的一个有理化因式：．（2）将分母有理化得：．（3）计算：（n为非负整数）47．观察下列格式，﹣，，，…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．48．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：===﹣1，===﹣，同理可得：=2﹣，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（++…+）（+1）的值．49．阅读下列解题过程：===﹣=﹣2；===2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．50．观察下列等式：①==﹣1；②==；③==﹣；…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律：化简：=；（2）计算：+++…+．二次根式的分母有理化参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．下列各数中，与的积为有理数的是（）A．B．C．D．【分析】利用平方差公式选择（）的有理化因数．【解答】解：∵（﹣1）（+1）=2﹣1=1，∴与的积为有理数的是1+，故选A．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．2．下列各式与的乘积是有理数的是（）A．B．C．D．【分析】把每个选项与的乘积分别计算，即可判断．【解答】解：A、（﹣+2）（﹣2）=﹣（﹣2）2=﹣（7+8﹣28）=﹣15+28，故选项错误；B、（+）（﹣2）=（2+4）（﹣2）=2（+2）（﹣2）=2×（7﹣8）=﹣2，故选项正确；C、（﹣2+）（﹣2）=（﹣2）2=（7+8﹣28）=15﹣28，故选项错误；D、（﹣2）（﹣2）=（﹣2）2=（7+8﹣28）=15﹣28，故选项错误．故选B．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．3．不等于以下哪一项（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的化简，可得答案．【解答】解；=，A、符合题意，故A正确；B、==+，故B正确；C、==，故C正确；D、==，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，利用了分式的性质．4．已知a=，b=，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【分析】先通分求出a﹣b，再求即可．【解答】解：∵a=，b=，∴a﹣b==4，∴==2．故选C．【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是通分，合并同类项．5．化简，甲，乙两同学的解法如下：甲：==﹣．乙：==﹣．对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是（）A．甲，乙解法都正确B．甲正确，乙不正确C．甲，乙都不正确 D．乙正确，甲不正确【分析】（1）分母有理化；（2）构造一个平方差公式消掉分母．【解答】解：甲是按分母有理化计算，正确；乙是把“1”写成平方差的形式，再约分，正确．故选A．【点评】本题较简单，关键是要掌握在分母有理化的方法：①分子、分母同乘以分母的有理化因式，②分子、分母分解约分．6．化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】本题的实质是将原式分母有理化，将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，然后化简即可．【解答】解：==+．故本题选B．【点评】本题考查的是二次根式的分母有理化，解题的关键是找出分母的有理化因式．7．二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵=，==，；∴＜＜．故本题选C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．8．如果，，那么a与b的关系是（）A．a＜b且互为相反数B．a＞b且互为相反数C．a＞b D．a=b【分析】先将b分母有理化，再判断a，b的关系即可．【解答】解：∵，=，=﹣（2+），∴与b=﹣（2+）互为相反数，故选B．【点评】本题考查了分母有理化，一定要找准有理化因式．9．甲、乙两位同学对代数式（a＞0，b＞0），分别作了如下变形：甲：==﹣乙：==﹣关于这两种变形过程的说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确C．只有甲正确D．只有乙正确【分析】利用分子，分母同时乘以有理化因式或分子化为含有分母的乘积形式求解．【解答】解：甲同学的解答只有在a≠b的情况下才成立，∴只有乙同学的解答过程正确．故选：D．【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确找出有理化因式或把分子化为含有分母的乘积形式．10．﹣1的倒数为（）A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1【分析】首先根据互为倒数的两个数的乘积是1，用1除以，求出它的倒数是多少；然后根据分母有理化的方法，把分母有理化即可．【解答】解：∵，∴的倒数为：．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了分母有理化的含义，以及分母有理化的方法，要熟练掌握．（2）此题还考查了两个数互为倒数的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．11．已知x=+1，y=﹣1，则x2﹣5xy+y2+6等于（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】根据完全平方公式，平方差公式，可得答案．【解答】解：原式=（+1）2﹣5（+1）（﹣1）+（﹣1）2+6=3+2﹣5+3﹣2+6=7，故选：B．【点评】本题考查了乘法公式，利用完全平方公式，平方差公式是解题关键．12．设r≥4，a=，b=，c=，则下列各式一定成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】此题可用特值法判断，取r=4，分别代入计算a、b、c的值，再作比较．【解答】解：取r=4，则a=，b=，c=，∴c＞b＞a．故选D．【点评】此题考查分母有理化和实数大小的比较，用特值法比较直接．13．的一个有理化因式是（）A．B．C．+D．﹣【分析】找出原式的一个有理化因式即可．【解答】解：的一个有理化因式是，故选B【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．14．已知a=，b=﹣2，则a，b的关系是（）A．a=b B．a=﹣b C．a= D．ab=﹣1【分析】将a分母有理化得到结果，比较a与b即可．【解答】解：∵a===2﹣，b=﹣2，∴a=﹣b，故选B【点评】此题考查了分母有理化，分母有理化时，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．15．下列结论正确的是（）A．是最简二次根式B．的有理化因式可以是C．=1﹣D．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）【分析】根据最简二次根式的定义，有理化因式的定义，不等式的解法即可得到结论．【解答】解：A、是最简二次根式，故正确；B、的有理化因式可以是，故错误；C、=﹣1，故错误；D、不等式（2﹣）x＞1的解集是x＜﹣（2+），故错误；故选A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，有理化因式的定义，不等式的解法，熟记这些定义是解题的关键．16．二次根式的有理化因式是（）A．B．+C．D．﹣【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．【解答】解：由平方差公式，（）（）=a﹣b，故选C．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．17．下列各数中，与2的积为有理数的是（）A．2+B．2﹣C．D．﹣【分析】根据二次根式的乘法法则以及有理数的定义判断即可．【解答】解：∵2×（2+）=4+6，它是无理数，∴选项A不符合题意；∵2×（2﹣）=4﹣6，它是无理数，∴选项B不符合题意；∵2×=，它是无理数，∴选项C不符合题意；∵2×（﹣）=﹣6，﹣6是有理数，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，有理数、无理数的含义和判断，以及二次根式的乘法法则，要熟练掌握．18．化简的结果是（）A．+B．﹣ C．D．【分析】找出原式的最简公分母，化简即可．【解答】解：原式==﹣，故选B【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．已知a=+，b=，则a与b的关系是（）A．a=b B．ab=1 C．a=﹣b D．ab=﹣5【分析】根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的大小比较，可得答案．【解答】解：b===+，a=+，故选：A．【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式分母有理化是解题关键．20．若a=1+，b=1﹣，则a与b的关系是（）A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．互为负倒数【分析】把a与b相乘即可得出a与b的关系．【解答】解：∵a=1+，b=1﹣，∴ab=（1+）（1﹣）=1﹣2=﹣1，∴a，b互为负倒数，故选D．【点评】本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二．填空题（共20小题）21．计算：=2，=，=||．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：===2，=，=||．故答案为：2，，||．【点评】考查了分母有理化和二次根式的性质，是基础题型，比较简单．22．（1）；（2）；（3）…．猜想第n个式子（n为正整数）的值应为：．【分析】利用分母有理化求出其值即可．【解答】解：原式===．故答案为：．【点评】本题考查了平方差公式在解决实际问题中的运用和二次根式中分母有理化的运用．本题即可以看作一道规律题，也可以看作一道化简题，题目比较简单．23．不等式x＞2+2x的解集是x＜﹣2﹣4．【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把所得的结果分母有理化即可．【解答】解：x＞2+2x，x﹣2x＞2，x＜，x＜﹣2﹣4；故答案为：x＜﹣2﹣4．【点评】此题考查了分母有理化和解一元一次不等式，用到的知识点是解一元一次不等式的步骤和分母有理化，注意要把所得的结果化简．24．化简：=．=﹣．=﹣．【分析】化二次根式为最简二次根式；将被开方数转化为无安全平方形式；通过分母有理化进行化简．【解答】解：==．===﹣．==﹣．故答案分别是：；﹣；﹣．【点评】本题考查了分母有理化，最简二次根式的性质与化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．25．计算化简：=．【分析】先找出有理化因式a﹣，根据分式的基本性质再化简计算即可．【解答】解：==，故答案为．【点评】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．26．计算（1）=，（2）=，（3）=．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）=，（2）===，（3）==．故答案为，，【点评】本题考查了分母有理化的意义及方法，分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．27．计算：+++…+=﹣1+．【分析】先分母有理化，再根据平方差公式进行计算，最后合并即可．【解答】解：原式=+++…+=﹣1+﹣+2﹣+…+﹣3=﹣1+，故答案为：﹣1+．【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的加减的应用，解此题的关键是能正确分母有理化．28．有理化分母：=．【分析】找到有理化因式，+的有理化因式为﹣，进行计算即可．【解答】解：原式=，=，=﹣6+．【点评】本题主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．29．已知，则=﹣4．【分析】首先求出a和的值，然后再代值求解．【解答】解：由题意，知：a===﹣（+2），=﹣2；故a+=﹣（+2）+﹣2=﹣4．【点评】此题主要考查的是二次根式的分母有理化，能够准确的找出分母的有理化因式是解答此类题的关键．30．计算：=．【分析】按照实数的运算法则依次计算，=2，将分母有理化．【解答】解：原式=2+=2+﹣2=．故本题答案为：．【点评】涉及知识：数的负指数幂，二次根式的分母有理化．31．与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵=，∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．32．化简：（1）=2；（2）=．【分析】（1）由二次根式的除法的运算法则求解，即可求得答案；（2）由二次根式的化简的知识，即可求得答案．【解答】解：（1）===2；（2）=．故答案为：2，．【点评】此题考查了二次根式的除法与化简．此题难度不大，注意解题需细心．33．试写出一个式子，使它与﹣1之积不含二次根式，则这个式子是+1．【分析】根据分母有理化的定义解答．【解答】解：∵（﹣1）（+1）=3﹣1=2，∴与﹣1之积不含二次根式的式子是+1．故答案为：+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了分母有理化，是基础题，确定出有理化因式是解题的关键．34．的绝对值等于，倒数等于．【分析】因为＞1，所以为正数，它的绝对值为本身；倒数为，要进行分母有理化．【解答】解：∵＞1，∴∴为正数，∴的绝对值为，倒数为=．故答案为：；．【点评】本题考查了分母有理化，解决本题的关键是运用平方差公式进行分母有理化．35．化简：=．【分析】先找出最简分母，再化简即可．【解答】解：原式=•=，故答案为．【点评】本题考查了分母有理化，掌握找有理化因式是解题的关键．36．已知x=﹣，y是x的倒数，则x+y=2．【分析】先求出y的值，再代入求出即可．【解答】解：∵x=﹣，y是x的倒数，∴y===+，∴x+y=﹣++=2，故答案为：2．【点评】本题考查了分母有理化，倒数的应用，能正确求出y的值是解此题的关键，难度不是很大．37．观察规律：同理可得：依照上述规律，则：=﹣；=﹣（n ≥1的整数）；=2015．【分析】仿照上述计算过程将原式变形，化简即可得到结果；原式括号中分母有理化后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：==﹣，==﹣，原式=（﹣1+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2016﹣1=2015，故答案为：﹣；﹣；2015【点评】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．38．化简的结果是+2．【分析】分母有理化即可．【解答】解：===+2，故答案为+2【点评】此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握分母有理化的方法．39．已知x=+，y=﹣，则xy﹣y2的值为6﹣6．【分析】把x与y的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当x=+，y=﹣时，原式=6﹣3﹣9+6=6﹣6，故答案为：6﹣6【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．40．化简：=．【分析】根据题意即可进行分母有理化即可得到结论．【解答】解：=，故答案为：．【点评】本题考查分母有理化，解题的关键是正确理解题．三．解答题（共10小题）41．计算：+．【分析】利用平方差公式将二次根式分母有理化进而化简即可．【解答】解：原式=+=﹣+﹣=﹣．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确利用平方差公式是解题关键．42．观察下列分母有理化的计算：，，，，…在计算结果中找出规律，用含字母n（n表示大于0的自然数）表示；再利用这一规律计算下列式子的值：的值．【分析】根据分母有理化的计算，把括号内各项分母有理化，计算后再利用平方差公式进行计算即可得解．【解答】解：（+++…+）（+1）=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2014﹣1=2013．【点评】本题考查了分母有理化，读懂题目信息，理解分母有理化的计算并把所求算式进行分母有理化是解题的关键．43．阅读下列解题过程：；请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，化简：①②（2）利用上面提供的解法，请计算：．【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．【解答】解：（1）①==+3；②==；（2）=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（+）=（﹣）（+）=n．【点评】此题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减法，关键是寻找分母有理化后的抵消规律．44．观察下列各式的化简过程（其中a＞2）：①==；②===+；③===﹣2．（1）上述各式化简过程的共同特点是：先将分子变形，通过约分．化去分母中的根号．（2）试用上述方法化去下列各式分母中的根号．①；②；③．（3）你还有别的方法化去上列各式分母中的根号吗？【分析】（1）观察三个化简过程，它们的共同特点是先变形分子，使分子出现含分母的因式，然后约分可化去分母中的根号；（2）①利用二次根式的性质把a+3写成的平方形式，然后约分即可；、②③都是利用平方差公式把分子分解，然后约分即可；（3）利用分式的基本性质，把分子分母都乘以分母的有理化因式可化去分母中的根号．【解答】解：（1）上述各式化简过程的共同特点是：先将分子变形，通过约分．化去分母中的根号；故答案为分子，分母；（2）①===2；②===﹣1；③===﹣；（3）把分子分母都乘以分母的有理化因式可化去上列各式分母中的根号．【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．45．已知=﹣1，=﹣，=﹣，…，从计算结果中找出规律，利用规律计算：（+++…+）×（+1）【分析】根据规律代入后运用平方差公式求出即可．【解答】解：原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12=2015．【点评】本题主要考查对分母有理化，平方差公式等知识点的理解和掌握，能找出规律是解此题的关键．46．请仔细阅读下面的问题：像上面解题中，与相乘，积不含二次根式，称与为互为有理化因式，化去分母中的根式而使原式的大小不变称为分母有理化．根据上面的数学思想方法，完成下面各题：（1）写出的一个有理化因式：．（2）将分母有理化得：﹣﹣．（3）计算：（n为非负整数）【分析】看懂规律，根据上面的数学思想方法，即可解答下列各题．【解答】解：（1）的一个有理化因式：；（2）==；（3）原式=+=+=．【点评】要将+中的根号去掉，要用平方差公式（+）（﹣）=a ﹣b．47．观察下列格式，﹣，，，…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；（3）根据（1）的规律可得﹣，然后分母有理化，求出结果即可．【解答】解：（1）﹣=﹣=﹣=﹣1，=﹣=﹣2，==﹣3，=﹣=﹣4，（2）﹣=﹣5，（3）﹣=﹣=﹣n．【点评】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．48．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：===﹣1，===﹣，同理可得：=2﹣，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（++…+）（+1）的值．【分析】根据已知得出，推出，根据平方差公式求出即可．【解答】解：原式===2008．【点评】本题考查了分母有理化的应用，解此题的关键是根据题目的结果找出规律，题目比较好，有一定的难度．49．阅读下列解题过程：===﹣=﹣2；===2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．【分析】（1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式利用各种分母有理化，计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式==+；（2）归纳总结得：=﹣（n≥1）；（3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣=10﹣1=9．【点评】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键．50．观察下列等式：①==﹣1；②==；③==﹣；…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律：化简：=﹣；（2）计算：+++…+．【分析】（1）分子分母同时乘以（﹣）进行化简；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．【解答】解：（1）原式==﹣；故答案是：﹣；（2）+++…+，=﹣1+﹣+2﹣+…+﹣=﹣1=9．【点评】此题的关键是分母有理化，得出规律：=﹣是解题的关键．。
二次根式专项训练-最简二次根式分母有理化
二次根式专项训练-最简二次根式分母有理化二次根式专项训练（一）（最简二次根式、分母有理化）一、最简二次根式定义1、下列二次根式中，最简二次根式是（C）a/3.2、下列各式一定是二次根式的是（A）-7.3、下列计算正确的是（A）a/b=5/33，（B）8/4=2，（C）a^(1/4b)=a/2b^(2)，（D) 51/42=5/2xymn^(2)a^(2)。
4、根式：y。
6(a-b)，75xy，x+y，中，最简根式有4个。
二、将下列各式化为最简二次根式1、8xy=2√2xy。
5、x^(3/2)=x√x。
三、化简1、ab^(3/5)=ab^(3/5)。
2、(3a^2-2)/(a^2-2)=(3a^2-6+4)/(a^2-2)=(3(a^2-2)+4)/(a^2-2)=3+4/(a^2-2)。
3、(a^2-2)/(a^(2/3)-a^(-2/3))=(a^(4/3)-2a^(1/3))/(a-1)=(a^(1/3)(a-2))/(a-1)=a^(1/3)。
4、3x^(-2)-x^(-4)=(3/x^2)-(1/x^4)=(3x^2-1)/(x^4)。
6、-ab^(3/2)=-√(a^2b^3)。
7、a+a/(x-1)=a((x-1)/(x-1)+1/(x-1))=a(x/(x-1))。
11、(1-a)^3=1-3a+3a^2-a^3.12、(2y)^(3/2)=2√2y^3.13、5/(x-1)=(5(x+1))/(x^2-1)。
14、x/(x+1)-y/(xy)>=(x-y)/(x+1)。
15、|a|+a^2=a(|a|+a)。
16、5ab/(-4ab)=(5ab/4ab)(-1)=-(5/4)。
17、√(2a)/(3a^2)=(√2a)/(3a√a)=(√2)/(3a^(3/2))。
四、把根号外的因式移到根号内1、-5/√11=-5√11/11.2、√(1-x)/(1+x)=√(1-x)(1-x)/(1-x^2)=√(1-x^2)/(1+x)。
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析)
初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A．B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1+ 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。
专题03 二次根式之分母有理化(解析版)
专题03 二次根式之分母有理化一、例题讲解1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 计算(1−23−4)×(2345)−(1−√2√3√4√5)×(√2√3+√4的结果等于( )A.12 B.√55 C.√33 D.√22【答案】B【解答】解：设a =√2√3√4，原式=(1−a )(a √5)−(1−a −√5)×a =a √5−a 2√5a +a 2+√5=√55．故选B ．2.（2020-2021·广东·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =√3+2，则√a 2+ab +b 2的值为( )A.5B.17C.√15D.√17【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3+2(2−√3)(√3+2)=√3+2，b =√3+2=√3(2−√3)(√3+2)=2−√3，∵ a +b =4，ab =(2−√3)(2+√3)=22−3=1，∵ √a 2+ab +b 2=√(a +b )2−ab =√42−1=√15.故选C .3.（2020-2021·江苏·月考试卷） 若x =√5+1，y =√5−1，则x−yx 2−y 2的值为________. 【答案】√510【解答】解：∵x =√5+1，y =√5−1， ∴x +y =√5+1+√5−1=2√5，∴x−y x 2−y 2=x−y (x+y )(x−y )=1x+y=2√5=√510.故答案为：√510.4.（2020-2021·湖南·期末试卷） 化简题中，有四个同学的解法如下： ①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2， ③√a+√b=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=√a −√b ，④√a+√b=√a+√b)(√a−√b)√a+√b=√a −√b .他们的解法，正确的是________.（填序号） 【答案】①②④【解答】解：①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，故①正确；②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2，故②正确；③√a+√b （√a −√b ≠0）=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=(a−b )(√a−√b)a−b=√a −√b ，故③错误；④a+√b=√a+√b)(√a−√b)a+√b=√a −√b ，故④正确.综上所述，计算正确的有①②④.故答案为：①②④.5.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)2=√3−1；√3+1=√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1.以上这种化简的方法叫分母有理化． 解决问题： (1)用上述方法化简5+3；(2)比较大小：√19−3√2与3√2−√17；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2021+√2019．【答案】解：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3．√19−3√2=√19+√18)(√19−√18)(√19+√18)=√19+√18，3√2−√17=√18+√17)(√18−√17)(√18+√17)=√18+√17，∵√19>√17，∴√19+√18>√18+√17，∴√19−3√2>3√2−√17．(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172+√2021−√20192=√2021−12．6.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：(√3+√2)⋅(√3−√2)=(√3)2−(√2)2=1；(√5+√2)(√5−√2)=(√5)2−(√2)2=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3；√3=√3√3×√3=√33，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)3+√7的有理化因式是________，√2+1分母有理化得________；(2)比较大小：√6−2________ 3−√7（用“>”“<”或“=”填空）；(3)计算：√5+13+√5√13+3+⋯+√2017+√2013√2021+√2017.【解答】解：(1)∵(3+√7)(3−√7)=32−(√7)2=2，∴3+√7的有理化因式是3−√7.√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1.故答案为：3−√7；√2−1.√6−2=√6+2(√6−2)(√6+2)=√6+22，3−√7=√7(3−√7)(3+√7)=3+√72，∵√6+22<3+√72，∴√6−2<3−√7.<. (3)原式=√5−1)(√5+1)(√5−1)√5)(3+√5)(3−√5)√13−3)(√13+3)(√13−3)⋯+√2017−√2013)(2017+2013)(2017−√2013)√2021−√2017)(√2021+√2017)(√2021−√2017)=√5−1+3−√5+√13−3+⋯+√2017−√2013+√2021−√2017=√2021−1．7.（2020-2021·安徽·月考试卷） 像√2×√2=2， (√3+1)×(√3−1)=2， (√5+√2)×(√5−√2)=3…两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式． 爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1：23=√323×3=√36； 例2：√2+1√2−1=√2+1)2(√2−1)×(√2+1)=2+2√2+12−1=3+2√2.请你解决下列问题：(1)2√3−3√5的有理化因式可以是（ ） A.2√3−3√5 B.2√3+3√5 C.√3−√5 D.√3+√5(2)化简：√32+√3.【解答】解：(1)(2√3−3√5)(2√3+3√5)=(2√3)2−(3√5)2=12−45=−33， ∵ 2√3−3√5的有理化因式为2√3+3√5.故选B. (2√32+√3=√3√3⋅√3√3(2+√3)(2−√3)=√3+2−√34−3=2.8.（2020-2021·安徽·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值．他是这样解答的：∵ a =2+3=√3(2+3)(2−3)=2−√3，∵ a −2=−√3，∵ (a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，∵ a 2−4a =−1，∵ 2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： 3+2=________； (2)化简：√2+1√3+√2√4+√3⋯+√169+√168；(3)若a =√5−2，求a 4−4a 3−4a +3的值．【解答】解：3+2=√3−√2(3+2)(3−2)=√3−√2.故答案为：√3−√2.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√169−√168=√169−1=13−1=12. (3)∵ a =√5−2=√5+2，∵ a −2=√5，∵ (a −2)2=5，即a 2−4a +4=5，∵ a 2−4a =1，∵ a 4−4a 3−4a +3=a 2(a 2−4a )−4a +3=a 2×1−4a +3=a 2−4a +3=1+3=4．9.（2020-2021·江西·期中试卷） 观察下列运算过程：1+2=2+1=√2−1(2+1)(2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1，√2+√3=√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2． (1)请运用上面的运算方法计算：1+√3√3+√5√5+√7；(2)利用上面的规律，比较√11−√10与√12−√11的大小． 【答案】解：1+√3+√3+√5√5+√7=√3−12+√5−√32+√7−√52=√7−12. (2)∵ √11−√10=√11+√10，√12−√11=√12+√11， ∵ √11+√10<√12+√11，∵ √11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．二、实战演练1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 已知a =√3+√2 ，b =√3−√2，那么a 与b 的关系为( )A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.a 是b 的平方根【答案】C 【解答】解：∵ b =√3−√2=√3+√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2，∴ a =b ．故选C ．2.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2−1，则x 2−2x =( )A.√2B.1C.2+√2D.√2−1【答案】B 【解答】解：∵ x =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，∵ x 2−2x =x(x −2)=(√2+1)(√2+1−2)=2−1=1．故选B .3.（2020-2021·湖南·期末试卷） 已知x =√7−2，a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba =________. 【答案】√7−24【解答】解：∵x =√7−2=√7+2，又2<√7<3，∴4<√7+2<5，即4<x <5，∴a =4，b =√7+2−4=√7−2，∴ba =√7−24.故答案为：√7−24.4.（2020-2021·山西·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求a +1的值．小华是这样解答的：∵ a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a +1=3−√3．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． (1)填空√3−√2=________；√3−1=________．(2)化简√2+1√3+√2√4+√3⋯√289+√288．(3)若a =5−3，求(2a −√3)2−1的值．【解答】解：√3−√2=√3−√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2;√3−1=√3−1(√3−1)(√3+1)=√3+12.故答案为：√3+√2；√3+12. (2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√289−√288=√289−1=17−1=16． (3)∵a =√5−√3=√5+√3(√5−√3)(√5+√3)=√5+√32，∴2a =√5+√3，∴(2a −√3)2=5，∴(2a −√3)2−1=4．5.（2020-2021·安徽·期中试卷） 阅读下面的材料，并解决问题．√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；⋯⋯(1)观察上式并填空：√4+√3=________；(2)观察上述规律并猜想：当n 是正整数时，√n+1+√n=________；（用含n 的式子表示，不用说明理由）(3)请利用(2)的结论计算： ①(√2+1√3+√2√4+√3+√5+√4)×(√5+1)=________； ②(√2+1√3+√2+⋯√2020+√2019√2021+√2020)×(√2021+1).【解答】解：√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3=2−√3.故答案为：2−√3.(2)1√n+1+√n=√n+1−√n(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ．故答案为：√n +1−√n．(3)①原式=(√5−1)×(√5+1)=5−1=4. 故答案为：4．②原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019+√2021−√2020)×(√2021+1) =(√2021−1)(√2021+1)=2021−1=2020．6.（2020-2021·福建·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时， 我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33；√23=√2×33×3=√63； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)化简：√3=________；√25=________；√5+√3=________； (2)化简：√3+1+√5+√3√7+√5⋯+√2019+√2017；(3)已知x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，求y x +xy的值．【解答】解：√3=√3√3×√3=2√33；√25=√2√5=√2×√5√5×√5=√105；√5+√3=√5−√3(√5+√3)(√5−√3)=√5−√32. 故答案为：2√33；√105；√5−√32. √3+1√5+√3√7+√5⋯√2019+√2017=√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)⋯+√2019−√2017(√2019+√2017)(√2019−√2017) =√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172=√2019−12. (3)∵x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，∴x 2=(√5−√3)2(√5+√3)2=√158+2√15，y 2=(√5+√3)2(√5−√3)2=√158−2√15，xy =√5−√3√5+√3√5+√3√5−√3=1，∴yx +xy =y 2+x 2xy=8+2√158−2√15+8−2√158+2√151=√158−2√15√158+2√15=√15)2√15)2(8−2√15)(8+2√15)=64+32√15+60+64−32√15+6064−60=62.7.（2020-2021·河北·月考试卷） 阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为√a×√a=a，(√2+1)(√2−1)=1，所以√a与√a，√2+1与√2−1互为有理化因式.(1)2√3−1的有理化因式是________；(2)这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：√3=√3√3×√3=2√33，√5+√3√5−√3=√5+√3)2(√5−√3)(√5+√3)=5+2√15+35−3=8+2√152=4+√15.用上述方法对√32+3进行分母有理化.(3)利用所需知识判断．若a=2+√5，b=2−√5则a，b的关系是________；(4)直接写结果：(√2+1√3+√2√2020+√2019)(√2020+1)=________.【解答】解：(1)(2√3−1)(2√3+1)=12−1=11，故2√3−1的有理化因式为2√3+1.故答案为：2√3+1.√3 2+√3=√3)2(2+√3)(2−√3)=4−4√3+34−3=7−4√3.(3)a=√5(2+√5)(2−√5)=√5−2=−b.故答案为：a和b互为相反数.(4)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019)×(√2020+1)=(√2020−1)×(√2020+1)=2020−1=2019.故答案为：2019.8.（2020-2021·河北·期中试卷）写作业时，小明被一道题难住了：“若a=3+√10，求a2+6a−27的值．”老师给予了必要的方法提示；不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如a=2+√3.∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a−2=−√3.……请你根据老师的提示，解决如下问题：(1)计算：3+√6=__________；(2)若a=3+√10，求a2+6a−27的值．【解答】解：3+√6=√6(3+√6)(3−√6)=3−√63.故答案为：3−√63.(2)∵ a=3+√10=√10(3+√10)(3−√10)=√10−3，∵ a+3=√10,∵ a2+6a−27=(a+3)2−36=(√10)2−36=−26.9.（2020-2021·河南·月考试卷）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1......(1)观察上面的规律，计算下面的式子：√2+1+√3+√2√4+√3⋯+√2020+√2019；(2)利用上面的规律，试比较√11−√10与√12−√11的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)=√2020−1. (2)√11−√10=11+10，√12−√11=12+11.∵ √11+√10<√12+√11．∵√11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．三、课后练习1.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2+√3，y =2−√3，则x 与y 关系是( )A.x >yB.x =yC.x <yD.xy =1【答案】B【解答】解：∵ y =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，而x =2+√3，∵ x =y ．故选B ．2.（2020-2021·山西·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =2+√3，则a 与b 的关系是( )A.a −b =0B.a +b =0C.ab =1D.a 2=b 2【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，b =2+√3=√3(2−√3)(2+√3)=2−√3，∵ a +b =4，a −b =2√3，ab =(2+√3)(2−√3)=22−(√3)2=1， a 2=7+4√3，b 2=7−4√3，a 2≠b 2.故选C .3.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知a =√3+√2，b =√3−√2，则a 2−b 2的值是________． 【答案】−4√6 【解答】解：∵ a =√3+√2=√3−√2，b =√3−√2=√3+√2，∵ a 2−b 2=(a +b )(a −b )=2√3×(−2√2)=−4√6.故答案为：−4√6.4.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读下列解题过程：√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2； √4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=2−√3；…解答下列各题：√10+√9=________；(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子√n+√n−1=________；(3)利用这一规律计算：(√2+1√3+√2√4+√3⋯√2022+√2021)×(√2022+1).【解答】解：√10+√9=√10−√9(√10+√9)(√10−√9)=√10−3.故答案为：√10−3.√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n−1)(√n−√n−1)=√n−√n−1.故答案为：√n−√n−1.(3)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2022−√2021)(√2022+1)=(√2022−1)(√2022+1)=2022−1= 2021．5.（2020-2021·安徽·月考试卷）把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①√5=√5√5×√5=2√55；②√2−1=√2+1)(√2−1)(√2+1)=√2+1(√2)2−12=√2+1．根据上述材料，回答下列问题．(1)化简√3−1，(2)计算2+13+24+3⋯20+19．【答案】解：(1)原式=√3+1)(√3−1)(√3+1)=(√3+1)．(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋅⋅⋅+√20−√19=√20−1=2√5−1．6.（2020-2021·广东·月考试卷）观察下列一组等式，解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1，⋯(1)根据上面的规律，计算下列式子的值：(√2+1√3+√2√4+√3√2016+√2015)(√2016+1)；(2)利用上面的规律，比较√12−√11与√13−√12的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2016−√2015)(√2016+1)=(√2016+ 1)(√2016−1)=2016−1=2015.(2)√12−√11=√12−√11)(√12+√11)√12+√11=√12+√11=√12+√11，√13−√12=√13−√12)(√13+√12)√13+√12=√13+√12=√13+√12，又√12+√11<√13+√12．∵ √12−√11>√13−√12．7.（2020-2021·广东·月考试卷） 小明在解决问题：已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值，他是这样分析与解答的：因为 a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，所以a −2=−√3，所以(a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，所以a 2−4a =−1， 所以2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： √7+√6=________；(2) √2+1√3+√2√4+√3+⋯√100+√99；(3)若a =√2−1，求4a 2−8a +1的值．【解答】解：√7+√6=√7+√6(√7+√6)(√7−√6)=√7+√6.故答案为：√7+√6.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1=9. (3)因为a =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，所以a −1=√2，所以(a −1)2=2，即a 2−2a +1=2，所以a 2−2a =1， 所以4a 2−8a +1=4(a 2−2a)+1=4×1+1=5. 8.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知：x =3−2√2，求x 2−6x+2x−3的值．【答案】解：∵ x =3−2√2=√2(3−2√2)(3+2√2)=3+2√2，∵ 原式=(x−3)2+2−9x−3=√2−3)23+2√2−3=2√2=√22√2×√2=√24．9.（2020-2021·广东·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33（一）， √23=√2×33×3=√63（二）， √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1（三），以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1（四）.(1)直接写出化简结果①√2+1=________，②√5=________；(2)请选择适当的方法化简√5+√3；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2n+1+√2n−1．【解答】解：(1)①√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；②√5=√5√5×√5=√55.故答案为：√2−1；√55.(2)原式=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3.(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2n+1−√2n−12=√2n+1−12．。
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二次根式分母有理化及应用一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a =来确定，，b a -与b a -等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：a +a等分别互为有理化因式。
3. 分母有理化的方法与步骤二、两种特殊有理化方法1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。
6====；2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。
分母有理化：22222222++⨯===。
总结：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
分母中含有中分子分母同乘以分母中含有例题1 )12013)(201220131341231121(+++++++++ =（ ）A. 2010B. 2011C. 2012D. 2013解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。
答案：解：)12013)(201220131341231121(+++++++++=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-=2013－1 =2012。
故选C 。
点拨：考查二次根式的分母有理化。
主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。
例题2 与212171-最接近的整数是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。
答案：解：原式=832171⨯-=22)8(83231+⨯-=2)83(1-=831-=83+=223+≈5.828。
与6最接近。
故选B 。
点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。
有理化在方程中的应用示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2=1243，代入求值即可。
答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2=4+15－x 2+4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2）=9，化简，得x 2=1243，把x 2=1243代入225x -+215x -， 得431225-+431215-=4112+412=27+23=5，故选C 。
（答题时间：45分钟）一、选择题 1. 化简253-时，甲的解法是：253-=)25)(25()25(3+-+=25+，乙的解法是：253-==25+，以下判断正确的是（ ）A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确2. 已知：a ＝3101-，b＝，则 222-+b a 的值等于（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8 *3. 若a=831-－781-+671-－561-，则a 的值所在范围为（ ） A. a≥0B. 0＜a ＜1C. 1＜a ＜2D. a ＞2**4.6535++x+277--x=2的解是（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6**5. 设r≥4，a=r 1－11+r ，b=r 1−11+r ，c=)1(1++r r r ，则下列各式一定成立的是（ ）A. a ＞b ＞cB. b ＞c ＞aC. c ＞a ＞bD. c ＞b ＞a二、填空题 *6. 若a=119971996-，则a 5－2a 4－1996a 3的值为 。
*7. 若x 2－x －2=0，则31)(32222+--+-x x x x 的值等于 。
**8. 设M= 201320121431321211++++++++ ，N=1－2+3－4+5－6+…+2012－2013，则2)1(+M N= 。
**9. 方程x 1+++……+=20111的解是x= 。
三、解答题*10. 已知；x ＝1213-，y ＝112131++。
（1）求证：x ＞y ；（2）求yx的整数部分。
**11. （1）已知9+13与9−13的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值； （2）设x ＝nn n n ++-+11，y ＝nn n n -+++11，n 为自然数，如果2x 2+197xy+2y 2=1993成立，求n 。
**12. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。
用现代式子表示即为：S ＝…①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，S 为面积）。
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：S=))()((c p b p a p p ---…②（其中p=2cb a ++）。
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S ；（2）你能否由秦九韶公式推导出海伦公式？请试试。
1. C 解析：甲的做法是将分母有理化，去分母；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母，均正确。
故本题选C 。
2. B 解析：∵a=3101-=10(103)(103)-+=103 b=10(103)(103)+-=310-∴222-+b a =22)(2-+-ab b a =2236-+=6。
故选B 。
3. B 解析：∵831-=3+8=3+22，781-=8+7=22+7，671-=7+6，561-=6+5，∴a=3+22－22－7+7+6－6－5=3－5，又∵2＜5＜3，∴0＜a＜1。
故选B 。
4. A 解析：∵6535++x +277--x =2，∴)65)(65()65)(35(-+-+x +)27)(27()27)(7(+-+-x =2，即30－5+32x －15x +51（7+14－7x －2x ）=2，解得：x =2，故选A 。
5. D 解析：取r=4，则a=41－51＝201，b=21−55＝10525-＝20)525(2-≈20036.1，c=)52(41+＝425-＝20)25(5-≈2018.1，∴c＞b ＞a 。
故选D 。
6. 0 解析：∵a=119971996-=1997+1，∴a 5－2a 4－1996a 3=a 3（a －1）2－1997a 3=1997a3－1997a 3=0。
故答案为0。
7.332 解析：因为x 2－x －2=0，所以x 2－x=2，则 原式=31)2(3222+-+=33322++=)13(3)31(2++=332。
8. －21解析：将M 分母有理化可得 M=（201320121431321211++++++++ ）=2013－1。
N=1－2+3－4+5－6+…+1993－1994=（1－2）+（3－4）+（5－6）+…+（2012－2013）=－1×22013=－22013，∴2)1(+M N =201322013-=－21。
故答案为－21。
9. 2011 解析：原方程化为：x 1+x 12-+x 23-+……+x 20102011-=20111，x 201110. （1）证明：yx=1121311213++-=（1213-）（11213++）=1+1213-，∵13＞12，∴1+1213-＞1，∴x＞y ；（2）解：因为13的整数部分为3，12的整数部分也为3，所以由（1）得yx=1+1213-的整数部分是1。
11. 解：∵9＜13＜16，∴12＜9+13＜13，得9+13=12+a ，a=13−3，同理可得b=4－13，把a 、b 代入ab －3a+4b+8，得（13−3）（4−13）－3（13－3）+4（4－13）+8=8，故ab －3a+4b+8的值为8。
（2）∵x+y=nn n n ++-+11+nn n n -+++11=4n+2，xy=nn n n ++-+11×nn n n -+++11=1，若2x 2+197xy+2y 2=1993成立，即2（x+y ）2+193xy=1993成立，∴2（4n+2）2+193=1993，（4n+2）2=900，∵n＞0，∴n=7，故n 的值是7。
12. 解：（1）S =＝＝2548＝103； P=21（5+7+8）=10，又S=)810)(710)(510(10---＝23510⨯⨯⨯＝103； （2）222222)2([41c b a b a -+-⨯]=222222222214()2()()(444a b a b a b c c +-+⋅+-）=161[c 2−（a −b ）2][（a +b ）2−c 2] =161（c+a －b ）（c －a+b ）（a+b+c ）（a+b －c ）=161（2p －2a ）（2p －2b ）•2P•（2p －2c ）=p （p －a ）（p －b ）（p －c ）=))()((c p b p a p p ---。
（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算也正确）。