八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题
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二次根式分母有理化及应用
一、分母有理化
1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2. 有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：
a =来确定，
，b a -与b a -等分别互为有理化因式；
②两项二次根式：利用平方差公式来确定，
如：
a +
a
等分别互为有理化因式。
3. 分母有理化的方法与步骤
二、两种特殊有理化方法
1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。
6====；
2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。
分母有理化：
2
2
2
22222+
+⨯=
==。
总结：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
分母中含有
中分子分母同乘以分母中含有
例题1 )12013)(2012
201313
412
311
21(
+++
+++
++
+ =（ ）
A. 2010
B. 2011
C. 2012
D. 2013
解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。 答案：解：)12013)(2012
20131
341
231
121
(
+++
+++
++
+
=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-
=2013－1 =2012。 故选C 。
点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。
例题2 与2
12171-最接近的整数是（ ） A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。 答案：解：原式=
832171
⨯-
=
2
2
)8(83231
+⨯-
=2
)83(1-=8
31-=83+=223+≈5.828。
与6最接近。故选B 。
点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。
有理化在方程中的应用
示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2
=12
4
3
，代入求值即可。 答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2
=4+15－x 2
+4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2
）=9，
化简，得x 2
=12
43，把x 2
=1243代入225x -+215x -， 得431225-+431215-=4112+412=27+2
3
=5，故选C 。
（答题时间：45分钟）
一、选择题 1. 化简
2
53-时，甲的解法是：
2
53-=
)
25)(25()25(3+-+=25+，
乙的解法是：
2
53-
=
=25+
，以下判断正确的是（ ）
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确
B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确
D. 甲、乙的解法都不正确
2. 已知：a ＝3
101-，b
＝
，则 222-+b a 的值等于（ ） A. 5 B. 6
C. 7
D. 8 *3. 若a=
8
31-－
7
81-+
6
71-－
5
61-，则a 的值所在范围为（ ） A. a≥0
B. 0＜a ＜1
C. 1＜a ＜2
D. a ＞2
**4.
6
535++x
+
2
77--x
=2的解是（ ）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
**5. 设r≥4，a=r 1－11+r ，b=r 1−11+r ，c=)
1(1
++r r r ，则下列各式一定成立
的是（ ）
A. a ＞b ＞c
B. b ＞c ＞a
C. c ＞a ＞b
D. c ＞b ＞a
二、填空题 *6. 若a=
1
19971996-，则a 5－2a 4－1996a 3
的值为 。
*7. 若x 2
－x －2=0，则
3
1)(3
22
2
2+--+-x x x x 的值等于 。
**8. 设M= 2013
20121
431321211++++++++ ，N=1－2+3－4+5－
6+…+2012－2013，则2
)
1(+M N
= 。