数学：2.0《 抽象函数》课件(新人教A版必修1)

例6。设f ( x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对任意x, y ∈ (0,+∞) x 都有f ( ) = f ( x) − f ( y ); y (1)求f (1); 1 (2)若f (4) = 1, 解不等式f ( x + 6) − f ( ) > 2 x
Hale Waihona Puke x 解：（ ） 当x, y ∈ (0,+∞)时，都有f ( ) = f ( x) − f ( y ) 1Q y ∴ f (1) = f (1) − f (1) = 0
解：（ ）令x = 1, y = 2 1 由f ( xy ) = f ( x) + f ( y )得 f (2) = f (1× 2) = f (1) + f (2) ∴ f (1) = 0 f (4) = f (2 × 2) = f (2) + f (2) = 2 f (2) = 2
(2) Q f ( x)的定义域为(0,+∞)，且f (4) = 2 ∴ f ( x) + f ( x − 3) ≤ 2 x>0 ⇔ x−3 > 0 f [ x( x − 3)] ≤ f (4) x>3 ⇔ 2 ⇔ 3< x ≤ 4 x − 3x ≤ 4 ∴ x的范围是(3,4]
例4。已知函数f ( x)在定义域(−∞,1]是减函数，是否存在实数k , 使不等式f (k − sin x) ≥ f (k 2 − sin 2 x)对一切实数x恒成立？并说 明理由。
解：设存在满足题意的k的值 Q f ( x)在定义域(−∞,1]是减函数 ∴ f (k − sin x) ≥ f (k 2 − sin 2 x)对于x ∈ R恒成立 ⇔ k − sin x ≤ k − sin x ≤ 1对于x ∈ R恒成立
（2）证明：由题得 ( x2 ) = f ( x2 − x1 + x1 ) f = f ( x2 − x1 ) ⋅ f ( x1 ) 设x2 > x1 , 则x2 − x1 > 0 ∴0 < f ( x2 − x1 ) < 1, 且f ( x1 ) > 0 ∴ f ( x2 − x1 ) ⋅ f ( x1 ) < f ( x1 ) ∴ f ( x2 ) < f ( x1 ) ∴ y = f ( x)为减函数
2 2
= 1, a ∈ R}, 若A I B = φ , 求a的取值范围。
(1)证明：令x = 1, y = 0, 则 由f ( x + y ) = f ( x) ⋅ f ( y ), 得 f (1 + 0) = f (1) = f (1) ⋅ f (0) Q x > 0时,0 < f ( x) < 1∴ f (0) = 1 当x < 0时,− x > 0,∴ 0 < f (− x) < 1 ∴ f (0) = f ( x − x) = f ( x) ⋅ f (− x) = 1 1 > 1. ∴ f ( x) = f (− x)
例9。y = f ( x)是定义在 上且对任意的, y ∈ R, 恒有f ( x + y) R x = f ( x) ⋅ f ( y),当x > 0时,0 < f ( x) < 1； （）求证： (0) = 1, 且x < 0时, f ( x) > 1; 1 f (2)证明：f ( x)在R上单调递减 ; (3)设A = {(x, y) | f ( x ) ⋅ f ( y ) > f (1)}, B = {(x, y) | f (ax − y + 2)
(3) f ( x ) ⋅ f ( y ) > f (1) ⇔ f ( x + y ) > f (1)
x x （ 2）由 f ( ) = f ( x ) − f ( y ) 得 f ( x ) = f ( ) + f ( y ) y y 16 ∴ f (16 ) = f ( ) + f ( 4 ) = 2 f ( 4 ) = 2 4 1 Q f (4) = 1∴ f ( x + 6) − f ( ) > 2 x x+6> 0 x > 0 1 ⇔ > 0 ⇔ 2 x x + 6 x − 16 > 0 f [ x ( x + 6 )] > f (16 ) ⇔ x > 2 ∴ 所求不等式的解集为 ( 2 , +∞ )
23
( )
2.已知奇函数f ( x)满足f ( x + 2) = f ( x),当x ∈ (0,1)时,
lim 1 设an = f (2n + ), (ln an ). 2n n → ∞ 4.设f ( x)是定义在[−1，上的奇函数，且对任意的a, b ∈ [−1,1], 1] f (a ) + f (b) 当a + b ≠ 0时，都有 > 0; a+b （ ）若a > b, 试比较f (a)与f (b)的大小； 1 1 1 （2）解不等式f ( x − ) < f ( x − ); 2 4 (3)设P = {x | y = f ( x − c)}, Q = {x | y = f ( x − c 2 )}且P I Q = ∅, 求c的取值范围（2003调研考试）
解： )设 x1 , x2 ∈ [ −1,1]，且 x2 > x1 , 则 (1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ( x2 ) + f ( − x1 ) f ( x2 ) + f ( − x1 ) = ⋅ ( x2 − x1 ) > 0 x2 + ( − x1 ) ∴ f ( x2 ) > f ( x1 ) ∴ y = f ( x )为增函数
( 3 )由已知得
f ( S n ) = f ( a n ) + f ( a n + 1) − 1 a n ( a n + 1) + 1 )] − f ( 2 ) = f [ ] 2
∴ f (S n ) = f [a n (a n ∴ S =
a n ( a n + 1) n 2 a n −1 ( a n −1 + 1) ∴ S n −1 = (n ≥ 2) 2 1 2 2 ∴ a n = S n − S n −1 = [ a n + a n − a n −1 − a n −1 ] 2 2 2 ∴ a n − a n − a n −1 − a n −1 = 0 ∴ ( a n + a n − 1 )( a n − a n − 1 − 1 ) = 0 Q a n > 0 ∴ a n − a n −1 − 1 = 0 ∴ a n − a n −1 = 1 ∴ 数列 { a n } 为等差数列，且 ∴ an = n a1 = 1
例1。已知f ( x)是定义在R上的偶函数，且x ∈ [0,+∞)上为增函数， 1 (0, ) U (2,+∞) f ( ) = 0, 则f (log 1 x) > 0的x的取值范围是 _________________ . 2 3 8
1
1 1 f (log 1 x) > f ( ) f (log 1 x) > f (− ) 分析：f (log 1 x) > 0 ⇔ { 3 或{ 3 8 8 8 0 < x <1 x >1 1 ⇔ 0 < x < 或x > 2 2 例2。已知y = f ( x)为奇函数，且在(−∞,0)内递减，f (−2) = 0,
则x ⋅ f ( x) < 0的解集是 __________(2,+∞) (−∞,−2) U ______;
f (2) f (3) f (4) 例3.已知f (a + b) = f (a) ⋅ f (b), 且f (1) = 2, 则 + + +L+ f (1) f (2) f (3) f (2003) f (2004) 4006 + = _________________ . f (2002) f (2003)
例7。已知f ( x)是定义在[−1,1]上的奇函数，当a, b ∈ [−1,1]且 f (a ) + f (b) > 0. a + b ≠ 0时, 有 a+b (1)判断f ( x)的单调性并证明； （2）若f (1) = 1, 且f ( x) ≤ m 2 − 2bm + 1对于所有的x ∈ [−1,1]恒 成立, 求实数m的取值范围。
（ 1）证明：由题意得 ∴ f (1 ) = 0 f ( 2 ) = f ( 2 × 1 ) = f ( 2 ) + f (1 )
1 1 Q f (1 ) = f ( 2 × ) = f ( 2 ) + f ( ) 2 2 1 ∴ f ( ) = − f (2) = −1 2
( 2 ) 设 x 2 > x1 > 0 , 则 x2 x2 f ( x 2 ) = f ( x1 ⋅ ) = f ( x1 ) + f ( ) x1 x1 x2 >1 Q x 2 > x 1 > 0 ,∴ x1 ∴ 当 x > 1时 , f ( x ) > 0 x2 ∴ f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f ( ) > f ( x1 ) x1 ∴ y = f ( x ) 为增函数
3.(2001)设f ( x)是定义在R上的偶函数, 其图象关于直线 1 x = 1对称, 对任意的x1 , x2 ∈ [0, ], 都有f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) • 2 f ( x2 ), 且f (1) = a > 0. 1 1 (1)求f ( ), f ( ). 2 4 (2)证明f ( x)是周期函数.