甘肃省兰州市第一中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文-含答案

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甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线x－y＋3＝0的倾斜角为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B【解析】分析：先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.详解：由题得直线的斜率为所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查直线倾斜角和斜率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)直线ax+by+c=0(b≠0)的斜率为2. 设集合，集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合B,再求A∪B.详解：由题得，所以A∪B=，故答案为:D.点睛：(1)本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)无限集的运算一般通过数轴进行，有限集的运算一般通过韦恩图进行.3. 等差数列的前项和为，且满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据等差数列的性质得到再求.详解：由题得所以.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查等差数列的性质和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.4. 若命题“∃R，使得”是真命题，则实数a的取值范围是A. (－1，3)B. [－1，3]C.D.【答案】C【解析】分析:由题得，解不等式即得实数a的取值范围.详解：由题得，所以.故答案为：C.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解和特称命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.5. 已知，，，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选D.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.7. 已知向量满足，，则A. 2B.C. 4D. 8【答案】B【解析】分析：先化简，求出的值，再求的值.详解：因为，所以所以.故答案为：B.8. 若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．详解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故答案为：D．点睛：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.9. 已知实数满足，则的最小值是A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由约束条件，写出可行域如图，化z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=2+2×0=2．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.10. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. 2B. 3C.D.【答案】C【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从M到N的路径中的最短路径的长度. 详解：先画出圆柱原图再展开得，由题得数形结合得M,N的最短路径为故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答.11. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出图像变换后的解析式y=2cos（2x﹣φ+）,再令﹣φ+=kπ，k∈Z，求得的值.详解：由题得函数f（x）=cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）=2cos（2x﹣φ+），（|φ|＜）所以函数的图象向右平移个单位后，可得y=2cos（2x﹣﹣φ+）=2cos（2x﹣φ+）的图象，由于所得图象关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈Z，故φ=.故答案为：B.12. 已知函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先分析出函数f(x)的性质，再根据函数f(x)的图像解不等式. 详解：由题得y==,所以当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.当x＞0时，y=2是一个常数函数，所以不等式可以化为，解之得x∈.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查函数的单调性和最值，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析出当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.其二是通过图像分析出.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则的最小值是_____________________．【答案】2【解析】分析：先化简已知得到xy=10,再利用基本不等式求的最小值.详解：因为，所以所以，当且仅当即x=2,y=5时取到最小值.故答案为：2.点睛：（1）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

甘肃省兰州高二数学下学期期中试题文

兰州一中2015-2016-2学期期中考试试题高二数学（文科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.下面几种推理过程是演绎推理的是A.某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人B.根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质C .平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分D .在数列}{n a 中，*1121,,2nn na a a n a +==∈N +，计算23,,a a 由此归纳出}{n a 的通项公式 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是A .假设三内角都不大于60度B .假设三内角都大于60度C .假设三内角至多有一个大于60度D .假设三内角至多有两个大于60度3.右图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在A . “集合的概念”的下位B . “集合的表示”的下位C . “基本关系”的下位D . “基本运算”的下位4.曲线123+-=x x y 在点)0,1(处的切线方程为A . 1y x =-B . 1y x =-+C . 22y x =-D . 22y x =-+ 5.下表为某班5位同学身高x （单位：cm ）与体重y （单位kg ）的数据，若两个变量间的回归直线方程为 1.16y x a =+，则a 的值为A .-121.04B .123.2C .21D .-45.126.已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=r c b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R ,类比三角形的面积可得四面体的体积为A . R s s s s V )(214321+++=B . R s s s s V )(314321+++= C . R s s s s V )(414321+++=D . R s s s s V )(4321+++= 7.若正实数b a ,满足1=+b a ，则A .ba 11+有最大值4 B . ab 有最小值41C . b a +有最大值2D . 22b a +有最小值228.如果执行右面的程序框图，那么输出的S =A . 2450B . 2500C . 2550D . 26529.定义运算：()()x x y x y y x y ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，例如344⊗=，则231()(cos sin )24a a -⊗+-的最大值为A . 4B . 3C . 2D . 110.若函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(′x f ，且函数)(′)-1(=x f x y 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A . 函数)(x f 有极大值(2)f -，无极小值B . 函数)(x f 有极小值(1)f ，无极大值C . 函数)(x f 有极大值(2)f -和极小值)1(fD . 函数)(x f 有极大值)1(f 和极小值(2)f -兰州一中2015-2016-2学期期中考试高二数学（文科）答题卡一、选择题（每小题4分，共40分）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 11.i 是虚数单位，239i 2i 3i 9i ++++= .（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）12.设1,0a b c >><给出下列三个结论： ①bca c >；②c cb a <；③)(log )(logc b c a a b ->-；④ln()ln()a c b c ->-. 其中所有正确命题的序号是 .13.已知函数2()ln f x x x ax =+-在(0,1)上是增函数,则a 的取值范围是 . 14.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有),1(N n n n ∈>个点，每个图形总的点数记为n a ，则_____6=a ； 233445201520169999________a a a a a a a a ++++=.．．．．．．．．．．．．．．．．．．2=n 3=n 4=n三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分10分) 已知复数()()21213i i z i +--=-，若212z az b i ++=+，(1)求||z ； (2)求实数,a b 的值.16.(本小题满分10分)(1)解不等式255x x -+-<；(2)如果关于x 的不等式25x x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围.17.(本小题满分12分)有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取一人为优秀的概率为7. (1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据,若按97.5%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到8或9号的概率.参考公式和数据: ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=18.(本小题满分12分) 已知函数ln ()xf x x=． (1)设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；(2)设()() ()g x f x kx k R =-∈，若函数()g x 在区间21[,e ]e上有两个零点,求k 的取值范围.兰州一中2015-2016-2学期期中考试高二数学（文科）参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题：（每小题4分，共16分）11. 45i + 12. ①②③ 13. (,-∞ 14. 15；20142015三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分10分)解：（1）22224133i i iz i i i -+-+===---，2=∴z (5)分（2）把z =1-i 代入212z az b i ++=+，即()()21112i a i b i -+-+=+，得()212a b a i i +-+=+所以1(2)2a b a +=⎧⎨-+=⎩, 解得4;5a b =-=所以实数a ,b 的值分别为-4，5 …………………………….10分16.(本小题满分10分)解：（1）由绝对值不等式的几何意义易得原不等式的解集为(1,6).…………………….5分（2）令25y x x =-+-,而min 3y =,所以3a >. …………………….10分 17.(本小题满分12分) 解：（1） (4)分（2）根据列联表的数据，得到02.5109.675305055)45203010(10522>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，因此有97.5%的把握认为成绩与班级有关系. …………………………….8分（3）设“抽到10或11号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 (x ，y )，所有基本事件有（1,1）、（1,2）、（1,3）、…（6,6），共36个．事件A 包含的基本事件有(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2) 、(3,6)、(4,5)、(5,4) 、(6,3)共9个，91()364P A ∴==. ………………….12分 18.(本小题满分12分) 解:（1）设2()ln ()(0)f x xh x x x x==>，则312ln ()(0)x h x x x -'=>令()312ln 0xh x x -'==，解得：x = 当x 在(0,)+∞上变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：由上表可知，当x =()h x 取得最大值12e由已知对任意的0x >，()()f x k h x x>=恒成立所以，k 得取值范围是1(,)2e+∞. …………………………….6分（2）令()0g x =得：2()ln f x xk x x==由（1）知，2ln ()x h x x=在1[e 上是增函数，在2]上是减函数.且21()e e h =-，12e h =，242(e )e h =当421e 2ek <≤时，函数()g x 在21[,e ]e 上有2个零点. ……………………………12分。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。

其中1～7小题为单选题，8～12小题为多选题）1．将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是（） A ．感应电动势的大小与线圈的匝数无关 B ．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大 C ．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大 D ．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同2．如图所示，一质量为m 的条形磁铁用细线悬挂在天花板上，细线从一水平金属圆环中穿过．现将环从位置Ⅰ释放，环经过磁铁到达位置Ⅱ．设环经过磁铁上端和下端附近时细线的张力分别为1T 和2T ，重力加速度大小为g ，则（）A ．12T mg T mg <>，B ．12T mg T mg <<，C ．12T mg T mg ><， D ．12T mg T mg >>，3．在匀强磁场中，一矩形金属框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则（）A ．t =0．005s 时线框的磁通量变化率为零B ．t =0．01s 时线框平面与中性面重合C ．线框产生的交变电动势有效值为311VD ．线框产生的交变电动势频率为100Hz4．如图所示，理想变压器的原线圈接入()100V u t π=的交变电压，副线圈通过电阻6r =Ω的导线对“220V，880W”的电器L R 供电，该电器正常工作．由此可知A ．原、副线圈的匝数比为50∶1B ．交变电压的频率为100HzC ．副线圈中电流的有效值为4AD ．变压器的输入功率为880W5．图（a ）和图（b ）是教材中演示自感现象的两个电路图，1L 和2L 为电感线圈。

实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮。

而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。

2017-2018年甘肃省兰州一中高二(下)3月月考数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上）1．（5分）有一机器人的运动方程为s（t）＝t2+（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为（）A．B．C．D．2．（5分）函数y＝x cos x﹣sin x的导数为（）A．x sin x B．﹣x sin x C．x cos x D．﹣x cos x3．（5分）设曲线y＝e ax﹣ln（x+1）在x＝0处的切线方程为2x﹣y+1＝0，则a＝（）A．0B．1C．2D．34．（5分）设函数，则（）A．为f（x）的极大值点B．为f（x）的极小值点C．x＝2 为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点5．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）若，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．8．（5分）若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x+1上一动点，则|PQ|min＝（）A．0B．C．D．29．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]10．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）上为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，3]C．[3，5]D．[5，7]11．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过曲线y＝x2上两点A（2，4）和B（2+△x，4+△y）作割线，当△x＝0.1时，割线AB的斜率为．14．（5分）设函数，则f（x）的最大值为．15．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为．16．（5分）定义域在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝1，则不等式的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数+bx+1，若函数的图象关于直线x＝﹣对称，且f'（1）＝0．（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间[﹣3，2]上的最小值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．19．（12分）已知函数．求f（x）的单调区间和极值．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2+2ax．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，若函数f（x）在区间上无零点，求实数a的最小值．22．（12分）已知f（x）＝ln（x+1）﹣ax（a∈R）（1）当a＝1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y＝f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上）1．（5分）有一机器人的运动方程为s（t）＝t2+（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，机器人的速度方程为v（t）＝s′（t）＝2t﹣，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v（2）＝2×2﹣＝4﹣＝．故选：D．2．（5分）函数y＝x cos x﹣sin x的导数为（）A．x sin x B．﹣x sin x C．x cos x D．﹣x cos x【解答】解：y′＝（x cos x）′﹣（sin x）'＝（x）′cos x+x（cos x）′﹣cos x＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x．故选：B．3．（5分）设曲线y＝e ax﹣ln（x+1）在x＝0处的切线方程为2x﹣y+1＝0，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：y＝e ax﹣ln（x+1）的导数为y′＝ae ax﹣，可得在x＝0处的切线斜率为k＝a﹣1，由切线方程为2x﹣y+1＝0，可得a﹣1＝2，解得a＝3．故选：D．4．（5分）设函数，则（）A．为f（x）的极大值点B．为f（x）的极小值点C．x＝2 为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点【解答】解：f′（x）＝﹣+＝，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2是函数的极小值点，故选：D．5．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，B存在f′（x′）＞f′（x″），C对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）＝f′（x″），D对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选：A．7．（5分）若，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：，显然A、C、D不正确，故选：B．8．（5分）若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x+1上一动点，则|PQ|min＝（）A．0B．C．D．2【解答】解：∵y＝lnx，∴y′＝，由y′＝＝1，得x＝1．x＝1代入曲线方程得y＝0，∴点（1，0）到直线的距离为：d＝＝，∴点P到直线l：y＝x+1的距离的最小值为．故选：C．9．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）＝x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）＝x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选：A．10．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）上为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，3]C．[3，5]D．[5，7]【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，得f′（x）＝x2﹣ax+a﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝a﹣1．当a﹣1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；当a﹣1＞1，即a＞2时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，f′（x）在（1，a﹣1）内小于0，函数f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于0，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．依题意应有：当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．∴4≤a﹣1≤6，解得5≤a≤7．∴aa的取值范围是[5，7]．故选：D．11．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．12．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4【解答】解：∵直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，∴f（3）＝1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2＝1，从而k＝，∴f′（3）＝k＝，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）+xf′（x）则g′（3）＝f（3）+3f′（3）＝1+3×（）＝0，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过曲线y＝x2上两点A（2，4）和B（2+△x，4+△y）作割线，当△x＝0.1时，割线AB的斜率为 4.1．【解答】解：，所以当△x＝0.1时，AB的斜率为4.1．故答案为：4.1．14．（5分）设函数，则f（x）的最大值为2．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝﹣2x＜0；当x≤0时，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∴f（x）≤f（﹣1）＝2，∴f（x）的最大值为2．故答案为：2．15．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为3．【解答】解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h＝27πS全面积＝πr2+2πrh＝＝（法一）令S＝f（r），（r＞0）＝令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r＝3时取得最小值（法二）：S全面积＝πr2+2πrh＝＝＝＝27π当且仅当即r＝3时取等号当半径为3时，S最小即用料最省故答案为：316．（5分）定义域在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝1，则不等式的解集为{x|x＞0}．【解答】解：令，，可得函数在R上为减函数，又，即g（x）＜g（1）⇒x＞0，则不等式的解集为{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数+bx+1，若函数的图象关于直线x＝﹣对称，且f'（1）＝0．（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间[﹣3，2]上的最小值．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2+2ax+b，函数y＝f′（x）的图象的对称轴为x＝﹣．∵﹣＝﹣，∴a＝3．∵f′（1）＝0，∴6+2a+b＝0，得b＝﹣12．故a＝3，b＝﹣12．（2）由（1）知f（x）＝2x3+3x2﹣12x+1，f′（x）＝6x2+6x﹣12＝6（x﹣1）（x+2）．x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：∵f（﹣3）＝10，f（1）＝﹣6，∵10＞﹣6，∴所以f（x）在[﹣3，2]上的最小值为﹣6．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．【解答】解：（1），∴∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．当0＜x＜e时，，∴函数在（0，e）上是单调递增．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是．（2）证明：∵b a＞0，a b＞0∴要证：b a＞a b，只需证：alnb＞blna．只需证．（∵a＞b＞e）由（1）得函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．19．（12分）已知函数．求f（x）的单调区间和极值．【解答】解：，x∈（0，+∞）．①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）为增函数，无极值．②当a＞0时，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）为减函数；x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，f（x）在（0，+∞）有极小值，无极大值，f（x）的极小值f（a）＝ln a+1．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2+2ax．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）＝e x﹣2x+2，∵f'（1）＝e，即k＝e，f（1）＝e+1∴所求切线方程为y﹣（e+1）＝e（x﹣1），即ex﹣y+1＝0（2）f'（x）＝e x﹣2x+2a，∵f（x）在R上单调递增，∴f'（x）≥0在R上恒成立，∴在R上恒成立，令，，令g'（x）＝0，则x＝ln2，∵在（﹣∞，ln2）上g'（x）＞0；在（ln2，+∞）上，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（ln2）＝ln2﹣1，∴a≥ln2﹣1，∴实数a的取值范围为[ln2﹣1，+∞）．21．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，若函数f（x）在区间上无零点，求实数a的最小值．【解答】解：f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2ln x，令g（x）＝（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）＝2ln x，x＞0，则f（x）＝g（x）﹣h（x），①当a＜2时，g（x）在上为增函数，h（x）在上为增函数，若f（x）在上无零点，则，即，即a≥2﹣4ln 2，从而2﹣4ln 2≤a＜2，②当a≥2时，在上g（x）≥0，h（x）＜0，∴f（x）＞0，故f（x）在上无零点．综合①②可得得a≥2﹣4ln2，即a min＝2﹣4ln2．22．（12分）已知f（x）＝ln（x+1）﹣ax（a∈R）（1）当a＝1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y＝f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（x+1）﹣x，，所以y＝f（x）在（﹣1，0）为增函数，在（0，+∞）为减函数，故当x＝0时，f（x）取最大值0．（2）等价恒成立，设，设，所以h（x）是减函数，所以，所以g（x）是减函数，g max（x）＝g（1），所以a＞ln2．。

甘肃省兰州一中2018学年高二下学期期中数学试卷理科含解析

2018-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人B．根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质C．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分=，n∈N*，计算a2，a3，由此归纳出{a n}的通D．在数列{a n}中，a1=1，a n+1项公式2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．函数y=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣4，则P0点的坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，﹣4）C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（1，4）4．计算由曲线y2=x和直线y=x﹣2所围成的图形的面积是（）A．B．18 C．D．5．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i6．已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A．∀=（s1+s2+s3+s4）R B．∀=（s1+s2+s3+s4）RC．∀=（s1+s2+s3+s4）R D．∀=（s1+s2+s3+s4）R7．已知三次函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在x∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m的取值范围是（）A．m＜2或m＞4 B．m≥2或m≤4 C．2≤m≤4 D．2＜m＜48．若函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（﹣2），无极小值B．函数f（x）有极大值f（1），无极小值C．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）D．函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（﹣2）．9．一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!10．对于不等式＜n+1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n=1时，＜1+1，不等式成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即＜k+1，则当n=k+1时，=＜==（k+1）+1，∴当n=k+1时，不等式成立．则上述证法（）A．过程全部正确B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．12．已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．13．已知复数z=x+yi，且|z﹣2|=，则的最大值为．14．（+）dx=．15．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，218，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．设{a n}的公比q的等比数列．（1）推导{a n}的前n项和公式；（2）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．17．已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．18．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？19．已知函数f（x）=（1）求函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）设实数k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣kx（k∈R），求函数g（x）在区间[，e2]上的有两个零点，求k的取值范围．20．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．2018-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人B．根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质C．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分=，n∈N*，计算a2，a3，由此归纳出{a n}的通D．在数列{a n}中，a1=1，a n+1项公式【考点】演绎推理的基本方法．【分析】需逐个选项来验证，B选项属于类比推理，A选项和D选项都属于归纳推理，只有C选项符合题意．【解答】解：A选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过50人，也属于归纳推理，B选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；C选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．=，n∈N*，由此归纳出{a n}的通项公式，D选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1属于归纳推理；综上，可知，只有C选项为演绎推理．故选C．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【考点】反证法与放缩法．【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B3．函数y=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣4，则P0点的坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，﹣4）C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（1，4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数，由导数值等于4得出x=±1，分别求出函数值，发现当x=1时，点在直线上，不成立，得出选项．【解答】解：f（x）=x3+x﹣2，∴f'（x）=3x2+1，令3x2+1=4，∴x=±1，∴f（1）=0在直线y=4x﹣4上，舍去，f（﹣1）=﹣4．故选B．4．计算由曲线y 2=x 和直线y=x ﹣2所围成的图形的面积是（）A ．B ．18C ．D ．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先求出曲线y 2=2x 和直线y=x ﹣2的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：联立方程组得解得曲线y 2=x 和直线y=x ﹣2的交点坐标为：（1，﹣1），（4，2），选择y 为积分变量，∴由曲线y 2=x 和直线y=x ﹣2所围成的图形的面积S=（y +2﹣y 2）dy=|=（2+4﹣）﹣（﹣2+）=5．设i 是虚数单位，表示复数z 的共轭复数．若z=1+i ，则+i•=（） A ．﹣2 B ．﹣2i C ．2D ．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z 及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：∵z=1+i ，∴，∴+i•==．故选：C．6．已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A．∀=（s1+s2+s3+s4）R B．∀=（s1+s2+s3+s4）RC．∀=（s1+s2+s3+s4）R D．∀=（s1+s2+s3+s4）R【考点】类比推理．【分析】根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想．【解答】解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比：∴△ABC的面积为s=（a+b+c）r，对应于四面体的体积为V=（s1+s2+s3+s4）R．故选B．7．已知三次函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在x∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m的取值范围是（）A．m＜2或m＞4 B．m≥2或m≤4 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，问题转化为则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即△≤0即可，求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7）若f（x）在（﹣∞，+∞）上无极值点，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即△≤0即可，即[﹣2（4m﹣1）]2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0，解得：2≤m≤4，故选：C．8．若函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（﹣2），无极小值B．函数f（x）有极大值f（1），无极小值C．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）D．函数f（x）有极大值f（1）和极小值f（﹣2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，可得x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．即可判断出结论．【解答】解：函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，∴x＞1时，f′（x）＜0；﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0；x＜﹣2时，f′（x）＞0．∴函数f（x）有极大值f（1），无极小值．故选：B．9．一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法；第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！=3!4故选C10．对于不等式＜n+1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n=1时，＜1+1，不等式成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即＜k+1，则当n=k+1时，=＜==（k+1）+1，∴当n=k+1时，不等式成立．则上述证法（）A．过程全部正确B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确【考点】数学归纳法．【分析】此证明中，从推出P（k+1）成立中，并没有用到假设P（k）成立的形式，不是数学归纳法．【解答】解：在n=k+1时，没有应用n=k时的假设，即从n=k到n=k+1的推理不正确．故选D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【考点】归纳推理．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．12．已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数f（x）是增函数，等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），要使f（x）=lnx+x2﹣ax在定义域内是增函数，则等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，∵f（x）=lnx+x2﹣ax，∴f′（x）=+2x﹣a≥0，即a≤+2x在x∈（0，1）上恒成立，当x＞0时，y=+2x≥2=2，当且仅当x=时取等号．则a≤2，故答案为：（﹣∞，]．13．已知复数z=x+yi，且|z﹣2|=，则的最大值为．【考点】复数求模．【分析】由题意求出x，y的关系，利用的几何意义点与原点连线的斜率，求出它的最大值．【解答】解：，即（x﹣2）2+y2=3就是以（2，0）为圆心以为半径的圆，的几何意义点与原点连线的斜率，易得的最大值是：故答案为：．14．（+）dx= +π ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算和定积分的几何意义即可求出．【解答】解：dx=•=，dx 表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴dx=π，∴（+）dx=+π，故答案为： +π．15．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，218，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有 90 个；（Ⅱ）2n +1（n ∈N +）位回文数有 9×10n 个．【考点】计数原理的应用．【分析】（I ）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II ）将（I ）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n +1（n ∈N +）位回文数的个数【解答】解：（I ）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为 90（II ）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n 、n +1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．设{a n}的公比q的等比数列．（1）推导{a n}的前n项和公式；（2）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【考点】等比关系的确定；等比数列的前n项和．【分析】（1）利用“错位相减法”即可得出；（2）用“反证法”即可证明．【解答】（1）解：q≠0．当q=1时，S n=na1；当q≠1时，S n=a1+a2+…+a n，qS n=a1q+a2q+…+a n q=a2+a3+…+a n+a n q，∴（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴S n==，∴S n=，（2）证明：假设q≠1时，数列{a n+1}是等比数列．则，即，化为（q﹣1）2=0．解得q=1，与q≠1矛盾，因此假设不成立，故原结论：数列{a n+1}不是等比数列成立．17．已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．【考点】直线的点斜式方程．【分析】（1）先求出函数的导函数，再求出函数在（2，﹣6）处的导数即斜率，易求切线方程．（2）设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）=3x18+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．【解答】解：（1）∵f'（x）=（x3+x﹣16）'=3x2+1，∴在点（2，﹣6）处的切线的斜率k=f′（2）=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x﹣32．（2）设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）=3x18+1，∴直线l的方程为y=（3x18+1）（x﹣x0）+x18+x0﹣16．又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x18+1）（﹣x0）+x18+x0﹣16，整理，得x18=﹣8，∴x0=﹣2，∴y0=（﹣2）3+（﹣2）﹣16=﹣26，直线l的斜率k=3×（﹣2）2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（﹣2，﹣26）．18．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【考点】利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．【分析】（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．【解答】解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）=0，得x=80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．19．已知函数f（x）=（1）求函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）设实数k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣kx（k∈R），求函数g（x）在区间[，e2]上的有两个零点，求k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，可得切线的斜率，即可求函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）设实数k使得f（x）＜kx恒成立，分离参数，求最值，即可求k的取值范围；（3）由（2）知，h（x））=在[，]上是增函数，在[，e2]上是减函数，利用函数g（x）在[，e2]上有2个零点，可得k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=…2 分∴f′（1）=1，…∴曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1；…（2）设h（x）==（x＞0），则h′（x）=（x＞0）令h′（x）=0，解得：x=；…当x在（0，+∞）上变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：，，由上表可知，当x=时，h（x）取得最大值，…由已知对任意的x＞0，k＞h（x）恒成立∴k的取值范围是（，+∞）．…（3）令g（x）=0得：k==，…由（2）知，h（x））=在[，]上是增函数，在[，e2]上是减函数．且h（）=﹣e2，h（）=，h（e2）=当≤k＜时，函数g（x）在[，e2]上有2个零点，…∴k的取值范围是≤k＜．…20．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证+明．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x ≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N成立．+（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．2018年1月15日。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题含答案

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x －y ＋3＝0的倾斜角为 A ．30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2．设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =A ．(,1)(3,)-∞-+∞B ．(1,2]-C ．[2,1)--D ．(,2](3,)-∞+∞ 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41020a a +=，则13S = A ．130B ．150C ．200D ．2604．若命题“∃∈0x R ，使得01)1(020<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，3) B ．[－1，3] C ．(,1)(3,)-∞-+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞ 5. 已知 2.10.5a =，0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是A ． a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A . 新农村建设后，种植收入减少B . 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．已知向量，a b 满足2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A ． 2B ．C ． 4D ．88．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是A ． ?7<kB ． ?6<kC ．?9<kD ．?8<k9．已知实数y x ,满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ． 2B ．2-C ．4D ． 4-10．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2B ．3C ．D ． 11．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值为A ．12π B ．6π C ．3π- D ．3π 12．已知函数20()12xx f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为A ． (,0)(4,)-∞+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(,2)-∞D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知lg lg 1x y +=，则的最小值是． 14．若直线1:m 60l x y ++=与直线2:(m 2)320l x y m -++=平行，则实数m 的值为．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(1)(ln )f f x -<的解集是．16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D ABC -体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 20．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥.（Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求三棱锥A BED -的高.已知直线l ：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末试题答案数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．1- 15．()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．318三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设公比为，则，，∵是和的等差中项，∴，，解得或（舍），∴． ..........................5分（Ⅱ），则．................10分22．（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．解：（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16x π+-1cos 21sin 23cos 4-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭....................4分故()f x 最小正周期为π. ................................................................................5分由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+故()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ................................ 8分（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2............................12分23．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 解：（Ⅰ）由tan cos cos )c C a B b A =+及正弦定理可得sin tan cos sin cos )C C A B B A =+，故sin tan )C C A B =+，而sin sin()0C A B =+>，所以tan C =3C π=. ...............................6分（Ⅱ）由4AD CD ==及3C π=可得ACD ∆是正三角形.由ABD ∆的面积为12sin 23AD BD π⋅⋅=142BD ⨯⨯= 故8BD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得222248248cos1123c π=+-⨯⨯⨯=，即c =12分 24．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.附：2(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以m =50-20=30(人)， n =75-25=50(人) ………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为22125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………………………7分（Ⅲ）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，并且2人中恰有一男一女.而从7人中挑选2人的所有可能的结果为{A ,B }{A ,C }{A ,D }{A ,E }{A ,a }{A ,b }{B ,C }{B ,D }{B ,E }{B ,a }{B ,b }{C ,D }{C ,E }{C ,a } {C ,b }{D ,E }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b }{a ,b }，共21种，其中恰为一男一女的包括，{A ,a }{A ,b }{B ,a }{B ,b }{C ,a }{C ,b }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b },共10种. 因此所求概率为1021P =. ………………………………………12分25．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求点A 到平面BED 的距离. 解：（Ⅰ）设AC 交BD 于G ,连接EG . 在正方形ABCD 中，G 为AC 中点，则在三角形ACP 中,中位线 EG ∥PC ,又EG ⊂平面BED ,PC ⊄平面BED , ∴PC ∥平面BED . ............5分（Ⅱ）在PAD ∆中，设AD 的中点为O ，连接EO ，则122EO PD ==，且EO ∥PD 又∵PD DA ⊥,PD DC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . 又4PD AD ==，∴DE AE DB BE ====∴ 三角形BED 为直角三角形.又∵A BDE E ABD V V --=，（设三棱锥A BED -的高为h ） ∴1133ABD BDE S EO S h ∆∆⨯=⨯，∴11114423232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =. 所以点A 到平面BED的距离为. ............12分26．（本小题12分）已知直线l：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设圆心C (a ，0)(a >-，4=⇒a ＝0或a＝-(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16. .........................4分（Ⅱ）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，假设N (t ，0) (0)t >符合题意，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22(2)16y k x x y =-⎧⎨+=⎩得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4k 2－16＝0，所以x 1＋x 2＝2241k k +，x 1x 2＝224161k k -+. .....................................................6分若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN …………8分即 y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒11(2)k x x t --＋22(2)k x x t--＝0⇒2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ＝0⇒222(416)1k k -+－224(t 2)1k k ++＋4t ＝0⇒t ＝8. …………11分所以存在点N 为(8，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立. ……………12分。

甘肃省兰州第一中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

兰州一中学期高二年级期末考试试题数学（文）选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.. ° . ° . ° . °【答案】【解析】分析：先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.详解：由题得直线的斜率为故答案为：.点睛：（）本题主要考查直线倾斜角和斜率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.()直线(≠)的斜率为. ，集合.【答案】【解析】分析：先化简集合,再求∪.详解：由题得，所以∪，故答案为.点睛：()本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.()无限集的运算一般通过数轴进行，有限集的运算一般通过韦恩图进行.. 等差数列的前项和为，且满足，则. . . .【答案】【解析】分析：先根据等差数列的性质得到再求.详解：由题得所以.故答案为：.点睛：（）本题主要考查等差数列的性质和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.() 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.. 若命题“∃，使得”是真命题，则实数的取值范围是. (－，) . [－，] . .【答案】【解析】分析:由题得，解不等式即得实数的取值范围.详解：由题得，所以.故答案为：.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解和特称命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平. . 已知，，，则、、的大小关系是. . . .【答案】【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是. 新农村建设后，种植收入减少. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以正确；故选.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.. 已知向量满足，，则. . . .【答案】【解析】分析：先化简，求出的值，再求的值.详解：因为，所以所以.故答案为：.. 若执行下面的程序框图，输出的值为，则判断框中应填入的条件是. . . .【答案】【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是，可得判断框内应填入的条件．详解：根据程序框图，运行结果如下：第一次循环第二次循环•第三次循环••第四次循环•••第五次循环••••第六次循环•••••故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是＜．故答案为：．点睛：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.. 已知实数满足，则的最小值是. . . .【答案】【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由约束条件，写出可行域如图，化为，由图可知，当直线过（，）时，直线在轴上的截距最小，有最小值等于×．故答案为：．点睛：（）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.() 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.. 某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为. . 3 . .【答案】【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从到的路径中的最短路径的长度.详解：先画出圆柱原图再展开得，由题得数形结合得的最短路径为故答案为：.点睛：（）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. ()对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答.. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值为. . . .【答案】【解析】分析：先求出图像变换后的解析式（﹣φ）,再令﹣φπ，∈，求得的值.详解：由题得函数（）（﹣φ）﹣（﹣φ）（﹣φ），（φ＜）所以函数的图象向右平移个单位后，可得（﹣﹣φ）（﹣φ）的图象，由于所得图象关于轴对称，可得﹣φπ，∈，故φ.故答案为：.. 已知函数，则不等式的解集为. . . .【答案】【解析】分析：先分析出函数()的性质，再根据函数()的图像解不等式.详解：由题得,所以当≥时，函数单调递减，所以此时当时，.当＞时，是一个常数函数，所以不等式可以化为，解之得∈.故答案为：.点睛：（）本题主要考查函数的单调性和最值，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.()解答本题的关键有两点，其一是分析出当≥时，函数单调递减，所以此时当时，.其二是通过图像分析出.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.. 已知，则的最小值是．【答案】【解析】分析：先化简已知得到,再利用基本不等式求的最小值.详解：因为，所以所以，当且仅当即时取到最小值.故答案为：.点睛：（）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.() 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）设集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，2]C．（﹣∞，2]∪（3，+∞）D．[﹣2，﹣1）3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10＝20，则S13＝（）A．6B．130C．200D．2604．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）5．（5分）已知a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b6．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．（5分）已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2B．2C．4D．88．（5分）若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＜8？D．k＜9？9．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．B．4C．2D．310．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．211．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值为（）A．B．C．﹣D．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x2﹣2x）＜f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若lgx+lgy＝1，则的最小值为．14．（5分）直线l1：x+my+6＝0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为．15．（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（1）＜f（lnx）的解集是．16．（5分）半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，a2是a1和a3﹣1的等差中项，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝2n+1+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值及取得最大值时x的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若点D在边BC上，且AD＝CD＝4，△ABD的面积为，求边c的长．20．（12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如表：（1）求出表中数据b，c；（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．附：，21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥DA，PD⊥DC．（Ⅰ）若E是P A的中点，求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）若PD＝AD＝4，PE＝AE，求三棱锥A﹣BED的高．22．（12分）已知直线l：，半径为4的圆C与直线l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．∴tanθ＝．∴θ＝60°．故选：B．2．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3．∴B＝{x|x＜﹣1或x＞3}＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）又集合A＝{x|﹣2≤x≤2}＝[﹣2，2]，∴A∪B＝（﹣∞，2]∪（3，+∞）故选：C．3．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10＝20，∴S13＝（a1+a13）＝（a4+a10）＝20＝130．故选：B．4．【解答】解：∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0，则△＝（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故选：D．5．【解答】解：a＝0.52.1∈（0，1），b＝20.5＞1，c＝0.22.1，∵y＝x2.1为增函数，∴0.52.1＞0.22.1，∴a＞c，∴b＞a＞c．故选：B．6．【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a＝10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a＝2.5＞2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a＝2，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选：A．7．【解答】解：向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，可得：•＝2，|2|＝＝＝＝2．故选：B．8．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78＝log28＝3 8故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故选：C．9．【解答】解：由约束条件写出可行域如图，化z＝x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝2+2×0＝2．故选：C．10．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：＝2．故选：B．11．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）＝2cos（2x﹣φ+）图象向右平移个单位后，可得2cos[2（）﹣φ+]＝2cos（2x﹣φ）关于y轴对称，即﹣φ＝kπ，k∈Z，φ＝﹣kπ，当k＝0时，可得φ＝．故选：B．12．【解答】解：函数f（x）＝，可得x≥0，f（x）＝﹣1+递减；x＜0时，f（x）＝2；且x＝0时函数连续，不等式f（x2﹣2x）＜f（2x），即有或，解得x＞4或x＜0，则原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵lgx+lgy＝1，∴lgxy＝1，且x＞0，y＞0，即xy＝10，∴，当且仅当，即x＝2，y＝5时取等号，故答案为：214．【解答】解：由于直线l1：x+my+6＝0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，∴，∴m＝﹣1，故答案为﹣1．15．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式等价为f（1）＜f（|lnx|），即|lnx|＞1，即lnx＞1或lnx＜﹣1，解得x＞e或，即不等式f（1）＜f（lnx）的解集是；故答案为：16．【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9可得，解得AB＝6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C＝＝2，OO′＝，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为××63＝18，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等比中项，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴q＝＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1，（n∈N*）；（2）∵b n＝2n﹣1+a n，∴S n＝（1+1）+（3+2）+（5+22）+…+（2n﹣1+2n﹣1）＝（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+2+22+…+2n﹣1）＝•n+＝n2+2n﹣1．18．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝4cos x sin＝4cos x sin x cos+4cos2x sin﹣1＝，故f（x）最小正周期T＝＝π；由，k∈Z．得，故f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值2．19．【解答】解：（1）由及正弦定理可得：，故：，而：sin C＝sin（A+B）＞0，所以：，即．（2）由AD＝CD＝4及可得：△ACD是正三角形．由△ABD的面积为，可得，即，故BD＝8，在△ABD中，由余弦定理可得：，即．20．【解答】解：（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b＝50﹣20＝30（人），c＝75﹣25＝50（人）………………………………………………………………（2分）（2）因为，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关．…………………………………………（7分）（说明：数值代入公式（1分），计算结果（3分），判断1分）（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有：{A，B}{A，C}{A，D}{A，E}{A，a}{A，b}{B，C}{B，D}{B，E}{B，a}{B，b}{C，D}{C，E}{C，a}{C，b}{D，E}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}{a，b}，共21种，……………………………………（9分）其中恰为一男一女的包括，{A，a}{A，b}{B，a}{B，b}{C，a}{C，b}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}，共10种．…………………………………（10分）因此被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率为．……………………………………………………………………（12分）21．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于G，连接EG，在△ACP中，∵E是P A的中点，∴EG∥PC，∵EG⊂平面BED，PC⊄平面BED，∴PC∥平面BED．解：（Ⅱ）在Rt△P AD中，设AD的中点为O，连接EO，则EO＝PD＝2，又PD＝AD＝4，∴，设三棱锥A﹣BED的高为h．又∵V A﹣BDE＝V E﹣ABD，∴，∴，解得h＝．∴点A到平面BED的距离为．22．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设圆心C（a，0），由圆心C在x轴上且在直线l的右上方可得，则由直线与圆相切的性质可知，解可得，a＝0或a＝（舍）．所以圆C的方程为x2+y2＝16．……………（4分）（2）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），假设N（t，0）（t＞0）符合题意，又设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+1）x2﹣4k2x+4k2﹣16＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝．……………（6分）若x轴平分∠ANB，则k AN＝﹣k BN…………（8分）∴+＝0⇒+＝0⇒2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t＝0⇒﹣+4t＝0⇒t＝8．…………（11分）所以存在点N为（8，0）时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．…………（12分）。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题文

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题文说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A .194B .174C .154D .1342．函数cos sin y x x x =-的导数为（）A ．cos x xB ．sin x x -C ．sin x xD ．cos x x -3．设曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A .0B .1C .2D .34．设函数f （x ）=2x+ln x ，则（） A ．x =12为f (x )的极大值点 B ．x =12为f (x )的极小值点 C ．x =2为 f (x )的极大值点 D ．x =2为 f (x )的极小值点5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（）A B C D7．若02x π<<，则下列不等式成立的是（）2.sin A x x π<2.sin B x x π>3.sin C x x π<3.sin D x x π>8．P 为曲线ln y x =上一动点, Q 为直线1y x =+上一动点, 则PQ 的最小值为 ( ).0A 2B C .2D 9．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2)D.(0，3]10．若函数()()11213123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,7B ．[)5,7C ．()5,7D ．(]5,711．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )12．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．过曲线2y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线，当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 .14．设函数()33,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则f (x )的最大值为________.15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .16．定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()'fx ，满足()()'f x f x >，且()01f =，则不等式()1xf x e<的解集为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知函数32()21f x x ax bx =+++，若函数()y f x '=的图象关于直线x ＝－12对称，且(1)0f '=.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[－3，2]上的最小值．18．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf x x=. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)已知R a b ∈、, a b e >>(其中e 是自然对数的底数), 求证：a bb a >.19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+. 求f (x )的单调区间和极值.20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝e x－x 2＋2ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求实数a 的最小值.22．（本小题满分12分）已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R (1)当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；(2)已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围；兰州一中2017--2018--2学期高二年级三月份月考试卷文科数学说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A .194B .174C .154D .134解析由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.答案 D2．函数cos sin y x x x =-的导数为（）A ．cos x xB ．sin x x -C ．sin x xD ．cos x x -答案：B3．设曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A .0B .1C .2D .3解析：()ln 1axy e x =-+，'11axy ae x =-+，当x ＝0时，y ′＝a －1.故曲线()ln 1axy e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，从而a －1＝2，即a ＝3.故选D. 4．设函数f （x ）=2x+ln x ，则（） A ．x =12为f (x )的极大值点 B ．x =12为f (x )的极小值点 C ．x =2为 f (x )的极大值点 D ．x =2为 f (x )的极小值点解析：xx x f x x x f 12)(',ln 2)(2+-=∴+=，令0)('=x f ，则2=x ，当20<<x 时0)('<x f ，当2>x 时0)('>x f ，所以2=x 为)(x f 极小值点，故选D .5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2)B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析:∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，∴a >6或a <－3.答案:B6．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（）A B C D解析：因为函数()y f x =的导函数．．．()'y f x =在区间[],a b 上是增函数，即在区间[],a b 上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A .点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图象的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色． 7．若02x π<<，则下列不等式成立的是（）2.sin A x x π< 2.sin B x x π>3.sin C x x π<3.sin D x x π>8．P 为曲线ln y x =上一动点, Q 为直线1y x =+上一动点, 则min ||PQ =( ).0ABC .2D9．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )ab ab aA.(1，2]B.(4，＋∞]C.[－∞，2)D.(0，3]解析：()()'90fx x x x =->，当90x x-≤x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上函数()f x 是减函数，从而[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，即a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 故选A. 10．若函数()()11213123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,7B ．[)5,7C ．()5,7D ．(]5,7解析：()()12-+-=a ax x x f ，令()0='x f 得1=x 或1-=a x ，结合图像知614≤-≤a ，故[]7,5∈a ．点评：本题也可转化为()()4,10∈≤'x x f ，恒成立且()()+∞∈≥',60x x f ，恒成立来解． 11．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )＜0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合. 答案：D12．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：B二、填空题13．过曲线2y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线，当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 . 解析：()()2222244AB x x x y k x x x x∆+-∆+∆∆====∆+∆∆∆，所以当0.1x ∆=时，AB 的斜率为4.1.14．设函数()33,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则f (x )的最大值为________.解析：当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数. ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案：215．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴227l R=，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小.由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R. ∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小. 答案：3 16．定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x >，且()01f =，则不等式()1xf x e<的解集为 . 答案：}{0x x >解析：令()()x f x g x e =，()()()()()()'''20x x x x f x e f x e f x f x g x e e--==<，可得函数()()xf xg x e=在R上为减函数，又()()()00011x xf fg e e==⇒<，即()()}{100g x g x x x <⇒>>.三、解答题17.（本小题满分10分）已知函数32()21f x x ax bx =+++，若函数()y f x '=的图象关于直线x ＝－12对称，且(1)0f '=.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[－3，2]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ，函数y ＝f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－a6.∵－a 6＝－12，∴a ＝3. ∵f ′(1)＝0，∴6＋2a ＋b ＝0，得b ＝－12.故a ＝3，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． x∵∴所以f (x )在[－3，2]上的最小值为－6. 18．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf x x=. （1）求函数f (x )的单调区间；（2）已知R a b ∈、,a b e >>(其中e 是自然对数的底数), 求证：abb a >. 解：（1）ln ()x f x x =, ∴21ln ()xf x x -'= ∴当x e >时,()0f x '<, ∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>, ∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增. ∴f (x )的增区间是(0,e ), 减区间是(,)e +∞.（2）证明:∵0,0abb a >>∴要证: a bb a >，只需证:ln ln a b b a >. 只需证ln ln b ab a>. (∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >，即ln ln b ab a>. 得证. 19．已知函数()ln af x x x=+. 求f (x )的单调区间和极值. 解析：()'221a x a f x x x x -=-=，x ∈(0，＋∞).①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)为增函数，无极值. ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )为减函数；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)为增函数，f (x )在(0，＋∞)有极小值，无极大值，f (x )的极小值f (a )＝ln a ＋1.20．已知函数f (x )＝e x－x 2＋2ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.解析：(1)∵f ′(x )＝e x －2x ＋2，∴f ′(1)＝e ，又f (1)＝e ＋1， ∴所求切线方程为y －(e ＋1)＝e(x －1)，即e x －y ＋1＝0.(2)f ′(x )＝e x－2x ＋2a ，∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∴a ≥x －e x2在R 上恒成立，令g (x )＝x －ex2，则g ′(x )＝1－ex2，令g ′(x )＝0，则x ＝ln 2，在(－∞，ln 2)上，g ′(x )>0；在(ln 2，＋∞)上，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (ln 2)＝ln 2－1，∴a ≥ln 2－1，∴实数a 的取值范围为[ln 2－1，＋∞). 21．已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求实数a 的最小值.解析：f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，令g (x )＝(2－a )(x －1)，x ＞0；h (x )＝2ln x ，x ＞0，则f (x )＝g (x )－h (x )， ①当a ＜2时，g (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，h (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，若f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则1122g h ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()11212ln 22a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即a ≥2－4ln 2，从而2－4ln 2≤a ＜2，②当a ≥2时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上g (x )≥0，h (x )＜0，∴f (x )＞0，故f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点．综合①②可得得a ≥2－4ln 2，即a min ＝2－4ln 2.22．已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R(1)当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；(2)已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围；解析：(1)当1a =时，()ln(1)f x x x =+-，()xx x x f+-=-+=1111'，所以()y f x =在()0,1-为增函数，在()+∞,0为减函数，故当0=x 时，()x f 取最大值0. (2)等价()x x a 1ln +>恒成立，设()()()()2'1ln 11ln xx xx x g x x x g +-+=⇒+=，设()()()()()()10111111ln 122'≥<+-=+-+=⇒+-+=x x x x x x h x x x x h ，所以()x h 是减函数，所以()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⇒><-=≤212402ln 211e e h x h ，所以()x g 是减函数，()()1max g x g =，所以2ln >a（也可用构造函数()1ln ,+==x y ax y 利用数形结合解答）。

7—18学年下学期高二期末考试数学(文)试题(附答案)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x －y ＋3＝0的倾斜角为 A ．30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2．设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,2]- C ．[2,1)-- D ．(,2](3,)-∞+∞3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41020a a +=，则13S = A ．130B ．150C ．200D ．2604．若命题“∃∈0x R ，使得01)1(020<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，3) B ．[－1，3] C ．(,1)(3,)-∞-+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5. 已知 2.10.5a =，0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是A ． a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．已知向量，a b 满足2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A ． 2B ．C ． 4D ．88．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是A ． ?7<k B ． ?6<k C ．?9<k D ．?8<k9．已知实数y x ,满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ． 2B ．2-C ．4D ． 4-10．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2B ．3C ．D ． 11．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值为 A ．12π B ．6π C ．3π- D ．3π12．已知函数20()12xx f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为A ． (,0)(4,)-∞+∞ B ．(,0)(2,)-∞+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知lg lg 1x y +=，则的最小值是． 14．若直线1:m 60l x y ++=与直线2:(m 2)320l x y m -++=平行，则实数m 的值为．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(1)(ln )f f x -<的解集是．16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D ABC -体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值． 19．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 20．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥.（Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求三棱锥A BED -的高. 22.（本小题12分）已知直线l ：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末试题答案数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．1- 15．()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．318三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设公比为，则，，∵是和的等差中项，∴，，解得或（舍），∴． ..........................5分（Ⅱ），则．................10分18、（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．解：（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16x π+-1cos 21sin 23cos 4-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭....................4分故()f x 最小正周期为π. ................................................................................5分由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+故()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ................................ 8分（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2............................12分19、（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 解：（Ⅰ）由tan cos cos )c C a B b A =+及正弦定理可得sin tan cos sin cos )C C A B B A =+，故sin tan )C C A B =+，而sin sin()0C A B =+>，所以tan C =3C π=. ...............................6分（Ⅱ）由4AD CD ==及3C π=可得ACD ∆是正三角形.由ABD ∆的面积为12sin 23AD BD π⋅⋅=142BD ⨯⨯= 故8BD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得222248248cos1123c π=+-⨯⨯⨯=，即c = ..............................12分 20、（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：2(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以m =50-20=30(人)， n =75-25=50(人) ………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为22125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………………………7分（Ⅲ）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，并且2人中恰有一男一女.而从7人中挑选2人的所有可能的结果为{A ,B }{A ,C }{A ,D }{A ,E }{A ,a }{A ,b }{B ,C }{B ,D }{B ,E }{B ,a }{B ,b }{C ,D }{C ,E }{C ,a } {C ,b }{D ,E }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b }{a ,b }，共21种，其中恰为一男一女的包括，{A ,a }{A ,b }{B ,a }{B ,b }{C ,a }{C ,b }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b },共10种. 因此所求概率为1021P =. ………………………………………12分21、（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求点A 到平面BED 的距离. 解：（Ⅰ）设AC 交BD 于G ,连接EG .在正方形ABCD 中，G 为AC 中点，则在三角形ACP 中,中位线 EG ∥PC ,又EG ⊂平面BED ,PC ⊄平面BED , ∴PC ∥平面BED . ............5分（Ⅱ）在PAD ∆中，设AD 的中点为O ，连接EO ，则122EO PD ==，且EO ∥PD 又∵PD DA ⊥,PD DC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . 又4PD AD ==，∴DE AE DB BE ==== ∴ 三角形BED 为直角三角形.又∵A BDE E ABD V V --=，（设三棱锥A BED -的高为h ） ∴1133ABD BDE S EO S h ∆∆⨯=⨯，∴11114423232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =. 所以点A 到平面BED的距离为. ............12分22．（本小题12分）已知直线l：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设圆心C (a ，0) (a >-，4=⇒a ＝0或a＝-(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16. .........................4分（Ⅱ）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，假设N (t ，0) (0)t >符合题意，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22(2)16y k x x y =-⎧⎨+=⎩得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4k 2－16＝0，所以x 1＋x 2＝2241k k +，x 1x 2＝224161k k -+. .....................................................6分若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN …………8分即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒11(2)k x x t --＋22(2)k x x t--＝0⇒2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ＝0⇒222(416)1k k -+－224(t 2)1k k ++＋4t ＝0⇒t ＝8. …………11分所以存在点N 为(8，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立. ……………12分。

甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题

兰州一中2017-2018学年2学期期末考试试题高二数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数的实部与虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，复数的实部和虚部之和是，故选B.2. 已知等比数列满足，则（）A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴．考点：等比数列的通项公式．3. 已知，则的最小值是 ( )A. 6B. 5C.D.【答案】C【解析】试题分析：，考点：基本不等式4. 图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】函数的周期，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为，根据勾股定理最高点和最低点之间的距离为，故选A.5. 参数方程（为参数）所表示的曲线是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 一条直线D. 两条直线【答案】B【解析】或，所以表示的曲线是两条射线.故选B.考点：参数方程.6. 如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】D【解析】由题意可知输出结果为第1次循环,第2次循环,第3次循环,第4次循环,第5次循环,此时满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为.故选7. 已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1，]C. [-，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且,所以,因此不等式bx2-x+a≤0为 ,选C.8. 圆的圆心极坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】略9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平移单位B. 向右平移单位C. 向右平移单位D. 向左平移单位【答案】C【解析】分析：根据平移的性质，2x2x，根据平移法则“左加右减”可知向右平移个单位．解答：解：∵y=sin2x y=sin(2x)故选：C10. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以且，因为所以，又，所以，故故选D.点睛：本题主要考查了三角函数求值，属于基础题，在本题中，将所求的拆成是关键。

高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案

高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案高二年级下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 $2-i$ 与 $2+i$ 的商为（）A。

$1-\frac{4}{5}i$。

B。

$\frac{33}{43}+\frac{4}{5}i$。

C。

$1-\frac{1}{5}i$。

D。

$1+\frac{1}{5}i$2.设有一个回归方程为 $y=2-2.5x$，则变量 $x$ 增加一个单位时（）A。

$y$ 平均增加 $2.5$ 个单位。

B。

$y$ 平均减少$2.5$ 个单位。

C。

$y$ 平均增加 $2$ 个单位。

D。

$y$ 平均减少 $2$ 个单位3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）.A。

类比推理。

B。

演绎推理。

C。

合情推理。

D。

归纳推理4.点 $M$ 的极坐标 $(5,\frac{2\pi}{3})$ 化为直角坐标为（）A。

$(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2)$。

B。

$(2,-2)$。

C。

$(-\frac{5}{2},2)$。

D。

$(2,2)$5.用反证法证明命题“若 $a^2+b^2=0$，则 $a$、$b$ 全为$0$（$a$、$b\in R$）”，其假设正确的是（）A。

$a$、$b$ 至少有一个不为 $0$。

B。

$a$、$b$ 至少有一个为 $0$。

C。

$a$、$b$ 全不为 $0$。

D。

$a$、$b$ 中只有一个为 $0$6.直线 $y=2x+1$ 的参数方程是（$t$ 为参数）（）A。

$\begin{cases}x=t^2\\y=2t^2+1\end{cases}$。

B。

$\begin{cases}x=2t-1\\y=4t+1\end{cases}$。

C。

$\begin{cases}x=t-1\\y=2t-1\end{cases}$。

D。

$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=2\sin\theta+1\end{cases}$7.当 $\frac{2}{3}<m<1$ 时，复数 $m(3+i)-(2+i)$ 在复平面内对应的点位于（）A。

甘肃省兰州市第一中学高二数学下学期期中试题文

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题数学(文科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}032<-=x x x A ,{}0log 2>=x x B ，则=B A （）A. ()+∞,0B. ()3,1C. ()1,0D. φ2．若函数)(x f 满足1)12(+=-x x f ，则)3(f 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6 3．曲线x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛21,41M 处的切线的倾斜角是( )A ．－45°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c 5．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．xy 3-= B ．21x y = C ．23log x y = D ．2x x y -=6．用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可被5整除，那么b a ,中至少有一个是5的倍数” 时，反设正确的是( )A ．b a ,都是5的倍数B ．b a ,都不是5的倍数C ．a 不是5的倍数D ．b a ,中有一个是5的倍数 7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A. 26-n B. 28-n C. 26+nD. 28+n8．定义在R 上的奇函数)(x f 满足()x f x f 1)2(-=+，且在()1,0上x x f 3)(=，则 ()3log 54f =（）A. 32 B ．23- C. 23D. 32-9．已知函数)(x f ＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞11.设函数()031)(23>-=a x ax x f 在(0,3)内不单调,则实数a 的取值范围是( ) A. 32>a B. 320<<a C. 310<<a D.132<<a 12.已知函数()f x 在R 上满足()()2f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()f x x '>.若()()112f a f a a +--≥，则实数a 的取值范围是（）A. [)0,+∞B. [)1,+∞C. (],0-∞D.(],1-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数)(x f y =，27)3(=f ，则)(x f 的表达式是________． 14．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递增区间为________．15．在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ________．16．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间，在四面体中，有 ______（用文字叙述）.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)计算：(1) 3244103132286723⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛- (2) 3log 122ln 001.0lg +-++e18. (本小题满分12分) 已知函数)(331)(23R a a x x x x f ∈+++-=, (1)求函数)(x f 的单调增区间；(2)若函数)(x f 在区间[-4,4]上的最大值为26,求a 的值.19．(本小题满分12分)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)，f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．22. (本小题满分12分)已知函数b ax x x f +-=ln )(（a ,b R ∈）有两个不同的零点1x ，2x ．（1）求)(x f 的最值；（2）证明：1221x x a <．兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题数学(文科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}032<-=x x x A ,{}0log 2>=x x B ，则=B A （ B ）A. ()+∞,0B. ()3,1C. ()1,0D. φ2．若函数)(x f 满足1)12(+=-x x f ，则)3(f 等于（ A ）A. 3B. 4C. 5D. 6 3．曲线x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛21,41M 处的切线的倾斜角是( B )A ．－45°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( D )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c 5．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A )A ．xy 3-= B ．21x y = C ．23log x y = D ．2x x y -=6．用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可被5整除，那么b a ,中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是( B )A ．b a ,都是5的倍数B ．b a ,都不是5的倍数C ．a 不是5的倍数D ．b a ,中有一个是5的倍数 7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( C ) A. 26-n B. 28-n C. 26+nD. 28+n8．定义在R 上的奇函数)(x f 满足()x f x f 1)2(-=+，且在()1,0上x x f 3)(=，则()3log 54f =（ D ）A. 32 B ．23- C. 23D. 32-9．已知函数)(x f ＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图像是( C )10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( C )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞11.设函数()031)(23>-=a x ax x f 在(0,3)内不单调,则实数a 的取值范围是( A ) A. 32>a B. 320<<a C. 310<<a D.132<<a 12.已知函数()f x 在R 上满足()()2f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()f x x '>.若()()112f a f a a +--≥，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞ C.(],0-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数)(x f y =，27)3(=f ，则)(x f 的表达式是________．3)(x x f =14．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递增区间为________．()∞+-，1 15．在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ________．甲16．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间，在四面体中，有 ______ （用文字叙述）任意三面面积之和大于第四面面积三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)计算：(1) 3244103132286723⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-(2) 3log 122ln 001.0lg +-++e答案：（1）原式＝＝2.（2）原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋12＋32＝－1. 18. (本小题满分12分) 已知函数)(331)(23R a a x x x x f ∈+++-=, (1)求函数)(x f 的单调增区间.(2)若函数)(x f 在区间[-4,4]上的最大值为26,求a 的值. 解: (1)a x x x x f +++-=331)(23，则32)(2'++-=x x x f ，令0)('>x f ，即 0322>++-x x ，解得31<<-x ，所以函数)(x f 的单调增区间为()3,1-.(2)由函数在区间[-4,4]内的列表可知:函数)(x f 在(-4,-1)和(3,4)上分别是减函数,在(-1,3)上是增函数,又因为376)4(+=-a f ,9)3(+=a f ,所以)3()4(f f >-,所以)4(-f 是)(x f 在[-4,4]上的最大值,所以26376=+a ,即32=a . 19．(本小题满分12分)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)，f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. 解：(1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即(1－a )2x＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a 1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12. 又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3)．由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，且1≠m 解得m ＞－1，且1≠m ，所以不等式的解集为()()+∞⋃-,11,1 ． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得)('x f ＝1x ，∴)1('f ＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )＝m x －x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，∴ )('x ϕ＝－x 2＋m －x －1x x ＋2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞).∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]. 22. (本小题满分12分)已知函数b ax x x f +-=ln )(（a ,b R ∈）有两个不同的零点1x ，2x ．（1）求)(x f 的最值；（2）证明：1221x x a <．解：（1）()1'f x a x=-， ()f x 有两个不同的零点， ∴()f x 在()0,+∞内必不单调，故0a >，此时()'0f x >，解得1x a<， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，∴()max 1ln 1f x f a b a ⎛⎫==--+⎪⎝⎭，无最小值．（2）由题知11220,{ 0,lnx ax b lnx ax b -+=-+=两式相减得()1122ln 0x a x x x --=，即1212lnx x a x x =-，故要证1221x x a <，即证()21212212ln x x x x x x -<，即证()212211221221ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，不妨设12x x <，令()120,1x t x =∈，则只需证21ln 2t t t<-+，设()21ln 2g t t t t =--+，则()212ln 11'2ln 1t t t g t t t t t-+=-+=，设()12ln h t t t t =-+，则()()221'0t h t t -=-<，∴()h t 在()0,1上单减，∴()()10h t h >=，∴()g t 在()0,1上单增，∴()()10g t g <=，即21ln 2t t t<-+在()0,1t ∈时恒成立，原不等式得证．。

2016-2017年甘肃省兰州一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2016-2017学年甘肃省兰州一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．（4分）曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2＝4B．x2+（y﹣2）2＝4C．（x﹣2）2+y2＝4D．（x+2）2+y2＝44．（4分）用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°5．（4分）条件p：|x+1|＞2；条件q：{x|2＜x＜3}，则¬p是¬q的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）三角形的面积，a、b、c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为（）A．V＝abcB．C．D．（s1，s2，s3，s4分别为四个面的面积，r为四面体内切球半径）7．（4分）函数f（x）＝ax3﹣x2+5（a＞0）在（0，2）上不单调，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．0＜a＜C．＜a＜1D．a＞18．（4分）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（4分）某程序框图如图所示，对应的程序运行后输出的S的值是（）A．2B．3C．4D．510．（4分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．（4分）已知x，y的取值如表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x+a，则实数a的值为．12．（4分）设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f'（1）x+1，则f（4）＝．13．（4分）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．14．（4分）观察下列等式23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，53＝21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于．三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（8分）已知复数z满足：|z|＝1+3i﹣z，求的值．16．（8分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．17．（8分）已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．18．（10分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝．19．（10分）已知函数f（x）＝+xlnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）＝的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年甘肃省兰州一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：由，得z＝i（1﹣i）＝1+i．故选：B．2．（4分）曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝sin x的导数为y′＝cos x，即有在x＝0处的切线斜率为k＝cos0＝1，由tanθ＝1（θ为倾斜角，且0≤θ＜π），可得倾斜角θ＝．故选：B．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2＝4B．x2+（y﹣2）2＝4C．（x﹣2）2+y2＝4D．（x+2）2+y2＝4【解答】解：曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，化简为x2+（y﹣2）2＝4，故选：B．4．（4分）用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．5．（4分）条件p：|x+1|＞2；条件q：{x|2＜x＜3}，则¬p是¬q的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件p：|x+1|＞2，解得x＞1或x＜﹣3．可得￢p：[﹣3，1]．条件q：{x|2＜x＜3}，￢q：（﹣∞，2]∪[3，+∞）．则¬p是¬q的充分不必要条件．故选：C．6．（4分）三角形的面积，a、b、c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为（）A．V＝abcB．C．D．（s1，s2，s3，s4分别为四个面的面积，r为四面体内切球半径）【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V＝（S1+S2+S3+S4）r，故选：D．7．（4分）函数f（x）＝ax3﹣x2+5（a＞0）在（0，2）上不单调，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．0＜a＜C．＜a＜1D．a＞1【解答】解：f′（x）＝ax2﹣2x，函数f（x）＝ax3﹣x2+5（a＞0）在（0，2）上不单调，即函数f（x）在（0，2）内有极值点，因为a＞0，且f′（0）＝0，所以有f′（2）＞0，即4a﹣4＞0，解得a＞1．故选：D．8．（4分）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据y＝f（x）的图象可得，原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为减、增、减，故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为﹣、+、﹣，结合所给的选项，故选：A．9．（4分）某程序框图如图所示，对应的程序运行后输出的S的值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前2 1第一次是﹣3 2第二次是﹣3第三次是4第四次是 2 5第五次是﹣3 6，…依此类推，S的值呈周期性变化：2，﹣3，﹣，，2，﹣3，…第2016次是 2 2017第2017次否所以最终的输出结果为：2．故选：A．10．（4分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）【解答】解：设，∵f′（x）＜f（x），∴h′（x）＜0．所以函数h（x）是R上的减函数，∵函数f（x+2）是偶函数，∴函数f（﹣x+2）＝f（x+2），∴函数关于x＝2对称，∴f（0）＝f（4）＝1，原不等式等价为h（x）＜1，∴不等式f（x）＜e x等价h（x）＜1⇔h（x）＜h（0），．∵h（x）在R上单调递减，∴x＞0．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．（4分）已知x，y的取值如表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x+a，则实数a的值为﹣1.11．【解答】解：＝，＝4．∴4＝1.46×3.5+a，解得a＝﹣1.11．故答案为：﹣1.11．12．（4分）设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f'（1）x+1，则f（4）＝5．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2+3f'（1）x+1，则f′（x）＝2x+3f'（1），令x＝1可得：f′（1）＝2+3f'（1），解可得f′（1）＝﹣1，则f（x）＝x2﹣3x+1，则f（4）＝5；故答案为：5．13．（4分）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝8．【解答】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+，曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a2﹣8a＝0，解得a＝8．故答案为：8．14．（4分）观察下列等式23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，53＝21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于10．【解答】解：由题意可得第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和，设第n行的最后一个数为a n，则有a2﹣a1＝11﹣5＝6＝2×（1+2）＝1×2+4，a3﹣a2＝19﹣11＝8＝2×（2+2）＝2×2+4，a4﹣a3＝29﹣19＝10＝2×（3+2）＝3×2+4，…a n﹣a n﹣1＝2（n﹣1+2）＝（n﹣1）×2+4，以上（n﹣1）个式子相加可得a n﹣a1＝n2+3n﹣4故a n＝n2+3n+1，即n2+3n+1＝109解得n＝9．∴m＝n+1＝9+1＝10故答案为：10．三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（8分）已知复数z满足：|z|＝1+3i﹣z，求的值．【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），而|z|＝1+3i﹣z，即，则，解得，∴z＝﹣4+3i．∴＝．16．（8分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）由从而C的直角坐标方程为即θ＝0时，ρ＝2，所以M（2，0）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）17．（8分）已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）＝ax3+bx+c，可得f′（x）＝3ax2+b，又函数在点x＝2处取得极值c﹣16∴，即，化简得解得a＝1，b＝﹣12（II）由（I）知f（x）＝x3﹣12x+c，f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）令f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣2，x2＝2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；由此可知f（x）在x1＝﹣2处取得极大值f（﹣2）＝16+c，f（x）在x2＝2处取得极小值f（2）＝c﹣16，由题设条件知16+c＝28得，c＝12此时f（﹣3）＝9+c＝21，f（3）＝﹣9+c＝3，f（2）＝﹣16+c＝﹣4因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）＝﹣418．（10分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝．【解答】解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．19．（10分）已知函数f（x）＝+xlnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）＝的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）h（x）＝＝+lnx，h′（x）＝，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）＝x3﹣x2﹣3，g′（x）＝3x（x﹣），由上表可知，g（x）在x＝2处取得最大值，即g（x）max＝g（2）＝1所以当x∈[，2]时，f（x）＝+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，记u（x）＝x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）＝1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）＝0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x＝1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）＝1，所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

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兰州一中2017-2018—2学期高二年级期末考试试题数学附:第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．。

）1。

5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A。

10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种【答案】D【解析】试题分析：如果不规定每个同学必须报名，则每人有3个选择。

报名方法有3×3×3×3×3＝243种。

如果规定每个同学必须报名。

则每人只有2个选择.报名方法有2×2×2×2×2＝32种。

考点：排列、组合．2. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（）A。

1，2，3，…,6 B. 1，2，3,…，7C。

0,1，2,…，5 D。

1，2，3，…，5【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球,也有可能取完6个红球后才取出白球。

2017年甘肃省兰州一中高二下学期期中数学试卷与解析答案(理科)

2016-2017学年甘肃省兰州一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.）1．（4分）已知复数z满足z•（i﹣1）=1+i，则z的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣12．（4分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B． C．D．3．（4分）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（）A．120个B．100个C．300个D．600个4．（4分）用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1”，验证n=1时，左边计算所得的式子为（）A．1 B．1+2 C．1+2+22D．1+2+22+235．（4分）曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是（）A．2πB．3πC． D．π6．（4分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人7．（4分）现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（）A．60种B．54种C．30种D．42种8．（4分）已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]9．（4分）已知a，b∈（0，e），且a＜b，则下列式子中正确的是（）A．alnb＜blna B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．alna＜blnb10．（4分）已知f（x）=x3﹣3x，则函数h（x）=f[f（x）]﹣1的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上．）11．（4分）定积分dx的值为．12．（4分）观察下列不等式：，＜4，，＜12，…照此规律，第n个不等式为．13．（4分）复数z满足条件|z+i|+|z﹣i|=2，则|z+i﹣1|的最大值为．14．（4分）已知函数f（x）=xe x+c，若方程f（x）=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是．三．解答题（本大题共5小题，共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（6分）已知复数z=1+i，若，求实数a，b的值．16．（8分）已知函数f（x）=lnx﹣e x+m在x=1处有极值，求m的值及f（x）的单调区间．17．（10分）已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．18．（10分）已知函数（1）若函数f（x）在点（1，f（1））的切线平行于y=2x+3，求a的值．（2）求函数f（x）的极值．19．（10分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值．2016-2017学年甘肃省兰州一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.）1．（4分）已知复数z满足z•（i﹣1）=1+i，则z的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣1【解答】解：由z•（i﹣1）=1+i，得=．则z的共轭复数=i，虚部是：1．故选：A．2．（4分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，所以函数的导数值f′（x）＜0，因此D正确，故选：D．3．（4分）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（）A．120个B．100个C．300个D．600个【解答】解：数字0，1，2，3，4，5可组成个没有重复数字的六位数，百位数字小于十位数字与十位数字小于百位数字的六位数的个数相等，故共有个，故选：B．4．（4分）用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1”，验证n=1时，左边计算所得的式子为（）A．1 B．1+2 C．1+2+22D．1+2+22+23【解答】解：左边的指数从0开始，依次加1，直到n+2，所以当n=1时，应加到23，故选：D．5．（4分）曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是（）A．2πB．3πC． D．π【解答】解：根据余弦函数的对称性，可知①与②，③与④的面积分别相等，∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积即为x轴上方矩形的面积即1×2π=2π∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是2π故选：A．6．（4分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人【解答】解：“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选：C．7．（4分）现有8名青年，其中5名能任英语翻译工作，4名能胜任电脑软件设计工作，且每人至少能胜这两项工作中的一项，现从中选5人，承担一项任务，其中3人从事英语翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（）A．60种B．54种C．30种D．42种【解答】解：设能胜任两种工作的那个人为A，记为A不选派A的方法数C43C32=12；A被选为英语翻译工作的方法数C42C32=18；A被选为电脑软件设计工作的方法数C43C31=12，故不同的选法种数为42，故选：D．8．（4分）已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]【解答】解：f′（x）=x+tsinx，设g（x）=f′（x）；∵f′（x）在R上单调递增；∴g′（x）=1+tcosx≥0恒成立；∴tcosx≥﹣1恒成立；∵cosx∈[﹣1，1]；∴；∴﹣1≤t≤1；∴实数t的取值范围为[﹣1，1]．故选：C．9．（4分）已知a，b∈（0，e），且a＜b，则下列式子中正确的是（）A．alnb＜blna B．alnb＞blna C．alna＞blnb D．alna＜blnb【解答】解：设，则，在（0，e）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（a）＜f（b），即；设g（x）=xlnx，则g'（x）=1+lnx，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴C，D均不正确，故选：B．10．（4分）已知f（x）=x3﹣3x，则函数h（x）=f[f（x）]﹣1的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），由f′（x）=0得：x=1或x=﹣1，∴极值点为x=﹣1，1；∴f（﹣1）=2为极大值，f（1）=﹣2为极小值；∴f（x）=0有3个不同的实根；由f（﹣2）=﹣2＜0，f（2）=2＞0知三个实根x1，x2，x3分别位于区间（﹣2，﹣1），（﹣1，1），（1，2）∴h（x）的零点相当于：f（x）=x1，f（x）=x2，f（x）=x3；同样由上分析，以上每个方程都有3个不同的实根，所以h（x）共有9个不同的零点．故选：D．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上．）11．（4分）定积分dx的值为e．【解答】解：dx=（x2+e x）|=（1+e）﹣（0+1）=e，故答案为：e，12．（4分）观察下列不等式：，＜4，，＜12，…照此规律，第n个不等式为．【解答】解：由归纳推理可得，第n个不等式为．故答案为．13．（4分）复数z满足条件|z+i|+|z﹣i|=2，则|z+i﹣1|的最大值为．【解答】解：∵复数z满足条件|z+i|+|z﹣i|=2，∴|z+i|+|z﹣i|=2表示两点A（0，1），B（0，﹣1），线段|AB|=2，则|z+i﹣1|是指线段上的点到点（1，﹣1）的距离，∴|z+i﹣1|=|z﹣（1﹣i）|的最大值为．故答案为：．14．（4分）已知函数f（x）=xe x+c，若方程f（x）=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是（0，）．【解答】解：f′（x）=e x+xe x=e x（1+x），∴当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（﹣1）=﹣+c，∵方程f（x）=0有两个不相等的实数根，∴f（﹣1）＜0，即﹣+c＜0，∴c＜．又x→﹣∞时，f（x）→c，x→+∞时，f（x）→+∞，∴c＞0，∴0＜e＜．故答案为（0，）．三．解答题（本大题共5小题，共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（6分）已知复数z=1+i，若，求实数a，b的值．【解答】解：∵z=1+i，∴，根据复数相等的定义，得，解得：a=﹣1，b=2．16．（8分）已知函数f（x）=lnx﹣e x+m在x=1处有极值，求m的值及f（x）的单调区间．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），，由函数f（x）=lnx﹣e x+m在x=1处有极值，可得f'（1）=1﹣e1+m=0，解得：m=﹣1，从而，显然f'（x）在（0，+∞）上是减函数，且f'（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．故f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．17．（10分）已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；当n=2时，，，所以f（2）＜g（2）；当n=3时，，，所以f（3）＜g（3）．（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：①当n=1，2，3时，不等式显然成立．②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，即即++…+＜，那么，当n=k+1时，，因为，所以．由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．18．（10分）已知函数（1）若函数f（x）在点（1，f（1））的切线平行于y=2x+3，求a的值．（2）求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）由，得，由函数f（x）在（1，f（1））处的切线平行于y=2x+3，得f'（1）=2，解得a=﹣e；（2）f′（x）=1﹣，•当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值，‚当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减；在（lna，+∞）上单调递增，f（x）在x=lna取得极小值，极小值为f（lna）=lna+2，无极大值．19．（10分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值．【解答】解：（I）令f'（x）=lnx+1=0，得．①当时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为；②当时，函数f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为f（t）=tlnt；（II）由题意得，f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一个根，即在（0，+∞）上有且只有一个根．令，则，易知g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以h min（x）=h（1）=3，由题意可知，若使y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h min（x）=3．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。