概率导数练习

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概率统计分布函数求偏导的例题

我们来看一个常见的概率统计分布函数求偏导的例题。

假设有一个连续型随机变量X，其概率密度函数（PDF）为：
f(x) = k(x^2)e^(-x), x > 0
其中，k 是归一化常数，保证了概率密度函数的积分为1。

我们的目标是求偏导数df(x)/dx。

解题步骤如下：
1. 首先确定归一化常数k。

积分f(x)在其定义域内需等于1，即：
∫[k(x^2)e^(-x)] dx = 1 ，从0 到正无穷。

2. 计算不定积分F(x) = ∫(x^2)e^(-x) dx：可以通过分步积分法或者使用积分表得到：
F(x) = -(x^2 + 2x + 2)e^(-x) + C
3. 让我们求解方程：∫[k(x^2)e^(-x)] dx = 1，从0 到正无穷。

即：
k[F(+∞) - F(0)] = 1
k[0 - (-2)] = 1 ➜k = 1/2
4. 现在我们得到了概率密度函数f(x) = (1/2)(x^2)e^(-x)，接下来求它的导数。

5. 使用乘积法则求偏导数：
df(x)/dx = (1/2)(2xe^(-x) - x^2e^(-x))
= x(e^(-x) - (1/2)x(e^(-x))
现在我们得到了概率密度函数关于x的偏导数，即：
df(x)/dx = x(e^(-x) - (1/2)x(e^(-x)。

希望这个例题对你有帮助！。

数学高二必刷题练习册

数学高二必刷题练习册【练习一：函数与方程】1. 已知函数$ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $，求$ f(x) $的顶点坐标。

2. 判断函数$ g(x) = \frac{1}{x} $在$ x > 0 $时的单调性，并证明。

3. 已知方程$ 3x^2 + 6x - 5 = 0 $，求其根。

【练习二：导数与微分】4. 求函数$ h(x) = x^3 - 4x^2 + 3x $的导数$ h'(x) $。

5. 利用导数求函数$ f(x) = x^2 + 2x + 1 $在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

6. 已知$ f(x) $在点$ x = a $处的导数为5，求$ f(x) $在点$ x = a $处的微分。

【练习三：三角函数与解三角形】7. 已知$ \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} $，求$ \sin \theta $和$ \cos \theta $的值。

8. 解三角形ABC，已知$ \angle A = 60^\circ $，$ \angle B = 45^\circ $，$ a = 5 $，求$ b $和$ c $。

【练习四：数列】9. 已知等差数列的前5项和为25，首项为2，求公差d。

10. 判断数列$ \{a_n\} $是否为等比数列，其中$ a_1 = 1 $，$ a_2 = 3 $，$ a_3 = 9 $。

11. 求等比数列的前n项和公式。

【练习五：解析几何】12. 已知椭圆$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中a >b > 0，求椭圆的焦点坐标。

13. 求直线$ y = mx + c $与椭圆$ \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 $的交点坐标。

数学例题及答案解析高考真题

数学例题及答案解析高考真题数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，也是许多学生头疼的科目之一。

每年高考数学的难度都非常高，许多学生在备考过程中都会遇到各种难题。

为了帮助大家更好地应对高考数学，下面我将给大家提供一些高考数学的例题和详细解析。

希望对大家备考有所帮助。

一、函数与导数1.已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x-2，求f(x)在点x=-2处的导数。

解析：先求函数f(x)的导函数，然后代入x=-2即可得到结果。

对函数f(x)进行求导运算，得到f'(x)=3x^2-12x+9。

将x=-2代入导函数，得到f'(-2)=3*(-2)^2-12*(-2)+9=33。

2.已知函数y=ln(1+x)，求y在点x=0处的极限。

解析：求极限的过程就是将x的值无限接近给定的数值，然后求函数的数值。

将x=0代入函数y=ln(1+x)，得到y=ln(1+0)=0。

所以，y在x=0处的极限是0。

二、平面几何1.在直角坐标系中，已知直线l1的方程为2x-y=3，直线l2过点(-2,1)并且与l1垂直，求直线l2的方程。

解析：由直线l1的方程可知，l1的斜率为2。

由于l2与l1垂直，则l2的斜率为直线l1斜率的负倒数，即斜率为-1/2。

又给定了直线l2过点(-2,1)，根据点斜式方程可以得到直线l2的方程为(y-1)=-1/2(x+2)。

2.已知抛物线y=x^2-4x+3，求其与x轴交点和顶点的坐标。

解析：与x轴交点对应的y值为0，所以需要解方程x^2-4x+3=0。

将方程进行因式分解，得到(x-1)(x-3)=0，所以x=1或者x=3。

将x值代入抛物线方程，可以得到与x轴交点的坐标分别为(1, 0)和(3, 0)。

抛物线的顶点坐标可以通过求取x的值来得到，顶点的x值为抛物线对称轴的横坐标，即x=-(b/2a)，代入方程可得x=-(4/(2*1))=-2。

将x 值代入抛物线方程，得到顶点的坐标为(-2, 7)。

高二期末复习导数解析几何概率北京丰台二中张健

导数题1.已知函数()y f x =的图象如图所示，设函数()y f x =从-1到1的平均变化率为1v ，从1到2的平均变化率为2v ，则1v 与2v 的大小关系为（A ）12v v > （B ）12v v = （C ）12v v < （D ）不确定2. 在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是．3. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）4. 已知函数2()ln f x x a x =-的图象上，且'(1)0f =.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）是否存在实数m ，当(0,1]x ∈时，函数2()()(1)g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若120x x <<，求证数212122ln ln x x x x x -<-.5. 已知函数ln ()()xf x mx m R x=-∈. （1）当m =0时，求函数f (x )零点的个数；（2）当m ≥0时，求证函数f (x )有且只有一个极值点；（3）当b >a >0时，总有()()1f b f a b a->-成立，求实数m 的取值范围.6. 已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )．( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．7. 已知22()(0)(1)ax f x a x +=>+.（Ⅰ）若1a =，求)(x f 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）确定函数)(x f 的单调区间，并指出函数()f x 是否存在最大值或最小值．8. 已知函数()e 1x f x x -=+-．（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围．导数题答案：4.解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+，由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分（Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分 ① 当a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. …………………9分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a =. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x =-+2221a x ax x-++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分②0a ≠时，令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分（i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>，所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭.因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分（ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-，所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. 5. 解：（1）当m =0时，ln ()xf x x=（x>0）. /1ln ()xf x x-=，令/()0f x =，得x e =.∴函数f ( x )在区间（0，e ）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减. 2分 ∴max 1()()0f x f e e==>. 又当取1x e =时，1()0f e e=-<.∴函数()f x 在区间(0,e)内有且只有一个零点；又当x e >时，ln ()0xf x x=>恒成立， ∴函数函数()f x 在区间(e ，+∞)内没有零点。

数学必修一新教材习题答案

数学必修一新教材习题答案数学必修一新教材习题答案数学是一门重要的学科，它不仅是一种工具，也是一种思维方式。

在学习数学的过程中，教材中的习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固知识，培养逻辑思维能力。

本文将为大家提供数学必修一新教材中的一些习题答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、函数与导数1.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f(2)的值。

解：将x=2代入函数f(x)，得到f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 16 - 12 + 4 -1 = 7。

2.已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(-1)的值。

解：将x=-1代入函数f(x)，得到f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4。

3.已知函数f(x) = 3x^2 + 2x，求f(0)的值。

解：将x=0代入函数f(x)，得到f(0) = 3(0)^2 + 2(0) = 0。

二、平面向量1.已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, -2)，求向量a + b的坐标表示。

解：向量a + b = (3+1, 4+(-2)) = (4, 2)。

2.已知向量a = (2, -3)，向量b = (5, 1)，求向量a - b的坐标表示。

解：向量a - b = (2-5, -3-1) = (-3, -4)。

3.已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a·b的值。

解：向量a·b = 1*3 + 2*4 = 3 + 8 = 11。

三、三角函数1.已知sinθ = 1/2，求θ的值。

解：根据sinθ = 1/2，可知θ = π/6或θ = 5π/6。

2.已知cosθ = -1/2，求θ的值。

解：根据cosθ = -1/2，可知θ = 2π/3或θ = 4π/3。

3.已知tanθ = √3，求θ的值。

高二数学第13章概率练习题(有答案和解释)

高二数学第13章概率练习题（有答案和解释）1．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是()A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定解析：选B.“正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件．2．下列事件在R内是必然事件的是()A．|x－1|＝0B．x2＋1＜0C.x＋1＞0D．(x＋1)2＝x2＋2x＋1解析：选D.A、C为随机事件，B为不可能事件．3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品解析：选B.至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．4．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为__________________．解析：观察事件A的特点．答案：掷出的点数为偶数一、选择题1．在10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的不可能事件是()A．3件都是正品B．至少有一件是次品C．3件都是次品D．至少有一件是正品解析：选C.10件同类产品中只有2件次品，取3件产品中都是次品是不可能的．2．从6个男生，2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是() A．3个都是男生B．至少有1个男生C．3个都是女生D．至少有1个女生解析：选B.由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1个男生参选．3．下列命题：①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；②若y＝f(x)是奇函数，则f(x)＝0是随机事件；③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；④对顶角不相等是不可能事件，其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选D.∵|x|≥0恒成立，∴①正确；∵函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时，才有f(0)＝0，∴②正确；∵当底数a与真数x－1在相同区间(0,1)或相同区间(1，＋∞)时，loga(x－1)＞0才成立，∴③是随机事件，即③错误；∵对顶角相等是必然事件，∴④正确．4．A、B是互斥事件，Ω\A、Ω\B分别是A、B的对立事件，则A、B的关系是()A．一定互斥B．一定不互斥C．不一定互斥D．与A∪B彼此互斥解析：选C.如图A、B互斥，但Ω\A、Ω\B不一定互斥．5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有1个黑球”与“都是黑球”B．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”C．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”D．“至少有1个黑球”与“都是红球”解析：选C.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，因而互斥，而当这两个事件均不发生时，“没有黑球”这一事件发生，因而这两个事件不对立．故选C.6．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③解析：选C.从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.二、填空题7．“从盛有3个排球，2个足球的筐子里任取一球，取得排球”的事件中，一次试验是指__________，试验结果是指____________________．解析：从实际意义出发进行推理．答案：取出一球得到一排球或者一足球8．下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；③同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击一次，命中靶心；⑤当x 为实数时，x2＋4x＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________(填序号)．解析：根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义可判断．答案：③⑤①②④9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.答案：③④②①三、解答题10．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或5点}，C＝{出现的点数为奇数}，D＝{出现的点数为偶数}，E＝{出现的点数为3的倍数}．试说明以上6个事件的关系，并求两两运算的结果．解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种：1点，2点，3点，4点，5点，6点．它们构成6个事件，Ai＝{出现点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A5，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6，E＝A3∪A6.则(1)事件A与B是互斥但不对立事件，事件A包含于C，事件A与D 是互斥但不对立事件，事件A与E是互斥但不对立事件；事件B包含于C，事件B与D是互斥但不对立事件，事件B与E既不互斥也不对立，C与D是对立事件，C与E、D与E既不是互斥事件，也不是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∪B＝C＝{出现点数为1,3或者5}；A∩C＝A1，A∪C＝C ＝{出现点数为1,3或者5}；A∩D＝∅，A∪D＝{出现点数为1,2,4或者6}，A∩E＝∅，A∪E＝{出现点数为1,3或者6}；B∩C＝B，B∪C＝C＝{出现点数为1,3或者5}；B∩D＝∅，B∪D＝{出现点数为2,3,4,5或者6}；B∩E ＝{出现点数为3}，B∪E＝{出现点数为3,5或者6}；C∩D＝∅，C∪D＝S{S表示必然事件}；C∩E＝{出现点数为3}，C∪E＝C＝{出现点数为1,3,5或者6}；D∩E＝A6，D∪E＝{出现点数为2,3,4或者6}．11．判断下列说法是否正确，并说明原因：(1)将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件；(2)在10件产品中有3件是次品，从中取3件．事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件．解：(1)是互斥事件．因为这两个事件在一次试验中不会同时发生．(2)不是互斥事件，因为事件A包括三种情况：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含两种情况：2件次品1件正品，3件次品．从而事件A、B可以同时发生，故不互斥．12．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解：(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．且B和E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”；事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．。

高一数学必修1练习题

高一数学必修1练习题第一章：函数与导数1. 已知函数$y=2x^2+3x+1$，求以下各题：（1）当$x=2$时，求函数$y$的值。

（2）求函数$y$的导数，并求当$x=1$时的导数值。

（3）求函数$y$的图像的对称轴。

2. 设函数$y=3x^3+4x^2-2x+5$，求以下各题：（1）求函数$y$的极值点，并判断其为极大值点还是极小值点。

（2）求函数$y$的增减区间。

（3）求函数$y$的图像所在的象限。

第二章：三角函数与三角恒等变换1. 已知$\sin A=\frac{3}{5}$，求以下各题：（1）求$\cos A$和$\tan A$的值。

（2）求$\sin (A+30^\circ)$的值。

2. 若$\cos\theta=-\frac{1}{2}$，求以下各题：（1）求$\sin\theta$的值。

（2）求$\sin (2\theta)$的值。

第三章：平面向量1. 设$\vec{a}=\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2\end{pmatrix}$，求以下各题：（1）求$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$的值。

（2）求$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值。

（3）求$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。

2. 已知平面向量$\vec{m}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3\end{pmatrix}$，$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1\end{pmatrix}$，求以下各题：（1）求$\vec{m}\times\vec{n}$的值。

（2）判断$\vec{m}$和$\vec{n}$是否相互垂直。

第四章：不等式与绝对值1. 求不等式$2x+3>5$的解集。

2. 解方程$|x-2|=3$。

八种题型导数三角函数向量数列立体与解析几何计数原理与统概率高考数学考前迅速提分复习方案

高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题2.5转化与化归思想中的八种题型（导数、三角函数、向量、数列、立体与解析几何、计数原理与统概率）题型一：导数及其应用一、单选题1．（2020·甘肃白银·模拟预测（文））函数()tan xf x x x e =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2020·辽宁·模拟预测（文））已知直线y a =分别与函数2x y e +=和1y x =-A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是（）A ．7ln 22- B ．5ln 22- C ．7ln 22+ D ．5ln 22+ 3．（2020·四川绵阳·模拟预测（文））方程32291210x x x -++=的实根个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·模拟预测（文））给定下列4个独立编号的命题： ①设x ，y ∈R ，且210x y +=，则二元函数22x y ω=+的最小值为20②已知0a >，函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上是增函数，则a 的最大值为3③在ABC 中，D 为BC 中点，1AD =，P 在线段AD 上，则()PA PB PC ⋅+的最小值为1- ④若02πα<<，02πβ-<<，则1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26βα⎛⎫= ⎪⎝⎭+请你根据逻辑推理相关知识，那么上述所有命题中不成立的编号是（） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．（2020·贵州·遵义市南白中学模拟预测（文））已知函数()1ln b af x x x=--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（） A ．21e + B ．221e e e +++C ．1e +D ．22e +6．（2020·辽宁·模拟预测（理））若不等式2ln mx x mxe ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．e ⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题7．（2022·全国·模拟预测）若函数()f x 的图象上存在两个不同的点A 、B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，称函数()f x 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（） A ．x y e x =-B ．42y x x =-C ．3y x =D ．sin y x x =+三、填空题8．（2020·安徽合肥·三模（理））若函数f （x ）＝ex ﹣lnx ﹣mx 在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m 的取值范围为_____．9．（2020·江苏南京·三模）若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax b x +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为_______．四、解答题10．（2020·江苏·模拟预测）已知函数21()ln (1)2f x a x x =+-，a R ∈.（1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，都有()0f x ，求实数a 的取值范围；（3）设211()l n 22a g x x x x =+++，若0[1,]x e ∃∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围.11．（2020·浙江·模拟预测）设a ，b ∈R ，函数()2ln f x a x x bx b =+++．（1）若2a b +=-，求()y f x =的单调区间；（2）若()y f x =的极大值恒小于0，求a b +的最大值．12．（2020·四川眉山·模拟预测（理））已知函数1ln ()xf x x+=（1）若函数()f x 区间1,(0)3a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）当1≥x 时，不等式()1kf x x ≥+，恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：2221[(1)!](1)n n n n e-+++>+（*n N ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828e =……）．13．（2020·江西·模拟预测（理））已知函数()ln x mf x e x x -=-，()f x 的导函数为()'f x .（1）当1m =时，证明：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若()()'1g x f x m =-+，讨论函数()g x 零点的个数.题型二：三角函数与解三角形一、单选题1．（2022·河南新乡·二模（文））已知α，β是锐角，()1ln tan tan tan tan αβαβ>-，则（） A ．sin sin αβ> B ．cos cos αβ> C ．cos sin αβ>D ．sin cos βα>2．（2021·全国·模拟预测）若1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．14-B 15C ．78D ．24-3．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．1cos()3βα-=- B ．1cos()3βα-=C ．3πβα-=-D ．3πβα-=4．（2020·江西·模拟预测（理））函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的导函数为()f x '，集合()()()000,0,M x f x f x ='⎧=⎨⎩0ππ,42x ⎫⎛⎫∈⎬ ⎪⎝⎭⎭，中有且仅有１个元素，则ω的取值范围是（） A ．31115,7,222ω⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．371115,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦D ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦5．（2020·全国·模拟预测（理））函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（） A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．83m ≤D ．4m ≤二、填空题6．（2022·重庆市求精中学校一模）在ABC 中，D 为边BC 上一点，2CD =，π6BAD ∠=，若2355=+AD AB AC ，且π6B =，则AC =________．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ∶BC ＝3∶2，则BD ∶AD 的值为______．8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()212,032()3,3x x x f x f x x ⎧-+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩，若方程()f x a =在[]3,4上有两个不相等的实数根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是___________.9．（2019·湖北·黄冈中学一模（理））已知锐角ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为a ，b ，c ，且满足226a bc +=，则ABC ∆面积的最大值为______.三、解答题10．（2021·全国·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，3AC =，点D ，E 在边AB 上，且AD DE EB ==.（1）求CD 的长；（2）求sin DCE ∠的值.11．（2019·江苏·一模）如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且42OH km =，已知, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD都是学校道路，其中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .（1）求S 关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低？四、双空题12．（2021·全国·模拟预测）已知函数()sin 34f x A x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0A >，2πϕ<）满足()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意的R x ∈，23f x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，且存在0x ，使得023f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()f x =______；若,6x t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域是2A ⎡-⎣，则实数t 的取值范围是______．13．（2020·浙江省富阳中学三模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c =，6cos b aC a b+=，则22a b +=____________，ABC 的面积的取值范围是___________.题型三：平面向量一、单选题1．（2020·浙江·二模）空间向量1OB ，2OB ，3OB 两两垂直，123||||||1AB AB AB ===，123OP OB OB OB =++，1||2AP ≤，则||OA ∈（） A ．22[6 B ．17[6C ．22[36] D ．21[352．（2019·福建漳州·模拟预测（文））已知ABC 中，2,,3AB A BC π==边上的中线3AD =AC =（）A ．2B ．4C ．6D ．83．（2020·陕西榆林·三模（理））已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（）A ．712B ．512C ．16D ．344．（2020·江西宜春·模拟预测（理））如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD CD ==，E 是BC 边上一点且3BC EC =，F 是AE 的中点，则下列关系式不正确的是（）A ．12BC AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1233BF AB AD =-+D ．1263CF AB AD =--5．（2021·山西大附中模拟预测（理））在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（） A 723+B 732+C 726+D 743+6．（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知C ，D 是半径为1的圆O 上的动点，线段AB 是圆O 的直径，则AC BD ⋅的取值范围是（）A ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,0-C ．14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]4,0-二、双空题7．（2021·广东茂名·二模）已知区域D 表示不在直线()212223m x my m -+=+(m ∈R )上的点构成的集合，则区域D 的面积为___________，若在区域D 内任取一点(),P x y ，则22x y +的取值范围为___________.三、填空题8．（2020·江苏南通·三模）已知ABC 中，2CA CB AB ⋅==，且3BAC π∠=，则AB AC ⋅的值为_______.9．（2019·浙江金华·一模）已知平面向量a ，b ，c 满足74a b ⋅=，||3a b -=，()()2a c b c --=-，则c 的取值范围是___________．10．（2020·浙江嘉兴·三模）已知平面向量a 、b 、c 满足21b a ==、2c =，()()440c a c b -⋅-=，则2a b -的取值范围是______.11．（2019·浙江绍兴·二模）如图，已知等腰直角三角形ABC 中，90︒∠=C ，2AC =，两顶点,A C 分别在,x y 正半轴（含原点O ）上运动，,P Q 分别是,AC AB 的中点，则||OP OQOQ ⋅的取值范围是______．题型四：数列一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．92．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且100S =，36218S S =+，则1a =（） A ．1 B ．9- C ．10 D ．10-3．（2021·全国·模拟预测）我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为1221c 的频率正好是中音c 的2倍.已知#d 的频率为1f ，1a 的频率为2f ，则21:f f =（）A ．7122B ．7122-C 2D 2二、双空题4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，记m b 为{}n a 在区间)()*,2mm m ⎡∈⎣N 内项的个数，则6b=___________，不等式12022m m b b +->成立的m 的最小值为___________.三、解答题5．（2022·山东泰安·一模）已知各项均为正数的等差数列{}n a ，25a =，12a ，3a ，52a +成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()311n bn a -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，n *∈N ，求证：131log n n a T a +<.6．（2021·全国·模拟预测）已知数列{}2nn a -是公差为2的等差数列，数列{}21n a n -+是公比为2的等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()()111232n n n b n a ++=+-，且n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：16n T <．7．（2020·北京·模拟预测）在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Ω扩展”．已知数列0A ：1，2，3，该数列经过n 次“Ω扩展”后得到数列n A ：1，1x ，2x ，…，m x ，3，数列n A 的所有项之和为n S ．（1）写出数列1A ，2A ；（2）求1S ，2S 的值；（3）求数列n S 的前n 项和公式．8．（2021·天津和平·三模）已知{}n a 是各项都为整数的等比数列，{}n b 是等差数列，111a b ==，23522a a =+，22a b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设1n k k a =∏表示数列{}n a 的前n 项乘积，即1231nk n k a a a a a ==⋅⋅⋅∏，*n ∈N .（ⅰ）求1nk k a =∏；（ⅱ）若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且1nn k k c b n ==∏，求证：111n n cS n +-=+.9．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和n S 满足82343n n n nS a S a =--．(1)求实数λ的值，使得{}2n S λ+是等比数列；(2)设13n n n n b S S +=，求数列{}2n b 的前n 项和．.10．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．11．（2020·浙江金华·模拟预测）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n A ，n B ，11a =，且12,n n n A a a +=1n n b B +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令1122n n n T a b a b a b =+++，若对任意的*n N ∈.不等式()223n n n n nT b A n b λλ+<+恒成立，试求实数λ的取值范围.12．（2022·江苏苏州·模拟预测）知数列{}n a 满足：13a =，21224n n n a a a +=-+.（1）求证：1n n a a +>；（2）求证：()*12321111113nnn N a a a a ⎛⎫-≤++++<∈ ⎪⎝⎭13．（2021·北京八十中模拟预测）对于无穷数列{}n a 、{}n b ，*n N ∈，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-，*k N ∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”，其中{}12max ,,,k a a a 、{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大项和最小项．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”．（Ⅰ）写出数列31n a n =-的“收缩数列”；（Ⅱ）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（Ⅲ）若()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的数列{}n a ．题型五:空间向量与立体几何一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =22AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π2．（2021·四川·成都七中一模（文））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（）A ．2B 3C ．13D ．433．（2020·浙江金华·模拟预测）已知四面体ABCD 中，棱AD ，BC 所在直线所成角为60︒，且1AD =， 2BC =，60ACD ∠=︒，面BAD 和面ACD 所成的锐二面角为α，面BAC 和面ACD 所成的锐二面角为β，当四面体ABCD 的体积取得最大值时（）. A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定4．（2020·浙江浙江·一模）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AP ⊥平面PCD ，PA PD =，点E 为线段PD 的动点．记BE 与AP 所成角的最小值为α，当E 为线段PD中点时，二面角P BC E --的大小为β，二面角E BC D --的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．αβγ>=D ．γαβ>>二、填空题5．（2022·重庆·二模）无穷符号∞在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距1225O O =，则该标志的体积为___________.附：一个半径为R 的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为H ），球缺的体积公式为2π3H V H R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.6．（2021·四川攀枝花·二模（文））三棱柱111ABC A B C -中，侧面与底面垂直，底面是边长为2的正三角形，AC 的中点为D ，若直线1AB 与1C D 所成的角为30，则棱柱的高为__________.7．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测（文））在已知长方体1111ABCD A B C D -中，11CC BC ==，6AB =E 为棱11D C 上一点且11EC =，点P 为线段1B C 上的动点，则1A P PE +的最小值为________.8．（2020·湖北武汉·模拟预测（理））已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为326PA =，E 为侧棱PB 上一点且12PE EB =，在PAC △内（包括边界）任意取一点F ，则BF EF +的取值范围为__________.三、解答题9．（2022·四川泸州·二模（文））已知空间几何体ABCDE 中，ABC ，ECD 是全等的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD .(1)若222BD BC ==BC ED ⊥；(2)探索A ，B ，D ，E 四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.题型六：解析几何一、单选题1．（2022·河南洛阳·一模（文））已知双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上且120AF AF ⋅=，若12AF F △的内切圆的半径为（）A 32B 32C 31D 312．（2021·四川成都·一模（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（）A 5B 3C ．2D ．33．（2020·陕西西安·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为(4,0)F ，P 为双曲线左支上的动点，设点(0,3)Q -且PQF △的周长最小值为16，则双曲线的渐近线方程为（） A ．7y = B ．7y x = C ．7y x = D ．7y = 4．（2021·宁夏大学附属中学一模（文））已知抛物线C :()220x py p =>的焦点为F ，P为抛物线C 上的一点，过PF 的中点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，且30FPN ∠=︒，2FN =，则p 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·河南·一模（文））已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12,F F 为双曲线E 的左､右焦点，12F PF △的面积为20，则下列说法正确的是（） ①点P 的横坐标为203②12F PF △的周长为803③12F PF △的内切圆半径为1 ④12F PF △的内切圆圆心横坐标为4 A ．②③④B ．①②④C ．①②③D ．①②二、多选题6．（2022·重庆实验外国语学校一模）已知抛物线1C ：28y x =的焦点F 与双曲线2C ：2212x y t-=的右焦点重合，且1C 与2C 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（） A ．双曲线的离心率2e =B 2 C ．632AF =+D ．在抛物线上存在点P 使得PAB △为直角三角形三、双空题7．（2021·贵州·模拟预测（理））Cassini 卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点1S ，2S 的距离的乘积等于常数2b .b 是正常数，设1S ，2S 的距离为2a ，如果a b <，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a b =，就得到一个双纽线；如果a b >，就得到两个卵形线.若()11,0S -，()21,0S .动点P 满足121PS PS ⋅=.则动点P 的轨迹C 的方程为___________；若'A 和A 是轨迹C 与x 轴交点中距离最远的两点，则'APA △面积的最大值为___________.四、填空题8．（2021·黑龙江·大庆教师发展学院二模（文））已知抛物线22(0)y px p =>，圆22()12px y -+=与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若4AB CD =，则k 的值为___________.9．（2021·江西·三模（理））已知圆C 的方程为()2211x y -+=，P 是椭圆22143x y +=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则PA PB ⋅的最小值是___________10．（2021·河南开封·三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线21y x x=+(0)x >上的一个动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值是____________.11．（2020·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知1F ，2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左右焦点，点A 为双曲线C 上一点，12F AF ∠的平分线AM 交x 轴于点()2,0M ，则AM =___________．五、解答题12．（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左、右顶点分别为M 、N ，点G 是椭圆上异于左、右顶点的动点，直线GM 、GN 的斜率分别为GM k 和GN k ，且1·2GM GN k k =-．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线1:(2)y k x =与椭圆相交于A ，B 两点，点(,0)P m ，若x 轴是APB ∠的角平分线，求P 点坐标．13．（2020·山西·三模（理））已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线1:22l y x =-，过点()1,2P 作直线与C 交于A ，B 两点，当//AB l 时，P 为AB 中点.（1）求C 的方程；（2）作AA l '⊥，BB l '⊥，垂足分别为A '，B '两点，若BA '与AB '交于Q ，求证：////PQ AA BB ''.14．（2020·福建·模拟预测（理））已知定点()0,1F ，P 为x 轴上方的动点，线段PF 的中点为M ，点,P M 在x 轴上的射影分别为,A B ，PB 是APF ∠的平分线，动点P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）设E 上点Q 满足PQ PB ⊥，Q 在x 轴上的射影为C ，求AC 的最小值.15．（2020·新疆·三模（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为()2,0F ，P 为椭圆上异于左右顶点A ，B 的一点，且PAB △面积的最大值为35. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AP 与直线x a =交于点Q ，线段BQ 的中点为M ，证明直线FM 平分PFB ∠.16．（2020·陕西·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点E 2，1），其左、右顶点分别为A 、B ，且离心率2e = 求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设M （x 0，y 0）为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，直线l ：x 0x +2y 0y ﹣4＝0．证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．17．（2022·甘肃·二模（文））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭国经过点31,M ⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆E 的方程； (2)不经过点M 的直线()30y m m +≠与椭圆E 相交于A ，B 两点，A 关于原点的对称点R ，直线MR ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，求证：MP MO =.18．（2021·河南·正阳县高级中学模拟预测（理））已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为322．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．19．（2021·广东·普宁市普师高级中学模拟预测）已知双曲线22221x y a b -=（其中0a >，0b >），点(),0A a ，()0,B b -23AB 3（1）求双曲线的方程；（2）已知直线()50y kx k =+≠交双曲线于C 、D 两点，且C 、D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.20．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>3圆1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．21．（2020·浙江·模拟预测）如图，点()1,2A .B 是抛物线24y x =上一点，且在A 点的右上方.在x 轴上取一点C ，使得245ACO BAC ∠=∠+︒.射线AC 交抛物线于D 点，抛物线在两点B ，D 处切线交于点P .（1）若AB AC ⊥，求B 点的坐标；（2）记PAD △面积为1S ，PAB △面积为2S ，求12S S -的最大值.22．（2020·浙江·衢州二中模拟预测）已知抛物线2:4y x Γ=，焦点为F ，过Γ外一点Q （不在x 轴上），作Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，直线QA ，QB 分别交y 轴于C ，D 两点，记QAB 的外心为M ，FCD 的外心为T ．（1）若5AF =，求线段CF 的长度；（2）当点Q 在曲线()221042y x x +=<上运动时，求TF TM ⋅的最大值．题型七：计数原理一、单选题1．（2020·黑龙江·哈尔滨市第六中学校三模（理））在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为 A ．10B ．25C ．35D ．662．（2018·浙江·杭州高级中学模拟预测）若52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =（）．A ．32-B ．32C ．80-D ．80二、双空题3．（2020·浙江·镇海中学模拟预测）281(1)()x x x x-++的展开式的各项系数和为__________;常数项为__________．4．（2020·浙江·衢州二中模拟预测）已知()72801281241tx x a a x a x a x x x ⎛⎫+-=+++++ ⎪⎝⎭，则t =__________；812028222a a a a ++++=__________．三、填空题5．（2019·云南曲靖·二模（理））若二项式(1)n ax +的展开式中，3x 的二项式系数为10，该项系数为－80，则4x 的系数为______.6．（2019·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））在6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___________________四、解答题7．（2020·江苏江苏·模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式. （1）根据恒等式()()()()*111,m nmnx x x m n ++=++∈N 两边p x 的系数相同直接写出一个恒等式，其中,,p p m p n ∈≤≤N ；（2）设*,,,,m n p p m p n ∈∈≤≤N N ，利用上述恒等式证明：()1112C CC C 1C C pp i p i p pnm n n m m n m i i --+-+=--=-∑.题型八：统计与概率一、填空题1．（2019·海南·三模（理））公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合{}1,6,24,28,36中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______.二、解答题2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x12 3 4 5 6 7 8 运营里程(y 万公里) 1.3 1.61.92.22.52.93.53.9根据以上数据，回答下面问题.（1）甲同学用曲线y =bx +a 来拟合，并算得相关系数r 1=0.97，乙同学用曲线y =cedx 来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r 2=0.99，试问哪一个更适合作为y 关于x 的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01).参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：121()()ˆˆ,()niii nii x x y y ba y bxx x ==--==--∑∑；参考数据：882112.48,()()15.50,()42.00,i i i i i y x x y y x x ===--=-=∑∑令()()()8820.1411ln ,0.84, 6.50, 1.01, 1.15.i i i i i w y w x x w w w w e ====--=-==∑∑3．（2020·河北正中实验中学模拟预测（理））某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：x 1 23 4 5 67y 6 11 21 34 66 101 196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次 10 60 30已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入. 参考数据：yv71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.14 1.54 2535 50.12 3.47其中11lg ,7ni i i i v y v v ===∑.参考公式：对于一组数据()()()122,,,,,,i n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i u u v v u v nu vv u u u unu βαβ====---⋅===---∑∑∑∑.4．（2019·内蒙古包头·二模（理））一只红玲虫的产卵数y 和温度t 有关.现收集了7组观测数据如下表: 温度/t C ︒21 23 25 27 29 3235产卵数y /个 7 11 21 24 66 115 325 为了预报一只红玲虫在40︒时的产卵数，根据表中的数据建立了y 与t 的两个回归模型.模型①:先建立y 与t 的指数回归方程(1)0.272 3.849t y e -=，然后通过对数变换ln u y =，把指数关系变为u 与t 的线性回归方程:(1)0.272 3.849u t =-；模型②:先建立y 与t 的二次回归方程(2)20.367202.543y t =-，然后通过变换2x t =，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程:(2)0.367202.543yx =-.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40︒时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和11550.538Q =，模型①的相关指数210.98R =；模型②的残差平方和215448.431Q =，模型②的相关指数220.8R =；7.0311131e =，71096e =，82981e =；ln7 1.946=，ln11 2.398=，ln 21 3.045=，ln 24 3.178=，ln66 4.190=，ln115 4.745=，ln325 5.784=）。

高中数学比较好的练习题及讲解

高中数学比较好的练习题及讲解### 高中数学练习题及讲解#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$，求：1. 函数的极值点。

2. 函数的单调区间。

解答：1. 求导数 $f'(x) = 6x^2 - 6x + 1$。

- 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ 和 $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$。

- 判断极值点：$f''(x) = 12x - 6$，对于 $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$，$f''(x) > 0$，为极小值点；对于 $x =\frac{1 - \sqrt{13}}{6}$，$f''(x) < 0$，为极大值点。

2. 单调区间：- 当 $x < \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ 或 $x > \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。

- 当 $\frac{1 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{1 +\sqrt{13}}{6}$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。

#### 练习题二：几何概率题目：在圆 $x^2 + y^2 = 1$ 内随机取一点 $P(x, y)$，求点$P$ 落在圆 $x^2 + y^2 = r^2$（$r < 1$）内的概率。

解答：- 圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的面积为 $\pi$。

- 圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的面积为 $\pi r^2$。

- 点 $P$ 落在小圆内的概率为小圆面积与大圆面积的比值，即$\frac{\pi r^2}{\pi} = r^2$。

概率统计练习册习题解答(定)

习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）（A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。

解：{},18543，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。

（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。

解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。

（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。

现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。

3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件：（1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C（3） A 发生，B 与C （4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃（5）A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则)(A P )(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB()P AB0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ）(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。

数学高二练习题答案

数学高二练习题答案1. 解析几何题答案题目：已知直线l1经过点A(-1,2,3)，与直线l2的方向向量为m(2,-1,1)，求直线l2的方程。

解析：直线l2的方程可以表示为：x = -1 + 2ty = 2 - tz = 3 + t2. 三角函数题答案题目：已知tan(x) = 2，求cos(x)的值。

解析：利用tan(x) = 2可以求得sin(x) = 2/√5，再利用勾股定理可得cos(x) = -1/√5。

3. 导数题答案题目：已知函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2，求f'(x)。

解析：通过对f(x)进行求导可得f'(x) = 3x^2 - 8x + 3。

4. 矩阵题答案题目：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的逆矩阵A^-1。

解析：通过计算可得矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]。

5. 高等数学题答案题目：已知函数f(x)在区间[0, 2]上连续，且f(0) = 1，f(2) = 3，求函数f(x)在区间[0, 2]上的平均值。

解析：函数f(x)在区间[0, 2]上的平均值可以表示为：Avg(f) = (1/2 - 0)/(2 - 0) * f(0) + (2 - 1/2)/(2 - 0) * f(2) = 3/2。

6. 概率论题答案题目：已知事件A的概率为1/3，事件B的概率为1/4，求事件A与事件B同时发生的概率。

解析：事件A与事件B同时发生的概率可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B) = (1/3) * (1/4) = 1/12。

7. 函数图像题答案题目：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，画出函数f(x)的图像。

解析：函数f(x)的图像为一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(-1, 0)。

8. 数列题答案题目：已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，求数列{an}的前10项和S10。

考研数学基础练习题下册

考研数学基础练习题下册一、高等数学1. 求极限(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1 cosx)/x^2(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x2. 求导数(1) y = x^3 3x^2 + 2x(2) y = ln(x^2 + 1)(3) y = e^x sinx3. 求积分(1) ∫(x^2 + 2x + 1)dx(2) ∫(1/(x^2 + 1))dx(3) ∫(e^x cosx)dx二、线性代数1. 解线性方程组(1) x + 2y z = 32x y + 3z = 7x + y + 4z = 6(2) x + y + z = 62x y + 3z = 83x + 2y z = 112. 求矩阵的行列式(1) |1 2 3||4 5 6||7 8 9|(2) |2 3 4||5 6 7||8 9 10|3. 求矩阵的逆(1) |1 2||3 4|(2) |2 3||1 4|三、概率论与数理统计1. 求概率(1) 抛掷一枚硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。

(2) 从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，求抽到至少一张红桃的概率。

2. 求期望(1) 设随机变量X服从二项分布B(10, 0.4)，求E(X)。

(2) 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ = 50，σ = 10，求E(X)。

3. 求方差(1) 设随机变量X服从泊松分布P(λ)，其中λ = 5，求D(X)。

(2) 设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其中a = 1，b = 5，求D(X)。

四、复变函数1. 计算复数的运算(1) 若z1 = 2 + 3i，z2 = 4 i，求z1 + z2, z1 z2。

(2) 求(1 + i)^2 和 (1 i)^2。

2. 求复变函数的导数(1) 设f(z) = z^3 3z + 2，求f'(z)。

(2) 设f(z) = e^z cosz，求f'(z)。

专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0，由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；

导数的概念及运算、定积分微专题

对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
1．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线
y
x
x 2
在点 3,3
处的切线与直线 ax
y
1
0 平行，
则 a 等于（）
1 A．
2
B． 2
C． 1 2
D． 2
2．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线 f x aex b 和曲线 g x cos x c 在它们的公
3
D．1
16．（2021·全国高考真题）若过点 a, b 可以作曲线 y ex 的两条切线，则（）
A． eb a
B． ea b
C． 0 a eb
D． 0 b ea
17．（2020·全国高考真题（理））若直线 l 与曲线 y=
x
和
x2+y2=
1 5
都相切，则
l
的方程为（
）
A．y=2x+1
程，将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，求出 AB 以及点 P 到直线 AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得 △PAB 面积的最大值.
【详解】
（1）抛物线
C
的焦点为
F
0,
p 2
，
FM
p 4， 2
所以， F 与圆 M : x2 ( y 4)2 1上点的距离的最小值为 p 4 1 4 ，解得 p 2 ； 2
x+3y-1=0 垂直.执行如图所示的程序框图，若输出的 n 的值为 20，则判断框中 t 的值可以为（）
19
A．
39
20
B．
41
21
C．
43

“导数、排列组合、概率统计”检测题

责编周瑜芽／ｚｙｙ＠１３ｏｇｓｚｙ６￣ｍＩｚ
能力硼练Ｊ
Ａ）０）＜，记为该毕业生得到面试的公司个数。若Ｐ＝）西（（）－（Ｏ１，，
所以／ＡＣ为钝角，Ｂ判断① 正确， ②错；
则随机变量的数学期望Ｅ（＝Ｘ）
５。【析】如图，由．Ｃ解
因为／（）＝ｅ＋１＞，０
Ｙ √ ，＝２角得＝或＝。＝Ｙ一，翠４１
经检验＝１为增根，以＝，所４所
所以，）（一∞ ，。上是增函数，（在＋。）
所以，（１＜，（）＜，（３，，（Ｘ）：Ｘ）且）＜
３０２高中生之友・１１２上半月刊３１
ｌ璧
一
戈１町，）＜ｏ，凡 ≠ ｈ【响１Ｊ＝０，
７１ｍ解析】．８ａ。【５根据题中所提供的信息，可知父亲
与儿子的对应数据可列表如下：父亲的身高（）１３７１０７１６７１２８
从当＞且≠时一＋），而０１）（ ÷＞，ｏ
３× ６
—
所以ｂ了 — ＿＿＝
∑（一（Ｙ）Ｙ一）刍一三（ｉ）
即，）（＞
一
＋上
１
。
３＋３、。
ａ：Ｙ —ｂｘ＝１ —１３＝３．７６７
故当 ∈（，），（），ｌ一＾ｏ０１时＾＞ｏ可得（）＞；当 ∈（，。时，）０可得１＋ａ）（＜，

概率统计例题

例1 设随机变量X 具有以下是的分布律，试求Y=(X-1)2的分布律。

解 Y 所有可能的取值为0，1，4。

由P{Y=O}= P{(X-1)2=0}= P{X=1}=0.1 P{Y=1}= P{X=0}+ P{X=2}=0.7 P{Y=4}= P{X=-1}=0.2, 例2 设随机变量X 具有概率密度x/8 ，0＜x ＜4f X （x ）=0 , 其他求随机变量Y=2X+8的概率密度。

解分别记X,Y 的分布函数为F X （x ），F Y （y ）。

下面先求F Y （x ）。

F Y （y ）=P{Y ≤y}=P{2X+8≤y}=P{X ≤(y-8)/2}= F X {(y-8)/2}。

将F Y （x ）关于y 求导数，得Y=2X+8的概率密度为f Y （y ）= f X （x/2-4）/21/8×(y-8)/2×1/2, 0＜(y-8)/2＜4=0 ,其他（y-8）/32, 8＜y ＜16=0 ,其他例3 设随机变量X 具有概率密度f X （x ），求Y=X 2的概率密度。

解分别记X ，Y 的分布函数为F X （x ），F Y （y ）。

先求Y 的分布函数F Y （y ）。

由于Y=X 2≥0，故当y ≤0时F Y （y ）=0。

当y ＞0时有F Y （y ）=P{Y ≤y} =P{X 2≤y}=P{-√y ≤X ≤√y} =F X （√y ）-F X （-√y ）将F Y （y ）关于y 求导数，即得Y 的概率密度为1/(2√y)[ f X （√y ）+f X （-√y ）],y ＞0f Y （y ）=0 ,y ≤0 例如，设X ～N(0，1)，其概率密度为φ=√2π−x 2/2,−∞<x <+∞由上得Y=X 2的概率密度为√2π−1/2e−y/2,y>0fY（y）=0 ,y≤0例4 设随机变量X～N(μ，σ2)。

试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。

高中必刷题数学练习册答案

高中必刷题数学练习册答案高中数学是许多学生在学习过程中需要重点攻克的科目之一。

为了帮助学生更好地掌握数学知识，提高解题能力，这里提供一套高中必刷题数学练习册的答案，供同学们参考。

练习一：函数的基本概念1. 判断下列函数是否为奇函数或偶函数：- 函数$ f(x) = x^2 $ 是偶函数。

- 函数$ g(x) = x^3 $ 是奇函数。

2. 求下列函数的反函数：- 函数$ h(x) = 2x + 3 $ 的反函数是 $ h^{-1}(x) =\frac{x - 3}{2} $。

练习二：导数与微分1. 求下列函数的导数：- 函数$ f(x) = x^4 - 3x^2 + 2 $ 的导数是 $ f'(x) = 4x^3 - 6x $。

2. 利用导数求函数的极值：- 对于函数$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $，求导得 $ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $。

令 $ f'(x) = 0 $ 可得 $ x = 1 $ 或$ x = 3 $。

进一步分析可得 $ x = 3 $ 处为极小值点。

练习三：积分的应用1. 计算定积分：- 计算定积分 $ \int_{0}^{1} 2x \, dx $ 的结果是 1。

2. 利用积分求面积：- 曲线 $ y = x^2 $ 与 $ x $ 轴在 $ x = 0 $ 到 $ x = 2 $ 之间围成的面积是 $ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{4}{3} $。

练习四：解析几何1. 求椭圆的标准方程：- 已知椭圆的长轴为 6，短轴为 4，中心在原点，其标准方程为$ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 $。

2. 求直线与圆的位置关系：- 已知直线 $ y = x + 1 $ 与圆 $ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 $ 相切，求直线与圆的切点。