dsp技术(信号与系统)

信号与系统
连续时间的信号与系统
1.1 概论

任何信号分析与处理问题都可以看做是信号通过系 统的问题。
f(t) h(t) y(t)

已知f(t)与h(t)，求y(t)，是信号处理 已知f(t)与y(t)，求h(t)，是系统设计 已知y(t)与h(t)，求f(t)，是信号的反演（例如电 子侦察）

1.4 线性时不变系统

信号f(t)通过系统后输出为y(t),记为： f(t) →y(t)
f(t) y(t)
如果满足 af(t) →ay(t)，且f1(t)+f2(t) →y1(t)+y2(t) 即af1(t)+bf2(t) →ay1(t)+by2(t) 即称系统是线性的。
1.4 线性时不变系统

如果满足
f(t-t0) →y(t-t0) 则称系统是时不变的 之所以要讨论线性时不变系统，是因为将f(t) 表示为单位冲激函数的移位加权和后，我们 可以只讨论单位冲激函数通过系统的响应， 然后在系统输出端将系统对各移位加权后的 冲激函数的响应相加，得到总的响应，只有 线性时不变系统才可以这样做。


非周期信号的频谱分析-傅里叶变换
F F n F (j ) lim n T f d f 0

F F (j ) d f n
F(jω)df代表df所在位置的复振幅，是一个无穷小量， 将周期函数的傅里叶级数改写成：
当T→∞时，ω0→dω，n ω0→ω，得到：
F t n jn 0 0 f( t) e 2 n f 0
2.2 非周期信号的频谱分析-傅里叶变换

将周期信号的周期拓宽为无穷大时，就变为非周期 信号。
1 T/2 j n t 0 F f () t e d t n T /2 T

/T 0 2
T→∞时，Fn与ω0都趋于0，即谱线的间距与幅度 都趋于0，这时，再用谱线的幅度来描述就不合理 了，因为离散的谱线已不再存在，从而引入了频谱 密度的概念。
1.2 连续时间信号
任何信号都是一个时间历程，信号随着时间 的变化而变化，记为f(t)，即它是一个时间 的函数。 在现实的物理世界中，任何信号都是有起点 的，如果将其起点设为时间零点，即 f(t)=0，t<0 即该信号为因信号，或因果信号

最常用的信号

单位阶跃信号u(t)
0 t 0 U(t) 1 t 0


δ(t)是一个偶函数 δ(t)= δ(-t) 我们是从门函数出发来得到δ(t)函数的，门 函数本身就是偶函数 从δ(t)函数的定义出发，在数学上不难证明
1.3 用δ(t)函数来表示信号

任意信号都可以表示为δ(t)的移位加权和

用矩形近似法来表示f(t)。t=k△τ附近的矩形宽度 为△τ，高度为f(k△τ) ，面积为f(k △τ )△τ,如果用 一个冲激函数来表示的话，即f(k △τ) △τ δ(t-k △τ )
用δ(t)函数来表示信号

因此，函数f(t)可以近似为：
f() t f( k ) ( t k )
k


随着△τ的减小，逼近程度越来越高，当△τ→dτ时， k △τ→τ，上式就成为精确地表达式。
f () t f( ) ( t ) d
k
1.1 概论



信号是各种各样的，系统也是各种不同的， 我们没有办法穷尽 最好的研究方法是将信号分解成某种最简单 的单一信号的组合，研究这种单一信号通过 系统后得到的响应，然后在系统的输出端对 各个单一信号的响应用同样的方法组合起来， 就得到希望的响应。 这是研究信号通过系统，或者说信号分析与 处理的最基本的思路和方法。
α为复数
j
t ( jt ) f ( t ) A eA e A e c o s tj A e s i n t



容易看出： σ=0时，其实部和虚部都是等幅的正弦震荡。 σ<0时，是收敛的正弦振荡。
最常用的信号

门信号
1 t G 2 2 (t) 其余 0
A -T

-τ/2
τ/2
T
将矩形脉冲串展开为傅里叶级数
将矩形脉冲串展开为傅里叶级数
/2 1 T /2 1 jn t jn 0 0t F f (t)e dt A e dt n T T /2 T /2 n 2Asin 0 n A sin x 0 2 x 2 n T x 0T


f ( t ) ( t ) d t f ( 0 ) ( t ) d t f ( 0 ) ( t ) d t f ( 0 )1
δ(t)函数的特性

δ(t)移位
δ(t) δ(t-τ)
0


t
0
τ
t
δ(t)乘以常数 Aδ(t) A称为冲激强度，就是所包围的面积

2.1 周期函数的傅里叶级数

周期函数可以展开为傅里叶级数
f (t ) 1 a0 T 2 an T 2 bn T

t1

n0
a n c o s n 0t f (t ) d t
b
n 1

n
s in n 0 t
T t1
一个周期内信号的平均值
T t1 t1 T t1
f (t )
y (t )




f ( ) ( t ) d f ( ) h ( t ) d


记为y(t)=f(t)*h(t)，称为f(t)和h(t)的卷积
信号与系统
连续时间信号与系统频域分析
时域分析与频域分析

时域分析是将信号分解为以δ(t)为基础的移 位加权和，只讨论系统对δ(t)的响应。 频域分析则是将信号分解为以sinωt为基础的 各谐波分量的和，只讨论系统对sinωt的响应。
u(t) 1 0
u(t-t0) 1 0

u(t)是最基本的因信号，用它乘以任何非因信号， 就将其变为因信号
t
t0
t
最常用的信号

正弦信号 A s in ( t )
f ( t ) At s i n ( ) A s i n ( 2 f t )



A——幅度 f——频率（Hz） 2 f 角频率（弧度/秒） Φ——初相角（弧度）
最常用的信号

正弦/余弦信号可以用指数表示
A j(t) j( t ) Asin ( t ) (e e ) 2j A j(t) j( t ) Ac o s( t ) (e e ) 2
以上使用了欧拉公式
j ( t ) e c o s ( t ) j s i n ( t )
δ(t)函数的特性

δ(t)的微分，也是一个冲激函数 δ`(t)=dδ(t)/dt，且



f (t)`(t)dt f `(0)
0
δ(t)的积分


() td t () td t () td t u () t
0
δ(t)函数的特性
讨论


T不变，τ变小，基频不变，则谱线的间距不变，随 着τ的减小，相邻零点的间距（2kπ/τ)变大，其间的谱 线的幅度减小（信号的能量是一定的，随着谱线的 增多，每条谱线的幅度相应减小） 理论上，Fn定义从-∞到+∞，但其包络sinx/x以1/x 的 速度衰减，从第一个零点(ω=2π/τ)以后，幅度就 很小了，也就是说，信号的能量主要集中在第一个 零点以内，从而将第一个零点以内所包含的频率分 量称为脉冲信号的频带。 △ω=2π/τ △f=1/τ


T/2 F t n 0 f (t)ejn d t f0 T/2
F( j) 1 f (t) 2
f (t)e jt dt F( j)e jnt d
δ(t)只有在t=0时值不是用常数来表示的，而是用一 个积分来表示，即用一个面积来表示。
通常的函数，在确定的时刻都有确定的值，显然δ(t) 有别于常规的函数，数学上称之为广义函数。
δ(t)函数的生成

取一个门信号Pτ(t)，在时间轴上压缩，但保持包 围的面积不变。
4/τ
1/τ
2/τ
-τ/2
τ/2
-τ/4
δ(t)函数的特性

取样特性


f (t)(t)dt f (0)


作一个直观的理解： 当t≠0时，δ(t)=0，将其与f(t)相乘，则t≠0时， f(t)δ(t)=0 在t=0时，f(t)=f(0)，将常数f(0)提出积分号外， 利用δ(t)函数的定义，即可得：

f ( t ) c o s n 0 td t f ( t ) s in n 0 td t
t1
周期函数的傅里叶级数

指数形式的傅里叶级数
f (t ) 1 Fn T
n

t1

Fn e
jn 0 t

T t1
f (t ) e
jn 0 t
dt
2.2 周期函数的频谱

下图是宽度为τ，高度为A，周期为T的矩形周期脉 冲 f(t)
1
-τ/2
τ/2
门信号也可以用单位阶跃信号来表示：
G ( t ) u ( t / 2 ) u ( t / 2 )


最常用的信号

单位冲激信号