李雅普诺夫稳定性分析课件
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李雅普诺夫方法ppt课件
第三章 动态系统的稳定性及李雅普诺夫
分析方法
1
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性
考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t) k1
y(t) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。
10
单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。
xe
11
§2 李雅普诺夫稳定性分析方法
一、李雅普诺夫第一法
又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性， 比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。
1．线性系统情况
线性定常连续系统平衡状态 xe 0 为渐近稳定的充要条件
是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。
S( ) ，则称平
衡状态 xe 为不稳定。
二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为不稳定的几何解释如右图。
对于线性系统一般有：
lim
t
x(t, x0,t0 ) xe
对于非线性系统，也有可能趋于
S ( ) 以外的某个平衡点或某个极限环。
x2
x(t)
x(t0 ) xe
S( ) S( ) x1
4
3. 平衡状态
对于系统
x
f
(
x ,t )
（线性、非线性、定常、时变）
x (t0 ) x0
如果存在 xe，对所有的t有 f (xe,t) 0 成立，称状态 xe为上述 系统的平衡状态。
通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有：
x Axe 0 ①若A非奇异，xe 0 唯一的平衡状态
分析方法
1
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性
考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t) k1
y(t) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。
10
单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。
xe
11
§2 李雅普诺夫稳定性分析方法
一、李雅普诺夫第一法
又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性， 比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。
1．线性系统情况
线性定常连续系统平衡状态 xe 0 为渐近稳定的充要条件
是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。
S( ) ，则称平
衡状态 xe 为不稳定。
二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为不稳定的几何解释如右图。
对于线性系统一般有：
lim
t
x(t, x0,t0 ) xe
对于非线性系统，也有可能趋于
S ( ) 以外的某个平衡点或某个极限环。
x2
x(t)
x(t0 ) xe
S( ) S( ) x1
4
3. 平衡状态
对于系统
x
f
(
x ,t )
（线性、非线性、定常、时变）
x (t0 ) x0
如果存在 xe，对所有的t有 f (xe,t) 0 成立，称状态 xe为上述 系统的平衡状态。
通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有：
x Axe 0 ①若A非奇异，xe 0 唯一的平衡状态
李雅普洛夫稳定性分析精品PPT课件
4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样 的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，
为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差
向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
①范数 X 0 X e 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的 闭球域S(δ)内.
（2） 求系统的特征方程：
det(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
6
1
(
2)(
3)
0
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
向于无穷大时，有：
lim x
t
xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
如果 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
Hale Waihona Puke 3、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
4、不稳定 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( )内
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，
为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差
向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
①范数 X 0 X e 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的 闭球域S(δ)内.
（2） 求系统的特征方程：
det(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
6
1
(
2)(
3)
0
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
向于无穷大时，有：
lim x
t
xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
如果 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
Hale Waihona Puke 3、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
4、不稳定 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( )内
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫99页PPT
53、 伟 大 的 事 业，需 要决பைடு நூலகம் ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
李雅普诺夫Lyapunov稳定 性理论李雅普诺夫
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
李雅普诺夫Lyapunov稳定 性理论李雅普诺夫
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
最新精品课件9-4 李雅普诺夫稳定性分析
t
t
则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 线性系统的稳定性与初始状态无关，对于严 格线性的系统，若它是渐近稳定的，必定是大范 范围渐近稳定的。
(5) 不稳定性
若对某个 0 ，无论 0如何小，从 S ( ) 内 的某x0出发的轨线超出 S ( )， 则称xe是不稳定。
S ( )
即在(9-391)条件下，系统的每一个平衡态均为李 雅普诺夫意义下稳定。 进一步证明(9-391)成立的 充要条件。将系统变换成约当标准形 1 ||eAt ||· ||P ||； A PA P ； ||eAt ||=||P-1||·
得知，|| eAt ||有界等价于|| eAt||有界，而且约当标准 形的每一个元素都具有如下形式 t i 1e ( i j i ) t 式中 i j i i 是矩阵A的特征值， i 是 i的重 数。 0 的元素在[0,∞)上有界， i 0 的元素 i 只有当 i 1 (单根)时，才能在[0,∞)上有界； 至此，得证：当且仅当命题(1)的条件成立时，系 统每一个平衡态均为李雅普诺夫意义下稳定。
(1) 系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫稳定
的充要条件为， A 的所有特征值均具有非正( ≤0 ) 实部， 且实部为零的特征值是 A 的最小多项式的 单根。
要条件是， A的所有特征值均具有负实部。
(2) 系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充
证明 (1)设 xe 是系统的平衡态，对于t≥0，有 At x e 0； A x e 0； x e e x e ； 对于初始状态 x0≠xe，有 (9-390) x e A t x 0 ；~ x x x e e A t (x 0 x e )，t 0； 对于任意给定的 0 ，当且仅当 At (9-391) e k 时，存在与初始时刻无关的 ( ) / k ，使得由任 意初始状态 x 0 x e ( ) 出发的运动轨线都满足 At ~ x e x 0 x e k ， t t 0 ， k
t
则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 线性系统的稳定性与初始状态无关，对于严 格线性的系统，若它是渐近稳定的，必定是大范 范围渐近稳定的。
(5) 不稳定性
若对某个 0 ，无论 0如何小，从 S ( ) 内 的某x0出发的轨线超出 S ( )， 则称xe是不稳定。
S ( )
即在(9-391)条件下，系统的每一个平衡态均为李 雅普诺夫意义下稳定。 进一步证明(9-391)成立的 充要条件。将系统变换成约当标准形 1 ||eAt ||· ||P ||； A PA P ； ||eAt ||=||P-1||·
得知，|| eAt ||有界等价于|| eAt||有界，而且约当标准 形的每一个元素都具有如下形式 t i 1e ( i j i ) t 式中 i j i i 是矩阵A的特征值， i 是 i的重 数。 0 的元素在[0,∞)上有界， i 0 的元素 i 只有当 i 1 (单根)时，才能在[0,∞)上有界； 至此，得证：当且仅当命题(1)的条件成立时，系 统每一个平衡态均为李雅普诺夫意义下稳定。
(1) 系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫稳定
的充要条件为， A 的所有特征值均具有非正( ≤0 ) 实部， 且实部为零的特征值是 A 的最小多项式的 单根。
要条件是， A的所有特征值均具有负实部。
(2) 系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充
证明 (1)设 xe 是系统的平衡态，对于t≥0，有 At x e 0； A x e 0； x e e x e ； 对于初始状态 x0≠xe，有 (9-390) x e A t x 0 ；~ x x x e e A t (x 0 x e )，t 0； 对于任意给定的 0 ，当且仅当 At (9-391) e k 时，存在与初始时刻无关的 ( ) / k ，使得由任 意初始状态 x 0 x e ( ) 出发的运动轨线都满足 At ~ x e x 0 x e k ， t t 0 ， k
5李雅普诺夫稳定性分析.ppt
➢ 由于导数表示的状态的运动变化 方向,因此平衡态即指能够保持 平衡、维持现状不运动的状态, 如上图所示.
平衡态(2/4) —定义1
平衡态
平衡态 平衡态
李雅普诺夫稳定性研究的平衡
x2
态附近(邻域)的运动变化问题.
➢ 若平衡态附近某充分小邻
xe
域内所有状态的运动最后
都趋于该平衡态,则称该
平衡态是渐近稳定的;
李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(1/2)
1) 范数
范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离. ➢ 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为 ||x1-x2||. ➢ 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义. ➢ 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为
对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定 无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价. ➢ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同.
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(4/4)
概述(8/5)
李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 ➢ 时变系统、 ➢ 非线性系统,甚至 ➢ 离散时间系统、 ➢ 离散事件动态系统、 ➢ 逻辑动力学系统
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在.
概述(9/5)
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位.
t
式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; 为任意小的规定量。 ✓ 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
概述(3/5)
分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题．
平衡态(2/4) —定义1
平衡态
平衡态 平衡态
李雅普诺夫稳定性研究的平衡
x2
态附近(邻域)的运动变化问题.
➢ 若平衡态附近某充分小邻
xe
域内所有状态的运动最后
都趋于该平衡态,则称该
平衡态是渐近稳定的;
李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(1/2)
1) 范数
范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离. ➢ 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为 ||x1-x2||. ➢ 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义. ➢ 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为
对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定 无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价. ➢ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同.
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(4/4)
概述(8/5)
李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 ➢ 时变系统、 ➢ 非线性系统,甚至 ➢ 离散时间系统、 ➢ 离散事件动态系统、 ➢ 逻辑动力学系统
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在.
概述(9/5)
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位.
t
式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; 为任意小的规定量。 ✓ 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
概述(3/5)
分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题．
李雅普诺夫稳定性的基本定理 PPT课件
李雅普诺夫第一法(1/7)
3.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态 附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定)函数、 非正定函数(又称半负定或负半定)和 不定函数。
实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义
定义3-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x,都有V(x)<0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
3.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态 附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定)函数、 非正定函数(又称半负定或负半定)和 不定函数。
实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义
定义3-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x,都有V(x)<0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
第4章 稳定性和李雅普诺夫方法PPT学习课件
a）常取Q=I b) 若 V[x(k)] 沿任一解序列不恒为0，那么Q可取为半正定 c) 上述判据是充要条件
20
例 试确定系统
x1(k x2 (k
1) 1)
0 0.5
0.5 x1(k)
1
x2
(k
)
在原点的稳定性
解:在李雅普诺夫方程中,取 Q I , 得
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取
V (x) xT Px
为李雅普诺夫函数。
（2）
5
应用：
1）先选取一个正定矩阵Q 2）代入李雅普诺夫方程 AT P PA Q ，解出P 3）希尔维斯特判据判定P的正定性 4）判断系统的稳定性
1
4
13
J
xT
(0)Px(0)
(
1 4
)
x12
(0)
x1(0)x2 (0)
1 4
x22 (0)
将 x1(0) 1, x代2 (0入) 上0式，知
J 。 1
4
再令 J 0, 于是得 * 1
2
14
4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为：
AT P PA I
a）常取Q=I b) 若 V(x) 沿任一轨迹不恒等于0，那么Q可取为半正定 c) 上述判据是充要条件
6
7
8
9
10
利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题
20
例 试确定系统
x1(k x2 (k
1) 1)
0 0.5
0.5 x1(k)
1
x2
(k
)
在原点的稳定性
解:在李雅普诺夫方程中,取 Q I , 得
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取
V (x) xT Px
为李雅普诺夫函数。
（2）
5
应用：
1）先选取一个正定矩阵Q 2）代入李雅普诺夫方程 AT P PA Q ，解出P 3）希尔维斯特判据判定P的正定性 4）判断系统的稳定性
1
4
13
J
xT
(0)Px(0)
(
1 4
)
x12
(0)
x1(0)x2 (0)
1 4
x22 (0)
将 x1(0) 1, x代2 (0入) 上0式，知
J 。 1
4
再令 J 0, 于是得 * 1
2
14
4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为：
AT P PA I
a）常取Q=I b) 若 V(x) 沿任一轨迹不恒等于0，那么Q可取为半正定 c) 上述判据是充要条件
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利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
1
稳定性定义
稳定性与能控性，能测性一样，均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说，稳定性是指系统在扰动消 失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能， 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
10
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
11
李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动，令输入 u 0 ，系统的齐次状态方程
•
为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统（5-1）在n维状态空间的运动轨线。
在式（5-1）所描述的系统中，存在状态点 x e ，当系统运动
到该点时，系统状态各分量维持平衡，不在随时间变化，即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
8
李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法：利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法：无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0，使得当 x0xe (,t0)时，系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
1
稳定性定义
稳定性与能控性，能测性一样，均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说，稳定性是指系统在扰动消 失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能， 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
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李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
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李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动，令输入 u 0 ，系统的齐次状态方程
•
为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统（5-1）在n维状态空间的运动轨线。
在式（5-1）所描述的系统中，存在状态点 x e ，当系统运动
到该点时，系统状态各分量维持平衡，不在随时间变化，即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
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李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法：利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法：无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0，使得当 x0xe (,t0)时，系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足
《Lyapunov稳定性》PPT课件
f
(xe 2!
)
(x xe )2
雅可比矩阵
例f
(x)
f1 ( x1 , f2 (x1,
x2 x2
) )
f1
则f
(xe
)
x1 f 2
x1
f1 x2 f 2 x2 x1 x1e
A
x2 x2e
Example
分析系统在其平衡态的稳定性
x2
x1 x2 2 sin x1 3x2
b
[解]先求平衡态，然后求雅可比矩阵，最后解
如果条件（3）中的符号反向，则称V(x)是 负定的（负半定的）。若可正可负，则称不定 的。
Example
（1）V (x) x12 x22，正定的
（2）V (x) x1 x2 2，正半定的（半正定的）
（3）V (x) x12 2x22，负定的
（4）V (x) 3x1 x2 2，负半定的（半负定的）
V x1
V x2
x
2x1
2x2 x 2(x12 x22 )2
容易知道V(x)正定而V (x)负定，且满足
lim V (x) lim x 2 ，故系统大范围渐进稳定
• 稳定性回顾与准备知识 • 李雅普诺夫意义下的稳定 • 李雅普诺夫第一方法（间接法） • 李雅普诺夫第二方法（直接法）
Rev稳iew定与不稳定
临界稳定
Rev全iew局稳定、局部稳定、不稳定
全局稳定（大范 围稳定）
局部稳定 对于线性系统，局部稳 定全局稳定
不稳定
Review
正常工作要求系统是稳定的
xe
A HC
K
状态变换后闭环系统方程
x A BK BK x B
x e
控制系统李雅普诺夫稳定性分析74页PPT
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
控制系统李雅普诺夫稳定性分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
控制系统李雅普诺夫稳定性分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 年俄国学者李亚普诺夫发表了《 年俄国学者李亚普诺夫发表了 问题》 最早建立了运动稳定性的一般理论， 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性， 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组， 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法， 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
研究系统稳定性的方法： 研究系统稳定性的方法：
劳斯-胡尔维茨稳定性判据 劳斯 胡尔维茨稳定性判据
经典控制理论： 经典控制理论：
乃奎斯特稳定性判据 第一法
现代控制理论： 现代控制理论：李亚普诺夫稳定性
第二法
★ 李亚普诺夫第一法 李亚普诺夫第一法又称间接法。 李亚普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过 系统状态方程的解来判别系统的稳定性。 系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系 只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断； 统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断；对于非 线性不很严重的系统，则可通过线性化处理， 线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近 似得到线性化方程， 似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳 定性。 定性。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
2、系统的平衡状态 、
f1 ( x1 , t ) x1 f ( x , t ) x 2 2 2 ， & 设系统为X = f ( X , t )，其中X = ，则f ( X , t ) = M M f n ( xn , t ) xn
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
解：(1)由A阵的特征方程 由 阵的特征方程
λI − A = (λ + 1)(λ − 1) = 0 λ 故系统的状态不是渐近稳定的。 可得特征值λ1 = −1， 2 = 1。故系统的状态不是渐近稳定的。
(2)由系统的传递函数 由系统的传递函数
s + 1 0 1 s −1 1 W ( s ) = C ( sI − A) B = [1 0] 1 = ( s + 1)( s − 1) = s + 1 s − 1 0
对于该系统，如果存在对所有时间t都满足X = 0 的状态 X e， 对于该系统，如果存在对所有时间 都满足 & & 叫做系统的平衡状态。 即X e = f ( X e , t ) = 0，则把 X e叫做系统的平衡状态。
& 而言， 对于线性定常系统 X = AX 而言，其平衡状态满足 & X e = AX e = 0，若A是非奇异矩阵，则只有 X e = 0 ，即对线性 是非奇异矩阵， 是非奇异矩阵 系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之， 系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无 限多个平衡状态。 限多个平衡状态。 对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。 对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
3、李亚普诺夫第二法 、 李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上： 李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上： 如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的， 如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 lim X = X e ， 那么随着系统的运动 ， 其储存的能量将时间 那么随着系统的运动， t →∞ 的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。
现代控制理论
电子与信息工程学院 主讲人： 主讲人：赫健
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
4.1 概述 4.2 李亚普诺夫第二法的概述 4.3 李亚普诺夫稳定性判据 4.4 线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 小结
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
4.1 引言
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。 稳定性 是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系 是控制系统能否正常工作的前提条件 统的稳定性通常有两种定义方式： 统的稳定性通常有两种定义方式： ★ 外部稳定性 是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统 的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性， 的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即有界输入 有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。 有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。 ★ 内部稳定性 是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义 的内部稳定性， 状态稳定。 的内部稳定性 ， 即 状态稳定 。 内部稳定性不但适用于线性 系统，而且也适用于非线性系统。 系统，而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统， 对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定 义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性， 义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入-输出无关 输出无关。 本身的结构和参数有关，与输入 输出无关。
& 对于系统 X = f ( X , t ) 建立一个能量函数 V ( X ) ，即
V ( X ) = V ( x1 , x2 , L , xn )
& 对于任意 X ≠ X e 时， ( X ) > 0，而V ( X ) < 0，且仅当 X = X e时， V & & 是稳定的。 才有V ( X ) = V ( X ) = 0 ，则系统 X = f ( X , t ) 是稳定的。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
二、二次型及其定号性
1、二次型函数的定义及其表达式 、 (1) 二次型函数的定义 在代数式中我们常见一种多项式函数如下
f ( x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2
其中每项的次数都是二次的， 其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为二次齐次 多项式或二次型。以上只是对含有2个变量 个变量x、 的二次函 多项式或二次型。以上只是对含有 个变量 、 y的二次函 数来说的，如果将变量个数扩展到n，仍具有相同的含义。 数来说的，如果将变量个数扩展到 ， 仍具有相同的含义。
反映能量的变化趋势
(2) V ( X ) 是正定的； 是正定的；
反映能量的大小
(3)当 X → ∞ 时， V ( X ) → ∞ 。 当
反映能量的分布
称为李亚普诺夫函数。 那么函数 V ( X ) 称为李亚普诺夫函数。 李亚普诺夫函数的选取不唯一， 李亚普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二 次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。 次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
1、线性系统的稳定判据 、 线性系统状态稳定性判据 线性定常系统 ∑ = ( A, B, C ) & X = AX + Bu y = CX 渐进稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特 平衡状态 X e = 0渐进稳定的充要条件是系统矩阵 的所有特 征值均具有负实部。 征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性， 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定 但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。 性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
★ 李亚普诺夫第二法 李亚普诺夫第二方法又称直接法。 李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是 通过求解系统的运动方程， 通过求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函 数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断， 数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，它是从能量 观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后， 观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存 的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时， 的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量 将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之， 将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之， 如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大， 如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这 个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加， 个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也 不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。 不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 章
一、物理基础
1、稳定性 、 稳定性是指系统受外界干扰后，平衡状态被破坏， 稳定性是指系统受外界干扰后，平衡状态被破坏，但 当干扰去掉后，系统仍能自动地回到平衡状态下继续工作。 当干扰去掉后，系统仍能自动地回到平衡状态下继续工作。 具有稳定性的系统称为稳定系统， 具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称 为不稳定系统。 为不稳定系统。 ★ 稳定性是系统本身固有的属性。 稳定性是系统本身固有的属性。 ★ 线性自动控制系统稳定的充要条件： 系统特征方程的 线性自动控制系统稳定的充要条件： 全部根是负实部或实部为负的复数， 全部根是负实部或实部为负的复数， 即全部根在复平 面的左半平面。 面的左半平面。
−1 −1
位于s的左半平面 的左半平面， 可见传递函数的极点 s = −1位于 的左半平面，故系统 输出稳定。 输出稳定。这是因为具有正实部的特征值λ2 = 1 被系统的零 对消了， 点 s = 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出 由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极 不出现零、 来。由此可见，只有当系统的传递函数 不出现零 点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数 点对消现象，并且矩阵 的特征值与系统传递函数W(s)的 的 的特征值与系统传递函数 极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。 极点相同，此时系统的状态李亚普诺夫稳定性分析 章