2017学年江苏省南通市启东中学高一下学期期中数学试卷及参考答案
江苏省启东中学数学高一下期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=4．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）． A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 5．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．47．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．28．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π9．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β10．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32- 11．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2212．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π13．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 14．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12488]经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 19．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．20．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．21．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.24．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12596]如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.29．(0分)[ID ：12562]如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）求证：PC ⊥BD .30．(0分)[ID ：12619]如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -31A AC ∠的正弦值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．C5．C6．C7．D8．C9．D10．A11．A12．A13．D14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关20．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6 021．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值24．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．2．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.6．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．7．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 8．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 9．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.10．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =. 又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 11．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．12．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 13．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.14．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=，则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π 【解析】 试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
江苏省启东市高一数学下学期期中试题(创新班,无答案)
江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期期中试题（创新班，无答案）（考试时间120分钟 满分160分）一. 填空题(每题5分，共70分)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为 2．}52),({+==x y y x A ，}21),({x y y x B -==，则B A ⋂＝_______ 3．2弧度圆心角所对的弦长为2sin1，则这个圆心角所夹扇形的面积为______.4．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，则与A 中的元素(1,2)对应的B 中的元素为 5．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ___________.6．11034317()()8236--⨯-+＝ .7．已知函数1221,1,()log , 1.x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k 的取8．方程211log 1log 2x x ++=的解是 9．已知角α终边经过点)()0Pm m ≠，且cos 6mα=,则sin α=________ 10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤---=)1()1(,5)(2x ＞xa x ax x x f 是R 上的增函数，则a 的取值范围是11．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________12．f (x )是R 上的以3为周期的奇函数，且f (2)=0,则f (x )=0在[0,6]内解的个数为________．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x －1，x ≥0，x 2＋bx ＋c ，x <0是偶函数，直线y ＝t 与函数y ＝f (x )的图像自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D .若AB ＝BC ，则实数t 的值为________．14．设集合A ＝{}x |x 2＋2x －3＞0，集合B ＝{}x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0.若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________． 二．解答题(共90分)15．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0}．(1) 当m <12时，把集合B 用区间表达；(2) 若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；16．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()cos sin f a αα=（1）化简()f a ； （2）若()35f a =，求sin cos 1cos 1sin αααα+++的值.17．()f x 是定义在()0,+∞上的减函数，满足()()()f x f y f xy +=. （1）求证：()()x f x f y f y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）若()44f =-，解不等式()()11212f x f x -≥--.18．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：天 (1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？19．已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =-，对任意x R ∈都有()1f x x ≥-，且11()()22f x f x -+=--．（1）求函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数a ，使函数12()log [()]x g x f a =在(,)-∞+∞上为减函数？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x2为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 5－14，判断λ与E的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n(m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．。
【配套K12】江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期期中试题
江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期期中试题注意事项：1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上． 3．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1. 经过点(4,3)-且在y 轴上截距为2的直线的方程为___▲___．2. 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x z +=的最小值为___▲___．3. 在ABC ∆中,ABC B BC ∆==,32,1π面积3=S ,则边AC 长为___▲___． 4. 若直线052:1=-++m y mx l 与01)2(3:2=+-+y m x l 平行，则实数m 的值为 ___▲___．5．在等比数列}{n a 中，已知11=a ,243=k a ，3=q ，则数列}{n a 的前k 项的和k S 等于___▲___．6. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，41cos -=C ，B A sin 2sin 3=，则=c ___▲___．7. 设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a的值为___▲___．8. 点)0,4(P 关于直线02145=++y x 的对称点的坐标是___▲___．9. 已知二次函数)(,1)2()(2Z a x a ax x f ∈++-=，且函数)(x f 在)1,2(--上恰有一个零点，则不等式1)(>x f 的解集为___▲___．Y10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则5S =___▲___．11. 如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___▲___．12. 已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第___▲___项．13. 已知ABC ∆的三边长,,a b c 依次成等差数列，22221a b c ++=，则b 的取值范围是___▲___．14. 已知21=xy ，)1,0(,∈y x ，则y x -+-1112的最小值为___▲___． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一(下)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）在△ABC中，若b2﹣bc=a2﹣c2，则A=．2．（5分）设直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，当直线l垂直于x轴时，m的值为．3．（5分）在等差数列{a n}中，a7=6，则S13═．4．（5分）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状为三角形．5．（5分）已知直线上一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率k=6．（5分）已知数列{a n}满足a1=16，且4a n+1=4a n﹣3．若a k•a k+1＜0，则正整数k=．7．（5分）在1和512中插入5个数，使这7个数成等比数列，则公比q为．8．（5分）小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km．9．（5分）已知P（m，n）是直线2x+5y=20在第一象限部分上的一点，则lg5m+lg2n 的最大值为10．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11=．11．（5分）△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．12．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则关于x 的不等式ax++b＜0的解集为13．（5分）已知α为锐角，则2tanα+的最小值为．14．（5分）已知数列{a n}满足：a n=，若S2018=3027，则a1=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（﹣3，4）；（2）斜率为．16．（14分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．17．（14分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．18．（16分）已知S n是数列{a n}的前n项和，b n=．（1）已知{a n}是等比数列，a2=1，b3=，求{a n}的通项公式；（2）已知{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，若{b n}也是等差数列，求的值．19．（16分）如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果（视角∠ACB=θ越大，效果越好），现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．（1）按照方案①，设CF为h米（2＜h＜4），当h为何值时，视角θ最大？（2）按照方案②，设EF为x米（x＜4），当x为何值时，视角θ最大？20．（16分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），其前n项和为S n满足：S n=a2S n﹣1+a （n≥2，n∈N*）．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{a}的前n项和，是否存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，若存在求出t的最小值，若不存在说明理由．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）在△ABC中，若b2﹣bc=a2﹣c2，则A=．【分析】利用余弦定理求得cosA的值，再根据特殊角的三角函数值求出A．【解答】解：△ABC中，b2﹣bc=a2﹣c2，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A∈（0，π），∴A=．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．2．（5分）设直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，当直线l垂直于x轴时，m的值为﹣1．【分析】由直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，直线l垂直于x轴，得m+1=0，由此能求出m的值．【解答】解：∵直线l的方程为mx+（m+1）y+3=0，直线l垂直于x轴，∴m+1=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）在等差数列{a n}中，a7=6，则S13═78．【分析】由等差数列的性质得：S13═=13a7，由此能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a7=6，∴S13═=13a7=13×6=78．故答案为：78．【点评】本题考查等差数列的前13项的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状为等腰三角形．【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．所以三角形是等腰三角形．故答案为：等腰．【点评】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）已知直线上一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率k=﹣2【分析】根据题意，设该点的坐标为（a，b），分析可得平移后的点的坐标，由直线的斜率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设该点的坐标为（a，b），将该点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，则平移之后的坐标为（a+2，b﹣4），则直线的斜率k==﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查直线的斜率计算，关键是掌握直线的斜率计算公式．6．（5分）已知数列{a n}满足a1=16，且4a n+1=4a n﹣3．若a k•a k+1＜0，则正整数k=22．【分析】推导出{a n}是首项为16，公差为﹣的等差数列，从而a n=（67﹣3n），由此利用a k•a k+1＜0，能求出k．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=16，且4a n+1=4a n﹣3．﹣a n=﹣，∴a n+1∴{a n}是首项为16，公差为﹣的等差数列，∴a n=16+（n﹣1）×（﹣）=（67﹣3n），由a n＞0，得67﹣3n＞0，解得n＜22，∴a22=＞0，a23=﹣＜0，∴由a k•a k+1＜0，得k=22．故答案为：22．【点评】本题考查正整值k的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．（5分）在1和512中插入5个数，使这7个数成等比数列，则公比q为．【分析】根据等比数列的通项得：512=1×q6，从而可求出q．【解答】解：∵1，a，b，c，d，e，512成等比数列，∴根据等比数列的通项得：512=1×q6，∴q=．故答案为：．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，熟练掌握等比数列通项公式是解本题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8．（5分）小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km．【分析】在△ABS中，可得∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°则∠ASB=45°，由正弦定理可得BS=．【解答】解：如图，由已知可得，AB=24×=6在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°∠ASB=45°由正弦定理可得BS==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题．进而利用数学基本知识进行求解．9．（5分）已知P（m，n）是直线2x+5y=20在第一象限部分上的一点，则lg5m+lg2n 的最大值为2【分析】由题意可得2m+5n=20，由基本不等式可得mn的最大值，再由对数的运算性质可得所求最大值．【解答】解：P（m，n）是直线2x+5y=20在第一象限部分上的一点，可得2m+5n=20，即有2m+5n≥2，即有mn≤10，则lg5m+lg2n=lg（10mn）≤lg100=2，可得m=5，n=2上式取得等号，则lg5m+lg2n的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查对数的运算性质，属于基础题．10．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11=8．【分析】由等差数列中项的性质可得a6+a8=2a7，即有a7=2（0舍去），再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求值．【解答】解：各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a+a8=0，由a6+a8=2a7，可得2a7=a72，即有a7=2（0舍去），数列{b n}是公比为q的等比数列，且b7=a7=2，则b2•b8•b11=b1q•b1q7•b1q10=b13q18=（b1q6）3=b73=23=8．故答案是：8．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用，等比性质的应用．12．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则关于x 的不等式ax++b＜0的解集为{x|﹣2﹣}【分析】由关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求出，从而关于x的不等式ax++b＜0转化为：x2+2x﹣2＞0，由此能求出关于x的不等式ax++b＜0的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，∴，∴，∴，∴关于x的不等式ax++b＜0转化为：x2+2x﹣2＞0，解得﹣2﹣．∴关于x的不等式ax++b＜0的解集为{x|﹣2﹣}．故答案为：{x|﹣2﹣}．【点评】本题考查一元二次不等的求法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．（5分）已知α为锐角，则2tanα+的最小值为．【分析】α为锐角，则tanα＞0，运用二倍角的正切公式，化简代数式，再由基本不等式可得最小值．【解答】解：α为锐角，则tanα＞0，2tanα+=2tanα+=+≥2=，当且仅当tanα=即α=时取得等号，则2tanα+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的运用，同时考查二倍角的正切公式的运用，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）已知数列{a n}满足：a n=，若S2018=3027，则a1=．【分析】讨论n为偶数时，两两结合，再由等比数列的求和公式，可得所求和，即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a n=，当n为奇数时，a n=a n﹣1+1，即a n﹣2=（a n﹣1﹣2），∴数列{a n﹣2}为公比为的等比数列，∴a n﹣2=a1（）n﹣1，∴a n=2+a1（）n﹣1，当n=2时，a2=2a1，当n为偶数时，a n=2a n﹣1，可得偶数项成首项为2a2，公比为2的等比数列，且为a n=a1×2n，∴S2018=2×1009++=2018+a1（2﹣）+a1（21010﹣2）=3027，∴a1=故答案为：【点评】本题考查数列的通项公式和数列的求和，注意运用分类讨论的思想方法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（﹣3，4）；（2）斜率为．【分析】（1）设直线的斜率为k，利用点斜式写出直线方程，求出直线l与x轴、y轴上的截距，由直线l与两坐标轴围成的三角形面积列方程求出k，再写出直线方程；（2）设直线l在y轴上的截距为b，利用斜截式写出直线方程，求出直线与x轴的截距，由直线l与两坐标轴围成的三角形的面积列方程求出b，再写出直线方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为y﹣4=k（x+3），它在x轴、y轴上的截距分别是﹣﹣3，3k+4，由已知得•|（3k+4）（﹣﹣3）|=3，可得（3k+4）（﹣﹣3）=6或﹣6，解得k=﹣或k=﹣；所以直线l的方程为：2x+3y﹣6=0或8x+3y+12=0；（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y=x+b，它在x轴上的截距是﹣6b，由已知得|﹣6b•b|=6，解得b=±1；∴直线l的方程为x﹣6y+6=0或x﹣6y﹣6=0．【点评】本题考查了直线方程与三角形面积的应用问题，是基础题．16．（14分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．17．（14分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据并集的定义即可求出t的范围，（2）由题意可得3是方程x2﹣ax+b=0的一个根，再求出另一个根，即可求出a 的范围．【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}，∵集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，∴t≥2，（2）∵集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，令x2﹣ax+b=0，∵A∩B={x|2≤x≤3}，∴3是方程x2﹣ax+b=0的一个根，且△=a2﹣4b＞0∴9﹣3a+b=0，∴b=3a﹣9，∴a2﹣4（3a﹣9）=a2﹣12a+36=（a﹣6）2＞0，解得a≠6∵方程的另一个根为x+3=a，即x=a﹣3，∵A∩B={x|2≤x≤3}，∴1＜a﹣3≤2，解得4＜a≤5故a的取值范围为（4，5]【点评】本题考查了集合的运算和不等式的解法，属于中档题．18．（16分）已知S n是数列{a n}的前n项和，b n=．（1）已知{a n}是等比数列，a2=1，b3=，求{a n}的通项公式；（2）已知{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，若{b n}也是等差数列，求的值．【分析】（1）设{a n}是公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；（2）运用等差数列的通项公式，求得b1，b2，b3，由2b2=b1+b3，化简整理可得所求值．【解答】解：（1）S n是数列{a n}的前n项和，b n=，设{a n}是公比为q的等比数列，a2=1，b3=，可得a1q=1，=，解得a1=，q=3或a1=3，q=，则a n=3n﹣2；或a n=（）n﹣2；（2）{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，若{b n}也是等差数列，可得b1=，b2=，b3=，由2b2=b1+b3，可得a1=d，则=．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（16分）如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果（视角∠ACB=θ越大，效果越好），现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．（1）按照方案①，设CF为h米（2＜h＜4），当h为何值时，视角θ最大？（2）按照方案②，设EF为x米（x＜4），当x为何值时，视角θ最大？【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；（2）根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．【解答】解：（1）如图（1）所示，由题意知，tanα=，tanβ=，∴tanθ=tan（α+β）==，2＜h＜4；当h=3时tanθ取得最大值为；因为函数y=tanθ在上是增函数，所以当h=3时θ取得最大值；（2）如图（2）所示，由题意知，tanα=，tanβ=，∴tanθ=tan（β﹣α）==≤，x＞0，当且仅当时取“=”，所以x=时，视角θ取得最大值．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），其前n项和为S n满足：S n=a2S n﹣1+a （n≥2，n∈N*）．（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{a}的前n项和，是否存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，若存在求出t的最小值，若不存在说明理由．【分析】（1）∵S n=a2S n﹣1+a（n≥2，n∈N*），S n+1=a2S n+a，相减可得：a n+1=a2a n，n=2时，a1+a2=a2a1+a，解得a2=a3，满足=a2．即可证明．（2）①a≠1，=a4n﹣2=•（a4）n，利用等比数列的求和公式即可得出T n，S n，S2n．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，即可得出t．②a=1时，=1，T n=n，S n=n，S2n=2n．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，解得t．【解答】（1）证明：∵S n=a2S n﹣1+a（n≥2，n∈N*），S n+1=a2S n+a，相减可得：a n+1=a2a n，n=2时，a1+a2=a2a1+a，解得a2=a3，满足=a2．∴数列{a n}为等比数列，首项为a（a＞0），公比为a2．∴a n=a•（a2）n﹣1=a2n﹣1．（2）解：①a≠1，=a4n﹣2=•（a4）n，∴T n=，S n=，可得：S2n=．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，∴=t•，解得t==+a＞2．②a=1时，=1，T n=n，S n=n，S2n=2n．假设存在实数t，使得S2n=tT n，n∈N*，则2n=t•n，解得t=2．综上可得：存在t的最小值为2．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
启东中学高一下学期期中考试试卷
启东中学高一下学期期中考试试卷1．（5分）若平面α和直线a ，b 满足a A α=I ，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ） A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面2．（5分）一枚骰子连续掷了两次，则点数之和为2或3的概率是（ ） A ．112 B ．19 C ．18 D ．163．（5分）过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．230x y +-= C ．20x y -=D ．240x y +-=4．（5分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知,13A a b π===，则B =（ ） A ．3π B ．6π C ．56π D ．6π或56π5．（5分）方程()222200x y ax ay a ++-=≠表示的圆（ ） A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称6．（5分）已知曲线C 1：x 2+y 2﹣4y +3=0与y 轴交于A ，B 两点，P 为C 2：x ﹣y ﹣1=0上任意一点，则|P A |+|PB |的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．47．设锐角ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为心a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围是( )A ．2)B ．C ．D ．()0,28．（5分）如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则下列叙述正确的是（ ）A ．原图形是正方形B ．原图形是非正方形的菱形C ．原图形的面积是D ．原图形的面积是9．（5分）已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12D ．1310．（5分）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．11．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin (34A B Ck k ==为非零实数），则下列结论正确的是（ ） A ．当5k =时，ABC ∆是直角三角形 B ．当3k =时，ABC ∆是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC ∆是钝角三角形D ．当1k =时，ABC ∆是钝角三角形12．（5分）已知圆C ：2220x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．113．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为________.14．（5分）在ABC ∆中，若:1:2A B ∠∠=，且ACB ∠的平分线CD 把ABC ∆分成面积比为5∶3的两部分，则cos A =________.15．（5分）在一座m 20高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为ο60，塔底俯角为ο45，则这座水塔的高度是__________．16．（5分）已知直线20mx y m -++=与圆1C ：22(1)(2)1x y ++-=相交于A ，B两点，点P 是圆2C ：22(3)5x y -+=上的动点，则PAB △面积的最大值是______．17．（12分）在 ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7a =，060A =. （1）若ABC ∆的周长为20，求,b c ； （2）求ABC ∆周长的取值范围.18．（12分）设圆的方程为22450x y x +--=（1）求该圆的圆心坐标及半径.（2）若此圆的一条弦AB 的中点为(3,1)P ，求直线AB 的方程.19．（10分）已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)． (1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 20．（12分）如图所求扇形OPQ 的半径为1，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COPa ?.（1）当AB =时，求tan2α的值；（2）记矩形ABCD 的面积为()f α，求()f α最大值，并求此时α的值.21．（12分）在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .(1)求证:,,,M N P Q 四点共面;(2)若AC DE ⊥,且AC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小.22．（12分）已知圆C 过点(0,2),(3,1)M N -，且圆心C 在直线210x y ++=上. （1） 求圆C 的方程；（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l :①斜率为1；②直线被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.启东中学高一下学期期中考试试卷参考答案1．D 【解析】 【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D 【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型. 2．A【解析】如图所示：共有36种情况，点数之和为2或3的情况为11，12，21，共三种，所以点数之和为2或3的概率是313612=.故选A ． 考点：古典概率. 3．C 【解析】 【分析】所求直线与两点()2,1，()1,3连线垂直．由此得直线斜率，从而得直线方程． 【详解】 由题意31212-=--，所以所求直线斜率为12，直线方程为11(2)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C. 【点睛】本题考查求直线方程，解题关键是掌握性质：过P 且与点A 距离最大的直线与PA 垂直．4．B 【解析】 【分析】 【详解】由已知知b a <，所以B ＜A=3π，由正弦定理sin sin a b A B=得，sin sin b A B a =1sin π⨯12，所以6B π=，故选B考点：正弦定理 5．C 【解析】 【分析】圆的圆心为(),a a -，直线y x =-过圆心，则直线为圆的一条对称轴。
(整理版)启东第二学期期中考试
省启东~ 度第二学期期中考试高一数学试题一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1．a 、b 、c ∈ 。
①假设a ＞b,那么ac 2＞bc 2 ②假设ac 2＞bc 2,那么a ＞b ③假设a ＜b ＜0,那么a 2＞ab ＞b 2 ④假设a ＜b ＜0,那么＜2．一直线倾斜角的正切值为43，且过点()1,2P ，那么直线方程为_____________。
3．直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，那么当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是 。
4．直线1)13()2(--=-x a y a ，为使这条直线不经过第二象限，那么实数a 的范围是 。
5．2{(,)|9,0}M x y y x y ==-≠，{(,)|}Nx y y x b ==+，假设M N ⋂≠∅，那么b 的取值范围是 _____ ．6．向量a ＝(x,2)，b ＝(1，y )，其中x ≥0，y a ·b ≤4，那么y －x 的取值范围为________． 7．圆方程02222=++++k y kx y x ,某一定点P 的坐标为(1,2),要使过点P 所作圆的切线有两条,那么k 的取值范围为________.12(0,1)x y a a a +=->≠的图象恒过定点A,假设点A 在直线01=++ny mx 上，其中0m n >、，那么nm21+的最小值为 .9．各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，那么b 6b 8＝ 。
10．在实数集R 上定义运算∽：x ∽y=x(1-y.),假设(x-a)∽(x+a)<1对任意实数x 都成立，那么实数a 的取值范围是 。
11．向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－a n 2，a n ＋122a n ，v 是直线y ＝x 的方向向量，a 1＝5，那么数列{a n }的前10项和为 。
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一(下)期中数学试卷
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共8小题，共40.0分)1.经过点（4，-3）且在y轴上截距为2的直线的方程为______ ．【答案】5x+4y-8=0【解析】解：由题意可得直线经过（4，-3）与（0，2），则直线方程为，整理得：5x+4y-8=0．故答案为：5x+4y-8=0．由已知可得直线经过两个定点，写出直线的两点式方程，化为一般式得答案．本题考查了由两点式求直线的方程，考查了两点式化一般式，是基础题．2.满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为______ ．【答案】【解析】由图象可知当直线y=-x+f经过点A时，直线的截距最小，此时f最小．由，解得，即A（，），代入f=x+y得f=．故答案为：；作出不等式对应的平面区域，即可求出平面区域的面积．利用f的几何意义求f的最小值．本题主要考查简单的线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．3.在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为______ ．【答案】【解析】解：由三角形面积公式，可得S==，∴c=4，由余弦定理可得AC==，故答案为．利用三角形面积公式，可得c，由余弦定理可得AC．本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，属于中档题．4.若直线l1：mx+y+2m-5=0与l2：3x+（m-2）y+1=0平行，则实数m的值为______ ．【答案】3或-1【解析】解：∵直线l1：mx+y+2m-5=0与l2：3x+（m-2）y+1=0平行，∴，解得m=3或-1．故答案为3或-1．利用直线平行的性质求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．5.在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k= ______ ．【答案】364【解析】解：等比数列前n项和为s n=，∵等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，∴数列{a n}的前k项的和S k===364，故答案为：364；已知首项和公比，可以求出等比数列的前n项和公式，再代入a k=243，根据等比数列前n项和公式进行求解；此题主要考查等比数列前n项和公式，直接代入公式进行求解，会比较简单；6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，则c= ______ ．【答案】4【解析】解：∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cos C=-，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．由3sin A=2sin B即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7.设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于______ ．【答案】1或3【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=S1•S4，∴=，d≠0．化为：d2=2a1d，解得d=0，或d=2a1．则=1或3．故答案为：1或3．设等差数列{a n}的公差为d，由S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，代入化简即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是______ ．【答案】（-6，-8）【解析】解：设点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点P′的坐标（a，b），∴•（-）=-1①且5•+4•+21=0②，解得a=-6，b=-8，∴点P′的坐标为（-6，-8）．故答案为：（-6，-8）．设出对称的点的坐标（a，b），利用点P与对称的点的连线与对称轴垂直，以及点P与对称的点的连线的中点在对称轴上，解出对称点的坐标．本题考查求一个点关于某一条直线的对称点的坐标的求法，利用垂直及中点在轴上两个条件解出对称点的坐标．二、解答题(本大题共1小题，共5.0分)9.已知二次函数f（x）=ax2-（a+2）x+1（a∈z），在区间（-2，-1）上恰有一个零点，【答案】解：由题设易知：＜＜＜，又∵a∈z，∴a=-1，∴f（x）=-x2-x+1-x2-x+1＞1，∴不等式解集为（-1，0）．【解析】由题意，f（-2）•f（-1）＜0，从而求出a=-1，从而化简不等式求解即可．本题考查了函数的零点的判断应用及一元二次不等式的解法，属于基础题．三、填空题(本大题共5小题，共25.0分)10.设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5= ______ ．【答案】202【解析】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=7，即a1+a2=7，即有3a1+1=7，解得a1=2；由a n+1=S n+1-S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=7，可得S3=3×7+1=22，S4=3×22+1=67，S5=3×67+1=202．故答案为：202．运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1-S n，结合条件，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查运算能力，属于中档题．11.如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+ ）恒成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：当x∈（0，1]时，g（x）=log2x≤0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，∴f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤恒成立，则2a≤1，即a≤；当x＞1时，g（x）=log2x＞0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+ ）恒成立，∴f（x）=3ax-1≥0在（1，+ ）恒成立，即有3a≥恒成立，则3a≥1，即a≥．∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+ ）恒成立，∴a的取值范围是：[，]．故答案为：，．先考虑关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，由对数函数的单调性，得到f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，运用参数分离法，求出a的范围；再求关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+ ）恒成立的a的范围．运用同样的参数分离法，求最值，即可求出a的范围．注意最后求交集．本题考查分段函数和运用，考查对数函数的单调性和应用，考查不等式的恒成立问题，运用参数分离法，求最值，属于中档题．12.已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第______ 项．【答案】39366或（2•39）【解析】解：∵当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，∴a1=1，a2=2，a6=a2=2，a18=a6=a2=2，∴a n=2是项数n为2，6，18…，构造公比是3的等比数列，∴n=2•3m-1，∴该数列中的第10个2是该数列的2•310-1=2•39，故答案为：39366或（2•39）根据条件求出a n的取值规律，得到a n=2时，n满足的条件即可得到结论．本题主要考查等比数列的应用，考查学生的推理意识．13.已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b的取值范围是______ ．【答案】（，]【解析】解：设公差为d，则有a=b-d，c=b+d，代入a2+b2+c2=21化简可得3b2+2d2=21．故当d=0时，b有最大值为．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞21，解得b＞，故实数b的取值范围是（，]．故答案为（，]．由a+b＞c可得b＞2d，结合已知的等式得3b2+2＞21，解得b＞，再把这两个b的范围取交集求得数b的取值范围．本题主要考查等差数列的定义和性质的应用，解不等式，属于中档题．14.已知xy=，x，y∈（0，1），则+的最小值为______ ．【答案】10【解析】解：∵xy=，x，y∈（0，1），∴y=，由+===+1=+1=+1++1≥6+2=10当且仅当x=，y=时取等号．故答案为10．消去参数法，消去y后，构造基本不等式即可求解．本题考查了“构造思想”与基本不等式的性质的运用，属于中档题．四、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．（1）若2a•cos C=3，求a的值；（2）若，求cos C的值．【答案】解：（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得：a=2．…（6分）（2）由正弦定理，，化简得sin C=sin（B-C），∴C=B-C或C+B-C=π（舍去），则B=2C，由正弦定理可得，，将b=3，c=2代入解得．…（14分）【解析】（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得a的值；（2）若，由正弦定理，，化简得sin C=sin（B-C），由正弦定理可得，，即可求cos C的值．本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（-4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（-2，1），且到原点的距离为2．【答案】解：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα=（0＜α＜π），从而cosα=±，则k=tanα=±．故所求直线方程为y=±（x+4）．即x+3y+4=0或x-3y+4=0；（2）当斜率不存在时，所求直线方程为x+2=0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+（1+2k）=0．由点线距离公式，得=2，解得k=．故所求直线方程为3x-4y+10=0．综上知，所求直线方程为x+2=0或3x-4y+10=0．【解析】（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式；（2）分类讨论：斜率不存在和斜率存在两种情况．当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+（1+2k）=0．然后结合点到直线的距离公式求得k 的值即可．本题考查了直线方程问题，熟练掌握直线方程以及斜率问题是解题的关键，本题是一道基础题．17.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C （x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入-成本，∴L（x）=（0.05×1000x）--10x-250=+40x-250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入-成本，∴L（x）=（0.05×1000x）-51x-+1450-250=1200-（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x-250=-，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200-（x+）≤1200-2=1200-200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【解析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=17．（1）若{a n}还同时满足：①{a n}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{a n}的通项公式．（2）若{a n}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{b n}满足b n=3n•a n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由．【答案】解：（1）因为{a n}是等比数列，则a2a4=a1a5=16，又a1+a5=17，所以或从而a n=2n-1或a n=（-2）n-1或a n=16×（）n-1或a n=16×（-）n-1．由③得，a n=2n-1或a n=16×（）n-1（2）①由题意，得，解得d=-1②由①知a1=，所以an=-n，则b n=3n•a n=3n•（-n），因为b n+1-b n=2×3n×（10-n）所以b11=b10，且当n≤10时，数列{b n}单调递增，当n≥11时，数列{b n}单调递减，故当n=10或n=11时，b n最大．【解析】（1）根据等比数列的性质可得a1a5=16，又a1+a5=17，即可求出a1，a5的值，继而求出公比，写出通项公式即可（2）①{a n}为等差数列，且a1+a5=17，S8=56，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d；②确定数列{b n}的通项，判断其单调性，即可求得b n最大值本题考查等差数列的通项，考查数列的单调性，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．19.已知二次函数f（x）=mx2-2x-3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（-1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a x）-3a x+1（x∈[1，2]）的最小值为-5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）由不等式mx2-2x-3≤0的解集为（-1，n）知关于x的方程mx2-2x-3=0的两根为-1和n，且m＞0由根与系数关系，得∴，所以原不等式化为（x-2）（ax-2）＞0，①当0＜a＜1时，原不等式化为＞，且＜，解得＞或x＜2；②当a=1时，原不等式化为（x-2）2＞0，解得x∈R且x≠2；③④当a＞1时，原不等式化为＞，且＞，解得＜或x＞2；综上所述当0＜a≤1时，原不等式的解集为＞或x＜2}；当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或＜．（2）假设存在满足条件的实数a，由（1）得：m=1，∴f（x）=x2-2x-3，∴y=f（a x）-3a x+1=a2x-2a x-3-3a x+1=（a x）2-（3a+2）a x-3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2-（3a+2）t-3∴对称轴为：t=，又0＜a＜1，∴a2＜a＜1，1＜＜，∴函数y=t2-（3a+2）t-3在[a2，a]递减，∴t=a时，y最小为：y=-2a2-2a-3=-5，解得：a=，【解析】（1）根据韦达定理得方程组求出m，n的值，再通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集；（2）把m=1代入方程，得出y=（a x）2-（3a+2）a x-3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2-（3a+2）t-3，得出函数的单调性，从而表示出y=f（t）的最小值，进而求出a的值．本题考查了二次函数的性质，指数函数的性质，考查不等式的解法，考查分类讨论思想，换元思想，是一道综合题．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n-1+b3a n-2+…+b n a1=（）n-成立，求证：数列{b n}是等差数列．【答案】（1）解：∵且S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n-1+a n-1=4，∴a n+a n-a n-1=0，即．∴数列{a n}是等比数列，a n==22-n．（2）解：d n=c n+log C a n=2n+3+=2n+3+（2-n）log C2=（2-log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2-log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n-1+b3a n-2+…+b n a1=（）n-成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=-．②．①-②可得b n+1a1==，∴，∴，（n≥3）．又2b1=，解得b1=．b1a2+b2a1=，∴+b2×2=-，解得b2=．当n=1，2时，，也适合．∴，（n∈N*）是等差数列．【解析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+=（2-log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2-log C2=0，解得C即可．（3）由于对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n-1+b3a n-2+…+b n a1=（）n-成立（*），b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=．（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=-．两式相减可得可得，即，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
江苏省启东中学1617学年度高一下学期期初考试——数学
江苏省启东中学2016—2017学年度下学期期初考试高一数学试题注 意 事 项1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合A ={x |x 2-2x ≤0}，B ={-1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B = ▲ ．2．若5)1(log )3(log 22=-++a a ，则 ▲ ．3．已知是奇函数，是偶函数，且，，则= ▲__．4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝ ▲ ．5．在△ABC 中，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B ＝ ▲ ． 6．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C＝ ▲ ． 7．若41sin sin cos cos =-y x y x ,则 ▲ ． 8．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 ▲ 三角形．9．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝ ▲ 时，{a n }的前n 项和最大．10．已知是第二象限角,，则 ▲ ．11．将函数)2|)(|2sin()(πθθ<+=x x f 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点,则= ▲ ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 边的中点，AF 交BD于E ，若，则 ▲ ．13．已知]2,0[,π∈y x ，若21cos sin cos sin 2=+-y x y x ，则的最小值为 ▲ ． 14．已知函数和，若，则两函数图象交点的横坐标之和等于 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2017年江苏省南通市启东中学高一下学期期中数学试卷与解析答案
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为．2．（5分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．3．（5分）在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．4．（5分）若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m 的值为．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=．7．（5分）设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．8．（5分）点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是．9．（5分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．10．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=．11．（5分）如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．13．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b 的取值范围是．14．（5分）已知xy=，x，y∈（0，1），则+的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．（1）若2a•cosC=3，求a的值；（2）若，求cosC的值．16．（14分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．17．（15分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？18．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=17．（1）若{a n}还同时满足：①{a n}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{a n}的通项公式．（2）若{a n}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{b n}满足b n=3n•a n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由．19．（16分）已知二次函数f（x）=mx2﹣2x﹣3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（﹣1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a x）﹣3a x+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为5x+4y﹣8=0．【解答】解：由题意可得直线经过（4，﹣3）与（0，2），则直线方程为，整理得：5x+4y﹣8=0．故答案为：5x+4y﹣8=0．2．（5分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．【解答】解：由f=x+y，则y=﹣x+f，平移直线y=﹣x+f，由图象可知当直线y=﹣x+f经过点A时，直线的截距最小，此时f最小．由，解得，即A（），代入f=x+y得f=．故答案为：；3．（5分）在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．【解答】解：由三角形面积公式，可得S==，∴c=4，由余弦定理可得AC==，故答案为．4．（5分）若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m 的值为﹣1．【解答】解：∵直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，∴，解得m=3或﹣1．当m=3时，l1、l2两直线重合故答案为﹣1．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=364．【解答】解：等比数列前n项和为s n=，∵等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，∴数列{a n}的前k项的和S k===364，故答案为：364；6．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=4．【解答】解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．7．（5分）设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于1或3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=S1•S4，∴=，d≠0．化为：d2=2a1d，解得d=0，或d=2a1．则=1或3．故答案为：1或3．8．（5分）点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是（﹣6，﹣8）．【解答】解：设点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点P′的坐标（a，b），∴•（﹣）=﹣1①且5•+4•+21=0②，解得a=﹣6，b=﹣8，∴点P′的坐标为（﹣6，﹣8）．故答案为：（﹣6，﹣8）．9．（5分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．【解答】解：由题设易知：，又∵a∈z，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x2﹣x+1⇒﹣x2﹣x+1＞1，∴不等式解集为（﹣1，0）．10．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=202．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=7，即a1+a2=7，即有3a1+1=7，解得a1=2；=S n+1﹣S n，可得由a n+1S n+1=3S n+1，由S2=7，可得S3=3×7+1=22，S4=3×22+1=67，S5=3×67+1=202．故答案为：202．11．（5分）如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是[，] ．【解答】解：当x∈（0，1]时，g（x）=log2x≤0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，∴f（x）=2ax﹣1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤恒成立，则2a≤1，即a≤；当x＞1时，g（x）=log2x＞0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立，∴f（x）=3ax﹣1≥0在（1，+∞）恒成立，即有3a≥恒成立，则3a≥1，即a ≥．∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，∴a的取值范围是：[，]．故答案为：．12．（5分）已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第39366或（2•39）项．【解答】解：∵当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，∴a1=1，a2=2，a6=a2=2，a18=a6=a2=2，∴a n=2是项数n为2，6，18…，构造公比是3的等比数列，∴n=2•3m﹣1，∴该数列中的第10个2是该数列的2•310﹣1=2•39，故答案为：39366或（2•39）13．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b 的取值范围是（，] ．【解答】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=21化简可得3b2+2d2=21．故当d=0时，b有最大值为．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞21，解得b＞，故实数b的取值范围是（，]．故答案为（，]．14．（5分）已知xy=，x，y∈（0，1），则+的最小值为10．【解答】解：∵xy=，x，y∈（0，1），∴y=，由+===+1=+1=+1++1≥6+2=10当且仅当x=，y=时取等号．故答案为10．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．（1）若2a•cosC=3，求a的值；（2）若，求cosC的值．【解答】解：（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得：a=2．…（6分）（2）由正弦定理，，化简得sinC=sin（B﹣C），∴C=B﹣C或C+B﹣C=π（舍去），则B=2C，由正弦定理可得，，将b=3，c=2代入解得．…（14分）16．（14分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．【解答】解：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α=（0＜α＜π），从而cos α=±，则k=tan α=±．故所求直线方程为y=±（x+4）．即x+3y+4=0或x﹣3y+4=0；（2）当斜率不存在时，所求直线方程为x+2=0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+（1+2k）=0．由点线距离公式，得=2，解得k=．故所求直线方程为3x﹣4y+10=0．综上知，所求直线方程为x+2=0或3x﹣4y+10=0．17．（15分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=17．（1）若{a n}还同时满足：①{a n}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{a n}的通项公式．（2）若{a n}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{b n}满足b n=3n•a n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由．【解答】解：（1）因为{a n}是等比数列，则a2a4=a1a5=16，又a1+a5=17，所以或从而a n=2n﹣1或a n=（﹣2）n﹣1或a n=16×（）n﹣1或a n=16×（﹣）n﹣1．由③得，a n=2n﹣1或a n=16×（﹣）n﹣1（2）①由题意，得，解得d=﹣1②由①知a1=，所以an=﹣n，则b n=3n•a n=3n•（﹣n），﹣b n=2×3n×（10﹣n）因为b n+1所以b11=b10，且当n≤10时，数列{b n}单调递增，当n≥11时，数列{b n}单调递减，故当n=10或n=11时，b n最大．19．（16分）已知二次函数f（x）=mx2﹣2x﹣3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（﹣1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a x）﹣3a x+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由不等式mx2﹣2x﹣3≤0的解集为（﹣1，n）知关于x的方程mx2﹣2x﹣3=0的两根为﹣1和n，且m＞0由根与系数关系，得∴，所以原不等式化为（x﹣2）（ax﹣2）＞0，①当0＜a＜1时，原不等式化为，且，解得或x＜2；②当a=1时，原不等式化为（x﹣2）2＞0，解得x∈R且x≠2；③④当a＞1时，原不等式化为，且，解得或x＞2；综上所述当0＜a≤1时，原不等式的解集为或x＜2}；当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或．（2）假设存在满足条件的实数a，由（1）得：m=1，∴f（x）=x2﹣2x﹣3，∴y=f（a x）﹣3a x+1=a2x﹣2a x﹣3﹣3a x+1=（a x）2﹣（3a+2）a x﹣3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2﹣（3a+2）t﹣3∴对称轴为：t=，又0＜a＜1，∴a2＜a＜1，1＜＜，∴函数y=t2﹣（3a+2）t﹣3在[a2，a]递减，∴t=a时，y最小为：y=﹣2a2﹣2a﹣3=﹣5，解得：a=，20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n【解答】（1）解：∵且S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n﹣1=0，即．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n==22﹣n．（2）解：d n=c n+log C a n=2n+3+=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=﹣．②．a1==，①﹣②可得b n+1∴，∴，（n≥3）．又2b1=，解得b1=．b1a2+b2a1=，∴+b2×2=﹣，解得b2=．当n=1，2时，，也适合．∴，（n∈N*）是等差数列．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
江苏省启东市高一数学下学期期中试题(创新班)
江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期期中试题（创新班）一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∃∈R ,21x x -+≤0"的否定是 ． 2．已知双曲线22221(0x y a a b-=>,0)b >的渐近线过点(3P ,4)，则该双曲线的离心率为 ． 3．已知复数4(1i)(13i)z =+⋅+，则||z = ．4．斜率为4的直线经过抛物线24x y =的焦点，则直线方程为 ．5．已知集合{|5}A x x =>，{|}B x x a =>,若“x A ∈”是“x B ∈的”充分不必要条件,则实数a的取值范围为 ．6．已知a (0=,2，1)，b (1=-，1，2)-，则<a ,b >= ．7．化简：11!22!33!!n n ⋯⋅+⋅+⋅++⋅= ．8．已知ABC △的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形的面积12S lr =．将这个结论推广：在三棱锥P ABC -中,表面积为S ,内切球半径为r ，则三棱锥的体积V = ． 9．已知π1cos 32=，π2π1cos cos 554=，π2π3π1cos cos cos 7778=,…，根据以上等式，可猜想出的一般 结论为 ．10．已知x ，{y ∈1，2，3，4，7，9}，则log x y 的不同取值的个数为 ．11．有三张卡片,分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2",乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 12．已知数列{}n a 满足11a =,22a =，222ππ(1cos )sin 22n n n n a a +=++，n ∈N *,则n a = ． 13．给出下面四个命题：⑴“3m ="是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的充要条件；⑵“b ac =”是“a ,b ,c 成等比数列”的既不充分又不必要条件；⑶在ABC △中，“A B >”是“sin sin A B >”的必要不充分条件;⑷“两个向量相等”是“这两个向量共线"的充分不必要条件．其中真命题的个数是 ．14．过椭圆2214x y +=的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A ，B ,C ，D 四点， 则四边形ABCD 面积的最大值与最小值之差为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分,请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）⑴计算：20171001i 43i ()i 1i 34i+-++-+； ⑵已知复数z 满足||2z =，2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限，求复数z ．16．（本小题满分14分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=没有实数根．⑴设使命题p 为真实数m 的集合为P ,用区间表示集合P ；⑵若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围．17．(本小题满分14分）由0，1，2，3,4，5这6个数字组成没有重复数字的四位数．⑴求这样的四位数的个数；⑵所有这样的四位数中，奇数有多少个？18．（本小题满分16分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，侧棱长为⑴求直线1A B 与直线AC 所成角的余弦值；⑵求直线1A B 与侧面11AA C C 所成角的正切值．19．（本小题满分16分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线:l x t =相交于A 、B 两点，M 是椭圆C 上一点,直线MA 、 MB 分别 与x 轴交于E 、F 两点．⑴若点(2A ,2)，点(4M -，1)-,求椭圆的方程；⑵在⑴的条件下,求点F 的坐标；⑶若椭圆方程为22143x y +=，设坐标原点为O ，证明：OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ,{}n b 满足条件①12a =，14b =；②n a ，n b ,1n a +成等差数列;③n b ，1n a +，1n b +成等比数列．⑴求2a ，3a ，4a 以及2b ,3b ，4b ；⑵求{}n a ,{}n b 的通项公式； O ABME F xy⑶证明:1122111512n n a b a b a b ⋯+++<+++．2016～2017学年度创新班第二学期期中考试 数学试卷参考答案 2016.9。
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江苏省启东中学2017—2018学年度高一下寒假开学检测数学试卷考试时间：120分钟满分：160分一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.若幂函数f(x)的图象经过点(2，２2)，则f(9)＝________．2.已知a ＜0，则化简936()a 的结果为________．3.已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．4.已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B?A ，则实数m 的取值范围是________．5.函数0(1)()42x f x x 的定义域用区间表示为____________．6.函数y ＝1－1x 的值域为____________．7若函数()log a f x x (0<a<1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．8.已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_______．9.已知cos π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos 5π6＋θ＋sin 2π3－θ＝________．[来源:学.科.网Z.X.X.K]10．已知y ＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.11.已知函数f (x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3,2)x ．则f(x)=。
12.已知函数y ＝|sin 2x －π6|，以下说法正确的是________．(填序号）①函数的周期为π4；②函数是偶函数；③函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3；④函数在2π3，5π6上为单调减函数．13.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝x ＋a ，－1≤x ＜0，|25－ｘ|，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f －52＝ｆ92，则f(5a)的值是________．14.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝__________。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高一下学期期初数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）期初数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共90分）1．A={α=，k∈Z}，B={β=，k∈Z}，A∩B=．2．期初考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为25%，则语文、数学两门都优秀的百分率至少为．3．不等式的解集．4．已知关于x的不等式组有唯一实数解，则实数k的取值集合．5．设是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是6．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是三角形．7．已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是8．若方程lg|x|=﹣|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的k的值的和为．9．在△ABC中，若对任意t∈R，恒有|﹣t|≥||，则∠C=．10．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．11．在等式sin（）（1+tan70°）=1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是．12．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是．13．计算：=．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15．设a∈R，二次函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（1）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C），求tanA的值．17．函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．18．如图，图形ABCST中AB=BC=100，AB垂直于BC，O为AC的中点，AT=SC=50，弧以O为圆心，OT为半径，P为弧上任一点，过P作矩形PHBQ，求矩形PHBQ的最大面积．19．已知向量=（sinθ，2），=（cosθ，1），且，共线，其中．（1）求的值；（2）若5cos（θ﹣φ）=3，求φ的值．20．已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣a无零点，求a的取值范围；（3）设t（x）=log9（m3x﹣m），若函数h（x）=f（x）﹣t（x）有且只有一个零点，求m的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共90分）1．A={α=，k∈Z}，B={β=，k∈Z}，A∩B={0} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={α=，k∈Z}，B={β=，k∈Z}，∴A∩B={0}，故答案为：{0}2．期初考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为25%，则语文、数学两门都优秀的百分率至少为13.5%．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】有条件利用相互独立事件的概率乘法公式，求得语文、数学两门都优秀的百分率．【解答】解：数学优秀率为70%，语文优秀率为25%，则语文、数学两门都优秀的百分率至少为70%×25%=13.5%，故答案为：13.5%．3．不等式的解集[1，+∞）∪{﹣2} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出不等式的等价形式，解得即可．【解答】解：不等式，等价为：x﹣1≥0或x+2=0，解得x≥1或x=﹣2 故答案为：[1，+∞）∪{﹣2}．4．已知关于x的不等式组有唯一实数解，则实数k的取值集合{，} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据不等式ax2+bx+c≤M（a＜0）有唯一实数解，即最大值=M；不等式ax2+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解？最小值=M，可以判断实数k的取值，要对参数k进行分类讨论，以确定不等式的类型，在各种情况中分别解答后，综合结论即得最终结果．【解答】解：若k=0，不等式组1≤kx2+2x+k≤2可化为：1≤2x≤2，不满足条件．若k＞0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=2时，满足条件．此时解得：k=若k＜0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=1时，满足条件此时解得：k=所以：实数k的取值集合{， }故答案为{， }．5．设是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，0）【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【分析】根据若f（x）是奇函数且在x=0有定义，则f（0）=0，即可解出a．再根据对数函数的单调性解不等式得到答案．【解答】解：依题意，得f（0）=0，即lg（2+a）=0，所以，a=﹣1，，又f（x）＜0，所以，，解得：﹣1＜x＜0．故答案为：（﹣1，0）．6．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是以BC为底边的等腰三角形三角形．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先把2拆开分别与、组合，再由向量加减运算即可整理，然后根据（点D为线段BC的中点），并结合图形得出结论．【解答】解：由题意知==0，如图所示，其中（点D为线段BC的中点），所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．故答案为“以BC为底边的等腰三角形”．7．已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是【考点】函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的单调性与特殊点．【分析】此题可以采用补集思想，先求出f（x）在R上是单调函数时的范围，取其补集即可．【解答】解：当函数f（x）在R上为减函数时，有3a﹣1＜0且0＜a＜1且（3a﹣1）•1+4a≥log a1解得当函数f（x）在R上为增函数时，有3a﹣1＞0且a＞1且（3a﹣1）•1+4a≤log a1解得a无解∴当函数f（x）在R上为单调函数时，有∴当函数f（x）在R上不是单调函数时，有a＞0且a≠1且a或a即0＜a或或a＞1故答案为：（0，）∪【，1）∪（1，+∞）8．若方程lg|x|=﹣|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的k的值的和为﹣1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】构造函数y=lg|x|，y=﹣|x|+5，画出图象，结合函数的奇偶性，推出结论．【解答】解：由方程可令，y=lg|x|，y=﹣|x|+5，画出图象，两个函数都是偶函数，所以函数图象的交点，关于y轴对称，因而方程lg|x|=﹣|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，一根位于（﹣5，﹣4），另一根位于（4，5），K的值为﹣5和4，则所有满足条件的k的值的和：﹣1，故答案为：﹣19．在△ABC中，若对任意t∈R，恒有|﹣t|≥||，则∠C=90°．【考点】向量的模．【分析】利用向量共线的充要条件及向量的三角形运算法则得到﹣t是以点A为起点以边BC上任意一点为终边的向量，得到三角形的边的关系||＞|AC|不管点D在哪里，恒成立，当且仅当两线垂直．【解答】解：如图，设t=，∴﹣t=，∴||≥|AC|，由于上式恒成立，若∠ACB为锐角，则在线段BC上存在点D，使AD⊥BC则||＜|AC|与已知矛盾同理若∠ACB为钝角，也与已知矛盾∴⊥，∴∠C=90°．故答案是：90°．10．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．【解答】解：如图所示，∵f （x ）=sin ，且f （）=f （），又f （x ）在区间内只有最小值、无最大值，∴f （x ）在处取得最小值．∴ω+=2k π﹣（k ∈Z ）．∴ω=8k ﹣（k ∈Z ）．∵ω＞0，∴当k=1时，ω=8﹣=；当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．故ω=．故答案为：11．在等式sin （ ）（1+tan70°）=1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是 10° ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】将等式转化成分式形式求值即可．即sin （ ）（1+tan70°）=1转化成求【解答】解：由题意：转化成求；由==故答案为10°12．等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】将表示为，利用向量数量积公式，将关系式化简得出关于λ的方程并解出即可．注意0＜λ＜1．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为1．则，=1﹣λ．（0＜λ＜1），所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1﹣λ）cos180°．化简+λ=﹣λ（1﹣λ），整理λ2﹣2λ+=0，解得λ=（λ=＞1舍去）故答案为：13．计算：=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用cos10°=sin80°=sin（60°+20°），利用两角和的正弦公式展开，合并即可．【解答】解：∵2cos10°=2sin80°=2sin（60°+20°）=2（）=，∴=．故答案为：．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0； 当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x ≤2时，y=﹣x 2∈[﹣1，0]．当x ＞2时，y=﹣（）x ﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+=0，a ∈R ，有且仅有8个不同实数根，设t=f （x ），则t 2+at +=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a ＜．即有实数a 的取值范围是（，）．故答案为：（，）．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15．设a ∈R ，二次函数f （x ）=ax 2﹣2x ﹣2a ．若f （x ）＞0的解集为A ，B={x |1＜x ＜3}，A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算．【分析】解：注意到△=4+8a 2＞0，则函数有两个零点，由a 的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．【解答】解：由题意可知二次函数a ≠0，令f （x ）=0解得其两根为由此可知x 1＜0，x 2＞0（i ）当a ＞0时，A={x |x ＜x 1}∪{x |x ＞x 2}，则A ∩B ≠ϕ的充要条件是x 2＜3，即解得（ii）当a＜0时，A={x|x1＜x＜x2}A∩B≠ϕ的充要条件是x2＞1，即解得a＜﹣2综上，使A∩B≠ϕ成立的a的取值范围为16．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（1）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C），求tanA的值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用二倍角的正弦函数与余弦函数以及两角和的正弦函数．化简函数为一个角的一个三角函数的形式，由x的范围求出相位的范围，则函数f（x）在区间[﹣，]上的值域可求；（2）在△ABC中，利用f（C）=2，求出C的值，通过sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）利用两角和与差的三角函数化简，推出tanA与C的正弦函数与余弦函数的关系式，求出结果即可．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=．（1）由，得，∴，则y∈[0，3]；（2）∵f（C）=2，∴2sin（2C+）+1=2，∴sin（2C+）=，∵0＜C＜π，∴＜2C+＜2π+，则2C+=，C=．∵2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC，∴sin（A+C）=sinAsinC，即：sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC，即：tanA===．17．函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）在函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0），设关于原点的对称点为P（x，y），再由中点坐标公式，求得Q的坐标代入f（x）=x2+2x即可．（Ⅱ）将f（x）与g（x）的解析式代入转化为2x2﹣|x﹣1|≤0，再通过分类讨论去掉绝对值，转化为一元二次不等式求解．（Ⅲ）将f（x）与g（x）的解析式代入可得h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1，再用二次函数法研究其单调性．【解答】解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P （x，y），则即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故g（x）=﹣x2+2x（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得．因此，原不等式的解集为．（Ⅲ）h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1①当λ=﹣1时，h（x）=4x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1②当λ≠﹣1时，对称轴的方程为x=．ⅰ）当λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1．ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0．综上，λ≤0．18．如图，图形ABCST中AB=BC=100，AB垂直于BC，O为AC的中点，AT=SC=50，弧以O为圆心，OT为半径，P为弧上任一点，过P作矩形PHBQ，求矩形PHBQ的最大面积．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】如图所示建立直角坐标系．设P（50cosθ，50sinθ）（θ∈）．可得矩形PHBQ的面积S=PH•PQ=2500（sinθcosθ+sinθ+cosθ+1）．设t=sinθ+cosθ=∈[1，]，sinθcosθ=，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示建立直角坐标系．设P（50cosθ，50sinθ）（θ∈）．则PH=50+50cosθ，PQ=50+50sinθ．∴矩形PHBQ的面积S=（50+50cosθ）（50+50sinθ）=2500（sinθcosθ+sinθ+cosθ+1），设t=sinθ+cosθ=∈[1，]，sinθcosθ=，则S=2500=1250（t+1）2，∵S在t∈[1，]，上单调递增．∴当且仅当t=时，S取得最大值=1250（3+2）．19．已知向量=（sinθ，2），=（cosθ，1），且，共线，其中．（1）求的值；（2）若5cos（θ﹣φ）=3，求φ的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）首先利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出tanθ的值，进一步求出结果．（2）根据第一步的结论，利用三角函数关系式的恒等变换进一步求出tanΦ=1，再根据角的范围求出Φ的值．【解答】解：（1）向量=（sinθ，2），=（cosθ，1），且，共线，则：sinθ﹣2cosθ=0解得：tanθ=2所以：（2）由（1）tanθ=2，又所以：，cosθ=因为：5cos（θ﹣φ）=3φ，展开整理后求得：sinφ=cosφ即：tanφ=1由于：0＜φ＜所以：φ=．20．已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣a无零点，求a的取值范围；（3）设t（x）=log9（m3x﹣m），若函数h（x）=f（x）﹣t（x）有且只有一个零点，求m的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）因为f（x）为偶函数所以f（﹣x）=f（x）代入求得k的值即可；（2）函数与直线没有交点即log9（9x+1）﹣x=x+a无解，即方程log9（9x+1）﹣x=a无解．令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．推出g（x）为减函数得到g（x）＞0，所以让a≤0就无解．（3）函数h（x）=f（x）﹣t（x）有且只有一个零点即函数f（x）与t（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可．【解答】解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（﹣x）=f（x），即log9（9﹣x+1）﹣kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．即2kx=log9（9﹣x+1）﹣log9（9x+1）=log9（）=log9（9﹣x）=﹣x恒成立，即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒为零，所以k=﹣．（2）由题意知方程log9（9x+1）﹣x=x+a即方程log9（9x+1）﹣x=a无解．令g（x）=log9（9x+1）﹣x，则函数y=g（x）的图象与直线y=a无交点．因为g（x）=log9（）=log9（1+），任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则0＜9x1＜9x2，从而＞．于是log9（1+）＞log9（1+），即g（x1）＞g（x2），所以g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数，因为1+＞1，所以g（x）=log9（1+）＞0，所以a的取值范围是（﹣∞，0）．（3）若函数h（x）=f（x）﹣t（x）有且只有一个零点，则方程3x+=m•3x﹣m有且只有一个实数根．令3x=t＞0，则关于t的方程（m﹣1）t2﹣mt﹣1=0（记为（*））有且只有一个正根．若m=1，则t=﹣，不合题意，舍去；若m≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．由△=0⇒m=或﹣3；但m=⇒t=﹣，不合题意，舍去；而m=﹣3⇒t=；方程（*）的两根异号⇔（m﹣1）•（﹣1）＜0，即﹣m+1＜0，解得：m＞1．综上所述，实数m的取值范围{﹣3}∪（1，+∞）．2016年11月10日。
江苏省启东中学1617学年度高一下学期期初考试——数学
江苏省启东中学2016—2017学年度下学期期初考试高一数学试题注 意 事 项1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合A ={x |x 2-2x ≤0}，B ={-1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B = ▲ ．2．若5)1(log )3(log 22=-++a a ，则 ▲ ．3．已知是奇函数，是偶函数，且，，则= ▲__．4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝ ▲ ．5．在△ABC 中，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B ＝ ▲ ． 6．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C＝ ▲ ． 7．若41sin sin cos cos =-y x y x ,则 ▲ ． 8．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 ▲ 三角形．9．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝ ▲ 时，{a n }的前n 项和最大．10．已知是第二象限角,，则 ▲ ．11．将函数)2|)(|2sin()(πθθ<+=x x f 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点,则= ▲ ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 边的中点，AF 交BD于E ，若，则 ▲ ．13．已知，若21cos sin cos sin 2=+-y x y x ，则的最小值为 ▲ ． 14．已知函数和，若，则两函数图象交点的横坐标之和等于 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省启东中学2017-2018学年高一第二学期期中数学试卷
苏省启东中学2017—2018学年度第二学期期中考试高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 在ABC ∆中，若2223c a bc b -=-，则=A ▲ ．2. 设直线l 的方程为03)1(=+++y m mx ，当直线l 垂直于x 轴时，m 的值为 ▲ ．3. 在等差数列}{n a 中，67=a ，则13S = ▲ ．4. 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，则该三角形的形状为 ▲ 三角形.5. 已知直线上一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率=k ▲ ．6. 已知数列}{n a 满足161=a ，且3441-=+n n a a ．若01<⋅+k k a a ，则正整数k ＝__▲___.7. 在1和512中插入5个数，使这7个数成等比数列，则公比q 为 ▲_ ．8. 某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是___▲___km.9. 已知),(n m P 是直线2052=+y x 在第一象限部分上的一点，则n m 2lg 5lg +的最大值为 ▲_ ．10. 已知各项不为0的等差数列}{n a 满足08276=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则=1182b b b ▲_ ．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝__▲___. 12. 已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集是}21|{<<-x x ，则关于x 的不等式0<++b xc ax 的解集为 ▲_ ． 13. 已知α为锐角，则αα2tan 3tan 2+的最小值为 ▲_ ． 14. 已知数列}{n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧+=--为偶数，为奇数，n a n a a n n n 11212若30272018=S ，则1a = ▲_ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.（14分）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点)4,3( A ；(2)斜率为61．16.（14分）如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1) 求sin∠BAD ；(2) 求BD ，AC 的长．。
【配套K12】江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期期中试题(创新班)
江苏省启东市2016-2017学年高一数学下学期期中试题（创新班）一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∃∈R ，21x x -+≤0”的否定是 ．2．已知双曲线22221(0x y a a b -=>，0)b >的渐近线过点(3P ，4)，则该双曲线的离心率为 ．3．已知复数4(1i)(1z =+⋅，则||z = ．4．斜率为4的直线经过抛物线24x y =的焦点，则直线方程为 ．5．已知集合{|5}A x x =>，{|}B x x a =>，若“x A ∈”是“x B ∈的”充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．6．已知a (0=，2，1)，b (1=-，1，2)-，则<a ，b >= ． 7．化简：11!22!33!!n n ⋯⋅+⋅+⋅++⋅= ．8．已知ABC △的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形的面积12S lr =．将这个结论推广：在三棱锥P ABC -中，表面积为S ，内切球半径为r ，则三棱锥的体积V = ．9．已知π1cos32=，π2π1cos cos 554=，π2π3π1cos cos cos 7778=，…，根据以上等式，可猜想出的一般 结论为 ．10．已知x ，{y ∈1，2，3，4，7，9}，则log x y 的不同取值的个数为 ．11．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡 片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 12．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，222ππ(1cos )sin 22n n n n a a +=++，n ∈N *，则n a = ． 13．给出下面四个命题：⑴“3m =”是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的充要条件；⑵“b ”是“a ，b ，c 成等比数列”的既不充分又不必要条件；⑶在ABC △ 中，“A B >”是“sin sin A B >”的必要不充分条件；⑷“两个向量相等”是“这两个向量共线” 的充分不必要条件．其中真命题的个数是 ．14．过椭圆2214x y +=的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值与最小值之差为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）⑴计算：20171001i 43i()i 1i 34i+-++-+；⑵已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限，求复数z ．16．（本小题满分14分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=没有 实数根．⑴设使命题p 为真实数m 的集合为P ，用区间表示集合P ； ⑵若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分14分）由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位数． ⑴求这样的四位数的个数；⑵所有这样的四位数中，奇数有多少个？18．（本小题满分16分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1⑴求直线1A B 与直线AC 所成角的余弦值； ⑵求直线1A B 与侧面11AA C C 所成角的正切值．19．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线:l x t =相交于A 、B 两点，M 是椭圆C 上一点，直线MA 、MB 分别 与x 轴交于E 、F 两点．⑴若点(2A ，2)，点(4M -，1)-，求椭圆的方程； ⑵在⑴的条件下，求点F 的坐标；⑶若椭圆方程为22143x y +=，设坐标原点为O20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足条件①12a =，14b =；②n a ，n b ，1n a +成等差数列；③n b ，1n a +，1n b +成等比数列．⑴求2a ，3a ，4a 以及2b ，3b ，4b ； ⑵求{}n a ，{}n b 的通项公式； ⑶证明：1122111512n n a b a b a b ⋯+++<+++．2016~2017学年度创新班第二学期期中考试数学试卷参考答案 2016.9.20一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．x ∀∈R ，210x x -+>； 2．53； 3．8； 4．410x y -+=； 5．(-∞，5)；6．π2； 7．(1)!1n +-； 8．13Sr ； 9．π2ππ1cos cos cos 2121212n n n n n ⋯=+++； 10．17； 11．1和3； 12．2122nn +⎧⎪⎨⎪⎩ ； 13．2； 14．1825．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）⑴计算：20171001i 43i()i 1i 34i+-++-+； ⑵已知复数z满足||z =2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限，求复数z ． ⑴1；⑵1i +．16．（本小题满分14分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=没有 实数根．⑴设命题p 为真所对应的集合为P ，用区间表示集合P ； ⑵若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围．解：⑴由命题p 为真，则有24020m m m ⎧∆=->⇒>⎨-<⎩， (2P ∴=，)+∞；⑵命题q 为真，则216(2)16013m m ∆=--<⇒<<，p q ∨为真，p q ∧为假，∴p ，q 一真一假，当p 真q 假时，有2m >⎧⎨⎩ m ⇒≥3；当p 假q 真时，有13m ⎧⎨<<⎩1m ⇒<≤2，综上所述，实数m 的取值范围为(1m ∈，2][3，)+∞．m ≤1或m ≥3 m ≤2n 为奇数 n 为偶数。
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2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为．2．（5分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．3．（5分）在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．4．（5分）若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m 的值为．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=．7．（5分）设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．8．（5分）点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是．9．（5分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．10．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=．11．（5分）如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．222的取值范围是．14．（5分）已知xy=，x，y∈（0，1），则+的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．（1）若2a•cosC=3，求a的值；（2）若，求cosC的值．16．（14分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．17．（15分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？18．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=17．（1）若{a n}还同时满足：①{a n}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{a n}的通项公式．（2）若{a n}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{b n}满足b n=3n•a n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由．19．（16分）已知二次函数f（x）=mx2﹣2x﹣3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（﹣1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a x）﹣3a x+1（x∈[1，20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为5x+4y﹣8=0．【解答】解：由题意可得直线经过（4，﹣3）与（0，2），则直线方程为，整理得：5x+4y﹣8=0．故答案为：5x+4y﹣8=0．2．（5分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．【解答】解：由f=x+y，则y=﹣x+f，平移直线y=﹣x+f，由图象可知当直线y=﹣x+f经过点A时，直线的截距最小，此时f最小．由，解得，即A（），代入f=x+y得f=．故答案为：；3．（5分）在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．【解答】解：由三角形面积公式，可得S==，∴c=4，由余弦定理可得AC==，故答案为．4．（5分）若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m 的值为﹣1．【解答】解：∵直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，∴，解得m=3或﹣1．当m=3时，l1、l2两直线重合故答案为﹣1．5．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=364．【解答】解：等比数列前n项和为s n=，∵等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，∴数列{a n}的前k项的和S k===364，故答案为：364；6．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=4．【解答】解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．7．（5分）设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于1或3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=S1•S4，∴=，d≠0．化为：d2=2a1d，解得d=0，或d=2a1．则=1或3．故答案为：1或3．8．（5分）点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是（﹣6，﹣8）．【解答】解：设点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点P′的坐标（a，b），∴•（﹣）=﹣1①且5•+4•+21=0②，解得a=﹣6，b=﹣8，∴点P′的坐标为（﹣6，﹣8）．故答案为：（﹣6，﹣8）．9．（5分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．【解答】解：由题设易知：，又∵a∈z，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x2﹣x+1⇒﹣x2﹣x+1＞1，∴不等式解集为（﹣1，0）．10．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=202．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=7，即a1+a2=7，即有3a1+1=7，解得a1=2；=S n+1﹣S n，可得由a n+1S n+1=3S n+1，由S2=7，可得S3=3×7+1=22，S4=3×22+1=67，S5=3×67+1=202．故答案为：202．11．（5分）如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是[，] ．【解答】解：当x∈（0，1]时，g（x）=log2x≤0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，∴f（x）=2ax﹣1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤恒成立，则2a≤1，即a≤；当x＞1时，g（x）=log2x＞0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立，∴f（x）=3ax﹣1≥0在（1，+∞）恒成立，即有3a≥恒成立，则3a≥1，即a≥．∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，∴a的取值范围是：[，]．故答案为：．12．（5分）已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第39366或（2•39）项．【解答】解：∵当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，∴a1=1，a2=2，a6=a2=2，a18=a6=a2=2，∴a n=2是项数n为2，6，18…，构造公比是3的等比数列，∴n=2•3m﹣1，∴该数列中的第10个2是该数列的2•310﹣1=2•39，故答案为：39366或（2•39）13．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b 的取值范围是（，] ．【解答】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=21化简可得3b2+2d2=21．故当d=0时，b有最大值为．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞21，解得b＞，故实数b的取值范围是（，]．故答案为（，]．14．（5分）已知xy=，x，y∈（0，1），则+的最小值为10．【解答】解：∵xy=，x，y∈（0，1），∴y=，由+===+1=+1=+1++1≥6+2=10当且仅当x=，y=时取等号．故答案为10．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．（1）若2a•cosC=3，求a的值；（2）若，求cosC的值．【解答】解：（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得：a=2．…（6分）（2）由正弦定理，，化简得sinC=sin（B﹣C），∴C=B﹣C或C+B﹣C=π（舍去），则B=2C，由正弦定理可得，，将b=3，c=2代入解得．…（14分）16．（14分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．【解答】解：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α=（0＜α＜π），从而cos α=±，则k=tan α=±．故所求直线方程为y=±（x+4）．即x+3y+4=0或x﹣3y+4=0；（2）当斜率不存在时，所求直线方程为x+2=0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+（1+2k）由点线距离公式，得=2，解得k=．故所求直线方程为3x﹣4y+10=0．综上知，所求直线方程为x+2=0或3x﹣4y+10=0．17．（15分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万18．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=17．（1）若{a n}还同时满足：①{a n}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{a n}的通项公式．（2）若{a n}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{b n}满足b n=3n•a n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由．【解答】解：（1）因为{a n}是等比数列，则a2a4=a1a5=16，又a1+a5=17，所以或从而a n=2n﹣1或a n=（﹣2）n﹣1或a n=16×（）n﹣1或a n=16×（﹣）n﹣1．由③得，a n=2n﹣1或a n=16×（﹣）n﹣1（2）①由题意，得，解得d=﹣1②由①知a1=，所以an=﹣n，则b n=3n•a n=3n•（﹣n），因为b n﹣b n=2×3n×（10﹣n）+1所以b11=b10，且当n≤10时，数列{b n}单调递增，当n≥11时，数列{b n}单调递减，故当n=10或n=11时，b n最大．19．（16分）已知二次函数f（x）=mx2﹣2x﹣3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（﹣1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a x）﹣3a x+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由不等式mx2﹣2x﹣3≤0的解集为（﹣1，n）知关于x的方程mx2﹣2x﹣3=0的两根为﹣1和n，且m＞0由根与系数关系，得∴，所以原不等式化为（x﹣2）（ax﹣2）＞0，①当0＜a＜1时，原不等式化为，且，解得或x＜2；②当a=1时，原不等式化为（x﹣2）2＞0，解得x∈R且x≠2；③④当a＞1时，原不等式化为，且，解得或x＞2；综上所述当0＜a≤1时，原不等式的解集为或x＜2}；当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或．（2）假设存在满足条件的实数a，由（1）得：m=1，∴f（x）=x2﹣2x﹣3，∴y=f（a x）﹣3a x+1=a2x﹣2a x﹣3﹣3a x+1=（a x）2﹣（3a+2）a x﹣3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2﹣（3a+2）t﹣3∴对称轴为：t=，又0＜a＜1，∴a2＜a＜1，1＜＜，∴函数y=t2﹣（3a+2）t﹣3在[a2，a]递减，∴t=a时，y最小为：y=﹣2a2﹣2a﹣3=﹣5，解得：a=，20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n【解答】（1）解：∵且S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n﹣1=0，即．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n==22﹣n．（2）解：d n=c n+log C a n=2n+3+=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=﹣．②．a1==，①﹣②可得b n+1∴，∴，（n≥3）．又2b1=，解得b1=．b1a2+b2a1=，∴+b2×2=﹣，解得b2=．当n=1，2时，，也适合．∴，（n∈N*）是等差数列．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。