23.1.1 第1课时 正切
沪科版九年级数学上册教案第1课时正切2
第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数1.锐角的三角函数第1课时正切教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图的台阶更陡，理由二、探索活动1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？①可通过测量BC与AC的长度，②再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
A 2C1BBCA131BAC35（思考：BC 与AC 长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.③ 讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：________________________. 2、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB 1C 1，RtAB 2C 2， RtAB 3C 3……，那么有：Rt △AB 1C 1∽_____∽____…… 根据相似三角形的性质，得：111AC C B ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。
3、正切的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看. 4、牛刀小试根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A 、∠B 的正切值。
第1课时 正切
_________________________________________________
_________________________________________________
③[师生互动反思]
_________________________________________________
例5如图1－1－15，某人从山脚下的点A走了130m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为50m，求山的坡度.图1－1－15
让学生运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，并进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，加深学生对正切的理解，正切的前提是必须在直角三角形中.
活动
四：
课堂
总结
反思
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
(2) 和 有什么关系？
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？
结论：由相似三角形的对应边成比例，得 ＝ ，即 ＝ .
如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△AB2C2∽Rt△AB1C1，仍能得到 ＝ ，因此，无论B2在梯子的什么位置(除点A外)， ＝ 总成立.
【当堂训练】
1.课本P4随堂练习
2.课本P4习题1.1中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
第1课时 正切
1.正切的定义：
例题
讲解
学生
练习
2.tanA的值越大，梯子越陡.
3.坡度的定义：
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教材内容比较抽象，学生以前从没接触过三角函数，尤其是涉及以角度为自变量这样特殊的函数概念，学生不易理解．为此结合初中生身心发展的特点，设置了丰富的图片、有趣的问题情景，调动学生的积极性和学习兴趣，以生活实例引导学生感受知识.
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
23.1.1第1课时正切2024-2025学年九年级上册数学配套教学设计(沪科版)
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6. 课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调正切函数的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括正切函数的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调正切函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用正切函数。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于正切函数的短文或报告，以巩固学习效果。
学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学资源
1. 软硬件资源：多媒体教学设备，如投影仪和计算机；数学教室内的白板和黑板；正切函数的教学模型和教具。
2. 课程平台：学校提供的网络教学平台，用于上传教学材料、布置作业和交流讨论。
3. 信息化资源：数学教学软件和应用程序，如GeoGebra、Desmos等，用于展示正切函数的图像和性质。
（3）测试评价：在课堂教学结束前，我会安排一个小测试，以评估学生对正切函数知识的掌握情况。测试题型包括选择题、填空题和解答题。通过测试结果，我会了解学生对正切函数的掌握程度，并及时发现存在的问题。对于测试成绩优秀的学生，我会给予表扬和奖励；对于成绩不理想的学生，我会提供辅导和指导，帮助他们提高学习效果。
《锐角的三角函数——正切》PPT课件
勾股定理，得BC＝
102
62
8(m)
，所以tan α＝
AC
6
3 .
BC 8 4
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
求解与坡度有关问题的方法：
首先应作辅助线构造直角三角形(一般是过斜面的上
顶点作水平线的垂线)，如果铅直高度和水平宽度有
一边未知，通常用勾股定理先求出未知边，再利用坡
度公式i＝tan
α＝
h l
第二十三章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第1课时 锐角的三角函 数——正切
1 课堂讲解 2 课时流程
正切函数的定义、 正切函数的应用、 坡度和坡角
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指 标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能 爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？
l
2．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记 作α，于是有i＝tan α＝ h .
l
（来自《点拨》）
知3－讲
3. 拓展：(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大， 坡度越大，坡面越陡． (2)坡度一般写成1∶m的形式，比的前项是1，后项可 以是小数或带根号的数．
4. 易错警示：坡角和坡度是两个不同的概念：坡角是 斜坡与水平面的夹角，是个角度；坡度是坡角的正 切值，是个比值，没有单位．
来求解．
（来自《点拨》）
知3－练
1 计算图（一）、图（二）中坡面AB和A1B1的坡度.
图（一）
图（二）
（来自教材）
知3－练
2 (中考·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所
走的直线距离AB＝4 m，此时，他离地面的高度为h＝2 m， 则这个土坡的坡角∠A＝________．
23.1.1 第1课时 正切
第23章 解直角三角形23．1.1 第1课时 正切知识点 1 正切1．如图23－1－1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan C 等于( )A. 35B. 45C. 43D. 34图23－1－12．如图23－1－2，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则tan C 等于( )A ．2 B. 12 C. 55 D. 52图23－1－23．在Rt △ABC 中，若各边长都扩大为原来的4倍，则锐角A 的正切值( )A ．扩大为原来的4倍B ．不变C ．缩小为原来的14D ．以上都不对 4．如图23－1－3，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( ) A ．2 B ．8 C ．2 5 D ．4 5图23－1－35．［2019·白银、张掖］如图23－1－4，点A (3，t )在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________． 图23－1－46.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若a ＝12，b ＝16，c ＝20，则tan A ＝________.7.如图23－1－5，已知A ，B ，C 三点均在格点上，则tan A 的值为________．图23－1－58．［教材练习第2题变式］如图23－1－6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知AB ＝15，tan A ＝34，求AC ，BC 和tan B 的值． 图23－1－6知识点 2 坡角与坡度(坡比)9．如图23－1－7，梯形护坡石坝的斜坡AB 长8 m ，坡高BC 为4 m ，水平距离AC ＝4 3 m ，则斜坡AB 的坡度是( )A ．30°B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶33图23－1－710.为测量如图23－1－8所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据，则该坡道倾斜角α的正切值是( ) A. 15 B. 18 C. 140 D. 2626图23－1－811．如图23－1－9，将两根木棒AB (长10 m)，CD (长6 m)分别斜靠在墙上，其中BE ＝6m ，DE ＝2 m ，你能判断哪根木棒更陡吗？请说明理由．图23－1－912．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝2，BD ＝8，则tan A 的值是( )A ．2B ．4C . 12D . 1413．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则 tan C 等于( )A . 43B . 34C . 65D . 5614．如图23－1－10所示，CD 是一个平面镜，光线从A 点射出经CD 上的E 点反射后照射到B 点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D.若AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tan α的值为( )A . 43B . 34C . 45D . 35图23－1－1015．［2019·芜湖二模］如图23－1－11，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( )A . 34B . 43C . 35D . 45图23－1－1116．如图23－1－12所示，在4×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC 的三个顶点都在格点上，则tan ∠BAC 的值为( )A . 12B ．1C . 2D . 22图23－1－1217．如图23－1－13，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________．图23－1－1318．在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则tan ∠AOB ＝________，tan ∠ABO ＝________．19．如图23－1－14，在正方形ABCD 外作等腰直角三角形CDE ，DE ＝CE ，连接BE ，则tan ∠EBC ＝________．图23－1－1420．如图23－1－15，l 1，l 2，l 3，l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，四边形ABCD 为正方形，则tan α＝________．图23－1－1521．如图23－1－16，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是________．图23－1－1622．如图23－1－17，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，则tan ∠DBC ＝________．图23－1－171．D [解析] tan C ＝AB BC ＝34.故选D .3．B [解析] 设在原Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边分别为a ，b ，则各边长都扩大为原来的4倍后，∠A 的对边与邻边分别为4a ，4b ，此时tan A ＝4a 4b ＝a b. 4．A [解析] ∵tan A ＝12＝BC AC，AC ＝4， ∴BC ＝2.5. 92[解析] 过点A 作AB ⊥x 轴于点B. ∵点A(3，t)在第一象限，∴AB ＝t ，OB ＝3.又∵tan α＝AB OB ＝t 3＝32，∴t ＝92. 6. 34[解析] 已知三角形的三边，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，故tan A ＝a b ＝1216＝34. 7. 12[解析] 如图，连接BC.设网格中各小正方形的长为1，则BC ＝22＋12＝5，AC ＝22＋42＝2 5，AB ＝32＋42＝5.∵BC 2＋AC 2＝AB 2，∴∠BCA ＝90°.∴tan A ＝BC AC ＝52 5＝12. 故答案为12. 8．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝34.∴可设BC ＝3k ，则AC ＝4k.由勾股定理，得(3k)2＋(4k)2＝152，解得k ＝3(负值已舍去)．∴AC ＝12，BC ＝9，tan B ＝AC BC ＝129＝43. 9．B [解析] 坡度又叫坡比，指铅直高度与水平距离的比，故斜坡AB 的坡度为44 3＝13. 10．A11．[解析] 描述木棒的陡缓，即木棒的倾斜程度，通常用正切比较，正切值越大，木棒越陡．本题先借助勾股定理求出AE ，CE 的长，从而求出tan B ，tan D 的值，然后比较．解：木棒CD 更陡．理由：由题可知AE ＝102－62＝8(m )，CE ＝62－22＝4 2(m )， ∴tan B ＝AE BE ＝86＝43，tan D ＝CE DE ＝4 22＝2 2. ∵2 2＞43，∴tan D ＞tan B ，即木棒CD 更陡．[解析] 依题意，得∠A ＝∠BCD.因为tan ∠BCD ＝82＝4，所以tan A ＝4.故选B . 13． A[解析] 作出BC 边上的高AD ，交BC 于点D ，则CD ＝3，根据勾股定理，得AD ＝4，∴tan C ＝43. 14．A[解析] 由镜面反射，可知∠A ＝∠B ＝α，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ∽△BED.又∵AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，∴CE DE ＝AC BD ＝12， ∴CE ＝4，∴tan α＝43.故选A . 15． B[解析] 如图，连接BD.∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，∴△BCD 是直角三角形，∴tan C ＝BD CD ＝43.故选B . 16． A[解析] 找到∠BAC 所在的直角三角形，进而求得∠BAC 的对边与邻边之比即可．如图，连接BD ，由勾股定理及逆定理可得△ABD 为直角三角形，两条直角边长分别为2，2 2，∴tan ∠BAC ＝22 2＝12.故选A . 17． 43 18． 121 [解析] 如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，利用点A 的坐标为(2，1)，点B 的坐标为(3，0)，可得OC ＝2，AC ＝1，BC ＝1，然后分别在两个直角三角形中求解．19． 13[解析] 如图，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F.设EF ＝a ，则可得CF ＝a ，DC ＝2a ，BF ＝3a ，∴tan ∠EBC ＝EF BF ＝a 3a ＝13. 20． 12[解析] 如图，过点D 作l 1的垂线交l 1于点E ，交l 4于点F.可证明△AED ≌△DFC ，∴AE ＝DF ，∴tan α＝DE AE ＝DE DF ＝12. 21． 32[解析] 要求tan ∠ABC 的值，必须有直角三角形．如图，延长BC 到下一格点D 处，连接AD ，△BDA 是直角三角形．因为∠O ＝60°，小网格是菱形，所以∠ADE ＝30°，∠BDE＝60°.在Rt △ADC 中，AD DC ＝3，所以tan ∠ABC ＝AD BD ＝AD 2DC ＝32. 22. 23[解析] 如图，过点A 作AE ∥BD 交CB 的延长线于点E. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，由勾股定理，得AB ＝13.∵BD ∥AE ，∴∠E ＝∠CBD ，∠EAB ＝∠DBA ，∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA ，∴∠E ＝∠EAB ，∴BE ＝AB.∵BD ∥AE ， ∴CD AD ＝CB BE ， ∴CD AD ＝CB AB ，即CD 12－CD ＝513， 解得CD ＝103. 在Rt △CBD 中，tan ∠DBC ＝CD BC ＝1035＝23.。
1.1第1课时正切(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽
此外，实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，课堂氛围活跃。通过分组讨论和实验操作，学生不仅巩固了正切知识，还学会了将所学运用到实际问题中。但在这一过程中，我也注意到有些学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生培养独立思考和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我努力扮演好引导者的角色，帮助学生发现问题、分析问题。但我也发现，部分学生在讨论中容易偏离主题，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论主题的聚焦和深入。
最后，总结回顾环节，学生对正切知识有了更深入的理解。但在课后，我了解到仍有部分学生对正切的应用存在疑问。为了帮助学生更好地消化吸收所学知识，我计划在课后加强辅导，针对学生的疑问进行解答，确保他们能够真正掌握正切这一知识点。
1.数感与符号意识：通过正切定义的学习，使学生理解并运用符号表示正切函数，增强数感与符号意识。
2.空间观念与几何直观：通过正切图像的绘制与分析，培养学生探讨正切的性质，培养推理与论证能力，提高数学思维水平。
4.数学建模与问题解决：设计实际问题，让学生运用正切知识解决，培养数学建模与问题解决的能力。
-正切图像：绘制并分析正切图像，了解其曲线在0°到90°之间单调递增的特点。这是本节课的重点，需要教师引导学生观察、思考，加深对正切函数图像的认识。
举例：在讲解正切性质时，可以结合具体角度（如30°、45°、60°等）的正切值，让学生观察正切值的变化规律，从而加深对正切性质的理解。
课时作业(三十) 23.1 1. 第1课时 正切
课时作业(三十)[23.1 1. 第1课时 正切]一、选择题1．在正方形网格中，△ABC 的位置如图30－K －1所示，则tan B 的值为( )图30－K －1A.43B.34C.35D.452．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( ) A ．1∶2B.3∶2 C ．1∶ 3D.3∶13．如图30－K －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tan A ＝34，则AC 的长是( )A ．3B ．4C ．6D ．84．2017·安庆期末在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( )A.13 B ．3 C.24D ．2 2图30－K －2 图30－K －35．如图30－K －3，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，与y 轴所夹的锐角为β，已知tan α＝32，则tan β的值为( )A.34B.43C.32D.236．某人沿斜坡坡度i ＝1∶2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为( )链接听课例3归纳总结A ．3米 B.6 55米 C ．2 3米 D.12 55米7．如图30－K －4，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2B.2 55C.55D.12图30－K －4 图30－K －58．如图30－K －5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值为( )A.33 B.2 33 C.5 33D ．5 3二、填空题9．2017·马鞍山期末如图30－K－6，一个小球由地面沿着坡面向上前进了13 m，此时小球距离地面的高度为5 m，则坡面的坡度为________．图30－K－6图30－K－710．如图30－K－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高，AD＝2，CD＝3，则tan∠ABC的值是________．11．在直角三角形ABC中，AB＝10，BC＝6，则tan A的值为________．12．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为________．13．如图30－K－8，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．如果AB∶AD＝2∶3，那么tan∠EFC的值是________．图30－K－8三、解答题14．有一山坡的坡面长260 m，坡顶的高度为100 m，求山坡的坡度．15．如图30－K－9，两根木棍AB＝10 m，CD＝6 m，将它们分别斜立在墙AE上，它们到墙角的距离BE＝6 m，DE＝2 m，你能判断哪根木棍更陡吗？请说明理由．图30－K－916．如图30－K－10，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．图30－K－1017．如图30－K －11，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝135°，求tan B 的值．图30－K －1118．已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻的两条平行直线间的距离均为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图30－K －12所示，AB ＝6，BC ＝8，求tan α的值．图30－K －12新定义题如图30－K －13，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝AC BC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot 30°＝________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图30－K －13教师详解详析[课堂达标]1．[解析] B 设小正方形的边长为1，由图形可知在Rt △ACB 中，BC ＝4，AC ＝3，∴tan B ＝AC BC ＝34.2．[解析] C 设斜坡的铅直高度h ＝k. ∵坡角为30°，∴斜坡的坡面长为2k ， ∴斜坡的水平长度l ＝（2k ）2－k 2＝3k ， ∴这个斜坡的坡度为h l ＝k3k ＝1∶ 3.故选C .3．D 4.D5．[解析] D 过点A 作AB ⊥x 轴于点B. ∵点A(t ，3)在第一象限，∴AB ＝3，OB ＝t. 又∵tan α＝AB OB ＝32，∴t ＝2.∴tan β＝tan ∠OAB ＝OB AB ＝23.6．[解析] B 根据题意画出示意图如图，设BC ＝x.由坡度的定义可知BC AC ＝12，∴tan A ＝BC AC ＝12，∴AC ＝2x.由勾股定理得x 2＋(2x)2＝36，解得x ＝6 55(负值已舍去)．7．[解析] D 如图，连接AC ，由勾股定理，得AC ＝2，AB ＝22，BC ＝10， ∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°， ∴tan B ＝AC AB ＝12.故选D .8．[解析] C ∵EF ⊥AC ，∠C ＝90°，∴EF ∥BC ，∴CF AC ＝BE AB .又∵AE EB ＝4，∴ABEB＝5，∴CF AC ＝15.设AB ＝2x ，则BC ＝x ，AC ＝3x ，∴在Rt △CFB 中，CF ＝35x ，BC ＝x ，则tan ∠CFB ＝BC CF ＝5 33.9．5∶12 10．[答案] 23[解析] 因为∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的高，所以∠ADC ＝∠ACB.又因为∠A ＝∠A ，所以△ACD ∽△ABC ，所以∠ABC ＝∠ACD ，则tan ∠ABC ＝tan ∠ACD ＝AD CD ＝23.11．[答案] 34或35[解析] 当AB 为斜边时，由勾股定理，得AC ＝8，此时tan A ＝34，当AB 为直角边时，tan A ＝35.12.11513．[答案]52[解析] 设AB ＝2k.∵AB ∶AD ＝2∶3，∴AD ＝AF ＝3k.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF ＝AF 2－AB 2＝9k 2－4k 2＝5k.∵∠D ＝∠EFA ＝90°，∠B ＝∠C ＝90°，∴∠EFC ＋∠AFB ＝∠BAF ＋∠AFB ＝90°，∴∠EFC ＝∠BAF ，∴tan ∠EFC ＝tan ∠BAF ＝BF ∶AB ＝5∶2.14．解：∵山坡的水平长度l ＝2602－1002＝240(m )， ∴山坡的坡度＝100240＝5∶12.15．[解析] 描述木棍的陡缓，即木棍的倾斜程度，通常用正切比较，正切值越大，木棍越陡．本题借助勾股定理求出AE ，CE 的长，从而求出tan B ，tan D ，然后比较．解：木棍CD 更陡．理由：由题可知AE ＝102－62＝8(m )，CE ＝62－22＝4 2(m )． ∴tan B ＝AE BE ＝86＝43，tan D ＝CE DE ＝4 22＝2 2.∵2 2＞43，∴tan D ＞tan B ，即木棍CD 更陡．16．解：根据题意可得，AC ＝BC ＝5，CD ＝CE ＝10，AD ＝BE ＝5， ∴△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠BEC ＝13.17．解：如图，过点C 作CE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ，设AB ＝AC ＝a.∵∠BAC ＝135°，∴∠CAE ＝45°， ∴△ACE 为等腰直角三角形， ∴CE ＝AE ，∴2AE 2＝a 2，解得AE ＝CE ＝22a ，∴BE ＝AB ＋AE ＝a ＋22a ， ∴tan B ＝CEBE ＝22a 22a ＋a ＝2－1.18．[解析] 以角α为锐角构造直角三角形，再构造相似三角形，由相似比例关系推理出角α的对边与邻边之间的比例关系．解：如图，过点C 作CE ⊥l 4于点E ，延长EC 交l 1于点F ，则CF ⊥l 1.∵∠α＋∠BCE ＝90°，∠BCE ＋ ∠DCF ＝180°－90°＝90°， ∴∠DCF ＝∠α.又∵∠BEC ＝∠CFD ＝90°， ∴△BEC ∽△CFD ， ∴BE CF ＝BC CD ， 即BE h ＝86， ∴BE ＝43h.在Rt △BCE 中，∵∠BEC ＝90°，∴tan α＝CE BE ＝2h 43h ＝32. [素养提升]解：(1)设BC ＝1，在Rt △ABC 中，若∠α＝30°，则AB ＝2，由勾股定理，得AC ＝3，∴cot 30°＝AC BC ＝ 3.故答案为 3. (2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3x ，AC ＝4x ，∴cot A ＝AC BC ＝43.。
第1课时 正切
3.△ABC中∠C=90°,AC=6,AB=10,tanA的值是( ) 3
课堂小结
谈谈今天我们都学会了什么呢？
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
人要独立生活，学习有用的技艺。 —— 凯德
B
1）在Rt△ABC中，∠C=90°AC=5,
BC=12,tanA=(12 )
125A5 NhomakorabeaC
2）在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5,AB=13,tanA=12( )
5
C
5
A
13
B
１０
B
3）在Rt△ABC中∠C=90°AＢ=１０, BC=８,tanB=( 3 )
4 ８
A
C
合作探究二:
前面我们讨论了梯子的倾斜程度， 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
tanA的值越大，梯子越陡.
图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪个
自动扶梯比较陡？
E
乙
B
13m
5m
6m
A
C
F 8m
D
正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度：铅直高度与水平宽度的比，也称为坡比
如:有一人沿山坡每前进100米就升高60米,那么
3
山坡的坡度为__5 __
B
E
A
D
F
C
随堂演练
1.在直角三角形中,一个锐角所对的直角边与相邻直角 边的比,叫做这个角的( 正切 )
而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比, 也能说明梯子AB1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?