高等数学-集合与函数

若M 0 存在，使得对任意 x D 有 | f ( x ) | M ， 则称 f ( x ) 在 D 上有界；否则称 f ( x )为 D 上的无界 函数。
y M y=f(x) o -M 有界 x X o -M
y
M
x0
X 无界
x
注：有界的概念与数集紧密相关
如y 1 x 在 ( 0 , ) 上无界 , 在 [ 1 , ) 上有界 .
思考题
设 x 0 ， 函 数 值 f (
1 x
) x
1 x ，
2
求 函 数 y f ( x ) ( x 0)的 解 析 表 达 式 .
思考题解答
设
1 x u
1 u 1
1 x x
则 f u
1 u
2
2

1
1 u u
2
,
故
f (x)
1
.
( x 0)
a M, a M,
（3）集合表示方法 有限集
A {a1 , a 2 , , a n }
}
无限集 M { x x 所具有的特征 （4）相互关系
2. 两种常见数集 （1）区间（略） （2）邻域：
a)定义： 设 a 与 是两个实数
数集 { x
, 且 0.
x a } 称为点 a 的 邻域 ,
x
x2
.
e , 设 f (x) x, 求 f [ ( x )].
x 2, ,( x) 2 x 1 x 1, x 1
x 0 x 0 ,
2 初等函数
由常数及基本初等函数经有限次四则运算 与复合运算构成并可用一个式子表示的函数。
例如 y cot x 2
解
1
0
e , f [ ( x )] ( x ),
当 ( x ) 1时 ,
( x)
( x) 1 ( x) 1
或 x 0 , ( x ) x 2 1, 或 x 0,
x 1;
( x) x
2
1 1,
0 x
2;
2
f (x)
g( x)
g( x)
o
x
o
x
(4) 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如 , 2 x 1, f (x) 2 x 1,
y x
2
x 0 x 0
1
y 2x 1
例1
1 设 f (x) 2 0 x 1 1 x 2 , 求函数 f ( x 3 )的定义域 .
(
x
D
x0
)
对应法则f
(
自变量
)
W
y
f ( x0 )
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x
2
D : [ 1 ,1 ] D : ( 1 ,1 )
例如，
y
1 1 x
2
2. 几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1
1 y sgn x 0 1 当x 0 当x 0 当x 0
解
1 f (x) 2
0 x 1 1 x 2 0 x 3 1 1 x 3 2
1 f ( x 3) 2 1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f : [ 3 , 1]
三、函数的特性
y
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 取最值函数
y max{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y min{ f ( x ), g ( x )} y
o
x
例2
1 x , x 0 设 f ( x) 2 , g( x) 求 f [ g ( x )] 及 g [ f ( x )]. 1 x , x 0
x
2 1 x , x 0 g(x) 1 x 解： f [ g ( x )] 2 , x 0. 2
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 自变量
x 0 处的函数值 .
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值全体组成的数集
W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域
.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
0
当 ( x ) 1时 ,
或 x 0,
( x ) x 2 1,
2
1 x 0;
或 x 0, ( x ) x
1 1,
x 1 1 x 0 0 x x 2 2
x
2;
综上所述
e , x 2, f [ ( x )] 2 x 1 , e x 2 1,
记作 U ( a , ) { x a x a } .
(a , a )
b) 几何解释
a

a

a
x
.
a
点 a 叫做这邻域的中心
, 叫做这邻域的半径
c)
点 a 的去心 邻域 : 点 a 的 邻域去掉中心
记作 U ( a , ) { x 0 x a } .
f ( x1 )
o
I
x
设函数
f ( x )的定义域为
D , 区间 I D ,
如果对于区间
I 上任意两点
x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2时 ,
恒有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上是单调减少的 ;
y
y f (x)
f ( x1 )
恒成立 . 则称 f ( x )为周 期函数 , l 称为 f ( x )的周期 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.

3l 2

l 2
l 2
3l 2
四、反函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1 为 f 的反函数 . 习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
f ( x2 )
o
单调性是一个局部概念
2
x
I
.如
f ( x ) x 在区间 I 1 ( , 0 ), I 2 ( 0 , ), I 3 ( , ) 上。
3 函数的奇偶性（前提是定义域关于原点对称）
设 D 关于原点对称
f ( x ) f ( x )
, 对于 x D , 有 称 f ( x )为偶函数 ;
e , x 2, f [ ( x )] 2 x 1 , e x 2 1,
x2
,
√
x 1 1 x 0 0 x x 2 2 .
×
六、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数 基本初等函数 复合运算、初等函数
2
u 2 x ; y arcsin( 2 x )
2
2
1 x (y
u ,u 1,1 ]时，有意义，能复合。 当 x 1或 x 1时，不能复合。
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复
合构成.
例如 y cot x 2 ,
y
u , u cot v , v
1．函数的有界性:
设函数 f ( x ) 在集合 D 上有定义，若存在正常数 B ， 使得对任意 x D ，有 f ( x ) B （或对任意 x D 有f ( x ) B ），则称 f ( x ) 在 D 上有上界（或有下
界），且称 B 为 f ( x ) 在 D 上的一个上界(或下界)。

例：求 ，使得 x U ( 0 , )时，有 2 x 3 .
二、函数
例 圆内接正多边形的周长
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
S n 2 nr sin
n
O
n
n 3 ,4 ,5 ,
r
1.
概念
D 设x 和y 是两个变量, 是一个给定的数集，
定义
如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则总有
高等数学
y
y f ( x)
N T
C

M

o
x0
x
x
y
o
a
x1
x i 1 i x i
x n1 b
x
第一节
二、函数
集合与函数
一、集合 数集
三、函数的初等性质
四、函数的运算 五、初等函数 六、小结
一、集合、数集
1. 集合
（1）集合: 具有某种特定性质的事物的总体. （2）集合的元素：组成这个集合的事物。
1
复合而成
x 自变量， u 中间变量， y 因变量
x u ( x ) y f ( u ) f [ ( x )]
内函数
外函数
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 函数能复合需满足： WD1