守恒律方程组

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守恒律方程

第一段：守恒律方程是物理学中的一类基本方程，它描述了自然界中的物质和能量的守恒规律。

在物理学的各个领域中，守恒律方程都有着广泛的应用，例如流体力学、热力学、电磁学、量子力学等。

本文将从守恒律方程的概念、分类以及应用等方面进行分析和论述，以期更加深入地了解守恒律方程在物理学中的重要性。

一、概念守恒律方程是描述物质和能量在自然界中守恒的基本方程。

它表述了某一物理量在空间和时间上的变化率等于该物理量的流入和流出之差，即物理量守恒的原理。

从守恒律方程的数学表达式来看，它通常采用微分方程表示，是一种非常重要的基本方程。

二、分类守恒律方程根据研究对象的不同，可以分为多种类型。

以下是几种常见的守恒律方程：1. 质量守恒方程质量守恒方程是流体力学中最基本的守恒律方程之一，它描述了流体中质量守恒的规律。

质量守恒方程的数学表达式是一个连续性方程，它表示对于一个体积元，在单位时间内，流入该体积元的质量等于流出该体积元的质量。

2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了物体在外力作用下的运动规律。

在流体动力学中，动量守恒方程是描述流体运动规律的基础方程。

3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了物质在热力学过程中的能量变化规律。

在热力学中，能量守恒方程是描述热力学过程的基础方程。

4. 电荷守恒方程电荷守恒方程描述了电荷在电磁场中的传播规律。

在电磁学中，电荷守恒方程是描述电磁场中电荷分布的基础方程。

三、应用守恒律方程在物理学的各个领域中都有着广泛的应用。

以下是几个典型的应用：1. 流体动力学在流体动力学中，守恒律方程是描述流体运动规律的基础方程。

通过对质量守恒、动量守恒和能量守恒方程的分析，可以研究流体流动的各种现象，如涡流、湍流、流体电磁效应等。

2. 热力学在热力学中，守恒律方程是描述热力学过程的基础方程。

通过对能量守恒方程的分析，可以研究热力学系统中的各种现象，如热传导、辐射传热、相变等。

3. 电磁学在电磁学中，守恒律方程是描述电磁场中物质和能量传播规律的基础方程。

(word完整版)高中化学守恒法(2021年整理)

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浅谈守恒法在高中化学计算中的应用化学反应的实质是原子间重新组合,依据质量守恒定律在化学反应中存在一系列守恒现象，如:质量守恒、原子守恒、元素守恒、电荷守恒、电子得失守恒等，利用这些守恒关系解题的方法叫做守恒法。

守恒的实质:利用物质变化过程中某一特定的量固定不变而找出量的关系,基于宏观统览全局而避开细枝末节，简化步骤,方便计算。

通俗地说,就是抓住一个在变化过程中始终不变的特征量来解决问题.目的是简化步骤,方便计算。

下面我就结合例题列举守恒法在化学计算中常见的应用。

一、质量守恒化学反应的实质是原子间重新结合，质量守恒就是化学反应前后各物质的质量总和不变，在配制或稀释溶液或浓缩溶液（溶质难挥发)过程中，溶质的质量不变。

利用质量守恒关系解题的方法叫“质量守恒法"。

1利用化学反应过程中的质量守恒关系解化学计算题例1：将NO 2、O 2、NH 3的混合气体26.88L 通过稀H 2SO 4后，溶液质量增加45.7g,气体体积缩小为2.24L 。

将带火星的木条插入其中,木条不复燃。

则原混合气体的平均相对分子质量为（气体均在标准状况下测定)A ．40.625B ．42。

15C ．38。

225D ．42。

625［解析］将混合气体通过稀H 2SO 4后，NH 3被吸收。

守恒型方程及其解法

守恒型方程及其解法守恒型方程是一类非常重要的数学模型，在科学和工程的各个领域中都有广泛的应用。

这类方程通常描述了某种物理或化学量在空间和时间中的守恒规律，因此也被称为守恒律方程。

本文将介绍守恒型方程的概念、特点、解法及其应用。

一、守恒型方程的定义与特点守恒律方程是一类描述某些物理或化学量的变化规律的数学模型。

这些物理或化学量通常是一些基本的守恒量，如质量、动量、能量、电荷等。

守恒律方程的基本形式是：$$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla \cdot F(u)=0$$其中$u=u(x,t)$是守恒量的密度函数，即单位体积或单位面积中所含有的该物理或化学量的量；$F=F(u)$是这个守恒量的流量（通量）密度函数，即单位时间内通过单位面积或单位体积的该物理或化学量的流量。

$\nabla \cdot F(u)$是$F(u)$的散度，也即流量的发散率，表示单位时间内从某一空间区域流入该区域的该物理或化学量的净量。

守恒型方程的特点在于，它们描述的物理或化学量在空间和时间中的总量是守恒的，即在任意一个空间区域和时间段内，该物理或化学量的总量保持不变。

这是因为守恒型方程实际上是一个连续性方程，描述了该物理或化学量的流动和积累的动态过程，而不是静态平衡状态下的数值关系。

例如，质量守恒定律可以用以下守恒型方程来描述：$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \textbf{v})=0$$其中$\rho$是质量密度，$\textbf{v}$是质点的速度向量，$\nabla \cdot (\rho \textbf{v})$是质量通量的发散率，表示单位时间内从某一空间区域进出该区域的质量净量。

二、守恒型方程的求解方法守恒型方程的求解方法有多种，包括数值解法和解析解法。

数值解法是通过计算机模拟方程的动态过程，得到一组近似解来描述系统的行为。

守恒律-交通流问题

- 1 -第一讲守恒律方程及其应用 ——红绿灯下的交通流问题1、守恒律2、双曲守恒律方程及基础知识3、交通流模型4、红绿灯下的交通流问题第一章守恒律对于一维空间变量的偏微分方程0)(=+x t u f u （*）称为守恒型方程，其中)u ,,(n 21 u u u=是关于t 和x 的n 维矢量函数，称为守恒量，或状态量，如流体力学中的质量、速度和能量等．更精确点就是i u 是第i个状态变量的密度函数．dx t x u x x i ),(21⎰表示该状态量在区间[]21,x x 中t时刻的总量．我们称这个状态变量是守恒的是指dxt x u x x i ⎰21),(关于t是不变的．))(),(),(()(21n u f u f u f u f =称为流函数．该守恒方程是由物理定律在任意两点1x 和2x 之间如下形式的积分得到的)),(()),((),(2121t x u f t x u f dx t x u dt d x x -=⎰表示在区间][21,x x 中的总流量．（如质量、动量、能量等）的变化仅仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中))((,1t x u f 和))((,2t x u f 分别表示在1x 和2x 点的流入流出量．例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+⋅∇+=∇+⊗⋅∇+=⋅∇+（状态方程）（能量守恒）（动量守恒）（质量守恒）),,(,0)()(,0)()( ,0)(S f p up uE E p u u u u t t t ρρρρρρρ 其中S e p u ,,,，ρ分别为理想流体的密度、速度、压强、内能和比熵，e u E +=2||21，),,(z y x ∂∂∂=∇，⊗是张量积．第二章双曲守恒律方程及基础知识2.1 间断现象方程0)(=+x tu f u （*）的特征方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0)(dtduu dt dxλ （2.1）- 2 -其中)()(u f u '=λ.明显地可以看出，方程的解是),,(u t x 空间内的直线，其平行于),(t x 平面，且其值由特征线所决定．为简单起见，特征线在),(t x 平面上的投影仍称为特征．设0)(≠'u λ，称其为凸性条件，则方程（*）被称为凸方程．这个问题中映射)(u u λ→是一一对应的，并且方程在),,(u t x 空间中的解曲面与),(t x 平面的特征域具有相同的一一对应关系．可以证明当且仅当方程在),(t x 平面上的特征域是单值连续变化时，方程的解),(t x u 是单值连续的．为简单起见，设0)(>'u λ. （2.2）对于标量u 考察初值问题))(()0,(0+∞<<-∞=x x u x u （2.3）并且求解0>t时方程（*）/(2.3)的解．很明显，从特征域出发并且由初始条件（2.3）所决定的特征线，在0>t 的半内是单值连续变化的，当且仅当)(0x u 是非减函数.并且解的这种非减的性质不随t 变化，即当连续函数)()0,(0x u x u =是非减的，则函数),(t x u 对任意0>t也是非减的．这样的解),(t x u 称为稀疏波，用R 表示．图2-1)(0x u 是非减的当)(0x u 是减函数时，例如，存在1x 、2x 点，有))(()(20)(01x u f u f x '>' 那么始于)0,(1x 和)0,(2x 的特征线在p 点相交（0>t ），在p 点解是超定的．因为不同的特征线相交，每一个特征线代表不同的u 值，很容易得到解是不连续的．这种解的不连续问题对应于力学中的激波现象．- 3 -图2-2)(0x u 是非增的上述结论与f和)(0x u 是否光滑无关，无论初始条件多么光滑，都会出现不连续解．这是拟线性双曲方程最重要的特征，也是与线性双曲方程最根本的不同．定理2.1.1 假设)(u f 是定义在R I ⊂上的一条光滑的函数，并且满足凸性条件．那么对于0>t ，当且仅当)(0x u 是非减函数则初值问题（*）/（2.3）的解是一个连续单值解．引理2.1.2 在定理（2.1.1）的假设条件下，对于0>t ，当)(0x u 是减函数时，间断解)(x u 总会出现．2.2 黎曼问题- 4 -图2-3 图2-4但是，对于上述+->u u时这类函数是无解的．现在我们来考查分片光滑函数．在ωξ=处，间断的函数在广义积分下0)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎰+-ξξξξεωεωd d u df d du成立，则)(ξu 称为（*）/（2.4）的一个弱解．利用分部积分并且令0→ε时得到[][])(u f u =ω（2.9）其中[])0()0(--+≡ωωu u u ，[]))0(())0((--+≡ωωu f u f f ．在力学数学语中（2.9）称为Rankine-Hugoniot 约束条件，简称Rankine-Hugoniot 关系，它代表间断线的切线斜率ω与它对应的跳跃值之间的关系．我们得到的间断解称为激波（见图）.xtξtu][)]([u u f =ω-ut+u t -u t+u t图2-5- 5 -第三章交通流模型各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过，其情景就像在湍急的江河中奔腾的水流一样．在这种情况下我们不去分析每辆汽车的运动规律，而是把车队看作连续的流体，称为交通流或车流．研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系，特别是在出现譬如红绿灯改变、交通事故等干扰的情况下交通流的变化过程，下面建立交通流的模型对其进行分析． 3.1交通流模型研究对象是在无穷长公路上沿单向运动的一条车流．假定不允许超车，公路上也没有岔路，即汽车不会从其它通道进入公路或从公路驶出．在公路上选定一个坐标原点，记作0=x ．以车流运动方向作为x 轴的正向，于是公路上任一点可用坐标x 表示．对于每一时刻t和每一点x ，引入下面三个基本函数：流量),(t x q ：时刻t 单位时间内通过点x 的车辆数；密度),(t x ρ：时刻t 点x 处单位长度内的车辆数；速度),(t x u ：时刻t通过点x 的车流速度．将交通流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流量、密度和速度．注意：这里速度),(t x u ，不表示固定的哪一辆汽车的速度．这三个基本函数之间存在着密切关系．首先可以知道，单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积．即),(),(),(t x t x u t x q ρ= （3.1）其次，经验告诉我们，车流速度u 总是随着车流密度ρ的增加而减小的．当一辆汽车前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可描述为0=ρ时m u u = (最大值)；当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为m ρρ= (最大值)时0=u ．显然在这两种极端情况下的车流量0=q ．进一步观察可以发现，当ρ较小时随着ρ的增加q 也会增长；但当ρ较大时，q 将随着ρ的增加而减小．同理，当u 较小时随着u 的增加q 也会增长；但当u 较大时，q 将随着u 的增加而减小．综上分析，流量q与密度ρ之间的关系可表为图3-1的形式（流量q与速度u之- 6 -图）．图3-1 流量q 与密度ρ的关系在交通流模型中流量和密度的关系常用以下的二次函数表述．)1(mm u q ρρρ-= （3.2）显然2*mρρ=时，由（3.2）可以看出流量取得最大值．应该指出(3.2)式是在平衡状态下ρ 、u 和q 之间的关系，即假定所有车辆的速度相同，公路上各处的车流密度相同．3.2连续交通流问题3.2.1 连续交通流问题的疏散波解对于正常运动的交通流，可以假定流量),(t x q 密度),(t x ρ和速度),(t x u 都是x 和t 的连续可微函数，并满足解析运算所需要的性质．下面根据守恒原理推导这些函数满足的方程．考察x 轴的任意区间][b a ,和任意时刻t ，单位时间内通过a 、b 点的流量分别为),(t a q 和),(t b q ．因为时刻t 在区间][b a ,内的车辆数为dx t x b a ⎰),(ρ，其变化率为dx t x dtd b a ⎰),(ρ在公路没有岔路的假定下区间][b a , 内的车辆数守恒，于是=-),(),(t b q t a q dx t x dtd ba ⎰),(ρ （3.3）这是交通流方程的积分形式，它并不需要函数对x 的连续性．在关于q 和ρ的解析性质的假定下，=-),(),(t b q t a q dx t x q x ba ),(⎰∂∂-, dx t x dtd ba ⎰),(ρ=dx t x q xb a ),(⎰∂∂- 所以（3.3）式化为0)(=∂∂+∂∂⎰dx xqt baρ （3.4）- 7 -由于区间][b a ,是任意的，故0=∂∂+∂∂xqt ρ （3.5）这就是连续交通流方程．当把q 表示为ρ的已知函数)(ρq q =时（如（3.2）式）导数ρd dq也是已知函数，记为)(ρθ，于是按照求导法则有=∂∂=∂∂x d dq x q ρρ)(ρθx∂∂ρ 这样，方程（3.5）可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧=+∞<<∞->==∂∂+∂∂)()0,(,0,,0)(x f x x t d dq x tρρρθρρθρ）（（3.6）其中)(x f 是初始密度．方程（3.6）的解),(t x ρ描述了任意时刻公路上各处的车流分布状况，再由)(ρq 即可得到流量函数),(t x q ．（3.6）式是一阶拟线性偏微分方程，可用特征方程和首次积分法求解如下: 由首次积分，与方程（3.6）的同解方程为,0)(1ρρθd dx dt == （3.7）即0=dtd ρ, 且)(ρθ=dtdx，则0)()(x t t x +=ρθ, 0)0(x x =即00))(()(x t x f t x +=θ （3.8）容易验证（3.8）满足方程（3.6）．实际上对)),((t t x ρ求关于t 的全导数有0=∂∂+∂∂dtdxx t ρρ（3.9）再将（3.7）)(ρθ=dtdx代入（3.9）就是方程（3.6）．至于（3.7）（3.8）满足初始条件)()0,(x f x =ρ则是显然的． 3.2.2 交通流的特征线上面方程（3.6）的解（3.7）（3.8）两式有着明显的几何意义，在t x ~平面上（3.8）表示一族直线（图3-2），它与x 轴- 8 -的交点是坐标是0x ，斜率为))((10x f k θ=（t 对x 的斜率），当函数θ 、f给定后，k 随0x 改变，这族直线称为方程的特征线．（3.7）式表明，沿每一条特征线)(t x x =车流密度),(t x ρ是常数)(0x f ，当然在不同的特征线上),(t x ρ随0x 不同而不同．图3-2 方程（3-6）的特征线这样，从形式上看当流量函数)(ρq 和初始密度)(x f 给定后，（3.7）（3.8）就完全确定了方程（3.6）的解，但是下面将会看到，由于初始密度)(x f 不同可以导致两种截然不同结果．设)(ρq 如（3.2）式表出，则)21()(mm u d dq ρρρρθ-==（3.10） )(ρθ是减函数，当2*mρρρ==时0*)(=ρθ，对于*1ρρ< 0)(1>ρθ，对于*2ρρ>，0)(2<ρθ（见图3-3）图3-3)(ρθ的图形如果初始密度)(x f 是x 的减函数，如图3-4所示，即沿车辆行驶的x 轴正向，前面的密度小，后面的密度大，则特征线的形状如图3-5．在密度*ρ的*x 点（即**)(ρ=x f ），因为0*))((=x f θ，从*x 出发的特征线的斜率∞→=))((1*)(0x f x k θ，所以这条特征线垂直于x轴．对于*1x x >，*)(11ρρ<=x f ，因为- 9 -0)(1>ρθ，0)(1)(11>=ρθx k ，所以从1x 出发的特征线的斜率方向如图3-5所示；对于*2x x <，*)(22ρρ>=x f ，因为0)(2<ρθ，0)(2<x k ，所以从2x 出发的特征线向相反的方向倾斜．这种情况下（3.7）（3.8）的确是方程（3.6）的解．图3-4 初始密度图3-5 特征线但是如果初始密度)(x f 是x 的增函数，如图3-6，前面密度大，后面密度小，则用类似于上面的分析方法可知，特征线的形状如图3-7所示，它们必然相交．我们知道，在任一条特征线上密度),(t x ρ等于该线与x 轴交点处的初始密度，那么当如图所示从1x 和'1x 两点出发的特征线相交于),(t x p 点时，p 点的密度),(t x ρ将既等于)(1x f 又等于)('1x f ．当)(1x f ≠)('1x f 时这个结果显然是荒谬的．图3-6 初始密度图3-7 特征线相交从实际现象分析为什么会得到这个错误的结果．与图3-4给出的初始密度)(x f 不同，图3-6的)(x f 表示前面的车辆拥挤，后面的车辆稀疏，于是后面的车速比前面的大．当速度快的汽车追上速度慢的汽车又不允许超车时，它的速度就会突然降下来，并且引起在它后面的汽车的连锁反应，一辆一辆地突然减速．车流速度),(t x u 的突变像水波一样向后传播，我们在日常生活中可以观察到这种现象．速度的突变必然导致密度),(t x ρ和流量),(t x q 的突变，这意味着函数),(t x ρ和),(t x q 在某些),(t x 处出现了间断．这种情况下不能再假定这些函数是连续可微的，因而不能再用微分方程（3.6）描述车流的分布，方程（3.7）（3.8）也没有意义了． 3.2.3 连续流问题的间断解当密度函数),(t x ρ出现间断时，具有实际意义的也是常见的一种情况，一连串的间断点),(t x 在t x ~平面上构成一- 10 -条孤立的间断的间断线，记做)(t x x =．图3-7引出的间断就是这种情况．下面推导间断线)(t x x s =应满足的方程时，还假设它是可微的．在任意时刻t ，)(t x x s =在x 轴上是孤立的，可以取区间][b a ,，使b t x a s <<)(．在][b a ,内交通流的方程的积分的形式（3.4）仍然成立．将][b a ,分为两个区间[))(,t x a s 和(]b t x s ),(，在每个区间内),(t x ρ是连续可微的，于是有dtdx t t x dx t dt dx t t x dx t dx t x dx t x dt d t b q t a q ss b t x s s t x a t x a b t x s s s s )),(()),((),(),(),(),()()()()(+--∂∂++∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-⎰⎰⎰⎰ρρρρρρ （3.11）其中)(t x s -和)(t x s +分别表示从小于和大于)(t x s 一侧趋向)(t x s 时的极限值．在这种趋势下),(t x ρ和),(t x q 的极限记作))((,t s t x --=ρρ ))((,t s t x ++=ρρ))((,t s t x q q --= ))((,t s t x q q ++= （3.12）ρ和q 在间断点s x 处的跳跃值记作[]-+-=ρρρ []-+-=q q q （3.13）如图3-8所示．图3-8),(t x ρ在)(t x s 处间断当)(t x as -→，)(t x b s +→时（3.11）式中的0)(=∂∂⎰dx tt x as ρ0)(=∂∂⎰dx tb t x s ρ．利用（3.12）、（3.13）式的记号立即得到[][]dtdx q s ρ=，或者[][]ρq dtdx s=（3.14）这就是间断线)(t x x s =应满足的方程，其中[]ρ和[]q 可以用连续的交通流方程解得的ρ和q 在间断点处的极限值算出．- 11 -第四章红绿灯下的交通流问题为了方便起见设交通信号灯置于0=x 处．若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度)(x f 是常数．某时刻交通灯突然变红，于是交通灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，而后面（0<x ）的车辆则一辆辆的堵塞起来．经过一段时间后交通灯变绿，被堵塞的车辆得以快速的向前行驶．此模型主要研究这一过程中车流密度和速度的变化，红绿灯亮后被堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队，多长时间堵塞状态才会消失，多长时间交通会恢复正常等问题．红绿灯的变化必然引起密度函数),(t x ρ和速度函数),(t x u 的间断，下面用方程（3.14）研究间断线的变化规律，而在),(t x ρ和),(t x u 的连续点处仍用（3.7）（3.8）式进行分析．设+=0t时交通灯突然由绿变红，τ=t 时又由红变绿．下面依时间顺序用图形结合公式计算的方法讨论),(t x ρ的演变过程并回答上面的“何时追上车队”、“何时堵塞消失”等问题．1、-≤0t时设0)()0,(ρρ==x f x （常数），见图（4-1）为确定起见不妨设定*0ρρ<，即初始密度小于使流量达到最大的*ρ，这种交通流称为稀疏流．2、τ<≤+t 0红灯亮．在红灯后面（0<x ）车辆堵塞导致最大密度m ρρ=，与初始密度0ρρ=形成间断，这条左间断线记作)(t x x sl =，表示堵塞的车队尾部随时间向后（左）延伸的过程，红灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，空出的路段导致0=ρ（此时车辆速度达到最大m u u =）与0ρρ=形成间断，这条右间断线记作)(t x x sr =，表示远离的车队尾部向前（右）延伸的过程，见图（4-2），)(t x sl 和)(t x sr 由方程（3.14）确定．而流量)(ρq 的计算由(3.2)式给出．对于0][ρρρ-=m , mm m m u q q q ρρρρρρ)()()(][000--=-=于是⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(0sl m m slx u dtdx ρρ其解为t u t x mm sl ρρ0)(-=. （4.1）对于)(t x xsr =, []0ρρ=, mm m u q ρρρρ)(][00-=,⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(0sr m m m sr x u dtdx ρρρ- 12 -t u t x mm m sr ρρρ)0()(-=（4.2）因为2*0mρρρ=< 由（4.1）（4.2）可知)(t x sr 向前的速度比)(t x sl 向后的速度大．3、τ=t 时绿灯亮，被阻止在0<x 处的车队开始向前行驶（图4-3）4、τ>t ，见图（4-4）．用)(1t x 表示堵塞车队行驶时最前面那辆车的位置，即由0=ρ变为0>ρ那一点的位置；用)(2t x 表示堵塞车队行驶时最后面那辆车的位置，即由m ρρ<变为m ρρ=那一点的位置．将时间坐标轴平移为τ-=t t '，初始密度(0'=t)可记作⎪⎩⎪⎨⎧=0)(ρρmx fsrsl sr sl x x x x x x x x ><<<<<,00对于sr x x <<00，由（3.10）式可得m u x f =))((0θ，在特征线0'x t u x m +=上，密度0),('=t x ρ，令+→00x ，我们得到''1)(t u t x m = 或 )()(1τ-=t u t x m（4.3）其实因为前面的那辆车能以最大的速度m u 行驶（0=ρ时m u u =）．（4.3）式立即可写出．类似的，对于00<<x x sl 时,由（3.10）得m u x f -=))((0θ，)()(2τ--=t u t x m （4.4）而对于)()(12t x x t x ≤≤，利用（3.7）（3.8）可知')(t x ρθ= ．再注意到)(ρθ的表达式（3.10），我们得到))(21(τρρ--=t u x mm （4.5）即))(1(2),(τρρ--=t u xt x m m， )()(12t x x t x ≤≤（4.6）),(t x ρ对x 是线性的，且2),0(mt ρρ=，所以图中用直线表示．实际上，在)(1t x 和)(2t x 之间的那些车辆，是一辆辆的逐渐动起来的，由于初始速度是均匀的，)(1t x 和)(2t x 又是线性的，所以),(t x ρ与x 之间的线性关系是可以预料的．5、d t t =时堵塞消失，见图（4-5）．由于)(1t x 、)(2t x 向前向后的移动速度都是m u ，)(t x sl 向后的速度为mm u ρρ0，)(t x sr 向前的速度为mm m u ρρρ)(0-．在2*0mρρρ=<的假定下不难知道，)(2t x 会首先赶上)(t x sl，记这个时刻为d t ，在（4.1）（4.4）式中令)()(2d d sl t x t x =，即d mmd m t u t u ρρτ0)(=- 可解得- 13 -τρρρ0-=m m d t（4.7）显然，d t 是堵塞消失的时刻．6、u t t=时追上车队，见图（4-6）．当)(1t x 赶上)(t x sr 时，堵塞车队的最前面那辆车追上远离的车队，记这个时刻为u t ，在（4.2）（4.3）式中令)()(1u u sr t x t x =，可计算出τu u u t m mu -=（4.8）7、u t t >，见图（4-7）．)(t x sl 和)(t x sr 继续移动，而),(t x ρ的跳跃值逐渐减小．下面分析)(t x sl 的变化规律．)(t x sl 满足间断交通流方程（3.14），其中+ρ由（4.6）))(1(2τρρ--=+t u x m slm来确定，而0ρρ=-，由（3.2）式计算出)(++=ρq q ，)(--=ρq q可得[][]⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-==m m m sl sl ut u x q dtdx ρρτρ0212)(2 （4.9）方程（4.9）的定解条件是)()(τ--=d m d sl t u t x（4.10）其中 τρρρ0-=m m dt 给出. 其通解为,)())(21()(2110ττρρ-+--=t B t u t x mm sl （4.11）0))(1(221001<---=ρρτρρρm m m u B （4.12）对（4.11）求导可得,)()21()(2110--+-=τρρt B u dt t dx mm sl当t 足够大时，必有)21(|)(|0211mm u t B ρρτ-<--（4.13）这时- 14 -0)21(lim>-=∞→mo m sl t u dt dx ρρ（4.14）所以一定存在某个时刻，使)(t x sl 由d t t =时的向后移动（因为0|<=d t t sldtdx ）变成向前移动.同理可得 0)21(lim>-=∞→mo m sr t u dtdx ρρ（4.15）这说明当t足够大时，间断线)(t x x sl =和)(t x x sr =移动的速度是一样的，它们不会再相交而形成新的间断．8、*t t=时0=x 处交通恢复，见图（4-8）．)(t x sl 向前移动确定0=x 点的时刻记作*t ，在（4.11）式中令0)(*=t x sl 可以解出2*)21(mt ρρτ-=（4.16）从（4.16）式可知，红灯的时间τ越短，初始速度与最大速度之比mρρ0越小，恢复的就越快．设830=m ρρ，由（4.16）式可以算出τ16*=t .将τ看做由交通事故造成的堵塞而停止交通的时间，那么5=τ分钟的堵塞，需要755516=-⨯分钟堵塞才会恢复原状.当*t t >后，)(),(t x t x sr sl 都在0>x 处向前移动，并且ρ的跳跃值越来越小.理论上要当∞→t 时全线（∞<<∞-x ）的交通才能恢复到初始状态0ρρ=.。

第三章运动方程、守恒律--全同性原理 - 华中师范大学

第三章运动方程、守恒律--全同性原理§3.1 薛定谔方程（1）1. 薛定谔方程的引进我们现在已知道：一个微观粒子的量子态用波函数 ),(t r v ψ来描述。

当 ),(t r v ψ确定后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量值几率的分布都完全确定。

因此，量子力学中最核心的问题就是要解决：波函数 ),(t r vψ如何随时间演化及在各种具体情况下找出描述体系的各种可能的波函数。

这个问题由薛定谔于1926年提出的波动方程得以圆满解决。

下面用一个简单的办法来引进这个方程。

应强调的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。

实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定，并不能从什么更根本的假定来证明它。

它的正确性，归根结底，只能靠实验来检验。

下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是m p E 22= (1)是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系的m波的角频率 ϖ和波矢k v （ λπ2=k v ），由下式给出， hv v p k = (2) h E =ϖ或者说，与具有一定能量E 和动量 p v 的粒子相联系的是平面单色波。

),(t r v ψ～ h v v v v /)((Et r p i t r k i e e −⋅−⋅ϖ)= (3)由(3)式可得ψψE ti ∂h =∂ ψψp v =∇i h −ψ22p v ψ2=∇h −利用(1)式，可以得出ψψ)2(E =)2(222m p m i −∇∂∂h h t +即：),(22mh ),2t r t r i v v h ψ∇−=∂∂(t (4) 注意：方程(4)中 ),(t r v ψ是一个单色平面波。

而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包的形式，即为许多单色平面波的叠加。

)(r ,t v ψ＝ p d e p Et r p i v v h 1πh v v 3/)(2/3)()2(−⋅∫ϕ (5) 式中：m p E 22=，不难证明 p d Ee p t i Et r p i v v h h h v v 3/)(2/3)()2(1−⋅∫=∂∂ϕπψp d e p p Et r p i v v v h h h v v 3/)(22/322)()2(1−⋅∫=∇−ϕπψ ∴p d e m p E p m t i Et r p i v v h h h h v v 3/)(22/322)2/()()2(1)2(−⋅−=∇+∂∂∫ϕπψ ＝0可见，如果),(t r v ψ是波包，仍满足方程(4)，所以方程(4)是自由粒子波函数满足的方程。

§8 基本定律与守恒律

v v v v 1 F ⋅ dr = md v ⋅ dv = d mv 2 两边乘以dt 两边乘以 2
动能定理
2、机械能守恒律、
当质点只受保守力作功时，根据保守力与势能的微分关系,有：当质点只受保守力作功时，根据保守力与势能的微分关系有
v v F ⋅ dr = − dV
代入动能定理表达式，得代入动能定理表达式，
r v
mg
方法二:运动定律方法二运动定律
写出运动微分方程并求解. 写出运动微分方程并求解
dv m = mg sin θ dt
& v = − lθ
maτ = Fτ
初始条件
θ = θ0， = 0 θ&
切向(θ减小）切向减小）减小
& & lθ 2 = 2 g cosθ + C 直接积分 − lθ& = g sin θ
v v v 两边除以dt v dr d v d r 两边除以 F ⋅ = m ⋅ dt dt dt
v v 2 v v d 2 r 两边点乘 dr v d r v v F = m F ⋅ dr = m ⋅ dr dt 2 dt 2
v v v dr dv v F ⋅ = m ⋅ dv dt dt
v dv v = m ⋅ dr dt
C = −2 g cosθ 0
v2 & lθ 2 = 2 g (cosθ − cosθ 0 ) = l
v 2 = 2 gl (cosθ − cosθ 0 )
2 最低点对应θ=0 v最低点 = 2 gl (1 − cosθ 0 ) 最低点对应
推测：力矩引起动量矩的变化. 关系如何? 推测：力矩引起动量矩的变化关系如何

高中化学守恒法专题

守恒法专题守恒法是一种中学化学典型的解题方法，它利用物质变化过程中某一特定的量固定不变来列式求解，可以免去一些复杂的数学计算，大大简化解题过程，提高解题速度和正确率。

它的核心是用宏观的统揽全局的方式列式，不去探求某些细微末节，直接抓住其中的特有守恒关系，快速建立计算式，巧妙地解答题目。

常用的守恒法有质量守恒、物质的量守恒、元素守恒、电荷守恒、得失电子守恒等。

在必要的时候，甚至可能用到多重守恒，即利用多种守恒列方程式（组）进行相关的计算。

一、质量守恒质量守恒是根据化学反应前后反应物的总质量与生成物的总质量相等的原理，进行计算或推断。

主要包括：①反应物总质量与生成物总质量守恒；②反应中某元素的质量守恒；③结晶过程中溶质总质量守恒；④可逆反应中反应过程总质量守恒。

【例题感悟】例1、在反应X+2Y=R+2M中，已知R和M的摩尔质量之比为22：9，当1.6gX与Y 完全反应后，生成4.4gR，则在此反应中Y和M的质量比为（）（A）16：9 （B）23：9 （C）32：9 （D）46：9例2、1500℃时，碳酸铵完全分解产生气态混合物，其密度是相同条件下氢气密度的（）（A）96倍（B）48倍（C）12倍（D）32倍【练习实战】1.将100℃的200克硫酸铜饱和溶液蒸发掉50克水后再冷却到0℃时，问能析出胆矾多少克？（硫酸铜溶液度100℃时为75.4克,0℃时为14.3克）2.在一定条件下，气体A可分解为气体B和气体C ，其分解方程式为2A====B+3C 。

若已知所得B和C混合气体对H2的相对密度为4.25。

求气体A的相对分子量。

3.为了确定亚硫酸钠试剂部分氧化后的纯度，称取亚硫酸钠4g置于质量为30g 的烧杯中，加入6mol/L盐酸18mL(密度为1.1 g／cm3)，反应完毕后，再加2mL盐酸，无气体产生，此时烧杯及内盛物质的质量为54.4g，则该亚硫酸钠试剂的纯度为多少？二、物质的量守恒物质的量守恒是根据反应前后某一物质的物质的量不变的原理进行推导和计算的方法。

高三化学守恒法

高三化学守恒法高三化学守恒法守恒法是高考中常考常用的一种解题方法.系统学习守恒法的应用,对提高解题速率和破解高考难题都有很大的帮助.●难点磁场请试做下列题目,然后自我界定学习本篇是否需要.现有19.7 g由Fe.FeO.Al.Al2O3组成的混合物,将它完全溶解在540 mL2.00 mol·L－1的H2SO4溶液中,收集到标准状况下的气体8.96 L.已知混合物中,Fe.FeO.Al.Al2O3的质量分数分别为0.284.0.183.0.274和0.259.欲使溶液中的金属阳离子完全转化为氢氧化物沉淀,至少应加入2.70 mol·L－1的NaOH(aq)体积是________.●案例探究［例题］将 CaCl2 和 CaBr2 的混合物 13.400 g溶于水配成500.00 mL 溶液,再通入过量的 Cl2,完全反应后将溶液蒸干,得到干燥固体11.175 g.则原配溶液中,c(Ca2＋)∶c(Cl－)∶c(Br－)为A.3∶2∶1B.1∶2∶3C.1∶3∶2D.2∶3∶1命题意图:考查学生对电荷守恒的认识.属化学教学中要求理解的内容.知识依托:溶液等有关知识.错解分析:误用电荷守恒:n(Ca2＋ )= n(Cl－) ＋ n(Br－),错选A.解题思路:1个Ca2＋所带电荷数为2,则根据溶液中阳离子所带正电荷总数等于阴离子所带负电荷总数,知原溶液中:2n(Ca2＋) = n(Cl－) ＋ n(Br－)将各备选项数值代入上式进行检验可知答案.答案:D●锦囊妙计化学上,常用的守恒方法有以下几种:1.电荷守恒溶液中阳离子所带正电荷总数等于阴离子所带负电荷总数.即:阳离子物质的量(或浓度)与其所带电荷数乘积的代数和等于阴离子物质的量(或浓度)与其所带电荷数乘积的代数和.2.电子守恒化学反应中(或系列化学反应中)氧化剂所得电子总数等于还原剂所失电子总数.3.原子守恒系列反应中某原子(或原子团)个数(或物质的量)不变.以此为基础可求出与该原子(或原子团)相关连的某些物质的数量(如质量).4.质量守恒包含两项内容:①质量守恒定律;②化学反应前后某原子(或原子团)的质量不变.此外,还有物料平衡,将编排在第16篇——水的电离中.●歼灭难点训练1.()将3.48 g Fe3O4 完全溶解在100 mL 1.00 mol/L 的 H2SO4(aq)中,然后加入 K2Cr2O7(aq)25.00 mL,恰好使 Fe2＋全部转化为 Fe3＋,且 Cr2O全部转化为 Cr3＋.则K2Cr2O7 的物质的量浓度为__________.2.()某露置的苛性钾经分析含水:7.62%(质量分数,下同).K2CO3:2.38%.KOH:90.00%.取此样品 1.00 g 放入46.00 mL 1.00 mol·L－1 的HCl(aq) 中,过量的 HCl 可用 1.070 mol/L KOH(aq)中和至中性,蒸发中和后的溶液可得固体_______克.3.()A.B.C三种物质各15g,发生如下反应:A＋B＋CD反应后生成D的质量为30g.然后在残留物中加入10 g A,反应又继续进行,待反应再次停止,反应物中只剩余C,则下列说法正确的是( )A.第一次反应停止时,剩余B 9 gB.第一次反应停止时,剩余C 6 gC.反应中A和C的质量比是5∶3D.第二次反应后,C剩余5g4.()(1)中学教材上图示了NaCl晶体结构,它向三维空间延伸得到完美晶体.NiO(氧化镍)晶体的结构与NaCl相同,Ni2＋与最近O2－的核间距离为a_10－8cm,计算NiO晶体的密度(已知NiO摩尔质量为74.7g·mol－1).图1—1(2)天然的和绝大部分人工制备的晶体,都存在各种缺陷,例如在某种NiO晶体中就存在如图1—1所示的缺陷:一个Ni2＋空缺,另有两个Ni2＋被两个Ni3＋所取代.其结果晶体仍呈电中性,但化合物中Ni和O的比值却发生了变化.某氧化镍样品组成为Ni0.97O,试计算该晶体中Ni3＋与Ni2＋的离子数之比.附:参考答案难点磁场提示:根据 Na 原子守恒和SO守恒得如下关系:2NaOH _ Na2SO4_H2SO4则:n(NaOH) = 2n(H2SO4)c(NaOH)·V[NaOH(aq)] =2c(H2SO4)·V [H2SO4(aq)]V [NaOH(aq)]可求.答案:800 mL歼灭难点训练1.提示:Fe3O4中＋2 价铁所失电子物质的量与 Cr2O 中＋6 价铬所得电子物质的量相等._(3－2)= 0.02500 L_c(Cr2O)_(6－3)_2.答案:0.100 mol·L－12.提示:根据 Cl 原子守恒得:n(KCl) = n(HCl) = 1.00 mol·L－1_0.04600 L = 4.60_10－2mol,m(KCl) 易求.答案:3.43 g3.解析:第一次反应 A 不足,因为第一次反应后加入 A 又能进行第二次反应.第二次反应后,只剩余 C,说明 A.B恰好完全反应.则:m反(A)∶m反(B) = (15 g＋10g)∶15 g = 5∶3第一次反应耗 B 的质量mB为:15 g∶mB=5∶3,mB=9 g即第一次反应后剩余B质量为:15g－9 g=6 g.可见(A)选项不正确.根据mA＋mB＋mC=mD ,可知生成30 g D时消耗C的质量.mC=30 g－15 g－9g=6 g即第一次反应后剩余C质量为:15g－6g=9g.又见(B)选项不正确.易见反应消耗A.B.C质量之比为:mA∶mB∶mC=15 g∶9 g∶6g=5∶3∶2 (C)选项不正确.答案:D4.提示:由题得 NiO 晶体结构(如右图).其体积为:V = (a_10－8cm)3右图向三维空间延伸,它平均拥有的 Ni2＋.O2－数目为:N(Ni2＋) =N(O2－) =_4 ==N(NiO)由密度公式得:ρ(NiO) =.(2)(电荷守恒法)设 1 mol Ni0.97O中含Ni3＋物质的量为_,则Ni2＋的物质的量为(0.97 mol－_);根据电荷守恒得:3_＋2_(0.97mol－_)=1 mol_2 _=0.06 molN(Ni3＋)∶N(Ni2＋)=0.06 mol∶(0.97mol－0.06 mol)=6∶91答案:(1) (2)6∶91。

几个守恒律方程的精确解

几个守恒律方程的精确解守恒律方程是描述物理量在空间和时间上的守恒的基本定律。

它们在物理学的许多领域中都起到重要的作用，包括流体力学、电磁学、热力学等等。

下面将列举几个守恒律方程的精确解。

1. 波方程（Wave Equation）波方程是描述波传播的方程，它可以用于描述水波、声波等波动现象。

波方程的一般形式为：∂^2u/∂t^2=c^2(∂^2u/∂x^2)其中u是波的振幅，t是时间，x是空间坐标，c是波速。

波方程的一个精确解是平面波解：u(x,t) = Asin(kx - ωt + φ)其中A是振幅，k是波数，ω是角频率，φ是相位常数。

通过选择不同的振幅、波数、角频率和相位常数，可以得到不同形式的波。

2. 热传导方程（Heat Equation）热传导方程是描述物质中热量传输的方程，它可以用于描述传导过程中温度分布的演化。

热传导方程的一般形式为：∂u/∂t=α∙∂^2u/∂x^2其中u是温度分布，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。

热传导方程的一个精确解是高斯分布解：u(x,t) = (1/(4∙π∙α∙t))^((n+1)/2)∙exp(-x^2/(4∙α∙t))其中n是空间维数，对于一维问题，n=1；对于二维问题，n=2；对于三维问题，n=3、高斯分布解描述了热量从初始热源向周围扩散的过程。

3. 亥姆霍兹方程（Helmholtz Equation）亥姆霍兹方程是描述波动现象的方程，在电磁学中有广泛的应用。

亥姆霍兹方程的一般形式为：∇^2u+k^2u=0其中u是波函数，k是波数。

亥姆霍兹方程的一个精确解是平面波解：u(r) = Aexp(ik∙r)其中A是振幅，k是波数，r是空间位置向量。

平面波解描述了电磁波在空间中的传播。

可压缩流体力学方程是描述流体中质量、动量和能量守恒的方程组。

它们包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

可压缩流体力学方程的精确解通常较为复杂，需要使用数值模拟方法进行求解。

6-通量差分.

§6. 通量差分 6.1 Godunov 格式简介Godunov 格式是可压缩流动数值算法发展过程中的一个重要成果，对通量差分等方法的产生和发展起到了直接的促进作用。

这一方法还是非线性问题（一维气体力学方程组）数值方法中第一个被证明能够收敛到方程弱解的格式，在这之前都是用线化模型方程研究格式的收敛性。

但由于这种方法的计算量现在看起来都很大，以当时计算机的发展水平更是难以承受，所以其实用性较差。

考虑守恒律方程组()t x¶¶+=抖f w w 0 Godunov 方法的求解过程中有两个关键步骤：• 精确求解Riemann 问题：在Godunov 格式中，每一个网格上的计算是通过求Riemann 问题的解析解来完成的，得到的是在整个网格内处处有定义的函数解（间断除外）。

而通常的差分格式得到的是仅在网格点上有定义的离散解。

• 平均：由于Godunov 格式给出的是函数解，为了让计算能够进行下去，需要计算解函数在网格上的平均值。

这一做法后来发展成各种高阶重构方法，到现在还在使用。

上图给出了Godunov 方法的示意图，计算的步骤简述如下。

设在 n t t = 时刻，已经得到数值解函数 (),n x t w% 。

在以 j x 为中心的网格 1122,j j x x -+轾犏臌上，将 (),n x t w % 看成常数 n jw 。

当然，最简单的做法就是取 (),n x t w % 在网格点上的值 (),n nj jx t =w w % 。

但是，取 (),n x t w% 在网格上的平均值()12121,j j xn n jxt d x+-=D òw w%ξξ 精度更高一些。

事实上，由泰勒展开()()()()2221,,2nn jj j j jt x t x x x x 抖=+?+?+¶¶wwww%%%%L ξξξ代入上述积分，有()()()()()1212112211222222211,21,1 2j j j j j j xn n jjj j xj jx x nj j x xj j x t x x d x x x x t d x d xx x +-++--轾抖犏=+?+?+犏D ?¶犏臌ì骣ï¶÷ïç÷ç=??í÷ç÷ïçD ?÷桫ïïî骣÷¶ç÷ç+?÷ç÷ç¶÷ç桫ò蝌w ww w w w w %%%L %%%ξξξξξξ()12122j j x j x x d +-üïïï-+ýïïïþòL ξξ令 j y x =-ξ ，继续计算，()()11122211122222223211,2111,2120x xxnn j j x xx j j n j j j x t dy ydyy dy xx x x t x x x x x D D D -D -D -D 禳骣骣镲÷抖秣?çç镲÷÷çç=???÷睚÷çç÷÷ç镲çD ?÷¶÷ç桫镲桫镲铪ì骣骣ï÷抖秣ççï÷÷çç=譊+?譊+÷í÷çç÷÷ççD ?÷¶÷ç桫桫蝌?w w w w w w w %%%L%%%L ()()2,n j x t x üïïïý镲镲镲铪=+D w%O由此可见，作为函数 (),n x t w % 在网格上的常数近似，网格平均比网格点处的值 (),n j x t w% 精度更高。

几个守恒律方程的精确解

几个守恒律方程的精确解
目前，守恒律方程在物理学中具有十分重要的地位，它们能够为科学家提供一种可靠的描述系统的模型。

在复杂的物理系统中，守恒律方程能够帮助人们分析系统行为，更有效地描述其运动状态，从而强化计算能力。

在物理学中，守恒律有四种，即动量守恒律，线性动量守恒律，质量守恒律和能量守恒律。

它们分别表达了一系列不同的动力学情况，并且每种守恒律都有自己精确的解。

动量守恒律的精确解可用来描述物体的运动状态，它可以通过使用Virial定理以及 Lagrange 乘子方法来得到。

线性动量守恒律的精确解是关于速度和位置的一组方程式，它们可以通过使用Jacobi-Hamilton 乘子法获得。

质量守恒律的精确解可以用来描述物体的质量变化，可以通过使用高斯-贝叶斯定理获得。

最后，能量守恒律的解也可以使用Virial定理实现，用于描述物体的能量变化。

以上就是四种守恒律的精确解，它们有助于更清晰和精确地描述物体的动量，质量和能量流动。

它们使科学家能够以更简单的方式来处理复杂的物理系统，促进了物理研究的进步。

第三章-运动方程和守恒律

分离变量法, 定态
若系统哈密顿算符不显含时间, 此时:
(r , t ) 2 2 i ( U ) (r , t ) t 2m
(3.19) (3.20)
的解可写为:
(r , t ) (r ) f (t )
i df (t ) 1 2 2 (3.21) ( U ) (r ) 得: f (t ) dt ( r ) 2m df (t ) i Ef (t ) (3.22) 从而: dt 2 (3.23) ( 2 U ) (r ) E (r ) 2m 其共同常数 E 即为系统的能量(确定值) , (3.22)和(3.23)
'' III (2mE / 2 ) III 0,
x a, x a, (3.42) x a.
(3.43) (3.44) (3.45) (3.46)
在 U 0 E 0 条件下,其通解分别为:
II B cos kx B ' sin kx, III Cex C 'ex .
I Ae A e ,
x
' x
2mE / ,
2
k 2m( E U 0 ) / 2 ,
由波函数有限性: 其解简化为:
x , 0, 得:
A' 0, C 0
(3.47) (3.48) (3.49)
I Aex , II B cos kx B ' sin kx, III C 'ex .
En t (r , t ) cn n (r )e n i
E (r , t ) E (r )e
i Et

双曲守恒律方程

双曲守恒律方程双曲守恒律方程是一类重要的偏微分方程，它描述了物理系统中的守恒性质。

这类方程在许多领域都有广泛的应用，如流体力学、气体动力学、电磁学、量子场论等。

双曲守恒律方程的一般形式为：$$\frac{\partial\mathbf{U}}{\partialt}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial\mathbf{F}_i(\mathbf{U})}{\partial x_i}=0$$其中，$\mathbf{U}$ 是一个 $n$ 维向量，称为守恒变量；$\mathbf{F}_i(\mathbf{U})$ 是一个 $n$ 维向量函数，称为通量函数。

这个方程可以看作是对连续性方程和动量守恒、能量守恒等物理定律的数学表述。

在一维情况下，双曲守恒律方程可以写成以下形式：$$\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} \rho \\ u \\ E\end{pmatrix}+\frac{\partial}{\partial x}\begin{pmatrix} \rho u \\ \rho u^2+p \\ (E+p)u \end{pmatrix}=0$$其中，$\rho$ 是密度，$u$ 是速度，$p$ 是压强，$E=\frac12\rho u^2+\frac p{\gamma-1}$ 是总能量，$\gamma$ 是比热容比。

这个方程描述了一维流体的运动，是双曲守恒律方程中的典型例子。

双曲守恒律方程有许多重要的性质。

其中最基本的是它的可压缩性，即在流体运动中密度和压强都会发生变化。

此外，它还具有波动性、非线性等特点，这些特点使得双曲守恒律方程在数学上具有挑战性，在物理上具有广泛的应用价值。

为了求解双曲守恒律方程，通常采用数值方法进行近似计算。

最常用的方法是有限体积法和有限差分法。

这些方法将空间离散化为若干个网格点，并在每个网格点上计算守恒变量的值。

双曲守恒律问题数值求解方案探索

双曲守恒律问题数值求解方案探索双曲守恒律方程组是一类非线性偏微分方程组，广泛应用于流体力学、电磁学、量子力学等领域。

对于这类方程组，求解其数值解是一个具有挑战性的问题。

本文将探讨一些常用的数值求解方案以及它们的优缺点。

首先，我们介绍一种常用的求解双曲守恒律问题的方法——有限差分法。

有限差分法将空间进行网格划分，将双曲守恒律方程组转化为离散的代数方程组。

在时间上通过迭代求解离散方程组，得到所需的数值解。

有限差分法简单易实现，对于简单的双曲守恒律问题具有较好的数值精度。

然而，在处理细致结构和激波等问题时，有限差分法会出现振荡和数值耗散等问题。

为了解决有限差分法的局限性，有限体积法应运而生。

有限体积法是将空间进行网格划分，将双曲守恒律问题转化为控制体积上的积分方程，然后通过求解积分方程来得到所需的数值解。

有限体积法不仅可以处理激波等问题，而且对于守恒律问题的保守性有较好的保证。

然而，有限体积法在处理细致结构时可能会出现数值耗散和数值扩散等问题。

为了进一步提高求解效果，另一种常用的方法是有限元法。

有限元法是将双曲守恒律问题转化为弱形式，通过选择适当的试探函数和权函数，在有限维空间内进行求解。

有限元法不仅可以处理复杂的空间结构，而且对于激波和细致结构有较好的数值稳定性。

然而，有限元法在处理高维问题时需要较高的计算成本，并且对于非线性问题的收敛性也存在挑战。

除了上述常用的方法，还有许多其他的数值求解方案，例如高分辨率格式、间断加权有限元法和半离散差分法等。

这些方法各有优点，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

另外，近年来随着计算机硬件的发展，深度学习等新兴的数值求解方法也逐渐引起人们的关注。

总结来说，双曲守恒律问题的数值求解是一个具有挑战性的问题。

针对不同的问题特点，我们可以选择不同的数值求解方案。

有限差分法、有限体积法和有限元法是目前应用较广泛的求解方法，它们各有优缺点，在处理不同类型的问题时会有不同的表现。

一维非严格双曲守恒律方程组的Riemann问题的开题报告

一维非严格双曲守恒律方程组的Riemann问题的开
题报告
题目：一维非严格双曲守恒律方程组的Riemann问题
一、研究目的和意义：
双曲守恒律方程组是描述物理现象的重要数学模型，在许多领域得到应用，如流体力学、弹性力学、气象学、化学动力学等。

其本质特征是存在非线性双曲性，在解的产生和演化过程中，会出现解的不稳定性和奇异性。

而Riemann问题是解这类方程组的基本问题之一，其求解结果对于解决整个方程组的解的结构和性质具有重要的意义。

二、研究内容和方法：
本文主要研究一维非严格双曲守恒律方程组的Riemann问题，包括系统的数学模型、解的形式和存在性、解的结构和奇异性等方面。

对于一般的非严格双曲方程组，本文将采用基础方程逼近方法，将方程组化为基础方程的双曲守恒律形式，并将问题转化为基础方程的Riemann问题。

然后，利用古典的Riemann问题求解方法，如几何光学法、特征线展开法等方法，求解基础方程的Riemann问题，并在此基础上得到原问题的Riemann问题的解。

三、预期成果和意义：
本文的研究成果将包括一维非严格双曲守恒律方程组的Riemann问题解析解的求解和分析，揭示其解的结构和奇异性等特征，为解决和控制双曲守恒律方程组的解的不稳定性和奇异性提供重要的参考和依据。

同时，本文的研究成果也具有理论意义，可以为深入研究非线性双曲守恒律方程组的解的性质和结构提供新的思路和方法。

双曲守恒律方程

双曲守恒律方程引言在数学和物理学中，守恒律是一种描述物理系统中数量守恒的规律。

双曲守恒律方程是一类特殊的守恒律方程，它在流体力学、电动力学等领域中有广泛的应用。

本文将对双曲守恒律方程进行全面、详细、完整且深入的探讨。

双曲守恒律方程的定义双曲守恒律方程是一类描述守恒量随时间和空间变化的方程。

它可以用偏微分方程的形式表示，一般具有如下形式：$$\frac{{\partial \mathbf{u}}}{\partial t} + \frac{{\partial\mathbf{f}}(\mathbf{u})}}{\partial x} = 0$$其中，u是守恒量向量，f(u)是该守恒量向量的通量向量。

这个方程表示了守恒量在时间和空间上的变化率为零，即守恒量在守恒过程中是不会消失或产生的。

双曲守恒律方程的性质双曲守恒律方程具有许多重要的性质，下面我们将逐一介绍其中的几个重要性质。

1. 守恒量的守恒性质双曲守恒律方程表明守恒量在守恒过程中是守恒的，即在守恒律方程成立的条件下，守恒量的总量是不变的。

这是由于方程右侧的通量项表示了守恒量的流出和流入，而方程左侧的时间导数表示了守恒量的变化率为零。

因此，只要守恒律方程成立，守恒量就会得到保持。

2. 特征线的存在性双曲守恒律方程具有特征线的存在性。

特征线是方程的解在空间中的轨迹，它与方程的初始条件和边界条件有关。

特征线的存在性使得我们可以通过跟踪特征线来研究方程的解在空间和时间上的变化过程。

3. 可解性双曲守恒律方程在一般情况下是可解的。

也就是说，对于给定的初始条件和边界条件，方程的解是存在且唯一的。

这个性质保证了方程的解在数学上是有意义的，并且可以应用到实际问题中。

双曲守恒律方程的应用双曲守恒律方程在各个科学领域中都有广泛的应用。

下面我们将以流体力学为例，介绍双曲守恒律方程在该领域的应用。

1. 爆炸物理学在爆炸物理学中，我们可以用双曲守恒律方程来描述爆炸过程中的物质运动和能量传递。

高中化学守恒法计算方法总结

方法总论守恒法守恒存在于整个自然界的千变万化之中。

化学反应是原子之间的重新组合，反应前后组成物质的原子个数保持不变，即物质的质量始终保持不变，此即质量守恒。

运用守恒定律，不纠缠过程细节，不考虑途径变化，只考虑反应体系中某些组分相互作用前后某些物理量或化学量的始态和终态，从而达到速解、巧解化学试题的目的。

一切化学反应都遵循守恒定律，在化学变化中有各种各样的守恒，如质量守恒、元素守恒、原子守恒、电子守恒、电荷守恒、化合价守恒、能量守恒等等。

这就是打开化学之门的钥匙。

一．质量守恒质量守恒，就是指化学反应前后各物质的质量总和不变。

1．已知Q与R的摩尔质量之比为9:22，在反应X＋2Y−→2Q＋R中，当1.6 g X与Y 完全反应，生成4.4 g R，则参与反应的Y和生成物Q的质量之比为A．46:9 B．32:9 C．23:9 D．16:92．在臭氧发生器中装入氧气100 mL。

经反应3O2−→2O3，最后气体体积变为95 mL （均在标准状况下测定），则混合气体的密度是A．1.3 g/L B．1.5 g/L C．1.7 g/L D．2.0 g/L二．元素守恒元素守恒，就是指参加化学反应前后组成物质的元素种类不变，原子个数不变。

3．30 mL一定浓度的硝酸溶液与5.12 g铜片反应，当铜片全部反应完毕后，共收集到气体2.24 L（标准状况下），则该硝酸溶液的物质的量浓度至少为A．9 mol/L B．8 mol/L C．5 mol/L D．10 mol/L4．在CO和CO2的混合气体中，氧元素的质量分数为64%。

将该混合气体5 g通过足量的灼热的氧化铜，充分反应后，气体再全部通入足量的澄清石灰水中，得到白色沉淀的质量是A．5 g B．10 g C．15 g D．20 g三．电子守恒电子守恒，是指在氧化还原反应中，氧化剂得电子总数等于还原剂失电子总数。

5．某强氧化剂[XO(OH)2]+被亚硫酸钠还原到较低价态。

一类双曲型守恒律方程组的初边值问题

上海大学硕士学位论文一类双曲型守恒律方程组的初边值问题姓名：姚爱娣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：盛万成20070401摘要双曲型守恒律方程（组）的初值和初边值问题一直是数学家和物理学家关注的热点问题．边界熵条件的提出解决了一般初边值问题的不适定同题．初边值问题在理想悬浮物的沉积理论及控制论等中有广泛的应用．本文主要考虑构造一个含有乒波解的一类双曲型守恒律方程组的初边值问题的解．利用ＤｕｂｏｉｓＦ和ＬｅＦｌｏｃｈＰ在Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．（１９９８，７１）中所得到的结果，选取一对合适的熵流对，使得在边界ｚ＝０上得到了一个边界熵条件．通过求解相应的Ｒｉｅｍａｎｎ问题，并利用这个边界熵条件及基本波的相互作用构造性的得到了方程组初边值问题的解．类似于一个边界的情况，又给出了边界ｚ＝１上的熵条件，进而得到了具有两个边界的初边值问题的解的构造．这里的初边值都是分段常数．关键词・初边值问题，相互作用，乒激波，熵流对，边界熵条件，Ｒｉｅｍａｎｎ问题．ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍａｎｄｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓ－ｔｅｍｆｏｒｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｆｏｒａａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄｆｏｒｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎａｎｄｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｐｈｙｓｉｃｉｓｔｌｏｎｇｔｉｍｅ．Ｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｍａｋｅｓｔｈｅｃａｎｖａｌｕｅｐｒｏｂ－ｏｆｌｅｍｂｅｗｅｌｌ－ｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｄｅａｌｂｅａｐｐｌｉｅｄｗｉｄｅｌｙｉｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｅｄｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｓａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｆｏｒｉｕｌｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓｔｅｍｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｗｉｔｈ８－ｓｈｏｃｋｗａｖｅ￥．Ａｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ￡＝０ｊ８ｄｅｒｉｖｅｄｔｈａｎｋｓｔｏＤｕｂｏｉｓＦａｎｄＬｅＦｌｏｃｈＰ’ｓｂｙｔａｋｉｎｇａｒｅｓｕｌｔｓ（Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．，１９９８，７１）ｓｕｉｔａｂｌｅｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｉｕｘｐａｉｒ．ＢｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄＲｉｅｍａｕｎｂｙｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｅｏｕｓｔｒｕｃｔｉｖｅｌｙｂｏｕｎｄａｒｙｏｆｏｎｅｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｗａｖｅｓ．Ａｎａｌｏｇｕｅｔｏｔｈｅｃａｓｅｂｏｕｎｄａｒｙ，ｗｅｏｂｔａｉｎａｌｓｏｇｉｖｅｔｈｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ善＝１．ｔｈｅｎｗｅｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｄａｔａｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｔａｔｅｓ．ｗｉｔｈｔｗｏｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ．Ｈｅｒｅ，ｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙＫｅｙｗｏｒｄｓ：ａｙｅｐｉｅｃｅｗｉｓｏｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙＷａＶｅｓ，Ｒｉｅｍａｎｕｐｒｏｂｌｅｍ，５－ｓｈｏｃｋＶｉＲＶｅ８，ｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｌｕｘｐａｉｒ，ｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．原创性声明本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作．除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果．参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．０７．＆２－０本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即－学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容．（保密的论文在解密后应遵守此规定）繇娥姊臌。

守恒法解题例析

守恒思想在化学中的应用——守恒法解题技巧例析所谓守恒，就是指化学反应的过程中，存在某些守恒关系如质量守恒等。

应用守恒关系进行化学解题的方法叫做守恒法。

守恒法解题是化学解题的典型方法之一，是常用的、重要的解题技巧。

守恒法是中学化学计算中一种很重要的方法与技巧，也是高考试题中应用最多的方法之一，其特点是抓住有关变化的始态和终态，忽略中间过程，利用其中某种不变量建立关系式，从而简化思路，快速解题。

1．质量守恒法质量守恒定律表示：参加化学反应的各物质的质量总和，等于反应后生成物的各物质的质量总和。

依据该定律和有关情况，可得出下列等式：(1)反应物的质量之和＝产物的质量之和。

(2)反应物减少的总质量＝产物增加的总质量。

(3)溶液在稀释或浓缩过程中，原溶质质量＝稀释或浓缩后溶质质量(溶质不挥发)。

典例导悟1有一块铝、铁合金，溶于足量的盐酸中再用过量的NaOH溶液处理，将产生的沉淀过滤、洗涤、干燥、灼烧，完全变成红色粉末，经称量红色粉末和合金质量恰好相等，则合金中铝的质量分数为( )A．60% B．50% C．40% D．30% 2．原子守恒法从本质上讲，原子守恒和质量守恒是一致的，原子守恒的结果即质量守恒。

典例导悟238.4 mg铜跟适量的浓硝酸反应，铜全部作用后，共收集到22.4 mL(标的物质的量可能是( )准状况)气体，反应消耗的HNO3A．1.0×10－3mol B．1.6×10－3mol C．2.2×10－3mol D．2.4×10－3mol 3．元素守恒法元素守恒，就是指参加化学反应前后组成物质的元素种类不变，原子个数不变。

典例导悟3在CO和CO的混合物中，氧元素的质量分数为64%。

将该混合气体25g通过足量的氧化铜，充分反应后，气体再全部通入足量的澄清石灰水中，得到白色沉淀的质量是( )A ．5克B ．10克C ．15克D ．20克 4．电荷守恒法在电解质溶液或离子化合物中，所含阴、阳离子的电荷数相等，即：阳离子的物质的量×阳离子的电荷数＝阴离子的物质的量×阴离子的电荷数，由此可得：(1)在离子化合物中，阴、阳离子的电荷数相等；(2)在电解质溶液里，阴、阳离子的电荷数相等。

守恒律方程组