2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用能力深化提升(含解析)新人教A版选修1_1

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2017_2018学年高中数学阶段质量检测三导数及其应用新人教B版选修1_12017121147

阶段质量检测(三)导数及其应用[考试时间：90分钟试卷总分：120分]三题号一二总分15 16 17 18得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是()1 1 1A.(x＋x )′＝1＋B．(log2x)′＝x2 x ln 2C．(5x)′＝5x log5e D．(x2cos x)′＝2x sin x2．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)等于()A．－2 B．2 C．1 D．－413．一质点的运动方程为s＝20＋gt2(g＝9.8 m/s2)，则t＝3 s时的瞬时速度为()2A．20 m/s B．29.4 m/s C．49.4 m/s D．64.1 m/s4．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3 C．9 D．155．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()1 A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D.(0，2 )6．函数y＝f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为()A．－e B．1－e C．－1 D．07．对于R上的可导函数f(x)，若(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)＞2f(2)C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)8．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值9．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为()A．1∶πB．2∶πC．1∶2D．2∶11a 10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为()b2 2A．－B．－2 C．－2或－D．不存在3 3答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间为____________________．12．求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程是______________________．13．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是__________________．14．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)315．(本小题满分12分)设函数y＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1时有极值．2(1)求函数的解析式；(2)指出函数的单调区间．1 1－a16.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.3 2(1)求函数f(x)的单调区间；2(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．17．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．18．(本小题满分14分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应5(－x，则当x为何值时，本年度的年利润增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240)2＋2x＋3最大？最大利润为多少(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)?3答案1 11．选B∵(x＋x )′＝1－；(5x)′＝5x ln5；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′x2＝2x cos x－x2sin x，∴B选项正确．2．选D∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.3．选B v＝s′(t)＝gt.∴当t＝3时，v＝3g＝29.4.4．选C y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.5．选D∵f′(x)＝3x2－6b，∴由f(x)在(0,1)内有极小值知，f(x)在(0,1)内先减再增，1∴Error!∴Error!∴0<b< .216．选C y′＝－1，令y′＝0，∴x＝1，列表如下xx (0,1) 1 (1，e) ey′＋0 －y －1 1－e由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而y最大值＝f(1)＝－1.7．选D①若f′(x)不恒为0，当x＞1时，f′(x)≥0，当x＜1时，f′(x)≤0，∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数，(－∞，1)上为减函数，4∴f(2)＞f(1)，f(1)＜f(0)，即f(2)＋f(0)＞2f(1)．②当f′(x)＝0恒成立时，f(2)＝f(0)＝f(1)，∴f(2)＋f(0)≥2f(1)．8．选C当x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)上是增函数，故A错；当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，故x＝0是f(x)的极大值点，即B错，同理D错；当x>4 时f′(x)<0，f(x)在(4，＋∞)上是减函数，C正确．6－x6－x 1 9．选D设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝2π，圆柱体积V＝π(2π)2x＝(x3－4π12x2＋36x)(0<x<6)，3V′＝(x－2)(x－6)．4π当0<x<2时，V′>0，当2<x<6时，V′<0.当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4，(6－x)∶x＝4∶2＝2∶1.10．选A∵f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴由题意知f′(1)＝3＋2a＋b＝0，∴b＝－3－2a①又f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10②将①代入②整理得a2＋8a＋12＝0，解得a＝－2或a＝－6.当a＝－2时，b＝1；当a＝－6时，b＝9.经检验得，a＝－2，b＝1不符合题意，舍去．a 2∴＝－.b 311．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，1 4x2－1 1令f′(x)＝4x－＝＞0，得x＞.x x 21即函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)21 答案：(，＋∞)212．解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2.∴切线方程为y－y0＝(3x20－2)·(x－x0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 1解得 x 0＝1或 x 0＝－ .2 故所求的切线方程为5y ＋1＝x －1或 y ＋1＝－ (x －1)，4 即 x －y －2＝0或 5x ＋4y －1＝0. 答案：x －y －2＝0或 5x ＋4y －1＝0 13．解析：记 f (x )＝x 3－x 2－x ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1， 1令 f ′(x )＝0得 x ＝－或 x ＝1.315又 f (－3 )＝，f (2)＝2，f (－1)＝－1， 27f (1)＝－1，∴当 x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)14．解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物， 400 则 n ＝， x∴总运费与总存储费之和 1600 f (x )＝4n ＋4x ＝＋4x ，x 1600令 f ′(x )＝4－＝0，解之得 x ＝20. x 2当 0<x <20时 f ′(x )<0，当 20<x <400时，f ′(x )>0，故当 x ＝20时，f (x )最小．答案：2015．解：(1)f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5，则 f ′(x )＝12x 2＋2ax ＋b . 据题意有 Error!即Error! 解之得 a ＝－3，b ＝－18. 因此 f (x )＝4x 3－3x 2－18x ＋5.3(2)令12x2－6x－18>0，得x<－1或x> ，即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，23(，＋∞)，23令12x2－6x－18<0，得－1<x< ，23(－1，2).因此，函数f(x)的单调递减区间为16．解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，(－1，(a，x －1 a－1) a) ＋∞)f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大植极小值故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，必须满足1Error!解得0＜a＜.31 所以，a的取值范围是(0，)．317．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，af′(x)＝1－.x(1)当a＝2时，f(x)＝x－21n x，2f′(x)＝1－(x＞0)，x所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.a x－a(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0可知：x x①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，因为x∈(0，a)时，f′(x)＜0，7x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值．当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．18．解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为：f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y5＝(3－0.9x)×3240×(－x3)2＋2x＋＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，5由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，95当x∈(0，9 )时，f′(x)>0，f(x)是增函数；5当x∈(，1 )时，f′(x)<0，f(x)是减函数．95 5所以当x＝时，f(x)取最大值，f( )＝20 000.9 95所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．98。

2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课后提升训练含解析新人教A版

导数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·天津高二检测)已知曲线f(x)= x2+2x 的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.Δy=f(x+Δx)-f(x)= (x+Δx)2+2(x+Δx)- x2-2x=x·Δx+ (Δx)2+2Δx,所以=x+ Δx+2,所以f ′(x)= =x+2.设切点坐标为(x0,y0),则f ′(x0)=x0+2.由已知x0+2=4,所以x0=2.2.y=- 在点处的切线方程是()A.y=x-2B.y=x-C.y=4x-4D.y=4x-2【解析】选C.先求y=- 的导数,因为Δy=- + = ,所以= ,所以= = ,即y′= ,所以y=- 在点处的切线斜率k=y′=4,所以切线方程为y+2=4 ,即y=4x-4.3.(2017·泰安高二检测)曲线y= x3-2在点处切线的倾斜角为() A.30° B.45° C.135° D.60°【解析】选B.Δy= (-1+Δx)3- ×(-1)3=Δx-Δx2+ (Δx)3, =1-Δx+ (Δx)2,= =1,所以曲线y= x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.4.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2【解析】选B.===f ′(1)=-1.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为()A.1B.C.-D.-1【解析】选A.因为y′== (2a+aΔx)=2a.所以2a=2,a=1.6.函数f(x)=x-x3-1的图象在点(1,-1)处的切线与直线4x+ay+3=0垂直,则a=() A.8 B.-8 C.2 D.-2【解析】选B.由导函数的定义可得函数f(x)的导数为f′(x)=1-3x2,所以f′(1)=-2,所以在点(1,-1)处的切线的斜率为-2,所以直线4x+ay+3=0的斜率为,所以- = ,所以a=-8.7.(2017·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A.0>f′(x A)>f′(x B)B.f′(x A)<f′(x B)<0C.f′(x A)=f′(x B)D.f′(x A)>f′(x B)>0【解析】选B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f′(x A)<f′(x B)<0.【补偿训练】已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A.f′(x A)>f′(x B)B.f′(x A)=f′(x B)C.f′(x A)<f′(x B)D.f′(x A)与f′(x B)大小不能确定【解析】选A.由y=f(x)的图象可知,k A>k B,根据导数的几何意义有:f′(x A)>f′(x B).8.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为S n,则S2 017的值为()3A. B. C. D.【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值,根据f(n)的解析式,用裂项法求得数列的前n项和为S n的值,可得S2 017的值.【解析】选B.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k= =2b,再根据l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b= .因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以= - ,故数列的前n项和为S n= + + +…+=1- ,所以S2 017=1- = .二、填空题(每小题5分,共10分)9.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P横坐标的取值范围为.【解析】因为f′(x)=== (Δx+2x+2)=2x+2.所以可设P点横坐标为x0,则曲线C在P点处的切线斜率为2x0+2.由已知得0≤2x0+2≤1,所以-1≤x0≤- ,所以点P横坐标的取值范围为.答案:10.(2017·兴义高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为.【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f′(0)=== [a·(Δx)+b]=b.又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,则所以ac≥,所以c>0.所以= ≥≥=2.答案:2三、解答题11.(10分)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.【解析】(1)y′== = (2x+Δx+1)=2x+1.y′|x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=- ,b=- .所以直线l2的方程为y=- x- .(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0), .所以所求三角形的面积S= ××= .【能力挑战题】试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.【解析】== =3xΔx+3x2+(Δx)2.=3x2,因此y′=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0, +1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3 ①,过(1,1)点的切线的斜率k= ②,所以3 = ,解得x0=0或x0= ,所以k=0或k= ,因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,分别为y-1= (x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6 平行,求a的值.【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-( +a -9x0-1)=(3 +2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3 +2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时, 无限趋近于3 +2ax0-9.即f′(x0)=3 +2ax0-9.所以f′(x0)=3 -9- .当x0=- 时,f′(x0)取最小值-9- .困为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9- =-12.解得a=±3.又a<0,所以a=-3.。

专题03导数(捷进提升篇)2018年高考数学备考提升系列(Word版含答案)

求最值，即要使 a g x 恒成立，只需 a g x max x，要使 a g x 恒成立，只需 a g x min ，从而转化为求
f (x) 的最值问题．二是，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如：要使不
等式 f (x) 0恒成立，可求得 f ( x) 的最小值 h a ，令 h a 0 即可求出 a 的范围．
1 D． e2
2, e2
2
【名师点睛】本题考查导数的应用．本题中题目转化为
a x2 2ln x 0 在 1 ,e 上有两个解，分离参数得 e
a x2 2lnx ，则令 h x
x2
2lnx ，得到 h x 在
1 ,1
单调递减，
1,e 上单调递增，通过图象判断得
e
1 1 a e2 2 ．
2
x a k a,x a
0．
(4) 若对 x1 I 1、 x2 I 2 ， f ( x1) g(x2) 恒成立，则 f (x)min g (x)max ．
(5) 若对 x1 I 1， x2 I 2 ，使得 f ( x1) g(x2) ，则 f ( x) min g( x)min ．
(6)若对 x1 I1 ， x2 I 2 ，使得 f ( x1 ) g ( x2 ) ，则 f (x) max g ( x) max ．
3
是（）
A． m 4或 m 2
【答案】 C
B ． 4 m 2 C． 2 m 4
D． 2 m 4
2．【 2018 河北衡水武邑中学高三上学期第五次调研】设函数 f x 是奇函数 f x x R 的导函数， f 1 0 ，
且当 x 0 时， xf x f x 0 ，则使得 f x 0 成立的 x 的取值范围是（）

2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用学业水平达标检测新人教B版选修1_1

22．(本小题总分值12分)函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
(1)求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)设g(x)＝ x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小．
解析：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①
当x＝时，y＝f(x)有极值，那么f′ ＝0，
可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4.
又可证得F(x)是奇函数，∴在x∈(0,3)上，f(x)g(x)＜0.应选D.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13．已知三次函数y＝x3－x2－ax＋b在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，那么a＋b＝________.
解析：y′＝3x2－2x－a，由题意可知当x＝0时，y＝1，y′＝2，得a＝－2，b＝1，故a＋b＝－1.
解析：(1)设三条棱长别离为x、y、z，那么
∴yz＝－x(1－x)．
故V(x)＝xyz＝x3－x2＋ x.
又得0＜x＜1.
∴V(x)＝x3－x2＋ x，x∈(0,1)．
(2)令V′(x)＝3x2－2x＋＝0，解得x＝，或x＝ .
当x∈ 时，V′(x)＞0；
当x∈ 时，V′(x)＜0；
当x∈ 时，V′(x)＞0.
答案：4
16．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，假设关于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，那么实数a的值为________．

2018版高中数学第三章导数及其应用章末分层突破学案新人教A版选修1_120170719292

第三章导数及其应用[自我校对]①斜率②y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)③f′(x)±g′(x)④f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f xg x－f x g x⑤[g x]2导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常见类型有两种：(1)函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点y1－y0Q(x1，y1)，则切线斜率为f′(x1)，再由切线过点P(x0，y0)得斜率为，又由y1＝f(x1)，x1－x0由上面两个方程可得切点(x1，y1)，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.【精彩点拨】(1)求f x→f－1＝0→求得a(2)设直线m与y＝g x相切→求出相应切线的斜率与切线方程→检验切线是否与y＝f x相切→得结论【规范解答】(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6.所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0).将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.2当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线.综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.此题直线m恒过点，是解题的突破口，即若m是f x，g x的公切线，则切线必过点，一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的情况.[再练一题]1.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；1(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.4【导学号：97792054】【解】(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上.∵f(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).x (3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，4∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴Error!或Error!即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18).切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为减函数.应注意：在区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而不是必要条件.如果f(x)在某个区间上为增函数，那么f′(x)≥0；如果f(x)在某个区间上为减函数，那么f′(x)≤0.利用导数研究函数单调性的步骤为：(1)求f′(x)；(2)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(3)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.4x2－7已知函数f(x)＝，x∈[0,1]2－x(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围.【导学号：97792055】【精彩点拨】(1)求f′(x)，列表，求单调区间及最值；(2)任意存在型问题，转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集.－4x2＋16x－7 2x－12x－7【规范解答】(1)f′(x)＝＝－，2－x 2 2－x21 7令f′(x)＝0，得x＝或x＝(舍去).2 2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1 x 0 (0，2 )1 12 (，1 ) 122 (，1 ) 1f′(x) －0 ＋72f(x) －↘－4 ↗－31∴当x∈(0，2 )时，f(x)是减函数；1当x∈(，1 )时，f(x)是增函数.2当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3].(2)对函数g(x)求导，得g′(x)＝3(x2－a2).∵a≥1，当x∈[0,1]时，g′(x)＜3(1－a2)≤0，且g′(x)＝0的根为有限个.∴当x∈[0,1]时，g(x)为减函数.∴当x∈[0,1]时，g(x)∈[g(1)，g(0)].又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即g(x)∈[1－2a－3a2，－2a].任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3].存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝－f(x1)，则[1－2a－3a2，－2a] [－4，－3]，即Error!5 3解①式得a≥1或a≤－，解②式得a≤.3 23又a≥1，∴a的取值范围为[1，2 ].1.利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集.2.已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是转化为恒成立问题.[再练一题]2.已知a∈R函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R).5f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当 f ′(x )＞0时，(－x 2＋2)e x ＞0，注意到 e x ＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－ 2＜x ＜ 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－ 2， 2).同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和( 2，＋∞).(2)因为函数 f (x )在(－1,1)上单调递增，所以 f ′(x )≥0 在(－1,1)上恒成立. 又 f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到 e x ＞0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0 在(－1,1)上恒成立， x 2＋2x 1也就是 a ≥＝x ＋1－在(－1,1)上恒成立.x ＋1x ＋11 设 y ＝x ＋1－， x ＋11则 y ′＝1＋＞0，x ＋12 1即 y ＝x ＋1－在(－1,1)上单调递增， x ＋1 1 3 则 y ＜1＋1－＝， 1＋1 2 3 故 a ≥ . 23即 a 的取值范围为[，＋∞).2导数与函数的极值(最值)及恒成立问题利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值的不同.函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小；而最值是在整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.已知函数 f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设 a ＝1，求函数 f (x )的极值；1(2)若 a ＞，且当 x ∈[1,4a ]时，f (x )≥a 3－12a 恒成立，试确定 a 的取值范围.3 【规范解答】 (1)当 a ＝1时，f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1且 f ′(x )＝3x 2－6x －9，由 f ′(x )＝ 0得 x ＝－1或 x ＝3.因此 x ＝－1是函数的极大值点，极大值为 f (－1)＝6；当－1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当 x ＞3时，f ′(x )＞0，因此 x ＝3是函数的极小值点，极小值为 f (3)＝－26. 1 (2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2＝3(x ＋a )(x －3a )，a ＞，3∴当 1≤x ＜3a 时，f ′(x )＜0；当 3a ＜x ≤4a 时 f ′(x )＞0.∴x ∈[1,4a ]时，f (x )的最小值为 f (3a )＝－26a 3. 由 f (x )≥a 3－12a 在[1,4a ]上恒成立得－26a 3≥a 3－12a . 2 2 解得－ ≤a ≤ . 3 3 1 1 2 又 a ＞，∴ ＜a ≤ . 3 3 31 2即 a 的取值范围为(，3 ].3一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具.[再练一题]3.已知函数 f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点 x 0处取得极小值－4，使其导函数 f ′(x )＞0的 x 的取值范围为(1,3).(1)求 f (x )的解析式及 f (x )的极大值；(2)当 x ∈[2,3]时，求 g (x )＝f ′(x )＋6(m －2)x 的最大值.【解】 (1)由题意知 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)·(x －3)(由题意 f ′(x )＞0的 x 的范围(1,3)可知 a ＜0)，∴在(－∞，1)上 f ′(x )＜0，f (x )是减函数，在(1,3)上 f ′(x )＞0，f (x )是增函数，在(3，＋∞)上 f ′(x )＜0，f (x )是减函数.因此 f (x )在 x 0＝1处取得极小值－4，在 x ＝3处取得极大值. ∴Error!解得 a ＝－1，b ＝6，c ＝－9， ∴f (x )＝－x 3＋6x 2－9x .则 f (x )在 x ＝3处取得极大值 f (3)＝0.(2)g(x)＝－3x2＋12x－9＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；②当m＜2时，g(x)在[2,3]上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；③当m＞3时，g(x)在[2,3]上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.因此g(x)max＝Error!导数与不等式问题利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.ln x＋k已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝e xf(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.【精彩点拨】(3)中要借助于(2)的结论，构造函数.1－ln x－kx 【规范解答】(1)f′(x)＝，e x1－k 由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1.e1－ln x－1x(2)由(1)知，f′(x)＝.e x1 1 1设k(x)＝－ln x－1，则k′(x)＝－－＜0，即k(x)在(0，＋∞)上是减函数，x x2 x由k(1)＝0知，当0＜x＜1时，k(x)＞0，从而f′(x)＞0，当x＞1时，k(x)＜0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).(3)由(2)可知，当x≥1时，g(x)＝xf′(x)≤0＜1＋e－2，故只需证明g(x)＜1＋e－2在0＜x＜1时成立.当0＜x＜1时，e x＞1，且g(x)＞0，1－x ln x－x则F′(x)＝－(ln x＋2)，当x∈(0，e－2)时，F′(x)＞0，当x∈(e－2,1)时，F′(x)＜0，所以当x＝e－2时，F(x)取得最大值F(e－2)＝1＋e－2.所以g(x)＜F(x)≤1＋e－2.综上，对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.利用导数解决不等式问题如：证明不等式，比较大小等，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式或比较大小常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.[再练一题]14.已知函数f(x)＝x2－a ln x(a∈R)，2(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；1 2(3)求证：当x＞1时，x2＋ln x＜x3.2 3【导学号：97792056】a a【解】(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x 24 x＋2x－2x－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；x x当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.a x2－a(2)因为f′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).x xa x2－a x＋a x－a当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增区间x x x( a，＋∞)；递减区间为(0，a).2 1 1(3)证明：设g(x)＝x3－x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝3 2 xx－12x2＋x＋1 1＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，x 61 2所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3.2 3导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值、求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要符合问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅得到一个根，若能判断出函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.某企业拟建造如图31所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间80π 为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容3器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.图31【规范解答】(1)设容器的容积为V，4 80π由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，3 34 V－πr33 804 4 20故l＝＝－r＝3( －r).πr2 3r2 3 r2由于l≥2r，因此0＜r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c4 20＝2πr×3( －r)×3＋4πr2c，r2160π因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2.r(2)由(1)得160π8c－220 y′＝8π(c－2)r－＝r2 (r3－c－2)，0＜r≤2.r2由于c＞3，所以c－2＞0，20 3 20当r3－＝0时，r＝.c－2 c－23 20令＝m，则m＞0.c－2108c－2所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2).r29 ①当0＜m＜2，即c＞时，2当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2)时，y′＞0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点.9 ②当m≥2，即3＜c≤时，2当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点.9综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r＝2；293 20当c＞时，建造费用最小时r＝.2 c－2利用导数解答实际问题的一般步骤1.利用题设中的条件建立目标函数.2.根据题目中所要求解的问题，利用导数解答，通常是通过判断函数的单调性来求最值.[再练一题]5.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产需占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000 t，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格).(1)将工厂的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大年利润时的年产量.(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额为y＝0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？【解】(1)工厂的实际年利润为：W＝2 000 t－st(t≥0)，1 000 1 0002W＝2 000 t－st＝－s( t－s)2＋，s111 000( s)2时，W取得最大值.当t＝1 000所以工厂取得最大年利润的年产量为( s)2吨.(2)设农场净收入为v元，则v＝st－0.002t2.1 000( s)2代入上式，得：将t＝1 0002 2 × 1 0003v＝－，s s41 0002 8 × 1 0003 1 00028 000－s3v′＝－＋＝.s2 s5 s5又令v′＝0，得s＝20.当0<s<20时，v′>0；当s>20时，v′<0，所以s＝20时，v取得最大值.故在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格为20元.1.函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()【解析】∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.【答案】 D2.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数12D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【解析】由Error!得－1<x<1，则函数的定义域为(－1,1).又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.1 1f′(x)＝＋，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上为增函数.故选A.1＋x1－x【答案】 A3.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处切线方程是________.【解析】当x>0时，－x<0，则f(－x)＝e x－1＋x，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝e x－1＋x.所以当x>0时，f′(x)＝e x－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y＝2x.【答案】y＝2xx4.函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________.x－1x x－1－x－1【解析】∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)x－1 x－1 2 x－12x上单调递减，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.x－1【答案】 25.已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________.【解析】f′(x)＝(2x＋3)e x，则f′(0)＝3.【答案】 36.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1).∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 17.已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.1(ln x＋x·x)＝a(1＋ln x).【解析】f′(x)＝a由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.【答案】 3138.函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为__________.【解析】由题知y′＝e x＋x e x，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点1 1的坐标为(－1，－e )，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.e 1【答案】y＝－e14。

2018版高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教版

3.1.3 导数的几何意义1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程.(重点)2.理解导函数的概念、会求导函数.(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别.(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的几何意义阅读教材P76导数的几何意义～P77例2以上部分，完成下列问题.导数的几何意义1.设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limx n→x0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0).2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点.( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线.( )【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 导函数的概念阅读教材P79导函数部分，完成下列问题.导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x ＋Δx－f xΔx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的.( )(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.( )(3)函数f(x)＝0没有导函数.( )【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型].记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图313【自主解答】函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线.故选D.【答案】 D函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.[再练一题]1.函数y ＝f (x )的图象如图314所示，根据图象比较曲线y ＝f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2附近的变化情况.图314【解】当x ＝x 1时，曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线l 1的斜率f ′(x 1)＞0，因此在x ＝x 1附近曲线呈上升趋势，即函数y ＝f (x )在x ＝x 1附近单调递增.同理，函数y ＝f (x )在x ＝x 2附近单调递增，但是，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，这表明曲线y ＝f (x )在x ＝x 1附近比在x ＝x 2附近上升得缓慢.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6x ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.【精彩点拨】本题考查曲线的切线的有关问题.解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率.【自主解答】 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点. (3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点.解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[再练一题]2.已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值.【导学号：97792036】【解】设切点P (x 0，y 0)，切线斜率为k .由y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx2＋a ]－x 2＋aΔx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0，根据题意4x 0＝8，x 0＝2，分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15得y 0＝8＋a ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，y 0＝1.故所求切点为P (2,1)，a ＝－7.[探究共研型]探究1 【提示】不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.探究2 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？【提示】根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程.探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？【提示】曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.(1)y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x －12C.y ＝4x －4D.y ＝4x －2【自主解答】先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx，ΔyΔx＝1x x ＋Δx ，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.【答案】 C(2)已知曲线C ：y ＝x 3－x ＋2，求曲线过点P (1,2)的切线方程.【导学号：97792037】【自主解答】设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0 ＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0). 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为y ＝2x 或x ＋4y －9＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法1.若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.[再练一题]3.(1)已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 【解析】 lim Δx →0a 1＋Δx2＋b －a －bΔx＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a＝2. 【答案】 2(2)求曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程.【解】因为y ＝2x，所以y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δxx x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.1.如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A.f ′(x 0)＞0 B.f ′(x 0)＜0 C.f ′(x 0)＝0D.f ′(x 0)不存在【解析】由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.【答案】 B2.已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A.2B.4C.6＋6Δx ＋2(Δx )2D.6【解析】 ∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′| x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.【答案】 D3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.【导学号：97792038】【解析】设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30). 【答案】 (3,30)4.曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【解析】 Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0. 【答案】 2x －y －2＝05.函数f (x )的图象如图315所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f 2的大小关系.【导学号：97792039】图315【解】设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示.则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1).。

2018届高三(新课标)数学(理)第三章导数及其应用

第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算突破点(一) 导数的运算基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式原函数 sin x cos x a x (a >0) e x log a x (a >0，且a ≠1)ln x 导函数cos x－sin_xa x ln_ae x1x ln a1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”已知函数的解析式求导数本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算；2.导数的几何意义.[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e ； (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2 ＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(5)y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2] (1)(2016·济宁二模)已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ，所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017，即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．1.[考点一](2017·东北四市联考)已知y ＝ 2 017，则y ′＝( ) A.12 2 017 B ．－12 2 017C.2 0172 017D ．0解析：选D 因为常数的导数为0，又y ＝ 2 017是常数函数，所以y ′＝0. 2.[考点二](2016·大同二模)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3.[考点二](2017·湖北重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.故选C.4.[考点二]在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096.答案：4 0965.[考点一]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x； (4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . (4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .突破点(二) 导数的几何意义基础联通抓主干知识的“源”与“流”函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求切线方程[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程(高考常考类型)，则点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程，则切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．[提醒] “过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． [答案] (1,1)求参数的值[例3] 直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．1.[考点一]已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2.[考点三]曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3.[考点二]在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x +1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝1，故点M 的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx .又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：35.[考点二]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)6.[考点一]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2016·全国甲卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1.根据题意，有⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －14．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0. 设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ， ∴y ′＝cos x ＋e x ， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 3．(2016·安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题可知f ″(x 0)＝0，即4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.4．(2016·贵阳一模)曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b 的值为( )A ．－12eB ．－2e C.2e D.12e解析：选D y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ，∴a b ＝12e，故选D.5．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a e x 图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 2[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 由题可知，f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 3．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1 B.2 C.22D. 3 解析：选B 由题可得，y ′＝2x －1x .因为y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以由2x －1x＝1，得x ＝1，则P 点坐标为(1,1)，所以曲线在点P 处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2，即点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 2. 4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 5．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：选B ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x (e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2. 二、填空题7．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(2)，则函数f (x )的解析式为________．解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，则f ′(2)＝4＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x .答案：f (x )＝x 2－8x8．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)解析：(1)依题意，f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1) 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.第二节导数与函数的单调性突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数的单调性与导数的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f (x )在(a ，b )内可导，且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )≤0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递减．(2)f ′(x )>0(<0)在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充分条件.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x 1，x 2，且x 1<x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)与0的大小关系来确定函数f (x )的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判断可导函数f (x )在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x . (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ 1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧]导数法证明或讨论函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)得出结论：当f ′(x )>0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，求函数f (x )的单调区间．[解] 对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x2－1x ，由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.所以f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)． [方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．1.[考点二]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，所以f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.2.[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.3.[考点二]函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．4.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 5.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)．因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a ＝3.应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒]比较大小或解不等式[例2] (1)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e x x 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C.(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．1.[考点一]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋a x ，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－(2x 2＋4x )或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1<x <2，则－16<g (x )<－6，∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.2.[考点二](2016·南昌三模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若在△ABC 中，角C 是钝角，则( ) A ．f (sin A )>f (cos B ) B ．f (sin A )<f (cos B ) C ．f (sin A )>f (sin B ) D ．f (sin A )<f (sin B )解析：选A ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，又A 、B 都是锐角，且A ＋B <π2，∴0<A <π2－B <π2，∴sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，故f (sin A )>f (cos B )，故选A.3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案：(－3，－1)∪(1,3)4.[考点一]已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意可得f ′(x )≥0在x ∈R 上恒成立，所以Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝4(m 2－6m ＋8)≤0，解得2≤m ≤4.答案：[2,4]5.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则f (x )<3x －15的解集即为g (x )<0的解集．又g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以g (x )<g (4)，故x >4.所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D. 2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．3.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．4．若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )<f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1<1－x <x 2－1<1，解得1<x <2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3 C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B ．[3，＋∞)C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x>0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x >0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x . ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，。

2017-2018学年高中数学人教A版必修三课下能力提升：(08) Word版含解析

课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1辗转相除法与更相减损术1．下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是()A．都是偶数必须约简B．可以约简，也可以不约简C．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12D．以上都不对2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是()A．2 B．3 C．4 D．53．1 624与899的最大公约数是________．4．用两种方法求210与98的最大公约数．题组2秦九韶算法5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是() A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝346．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,57．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．题组3进位制及其转化8．以下各数有可能是五进制数的是()A．15 B．106C．731 D．21 3409．完成下列进位制之间的转化．(1)1 034(7)＝________(10)；(2)119(10)＝________(6)．10．若k进制数123(k)与十进制数38相等，则k＝________.11．若1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值及与此相等的十进制数．[能力提升综合练]1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x－2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－112．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是()A．5,150 B．15,450C．450,15 D．15,1503．下列各数中，最小的是()A．101 010(2)B．111(5)C．32(8)D．54(6)4．(2016·福州高一检测)三进制数2 022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．6．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？7．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？答案[学业水平达标练]1. 解析：选B约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A错．C中第二步应为84－72＝12，故选B.2. 解析：选C294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，共做4次减法运算．3. 解析：1 624＝899×1＋725，899＝725×1＋174，725＝174×4＋29，174＝29×6，故1 624与899的最大公约数是29.答案：294. 解：用辗转相除法：210＝98×2＋14，98＝14×7.∴210与98的最大公约数为14.用更相减损术：∵210与98都是偶数，用2约简得105和49，105－49＝56,56－49＝7，49－7＝42,42－7＝35，35－7＝28,28－7＝21，21－7＝14,14－7＝7.∴210与98的最大公约数为2×7＝14.5. 解析：选D因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.6. 答案：A7. 解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13.v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，v5＝v4×6＋5＝40 530.2，v6＝v5×6－13＝243 168.2.所以f(6)＝243 168.2.8. 解析：选D五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.9. 解析：(1)1 034(7)＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368.(2)∴119(10)＝315(6)．答案：(1)368 (2)31510. 解析：由k 进制数123可知k ≥4.下面可用验证法：若k ＝4，则38(10)＝212(4)，不合题意；若k ＝5，则38(10)＝123(5)成立，所以k ＝5.答案：511. 解：∵1 0b 1(2)＝a 02(3)，∴1×23＋b ×2＋1＝a ×32＋2，且a 只能取1,2，b 只能取0,1.整理得9a －2b ＝7.当b ＝0时，a ＝79(不合要求，舍去)；当b ＝1时，a ＝1.∴a ＝b ＝1.∴102(3)＝1 011(2)，转化为十进制数为1×32＋2＝11.[能力提升综合练]1. 解析：选D f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11＝(x 2－3x ＋2)x －11＝((x －3)x ＋2)x －11，故选D.2. 解析：选B 利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.3. 解析：选C 101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.又42>34>31>26，故最小的是32(8)．4. 解析：2 022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.三进制数2 022(3)化为六进制数为142(6)，∴a ＋b ＋c ＝7.答案：75. 解析：多项式变形为f (x )＝3x 6＋12x 5＋6x 4＋10x 3－8x 2－5x ＋1＝(((((3x ＋12)x ＋6)x ＋10)x －8)x －5)x ＋1，v 0＝3，v 1＝3×(－4)＋12＝0，v 2＝0×(－4)＋6＝6，v3＝6×(－4)＋10＝－14，v4＝－14×(－4)－8＝48，所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.答案：626. 解：先求147与343的最大公约数．343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98，98－49＝49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数．133－49＝84，84－49＝35，49－35＝14，35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7.所以147,343,133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 g.7. 解：由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．又27×1 000＝27 000，所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯.。

2017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3_3_3导数的实际应用教学案新人教B版选修1_1

因此假设广告商要求包装盒侧面积S最大，那么x＝15.
(2)包装盒容积为V＝2x2· (30－x)
＝－2 x3＋60 x2(0<x<30)，
因此VБайду номын сангаас＝－6 x2＋120 x＝－6 x(x－20)．
令V′>0，得0<x<20；
令V′<0，得20<x<30.
因此当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，现在包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
例4 解 (1)设隔热层厚度为xcm，
由题设知，每一年能源消花费用为
C(x)＝，
又C(0)＝8，因此k＝40，
因此C(x)＝ .
而隔热层建造费用为C1(x)＝6x.
因此隔热层建造费用与20年的能源消花费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
5．某商品每件本钱9元，售价30元，每礼拜卖出432件．若是降低价钱，销售量能够增加，且每礼拜多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每礼拜多卖出24件．
(1)将一个礼拜的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个礼拜的商品销售利润最大？
(2)为了使全程运输本钱最小，轮船应以多大速度行驶？
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－ x3＋81x－234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件B．11万件
C．9万件D．7万件
2．在某城市的进展进程中，交通状况慢慢受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的历时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－ t3－ t2＋36t－，那么在这段时刻内，通过该路段历时最多的是( )

高中数学第三章导数及其应用能力深化提升(含解析)新人教A版选修11

第三章导数及其应用能力深化提升类型一导数与曲线的切线【典例1】(1)已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为( )A.1B.±1C.-1D.-2(2)设抛物线C1:y1=x2-2x+2与抛物线C2:y2=-x2+ax+b在它们的一个公共点处的切线互相垂直.①求a,b之间的关系;②若a>0,b>0,求ab的最大值.【解析】(1)选A.设切点为(x0,y0),则y0=3x0+1,且y0=a+3,所以3x0+1=a+3.①对y=ax3+3求导得y′=3ax2,则3a=3,a=1.②由①②可得x0=1,所以a=1.(2)①依题意y1′=2x-2,y2′=-2x+a,设它们的公共点为P(x0,y0),因为在P点切线互相垂直.所以(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4-2(a+2)x0+2a-1=0, (i)则Δ=4[(a-2)2+4]>0.又因为y0=-2x0+2,且y0=-+ax0+b,相减得:2-(a+2)x0+2-b=0, (ii)由(i)(ii)消去x0得:2b+2a=5,即a+b=.②由①得ab≤==,当且仅当a=b=时上式取等号,所以ab的最大值为.【方法总结】根据切点求切线方程的两种情况利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种:(1)求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可得.(2)求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f′(x1)(x0-x1)①.又y1=f(x1)②;由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程. 类型二导数与函数的单调性【典例2】已知函数f(x)=(x+1).(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若对于任意的x∈[1,+∞),f(x)≥a(x-1)恒成立,求a的范围.【解析】(1)x≥1时,f(x)=(x+1)lnx,f′(x)=1++lnx>0,f(x)在(1,+∞)上递增;0<x<1时,f(x)=-(x+1)lnx,f′(x)=-,(f′(x))′=-=>0,f′(x)在(0,1)上递增,f′(x)<f′(1)=-2<0,f(x)在(0,1)上递减,所以f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.(2)x≥1时,f(x)=(x+1)lnx,f(x)≥a(x-1)⇔(x+1)lnx-a(x-1)≥0,设g(x)=(x+1)lnx-a(x-1),g′(x)=1++lnx-a,由(1)知,g′(x)在(1,+∞)上递增,g′(x)≥g′(1)=2-a,若2-a≥0,即a≤2,g′(x)≥0,g(x)在[1,+∞)上递增,所以g(x)≥g(1)=0,所以不等式成立,若a>2,存在x0∈(1,+∞),使得g′(x0)=0,当x∈[1,x0)时,g′(x)<0,g(x)递减,存在g(x)<g(1)=0,这与题设矛盾.综上所述,a≤2.【方法总结】利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(4)不等式的解集与定义域取交集.(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间.特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接.【巩固训练】已知函数f(x)=x3-ax-1,讨论f(x)的单调性.【解析】f′(x)=3x2-a.①当a≤0时,f′(x)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.②当a>0时,令3x2-a=0得x=±,当x>或x<-时,f′(x)>0;当-<x<时,f′(x)<0.因此f(x)在,上为增函数,在上为减函数. 综上可知,当a≤0时,f(x)在R上为增函数;当a>0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数.类型三利用导数求函数的极值、最值【典例3】设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.(1)求a,b,c的值.(2)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,所以c=0,因为f′(x)=3ax2+b的最小值为-12.所以b=-12.又直线x-6y-7=0的斜率为.因此f′(1)=3a+b=-6,所以a=2,b=-12,c=0.(2)因为f(x)=2x3-12x,f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-),列表如下:) ,,+所以函数f(x)的单调增区间是(-∞,-)和(,+∞),单调减区间是(-,).因为f(-1)=10,f()=-8,f(3)=18.所以f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18.最小值是f()=-8.【方法总结】求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a,b)内的极值.(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.特别地,①当f(x)在(a,b)上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得,②当f(x)在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值.【巩固训练】设<a<1,函数f(x)=x3-ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1,最小值为-,求常数a,b.【解析】令f′(x)=3x2-3ax=0,得x1=0,x2=a.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:a+b a+b 从上表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较f(0)与f(1)的大小.因为f(0)-f(1)=a-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b.所以b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)<0,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-a+b=-a,所以-a=-,所以a=.综上a=,b=1.类型四利用导数求参数的范围【典例4】已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R).(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围.(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.【解题指南】(1)f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,则f′(x)≥0在[e,+∞)上恒成立,由此可得a≥-(lnx+1)在[e,+∞)上恒成立.(2)不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,可转化为k<对任意x>1恒成立. 【解析】(1)f′(x)=a+lnx+1,即由题意知f′(x)≥0在[e,+∞)上恒成立.即lnx+a+1≥0在[e,+∞)上恒成立,即a≥-(lnx+1)在[e,+∞)上恒成立,而[-(lnx+1)]max=-(lne+1)=-2,所以a≥-2.(2)f(x)=x+xlnx,k<,即k<对任意x>1恒成立,令g(x)=,则g′(x)=,令h(x)=x-lnx-2(x>1),则h′(x)=1-=>0⇒h(x)在(1,+∞)上单调递增.因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,所以存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,即当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0.x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,所以g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.令h(x0)=x0-lnx0-2=0,即lnx0=x0-2,g(x)min=g(x0)===x0∈(3,4).所以k<g(x)min=x0且k∈Z,即k max=3.【方法总结】导数法解决取值范围问题的两种思路(1)转化为恒成立:将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立,用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意. (2)解不等式:先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再令参数取“=”,看此时f(x)是否满足题意.【巩固训练】已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数,若对x>0,方程f(x)=-2c2有解,求c的取值范围.【解析】由题意知f(1)=-3-c,因此b-c=-3-c,从而b=-3.对f(x)求导,得f′(x)=4ax3lnx+ax4×+4bx3=x3(4alnx+a+4b).由题意,知f′(1)=0,因此a+4b=0,解得a=12.则f′(x)=48x3lnx(x>0),令f′(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数;当x>1时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数.所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,此极小值也是最小值.所以函数f(x)的值域为[-3-c,+∞).若对x>0,方程f(x)=-2c2有解,则-2c2属于函数f(x)的值域,所以-2c2≥-3-c,即2c2-c-3≤0,解得-1≤c≤,所以c的取值范围为.类型五原函数与导数图象间的关系【典例5】已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图象大致是( )【解析】选C.当0<x<1时,xf′(x)<0,所以f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数,排除A,B 选项.当1<x<2时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,故y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除D.【方法总结】利用导数符号判断原函数单调性研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.【巩固训练】设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )+∞)上单调递增,只有选项C符合题意.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修三课下能力提升：(五)Word版含解析(数学试卷新课标人教

课下能力提升（五）［学业水平达标练］题组1输入语句与输出语句1. 在INPUT语句中，如果同时输入多个变量，变量之间的分隔符是（）A •逗号B •分号C.空格D •引号2•当输入“ 3后,输出的结果为（）A. 5B. 4C. 3D. 63. 给出下列程序，输入x= 2, y = 3,则输出（）A . 2,3B . 2,2C. 3,3 D . 3,2题组2赋值语句及相关问题4. 赋值语句N= N + 1的意义是（）A . N等于N + 1B. N+1等于NC. 将N的值赋给N+ 1D. 将N的原值加1再赋给N，即N的值增加15 . （2016湖北十校联考）下列给变量赋值的语句正确的是（）A* 5 —o. s + 2 —a<J =/?=4 D.（i = 2 * a6. 利用输入语句可以给多个变量赋值，下面能实现这一功能的语句是（）A . INPUT “ A ,B , C” a, b, cB . INPUT “A , B ,C = ”；a, b, cC . INPUT a, b, c；“ A , B, C”D. PRINT “A , B , C ”； a , b , c7. 下列程序执行后，变量 a 、b 的值分别为（）a = 15b = 20 a = a + b b = a — b a = a — b PRINT a , b A . 20,15 B . 35,35 C . 5,5D .— 5,— 5&以下程序运行时输出的结果是 ____________ .题组3程序框图与程序语言的相互转化 9.2016年春节期间，某水果店的三种水果标价分别为香蕉：2元/千克，苹果：3元/千克，梨：2.5元/千克•请你设计一个程序，以方便店主的收款.10. 以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图.［能力提升综合练］某一程字;fc 、后相邻的两个语句*那么下列说法正确的卮（）®x = 3 * 5的意患是5=15,此式吋算术中的式子卑一样的； ② x=3* 5足将救值15赋给 ③ 囂=3 # 5可以写为3 # 5=x ；®x=x+l 语句在执行时“=%边x 的值是⑸执行后左边x 的值是16, 九①③比②① 仁①④ LX ②③2.将两个数 a = 8, b = 17交换，使a = 17, b = 8，下面语句正确的一组是（）a = c D. c =b b = a 3.已知程序如图，若输入INPUT “ A = ”； A A = A*2 A = A*3 A = A*4 A = A*5 PRINT A ENDb = a a = bC.A. 5B. 6C. 15D. 1204. 给出下列程序：INPUT “实数：”；x1 , y1 , x2 , y2a= x1 —x2m= a A2b = y1 —y2n = bA2s= m+ nd = SQR(s)PRINT dEND此程序的功能为()A .求点到直线的距离B •求两点之间的距离C.求一个多项式函数的值D .求输入的值的平方和5. 读如下两个程序，完成下列题目.INPUT x y = x*x + 6 PRINT y END(1)程序(1)的运行结果为_________⑵若程序⑴，⑵运行结果相同，则程序⑵输入的x 的值为________________________________________________________________ .6•下面程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果是 3.46，则此程序中，①处应填_________ :②处应填_________ .INPUT x1 = ；1.1INPUT“ x2= ”；复S = ®PRINT SEND7.已知函数f(x)= x 2—1, g(x)= 3 x+ 5•用算法语句表示求f [g (2)] + g [f⑶]的值的算法.&“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的趣题之一•大约在 1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中这样描述：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔几何？试设计一个算法，输入鸡兔的总数和鸡兔的脚的总数，分别输出鸡、兔的数量.程序⑵:的横、纵坐标之差，而 m , n 分别表示两点横、纵坐标之差的平方； s 是横、纵坐标之差的答案［学业水平达标练］在算法语句中，若同时输入多个变量，变量之间用逗号隔开.程序中只有两个变量 x , y.当程序顺次执行时，先有y = 3,再有x = 4,增加1.表达式的值赋给赋值号左边的变量； B 错，赋值语句左边是一个变量，而不是代数式；C 错,6.解析：选B 提示内容与输入内容之间要用“；”隔开，故A 错；提示内容在前, 输入内容在后，故 C 错；输入语句用INPUT”而非PRINT ”，故D 错.7.解析：选A 根据赋值语句的意义，先把 a + b = 35赋给a ,然后把a — b = 35 — 20=15赋给b ,最后再把a — b = 35- 15= 20赋给a.8.解析：根据赋值语句，当 A = 3时，先把 A*A = 3X 3 = 9的值赋给 B ,即卩B = 9,再把2］答案：15,— 69.解：程序如下:10.解：程序框图如图所示:〔结束〕［能力提升综合练］与算术中的“=”是不一样的，式子两边也不能互换，从而只有②④正确，故选B.输入的四个实数可作为两个点的坐标. 程序中的a , b 分别表示两个点1.解析：选A2.解析：选Ax = 5，故最后输出的 x 值为5. 3. 解析: 该程序的运行过程是：输入 2,3, A = 2, x = 3, y = 2,输出3,2.4. 解析:赋值语句N = N + 1的意义是：将 N 的原值加1再赋给N ，即N 的值5. 解析:A 错，因为赋因为赋值语句不能把一个值同时赋给两个变量;D 项正确. 1.解析：选B 赋值语句中的“=” 2.解析：选B由赋值语句的意义知B 正确.3.解析：选D 该程序输出的结果为 A = 1 X 2 X 3 X 4X 5= 120.4.解析：选B平方和，d是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离.5. 解析：(1)赋值语句给变量赋值时，变量的值总是最后一次所赋的值，故程序(1)中x 的值最后为6.⑵要使程序⑵中y的值为6,即卩x2+ 6= 6,故x= 0•即输入的x的值为0.答案：(1)6 (2)06. 解析：由于程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，所以S= x1+ X；,由于最后输出的数是 3.46，所以 3.46 = 1.12+ X；, 即卩x2= 2.25，又x；＞0，所以X2= 1.5.答案：1.5 x1A2 + x2A27. 解：程序如下：8. 解：算法步骤如下：第一步，输入鸡和兔的总数量M.第二步，输入鸡和兔的脚的总数量N.4M —N第三步，鸡的数量为A= 4M—第四步，兔的数量为B= M — A.第五步，输出A, B,得出结果.程序如下：程序框图如图所示：/输入剧*川/_____ 丨AWM N)/2/输出A//~ I。

2017-2018学年高中数学人教A版必修三课下能力提升：(一) Word版含解析

课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1　算法的含义及特征1．下列关于算法的说法错误的是( )A ．一个算法的步骤是可逆的B ．描述算法可以有不同的方式C ．设计算法要本着简单方便的原则D ．一个算法不可以无止境地运算下去2．下列语句表达的是算法的有( )①拨本地电话的过程为：1提起话筒；2拨号；3等通话信号；4开始通话或挂机；5结束通话；②利用公式V ＝Sh 计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积；③x 2－2x －3＝0；④求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．下列各式中S 的值不可以用算法求解的是( )A ．S ＝1＋2＋3＋4B ．S ＝12＋22＋32＋…＋1002C ．S ＝1＋＋…＋ 12110 000D ．S ＝1＋2＋3＋4＋…题组2　算法设计4．给出下面一个算法：第一步，给出三个数x ，y ，z .第二步，计算M ＝x ＋y ＋z .第三步，计算N ＝M . 13第四步，得出每次计算结果．则上述算法是( )A ．求和B ．求余数C ．求平均数D ．先求和再求平均数5．(2016·东营高一检测)一个算法步骤如下：S 1，S 取值0，i 取值1；S 2，如果i ≤10，则执行S 3，否则执行S 6；S3，计算S＋i并将结果代替S；S4，用i＋2的值代替i；S5，转去执行S2；S6，输出S.运行以上步骤后输出的结果S＝( )A．16 B．25C．36 D．以上均不对6．给出下面的算法，它解决的是( )第一步，输入x.第二步，如果x＜0，则y＝x2；否则执行下一步．第三步，如果x＝0，则y＝2；否则y＝－x2.第四步，输出y.A．求函数y＝Error!的函数值B．求函数y＝Error!的函数值C．求函数y＝Error!的函数值D．以上都不正确7．试设计一个判断圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0位置关系的算法．8．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折．请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.题组3　算法的实际应用9．国际奥委会宣布2020年夏季奥运会主办城市为日本的东京．据《中国体育报》报道：对参与竞选的5个夏季奥林匹克运动会申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后进行第二轮投票；如果第二轮投票仍没选出主办城市，将进行第三轮投票，如此重复投票，直到选出一个主办城市为止，写出投票过程的算法．[能力提升综合练]1．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅、盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用( ) A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．23分钟2．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( )A．这个算法可以求方程所有的零点B．这个算法可以求任何方程的零点C．这个算法能求方程所有的近似零点D．这个算法并不一定能求方程所有的近似零点3．(2016·青岛质检)结合下面的算法：第一步，输入x.第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步．第三步，输出x－1.当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )A．－1,0,1 B．－1,1,0C．1，－1,0 D．0，－1,14．有如下算法：第一步，输入不小于2的正整数n.第二步，判断n是否为2.若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除，则n满足条件．则上述算法满足条件的n是( )A．质数B．奇数C．偶数D．合数5．(2016·济南检测)输入一个x值，利用y＝|x－1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：第一步：输入x；第二步：________；第三步：当x<1时，计算y＝1－x；第四步：输出y.6．已知一个算法如下：第一步，令m＝a.第二步，如果b＜m，则m＝b.第三步，如果c＜m，则m＝c.第四步，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，则执行这个算法的结果是________．7．下面给出了一个问题的算法：第一步，输入a.第二步，如果a≥4，则y＝2a－1；否则，y＝a2－2a＋3.第三步，输出y的值．。

2017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3_3_2利用导数研究函数的极值一教学案新人教B版选

因为f(x)既有极大值又有极小值，
因此Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.]
5．解(1)∵f′(x)＝2ax＋，
由题意得即
∴a＝，b＝－1.
(2)由(1)得
f′(x)＝x－＝
＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x转变时，f′(x)，f(x)的转变情形如下表：
因此f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
引申探讨
解因为f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由极值点的必要条件可知
即解得
因此a＝2，b＝9.
跟踪训练2 解 (1)由图象可知，在区间(－∞，1)上f′(x)＞0，在区间(1,2)上f′(x)＜0，在区间(2，＋∞)上f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，因此x0＝1.
－2
(－2，－ln 2)
－ln 2
(－ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
例2 解因为f(x)在x＝－1时有极值0，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x转变时，f′(x)，f(x)的转变情形如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋