湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(文)试题 Word版含答案

湖南省长沙市2017届高三12月联考数学（文科）时量：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{|124}x P x =≤<，{1,2,3}Q =，则P Q ⋂=（ ） A ．{1}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．“0a =”是“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若向量数量积a ·0b <则向量a 与b 的夹角θ的取值范围是（ ） A ．(0,)2πB ．[0,)2πC ．(,]2ππD ．(,)2ππ4．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n m -的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（ ） A ．72 B ．88 C ．92D ．986．执行右图所示的程序框图，则输出的a 值为( ) A ．3-B ．13C ． 12-D ．27．已知函数(4)2()22()2x f x x f x e x f x x ->⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2017)f -= ( )A ．1B ．eC ．1eD ．2e8．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（ ）A ．96+B ．6)96π+C ．4)64π+D ．4)96π+9．已知抛物线22y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为9：4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（ ）A B ． C ．4 D ．810．函数2(2)(1)x x e y x -=-的图像大致为（ ）A ．B ．A ． 102r L << B ．112rL≤< C ． 02r L <<D ．1rL≤<12．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx +的取值范围是（ ）A ．13[,]44B ．1[,1]4C ．[1,3]D ．1[,]3+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 ~ 24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13．数列11111,3,5,7,24816的前n 项和n S 为 ．14．已知x 为三角形中的最小角，则函数sin 1y x x =+的值域为 ． 15．某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，生产一个星期能获得的最大利润为 元．16．设1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且12|||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的面积为S ，且BA CA S ⋅=． （1）求tan A 的值； （2）若4B π=，6c =，求△ABC 的面积S ．18．（本小题满分12分）某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润． （1）求y 关于x 的表达式； （2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与ADEF 是边长均为a 的正方形，四边形ABGF 是直角梯形，AB AF ⊥，且24FA FG FH ==。

（1）求证：平面BCG ⊥面EHG ；（2）若4a =，求四棱锥G －BCEF 的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的离心率为35，过.左焦点F 且垂直于长轴的弦长为325． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点(,0)P m 为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，证明：22||||PA PB +为定值．21．（本小题满分12分）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，R a ∈. （1）当0=a 时，求函数）x f (在))1(,1(f 处的切线方程； （2）令)1()()(--=ax x f x g ，求函数)(x g 的极值；（3）若2-=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明：21521-≥+x x ．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为4cos 6sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q ． （1）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （2）若弦长4PQ =，求直线l 的斜率． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()12f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()0f x >，在[]2,3x ∈上恒成立，求a 的取值范围．参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．2112nn+-14．1,3]15．21000161三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)解：（1）由BA CA S⋅=得AB AC S⋅=．设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为,,a b c．则有1cos sin2bc A bc A=1cos sin2A A⇒=，故tan2A=．…………………………4分（2）由（1）中tan20A=>知2Aπ<<，则sin cosA A==． (6)分可得sin sin()sin cos cos sin22C A B A B A B=+=+==……………8分由sin sinc bA B=可得sinsin210cb BC=⋅===10分故11sin61222S bc A==⨯=．………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（1）(83)5(19),(83)19(43)(19)76(19).x xx y x xx -=≤⎧=⎨-⨯+-⨯-=+>⎩……………………6分（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元．日销售量为20杯时，日利润为96元，日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，销量为21杯的有2天．………………………………………………8分 销量为20杯的3天，记为a ，b ，c ，销量为21杯的2天，记为A ，B ，从这5天中任取2天，包括(,)a b ，(,)a c ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b c ，(,)b A ，(,)b B ，(,)c A ，(,)c B ，(,)A B ，共10种情况．………………………………………………………………10分其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故其概率为110．……………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）连接BH ，由3,4AH a AB a ==可知54HB a ==；HG ==；2GB ==，可得222HB HG GB =+，从而HG GB ⊥．………………………………………3分 ∵,DA AF DA AB ⊥⊥， ∴DA ABGH ⊥面，又∵//CB DA ，∴CB ABGF ⊥面，∴CB HG ⊥，∴HG BCG ⊥面，∵HG EHG ⊂面，∴EHG BCG ⊥面面．…………………………………………6分 （2）过B 作AF 的平行线交于FG 的延长线于点P ，连接AP ，FB 交于点O ．过G 作GK FB ⊥，则1122GK PO ⨯＝＝8分可得四边形BCEF 的面积4S ⨯＝10分故13233G BCEF V ⨯－＝＝．…………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由2222355232453c e a a bb ac a b c ⎧==⎪=⎪⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎩，可得椭圆方程2212516x y +=．…………………4分 （2）设l 的方程为54x y m =+，代入2212516x y +=并整理得： 2225208(25)0y my m ++-=．………………………………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211141||()16PA x m y y =-+=， 同理22241||16PB y =．……………………………………………………………………8分 则22221241||||()16PA PB y y +=+2121241[()2]16y y y y =+- 2241416(25)[()]4116525m m -=--= 所以，|P A |2＋|PB |2是定值．……………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）当0=a 时，x x x f +=ln )(，则1)1(=f ，所以切点为)1,1(，又11('+=xx f ），则切线斜率21('==）f k ， 故切线方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x .………………………………………3分 （2）1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x a ax x ax x f x g ， 则xx a ax a ax x x g 1)1()1(1)('2+-+-=-+-=，……………………………………4分当0≤a 时，∵0>x ，∴0)('>x g .∴)(x g 在),0(+∞上是递增函数，函数)(x g 无极值点，………………………………5分当0>a 时，xx a x a x x a ax x g )1)(1(1)1()('2+--=+-+-=，令0)('=x g 得ax 1=. ∴当)1,0(ax ∈时，0)('>x g ；当),1(+∞∈ax 时，0)('<x g .因此)(x g 在)1,0(a 上是增函数，在),1(+∞a上是减函数. ……………………………7分 ∴a x 1=时，)(x g 有极大值a aa a a a a a g ln 2111)1(121ln )1(2-=+⋅-+⨯-=. 综上，当0≤a 时，函数)(x g 无极值；当0>a 时，函数)(x g 有极大值a aln 21-.……………………………………8分 （3）证明：当2-=a 时，x x x x f ++=2ln )(，0>x .由0)()(2121=++x x x f x f ，即0ln ln 2122221211=++++++x x x x x x x x ，从而)ln()()(212121221x x x x x x x x -=+++ 令21x x t =，则由t t t ln )(-=ϕ得：tt t t 111)('-=-=ϕ， 可知，)(t ϕ在区间)1,0(上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增. ∴1)1()(=≥ϕϕt ，∴1)()(21221≥+++x x x x ， ∵01>x ，02>x ，∴21521-≥+x x 成立. ………………………………………12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 解：（1）由4cos 6sin ρθθ=-，得.24cos 6sin ρρθρθ=-将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，代入可得22460x y x y +-+=，配方，得：22(2)(3)13x y -++=，所以圆心为(2,3)-，…………………………5分（2）由直线l 的参数方程知直线过定点(4,0)M ，则由题意，知直线l 的斜率一定存在．设直线l 的方程为l 的方程为(4)y k x =-．因为4PQ =3=，解得0k =或125k =-.………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：(1) ∵1,()1|1|2|1|1a f x x x =>⇔--+>，111112(1)112(1)112(1)1x x x x x x x x x ≤-<≤->⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-+++>-+-+>--+>⎩⎩⎩－或或 22211233x x x ⇔-<≤--<<-⇔-<<-或， 故解集为2(2,)3--．……………………………………………………………………5分 （2）()0f x >在[]2,3x ∈上恒成立120x x a ⇔--+>在[]2,3x ∈上恒成立2211221x a x x x a x ⇔+<-⇔-<+<-1321x a x ⇔-<<--在[]2,3x ∈上恒成立， ()()max min 5132152422x a x a a ⇔-<<--⇔-<<-⇔-<<- 故a 的范围为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分。