平面向量的坐标运算测试题解读

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数学苏教版4自我小测：2.3.2 平面向量的坐标运算含解析

自我小测1．已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ,AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量23AB BC AC ++的坐标为__________．2．设向量a ＝(1,－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为__________．3．设i ,j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的单位向量，且AB ＝4i ＋2j ，AC ＝3i ＋4j ，则△ABC 的面积等于__________．4．已知O (0，0）和A (6，3）两点，若点P 在直线OA 上,且12OP PA =，又点P 是线段OB 的中点，则B 的坐标是__________．5．（1）已知向量a ＝（1，2），b ＝(2，3），c ＝（3，4），且c ＝λ1a ＋λ2b ,则λ1＋λ2的值为__________．(2)已知a ＝(－1,2），b ＝（1,－1),c ＝（3，－2），用a ,b 作基底可将c 表示为c ＝p a ＋q b ,则实数p ，q 的值分别为__________．6。

如图，已知△ABC ,A (7，8),B (3，5），C (4,3)，M ，N ,D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于F 点，则DF 的坐标为__________．7。

如图，已知A（－1，2)，B（3,4)，连结A,B并延长至P，使AP＝3BP，求P点的坐标．8．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7,10）,若AP AB ACλ=+（λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？9.已知A(4，5)，B（1,2）,C(12,1），D（11，6），求AC与BD交点P的坐标．参考答案1. 答案:(3，4)解析:由题意知B ,C ，D 坐标分别为(1,0），（1，1)，（0,1)， ∴(1,0)AB =，(0,1)BC AD ==，(1,1)AC =．∴23(2,0)(0,3)(1,1)(3,4)AB BC AC ++=++=．2. 答案:（4，－6)解析：由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6,12）－（2，－6）＝(－8,18），由4a ＋（3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6）．3. 答案：5解析：如图,作出向量AB ＝4i ＋2j ,AC ＝3i ＋4j ,则△ABC 的面积为34(42)1425222⨯+⨯⨯+-=。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为所以又向量与垂直，所以，，即，解得：故选A．【考点】向量的数量积的应用．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____【答案】或【解析】设，所以，因为垂直于轴；所以，解得，或.故答案为或【考点】向量的坐标表示；向量垂直.6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.12.在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由复数的几何意义知，，，则，所以，故选B.【考点】1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模13.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算14.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设与的夹角分别为θ1、θ2，则,因为与在直线上的射影长度相等，所以·=·，即|1+4k|=|-3+k|解之得，k＝,故选C.【考点】1.向量在几何中的应用；2.平面向量的坐标运算；3.直线的斜率．15.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示16.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积17.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模18.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.19.已知向量，，且//，则等于 ( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】因为，向量，，且//，所以，，解得，，即，故选A.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模.20.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算21.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】,,向量在方向上的投影为==.【考点】1、向量的坐标表示；2、向量的投影.22.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算23.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.24.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.25.已知向量，下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于，那么可知，故选项B 正确，对于C，由于成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D成立，因此选A.【考点】向量的概念和垂直的运用点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．2.设向量，，若向量与向量共线，则= ．【答案】-3【解析】由题知=（，），由向量与向量共线得，()(-3)-( )(-1)=0,解得，=-3.考点:向量的坐标运算；向量共线的充要条件3.已知点，，向量，若，则实数的值为．【答案】4【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件4.已知平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】∵=（2，-1），=（1，1），∴＝(2，−1)+k(1，1)＝(2+k，k−1)，又=（-5，1），且∥，，∴1×（2+k）-（-5）×（k-1）=0，解得：k=．故选：B．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．5.已知向量，若向量则( ).A．B．2C．8D．【答案】B【解析】.【考点】平面向量平行的坐标表示.6.已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由向量的坐标运算及向量模的定义易表示出，，再由求得的值；（2）首先由同角的三角函数关系求出，再由得的值，最后合理的拆分角及和角公式得即可求得结果.试题解析：(1)(2)【考点】向量的坐标运算及向量模的定义；同角的三角函数关系；三角函数的和、差角公式.7.已知向量，且，则．【答案】.【解析】∵，∴，，又∵，∴.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量共线的坐标表示.8.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】【解析】根据∥有,可知,得．【考点】向量共线．9.已知向量，,,且、、三点共线，则=_________．【答案】【解析】∵A,B,C三点共线，∴，又∵，，∴，解得．【考点】向量共线的坐标表示．10.已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则等于（）A．-2B．-6C．2D．3【答案】A【解析】解：∵A（1，1）、B（-1，0）、C（3，-1），∴=（-2，-1），=（2，-2）∴=（-2）•2+（-1）•（-2）=-2，故选A.【考点】数量积的坐标表达式．11.若，点的坐标为，则点的坐标为.【答案】【解析】设，则有，所以，解得，所以.【考点】平面向量的坐标运算.12.已知,,则．【答案】【解析】根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到.向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.【考点】向量的减法运算13.已知向量（）A．（8，1）B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算点评：若，14.设向量满足及，（Ⅰ）求夹角的大小；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)设与夹角为，，而，∴，即又，∴所成与夹角为.(Ⅱ)∵所以.【考点】向量的夹角向量的模点评：本题是一个考查数量积的应用问题，在解题时注意启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，把握向量的几何表示，注意数量积性质的相关问题15.设，向量且，则( )A．B．C．2D．10【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算及向量位置关系点评：若则，16.已知点和向量,若,则点的坐标为________.【答案】【解析】设【考点】向量的坐标运算点评：若则，两向量相等，则其横纵坐标对应相等17.已知＝(1,2)，＝(-2,k)，若∥(+)，则实数的值为．【答案】-4【解析】因为＝(1,2)，＝(-2,k)，所以+=（-1,2+k），因为∥(+)，所以1×（2+k）+2=0，解得，k=-4.【考点】平面向量的加法运算；平面向量平行的条件。

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，下列命题正确的个数是（）（1）平面内点G满足，则G是的重心；（2）平面内点M满足，点M是的内心；（3）平面内点P满足，则点P在边BC的垂线上；A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对（2），M为的外心，故（2）错.对（3），，所以点P在的平分线上，故（3）错.易得（1）正确，故选B.【考点】三角形与向量.2.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示3. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.4.在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为．【答案】6【解析】根据题意可得：，则，化简得：，解得：．【考点】向量的运算5.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【答案】C【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）•（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C6.在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x，＝y (xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．【答案】【解析】因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以＝＝ ( ＋)．又＝，＝，所以＝＋.因为M、E、N三点共线，所以＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)7.已知=（2,0），，的夹角为60°，则．【答案】【解析】.【考点】向量的基本运算.8.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.9.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在方格纸上作出，如下图，则容易看出，故选D.【考点】1.向量的加法运算.10.在中，已知是边上的一点，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，解得，，故选A.【考点】平面向量的线性表示11.设点为三角形ABC的外心，则．【答案】【解析】出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将用表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．解：过O作OS⊥AB，OT⊥AC 垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，则=【考点】向量的运算法则点评：本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义．12.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在上的射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA + AB + AC =" 0" 且| OA |="|" AB |，对于 OA + AB + AC =" 0" ⇔ OB =" CA" ，所以可以得到图形为：因为 CA =" OB" ，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于| OA |="|" AB |，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量 CA 在 CB 方向上的投影为：| CA |cos＜ CA ， CB ＞=2×cos30°= 故选：A13.设向量，若a//b，则实数t的值是_______.【答案】 9【解析】考查平面向量的坐标运算及共线性质。

高考数学专题《平面向量的基本定理及坐标表示》习题含答案解析

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高一课时练习）已知向量()1,2a =- ，()3,1b =- ，(),2c m = ，(2)c a b ⊥- ，则m 的值为（）ABC ．2D ．10【答案】C 【解析】先求出2a b -的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因()1,2a =- ，()3,1b =- ，则()25,5a b -=- ，而(),2c m = ，(2)c a b ⊥-，于是得(2)0c a b ⋅-=，即5520m -+⋅=，解得2m =，所以m 的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知()24,4,3a b a b ==-=- ，，记a 与b 夹角为θ，则cos θ的值为（）A ．1320B ．516-C ．34D ．57-【答案】B 【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为()4,3a b -=- ，所以5a b -=，因为a b -== 所以25416=+-16cos θ，所以5cos 16θ=-．故选:B .练基础3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（）A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅ 取最小值95-.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA = ，b BC = ，则CF =（）A ．2133a b+ B ．2133a b-C ．1348a b-+D ．3548a b-【答案】D 【解析】取a BA = ，b BC = 作为基底，把BE 、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF .【详解】取a BA = ，b BC =作为基底，则12BE a b =+ .因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知A B P ，，三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA y OB →→→=+，则x y += ________.【答案】1【解析】由共线可设AB BP λ→→=，进而得OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-，化简对应的,x y 即可得解.【详解】∵,,A B P 三点共线，∴存在非零实数λ，使得AB BP λ→→=，∴OB OA OP OB λ→→→→⎛⎫= ⎪⎝-⎭-∴11OP OB OAλλλ→→→+=-∵OP xOA y OB →→→=+，∴111x y λλλ+⎛⎫+=-= ⎪⎭+⎝.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D 点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量()1,1a =，向量()3,2b =- .（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -垂直.【答案】（1）()7,3-；（2）274k =.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出2(7,3)a b -=-；（2）可求出(3,2)ka b k k +=-+ ，然后根据ka b + 与2a b - 垂直即可得出7(3)3(2)0k k --+=，解出k 即可．【详解】（1）∵()1,1a =，()3,2b =- ，∴()27,3a b -=-r r.（2）∵()3,2ka b k k +=-+r r ，且ka b + 与2a b - 垂直，∴()()73320k k --+=，解得274k =.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知||4a =，(b =-xoy ABCD //AB DC //AD BC ()20A -，()68B ，()8,6C ()0,2-ABCD OB OD OA OC +=+()()()()2,08,66,80,2OD OA OC OB =+=+----=D ()0,2-()0,2-（1）若//a b ，求a的坐标；（2）若a 与b的夹角为120°，求a b -r r .【答案】（1）(2,-或(2,-；（2）.【解析】（1）先求与向量b 共线的单位向量，结合//a b ，即可得出a的坐标；（2）先根据夹角求出a b ⋅，根据模的运算律22a a = ，即可得到a b -r r .【详解】解：（1）(b =- Q ，||2b ∴=∴与b共线的单位向量为12b c b ⎛=±=±- ⎝.||4a = Q ，//a b，(||2,a a c ∴==-或(2,-.（2）||4a = Q ，||2b =，,120a b <>=︒ ，||||cos ,4a b a b a b ∴⋅==-，222()228a b a a b b ∴-=-⋅+=，||a b ∴-=9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，12CD AE DA EB ==，记BC a →= ，CA b →= .试用向量a →，b →表示DE .【答案】1()3DE b a →→=- 【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为111()()333AE AB CB CA a b →→==-=-- ，2233AD AC b →==- ，所以121()()()333DE AE AD a b b b a →→→→→=-=----=- .即1()3DE b a →→=- 10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量(1,3),(1,)a b t →→=-=，若(2)a b a →→→+⊥，（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求3a b →→-的值．【答案】（1）34π；（2）．【解析】（1）根据(2)a b a →→→+⊥得到2t =，再求出=5a b →→⋅-，a →=，b →=，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1）Q (1,-3),(1,)a b t →→==，()23,32a b t →→∴+=-+，Q (2)a b a →→→+⊥，()(2)=3132-30a b a t →→→+⋅⨯+-+⨯=∴（），解得2t =，11-325a b →→∴⋅=⨯+⨯=-（），a →=，b →=，cos ,a ba b a b→→→→→→⋅∴<>===⋅，所以向量a →与b →的夹角为34π.（2）Q 2223969106-55125a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=⨯-⨯+=（），3a b →→∴-=．练提升1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n m n n n⋅⊗=⋅，若平面向量,a b满足||2||0a b ≥> ，a 与b 的夹角πθ0,3æöç÷Îç÷èø，且a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合4n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗ 的值可能为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】CD 【解析】由已知得集合{|}4nn Z ∈的元素特征，再分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b ⊗ 和b a ⊗ 的范围如下：因为(0,3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b b a b a a a a θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥> ，可得10cos 2b a θ<< ，又∵b a ⊗∈ {|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ= ，从而14cos b a θ= ，∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗ ，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=< ．且a b ⊗ 也在集合{|}4n n Z ∈中，故有2a b ⊗= 或3．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是___________.【答案】(1,0)-【解析】如图所示，由A ，B ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，OD tOC = ，1t<-，(1)tOC OA OB λλ=+- ，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，A Q ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ满足(1)OD OA OB λλ=+-，又OD tOC =，1t <-，(1)tOC OA OB λλ∴=+-，即1OC OA OB t tλλ-=+，与OC mOA nOB =+两比较，可得m tλ=，1n tλ-=，则1(1,0)m n t+=∈-．m n ∴+的取值范围是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知A (1，1)，B (0，1)，C (1，0)，M 为线段BC 上一点，且CM CB λ= ，若MA BC MB MC ⋅>⋅，则实数λ的取值范围是___________.【答案】1⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据CM CB λ=可得1x y λλ=-⎧⎨=⎩，再表示出MA MB MC BC ，，，坐标，由条件可得2220x y y +-≤，再将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入可得关于λ的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点(),M x y ，由CM CB λ=，得()()1,1,1x y λ-=-，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩.因为MA BC MB MC ⋅>⋅，所以()()()()1,11,1,11,x y x y x y --⋅-≥----，即2211x y x x y y --+≥-+-+，化简得2220x y y +-≤将1x y λλ=-⎧⎨=⎩代入2220x y y +-≤，得()22120λλλ-+-≤，即22410λλ-+≤，解得11λ≤≤+因为M 为线段BC 上一点，且CM CB λ=，所以01λ≤≤.综上，可知11λ≤≤.故实数λ的取值范围是1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为与OC 的夹角为α，且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45∘，若OC =mOA +nOB (m,n ∈R )，则m +n =_________．【答案】3【解析】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则A (1,0)，由OC 的模为2与OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7知，cos α=210,sinα=210 ，可得B (cos(α+45∘),sin (α+45∘))，∴B ―35,，由OC =mOA +nOB可得=m ―35n,45n=m ―35n75=45nm =54,n =74，∴m +n =3，故答案为3.5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =，()sin ,cos n x x = ，()0,x π∈．若//m n u r r，则x =______；若存在两个不同的x 值，使得n m t n += 恒成立，则实数t 的取值范围为______．【答案】34π)2．【解析】根据向量平行的坐标表示可求34x π=；用坐标表示出n m t n += ，结合三角函数的图象可得实数t 的取值范围.【详解】x x =，则tan 1x =-，又()0,x π∈，则34x π=；计算得sin ,cos m n x x +=+ ，则m n +== ，又存在两个不同的x 值，使得n m t n +=恒成立，则t =()0,π上有两个不同的解，令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，由()0,x π∈，得3,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2t <<．故答案为：34π；)2．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形ABCD ，0AB BC ⋅= ，AD BC λ=u u u r u u u r，1AB AD ==，且||||CB CD CB CD ⋅= ，（i ）λ=___________；（ii ）若2DE EC = ，动点F 在线段BE 上，则DF FC ⋅ 的最大值为___________.【答案】12 613 【解析】利用向量的数量积可得4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，进而可得2BC AD =，求出λ；以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，首先求出点E 坐标，设(),F x y ，利用向量共线求出5x y =，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由||||CB CD CB CD ⋅= 1212cos e e e e BCD ⋅=∠= 因为[]0,BCD π∠∈，所以4BCD π∠=，过点D 作BC 的垂线，垂足为O ，可得1DO OC ==，因为1AB AD ==，所以2BC AD =，由AD BC λ=u u u r u u u r ，所以12λ=.以B 为坐标原点，,BC BD 为,x y 建立平面直角坐标系，如图：则()1,1D ，()2,0C ，设(),E m n由2DE EC =，即()()1,122,0m n m n --=--，解得51,33m n ==，即51,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),F x y ，503x ≤≤，103y ≤≤，则51,33BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),BF x y = ，因为,,B F E 三点共线，所以5133y x =，即5x y =，()1,1DF x y =-- ，()2,FC x y =-- ，所以()()()()()21215125DF FC x x y y y y y y⋅=--+-=--+- 224626162261313y y y ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当413y =时，DF FC ⋅ 取得最大值为613.故答案为：12；6137．（2021·全国高一专题练习）已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4).设,,AB a BC b CA c === ，且3,2CM c CN b ==- .（1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n ；（3）求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）11m n =-⎧⎨=-⎩；（3）M (0，20)，N (9，2)，(9,18)MN =- .【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得a =(5，-5)，b =(-6，-3)，c=(1，8).（1）33a b c +-=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵mb nc + =(-6m +n ，-3m +8n )，∴65385m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩.（3）设O 为坐标原点，∵3CM OM OC c =-=，∴3OM c OC =+ =(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M (0，20).又∵2CN ON OC b =-=- ，∴2ON b OC =-+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N (9，2)，∴MN =(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC 的面积为S 23S ≤≤，且AB ·BC ＝3，AB 与BC 的夹角为θ.求AB 与BC 夹角的取值范围．【答案】,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】可设AB 与BC 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且3||||cos AB BC θ= ，从而根据ABC V 的面积32S ∈tan 1θ…，这样根据正切函数在(0,2π的单调性即可求出θ的范围．【详解】解：Q 3AB BC ⋅= ，∴,AB BC 的夹角为锐角，设,AB BC 的夹角为θ，则：||||cos 3AB BC θ= ，∴3||||cos AB BC θ=，又3]2S ∈；∴()13||||sin 22AB BC πθ- …，∴13||||sin 22AB BC θ …，∴33tan 22θ…，∴tan 1θ…，∴64ππθ……，∴AB 与BC 夹角的取值范围为[,]64ππ．9．（2021·全国高一专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线；（2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由1m n +=原式可代换为()1OP mOA m OB =+- ，再由()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，两式联立变形即可求证；（2）由A ，P ，B 三点共线，可得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，整理成OP 关于,OA OB 的表达式，再结合OP mOA nOB =+ ，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+- ，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦ ，故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+- ，即()()()1m OP OA m OB OP -=-- ，()1mAP m PB =- ，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ= ，变形得()OP OA OB OP λ-=- ，即()1OP OB OA λλ+=+ ，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++ ，又OP mOA nOB =+ ，1111λλλ+=++，故1m n +=10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC 中.∠BAC =120°，AB =AC =1（1）求AB BC ⋅ 的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A 与原点重合，边AB 在x 轴上，设动点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动.求⋅ BP CP 的最小值.【答案】（1）32-；（2）12-.【解析】（1）由()10B ,，12C ⎛- ⎝，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，求得⋅ BP CP 1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1）()10B ,，12C ⎛- ⎝，AB BC ⋅ ()331,022⎛=⋅-=- ⎝.（2）点P 在以A 为圆心，AB 为半径的劣弧BC 上运动，设点P 坐标为()2cos ,sin 03πθθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，又()10B ,，12C ⎛- ⎝，⋅ BP CP ()1cos 1,sin cos ,sin 2θθθθ⎛=-⋅+ ⎝2211cos cos cos sin 22θθθθθ=-+-+1sin 26πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又203πθ≤≤，则5666πππθ≤+≤1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，⋅ BP CP 有最小值12-.1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C ．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ Q ,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=Q n ，解得103k =-,故答案为：103-.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=__________．【答案】35AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = (2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r 练真题【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=-- ，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=_________．【答案】85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m ）,若a ⊥(ma ―b )，则m =_________.【答案】-1.【解析】∵a =(1,0),b =(―1,m )，∴ma ―b =(m ,0)―(―1,m )=(m +1,―m )，由a ⊥(ma ―b )得：a ⋅(ma ―b )=0，∴a ⋅(ma ―b )=m +1=0，即m =―1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .1-.。

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以，故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。

专题02 平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)--解析版

专题02 平面向量基本定理及坐标表示（专题测试）【基础题】1. （2020·广东东莞市·高一期末）已知向量()2,3a =，(),6b m =，且a b ⊥,则m =（） A ．4- B ．4C ．9-D ．9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =，(),6b m =，因为a b ⊥，可得2362180a b m m ⋅=⨯+⨯=+=，解得9m =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. （2020·广东揭阳市·高一期中）已知(1,1)AB =-，(0,1)C ，若2CD AB =，则点D 的坐标为 A ．(2,3)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,1)-【答案】D【分析】设出D 的坐标，代入2CD AB =，计算出D 点的坐标.【详解】设(),D x y ，则(),1CD x y =-，()22,2AB =-，根据2CD AB =得()(),12,2x y -=-，即212x y =⎧⎨-=-⎩，解得()2,1D -，故选D. 【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．（2020·广东汕头市·高二期末）如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（）A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA + 【答案】B【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】1122CD BD BC BA BC BC BA =-=-=-+.故选：B 4. （2019·广东深圳市·福田外国语高中高三一模（文））向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（）A B ．C ．D ．5【答案】A【分析】通过向量共线求出k ，然后求解|3|a b +即可. 【详解】向量(1,2)a =，(2,)b k =-，a 与b 共线， ∴4k =-，即3(1,2)a b +=，∴2312a b +=+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题.5．（2020·东莞市光明中学高二月考）已知向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，则x 的值是（） A ．6- B ．83C ．6D ．83-【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值. 【详解】向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，212x ∴=，解得6x =.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.6．（2020·汕头市澄海中学高二期中）已知向量()2,1a =-，()5,4b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则x 、y 可以是（）A ．1x =，1y =B ．0x =，1y =C ．1x =，0y =D ．1x =，1y =- 【答案】A【分析】根据()0a b c +⋅=可得x y =.【详解】因为()a b c +⊥，所以()()()3,3,330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x y =，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 7．（2020·广东深圳市·高一期末）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x =（）. A ．23-B ．23C ．1-3D ．13【答案】A【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，建立方程求解即可. 【详解】a b ⊥，()210a b x x ∴⋅=++=，解得23x =-.故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8．（2012·广东湛江市·）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α=（） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果. 【详解】因为//a b ，所以3cos 4sin 0αα-=，所以3tan 4α=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.9.（2020·广州市·广东实验中学高三月考（文））已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（） A ．1 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．（多选题）（2020·廉江市第三中学高二月考）如果平面向量(2,0)a=，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（） A ．2a b = B ．22a b ⋅=C ．()-⊥a b bD ．//a b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定，即可得出结果. 【详解】由平面向量(2,0)a=，(1,1)b =知：在A 中，2=a ，2b =，∴=2a b ，故A 正确；在B 中，2a b，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()-⊥a b b ，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：A C .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型.【提升题】11．（2021·广东高三其他模拟）在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值. 【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A12．（2020·广东高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PA PD ⋅=（）A ．0B ．3C ．3D ．92【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，由1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，由60A ∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，可求出,,P A D 的坐标，从而可求出PA PD ⋅的值【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，根据1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，又因为60A ∠=︒，所以2AB BC CD DA BD =====，易求得31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)A -，(0,1)D -，331,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，3PA PD ⋅=，故选：C ．13. （2020·广东汕尾市·高一月考）已知向量()1,2a =，()2,b t =.若a b ⊥，则t =______，此时a 与a b +的夹角为______. 【答案】1-π4【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.利用夹角公式，求得a 与a b +的夹角的余弦值，进而求得a 与a b +的夹角.【详解】由于a b ⊥，所以()()1,22,220t t ⋅=+=，解得1t =-，所以()()2,1,3,1b a b =-+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()()()22221,23,152cos 25101231a a ba a bθ⋅+⋅====⋅⋅++⋅+. 由于[]0,θπ∈，所以4πθ=.故答案为：1-；π4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.14（2021·全国高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（）A ．5122a b -- B ．33232a b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3323a b ⎛--+ ⎝⎭ D ．3323a b ⎛-+- ⎝⎭ 【答案】D【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(3O ，()1,0A -，()10B ,，(1,223F +，所以(1,3OA =--，(1,3OB =-，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪-=+233λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即3323AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.15.（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b，则函数f （x ）的值域．【答案】（1（2）【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得cos 02x x -=，根据二倍角的正弦公式可得1sin 22x =，根据x 的范围可得26x π=，进一步可得tan 23x =；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得())4fx x π=+，再根据x 的范围，结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为//a b ，所以cos 02x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan6x π==. （2）()f x a b =⋅=2cos x x x x+=+)4x π=+，因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以2sin()(,1]42x π+∈，所以()(3,6]f x ∈. 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.【拓展题】(选用)16．（2020·山西太原市·高三期末（理））赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),22BC ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭13,22AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.。

高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝______.【答案】【解析】由向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，得，从而，，故；故应填入：．【考点】向量平行．2.已知, , 且, 则等于 ( )A．－1B．－9C．9D．1【答案】C【解析】由得，得。

【考点】平面向量的坐标运算、平面向量平行的充要条件3.设向量，则向量与向量共线的充要条件是_________;【答案】【解析】由题意可知，向量与向量共线，则，故.【考点】1.向量的加法坐标运算；2.向量共线的充要条件.4.已知向量，.若，则的值是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为向量，，则，所以解得.故选A.本小题解题的关键是向量的坐标形式的数量积的计算，通过运算解出相应的未知数的值.【考点】向量的坐标形式的数量积.5.两个向量，的夹角大小为 .【答案】【解析】由向量坐标形式的夹角公式为.所以.由于.所以.故填.本小题的关键是向量所成的角的取值范围以出错.【考点】1.向量的坐标形式.2.向量的夹角的计算公式.3.向量的夹角的取值范围.6.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.7.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.8.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【解析】由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．【考点】空间三点共线．9.在，角所对的边分别为，向量，且。

（1）求的值；（2）若，求的值。

【答案】（1）（2）【解析】（1），或又，（2），，又当时，由余弦定理得；当时，由余弦定理得【考点】本题考查了向量的运算及二倍角公式、余弦定理等点评：此类问题比较综合，不仅考查了学生对向量的坐标运算、二倍角公式的变形及运用，还考查了正余弦定理的运用，考查了学生的综合分析能力及解题能力10.已知向量.若与的夹角为，则实数 .【答案】-3【解析】根据.【考点】空间向量的数量积.点评：空间向量的数量积的定义.11.设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 .【答案】【解析】由于与在方向上的投影相同,所以．【考点】向量投影的定义以及向量的数量积定义．点评：解本小题的关键是确定在向量上的投影为：，从而可得,问题得解.12.已知向量，，若∥，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为∥,所以.13.已知a="(3,2)" , b=(-1,y),且a⊥b,则y=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为a="(3,2)" , b=(-1,y),且a⊥b,则-3+2y=0，y=,选A14.已知向量=(2,x)，=(3,4)，且、的夹角为锐角，则x的取值范围是_________【答案】【解析】解：因为向量=(2,x)，=(3,4)，且、的夹角为锐角，则6+4x>0,且、的夹角不为零，因此8-3x0因此可知x的取值范围是15.已知,，则与的夹角为 .【答案】【解析】解：因为,，则展开可知2-8+，故与的夹角16.已知||=||=||=2，则||的值为【答案】【解析】解：因为因此17.已知复数，它们所对应的点分别为A，B，C．若，则的值是．【答案】-3【解析】解：由题意可得（3，-2）=x（-1，2）+y（-1，-1）=（-x-y，2x-y），∴-x-y=3，2x-y=-2，解得x=-，y=-，∴x+y=-3，18.已知（，，），（，，0），则向量与的夹角为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为（，，），（，，0），则，因此向量与的夹角为，选B19.已知平面向量，，且，则的值为（）A．－3B．-1C．1D．3【答案】C【解析】解：平面向量，，且20.设=（1, -2），=（a,-1），=（-b，0），a>0,b>0,O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】解：21.设平面向量=（1，2），= （-2，y），若 //，则|3十|等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 //3十,|3十|22.已知且//，则锐角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,，即，是锐角，，。

高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析

【考点】平面向量的坐标运算、平面向量平行的充要条件3.已知点，，若动点满足，则点的轨迹方程为________ .【答案】【解析】设坐标为则，又,则=，所以+=0化为.【考点】本题考查向量的坐标运算，轨迹方程的求法.4.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.5.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.6.已知向量,.若,则实数__________.【答案】【解析】利用向量平行的充要条件是得，解得 .【考点】向量平行的坐标表示.7.已知向量若，则m＝ .【答案】-1【解析】∵，∴，又，且，∴，∴m=-1【考点】本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算法则是解决此类问题的关键8.已知则（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】根据题意可知，由于那么可知，因此可知,故选B.【考点】本试题考查向量的数量积的运算。

点评：解决该试题的关键是对于空间向量的坐标运算，即,而向量的垂直则可知向量的数量积为零可知结论，属于基础题。

9.已知，且∥，则x的值为（）A．4B．－4C．D．【答案】D【解析】解：因为，且∥，则x2-16=0,x=,选D10.若，则的夹角为（）A． B C． D．【答案】A【解析】解：因为，且有，那么可知，因此利用向量的数量积的夹角公式得到的夹角为60度，选A11.已知，且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，且，利用均值不等式可知，选A12.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.13.已知，它们的夹角为【答案】3【解析】解：因为14.设=（1, -2），=（a,-1），=（-b，0），a>0,b>0,O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】解：15.已知向量，，若与共线，则等于（）A．；B．C．D．【答案】C【解析】解：因为向量，则说明16.若a =" (" m＋1 , 2 , 4 )， b =" (" 5 , m－3 , 9 )且a与b垂直，则m = _______【答案】.【解析】，17.已知a=，b，若a//b，则|a b|= .【答案】2或【解析】因为，所以，解得或当时，，此时；当时，，此时。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.2.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．(1)若|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）x＝或x＝（2）(5，＋∞)【解析】(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max ，则c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．5.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．6.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为________．【答案】6【解析】由a⊥b得，4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6．当且仅当“32x＝3y”时，即y＝2x时，上式取“＝”．此时x＝，y＝1．7.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A8.四边形是平行四边形，，，则= （）A．B．C．D．【答案】（A）【解析】因为.故选（A）.【考点】1.向量的加减.2.向量的相等.9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．10.已知向量=(,),=(,)，若，则=.【答案】【解析】由已知．，解得，.【考点】平面向量的坐标运算.11.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线12.设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标为【答案】【解析】设，∵与的方向相反，故又∵，则，解得，，故答案为.【考点】共线向量，平面向量的坐标运算.13.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．-B．C．-或D．0【答案】C【解析】由a∥b,得m2-2=0,解得m=±.故选C.14.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.15.若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．【答案】(－2，－4)【解析】＝＋＝－＝(－2，－4)．16.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．17.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.18.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.19.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为()．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)【答案】D【解析】设B(x，y)，由＝3a，得解得20.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.21.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.22. .若向量，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算.23.若向量，且与的夹角为则 .【答案】（-3，-6）【解析】由与的夹角为知,【考点】向量数量积的性质和向量的坐标运算.24.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算25.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.26.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .【答案】【解析】不妨假设，则，因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算.27.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.28.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.29.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且与共线，所以，故选A.【考点】1.共线向量；2.平面向量的坐标运算30.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示31.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（2）利用向量数量积的坐标表示，可转化为角的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解.试题解析：（1）解：（1）∵∴（2）∵∴，，==7【考点】平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式.32.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模33.已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（）A．4B．6C．4D．16【答案】C【解析】因为｜2－｜，故其最大值为，最小值为，它们的和为，选C.【考点】平面向量坐标运算、平面向量的模、两角差的正弦定理.34.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，，解得，，故，故选A.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算35.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.36.已知，，，为坐标原点.（Ⅰ），求的值；；（Ⅱ）若，且，求与的夹角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求、的坐标，，利用三角函数公式化简求得；（Ⅱ）利用已知条件求，确定的值，在由求解.试题解析：（Ⅰ）,，，∴，.（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，又，，，∴.【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角与模.37.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.38.已知向量，，，若∥，则=___ ．．【答案】5【解析】因为，向量，，，所以，，又∥，所以，，故答案为5.【考点】平面向量的坐标运算39.已知平面向量，，如果向量与平行，那么与的数量积等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，，∴,.∵与平行，∴,解得.∴.∴.故选D.【考点】向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.40.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算41.已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若向量,,试求的取值范围【答案】(Ⅰ) . （Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由题意得，即. 3分由余弦定理得,. 6（Ⅱ）∵， 7∴.∵，∴，∴.∴，故. 12分【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式，正弦型函数图象和性质，余弦定理的应用。

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知向量=（8，x），=（x，1），x＞0，若﹣2与2+共线，则x的值为（）A．4B．8C．0D．2【答案】A【解析】由题意得，﹣2=（8，x） 2（x，1）="(8" 2x , x 2) ,2+=2（8，x）+ （x，1）=(16+x,x+1),又﹣2与2+共线，∴（8 2x）（x+1）（x 2）（16+x）=0,解得．故选A.【考点】平面向量的坐标运算.2.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．3.已知，，且，则点的坐标为．【答案】(4,-3)【解析】设C,所以=，=，由=-2，所以，解得=4，=-3，故C（4,-3）．【考点】点坐标与向量坐标关系；向量相等的充要条件4.已知为锐角的三个内角，向量与共线．（1）求角的大小；（2）求角的取值范围（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）（，2]【解析】（1）由向量平行的坐标形式及可列出关于角Ａ的正弦的方程，求出,结合A为锐角，求出Ａ角；（2）由（1）知Ａ的值，从而求出B+C的值，将C用B表示出来，结合Ｂ、Ｃ都是锐角，列出关于B的不等式组，从而求出B的范围；（3）将函数式中C用B表示出来，化为B的函数，用降幂公式及辅助角公式化为一个角的三角函数，按照复合函数求值域的方法，结合（2）中B角的范围，求出内函数的值域，作为中间函数的定义域，利用三角函数图像求出中间函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的性质求出外函数的值域即为所求函数的值域．试题解析：（1）由题设知：得即由△ABC是锐角三角形知： 4分（2）由（1）及题设知：即得∴ 8分（3）由（1）及题设知：， 10分由（2）知：∴ 12分∴因此函数y=2sin2B+cos的值域为（，2] 14分（其他写法参照给分）【考点】向量平行的充要条件；已知函数值求角；不等式性质；三角变换；三角函数在某个区间上的值域5.设的夹角为钝角，则的取值范围是 .【答案】或。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.若向量则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∴.【考点】向量的运算.2.已知向量，则下列向量中与成的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A选项中的向量，，则；对于B选项中的向量，，则；对于C选项中的向量，，则；对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B.【考点】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题.3.已知向量，．若向量与共线，则实数_______.【答案】【解析】由可得，.【考点】向量共线的充要条件.4.在平面直角坐标系中，，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解法一：设点，易知点为第二象限，且有，，因此可得，解得，故选A；解法二：由于，不妨设点，则，而，，故点的坐标为，故选A.【考点】1.平面向量；2.三角函数的定义；3.诱导公式5.已知向量a=(-1,2),则下列向量与a共线的是()A．b=(1,-2)B．b=(2,-1) C．b=(0,1)D．b="(1,1)"【答案】A【解析】由a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0,验证易知A正确.6.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．7.四边形是平行四边形，，，则= （）A．B．C．D．【答案】（A）【解析】因为.故选（A）.【考点】1.向量的加减.2.向量的相等.8.已知向量=(,),=(,)，若，则=.【答案】【解析】由已知．，解得，.【考点】平面向量的坐标运算.9.设向量=，=，则“”是“//”的( ).A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，此时；当时，，解得.所以“”是“”的充分而不必要条件.【考点】1.充分条件、必要条件和充要条件的判断；2.向量平行的坐标表示10.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.11.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算12.已知，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知两向量的坐标，直接计算，验证各选择支结论是否正确，两向量垂直等价于，计算知正确．【考点】向量垂直的条件，向量数量积的坐标运算．13.在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，点在直线上运动，为坐标原点，为△的重心，则的最小值为__________．【答案】9【解析】把数量积用坐标表示出来，应该能求出其最小值了．设，由点坐标为，因此，所以当时，取得最小值9．【考点】数量积的坐标运算．14.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（）A．2B．C．4D．【答案】B【解析】设，，则，代入得，所以.【考点】1.特殊值法；2.向量的运算；3.基本不等式.15.平面直角坐标系中O是坐标原点，已知两点A（2，-1），B(-1,3),若点C满足其中且，则点C的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】设点，则，则有，解得，代入中，得点的轨迹方程为.【考点】1、向量的坐标运算；2、曲线的方程.16.已知向量，，，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，因此，即，解得，故选A.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的垂直17.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .【答案】【解析】不妨假设，则，因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算.18.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.19.已知向量，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算20.若向量,且,则实数=（）A．－4B．4C．－6D．6【答案】A.【解析】由向量可得解得x=-4.所以选A.【考点】向量平行的坐标表示.21.已知向量，，则在方向上的投影等于．【答案】【解析】，cos<>=,所以在方向上的投影等于 cos<>= =.【考点】1.向量的坐标运算；2.向量的夹角公式；3.向量的模.22.若向量a＝，，b＝(－，)，则a·b a b＝ .【答案】【解析】因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算23.已知向量，，如果向量与垂直，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，由于向量与垂直，所以，故选C.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算24.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算25.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算26.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算27.已知向量，且，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，向量，且，所以，，选C.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量.28.设，向量且，则= ．【答案】【解析】由,得，所以.【考点】向量垂直的坐标表示.29.在ΔABC中，=600，O为ΔABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且（x,y∈R)，则x+y的取值范围为_____.【答案】[1,2]【解析】如图建立直角坐标系，O为坐标原点，设C（1,0），，，则，，，即，，解得，，又，，.【考点】向量坐标运算、三角函数.30.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.31.已知向量，当∥时的值是 ( )A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】因为，向量，且∥，所以，（x-1）×1-2×2=0，x=5,故选C。

2022-2023学年高一下数学：平面向量的坐标运算(附答案解析)

6
B．7
C．8
D．9
3．（2021 春•长清区校级期中）下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（）
A．
B． C． D．
4．（2021 春•湖南期中）已知
则实数 m 的值为（）
A．
B．1
，且
，
C．
D．或 1
5．（2021 春•长清区校级期中）已知单位向量
满足
，则
【分析】由向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：因为 A（2，3），B（3，1），
所以＝（3，1）﹣（2，3）＝（1，﹣2）．故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2021 秋•铁力市校级期末）已知点 A（﹣1，1），B（3，y），向量
，若
，
则 y 的值为（）
（1）若| |＝2 ，且 ∥ ，求的坐标；
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（2）若| |＝，且 2 + 与 4 ﹣3 垂直，求与的夹角θ． 17．（2021•蓬江区校级模拟）△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 向量＝（a，
b）与＝（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）若 a＝2 ，b＝2，求△ABC 的面积 18．（2009•青岛一模）已知向量＝（sinα，cosα），＝（6sinα+cosα，7sinα﹣2cosα），设函数 f（α）＝ • ．（1）求函数 f（α）的最大值；（2）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f（A）＝6，且△ABC 的面积为 3，b+c＝2+3 ，求 a 的值．
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2022-2023 学年高一下数学：平面向量的坐标运算

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），则2+3=（）.A．（﹣4，﹣8）B．（﹣5，﹣10）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）【答案】A【解析】因为=（1，2），=（﹣2，﹣4），.【考点】平面向量的坐标运算.2.已知直线的方向向量为，且过点，将直线绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角得到直线，直线：.(k R).（1）求直线和直线的方程；（2）当直线，，所围成的三角形的面积为3时，求直线的方程。

【答案】（1）直线方程为：，的方程为x-y-1=0；（2）直线的方程为：7x-4y-2=0或13x-10y+4=0.【解析】（1）本小题由已知条件利用点斜式方程能求出直线的方程（其中方向向量可用以求其斜率），设直线的倾斜角为，则的斜率为，从而可求得的方程；（2）可知直线过定点M（2，3），由，得直线与的交点为C(-5,-6),点A到的距离为，联立得直线，的交点B（），又因为直线，，所围成的三角形的面积为3，所以有，再利用两点间的距离公式求得k的值，即可求得的方程.试题解析：（1）因为直线的方向向量为，且过点，所以直线方程为：，整理，得.将直线绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角得到直线，设直线的倾斜角为，且有B（1，0），则的斜率为，所以的方程为：y=x-1,整理得x-y-1=0.（2）因为直线：，即为(x-2)k+(3-y)=0,所以过定点M（2，3），由，得直线与的交点为C(-5,-6),点A到的距离为，联立得直线，的交点B（），又因为直线，，所围成的三角形的面积为3，所以有，则，解得或，所以所求直线的方程为：7x-4y-2=0或13x-10y+4=0.【考点】直线的点斜式，斜截式方程，两直线求交点，两角和的正切公式，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，三角形的面积公式.3.已知平面向量，，且，则【答案】【解析】由得，即得。

【考点】向量垂直的数乘运算。

六年级数学学科阶段评估试题平面向量的坐标运算

六年级数学学科阶段评估试题平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算一、引言在数学学科的六年级阶段评估试题中，我们将聚焦于平面向量的坐标运算。

平面向量是指在平面上表示有大小和方向的箭头，可以通过坐标来描述。

平面向量的坐标运算是指对平面向量进行加法、减法、数量乘法等操作。

本文将详细介绍平面向量的坐标运算的概念、方法和应用。

二、平面向量的坐标表示1. 定义平面上的任意向量可以用坐标有序数对表示，通常用有向线段的终点的坐标减去起点的坐标所得的坐标有序数对表示。

2. 坐标表示举例对于平面上的向量AB，如果点A的坐标是(Ax, Ay)，点B的坐标是(Bx, By)，那么该向量的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。

三、平面向量的坐标运算方法1. 平面向量的加法设有向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，向量B的坐标表示为(Bx, By)，那么向量A + B的坐标表示为(Ax + Bx, Ay + By)。

2. 平面向量的减法设有向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，向量B的坐标表示为(Bx, By)，那么向量A - B的坐标表示为(Ax - Bx, Ay - By)。

3. 平面向量的数量乘法设有向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，实数k，那么向量kA的坐标表示为(kAx, kAy)。

四、平面向量的坐标运算的应用1. 向量的模向量的模是指该向量的长度或大小。

对于平面上的向量AB，其模可以通过坐标运算中的勾股定理求得。

设该向量的坐标表示为(Ax, Ay)，那么向量AB的模为√(Ax² + Ay²)。

2. 向量的方向角向量的方向角是指该向量与正x轴的夹角，以逆时针方向为正。

对于平面上的向量AB，其方向角可以通过坐标运算中的反三角函数求得。

设该向量的坐标表示为(Ax, Ay)，那么向量AB的方向角为arctan(Ay/Ax)。

3. 平面向量共线判断如果两个向量的坐标乘积为0，则这两个向量共线。

根据该性质，我们可以利用坐标运算来判断平面上的向量是否共线。

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知是同一平面内的三个向量，其中.（Ⅰ）若，且，求向量；（Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为是在坐标前提下解决问题，所以求向量，即求它的坐标，这样就必须建立关于坐标的方程；（Ⅱ）求与的夹角的正弦值，首先应想到求它们的余弦值，如何求，还是要建立关于它的方程，可由与垂直关系，确立方程来解决问题.试题解析：（Ⅰ），可设， 1分∴，， 2分∴ 4分∴或. 6分（Ⅱ）∵与垂直，∴，即 8分∴，∴， 10分，所以与的夹角的正弦值 12分【考点】平面向量的坐标运算和向量之间的关系.2.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上（1）若，求；（2）设，用表示，并求的最大值.【答案】（1），（2）1.【解析】（1）本小题中因为思路一即化为坐标运算：从而求得x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算：即可求得模长；（2）本小题因为所以则，两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,以下把问题转化为目标函数为t的线性规划问题加以解决.试题解析：（1）解法一：又解得x=2,y=2,即所以解法二：则,所以所以（2），两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.【考点】平面向量的线性运算与坐标运算；线性规划问题.3.已知(1)若，求x的范围；(2)求的最大值以及此时x的值.【答案】(1);(2),或【解析】(1)先利用向量的数量积的坐标表示把的解析式表示出来，得，然后解关于的一个一元二次不等式得到的范围，然后再解三角不等式即可。

（2）用换元法求的最大最小值，然后求的取值即可。

试题解析：解：（1）由题意，即，；（2）∵令，则，当，即或时，.【考点】1、向量的坐标运算；2、三角不等式；3、换元法求函数的最值；4.已知点，，向量，若，则实数的值为．【答案】4【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件5.已知向量，，函数.(1)若，求的最大值并求出相应的值；(2)若将图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的倍，横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位得到图象，求的最小正周期和对称中心；（3）若，求的值.【答案】（1），；（2），（3）。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知向量，且，则的值为A．B．C．5D．13【答案】B【解析】由题意结合向量共线的充要条件可得：2×6-（-3）x=0，解得x=-4故=（-2，3），由模长公式可得故选C【考点】１．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；２．平面向量共线（平行）的坐标表示．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.4.已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则点D的坐标为()A．(－，)B．(，－)C．(，)D．(－，－)【答案】C【解析】设点D的坐标为(x，y)，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥，又C，B，D三点共线，∴∥.又＝(x－2，y－1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∴，解方程组得x＝，y＝，∴点D的坐标为(，)．5.在平面直角坐标系中，，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解法一：设点，易知点为第二象限，且有，，因此可得，解得，故选A；解法二：由于，不妨设点，则，而，，故点的坐标为，故选A.【考点】1.平面向量；2.三角函数的定义；3.诱导公式6.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.7.（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）【答案】A【解析】∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）．故选A．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．11.已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，则向量的坐标为 .【答案】【解析】设，由已知有，即，即，即①，由已知，即②，①②联立得，即.【考点】向量的运算.12.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算13.已知平面向量，，. 若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，由于，则，解得，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.共线向量14.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为________．【答案】【解析】设D(x，y)，则由＝2，得(4，3)＝2(x，y－2)，得解得15.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．16.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，求m的值．【答案】m＝－1.【解析】a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1，2)．∵ (a＋b)∥c，∴，∴ m＝－1.17.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.18.在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为，故，即，解得.【考点】1、向量的坐标运算；2、向量垂直.19.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算20.在平面直角坐标系中，若点，，，则________．【答案】【解析】.【考点】向量的坐标运算及向量的模.21.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算22.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.23.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，则，所以，故选A.【考点】平面向量的坐标运算24.已知向量，，则在方向上的投影等于．【答案】【解析】，cos<>=,所以在方向上的投影等于 cos<>= =.【考点】1.向量的坐标运算；2.向量的夹角公式；3.向量的模.25.设，向量，，，且，∥，则= ．【答案】15【解析】由，∥得，．【考点】1.向量的数量积；2.共线向量的充要条件；3.向量的坐标运算26.已知两点，向量，若，则实数的值为( )A．-2B．﹣l C．1D．2【答案】B【解析】由已知得，所以由得，，解得.【考点】向量垂直的坐标表示27.已知平面向量，，且，则的值为 .【答案】【解析】.【考点】平面向量数量积运算.28.设，，若，则____________.【答案】【解析】因为，所以，即，解得.【考点】平面向量垂直的坐标表示29.已知向量，若，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，所以.【考点】向量的坐标运算.30.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.31.已知双曲线：，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，则双曲线离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设，右焦点，因为，所以，由图可知，，所以故，即，即，选C.【考点】平面向量的坐标运算、双曲线性质、双曲线离心率、不等式的性质.32.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.33.若，则 .【答案】(3，4)【解析】．【考点】向量的坐标运算.34.已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得，，所以，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积35.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，，则，由题意可得,令，则在不是单调函数，从而在一定有解，即在时有解，可得，即，经检验此时此时正好有极大值点．【考点】1.向量的坐标运算;2.函数的性质.36.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算37.已知点( )A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A【考点】本题考查单位向量的定义和坐标运算。

第3讲平面向量坐标运算5种题型(解析版)

第3讲平面向量坐标运算5种题型【考点分析】考点一：平面向量基底的概念如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数1λ，2λ，使得1122λλ=+a e e ．我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．考点二：平面向量的正交分解及坐标表示①平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．①平面向量的坐标表示1.正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．2.平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．考点三：向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y i ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．考点四：平面向量数量积的几何与坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．【题型目录】题型一：平面向量的坐标运算题型二：平面向量数量积的坐标运算题型三：平面向量坐标共线，垂直问题题型四：平面向量坐标模的计算题型五：平面向量坐标运算中的夹角，投影问题【典型例题】题型一：平面向量的坐标运算【例1】已知向量(12)a =，，(21)b =-，，则a b +等于（） A ．(31)--， B ．(13)-， C ．(13)， D ．(31)，【答案】D【解析】()()()1,31,22,1=-+=+b a【例2】已知点2(1)A ，，(10)B -，，则AB =（） A ．(20)， B ．(22)， C ．(22)--， D ．(02)，【答案】C【解析】()()()2,22,10,1--=--=AB【例3】设平面向量()3,6AB =-，点()1,2A -，则点B 的坐标为（） A ．()2,4- B ．()2,4-C ．()4,8-D ．()4,8-【答案】B【分析】设B 点坐标为(,)x y ，则可得AB 的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案. 【详解】设B 点坐标为(,)x y ，所以(1,2)(3,6)AB x y =+-=-，解得24x y =⎧⎨=-⎩，所以B 的坐标为()2,4-. 故选：B【例4】平行四边形ABCD 三个顶点坐标分别为()()()2,1,1,3,3,2A B C -，则顶点D 的坐标为（） A ．()2,3- B ．(1,1)C ．()0,1-D ．()0,0【答案】D【分析】设(),D x y ，由AB DC =求解即可.【详解】设(),D x y ，由平行四边形ABCD 可得AB DC =，即()()3,23,2x y =--，解得0,0x y ==，故D ()0,0. 故选：D.【例5】已知()2,7M -，()10,2N -，点P 是线段MN 上的点，且2PN PM =-，则P 点的坐标为（） A ．()2,4 B ．()14,16- C ．()6,1 D ．()2,11-【答案】A【分析】设出点P 的坐标，利用向量的坐标运算结合相等向量，列式计算作答. 【详解】设(),P x y ，则()10,2PN x y =---，()2,7PM x y =---，因2PN PM =-，从而有()()1022227x x y y ⎧-=---⎪⎨--=--⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，所以P 点的坐标为()2,4. 故选：A【例6】在四边形ABCD 中，()()()()2,0,1,3,3,4,2,3A B C D --，,E F 分别为边,AB CD 的中点，则EF =（） A ．()4,2 B ．()4,2-- C ．()8,4 D ．()8,4--，所以5,2EF ⎛= ⎝【题型专练】1．已知点(1,3),(2,7)A B ，向量(0,2)AC =-，则BC =（） A ．(1,4) B ．(1,4)--C ．(1,6)D ．(1,6)--【答案】D【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】()1,4AB =，所以()1,6BC AC AB =-=--.故选：D.2．已知平面向量(1,1)a =，(1,1)b =-，则向量1322a b -=（）A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(1,0)-D ．(1,2)-【详解】因为(1,1)a =，(1,1)b =-111(,)222a =，333(,222b =-13(1,2)22a b -=-故选：D3．已知()12,3P ，2(1,4)P-，且12=2PP PP ，点P 在线段12PP 的延长线上，则P 点的坐标为（） A ．(5,4)- B ．45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()4,5-D ．()4,5-【答案】D【详解】由几何关系与向量的坐标表示求解【分析】由题意得122PP PP =，设(),P x y ，则()()221,3,4y x y x -=----，222,382x x y y ∴-=---=-，解得4,5x y =-=，故选：D4．若()()1,0,0,1,34,i j a i j b i j ===+=-+，则a b -的坐标为（） A ．()2,5 B ．()2,5-C ．()4,3D ．()4,3-【答案】C【分析】利用向量的坐标运算即可求得.【详解】因为()()1,0,0,1,34,i j a i j b i j ===+=-+，所以()()3,4,1,1a b ==-，所以()4,3a b -=．故选：C5．平面直角坐标系内，O 为坐标原点，若点()A 3,5，则向量OA 的向量正交分解形式是___________．【答案】35OA i j =+【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点()A 3,5，所以35OA i j =+ 故答案为：35OA i j =+6．已i ，j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为坐标原点，设()()()2211OA x x i x x j x R =++--+∈，则点A 位于第______象限.【答案】四【解析】由向量的正交分解可得A 点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.【详解】由题意得：()221,1A x x x x ++-+-210x x ++>，210x x -+-< A ∴位于第四象限故答案为：四【点睛】本题考查由向量的正交分解确定点所处的象限问题，属于基础题.7．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.【答案】3(2AC =，(BD -=()0,0A①32AB ⎛= ⎝，12AD ⎛=- ⎝①31(,2AC AB AD -=+=，(BD AD AB -=-=题型二：平面向量数量积的坐标运算【例1】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，1=BC ，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t -3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【例2】在边长为3的正方形ABCD 中，E 是BC 上靠近B 点的三等分点，则AC DE ⋅=（） A ．3 B ．－3C ．－4D ．4【答案】A【分析】以B 为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到AC ，DE ，代入计算即可. 【详解】以B 为原点建立如图所示直角坐标系，E 是BC 上靠近B 点的三等分点，且边长为3，所以()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =-，()2,3DE =-- 所以()3293AC DE ⋅=⋅-+=. 故选：A.【例3】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12 BC D 【分析】设,,2,AB a AC b a b ==∴==且,,3a b π=先用,a b 表示出BQ ，CP ，求出BQ CP ⋅的值，即可求【详解】解：设,,2,AB a AC b a b ==∴==且,,3a b π=(1),,BQ AQ AB b a CP AP AC a b λλ=-=--=-=-231[(1)]()222,.22BQ CP b a a b λλλλλ⋅=--⋅-=-+-=-∴=【题型专练】1．若向量()2,1m =-，()3,2n =，则()()23m n m n +⋅-=（） A ．25- B ．25 C ．19- D ．19【答案】A【分析】根据空间向量线性运算与数量积的坐标表示运算即可. 【详解】因为()2,1m =-，()3,2n =，所以()()()()234,29,613,4,1,3m n m n +=-+=-=--，故()()()()231314325m n m n +⋅-=⨯-+⨯-=-. 故选：A.2．已知向量()2,0a =，13,22b ⎛= ⎝⎭，则()b a b ⋅-=（）A ．3B ．1C ．1D ．0【详解】解：因为()2,0a =，13,22b ⎛= ⎝所以33,22a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭，所以()33044b a b ⋅-=-= 故选：D2021新高考1卷）已知123(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP =B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α=====，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC题型三：平面向量坐标共线，垂直问题【例1】已知向量()()1,,3,1a t b ==-，且()2a b b +⊥，则a b -=（）A ．5B ．C ．D ．)()220a b b a b b +⊥⇔+⋅=，求解【详解】由题意，2(2,2)(3,1)(1,2a b t +=+-=-)()22321240a b b a b b t t +⊥⇔+⋅=++=+=，解得故43a b -=-（，），22||4(3)5a b -=+-=. 故选：A【例2】已知平面向量(1,1),(2,5),(,3)a b c x ==-=，若3()a b c -⊥，则实数x 的值为（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】A【分析】由向量线性关系的坐标运算得3(7,14)a b -=-，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】因为(1,1),(2,5)a b ==-，所以3(7,14)a b -=-，因为3()a b c -⊥，所以(3)7420a b c x -⋅=-=，解得x =6. 故选：A【例3】向量1,3a =（），()31,1b x x =-+，()5,7c =，若()()a ba c ++，且c ma nb =+，则m n +的值为（）A ．2B ．52C ．3D ．72【答案】C【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出1x =，再利用向量的坐标表示得到关于m 、n 的方程组进行求解.【详解】由题意，得()3,4a b x x +=+ ，()6,10a c +=，因为()()a ba c ++，所以30624x x =+，解得1x =，则()()()(),32,22,325,7c ma nb m m n n m n m n =+=+=++=，即25327m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，故3m n +=.故选：C.【例4】已知向量()()1,1,1,2a b =-=，若向量c 满足()(),//c b a c a b +⊥-，则c =_________. 【分析】设(),c x y =，利用向量四则运算、向量垂直和向量平行的坐标表示列出方程组解出c ，进而即可得c .【详解】设(),c x y =，由题意得(1,c b x +=+，(1,c a x -=-因为()(),//c b a c a b +⊥-，()()()1,21,101,1(1,2)x y x y λ⎧++⋅-=⎪⎨-+=⎪⎩，即12112x y x y λλ+--⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得(2,1)c =，22215c =+=.故答案为：5【例5】已知向量()2,1AB =，()7,BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =_________．【答案】6【分析】根据给定条件，求出BD ，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因()7,BC m =，()3,1CD =-，则(10,1)BD BC CD m =+=-，又()2,1AB =，且A ，B ，D 三点共线，即//AB BD ，因此2(1)1100m --⨯=，解得6m =，所以6m =. 故答案为：6 【题型专练】1．设,R x y ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a b c b ⊥，则||a b +等于（） A ．B C ．3D ．4【答案】B【分析】由向量共线定理及垂直的坐标表示求得(2,1)a =、(1,2)b =-，应用向量线性运算、模长的坐标表示【详解】由//c b 知：b c λ=且R λ∈，则，即(1,2)b =-，由a b ⊥知：20x -=，可得2x =，即(2,1)a =，所以(3,1)a b +=-，故||10a b +=. 故选：B2．已知向量a =（1，1），b =（﹣1，1），c =（4，2），若c a b λμ=+，λ、μ①R ，则λ+μ＝（） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．2【答案】D【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案.【详解】由c a b λμ=+，则()()()4,21,11,1λμ=+-，即42λμλμ=-⎧⎨=+⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩，故2λμ+=，故选：D.3．已知向量()()()1,2,1,1,3,2a b c =-=-=-且c pa qb =+，则（） A ．4,1p q == B ．1,0p q ==C ．0,1p q ==D ．1,4p q ==【答案】D【分析】利用向量相等列方程即可求解.【详解】因为()()()1,21,1(,2,3,2)pa qb p q p q p q c pa qb +=-+-=-+-=+=-，所以322p q p q -+=⎧⎨-=-⎩，解得14p q =⎧⎨=⎩．故选：D4．已知(1,),(1,3)a k b ==-，若(2)a b a +⊥，则=k （） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】BD【分析】利用向量垂直时的坐标表示列方程，解方程即可.2(1,2a b k +=+(2)a b a +⊥得(2)0a b a +⋅=，即1．5．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（） A ．||2||a b = B ．22a b ⋅= C ．()a b b -⊥ D ．//a b||||=22a b =，，所以||2||a b =，故A 对，2a b =⋅，故B 错， 2()=220a b b a b b -⋅⋅-=-=，所以()a b b -⊥，故C 对，2101⨯≠⨯，故a b ，不平行，故D 错，故选：AC6．在平面直角坐标系xOy 中，()3,1M ，()1,3N -，()1OP OM ON λλ=+-，()1,1a =-，若OP 与a 共线，则λ=___________. 【答案】-1【分析】设(),OP x y =，根据题意和平面向量的坐标表示可得0x y +=和41x λ=-、32y λ=-，即可求解. 【详解】设(),OP x y =，由OP 与a 共线，所以0x y +=. 由()1OP OM ON λλ=+-，得()3141x λλλ=--=-，()3132y λλλ=+-=-，则220λ+=，解得1λ=-. 故答案为：-1.7．已知向量()2,2a =，()3,32b m =-， ()2,22c m =--. 若()//a b c +，则||b =_____. 【分析】根据向量共线得坐标表示，求解出b ，然后求模①()3,31,b c m m +=，()//a b c + 2×1=0 解得，m =1.①()3,1b =2||31b =+故答案为：8．已知向量()2,3a =-，()1,2b =，若()a b a λ+⊥，则______．【答案】134##3.25 【详解】因为()2,3a =-，()1,2b =，所以(2,2a b λλ+=+()a b a λ+⊥，所以()0a b a λ+⋅=， )()23230λλ+--=，解得134λ=．故答案为：1349．已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =-，(1,2)AD m =-，若A ，C ，D 三点共线，则m =______. 【分析】由向量线性运算的坐标表示得(4,AC m =，根据三点共线有AC AD λ=且λ∈【详解】由(4,AC AB BC m =+=，又A ，C ，所以AC AD λ=且R λ∈，则26-⎧⎨+⎩，可得故答案为：23-10．向量()()(),1,2,,2,2a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则+=a b ___________. 【答案】10【详解】因为()()(),1,2,,2,2a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥， 0，24y -=， 2-，所以()()1,1,2,2,a b ==-所以(3,1)a b +=-，23(a b +=+故答案为：10.题型四：平面向量坐标模的计算【例1】设向量(10)，a =，=b ，若t =+c a b (t ①R)，则||c的最小值为 A B ．1 C D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 【例2】已知向量()5,4a =-，()2,2b =-. (1)若a a mb =-，求实数m 的值；(2)若向量c 与3a b +共线且5c =，求c 的坐标. (2)()1,2c =-或()1,2c =-.【分析】（1）利用向量坐标的线性运算求a mb -坐标，模长坐标公式列方程求参数值；）设(,)c x y 并求出3a b +的坐标，根据向量共线及模长坐标公式求，即可得c 的坐标. 由题知：(5,4)(2,2)(5,42)a mb m m m -=---=--，25(a =+a a mb =-， 22a a mb =-，241(52)(42m m =++--0=或9-.2）设(,)c x y ，3(5,4)a b +=-+①()//3c a b +，5c =， ①()1,2c =-或()1,2c =-.【题型专练】1.已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t b a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=+a2.已知向量()2,2a =-，()5,b k =.若a b +不超过5，则k 的取值范围是（） A ．[]4,6- B ．[]6,4- C ．[]6,2- D ．[]2,6-【分析】先根据向量的坐标运算求出(3,2a b k +=+【详解】因为(2,2)(5,)a b k =-=，，所以(3,2a b k +=+223(2)413a b k k k +=++=++，因为a b +不超过524135k k ++≤，解得：6-≤，故选：C.题型五：平面向量坐标运算中的夹角，投影问题【例1】已知向量()2,a n =，(),4b m =，若()5,3a b +=，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A ．25B C ．68,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得到a ，b ，再根据a b bb b⋅⋅计算可得【详解】解：因为()2,a n =，(),4b m =，所以()2,a b n +=+又()5,3a b +=，所以，所以()2,1a =-，()3,4b =，所以234a b ⋅=⨯+234b =+，所以向量a 在向量b 上的投影向量为()2163,4,5525a b b b b ⋅⎛⎫⋅=⨯=⎪⎝⎭；故选：C【例2】设向量(68)=-，a，(34)=，b ，t =+c a b ，t ∈R ，若c 平分a 与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t tb t ac 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以===，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b 的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλc ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例3】已知向量(3,4),(2,1)m n t t ==-，则下列结论正确的是（） A ．当1t =时，||41m n +=B ．当2t >-时，向量m 与向量n 的夹角为锐角C ．存在0t <，使得m n ∥D ．若m n ⊥，则2t =- 【答案】AD【分析】对A ，将1代入公式计算即可，对B ，利用求向量夹角公式可知要判断夹角性质只需要验证m n ⋅结果，对C ，利用共线向量性质可得，对D ，由向量垂直可得.时，(5,4)m n +=||41m n +=，故64m n t ⋅=+时，0m n ⋅>，但当时，向量m 与向量n 同向，夹角为错误；若m n ∥，则11t =若m n ⊥，则0m n ⋅=，即0=，解得项正确．故选：AD ．【例4】已知ABC △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA ()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB【例5】向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是A ．23t < B ．23t >C ．23t <且6t ≠-D ．6t <-【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且不反向共线，230a b t ⋅=-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C ．【题型专练】1．已知向量()PA =-，(1,PB =，则APB ∠= A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得312,132PA PB =+==+=，所以cos PA PB APB PA PB⋅-∠===结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ． 2．已知向量()3,4a =-，()4,3b =，()4,3c =--，则（） A ．a b ⊥ B ．a c ⊥C ．25c =D ．+a b 与c 的夹角为34π【详解】已知向量()3,4a =-，()4,3b =，(4,3c =--(3430a b ⋅=⨯+=，a b ⊥，选项A 正确；()()3430a c ⋅=⨯-⨯-=，a c ⊥，选项B 正确；()24255c =-+==，选项C 错误；()7,1a b +=-，()227152a b +=+-=，()()74a b c +⋅=⨯-+设+a b 与c 的夹角为()0θθ≤≤，则()25cos 525a b c a b cθ+⋅-==⨯+⋅，+a b 与c 的夹角为确. 故选：ABD3．已知()4,3a =，()23,18a b +=，则下列结论中正确的是（） A ．13b = B ．16a b ⋅=C ．与a 共线的一个单位向量是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．a 在b 上的投影向量是1613b 【答案】AB【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出b →，求模即可判断A ，计算数量积判断B ，求a →的同向或反向的单位向量判断C ，根据向量的射影向量计算判断D.()23,18a b +=2(5)b =-(4,3)(5,12)=⋅-与a 共线的一个单位向量为a 在b 上的投影向量为故选：AB4．已知向量()1,2a =-，()3,4b =，则（） A ．（3a b +）①（2a b -） B ．向量a 在向量b 上的投影向量是15b -C ．|2a b -|D ．向量b 与向量a 因为()31,2a b +=-+())21,25,10a b -=----，所以（3a b +）和（2a b -）不平行；故选项对于选项B ,设向量a 和b 的夹角为θ 向量a 在向量b 上的投影为13cos 5a b a b θ⋅⨯-==又因为5b =，所以向量a 在向量b 上的投影向量是b ，故选项对于选项C ,()21,8a b -=--，则()222165a b -=-=，故选项对于选项D ,向量b 与向量a 夹角余弦值为132cos 55a b a bθ⋅⨯-⨯==⋅5.已知点、、、，则向量在方向上的投影为 A ． BC ．D ．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ(1,1)A -(1,2)B (2,1)C --(3,4)D AB CD 22-。

北师大版高中数学必修4《平面向量的坐标》练习含试卷分析详解

A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥ ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c可用a，b表示为()
A．－ a＋ bB. a－ b
C. a－ bD．－ a＋ b
答案：B
解析：设c＝xa＋yb，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－ .
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t .
求点E的坐标．
解析：设C(x，y)，由＝，得(x＋2，y－1)＝ (x－1，y－4)．
即解得即C(－5，－2)．又E在DC的延长线上，∴ ＝，设E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝ (a－4，b＋3)解得a＝－8，b＝－ .∴E(－8，－ )．
11．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－ )＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－ )＝1－cos2，
∴ 的坐标为(2－sin2,1－cos2)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使| |＝ | |.
解析：a－2b＝( ，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝ × ，解得k＝1.

平面向量坐标运算例题和知识点总结

平面向量坐标运算例题和知识点总结一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底。

任作一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得 a ＝ xi ＋ yj。

我们把有序数对（x, y) 叫做向量a 的坐标，记作 a ＝（x, y)。

其中，x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。

例如，向量 a ＝（2, 3)，就表示 a 的终点坐标减去起点坐标得到在x 轴上的分量是 2，在 y 轴上的分量是 3。

二、平面向量坐标运算的知识点1、向量加法的坐标运算若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ＋ b ＝（x₁＋ x₂, y₁＋y₂)2、向量减法的坐标运算若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a b ＝（x₁ x₂, y₁ y₂)3、数乘向量的坐标运算若 a ＝（x, y)，实数λ，则λa ＝（λx, λy)4、向量的模的坐标运算若 a ＝（x, y)，则｜a| ＝√（x²＋ y²)5、向量平行的坐标表示若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ／／ b 的充要条件是x₁y₂ x₂y₁＝ 06、向量垂直的坐标表示若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ⊥ b 的充要条件是 x₁x₂＋ y₁y₂＝ 0三、平面向量坐标运算的例题例 1：已知向量 a ＝（2, 1)，b ＝（－1, 3)，求 a ＋ b 和 a b 的坐标。

解：a ＋ b ＝（2 ＋（－1)， 1 ＋ 3) ＝（1, 4)a b ＝（2 （－1)， 1 3) ＝（3, －2)例 2：已知向量 a ＝（3, －2)，b ＝（－2, 4)，且λa ＋ b 与 a 2b 平行，求实数λ的值。

解：λa ＋ b ＝λ(3, －2) ＋（－2, 4) ＝（3λ 2, －2λ ＋ 4)a 2b ＝（3, －2) 2(－2, 4) ＝（3 （－4)，－2 8) ＝（7, －10)因为λa ＋ b 与 a 2b 平行，所以（3λ 2)×（－10) （－2λ ＋ 4)×7 ＝ 0解得λ ＝－1 ／ 2例 3：已知向量 a ＝（4, 3)，向量 b 的模为 5，且 a ⊥ b，求向量 b 的坐标。

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