初三数学 2.6 正多边形与圆

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初三数学正多边形和圆公式

初三数学正多边形和圆公式
正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。

一、正多边形的公式
1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°
其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。

2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n
3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°
其中，Σexterior angles表示外角之和。

4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n
5、正多边形的周长公式：P= a × n
二、圆的公式
1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。

2、圆的周长公式：C=2πr
3、圆的面积公式：S=πr^2
4、弦长公式：L=2πr × 角度
5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)
以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。

初中数学知识点：正多边形和圆知识点

初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。

九年级数学上册《正多边形和圆》教案、教学设计

1.教学活动设计：利用多媒体展示生活中常见的正多边形和圆形物体，如正方形的地砖、圆形的餐桌等。引导学生观察这些图形的特点，激发学生对正多边形和圆的学习兴趣。
a.提问：同学们，你们在生活中都见过哪些正多边形和圆形的物体呢？
b.学生回答后，教师总结：正多边形和圆在我们的生活中无处不在，它们具有很多独特的性质和美感。今天我们就来学习正多边形和圆的相关知识。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将正多边形的性质与实际问题相结合，需要教师通过举例、引导，帮助学生建立知识间的联系。
3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，需要教师关注学生的情感态度，激发学生的学习兴趣，增强他们的自信心。
4.学生在团队合作、交流表达方面有待提高，教师应创造更多机会让学生进行讨论交流，培养他们的沟通能力。
a.设计一道具有实际背景的问题，运用正多边形和圆的知识进行解决，要求学生将解题过程和答案以书面形式提交。
b.学生以小组为单位，共同探讨生活中的正多边形和圆的应用，完成一份小报告，内容包括：应用实例、性质分析、解题方法等。
3.拓展与思考：
a.阅读相关资料，了解正多边形和圆在历史、文化、艺术等领域的应用，撰写一篇心得体会。
b.探究正多边形与圆在建筑设计中的应用，结合实际案例进行分析，提出自己的看法。
4.口头作业：
a.与家人分享本节课所学知识，讲解正多边形和圆的性质，以及它们在生活中的应用。
b.与同学进行交流，讨论解决正多边形和圆相关问题时的策略和方法。
5.预习作业：
a.预习下一节课内容，提前了解与正多边形和圆相关的其他几何知识。
b.采用问题驱动法，设计具有启发性的问题，引导学生主动探究正多边形的性质及其与圆的关系。
c.以小组合作的形式，让学生共同解决正多边形与圆的实际问题，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

中考数学复习指导《正多边形与圆》知识点归纳

中考数学复习指导《正多边形与圆》知识点归纳一、正多边形的定义正多边形是指所有边相等，所有角相等的多边形。

我们以正n边形来进行讨论，其中n表示边的个数。

二、正多边形的性质1.角的个数：正n边形有n个内角和n个外角。

2.外角和：正n边形的外角和为360°。

3.内角和：正n边形的内角和为(2n-4)×90°。

4.中心角和：正n边形的中心角和为360°。

5. 半径和边长之间的关系：正n边形的边长为a，半径为R，则有R=a/(2×sin(π/n))。

三、正多边形的对称性正n边形有n条对称轴，每条对称轴都把正多边形分成两个对称的部分。

四、圆的性质1.圆心角：圆心角是圆的半径所对应的圆弧所夹的角。

圆心角的大小等于其对应的圆弧的度数。

2.弧长：圆心角对应的圆弧的长度称为弧长。

如果圆的半径为R，圆心角的大小为θ，那么圆弧的长度S=R×θ。

3.弦长：弦是圆上的两点之间的线段，弦长可以通过两角的正弦来计算。

4.弦割定理：圆上的一弦分割出的弧长等于该圆的半径与该弦分割出的小弧的两圆心角的和。

即S=S1+S2=R×θ1+R×θ25.弧度制：弧度制是一种角度的度量方式，将角度定义为弧长与半径的比值：角度=弧长/半径。

单位为弧度。

6.周长和面积：圆的周长等于2πR，面积等于πR²。

五、圆与正多边形的关系1.正多边形逼近圆：正多边形的边数越多，逼近的程度越高，其内接圆越接近于外接圆。

2.正多边形的周长与圆的周长：正n边形的周长与内接圆的周长之比约为n/2π。

3. 正多边形的面积与圆的面积：正n边形的面积与内接圆的面积之比约为(1/2•n•sin(2π/n))/π）。

以上就是《正多边形与圆》的一些重要知识点的归纳。

在复习时，可以通过理论学习、练习习题以及解决实际问题的应用题来巩固和提升自己的理解能力。

加油！。

2020九年级数学上册 2.6 正多边形与圆课堂学习检测题一 (新版)苏科版

第二章第六节正多边形与圆1．如图，半径为2的正六边形ABCDEF 的中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，则点C 坐标为（）A 、(1,2)-B 、(1,2)-C 、(1,3)-D 、(1,3)--2．如图，正六边形ABCDEF 中，阴影部分面积为2123cm ，则此正六边形的边长为()n nA ． 2cmB ． 4cmC ． 6cmD ． 8cm3．3．以下说法：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数y=﹣2x，当＞0时y 随x 的增大而增大，正确的有（）A ． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④4．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（）A ． R 2﹣r 2=a 2B ． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°5．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，过点A 的切线与CB 的延长线相交于点F ，则∠F=（）A ． 18°B ． 36°C ． 54°D ． 72°6．半径为R 的圆内接正三角形的面积是（）A ．232RB ．2πRC ．2332RD ．2334R 7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，AB=2，则图中阴影部分的面积为（）A ． πB ． 2πC ．D ． 4π8．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 11B 11C 11D 11E 11F 11的边长为（）A ．B ．C ．D ．9．圆内接四边形ABCD 的四个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C ：∠D 可以是（）A ．3：2：4：1B ．1：3：4：2C ．3：3：1：4D ．4：1：2：310．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A ．6B ．7C ．8D ．911．如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．cm．A．圆内接正六边形的边心距为23，则这个正六边形的面积为__________2︒-=__________．（结果精确到0.1）B．用科学计算器计算：sin38213．13．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为．14．正六边形的边长为4cm，它的边心距等于__________cm；15．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为 _____16．如图，在⊙O中，∠D=70°，∠ACB=50°，则∠BAC= .DO CAB17．有底面为正方形的直四棱柱容器A和圆柱形容器B，容器材质相同，厚度忽略不计.如果它们的主视图是完全相同的矩形，那么将B容器盛满水，全部倒入A容器，问：结果会（“溢出”、“刚好”、“未装满”，选一个）18．正六边形的每个中心角为_________度．19．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_____。

2023-2024学年九年级上数学：正多边形和圆(精讲学生版)

2023-2024学年九年级上数学：第24章圆
24.3
正多边形和圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
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中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

正多边形与圆知识点+例题+练习(非常好分类全面)

§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13．已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题）（第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。

初三年级奥数知识点：正多边形与圆

初三年级奥数知识点：正多边形与圆1、正多边形与圆有着密切的关系：1)把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。

2)正多边形的相关概念：正多边形的中心——是正多边外接圆的圆心。

正多边形的半径——是正多边形内切圆半径。

(rn)正多边形的中心角——是正多边形的边所对的外接圆的圆心角。

(αn)正多边形的边心距——是正多边形的边到中心的距离。

(rn)3)正n边形的相关计算：;边an、半径rn、边心距rn的关系：rn2—rn2=()2(勾股定理)正n边形的面积：sn=lnrn(ln—正多边形周长)(边数不同仅反应在中心角αn的不同)2、圆内接多边形各边相等时为正多边形;圆外切多边形各角相等时为正多边形.3、圆内接多边形各角相等且边数为奇数时,此内接多边形为正多边形;圆外切多边形各边相等且边数为奇数时,此外切多边形为正多边形.4、一个圆的内接正n边形与其外切正n边形相似,且相似比等于cos(180°/n);5、周长相等的正多边形与圆相比,圆的面积较大,且多边形边数越多,其面积越接近于圆;面积相等的正多边形与圆相比,圆的周长较小,且多边形边数越多,其周长越接近于圆.6、圆是轴对称图形,对称轴有无数条;正多边形也是轴对称图形,对称轴的条数与边数相等.7、圆也是中心对称图形;正多边形只有当边数为偶数时,它才是中心对称图形.练习1、下列命题中，假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.2、若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定解析：外角+内角=180现在外角>内角，所以内角<90，外角>90正n多边形，有：(n-2)*180/n<902n-4n<4只能是 n=3只能是正三角形3、同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1：B.1：C.1：2D. ：1。

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算正多边形与圆的关系是初中数学中重要的内容。

在中考复习中，我们需要掌握正多边形与圆的有关知识，并能够进行证明和计算。

一、正多边形的性质与计算：1.正多边形的定义：正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。

2.正多边形的计算：正n边形的内角和为180°(n-2)，每个内角为(180°(n-2))/n。

正n边形的外角和为360°，每个外角为360°/n。

正n边形的中心角为360°/n。

例题1：求正六边形的内角和。

解：内角和为180°(6-2)=720°。

例题2：求正五边形的每个内角大小。

解：每个内角为(180°(5-2))/5=108°。

二、正多边形与圆的关系：1.圆的定义：圆是平面上一组到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。

2.正多边形与圆的关系：正多边形的顶点均在圆上，且正多边形的外接圆和内切圆都满足以下性质：①外接圆：正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。

②内切圆：正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

3.正多边形与圆的证明：①外接圆的证明：由正多边形的定义可知，正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。

而圆心与正多边形的中心重合，所以正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。

②内切圆的证明：首先，通过正多边形的定义，可以证明正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。

其次，由于正多边形的边长相等，所以正多边形的中心到各个顶点的距离也相等。

而内切圆的半径等于正多边形中心到任意一个顶点的距离，所以正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内切圆的半径等于正多边形的边长的一半。

例题3：如图，正六边形ABCD中，O为外接圆的圆心，求AB的长。

解：由于正六边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合，所以O即为正六边形的中心。

初三数学正多边形和圆知识点

初三数学正多边形和圆知识点
嘿，同学们！今天咱来聊聊初三数学里超有趣的正多边形和圆的知识点呀！
你看，正多边形多有意思啊！就像那蜂巢，一格一格的，那可都是正六边形呢！比如说一个正六边形，它的各边相等，各角也相等。

假如我们画一个正六边形的地砖，那每一条边都是一样长的，每个角也都是一样大的呀，神奇吧！
再来说说圆，圆就像是一个超级包容的大怀抱！任何正多边形都可以和圆产生奇妙的联系呢。

比如说我们在一个圆里画一个正五边形，那这个正五边形的顶点肯定都在这个圆上呀！就好像五个小不点在圆这个大舞台上表演一样！
正多边形的中心角也很重要哦！就像是一场舞蹈里的节拍。

比如一个正八边形，它的中心角就是 360 度除以 8 等于 45 度呢。

这中心角就好像是指挥棒，引领着正多边形的节奏呀！
我觉得吧，正多边形和圆的知识点真的是太好玩啦！能让我们看到好多奇妙的图形组合。

怎么样，是不是很有意思？大家快来好好探索一下吧！
我的观点结论：正多边形和圆的知识点充满趣味和奇妙，值得我们深入研究和好好掌握！。

苏科版数学九年级上册2.6《正多边形与圆》说课稿

苏科版数学九年级上册2.6《正多边形与圆》说课稿一. 教材分析《正多边形与圆》这一节内容，主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。

通过学习，学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，以及了解正多边形与圆之间的联系。

这一节内容是初中数学的重要内容，对于学生理解和掌握圆的性质，以及进一步学习圆的方程和其他相关知识具有重要作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对于图形的认知和理解有一定的基础。

但是，正多边形这一概念较为抽象，学生可能难以理解和接受。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际出发，通过观察和动手操作，逐步理解正多边形的概念和性质。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，了解正多边形与圆的关系。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，学生能够培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和信心。

四. 说教学重难点1.重点：正多边形的定义和性质，正多边形与圆的关系。

2.难点：正多边形概念的理解，正多边形性质的证明。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的正多边形图片，如足球、骰子等，引导学生观察和思考，引出正多边形的概念。

2.自主学习：学生通过阅读教材，了解正多边形的定义和性质。

3.合作交流：学生分组讨论，分享自己对正多边形的理解和感悟。

4.教师讲解：针对学生的讨论，教师进行讲解，重点讲解正多边形的性质和与圆的关系。

5.练习巩固：学生进行课堂练习，巩固所学知识。

6.总结拓展：学生总结本节课所学内容，教师进行拓展讲解。

七. 说板书设计1.定义：各边相等，各角相等的多边形。

a.边数确定，形状唯一。

b.相邻两边夹角相等。

正多边形与圆(八大题型)( 原卷版)

为（）
A．1B．2C． D．
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）
A． B． C．3D．2
正多边形.
◆2等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
【例题1】下列命题正确的是（）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n为偶数时，正n边形为中心对称图形.
【变式1-1】下列说法中，错误的是（）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》

(含答案)九年级数学苏科版上册课时练第2单元《2.6 正多边形与圆》

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练2.6正多边形与圆一、选择题1.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为()A.1B.3C.2D.232.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm3.正多边形的中心角(即正多边形的相邻两个顶点与它的中心的连线的夹角)与该正多边形一个内角的关系是()A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定4.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()A. B. C. D.5.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2B．3C．4D．66.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3B．9C．18D．367.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A.2，B.2，πC.，D.2，8.若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为()A.32B.3C.6D.629.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()A.4B.5C.6D.710.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C.2D.3二、填空题11.如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度.12.如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的内切圆半径为cm．13.如图,小亮将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为正六边形为EFMNPQ（忽略铁丝的粗细），则所得正六边形的面积为．14.正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为．15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于．16.如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．三、解答题17.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为483，试求正六边形的周长.18.如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形.19.如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．20.如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案).参考答案1.B.2.A3.B4.A5.B6.C7.D8.B9.B.10.A；11.72.12.．13.6．14.2．15.2π．16.8．17.解：如图，连接OA，作OH⊥AC 于点H，则∠OAH=30°.在Rt△OAH 中，设OA=R，则OH=12R，由勾股定理可得AH=OA 2－OH 2=R 2－（12R）2=123R.而△ACE 的面积是△OAH 面积的6倍，即6×12×123R×12R=483，解得R=8，即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.18.证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°，即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE，∴BC ︵=AD ︵=CD ︵=BE ︵=AE ︵，∴A，E，B，C，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形.19.解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE 于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠ABD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH 中，∵AD 2=AH 2+DH 2，∴=（4﹣x）2+x 2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=20.解：(1)如图，连接OB，OC.∵正三角形ABC 内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°，72°(3)∠MON=360°n .。

九年级数学教案：正多边形与圆(全2课时)

课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.6 正多边形与圆（1）教学目标1．了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形教学重点正多边形的概念及正多边形与圆的关系．教学难点利用直尺与量角器等作特殊的正多边形．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：1．观察身边的图案，说说有哪些你熟悉的图形？2．观察下列图形，你能说出这些图形的名称和特征吗？二．探究交流实践探索一：正多边形的概念1．观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．2．概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，……）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？3．能否说各边相等的多边形是正多边形？四.拓展提高：．请你思考一下：正六边形与圆有何关系？得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径．例2 如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．练一练1．下列说法中正确的是( )．A．平行四边形是正多边形；B．矩形是正四边形；C．菱形是正四边形；D．正方形是正四边形；2．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为．3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四边形的周长是．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记3．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？拓展思考：如何作正八边形？十六边形？练一练1．正十二边形的每一个外角为___°，每一个内角是°，该图形绕其中心至少旋转°和本身重合．2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，求阴影部分的面积．3．用直尺和圆规作一个等边三角形．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记。

26正多边形与圆(原卷版)-2021-2022学年九年级上册数学卷(苏科版)

第2章对称图形－圆（2.6正多边形与圆)一、选择题（每题3分，共24分）1．正十边形的中心角是（）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°2．圆内接正十边形的外角和为（）A ．180°B ．360°C ．720°D ．1440°3．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为DE 上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC ，PD ，DG PC ⊥，垂足为G ，则PDG ∠等于（）A ．72°B ．54°C ．36°D ．64°4．若⊙O 的内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等，则n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 ( )A B C D ．1∶2∶36．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还．需．这样的正五边形（）A ．6个B ．7个C ．9个D ．10个7．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF 的中心O重合，且与边AB 、CD 相交于G 、H （如图）．图中阴影部分的面积记为S ，三条线段GB 、BC 、CH 的长度之和记为l ，在大正六边形绕点O 旋转过程中，下列说法正确的是（）A ．S 变化，l 不变B ．S 不变，l 变化C ．S 变化，l 变化D ．S 与l 均不变8．如图，将正五边形绕中心O 顺时针旋转a 角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a 的最小角度为（）A ．30B ．36C ．72D ．90二、填空题（每题3分，共24分）9．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC 的度数为_____°．10．如图，AD ，BE ，CF 是正六边形ABCDEF 的对角线，图中平行四边形的个数有____个．11．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．12．如图，已知点A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若15ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为________．13．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为_________．14．如图，BCDE 的顶点B 、C 、D 在半圆O 上，顶点E 在直径AB 上，连接AD ，若68CDE ∠=︒，则A ∠的度数为__________度．15．如图，点O 为正八边形ABCDEFGH 的中心，则AFO ∠的度数为______．16．如图，圆O 的半径为1，ABC ∆是圆O 的内接等边三角形，点D ．E 在圆上，四边形EBCD为矩形，这个矩形的面积是_____________三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，正三角形ABC 内接于⊙O，若AB=，求⊙O 的半径．18．如图，ABCDE 是⊙O 的内接正五边形．求证：AE ∥BD.19．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 为BC 上的一点，连接DP ，CP ．（1）求CPD ∠的度数；（2）当点P 为BC 的中点时，CP 是⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．20．如图，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形．（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分BAF ∠．（2）设⊙O 的面积为1S ，六边形ABCDEF 的面积为2S ，求12S S 的值．21．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．（1）如图1，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，过点A 画一条直线，使其与EC 平行；（2）如图2，正六边形ABCDEF （六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF ；（3）如图3，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝BC ＝CD ，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD 平行．22．如图，⊙O 外接于正方形,ABCD P 为弧AD 上一点，且1,3AP PC ==，求正方形ABCD 的边长和PB 的长．23．如图，已知正三角形ABC 内接于⊙O ，AD 是O 的内接正十二边形的一条边长，连接CD ，若CD =，求O 的半径．24．（阅读理解）如图1，BOC ∠为等边ABC 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度(0120)αα︒<<︒，BOC ∠的两边与三角形的边,BC AC 分别交于点,M N ．设等边ABC 的面积为S ，通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 3OMC OCN OMC OBM OBC OMCN S S S S S S =+=+==四边形．（类比探究）如图2，BOC ∠为正方形ABCD 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N ．若正方形ABCD 的面积为S ，请用含S 的式子表示四边形OMCN 的面积（写出具体探究过程）．（拓展应用）如图3，BOC ∠为正六边形ABCDEF 的中心角，将BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度(060)αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正六边形的边,BC CD 分别交于点,M N ．若四边形OMCN ABCDEF 的面积．25．（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若P 是圆内接正三角形ABC 的外接圆的BC 上任一点，则60APB ∠=︒，在PA 上截取PM PC =，连接MC ，可证明MCP ∆是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到=PC MC ，再进一步证明PBC ≅_______，得到=PB MA ，可证得：．（2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若P 是圆内接正四边形ABCD 的外接圆的BC 上任一点，则APB APD ∠=∠= °，分别过点,B D 作BM AP ⊥于M 、⊥DN AP 于N ．（3）写出,PB PD 与PA 之间的数量关系，并说明理由．。

苏科版九年级数学上册2-6《正多边形和圆》达标专题突破训练【含答案】

苏科版九年级数学上册2.6《正多边形和圆》达标专题突破训练一、选择题1．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（）A．B．C．D．2．如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，则∠a的度数是（）A．42°B．40°C．36°D．32°3．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形4．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）A．2：3B．：1C．：D．1：5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．66．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC 的大小是（）A．22.5°B．45°C．30°D．50°7．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．C．2D．28．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：2二、填空题9．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为．10．如图，在正六边形ABCDEF中，AC于FB相交于点G，则值为．11．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是．12．如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，以O为原点，以边AB 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线EC的交点坐标是．14．如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 m．15．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是　．16．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了周．17．圆内接正六边形的边心距为2，则此圆内接正三角形的边长是．三、解答题18．已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．19．如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．（1）如图1当BP＝CQ时，请求出∠AOQ的度数，并说明理由（2）如图2，在正方形中，当BP＝CQ时∠AOQ＝；如图3，在正五边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ＝；（3）如图4，在正n边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．20．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB＝CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1＝∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．21．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．22．探究题：（1）都相等，都相等的多边形叫做正多边形；（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；（3）正六边形有条对角线，它的外角和为度．答案1．解：连接OA，OB，OE，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，∵∠CBE＝15°，∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，∴△OBE是等边三角形，∴OB＝BE＝3，∴OA＝3，∴AB＝＝3，∴BC＝3，故选：D．2．解：正方形的内角为90°，正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，故选：A．3．解：如图，设AB是正多边形的一边，O为正多边形的内切圆与外接圆的圆心，OC⊥AB于C，∵正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，∴＝，在Rt△AOC中，cos∠AOC＝＝，∴∠AOC＝45°，∴∠AOB＝2∠AOC＝90°，则正多边形边数为：＝4．故选：C．4．解：连接OA、OB．OE，如图所示：设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R＝：1，∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3，故选：A．5．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，则A′A＝＝3，则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，故选：B．6．解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．7．解：如图，连接OM，∵正六边形OABCDE，∴∠FOG＝120°，∵点M为劣弧FG的中点，∴∠FOM＝60°，OM＝OF，∴△OFM是等边三角形，∴OM＝OF＝FM＝2．则⊙O的半径为2．故选：C．8．解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．9．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG＝60°，∴边心距OG＝2故2．10．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝AF，∠ABC＝∠BAF＝120°，∴∠ABF＝∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝BG，∠CBG＝90°，∴CG＝2BG＝2AG，∴＝；故．11．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故72°．12．解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O．连接OA、OB，∵八边形ABCDEFGH是OO内接正八边形，∴∠AOB＝＝45°，由圆周角定理得，∠AFO＝∠AOB＝＝22.5°，故选答案为22.5°．13．解：连接AE，DF，EC，∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，∴可得：△AOF是等边三角形，则AO＝FO＝FA＝2，∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA＝60°，EO＝FO+EF＝4，∴∠EAO＝90°，∠OEA＝30°，故AE＝4cos30°＝6，∴F（，3），D（4，6），E（2，6），同理可得：C点坐标为：（5，3），设直线DF的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线DF的解析式为：y＝x+2，设直线EC的解析式为：y＝ax+c，，解得：，故直线EC的解析式为：y＝﹣x+8，则x+2＝﹣x+8，解得：x＝3，则y＝5，∴直线DF与直线CE的交点坐标是：（3，5）．故（3，5）．14．解：设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的摊位长是2xm，在直角△OAD中，∠AOD＝30°，AD＝xm，则OD＝xm，在直角△OBC中，OC＝＝，∵OC﹣OD＝CD＝，∴﹣x＝，解得：x＝或（舍弃）则2x＝．故答案是：．15．解：连接PA，PO，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，∴△POA是等边三角形，∴PO＝PA＝OA＝6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝3，∴PH＝＝＝3，∴P的坐标是（3，3），故（3，3）．16．解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，∴圆在边上转了4×5＝20圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．故21．17．解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，则CN＝EN，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝，∵∠OCN＝30°，∴ON＝OC＝，CN＝ON＝2，∴CE＝2CN＝4，即圆内接正三角形的边长是4，故4．18．（1）证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，∴∠EBD＝∠EDB，∵点P是弧AD的中点，∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，∴∠EDC＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠CED＝∠EDC，∴CE＝CD；（2）解：如图2，连接DE，DP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，∴∠P＝∠BAD＝90°，∵PE＝OE，∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠PDE，∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，∴∠2＝30°，∴OE＝DE，∴DE＝2OE，∴OD＝＝OE，∴＝，∴OD＝OA＝OE，∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，∴＝＝2﹣．19．解：（1）∠AOQ＝60°．在△ABP和△BCQ中，．∴△ABP≌△BCQ（SAS）．∴∠BAP＝∠CBQ．∴∠AOQ＝∠ABO+∠BAP＝∠ABO+∠CBQ＝∠ABC＝60°；（2）理由同（1）：正方形∠AOQ＝90°，正五边形∠AOQ＝108°，（3）正n边形∠AOQ＝．故90°，108°．20．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠PAC，∴△BEC≌△APC，∴PA＝BE＝PB+PC．（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴．（3）答：；证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴∴21．（1）证明：连接OF，AO，∵AB＝AF＝EF，∴＝＝，∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切线；（2）解：∵＝＝，∴∠AOF＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，∵FG＝2，∴AF＝4，∴AO＝4，∵AF∥BE，∴S△ABF＝S△AOF，∴图中阴影部分的面积＝＝．22．解：（1）由正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；故各个角；各条边；（2）如图，∵AB＝2，BC＝2，CD＝2，DE＝2，EF＝2，FA＝2，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∵网格是等边三角形的网格，∴∠FAB＝2×60°＝120°，同理：∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，∴∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，∴六边形ABCDEFA是正六边形．最大面积为24×＝6；（3）正六边形的对角线条数为＝9，∵多边形的外角和是360°，∴正六边形的外角和为360°，故9；360°．。

新苏科版九年级上册初中数学2-6 正多边形与圆课时练(课后作业设计)

第二章对称图形——圆2.6 正多边形与圆（1）一、选择题1．已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为（）A．4 cm B．5 cm C．5.5 cm D．6 cm2．已知△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形．若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．103．如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2 B．3 C． D．4．如图，要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．mm B．12 mm C．mm D．mm5．已知⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A． B． C． D．6．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定边AB如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个7．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列说法错误的是（）A．四边形ED是菱形 B．四边形MNCD是梯形C．△AEM与△CBN均为等腰三角形 D．△EAN≌△EDM8．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°二、填空题9．将一块正五边形纸片（如图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图1中的四边形ABCD，则∠BAD的度数是．⌒上不同于点C的10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，P是CD任意一点，则∠BPC的度数是．11．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是．12.如图，等边三角形ABC的边长为a，则其内切圆的内接正方形DEFG的面积为．13．如图是7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．三、解答题14．如图，在正五边形ABCDE中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．（1）求证：△ABF≌△BCG；（2）求∠AHG的度数．15．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，求正八边形的面积．参考答案一、1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.D 8.D二、9.72° 10.45° 11. 12. 13.23三、14．（1）证明略；（2）108°15．40 cm22.6 正多边形与圆（2）一、选择题1．如果一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形2．画五角星，通常把圆五等分，然后连接五个等分点（如图所示），则五角星的每一个内角的度数为（）A．30° B．35° C．36° D．37°第2题第4题3．用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm 的正方形，则这个圆形纸片的半径最小应为（）A．2 cm B．4 cm C．cm D．cm4．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为（）A．5﹕3 B．4﹕1 C．3﹕1 D．2﹕15．已知⊙O 为正三角形ABC 的内切圆，D 为切点，四边形EFGD 是⊙O 的内接正方形，EF=2，则正三角形的边长为（）A ．4B ．C ．23D ．226．半径相等的圆内接正三角形、正方形和正六边形的边长之比为（）A ．3：2：1B ．1：：C ．3：2：1 D ．6：4：37．如果正八边形与正方形的外接圆的半径均为2 cm ，那么这个正八边形的面积比正方形的面积多（）A ．（）cm 2 B ．（）cm 2 C ．（）cm 2 D ．（）cm 28．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：①作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1所示；②以点M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连结BD ，如图2所示．若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是（）•A．BD2=OD B．BD2=ODC．BD2=OD D．BD2=OD二、填空题9．正八边形有条对称轴，它不仅是对称图形，还是对称图形．10．已知正n边形的每条对角线的长都相等，那么n的值为．11．如图是对称中心为点O的正六边形．如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的值是．三、解答题12．如图，已知正三角形ABC．求作：正三角形ABC的外接圆和内切圆（要求：保留作图痕迹，不写作法）13．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，若有一圆过A、D、E三点，求该圆的半径．14．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：①如图，作直径AD；②作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；③连接AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．请你判断两位同学的作法是否正确？如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是正三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．参考答案一、1. C 2.C 3.D 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C二、9．8 轴中心 10．4和5 11． 2，3，4，6，12三、12．画图略13．214．作法正确，画图略，证明略。