北师大版高考数学总复习导数的概念及其几何意义课时作业12

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【高中数学】【学案导学设计】高中数学 2.2.2 导数的几何意义课时作业北

2.2 导数的几何意义课时目标 1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有( )A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x ＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．13．在曲线E：y＝x2上求出满足下列条件的点P的坐标．(1)在点P处与曲线E相切且平行于直线y＝4x－5；(2)在点P处与曲线E相切且与x轴成135°的倾斜角．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案知识梳理1．斜率 2.切线的斜率作业设计1．D [∵y＝2x3，∴y ′＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 2x ＋Δx 3－2x3Δx＝li m Δx →0 2Δx 3＋6x Δx 2＋6x 2ΔxΔx＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.]3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．] 4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．] 6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，曲线上x ＝2处切线斜率最大， k ＝f 3－f 23－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．]7．－1解析由偶函数的图像和性质可知应为－1. 8．2x －y ＋4＝0解析由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x . ∴k ＝y ′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20， ∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x )＝li m Δx →0a x ＋Δx2＋b x ＋Δx －7－ax 2－bx ＋7Δx＝li m Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.13．解 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学 3_2 导数的概念及其几何意义同步精练北师大版选修1-11

高中数学 3.2 导数的概念及其几何意义同步精练北师大版选修1-11．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线2．若函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．f ′(x 0) B ．－f ′(x 0) C ．f (x 0) D ．－f (x 0)3．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y －1＝04．若运动物体的位移s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为( ) A ．19.6 m/s B ．9.8 m/sC ．4.9 m/sD ．39.2 m/s 5．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线斜率k 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4 6．已知曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－17．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________．8．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32处切线的倾斜角为________． 9．某块正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热后会膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，则该铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为________．10．求曲线y ＝f (x )＝1x和y ＝f (x )＝x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．11．已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43. (1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？参考答案1. 解析：当切线斜率不存在时，其切线方程为x ＝x 0.答案：C2. 解析：lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)，故选B. 答案：B3. 解析：由导数的定义，可得lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →014(2＋Δx )2－14×22Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1，所以抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的导数为1. 又点Q (2,1)在抛物线上，所以所求的切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案：B4. 答案：A5. 解析：利用导数的定义及其几何意义直接求结果．k ＝f ′(2)＝7.答案：A6. 解析：令f (x )＝y ＝ax 2，则曲线在点(1，a )处的切线斜率k ＝f ′(1)，即2＝k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2a ，故a ＝1. 答案：A7. 解析：∵f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴li m Δx →011＋Δx ＋1＝12.∴f ′(1)＝12. 答案：128. 解析：f ′(－1)＝li m Δx →0f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝－1，即曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32处切线的斜率为－1，故倾斜角为135°. 答案：135°9.解析：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，因此ΔS Δt＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt ，令Δt →0，则S ′(t )＝200(a ＋a 2t )．即铁板面积对温度t 的瞬时膨胀率为200(a ＋a 2t )．答案：200(a ＋a 2t )10．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x，y ＝x 2得曲线的交点是A (1,1)．对曲线y ＝f (x )＝1x求导数， f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x Δx ＝－1x 2. 曲线y ＝1x在点A 处的切线斜率k 1＝f ′(1)＝－1，切线方程是l 1：y ＝－x ＋2. 对曲线y ＝f (x )＝x 2求导数，f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 曲线y ＝x 2在点A 处的切线斜率k 2＝f ′(1)＝2，切线方程是l 2：y ＝2x －1. 又l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 所以它们与x 轴所围成的三角形的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. 11. 解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点为P (2,4)．∴Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2Δx ＋13(Δx )2＝4.∴k ＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由题意联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，即(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.当x ＝2时，y ＝4，当x ＝－4时，y ＝－20.∴公共点的坐标为(2,4)或(－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点(2,4)外，还有另外一点(－4，－20).欢迎您的下载，资料仅供参考！。

北师大文科数学高考总复习教师用书：导数的概念及运算含答案

第1讲导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( )解析 (1)f ′(x 0)表示函数f (x )的导数在x 0处的值，而f ((x 0))′表示函数值f (x 0)的导数，其意义不同，(1)错．(2)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(2)错．(4)f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2＝x 2＋2ax ＋a 3，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，(4)错．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134解析由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134. 答案 D3．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34．(2017·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．解析 ∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝05．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案 1考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. 规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x ·x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，则x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)B (2)3考点二导数的几何意义(多维探究) 命题角度一求切线方程【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．(2)(2017·南昌质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x . 又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B 命题角度二求切点坐标【例2－2】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)．答案 (1,1)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12 D ．1 解析设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x . ∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，依题意，－12＋1x 0＝12，∴x 0＝1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案 B规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，因为a ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．答案 (1)(e ，e) (2)(－∞，2)[思想方法]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． [易错防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设y ＝x 2e x ，则y ′＝( ) A ．x 2e x ＋2x B ．2x e x C ．(2x ＋x 2)e x D ．(x ＋x 2)e x 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x .2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e . 答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2 解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2 x ，∴＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8三、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e x D ．y ＝x 3解析若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52 D. 2解析点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x (x >0)．∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．答案 [2，＋∞)14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件第三章 §2 导数的概念及其几何意义

探究一
探究二
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思维辨析
探究二
导数的几何意义及其应用
【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率
等于(
)
A.0 B.2
C.4 D.6
1
7
(2)求曲线 y= − 在点 P 4,- 4 处的切线方程.
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得
Δ →0 x
Δ
不存在,则称 f(x)在 x=x0 处不可导.
x→0 Δ
① lim
-5-
§2导数的概念及其几何意义
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自主预习
探究学习
f(1+x)-f(1)
等于(
3x
Δ→0
【做一做 1】 (1)设函数 f(x)可导,则 lim
A.f'(1)
)
B.3f'(1)
1
C. 3f'(1)
-9-
§2导数的概念及其几何意义
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探究学习
当堂检测
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率.
(
)
(2)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关.(
)
(3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.(
自主预习
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思维辨析
反思感悟求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数一般按下列步骤:
(1)求函数的增量 Δy=f(x0 +Δx)-f(x0);

高中数学选修2-2 北师大版导数的概念课时作业(含答案)

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测

（
(0 +ℎ)−(0 −ℎ)
(, )，则 lim
ℎ
ℎ→0
）
A．′ 0
B．2′ 0
C．−2 ′ 0
D．0
【答案】B
0 +ℎ − 0 −ℎ
【解析】由题意知， lim
ℎ
ℎ→0
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ→0 0 +ℎ − 0 −ℎ
= 2lim
故选：B
= 2′ 0 ．
变化率为（）
3
A．
300
cm/s
6π
3
B．
3
300
cm/s
5π
C．
150
cm/s
3π
3
D．
150
cm/s
2π
【答案】C
2
1
1
【解析】设注入溶液的时间为（单位：s）时，溶液的高为ℎcm，则 π ⋅ ℎ
3
5
因为ℎ′ =
1 3 150
，所以当
3 π 2
= π时，ℎ′ =
1 3 150
3
π3
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为
1
【解析】() = ′(1) −1 − (0) + 2 2 ⇒ ′() = ′(1) −1 − (0) +
令 = 1得： (0) = 1
() =
′(1) −1
−+
1 2

2
⇒ (0) = ′(1) −1 = 1 ⇔ ′(1) =
1
得：() = − + 2 2
则 ′ (0) = 1且(0) = 0，即切线的斜率为 = 1，切点坐标为(0,0)，
所以切线方程为 = ．

北师大版数学高二作业 3.2 导数的概念及其几何意义

§2 导数的概念及其几何意义一、选择题1．曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3C.2π3 D.3π4考点切线方程的求解及应用题点求切线的倾斜角或斜率答案 D解析函数y ＝1x 在x ＝1处的导数为lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋Δx ＝－1，由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝3π4，故选D. 2．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是() A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝⎛⎭⎫14，116D.⎝⎛⎭⎫12，14考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标答案 D解析 ∵lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，又切线的倾斜角为π4，∴直线斜率为tan π4＝1，则2x ＝1，∴x ＝12，y ＝14，则切点为⎝⎛⎭⎫12，14.3．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析因为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－a －4Δx＝a ，所以f ′(1)＝a ＝2.4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案 A解析由题意，知k ＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx＝1， ∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．1B ．－1 C.12D ．－2 考点切线方程的求解及应用题点求切线的倾斜角或斜率答案 B解析 ∵lim x →0f (1)－f (1－x )x＝－1， ∴lim x →0f (1－x )－f (1)－x＝－1， ∴f ′(1)＝－1.6．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( )A ．(1,0)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标答案 C解析根据导数的定义可求得f ′(x )＝3x 2＋1，由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，故f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选C.7．若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 答案 A解析 ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上，∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2.根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3.8．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫π4，π2，则点P 的横坐标的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标答案 D解析设点P 的横坐标为x 0，则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0＋2. ∵α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，∴tan α∈[1，＋∞)，∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12.∴x 0的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 二、填空题9．已知函数f (x )＝2x －3，则f ′(5)＝________.考点函数在一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案 2解析 f ′(5)＝lim Δx →0f (5＋Δx )－f (5)Δx＝2. 10．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．考点切线方程的求解及应用题点求在某点处的切线方程答案 83解析 ∵k ＝lim Δx →0(1＋Δx )3－13Δx＝3， ∴曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0，则切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形面积为12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 11．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案 4解析设抛物线在P 点处切线的斜率为k ，k ＝lim Δx →0(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx＝－5， ∴切线方程为y ＝－5x ，∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.三、解答题12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．题点根据切点或切线斜率求值解 ∵抛物线过点P ，∴a ＋b ＋c ＝1，①又lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c )Δx＝4a ＋b ，由题意知4a ＋b ＝1，②又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值解 f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20＋2ax 0－9.f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23，当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值－9－a 23. ∵函数f (x )斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线的斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3，又a <0，∴a ＝－3.四、探究与拓展14．过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程为( )A ．27x －4y －23＝0B ．23x －3y －12＝0和y ＝3C ．5x －17y ＋9＝0D ．27x －4y －23＝0和y ＝1题点求曲线的切线方程答案 D解析 Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx＝3x (Δx )2＋3x 2·Δx ＋(Δx )3Δx＝3x ·Δx ＋3x 2＋(Δx )2，所以lim Δx →0Δy Δx＝3x 2，即y ′＝3x 2.设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，根据导数的几何意义，曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 20，①过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1，② 由①②得3x 20＝x 30x 0－1，解得x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，k ＝0，切点坐标为(0,1)，切线方程为y ＝1；当x 0＝32时，k ＝274，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，358，切线方程为27x －4y －23＝0. 综上所述，直线方程为y ＝1或27x －4y －23＝0.15．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值解 ∵f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b .∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

学年高中数学课时跟踪训练十二导数的概念及其几何意义北师大版选修_

课时跟踪训练(十二) 导数的概念及其几何意义1．假设函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，那么0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x等于( ) A ．2B ．1 C.12 D.142．设函数f (x )＝ax ＋b ，假设f (1)＝f ′(1)＝2，那么f (2)等于( )A ．1B ．2C ．4D ．63.函数y ＝f (x )的图像如下图，那么f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4．曲线f (x )＝－2x和点M (1，－2)，那么曲线在点M 处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋45．假设函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，那么f ′(4)＝________.6．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，那么该物体的初速度是__________m/s. 7．函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值． 8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程．答案1．选B 0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x＝f ′(1)＝1. 2．选C 可得f ′(1)＝0lim x ∆→ f 1＋Δx －f 1Δx＝0lim x ∆→ [a 1＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝0lim x ∆→ a Δx Δx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.3．选B f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，那么π2<α<β<π. ∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．4．选 C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.5．解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12. 答案：－126．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，∴s ′(0)＝lim Δt →0s 0＋Δt －s 0Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：37．解：当x ＝1时，Δy Δx＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1. 由导数的定义，得f ′(1)＝0lim x ∆→ 11＋Δx ＋1＝12. 当x ＝－1时，Δy Δx＝f －1＋Δx －f －1Δx ＝1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx ＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝0lim x ∆→ (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1. 8．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，那么k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3Δx＝lim Δx →0 [3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，。

2019-2020高中北师大版数学选修1-1 课时分层作业12 导数的概念导数的几何意义

课时分层作业(十二)导数的概念及其几何意义(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则limΔx→0f(1＋x)－f(1)x等于()A．2B．1C.12D.14B[limΔx→0f(1＋x)－f(1)x＝f′(1)＝1.]2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝bC[ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝aΔx＋b(Δx)2Δx＝a＋bΔx，当x趋于x0，即Δx趋于0时，平均变化率趋于a，∴f′(x0)＝a.]3．如图所示的是y＝f(x)的图像，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定B[分别过A，B两点作曲线的切线，由切线的斜率知k B>k A，∴f′(x B)>f′(x A)．故选B.]4．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)等于()A．1 B．2C ．4D ．6C [可得f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0[a (1＋Δx )＋b ]－(a ＋b )Δx ＝lim Δx →0a ΔxΔx ＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.]5．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4C [Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx ，∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2. ∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.] 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.[解析] ∵f (1)＝1＋2＝3，f ′(1)＝k ＝1， ∴f (1)＋f ′(1)＝4. [答案] 47．曲线y ＝x 2上切线的倾斜角是30°的点的坐标为__________． [解析] 设切点横坐标为x 0， f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0，∴2x 0＝tan 30°＝33，∴x 0＝36，∴y 0＝112. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫36，1128．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于________．[解析] ∵y ′＝lim Δx →0a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴2a ＝2，∴a ＝1. [答案] 1 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值． [解] 当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．[解] 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.[能力提升练]1．曲线y ＝x 3＋6在点P (1,7)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－4B ．－3C ．4D ．10C [Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋6－(13＋6)Δx＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3.当Δx →0时，ΔyΔx →3.∴在(1,7)处的切线方程为y －7＝3(x －1)．令x ＝0得y ＝4.]2．若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 A [∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上， ∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2. 根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， ∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3.]3．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．[解析] 由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1.从而切点坐标为(1,3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.[答案] 24．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．[解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝lim Δx →0(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2.∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12， ∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－125．过曲线y ＝x 2＋1上点P 的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标． [解] 设切点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为：y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20，又此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由⎩⎨⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0. 即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.。

高中数学选修2-2 北师大版第2章 2导数的概念及其几何意义课时作业(含答案)

2015-2016学年高中数学第2章 2导数的概念及其几何意义课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，则当h →0时，以下有关f x 0＋h －f x 0 h 的值的说法中正确的是( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关[答案] B[解析] 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x 0及其附近的函数值有关，与h 无关．2．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f Δx Δx＝－1，则f ′ (0)＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2 [答案] B[解析] ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0f 0＋Δx －f 0 Δx ＝lim Δx →0 f Δx Δx＝－1， ∴选B.3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．－45° [答案] B[解析] Δy Δx ＝13 －1＋Δx 3－2－[13× －1 3－2]Δx＝Δx － Δx 2＋13 Δx 3Δx＝1－Δx ＋13(Δx )2. 当Δx →0时，Δy Δx→1，所以切线斜率k ＝1，所以倾斜角为45°. 4．曲线y ＝1x上点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝0[答案] A [解析] Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1 Δx ＝11＋Δx －1Δx ＝－11＋ΔxΔx →0时，Δy Δx趋于－1，∴f ′(1)＝－1， ∴所求切线为x ＋y －2＝0.5．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)2014年8月在南京举办的青奥会的高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (m )与起跳后的时间t (s )存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0m/s 的时刻是( )A ．6598s B ．6549s C ．9865s D ．4965s [答案] A[解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝6598，故选A ．二、填空题6．过点P (－1,2)，且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为__________________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析]f ′(1)＝lim Δx →0 3 1＋Δx 2－4 1＋Δx ＋2－ 3×12－4×1＋2 Δx＝6－4＝2∴所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)即2x －y ＋4＝0.7．如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝________.。

北师大版高考数学总复习导数的概念及其几何意义随堂训练+变式训练

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第三章 2
BSD版 ·数学 ·选修1-1
自
主
预
习
问题探究：是不是每一个函数在其定义域内任意一点都存
课
在导数？
时作
业
要点
提示：函数定义域内任意一点不一定都有导数，例如，y
导
学＝|x|在 x＝0 处就没有导数.
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第三章 2
自主预习要点导学
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BSD版 ·数学 ·选修1-1
自主
由(1)知，f′(x0)＝2x0，
预
习
∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
课
时
由 P(3,5)在所求直线上得
作业
要点导
5－y0＝2x0(3－x0)①
学
再由 A(x0，y0)在曲线 y＝x2 上得 y0＝x20②
联立①，②得，x0＝1 或 x0＝5.
从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)
综上所述，过点 P(3,5)且与曲线 y＝x2 相切的直线方程为 y
＝2x－1 或 y＝10x－25.
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第三章 2
BSD版 ·数学 ·选修1-1
自主预习
课
求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线时
作
业
要上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某
点
导学
点的切线方程，要先求出切点坐标．
第三章 2
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要点二求曲线的切线方程
自
主
预习
函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是：曲线 y＝f(x)
课
在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因而过切点的直线方程为：

高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义3.2.2导数的几何意义课时作业北师大版选修1-1

3.2.2 导数的几何意义一、选择题1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )＝( ) A. 0 B. －3x C. 3D. －3解析：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0－3x ＋Δx －1＋3x ＋1Δx＝lim Δx →0 (－3)＝－3. 答案：D2．已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定解析：由图像易知，点A 、B 处的切线斜率k A 、k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B3．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P (1，－52)，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°解析：∵点P (1，－52)在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，则过点P 的切线斜率为f ′(1)＝k ＝－1.∴点P 的切线的倾斜角为135°. 答案：C4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图像可能是( )解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 符合．答案：B 二、填空题5．曲线f (x )＝x 2在x ＝0处的切线方程为__________．解析：f ′(0)＝lim Δx →00＋Δx2－0Δx＝lim Δx →0Δx ＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为y ＝0.答案：y ＝06．如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，P 点的横坐标是4，则f (4)＋f ′(4)＝____________________________________________________________.解析：由题意，f ′(4)＝－2.f (4)＝－2×4＋9＝1.因此，f (4)＋f ′(4)＝－2＋1＝－1. 答案：－17．曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝__________. 解析：因为f ′(a )＝lim Δx →0 a ＋Δx 3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为(23a,0)，由题设知三角形面积为12|a －23a |·|a 3|＝16，解得a ＝±1.答案：±1三、解答题8．利用定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．解：由导数的定义，得f′(x)＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx＝lim Δx→0x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx＋1]＝3x2＋1，∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.9．已知曲线y＝1t－x上点P(2，－1)．求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线方程．解：将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x.∴y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx＝limΔx→011－x＋Δx－11－xΔx＝limΔx→0Δx[1－x＋Δx]1－xΔx＝limΔx→011－x－Δx1－x＝11－x2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝11－22＝1；(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.。

2021-2022学年北师大版选择性必修第二册 12 导数的概念导数的几何意义作业

课后素养落实(十二) 导数的概念导数的几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，那么以下结论一定成立的是( )A ．f ′(－x )＝f ′(x )B ．f ′(－x )＝－f ′(x )C ．f ′(－x )－f ′(x )≠0D ．f ′(－x )＋f ′(x )≠0A [由导数的几何意义知，A 正确．]2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0A [f ′(2)＝lim Δx →014(2＋Δx )2－14×4Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1×(x －2)，即x －y －1＝0．应选A ．]3．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2A [f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(1＋Δx )2－1Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2．那么曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1．因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14．]4．曲线y ＝x 3＋3x 在点P 处的切线与直线y ＝15x ＋3平行，那么P 点坐标为( )A ．(2,14)B ．(－2，－14)C ．(2,14)或(－2，－14)D ．以上都不对C [由题意可得y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3(x ＋Δx )－x 3－3x Δx ＝3x 2＋3，又由题意得3x 2＋3＝15，所以x ＝±2．当x ＝2时，y ＝23＋6＝14，当x ＝－2时，y ＝(－2)3－6＝－14．所以点P 的坐标为(2,14)或(－2，－14)．]5．曲线y ＝13x 3＋43，那么以点P (2,4)为切点的切线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x －y ＋4＝0D ．4x ＋y ＋4＝0A [f ′(x )＝lim Δx →013[(x ＋Δx )3－x 3]Δx ＝lim Δx →0(x 2＋13(Δx )2＋Δx ·x )＝x 2， ∴k ＝f ′(2)＝22＝4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，应选A ．]二、填空题6．抛物线y ＝x 2在顶点处的切线方程是____________．[答案]y ＝07．设f (x )是偶函数，假设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，那么该曲线在(－1，f (－1))处的切线的斜率为________．－1[因为函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率与在点(－1，f (－1))处的切线斜率相反，故曲线在点(－1，f (－1))处的切线斜率为－1．]8．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，那么f (1)＋f ′(1)＝________．3[由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3．]三、解答题9．求函数y ＝4x 2在x ＝2处的导数．[解]∵f (x )＝4x 2，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4(2＋Δx )2－1＝－4Δx －(Δx )2(2＋Δx )2，∴Δy Δx ＝－4－Δx (2＋Δx )2， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0－4－Δx (2＋Δx )2＝－1，即f ′(2)＝－1．10．曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上的点A (1,2)处的切线斜率及切线方程．[解] 因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5．所以切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0．11．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0 为奇函数，那么曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( )A ．6B ．－2C ．－6D ．－8B [y ＝f (x )为奇函数，那么f (－x )＝－f (x )．取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，那么a ＝2．当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2．∴f ′(2)＝－2．]12．函数f (x )在R 上可导，其局部图象如下图，设f (4)－f (2)4－2＝a ，那么以下不等式正确的选项是( )A ．a <f ′(2)<f ′(4)B ．f ′(2)<a <f ′(4)C ．f ′(4)<f ′(2)<aD ．f ′(2)<f ′(4)<aB [由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大．因为f (4)－f (2)4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4)．] 13．(多项选择题)定义在R 上的函数y ＝f (x )是可导函数，那么以下结论正确的选项是( )A ．假设y ＝f (x )是周期函数，那么y ＝f ′(x )也是周期函数B ．假设y ＝f ′(x )是偶函数，那么y ＝f (x )是奇函数C ．假设y ＝f (x )是奇函数，那么y ＝f ′(x )是偶函数D ．假设y ＝f (x )是偶函数，那么y ＝f ′(x )是奇函数ACD [根据导数的几何意义，可知ACD 正确．对于B ，可举反例说明其错误．]14．[一题两空]如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，那么f ′(4)＝________，limΔx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝________． 1 －2[f ′(4)＝k BC ＝4－06－2＝1；由导数的概念和几何意义知，limΔx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2．] 15．曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？假设存在，求出实数a 的取值范围；假设不存在，请说明理由．[解]∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ．设切点为P (x 0，y 0)，那么切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1，∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0．又∵其切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2．故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。

北师大版高中数学选修1-1导数的概念及其几何意义导数的几何意义同步练习.docx

导数的概念及其几何意义导数的几何意义同步练习一,选择题:1、在曲线2x y =上切线倾斜角为4π的点是（） A (0,0) B (2,4) C )161,41( D )41,21( 2、曲线122+=x y 在点P （-1，3）处的切线方程是（）A 14--=x yB 74--=x yC 14-=x yD 74+=x y3、曲线23-+=x x y 在P 点处的切线平行于直线14-=x y ，则此切线方程是（）A x y 4=B 44-=x yC 84+=x yD 444-==x y x y 或4、过曲线2212-=x y 上一点P )23,1(-的切线斜率为（） A 21 B 1 C 23 D 22 5、曲线531)(23+-=x x x f 在1=x 处的切线倾斜角是（） A 6π B 3π C 4π D 43π 6、与直线0103=-+y x 平行的曲线1323+-=x x y 的切线方程为（）A 43-=x yB 23+-=x yC 34+-=x yD 54-=x y二、填空题7、函数223+-=x x y 在2=x 处的切线斜率是_________________.8、曲线xy 12=在点（3，4）处的切线方程是_________________________________. 9、若曲线p x x y +-=422与直线1=y 相切，则p =____________________.10、函数)(x f y =中，导数0)(0'=x f )(0R x ∈的几何意义是。

三、解答题11、求曲线xx y 1-=在点)0,1(处的切线方程。

12.已知抛物线 42-=x y 与直线y = x + 2.求：（1）两曲线的交点；（2）抛物线在交点处的切线方程。

13.在抛物线22x y -=上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x 轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x 轴相交成45°角参考答案1. D2.A3.D4.B5.D6.B7、10； 8、 02434=-+y x ； 9、 3；10. 函数 )(x f y = 在 0x x = 处的切线的斜率为011、解：根据导数的几何意义知，要求曲线的切线方程，需先求函数在切点的导数（切线斜率）由x x y 1-=，得2''11)1(xx x y +=-=，所以2111|1'=+==x y 故切线方程为)1(2-=x y ，即012=--y x12.解：（1）Θ ⎩⎨⎧+=-=242x y x y ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==∴0253y x y x 或）），和（，交点的坐标为（0,253-∴（2）Θ=---∆+=∆)4(4)(22x x x y 22x x x ∆+∆ )2(22x x xx x x x y ∆+=∆∆+∆=∆∆ ∴x x x x y y x x 2)2(lim lim 00=∆+=∆∆='→∆→∆当交点为（3，5）时，y '=6，故切线方程为：0136x -y =+ 当交点为（-2，0）时，y '=-4，故切线方程为：084=++x y13.解：Θ=--∆+-=∆)2()(222x x x y 22x x x ∆-∆- )2(22x x xx x x x y ∆--=∆∆+∆=∆∆ ∴x x x x y y x x 2)2(lim lim 00-=∆--=∆∆='→∆→∆ （1）当切线与x 轴平行时，导数0='y ，即02=-x ，所以在点（0，2）的切线与x 轴平行时.（2）当切线平行于第一象限角的平分线，导数1='y ，即12=-x ，所以在点（21-，47）的切线平行于第一象限角的平分线. （3）与x 轴相交成45°角，导数为1或-1，若导数1='y ，即12=-x ，求得点为（21-，47）. 若导数1='y ，即12-=-x ，求得点为（21，47）所以在点（21-，47）、（21，47）与x 轴相交成45°角.。

高中数学 2.2.1 导数的概念课时作业北师大版选修22

§2导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念课时目标1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x f x 1－f x 0x 1－x 0＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.一、选择题1．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 2．下列各式正确的是( )A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0xB ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0－Δx ＋f x 0ΔxC ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxD ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx ＋f x 0Δx3．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0) C ．f ′(x 0) D ．2f ′(x 0)4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的导数值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－16．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )A ．－1 B.12 C.13D ．1二、填空题7．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．8．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________. 9．设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______. 三、解答题10．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x (时间单位：分钟)有如下关系：G (x )＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．13．设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且s＝4t2＋2t－3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．答案作业设计1．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx＝－3.] 2．C [直接对照并理解导数定义．]3．A [li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－li m Δx →0 f x 0－f x 0－ΔxΔx ＝－f ′(x 0)．] 4．C5．A [f ′(1)＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋1Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＝1.] 6．D [f ′(－1)＝lim Δx →0 f －1＋Δx －f －1Δx ＝3a . ∴a ＝1.] 7．4 m/s解析 s ′(2)＝lim Δt →0 22＋Δt3－52＋Δt2－2×23－5×22Δt ＝4.8．－11 解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11.9．2解析 ∵f ′(1)＝lim Δx →0 a 1＋Δx －aΔx＝a ＝2.∴a ＝2.10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·1＋1＋Δx ，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －11＋Δx ·1＋1＋Δx ＝－11＋0·1＋1＋0＝－12， ∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.11．解 G ′(10)＝lim Δx →0 G 10＋Δx －G 10Δx＝lim Δx →0 0.110＋Δx 2＋2.610＋Δx －0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6. 12．2解析由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0 f Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋b Δx ＋c －c Δx ＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.13．解 s ′(0)＝lim Δt →0 40＋Δt 2＋2Δt －3－4×02＋2×0－3Δt＝2； s ′(5)＝lim Δt →0 45＋Δt 2＋25＋Δt －3－4×52＋2×5－3Δt＝42，故物体在运动开始的速度为2 m/s ，第5秒末时的速度为42 m/s.。

北师大版高中数学选修1-13.2.2导数的几何意义.docx

高中数学学习材料唐玲出品2.2导数的几何意义课时目标 1.理解导数的几何意义；2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．2.2 导数的几何意义知识梳理1．斜率2．切线的斜率作业设计1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′=0lim x ∆→Δy Δx=0lim x ∆→2(x ＋Δx )3－2x 3Δx =0lim x ∆→2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx =0lim x ∆→[2(Δx)2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.] 3．C [f′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的斜率．]4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，由导数的几何意义知，h ′(a)＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．]6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f (3)－f (2)3－2＝f(3)－f(2)>f ′(3)．] 7．－1 [由偶函数的图像和性质可知应为－1.]8．2x －y ＋4＝0解析由题意知，Δy ＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′=0lim x ∆→Δy Δx＝2.∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′=0lim x ∆→Δy Δx =0lim x ∆→(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x. ∴k ＝y ′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a<0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x)＝0lim x ∆→a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx =0lim x ∆→(a·Δx ＋2ax ＋b)＝2ax ＋b. 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.。

高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义3.2.1导数的概念课时作业北师大版选修1_1

3.2.1 导数的概念一、选择题f x0＋Δx－f x01．在f′(x0)＝Δl x i→m0 中，Δx不可能()ΔxA. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 大于0或小于0解析：由导数定义知Δx只是无限趋近于0，故选C.答案：Cf x0－Δx－f x02．设f(x)在x＝x0处可导，则Δl x i→m0 等于()ΔxA．－f′(x0) B．f′(－x0)C．f′(x0) D．2f′(x0)解析：limΔx→0 f x0－Δx－f x0Δxf x0－f x0－Δx＝lim－Δx→0Δxf x0－f x0－Δx＝－Δl x i→m0 ＝－f′(x0)．Δx答案：A3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A. f′(x0)＝－aB. f′(x0)＝－bC. f′(x0)＝aD. f′(x0)＝b解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，f x0＋Δx－f x0∴＝a＋bΔx.Δxf x0＋Δx－f x0∴lim ＝lim (a＋bΔx)．ΔxΔx→0 Δx→0∴f′(x0)＝a.故选C.答案：C14．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是()2A．at0 B．－at011C. at0 D．2at02Δs s t0＋Δt－s t 0 1解析：∵＝＝aΔt＋at0，Δt Δt 2Δs∴Δl t i→m0 ＝at0.Δt答案：A二、填空题5．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．2－1解析：由平均变化率的几何意义知k＝＝1.1－0答案：12 f x－f a6．已知f(x)＝，则lim ＝________.x x－ax→a解析：令x－a＝Δx，则x＝a＋Δx，lim x→a f x－f ax－a＝limΔx→0f a＋Δx－f aΔx2 2－a＋Δx a －2 2 ＝lim ＝lim ＝－.Δx→0 Δx→0Δx a a＋Δx a22答案：－a21 17．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则f(m)＝________.x 161解析：∵f(x)＝，x∴f′(m)＝limΔx→0 f m＋Δx－f mΔx1 1－m＋Δx m －1 1 ＝lim ＝lim ＝－.Δx m m＋Δx m2Δx→0 Δx→01 1 1又f′(m)＝－，∴－＝－.16 m2 161 1∴m＝±4.∴f(m)＝＝± .m 41答案：±4三、解答题8．已知函数f(x)＝Error!，求f′(1)·f′(－1)的值．Δy f1＋Δx－f1解：当x＝1时，＝Δx Δx21＋Δx－1 1＝＝.Δx 1＋Δx＋11 1由导数的定义，得f′(1)＝lim ＝.Δx→01＋Δx＋1 2Δy f－1＋Δx－f－1当x＝－1时，＝Δx Δx1＋－1＋Δx2－1－－1 2＝＝Δx－2.Δx由导数的定义，得f′(－1)＝lim (Δx－2)＝－2.Δx→01所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.29．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之65间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝s时的瞬时速度，并解释此时的98运动状况．65解：令t0＝，Δt为增量．98h t0＋Δt－h t0则Δt－4.9t0＋Δt2＋6.5t0＋Δt＋10＋4.9t20－6.5t0－10 ＝Δt－4.9Δt2t0＋Δt＋6.5Δt ＝Δt65＝－4.9( ＋Δt)＋6.5.49h t0＋Δt－h t065∴lim ＝lim [－4.9( ＋Δt)＋6.5]＝0，Δt→0 Δt→0Δt 4965即运动员在t0＝s时的瞬时速度为0 m/s.98说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．3。

北师大版 高考数学总复习 导数的概念及其几何意义 课时作业12

【高中数学】【 学案导学设计】高中数学 2.2.2 导数的几何意义课时作业 北

高中数学 3_2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修1-11

北师大文科数学高考总复习教师用书：导数的概念及运算 含答案

北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第三章 §2 导数的概念及其几何意义

高中数学选修2-2 北师大版 导数的概念 课时作业(含答案)

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测