高等代数(北大版)第6章习题参考答案
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【数学】
∙01-08数值分析清华大学出版社第四版课后答案
∙01-08微分几何第三版梅向明黄敬之主编课后答案
∙01-07高等代数与解析几何陈志杰主编第二版课后答案
∙01-07高等代数第三版北京大学数学系主编高等教育出版社出版课后答案
∙01-07数学分析陈纪修主编第二版课后答案
∙01-07数学分析华东师大第三版课后答案
∙12-27高等数学同济大学出版社第五版课后答案
∙12-08积分变换(第四版)东南大学数学系张元林编高等教育出版社课后答案
∙11-30微积分复旦大学出版社曹定华主编课后答案
∙11-21人大－吴赣昌－高等数学/微积分（经管类）课后答案
∙11-09概率统计简明教程同济版课后答案
∙11-09复变函数钟玉泉课后答案
∙11-09微积分范培华章学诚刘西垣中国商业出版社课后答案
∙11-09线性代数同济大学第四版课后答案
∙11-08概率论与数理统计浙大版盛骤谢式千课后答案
∙11-08复变函数西安交通大学第四版高等教育出版社课后答案
∙11-07离散数学教程肖新攀编著课后习题答案
∙11-07离散数学（第三版）清华大学出版社（耿素云，屈婉玲，张立昂）课后习题答案
∙11-04高等数学同济大学出版社第六版课后答案
∙10-27高等数学北大版课后答案
∙【通信/电子/电气/自动化】
∙01-08信号与线性系统分析吴大正第4版课后答案
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间
1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而
),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,
在n R 中定义内积βαβα'A =),(,
1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；
2) 求单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见
βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且
(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，
(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，
(4) ∑='A =j
i j i ij y x a ,),(αααα，
由于A 是正定矩阵，因此∑j
i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有
0),(=αα。
2)设单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵为
)(ij b B =，则
)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a
a a a
21
22222
112
11)(010j ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案电子教案
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；
2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，
A =)(αk A ),,(321kx kx kx
（完整版）高等代数（北大版）第7章习题参考答案
第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；是一固定的数；
7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，把复数域上看作复数域上的线性空间，
A ξξ=。 8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C
∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,
A ≠)(αk
k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有
A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A )
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换
1．
判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；
2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3）
在P 3
中，A ),,(),,(23
3
221
3
21x x x x x x x +=； 4）
在P 3
中，A ),,2(),,(1
3221321x x x x x x x x +-=； 5）
在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6）
在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0
x ∈P 是一固定的数；
7）
把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8）
在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵.
解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(3
21321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(3
32211y x y x y x +++
=),,22(1
133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1
322113221y y y y y x x x x x +-++-
= A α+ A β， A =)(αk A ),,(3
高等代数课程试卷
高等代数课程试卷及参考答案
代数与解析几何试题（一）
一、计算（20分）
1）3
6
4
3
141227251531
------- 2）a
x a
a
a a x a a a a
x ---
二、证明：（20分）
1）若向量组n αα 1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。 2）若向量组n αα 1中部分向量线性相关，则向量组n αα 1必线性相关 三、（15分）已知A 为n 阶方阵A ~
为A 的伴随阵，则|A |=0，A ~
的秩为1或0。 四、（10分）设A 为n 阶阵，求证，ran k （A+I ）+ran k （A-I ）≥n 五、（15分）求基础解系
⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=-+-=+--0
32030
4321
43214321x x x x x x x x x x x x 六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、（10分）求证△ABC 的正弦正定理
C
c B
b A
a sin sin sin =
=
答案(一)
一、1）-126 2）1)2]()2([---+n a x a n x 二、证明：
1）n αα 1线性无关，r αα 1是其部分向量组，若存在不全为0的数r k k 1使
011=++r r k k αα 则取021=++=++n r r k k k ，则000111=++++++n r r r k k αααα ，
则可知n αα 1线性相关矛盾，所以r αα 1必线性无关。
2）已知r αα 1是向量组中n αα 1中的部分向量，且线性相关即r k k 1 不全为0，使
011=++r r k k αα ，取01===+n r k k ，于是有不全为0的001 r k k ，使
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案
数学系
第一章 多项式
1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(2
2
3
+-=---=x x x g x x x x f ； 2）
2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得9
2926)(,9731)(--=-=
x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2
+-=-+=x x r x x x q 。 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3
2
|1， 2）q px x mx x ++++2
4
2
|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2
=-+++m q x m p ，
所以当⎩⎨⎧=-=++0
012m q m p 时有q px x mx x ++-+3
2|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--0
10
)2(2
2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨
⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=2
12
m p q 时，皆有q px x mx x ++++2
42|1。 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：
1）5
3
()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）3
2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）
432()261339109()327
q x x x x x r x =-+-+=-；
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 10
00 ,B = 00
01 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.
|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100
,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000
,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.
1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9
D 10A 11
D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21
C 22C 23
D 24C 25C 26A 27A 28A 1
−135,93
m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 00
016120
1200
1a n
1a 20···
00...·········
······
000 (1)
9
104
11(−1)mn ab
122
13I n
2
单元练习：线性方程组部分
一、填空题 每空 1分，共 10分
1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是
____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,
a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -
- - m l 线性无关。 4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。 5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。 6．已知四元非齐次线性方程组 Ax = b ，r (A ) = 3， 3 2 1 , , h h h 是它的三个解向量，其中
高等代数习题及答案()
高等代数试卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ）
2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）
3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ）
4、(){
}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）
10、若{
}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n
i i i x 1
αβ，那么∑==
n
i i
x
1
2
β。 （ ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ）
①()()()()()()n n n
x g x f x g x f
,,=；
②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；
高等代数北大版习题参考答案
高等代数北大版习题参
考答案
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第
七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；
2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，
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第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx
高等代数习题及答案
高等代数试卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ）
2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）
3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ）
4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ）
5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ）
6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ）
7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）
10、若{
}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n
i i i x 1
αβ，那么∑==n
i i
x
1
2
β。
（ ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()()()()n n n
x g x f x g x f
,,=；
②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
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第七章 线性变换
1．
判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；
2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3）
在P 3
中，A ),,(),,(23
3
221
3
21x x x x x x x +=； 4）
在P 3
中，A ),,2(),,(1
3221321x x x x x x x x +-=； 5）
在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6）
在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0
x ∈P 是一固定的数；
7）
把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8）
在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵.
解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(3
21321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(3
32211y x y x y x +++
=),,22(1
133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1
322113221y y y y y x x x x x +-++-
= A α+ A β， A =)(αk A ),,(3
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第九章 欧氏空间
1.设()
ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而
),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,
在n
R 中定义内积βαβα'A =),(,
1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；
2) 求单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见
βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，
(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)
∑='A =j
i j i ij y x a ,),(αααα，
由于
A 是正定矩阵，因此∑j
i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵为
)(ij b B =，则
)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a
21
22222
112
11
)(010j ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =
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第
七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(132213
21x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；
6） 在P[x ]中，A
),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；
7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,
A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有
A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx
),,2()
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第六章线性空间
.
设
M N ,
证
明：
M N M , M N N
。
1
证任
取M , 由 M N ,
得
N , 所
以M N , 即证 M N M 。又因
M N M , 故
M N
M 。再证第二式，任
取
M
或N , 但 M N , 因此无论
哪一种情形，都有N , 此即。但
N M N , 所以 M N N 。
2.证明 M ( N
L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。
证x M (N L), 则
x M 且 x N
L. 在后一情形，于是
x M N或 x M L.
所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若
x (M N ) ( M L) ，则 x M N或
x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此
x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而
x M , x L, x N L ，得
x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。
若
x M （
N
L），则
x
M ，
x N L 。
在前一情形 X x M N
，且 X M
L，因而 x
（ M
N）
（ M L）。
在后一情形， x
N ,x 因而
x M N ,
且
X M
，即 X （ M N）（M L）所以L, L
（M N）（M L） M （N L）
故
M （
N
L） =（）（M L）
M N
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）
（kk 1） 2
k。（ a1， b1） =（ ka1，kb1+ a1
2
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
k a 0 ； 7） 集合与加法同 6），数量乘法定义为：
k a a ；
8） 全体正实数 r ，加法与数量乘法定义为：
a b ab ， k
a a k ；
解 1）否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如
（ x n 5）（ x n 2） 3 。 2）令 V={f （A ） |f （ x ）为实数多项式， A 是 n × n 实矩阵 }
因为
f （ x ） +
g （ x ） =
h （ x ）， kf （ x ） =d （ x ） 所以
f （ A ） +
g （A ）=
h （ A ）， kf （ A ） =d （ A ）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条，故 v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条性质，只需证明对称矩阵（上三
角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当 A ， B 为反对称矩阵， k 为任意一实数时，有
（ A+B ） =A+B =-A-B=- （ A+B ）， A+B 仍是反对称矩阵。 （ K A ） K A （K ）A （ ）K ，A 所以 kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足， （0，0）是零元，任意（ a ， b ）的负元是 2
（-a ， a -b ）。对于数乘：
。（ ， ）（。 ，。 1(1 1) a 2
) (a, b), 1 a b 1 a 1 b
2 k.(l .(a, b) k.(la , lb l (l 1) a 2 ) (kla ,k[l b l (l 1) a2] k (k 1) (la)2 ) 2 2 2
(kla, k[lb l (l 1) a 2 ] k (k 1) (la)2 ) (kla, kl ( kl 1) a 2 k( k 1) (la )
2 ) 2 2 2 2 (kla, kl (kl 1) a 2 klb) (kl ).(a, b),
2 l ) a, ( k l )(k l 1) a 2 (k l ).( a, b) [( k (k l )b ] 2
k.(a,b
l .(a,b) (ka, kb k( k 1) a 2 ) (la,lb l
1) a 2
) (l
2 2 (ka la, kb k( k 1)a2k (k1)a2kla2 )
2 2
[( k l )a, (k1)(k l1) a2( k l )b] .
2
即 ( k l ) (a,b) k ( a,b) l (a, b) 。