《二次根式》实数PPT课件3

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人教版初二数学8年级下册第16章(二次根式)二次根式上课课件(22张PPT)

回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ，算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0；若含有分式，则要求分母的值不等于0；若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.

《二次根式》实数PPT课件5.pptx

整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适用.
【例题】
【例2】计算
观察题目的特点是否能应用乘法公式
2
（1）（ 3 2） ( 3 2). （2）（3 2 5）.
2 2 【解析】 3 2 1. （1 ）原式（ 3）（ 2）
2 (2) 原式 32 2 3 2 5 （2 5） 9 12 5 20 29 12 5.
( 3) 2 3
3.（常州·中考）下列运算错误的是（） 2 3 5 2 3 6 A. B. C. 【解析】选A.选项A中二次根式，不能合并.
6 2 3
2
D. 3 与
( 2 )2 2
不是被开方数相同的
4.比较二次根式 6 14和 7 13 的大小.
【解析】因为(

5 6
5 6 11
【解析】选C.在选项C中，原式= (
3) 2 ( a b)( a b) 3( a 2 b 2 ).
2.（德化·中考）下列计算正确的是（） 20 2 10 2 3 6 A. B. 4 2 2 ( 3) 2 3 C. D. 【解析】选B.选项A中 20 2 5 ,选项C不是被开方数相同的二次根式，不能合并，选项D 中 .
2019 POWERPOINT
2018/12/17
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2019 THANK YOU
2018/12/17
SUCCESS
45 30 10 50
95 30 10.
1.下列计算正确的是（
）
A. 10 2 82 10 2 82 10 8 2
B. 2 3 2

2 3 2 4 3 2 2

二次根式(第三课时)课件

(4)2 75 8 27
随堂练习
2.化简求值：(
1 ab
a ). b
ab，其中a=3，b=2，
解：( 1 a ) . ab ab b
1 . ab a . ab
ab
b
1 a
当a 3,b 2 时，
原式 1 3 2
中考链接
1.（2023·河北·统考中考真题）若
A．2
B．4 C．
，则 D．
63
66
66
还有其它方法吗？
（4）( 24 1 ) 3 ( 46 16 ) 1 (2 6 6 ) 1 11 6 1 11 2
6
66 3
6 36
36
易错：6 3 2
探究新知
方法总结
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
探究新知探究活动二：
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--割
解：如图，作CE // DA交AB于点E.
S梯形ABCD S平行四边形AECD SEBC
E
61 1 6 4 18
2
探究新知
先化简再求值
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究新知
探究活动三：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.

《二次根式》实数PPT课件(自制)5

1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。
(2)原式
3 8
63 3
6
36 3 8
36
39 2
2.
(3)原式 48 3 27 3 48 3 27 3 4 3 1.
整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适用.
【例题】
【例2】计算
观察题目的特点是否能应用乘法公式
（1）（ 3 2）( 3 2). （2）（3 2 5）2.
【解析】
（1）原式
2
2
2
3
2
3 8 27 19.
（2）原式 6 4 2 3 2 4 2 2.
2.计算:
(1) 3(1 15) 3 1. 5
(2) (3 5 5 2 )2.
【解析】(1)原式 3 3 15 3 5 55
20 2 84 20 2 91,
且 6 14 0, 7 13 0,
所以 6 14 7 13.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.会进行二次根式的加减和简单的混合运算，并能将结果写成最简二次根式的形式. 2.会将整式运算的乘法公式灵活应用于二次根式的运算中.
5、也许有些路好走是条捷径，也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。 6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?

二次根式ppt课件

3. 代数式的概念是什么？
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
随堂检测
1.计算（ 0.04）2 的值是（
A.0.2
B.0.04
C.-0.2
B
）.
D.-0.04
2.二次根式− （ 10 − 11）2 的值是（
A. 10 − 11
B.-1
A
C. 11 − 10
）.
D.1
随堂检测
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样
的式子为代数式.
课堂小结
1. 二次根式的性质有哪些？
平方在里面，夹上绝对值，分类来讨论.
（）2 =a（a≥0）；
2 =a（a≥0）
平方在外面，直接去根号；
2 = ||.
2.运用二次根式的性质进行化简，需要注意什么？
取值a的取值范围，（）2 =a（a≥0）； 2 =a（a≥0）.
2.从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这
个规律吗？
= ( ≥ )
典型例题
化简:
（1） 16
（2） (−5)2
解：（1） 16= 42 =4；
（2）（ − 5）2 = 52 =5.
= ( ≥ )
= ||
跟踪训练
1.计算：
（1） 9=
3
（3）（ − 7）2 =
7
；
（2）（ − 4）2 =
4
；
（4）（3 − ）2 =
π-3
2.如果（3 − ）2 =x-3，那么x的取值范围是
x≥3
.
；
.
探究活动3

回顾我们学过的式子，如 5，， + ，−，，− 3 ， 3，（ ≥ 0)

《二次根式》实数精品ppt课件3

(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
【跟踪训练】
计算下列各式的值：
(1) 6 7.
【解析】
(2) 1 32. 2
(1) 6 7 6 7 42.
(2)
1 2
32
1 32 16 4. 2
计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？
(1)
10
【解析】(1)
32

32
16 4.
2
2
(2) 50 10

50 10
5.
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（2）2 5 （ 5）＝10
（3） a－1 （
a－1）＝
a－1
（4）3
2 3
＝

6
2.已知x+y=-4,xy=2.求 x y 的值. yx
7 二次根式
a b ab (a 0，b 0)
a a (a 0，b 0) bb
1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单的二次根式的乘法运算.
2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则进行计算.
1.最简二次根式的定义
2. ab a· b (a 0, b 0)
5、也许有些路好走是条捷径，也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。 6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。

《二次根式课件》公开课课件

二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法

《二次根式》实数PPT课件-北师大版八年级数学上册

【解析】要使式子 x 有2 意义, 需满足x-2≥0,
解得x≥2．答案: x≥2
4.如图所示, 在平面直角坐标系中, A（-2, 3）, B（-4, 0）, C（-2, 0）是三角形的三个顶点, 求三角形各边的长.
【解析】AC=3-0=3, BC=-2-（-4）=2.因为△ABC为直角三角形, 由勾股定理, 得AB2=AC2+BC2.所以 AB= AC2 BC2 32 , 22故三1角3 形三边长分别为3, 2, .
x2 2
【解析】选C．A项中只有当x≤-2时, 才是二次根式, 故
A项不一定是二次根式; B项中当x≥0时是二次根式, 故B
项不一定是二次根式; C项中无论x为何值, x2+2＞0,
所以C项一定是二次根式; D项中当x=0时, 不是二次根
式, 所以D项也不正确．
3．（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____．
你认为所得的各代数式有哪些共同特点?
a2 2 500

π
b3
表示一些正数的算术平方根；
一般地, 形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式；
a叫做被开方数．
开动你的脑筋, 你一定行！
请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 a (a 0)
的认识！
?
一般地, 形如 a （a≥0)的式子叫做二次根
式． 1．表示a的算术平方根;
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2___2_5_0_0_ m．
下球体
S
下球体在平面图上的圆的面积为S, 则该圆的半径
S
为____________．

二次根式第3课时课件

二次根混合运算的顺序
我们知道实数的混合运算顺序为：先算乘方和开方，再
算乘法和除法，最后算加减；同级运算按从左到右的顺
序依次运算；有括号的先算括号内的，再算括号外的.
二次根式的混合运算顺序为和实数的运算顺序一样.
教学过程——新知探究
第二章实数
知识点2 二次根式混合运算的运算法则
加法法则、乘法法则及乘法公式

(−
)

.
= −
(5)原式 = ( ) − × + ( )
= − .
教学过程——典例精析
第二章实数
听一听
典例2 计算：

−
−
− 273

解：原式 =
− − ( − )
= − − + ).
教学过程——学以致用
第二章实数
做一做
1. 使式子 − 有意义的的取值范围是（ D ）
A．＞2
B．≥﹣2
C．＜2
D． ≥ 2.
2. 若 + 是整数，则能取的最小整数为（ A ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若 = − + − − ，则|﹣|的值是（ C ）
A．-1-
B． −1
C． +
D．1-
教学过程——学以致用
做一做
4.视察下列等式：
第1个等式： =

= − ，
+

第2个等式： =
= −
+

第3个等式： =
= − ，
+2

《二次根式的概念》课件

2023-2026
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《二次根式的概念》 ppt课件
REPORTING
CATALOGUE
目录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜边长度。
二次根式在面积和周长计算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。

第3讲二次根式ppt课件全面版

值,然后代入代数式计算,根据题意,得 x-1=0,y+3=0,解得:x=1,y=-3,
所以 x+y=-2.
(2)∵ ��-2 ≥0,(n-2 017)2≥0, ��-2+(n-2 017)2=0,
∴ ��-2=0,(n-2 017)2=0,解得:m=2,n=2 017.
∴m-1+n0=2-1+2 0170=12+1=32.
x2

1 x2
5
的值.
解:(1)
(2)由x2-4x+1=0 x+ -4=0 x+ =4. ∴原式=
1.(04浙江)若数轴上表示数x的点在原点的
左边，则化简 3x x2 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
2.能使等式
x x2
x 成立的x的取值
x2
范围是（ B ）
(3)
2

2
2 1
(4) 3 18 1 50 4 1
2 1
5
2
(5)先化简，再求值：x2 x
1 1

x(1

1 x
)
，
其中 x 2 1
7.
x
的取值范围是(
A.x≥-12,且 x≠1 B.x≠1
C.x≥-12
D.x>-12,且 x≠1
答案:A
2.下列式子中,属于最简二次根式的是(
A. 9
B. 7
C. 20
答案:B
)
)
D.
1 3
考点梳理自主测试
3.下列根式中,不能与 3合并的是( )
A.