概率论结论表
概率论(仅供参考)
前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。
参考： 课本 课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ）（A∩B)∩C=A∩(B∩C ）分配律：A∩(B ∪C) = (A∩B)∪( A∩C )A ∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C ） 德·摩根律A B AB A B A B ==第二节频率性质1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）2. 样本事件概率和为1（规范性）3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-⋂5. ()1().P A P A =-第三节 古典概型性质1. 样本空间中样本点有限，既事件有限2. 样本点概率等可能发生3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1.求出状态方程2.根据定义域画图3.求概率=阴影面积/总面积第四节条件概型公式：()()()() (|).()()()()AB AB P AB P A BB B P BμμμΩμμμΩ===条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题11()()()()n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑例题 书 p251()(|)(|)()(|)i i i ni ii P A P B A P A B P A P B A ==∑第五节独立性如果AB事件独立P AB P A P B()()()若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节 离散型随机变量及其分布律1. 两点分布、0﹣1分布既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币 记为 X~b （1，p ） p 表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p 表示相反事件概率 2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n 次，记为 X~b （n ，p ） p 表示事件的概率 样本点个数为n 3. 泊松分布{}e ,0,1,2,,!kP X k k k λλ-===⋅⋅⋅记为 X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的λ二项分布X~b （n ，p ）当n 充分大，p 充分小时，对于任意固定的非负整数k ，与泊松分布概率近视相等，并且λ=nb （数学期望相等） 4. 几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性-1{}(1),1,2,k P X k p p k ==-=5. 超几何分布既抽取问题不放回情况12{},0,1,2,k n k N N nNC C P X k k C-===第三节 随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题） 求事件概率公式，p511. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式000{}(0)(0)P X x F x F x ==+--求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论核心概念及公式全
2° A n Bi ，P(A) 0 ，
i 1
则
公式
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、B 相互独立，且P(A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，
简称概率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
（3）离 P(X x) P(x X x dx) f (x)dx 散与连 积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk) pk 续型随 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
机试验 一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试
和随机 验为随机试验。
事件 试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，
它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
概率论第十四章概率论初步重要知识点
第十四章 概率论初步第一节 事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180º。
另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。
对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果;（3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。
例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。
我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ,记为B A ⊂由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ⊂（2）等价 如果B A ⊂同时A B ⊂，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
概率论与统计学的重要公式和解题思路
概率论与统计学的重要公式和解题思路⼀、基本概率公式及分布1、概率常⽤公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A、B独⽴，则P(AB)=P(A)P(B) ; P()=1-P(A) ;B发⽣的前提下A发⽣的概率==条件概率：P(A|B)=;或记：P(AB)=P(A|B)*P(B) ;2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=x k的概率为：P{X=x k}=P k, k=1,2,3...; --- 既X的分布律；X X1 X2 .... xnPk P1 P2 ... pnX的分布律也可以是上⾯的表格形式，⼆者都可以。
分布函数：F(x)=P(X), -; 是概率的累积！P(x1离散型rv X; F(x)= P{X;(把X性质：F(; F(;⼆、常⽤概率分布：①离散：⼆项分布：事件发⽣的概率为p,重复实验n次，发⽣k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p) P{X=k}=，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=分布函数F(x)==④连续型：指数分布，参数为，f(x)=⑤连续型：正态分布：X～N(most importment!密度函数f(x),表达式不⽤记！⼀定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,⽅差D(X)=; 当µ=0，时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的⾯积。
当X～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)；看到X～N(,求概率的题，⼀定要变成标准正态N(0,1);既把X变成；则～N(0,1)；例题：已知X～N(；求P(-1解：(思路：µ=1，σ=2；变换式：)P(-1P()= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表正态性质：如X～N(N(；则Z=aX+bY也是正态；Z～N(,其中µz=aµ1+bµ2 ;σz2=a2σ12+b2σ22；三、⼆维随机变量：离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..)联合分布律的表格形式:XYY1 Y2 Y3 P(X=I)X1 P11 P12 P13 P11+P12+P13X2 P21 P22 P23 P21+P22+P23X3 P31 P32 P33 P31+P32+P33P(Y= J) P11+P21+P31P12+P22+PP13+P23+P33边缘分布：P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加）; P(X=2)，P(X=3)同样计算P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算；条件概率：X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}==; P{Y=y1|X=x1}=; P{Y=y2|X=x1}=; P{Y=y3|X=x1}=连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）则：F(x,y)=P(X如XY独⽴，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成⽴；X,Y⼆维正态密度中的参数则X,Y独⽴；题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；思路：注意x的定义域，利⽤F(∞)=求出参数；2、求P(X1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上下限，并求积分；3、求Z=X+Y的分布：密度公式四、数学期望、⽅差数学期望E(X), ⽅差D(X) :离散：E(X)=; E(g(X))=;连续：E(X)=E(g(X))=性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如X,Y独⽴，则E(XY)=E(X)*E(Y)；D(X)=E(X; D(C)=0，D(CX)=C2X如X,Y独⽴，D(X五、样本及抽样分布中⼼极限定理：E(X)=µ,D(X)=σ2的独⽴同分布的X1,X2,X3...Xn，当n充分⼤时，有：～N(0,1);是Xi的和；样本及抽样分布：从总体X中抽取⼀个个体，独⽴抽n次，记为X1,X2,...Xn, 它们组成独⽴、同分布的随机变量，叫随机样本，n 是样本容量，X1,X2,..Xn的观测值x1,x2,x3...xn叫样本值。
《概率论与数理统计》
习题九1 灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？14,26;====∑ri i r n n2442..11===-∑∑T iji j T S x n =69895900-69700188.46=195711.54, 242...11==-∑A i i iT S T n n =69744549.2-69700188.46=44360.7, =-E T A S S S =151350.8,0.05/(1)44360.7/3 2.15/()151350.8/22(3,22) 3.05.-===-=>A E S r F S n r F F ,故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.2. 一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布，且方差相等. 【解】13,40,====∑ri i r n n232..11in T iji j T S x n ===-∑∑=199462-185776.9=13685.1, 232...11==-∑A i i iT S T n n =186112.25-185776.9=335.35, =-E T A S S S =13349.65,0.05/(1)167.70.465/()360.8(2,37) 3.23.-===-=>A E S r F S n r F F故各班平均分数无显著差异.表9-2-1方差分析表取显著性水平α=0.05,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差异？ 【解】由已知r =4,s =3,t =3........,,,ij i j T T T T 的计算如表9-3-1.22 (111)22 (12)2.....122....111106510920.25144.75,11092310920.25 2.75,110947.4210920.2527.17,173.50=====⨯===-=-==-=-==-=-=⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑rstT ijki j k r A i i s B j j r s ij A B A B i j T S x rst T S T st rst T S T rt rst T T S S S t rst ,41.33.⨯=---=E T A B A B S S S S S表9-3-2得方差分析表0.050.050.05(3,24) 3.01,(2,24) 3.40,(6,24) 2.51.===F F F接受假设01H ，拒绝假设0203,H H .即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.4. 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平α=0.05，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的方差相等.【解】由已知r =s =3,经计算x =52, 1.x =50.66, 2.x =533.x =52.34, .1x =52, .2x =57, .3x =47,2112.12.1()162;()8.73,()150,3.27.r sT ij i j rA i i rB j j E T A B S x x S s x x S r x x S S S S =====-==-==-==--=∑∑∑∑由于0.050.05(2,4) 6.94,(2,4).A B F F F F =>< 因而接受假设01H ,拒绝假设02H .即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响.5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A ）、防老剂（B ）、硫化系统（C ）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，交互作用全忽4(2) 给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.【解】(1) 对试验结果进行极差计算，得表9-5-1.j 为：主→次B ,A ,C最优工艺条件为：223A B C .(2) 利用表9-5-1的结果及公式2211==-∑r j ij i T S T r P,得表9-5-2.表9-5-2表9-5-2中第4列为空列，因此40.256==e S S ,其中2=e f ，所以eeS f =0.128方差分析表如表9-5-3.由于0.05(2,2)19.00=F ，故因素C 作用较显著，A 次之，B 较次，但由于要求油体膨胀越小越好，所以主次顺序为：BAC ，这与前面极差分析的结果是一致的.6. 某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A ），施氮肥量（B ），氮、磷、钾肥比例（C ），插植规格（D ）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早稻试(1) 试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系. (2) 给定α=0.05,作方差分析，与(1)比较.【解】被考察因素有4个：A ，B ，C ，D 每个因素有两个水平，所以选用正交表L 8（27），进行极差计算可得表9-6-1.表9-6-1从表9-6-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次为：,,,→主次B C A D 最优方案为：1222A B C D(2) 利用表9-6-1的结果及公式2211n j ij i T s T r P==-∑得表9-6-2.表9-6-2中第1,3,7列为空列，因此s e =s 1+s 3+s 7=18.330,f e =3,所以ees f =6.110.而在上表中其他列中j ejes s f f <.故将所有次均并入误差，可得 ΔΔ18.895,7.===e T e s s f整理得方差分析表为表9-6-3.由于0.05(1.7) 5.59=F ，故4因素的影响均不显著，但依顺序为：,,,→主次B C A D 与（1）中极差分析结果一致.。
【高中数学必修】第十章 概率(公式、定理、结论图表)
第十章概率（公式、定理、结论图表）1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n . 3. 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.典例1：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求： (1)甲中奖的概率P(A)； (2)甲、乙都中奖的概率P(B)； (3)只有乙中奖的概率P(C)； (4)乙中奖的概率P(D)．【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解． 【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为A 1，A 2，B 1，B 2，B 3，其中A 1，A 2为中奖券，则基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，A 1)，(B 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，A 1)，(B 2，A 2)，(B 2，B 1)，(B 2，B 3)，(B 3，A 1)，(B 3，A 2)，(B 3，B 1)，(B 3，B 2)，共20种．(1)若“甲中奖”，则有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共8种，故P(A)82205==． (2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(A 1，A 2)，(A 2，A 1)，共2种，所以P(B)＝212010=． (3)“只有乙中奖”的基本事件有(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共6种，故63()2010P C ==． (4)“乙中奖”的基本事件有(A 2，A 1)，(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(A l ，A 2)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共8种，故82()205P D ==． 【总结升华】1、利用古典概型的计算公式时应注意两点： (1)所有的基本事件必须是互斥的；(2)m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏. 2、古典概型解题步骤：(1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；(4)用公式()mP An求出概率并下结论.4.事件的关系与运算5.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).典例2：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算．【解析】记“等候的人数为0”为事件A，“1人等候”为事件B，“2人等候”为事件C，“3人等候”为事件D，“4人等候”为事件E，“5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，∴P(G)＝P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)＝0.1+0.16+0.3＝0.56．(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，∴P(H)＝P(D+E+F)＝P(D)+P(E)+P(F)＝0.3+0.1+0.04＝0.44．【总结升华】第(2)问也可以这样解：因为G与H是对立事件，所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44．。
概率论知识点总结
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。
相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。
用交并补可以表示为B A BA =-。
互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。
对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。
事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂ 第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时 概率的性质： （1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -= （4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB) 第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可. 第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B). 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则 第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立. 三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
概率论与数理统计公式整理（大学考试必备）
设 F (x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F(x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
f (x)dx 1
2°
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
式给出：
X
| x1, x2,, xk,
P( X xk) p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ， k 1,2,，
pk 1
（2） k 1
。
（2）连续 型随机变 量的分布 密度
（3）离散 与连续型 随机变量 的关系
（16）贝叶 斯公式
设事件 B1 ， B2 ，„， Bn 及 A 满足
1° B1 ， B2 ，„， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，„， n ，
n
A Bi
2°
i1 ， P( A) 0 ，
则
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，„n。
P(Bj )P(A/ Bj )
1
概率论与数理统计 公式
（13）乘法 公式
例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，„An，若 P(A1A2„An-1)>0，则有
P( A1A2 „ An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) „„ P( An | A1A2 „
(完整版)概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式P( A | B) P( AB)P( B)F ( x) P( X x)P( X k)k x概率的乘法公式P( AB) P( B) P(A | B)P( A) P(B | A)全概率公式：从原因计算结果nP( A)P(B k )P( A | B k )k 1Bayes 公式：从结果找原因P(B i )P( A | B i )P (B k | A)nP( B k )P( A | B k )k 1第二章二项分布（ Bernoulli 分布）—— X~B(n,p) P(X k) C n k p k(1 p)n k，(k 0,1,...n,)泊松分布—— X~P( λ)kP( X k)e，( k0,1,...)k!概率密度函数f (x)dx 1怎样计算概P(a X b) 率P (a X b) b f (x) dxa均匀分布 X~U(a,b)1f ( x)( a x b)b a指数分布 X~Exp ()对连续型随机F ( x) P( X x) xf (t )dt 变量分布函数与密度函数的重要关系：F ( x) P( X x) xf (t )dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度联合分布f(x, y)F ( x, y)函数函数f ( x, y)0f ( x, y)dxdy 1联合密度与边缘密度f X (x) f (x, y)dyf Y (y) f (x, y)dx失散型随机变量的独立性P{ X i, Y j } P{ X i } P{Y j} 连续型随机变量的独立性f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)第三章数学希望失散型随机变量，数学希望定义E( X)xkPkk连续型随机变量，数学希望定义E( X )x f ( x)dxE(a)=a，其中 a 为常数E(a+bX)=a+bE(X) ，其中 a、b 为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量 g(X) 的数学希望E(g (X ))g ( x k ) p kk常用公式E(X)E(XY)xiyjpij xipij iji jE( X ) xf ( x, y)dxdy E( X Y) E( X ) E(Y ) E( XY) xyf ( x, y)dxdy 当 X与 Y独马上 , E( XY )E( X ) E(Y )方差定义式 D ( X )x E( X ) 2 f ( x) dx常用计算式 D (X ) E( X 2 ) E( X ) 2常用公式D ( X Y ) D ( X ) D (Y) 2E{( X E( X ))( Y E(Y ))}当 X、Y 相互独马上： D ( X Y ) D ( X ) D (Y )方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数D(a+bX)= abD(X) ，其中 a、b 为常数当X、Y 相互独马上， D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数E X E ( X ) Y E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y) Cov( X,Y)XY协方差的性质D(X)D(Y)Cov( X , X ) E( X 2 ) E( X ) 2 D ( X )Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y)独立与相关独立必然不相关、相关必然不独立、不相关不用然独立第四章正态分布1 ( x ) 2e 2 2 E( X ), D ( X ) 2 (a) 1( a)f ( x) X ~ N ( , 2 )2标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P(Z a) P(Z a)(a)P(Z a) P( Z a) 1(a)P(a Z b)(b)(a)P( a Z a)(a)( a) 2 (a) 1一般正态分布的概率计算X ~ N ( , 2 )Z X~ N (0,1)一般正态分布的概率计算公式P( X a) P( X a) ( a)P( X a) P( X a) 1a) (P(a X b) ( b) (a)。
概率论与数理统计公式整理(完整版)
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立 性
（15）全概 公式
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
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概率论与数理统计 公式（全）
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件 概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P( A)
件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
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一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
概率论
1第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件一. 必然现象与随机现象在自然界里，在生产实践和科学实验中，人们观察到的现象大体可归结为两种类型。
一类是可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或是根据它过去的状态，在相同条件下完全可以预言将来的发展。
我们把这一类型现象称之为确定性现象或必然现象。
如在一个大气压下，水在100度时会沸腾等。
一类是事前不可预言的，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或是知道它过去状况，在相同条件下，未来的发展事前却不能完全肯定。
这一类型的现象我们称之为偶然性现象或随机现象。
如掷一个质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，或是背面向上。
二. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为ω；它们的全体称为样本空间, 记为Ω.事件 是指某一可观察特征的随机试验的结果。
基本事件是相对观察目的而言不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.如掷一枚骰子，向上的一面会出现1点，2点，3点，4点，5点，6点。
则样本点有6个。
若记,16i i i ω=≤≤，i ω即为样本点。
样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=。
记{}i i A ω=，i A 为一个基本事件，把“出现偶数点”这样一个事件记为B ，则246{,,}B ωωω=。
B 为一个复合事件。
三. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,第二节 随机事件的概率一. 概率的定义定义1 设E 是随机试验, Ω是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件:1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：()1P Ω=;3. 可列可加性：设 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i AP A P2则称)(A P 为事件A 的概率.二. 概率的性质性质1：()0P ∅=。
概率论与数理统计常用数值表
附录： 常用数理统计表表1 标准正态分布函数⎰∞--=Φxu du ex 2221)(π数值表表2 对应于概率αχχα=>)(22P 及自由度k 的2αχ的数值表表3 对应于概率α=≥)(t tP 及自由度的t 的数值表表4 对应于概率αα=≥)(F FP 及自由度),(21k k 的αF 的数值表α表4（续）=.0005表5 多重比较中的q值表表（两尾）多重比较中1％的)2(3L)2(7L)2(7L 二列间的交互作用)2(7L 表头设计)2(11L)2(1516L) L3(13)3(1327L 二列间的交互作用列 号 列 号123 4 5 6 7 8 910 11 12 13 1 1 ⎪⎩⎪⎨⎧43)1( 242 3 6 7 5 7 5 6 9 10 8 10 8 9 12 13 11 13 11 12 2 2⎪⎩⎪⎨⎧41)2( 1 38 119 1210 135 116 127 135 86 97 103 3 ⎪⎩⎪⎨⎧21)3( 9131011 812 712 513 611 610 78 59 4 4 ⎪⎩⎪⎨⎧1210)4( 8 139 11 6 13 7 11 5 12 7 9 5 10 6 8 5 5 ⎪⎩⎪⎨⎧71)5( 1 62 113 134 12 2 8 4 10 3 9 6 6 ⎪⎩⎪⎨⎧51)6( 4 132 123 11 3 10 2 94 8 7 7 ⎪⎩⎪⎨⎧123)7( 4 112 134 9 3 8 2 10 8 8 ⎪⎩⎪⎨⎧101)8( 1 92 53 74 6 9 9 ⎪⎩⎪⎨⎧81)9( 4 72 63 5 10 10 ⎪⎩⎪⎨⎧63)10( 4 52 7 11 11 ⎪⎩⎪⎨⎧131)11( 1 212 12⎪⎩⎪⎨⎧121)12()3(1327L 表头设计因子数 列 号 1234 5 6 7 8 9 10 11 12 133 A B 1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC 2BC4 AB1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC D 1AD 2BC 1BD 2CD1CD 2BD 2AD5 AB1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC D E 2BC1CD 2BD 2AD6AB1AB 2AB C 1AC 2AC 1BC D E 2BC F1CD2BDL4(5)L5()21 5 1 5 4 3 222 5 2 1 5 4 323 5 3 2 1 5 424 5 4 3 2 1 525 5 5 4 3 2 1表8 二次回归设计表二因子二次回归正交组合设计表试验号Z0 Z1 Z2 Z1Z2Z1’Z2’1 1 -1 -1 1 0.397 0.3972 1 -1 1 -1 0.397 0.3973 1 1 -1 -1 0.397 0.3974 1 1 1 1 0.397 0.3975 1 -1.148 0 0 0.714 -0.6036 1 1.148 0 0 0.714 -0.6037 1 0 -1.148 0 -0.603 0.7148 1 0 1.148 0 -0.603 0.7149 1 0 0 0 -0.603 -0.60310 1 0 0 0 -0.603 -0.60311 1 0 0 0 -0.603 -0.603四因子（1实施）二次回归正交组合设计表二次回归正交旋转组合设计表二因子二次回归正交旋转组合设计二次回归通用旋转组合设计表二次回归通用旋转组合设计表表9 均匀设计表（1） )5(4U)5(4U 表的使用(2) )7(6U)7(6U 表的使用（3）)9(6U)9(6U 表的使用（4） )11(10U)11(10U 表的使用(5) )13(2U)13(U 表的使用（6） )15(8U)15(8U 表的使用（7） )17(16U)17(U 表的使用（8） )19(18UU表的使用)(19U2112(2112。
概率论：条件分布
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 三、小结
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的 条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布.
y
f ( x , v )dv f X ( x)
y
f ( x, v ) dv f X ( x)
对y求导，得到在条件X=x下Y的条件概率密度
f ( x, y) fY X ( y x ) f X ( x)
类似地，在条件Y=y下，X的条件分布函数及条件概 率密度为源自FX Y ( x y )
x 0
lim [ F ( x x , y ) F ( x , y )] / x
x 0
lim [ FX ( x x ) FX ( x )] / x
FY X ( y x ) P{Y y X x}
F ( x , y ) dFX ( x ) x dx
三、小结
1. 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , pij ( i , j 1, 2,) 为其联合分布律, 在给定Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律为 P { X xi ,Y y j } pij P { X xi Y y j } , P {Y y j } p j
1 πr 2 , x 2 y 2 r 2 , f ( x, y) 其它, 0,
f X ( x)
f ( x, y )dy
四格表的确切概率法(统计学)
01
四格表的确切概率法基于概率论和统计学的原理，能够提供较
为精确的结果，适用于小样本或特定情况格表数据，包括计数、比例等，具
有较广的应用范围。
可解释性强
03
四格表的确切概率法得出的结果具有直观和可解释性强的特点，
能够清晰地展示各组之间的差异和关联。
研究展望
拓展应用领域
四格表的确切概率法将进一步拓 展应用到生物医学、金融、环境 科学等更多领域，为各行业的数 据分析提供有力支持。
理论体系完善
未来研究将进一步完善四格表的 确切概率法的理论体系，包括算 法原理、适用范围和限制条件等 方面，以提高方法的可靠性和普 适性。
人才培养与交流
加强四格表的确切概率法领域的 人才培养和学术交流，促进该领 域的持续发展和创新。
详细描述
通过四格表的确切概率法，可以计算出不同诊断方法在不同情况下的确切概率， 从而为医生提供更准确的诊断依据。
实例二：市场调查
总结词
在市场调查中，四格表的确切概率法 可以用于分析消费者行为和偏好，例 如比较不同产品在不同市场区域的表 现。
详细描述
通过四格表的确切概率法，可以分析 出不同市场区域和产品类型之间的确 切概率，为企业制定更有效的市场策 略提供数据支持。
背景历史
四格表的确切概率法起源于20世纪初的统计学发展，经过多 年的研究和完善，已经成为一种广泛应用的统计方法。
02 四格表的确切概率法概述
定义与原理
定义
四格表的确切概率法是一种用于 计算四格表中每个格子的确切概 率的方法，通常用于比较两组分 类变量之间的关系。
原理
基于概率论和组合数学，通过计 算每个格子的概率，可以得出每 个格子的确切概率值。
概率论与数理统计
一、填空：1、正常情况是给你A或A-,及B或B-,或者AB或A-B-之类的概率然后让你求和他们有关的另一个概率~要记住一下公式：1几乎份份卷子都有的：PAB_=PA-B=PA-AB=PA-PAB2乘法公式：ΡAB=ΡAΡB|A3加法公式：PA+B=PA+PB-PAB4不相容：PAB=05独立：PAB=PAPB分割线2、求均值和方差：这种题看情况吧,不是每年都有~~~~第一类~~~题目X、Y服从分布,其均值和方差分别为：μ1,μ2,σ12,σ22Z=aX+bY+ca\b\c为常数,且正负不定求EZ=_________,DZ=___________EZ=aμ1+bμ2+cDZ=a2σ12+b2σ22~~~~第二类~~~~如果不幸,会有参数……若X,Y~Nμ1,μ2;σ12,σ22;ρZ=aX+bY+ca\b\c为常数,且正负不定求Z~____________Z的分布Z~Naμ1+bμ2+c；2σ12+b2σ22+abσ1σ2ρ仔细算哈~看清楚哪里有平方哪里没有平方,以及ab的符号~3、会有一道最大似然估计法的题目,大家认真看看书哈~我看不懂那个……羞~4、可能会有一道方差的参数检验~自个看看书哈~212页的表格其他的填空和选择比较没有规律性~难以总结三、计算题全概公式及逆概公式,正常是求概率~最经典就是求合格率~要做做题体会1设事件Ai=……,事件B=……这个做两道题就知道要具体设什么东西了2正常是求∑PB|A i=∑PA i PB当然题目是会变化的~做题时灵活变通下哈Tips:全概公式：逆概公式:第四第五正常都会涉及积分的……我不会积分~所以不总结~羞~不过,杨淑玲奶奶让我们把习题六做一遍~估计有一道那里的题目第六题计算题距估计量及点估计量吧~貌似而已~我只做到距估计量的题目,点估计似乎今年会出~自己翻翻书研究下点估计量吧~是~的内容 ~距估计量~1有多少个参数就写多少个μi ,i=参数的个数μi =EX i =∫∞-∞x i fxdx~~~~~~~~~~~我不会积分~悲剧2然后把上面的方程组解出,用μi 组成的式子来表示参数 3μ^1=1/n ∑X i =X — μ^n =1/n ∑X i n4把3的结果代入2中参数的式子~ 5所以参数的距估计量为4的结果自个做份题来研究下吧`我做的题目是按这个步骤来嘀~做两道题~你一定会懂怎么做的第七~计算题~参数的区间估计的内容翻开书,看看191的表格一定要记牢那一堆的式子~其实有规律可循的加油哦~这10分一定能全拿~1首先~区分大样本还是小样本~n>=50是大样本 2待估的为EX=μ,或者 ,DX=σ2,3区分DX=σ2已知或未知,或者EX=μ已知或未知4回忆191页的表格~写下对应的分布T/U/χ2=…A …~t/N/χ2…B … 5算与…A …有关的数,如√n,√n-1,S,S,X — 6查表：t/N/χ2…B …在相应的α下为多少~根据191的表确定相应的α,做套题你就能理解我说什么了 7回忆191页的表,写出置信区间…C …,…D … 8把5和6的结果代到7中9则7的结果为所求μ,σ2的置信度为1-α的置信区间;八、计算题：参数检验单个正态分布的均值检验 牢记209页的表格~ 又一个１０分啊～１H 0: H 1: ……根据题目来定~也是做几道题就知道要写啥的啦 2构造检验统计量 U/T=…A … 回忆209的表格3 算与…A …有关的数,如√n,√n-1,S,S,X —…… 4把3代入2中求…A …5查表U/T 相应的的α下为多少~同第七题~根据209的表确定相应的α,做套题你就能理解我说什么了6比较4和5的结果的大小,根据209页的表及原假设H 0的拒绝域来判断拒绝还是接受H 07由于拒绝or 接受H 0,认为……结合题目~概率论与数理统计试题分享作者：已被分享7次一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1．设A与B是任意两个互不相容事件,则下列结论中正确的是A． PA=1-PBB． PA-B=PBC． PAB=PAPBD． PA-B=PA2．设A,B为两个随机事件,且,则 A． 1B． PAC． PBD． PAB3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是A．B．C．D．4．设离散型随机变量X的分布律为则A．B．C． D．5．设二维随机变量X,Y的分布律为且X与Y相互独立,则下列结论正确的是A．a=,b=B．a=,b=C．a=,b=D．a=,b=6．设二维随机变量X,Y的概率密度为则P{0>X<1,0<Y<1}=A．B．C． D．17．设随机变量X服从参数为的指数分布,则EX=A．B．C．2 D．48．设随机变量X与Y相互独立,且X~N0,9,Y~N0,1,令Z=X-2Y,则DZ= A．5 B．7C．11 D．139．设X,Y为二维随机变量,且DX>0,DY>0,则下列等式成立的是A．EXY=EX·EYB．CovC．DX+Y=DX+DYD．Cov2X,2Y=2Cov X,Y10．设总体X服从正态分布N,其中未知,x1,x2,…,x n为来自该总体的样本,为样本均值,s为样本标准差,欲检验假设,则检验统计量为A． B．C．D．二、填空题本大题共15小题,每小题2分,共30分请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分;11.设A,B为两个随机事件,若A发生必然导致B发生,且PA=,则PAB=_____.12．设随机事件A与B相互独立,且PA=,PA-B=,则=_______.13.已知10件产品中有2件次品,从该产品中任意取3件,则恰好取到一件次品的概率等于______.14.已知某地区的人群吸烟的概率是,不吸烟的概率是,若吸烟使人患某种疾病的概率为,不吸烟使人患该种疾病的概率是,则该人群患这种疾病的概率等于______.15．设连续型随机变量X的概率密度为则当时,X 的分布函数Fx=______.16．设随机变量,则=______.附：17．设二维随机变量X,Y的分布律为则______.18．设随机变量X的期望EX=2,方差DX=4,随机变量Y的期望EY=4,方差DY=9,又EXY=10,则X,Y的相关系数=______.19．设随机变量X服从二项分布,则=______.20．设随机变量X~B100,,应用中心极限定理可算得______.附：21．设总体为来自该总体的样本,,则______.22．设总体,为来自该总体的样本,则服从自由度为______的分布.23.设总体X服从均匀分布,是来自该总体的样本,则的矩估计=______.24.设样本来自总体,假设检验问题为,则检验统计量为______.25.对假设检验问题,若给定显着水平,则该检验犯第一类错误的概率为______.三、计算题本大题共2小题,每小题8分,共16分26.设随机变量X与Y相互独立,且X~N,Y~N1,4.1求二维随机变量X,Y的概率密度fx,y;2设X,Y的分布函数为Fx,y,求F0,1.27.设一批产品中有95%的合格品,且在合格品中一等品的占有率为60%.求:1从该批产品中任取1件,其为一等品的概率;2在取出的1件产品不是一等品的条件下,其为不合格品的概率.四、综合题本大题共2小题,每小题12分,共24分28.设随机变量X的概率密度为试求:1常数.29.设某型号电视机的使用寿命X服从参数为1的指数分布单位:万小时.求:1该型号电视机的使用寿命超过tt>0的概率;2该型号电视机的平均使用寿命.五、应用题10分30.设某批建筑材料的抗弯强度,现从中抽取容量为16的样本,测得样本均值,求μ的置信度为的置信区间.附:。
概率论各种分布总结表
概率论各种分布总结表摘要：1.概率论简介2.离散型概率分布a.伯努利分布b.二项分布c.几何分布d.泊松分布3.连续型概率分布a.均匀分布b.正态分布c.指数分布d.伽马分布e.威布尔分布4.分布的性质与应用5.常见概率分布问题解析6.概率论在实际领域的应用正文：概率论是数学的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性。
在概率论中，分布是描述随机变量取值规律的重要概念。
根据随机变量的取值范围，概率分布可分为离散型和连续型。
离散型概率分布主要包括伯努利分布、二项分布、几何分布和泊松分布等。
伯努利分布描述的是一个具有两个可能结果的试验，例如抛硬币。
二项分布则用于描述多个独立重复试验中成功次数的概率。
几何分布关注的是离散随机变量在一定条件下达到某个阈值所需的试验次数。
泊松分布则用于描述在一定时间内或空间内随机事件发生的次数。
连续型概率分布主要涉及均匀分布、正态分布、指数分布、伽马分布和威布尔分布等。
均匀分布描述的是随机变量在某个区间内取值的概率。
正态分布，又称高斯分布，是自然界中最常见的分布之一，用于描述许多现实中的随机现象。
指数分布关注的是随机变量在某个值以下的概率，具有“越小越密集”的特点。
伽马分布和威布尔分布则分别用于描述等待时间和服务时间等随机现象。
了解各种概率分布的性质和特点，有助于我们在实际问题中选择合适的分布来描述随机现象。
在解决概率论问题时，首先要根据问题特点选择合适的分布，然后运用相应的概率计算公式求解。
此外，概率论在各个领域都有广泛的应用，如金融、医学、工程等，掌握概率论知识能够帮助我们更好地分析和解决实际问题。
总之，概率论中的各种分布总结了随机变量取值规律，掌握这些分布及其应用，对于解决实际问题具有重要意义。