2019版一轮优化探究文数练习：第四章两角和与差的正弦、余弦、正切公式含解析

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2019届一轮复习人教B版理 4.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课件(28张)

π 4
-��
=(
)
∴(sinAα.11+8cos
α)2=1B+.21178sin
αcos
α=1C9,.∴89 sin
2α=-D89,.
2 9
∴((3)s由in(A2t3)a.)π4-n在2-2A��△taAn=BBC1=-c中toasBn,2.若π2A2-22+��t��atan=n1AB-stai+2nn21B��,��可C==t.得a1211n781ta.A-tna+��n��t+��a��ttnaannB��D��+=.1--12,1则,即c
π 2
,π
,则
tan 2α
的值是
.
答案: (1)-7 (2)7 (3) 3
5
5
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
必备知识
关键能力
考点1 考点2 考点3
解析: (1)∵sin α=3,α∈ π ,π ,∴cos α=-4.
5
2
5
∴
cos2 �� 2sin ��+π4
=
2
co s2��-si n2�� 22sin ��+ 22cos ��
又 α∈ π ,π ,∴sin α= 3,
2
2
∴tan α=- 3.
∴tan
2α=12-ttaann
�� 2 ��
= -2
1-(-
3 3)2
=
3.
第四章
4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-；解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0，则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值．解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235，即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形 4-3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件

3 2
C．－12
3 B. 2
1 D.2
[解析] 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝ 1 2.
[答案] D
3．已知 sinπ2＋α＝12，－2π<α<0，则 cosα－3π的值是(
)
1
2
A.2
B.3
C．－12
D．1
[解析] 由 sinπ2＋α＝12得 cosα＝12，又－π2<α<0，∴α＝－π3， cosα－3π＝cos－23π＝－12，选 C.
(2)由 cos2x－π2＝sin2x 得 sin2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴ sinx≠0，∴tanx＝2，∴tanx－π4＝t1a＋nxt－an1x＝13.
[答案] (1)D (2)A
使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征熟练运用．
[跟踪演练]
1．(2017·新疆维吾尔自治区高考适应性检测)若11＋－ttaannαα＝2，
1＋cos 2α
1－cos 2α
(2)cos2α＝
2
，sin2α＝
2
(3)1＋sin2α＝(sinα＋ cosα )2,1－sin2α＝( sinα
；－cosα)2.
[温馨提示] 要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中
角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变
形．
如：(1)1－2cos28π＝
第
四
三角函数解三角形
章
第三节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高考概览 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

近年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式作业

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第三节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式A组基础题组1.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°=（）A。

- B. C.- D。

2.若=,则tan 2α等于( )A。

B.— C. D.-3。

若sin=,则cos等于( ）A. B.—C。

D。

—4.化简·sin 2α—2cos2α=(）A.cos2α B。

sin2α C.cos 2α D。

-cos 2α5.设tan(α+β）=,tan=,则tan的值是（)A. B. C. D。

6。

sin 15°+sin 75°的值是.7。

已知c os(θ+π)=—,则sin= 。

8。

设tan=,则tan= .9。

已知函数f（x）=sin2x+2sin xcos x-cos2x（x∈R)。

（1)求f(x）的最小正周期和在［0,π]上的单调递减区间;(2)若α为第四象限角，且cos α=，求f的值。

B组提升题组10。

若cos 2θ+cos θ=0,则sin 2θ+sin θ=（）A。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第四章第四节两角和与差的正弦、余弦、正切公式含解析

解析：1＋ tan 10°＝1＋＝＝＝，所以填40°.
答案：40°
5．设a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，c＝，则a、b、c的大小关系是________．
解析：∵a2＝1＋2sin 14°cos 14°＝1＋sin 28°∈(1， )，b2＝1＋2sin 16°cos 16°＝1＋sin 32°∈( ，2)，c2＝，且a>0，b>0，c>0，∴a<c<b.
得＝1，则tanα＝，
从而tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝
＝－＝－1.
答案：－1
3．已知tan(α－ )＝，tan( ＋β)＝，则tan(α＋β)的值为________．
解析：tan(α＋β)＝tan [(α－ )＋( ＋β)]
＝＝＝1.
答案：1
4．在等式cos(*)(1＋ tan 10°)＝1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角的度数是________．
sinβ＝＝，因此tanα＝7，tanβ＝ .
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝－1.
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β< ，
∴α＋2β＝ .
12．已知向量＝(cosα，sinα)(α∈[－π，0])．向量m＝(2,1)，n＝(0，－ )，且m⊥( －n)．
一、填空题
1．若sinα＝，α∈(－， )，则cos(α＋ )＝________.
解析：∵α∈(－， )，sinα＝，∴cosα＝，
∴cos(α＋ )＝－ (cosα－sinα)＝－ .
答案：－

(北京专用)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节两角和与差的正弦、余弦、

)
A. 14 2
B. 34
C. 22 D. 2 4 2
答案 D 因为B= π ,所以A+C= 3 π,即C= 3 π-A,所以sin A·sin C=sin A·
4
4
4
sin 34 π

A

=sin
A

2 cosA 2
2 2
sinA
= 2
4
sin
2A+ 22 · 1 co2s2A

11 1 2 3
3-2
= 42 (sin
2A-
cos
2A)+ 42 = 12 sin 2A

π 4

+ 42 ,因为A∈ 0, 34
π

,所以2A-π4 ∈ π4
,
5 4
π

,
所以sin 2A

π 4

的最大值为1,故sin
A·sin
C的最大值为 2
4
2 ,故选D.
第三节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
教材研读
总纲目录
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.有关公式的逆用、变形
考点突破
考点一三角函数公式的基本应用
考点二三角函数公式的逆用与变形应用
考点三角的变换
教材研读
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
.
3
答案 - 7
9
解析解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).
∵sin α= 1 ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α= 1 (k∈Z).

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 19两角和与差

考点规范练19两角和与差的正弦、余弦与正切公式基础巩固组1.计算cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°的结果等于()A. B.C. D.2.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为()A.-B.-C.D.3.(2017山东高考)函数y=sin 2x+cos 2x最小正周期为()A. B.C.πD.2π4.(2017浙江金华十校联考)已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin=()A. B.C.-D.-5.(2017江苏高考)若tan-,则tan α=.6.(2017课标Ⅱ高考)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.=.7.°°°-°8.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中下学期期中)若sin(π+x)+cos(π+x)=,则sin=.2x=,-能力提升组9.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是()A.B.C.或D.或10.将函数f(x)=sin(cos x-2sin x)+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有性质()A.在上单调递增,为奇函数B.周期为π,图象关于对称C.最大值为,图象关于直线x=对称D.在-上单调递增,为偶函数11.设f(x)=+a sin (x+)的最大值为3,则常数a=()A.1B.1或-5C.-2或4D.±12.(2017浙江绍兴柯桥区期中)已知函数f(x)=a sin x+b cos x(a≠0)在x=处取得最小值,则函数f-是()A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点对称C.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称D.奇函数且它的图象关于点对称13.(2017安徽蚌埠质检)已知函数f(x)=cos2sin ωx-(ω>0,x∈R),若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是()A.B.C.D.14.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,cos(α-β)=.15.(2017浙江杭州高级中学模拟)已知α,β∈,且=cos(α+β),(1)若α=,则tan β=;(2)tan β的最大值为.16.设α为锐角,若cos,则sin-=.17.(2017安徽合肥模拟)已知函数f(x)=(2cos2x-1)·sin 2x+cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间;(2)若α∈(0,π),且f-,求tan的值.18.(2017浙江杭州模拟)设函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωx cos ωx+λ的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围.答案：1.A原式=sin 48°cos 18°-cos 48°sin 18°=sin(48°-18°)=sin 30°=2.B因为sin α=,所以sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α=-cos 2α=2sin2α-1=-3.C因为y=sin 2x+cos 2x=2sin,所以其周期T==π,故选C.4.A由7sin α=2cos 2α得7sin α=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sin α-2=0,∴sin α=-2(舍去)或sin α=α为锐角,∴cos α=,∴sin,故选A.5tan α=tan -=----故答案为6f(x)7°°°-°°°°-°°°8.--sin(π+x)+cos(π+x)=-sin x-cos x=,即sin x+cos x=-,两边平方得sin2x+2sin x cos x+cos2x=,即1+sin 2x=,则sin 2x=-,由--=-,故答案为-,-9.A因为,故2,又sin 2α=,故2,,∴cos 2α=-,故β-,于是cos(β-α)=-,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=--,且α+,故α+β=10.A∵f(x)=sin(cos x-2sin x)+sin2x=-cos2x+sin 2x+sin2x=sin 2x-cos 2x=-,g(x)=-sin 2x,∴g(x)为奇函数,且在上是增函数.故选A.11.B f(x)=+a sin cos x+sin x+a sin=2sin+a sin=(a+2)sin,则|a+2|=3,∴a=1或a=-5.故选B.12.C函数f(x)=a sin x+b cos x=x+θ)(a≠0)的周期为2π,在x=处取得最小值,故有(a+b)=-,即有b=a,∴f(x)=a sin则f-a sin(π-x)=a sin x.则函数y=f-为奇函数,对称中心为(kπ,0),k∈Z,故选C.13.D∵f(x)=-sin ωx=cos ωx+sin ωx=sin,当x∈(π,2π)时,ωx+,依题意,k-,k∈Z,由>k-,可得k<,k=0时,,当k=1时,,所以ω的取值范围是,故选D.14.-因为α和β关于y轴对称,那么sin β=sin α=,cos α=-cos β,这样cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-15.(1)(2)由=cos(α+β),化简可得:sin β(1+sin2α)=sin 2αcos β,则tanβ=(1)若α=,则tan β=(2)∵tan β=-=---,看成是圆心为(0,0),半径r=1的圆上的点与点(3,0)的连线的斜率问题,直线过(3,0),设方程为y=k(x-3),d=r=1,即1=,解得k=tan β的最大值为故答案为:16由于α为锐角,则0<α<,则<α+,因此sin>0,所以sin--,所以sin-=sin-=sin cos-cos sin17.解(1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x=cos 2x sin 2x+cos 4x=(sin 4x+cos 4x)=sin,∴f(x)的最小正周期T=令2kπ+4x+2kπ+,k∈Z,得x,k∈Z.∴f(x)的单调减区间为,k∈Z.(2)f-,即sin-=1.∵α∈(0,π),-<α-,∴α-,故α=∴tan-=2-18.解(1)f(x)=sin2ωx+2sin ωx·cos ωx-cos2ωx+λ=sin 2ωx-cos 2ωx+λ=2sin-+λ,∵图象关于直线x=π对称,∴2πω-+kπ,k∈Z.∴ω=,又,令k=1时,ω=符合要求,∴函数f(x)的最小正周期为;(2)∵f=0,∴2sin-+λ=0,∴λ=-,∴f(x)=2sin-,∴f(x)---。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件文新人教B版

4.5
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
-2知识梳理双基自测自测点评
1
2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β . (2)cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β .
(3)tan(α±β)=
tan��±tan��
5 2 5 思考在应用三角函数公式时应注意什么 ? π π π 因为 cos ��- =cos αcos +sin αsin , 4 4 4 2√5 3√10 √5 √2 √2 3√π 10 所以 ��- 4 = 5 × 2 + 5 × 2 = 10 . (1)A cos (2) 10
(方法 2)∵tan θ=-3,∴cos��=-3,即 3sin θ=-cos θ. 两边平方得 9sin θ=cos θ,即解得 cos
D
4 2θ=5.
2 2
1
sin��
1
1-cos2�� 9× 2
=
1+cos2�� , 2
关闭
解析
答案
-7知识梳理双基自测自测点评
-10考点1 考点2 考点3
考点 π 1 三角函数公式的基本应用 π (1)cos αsin �� + +sin αsin π ��- 3 π 6 例 1(1)cosπαsin �� + +sin α sin �� =( ) π π 6 3 =cos αsin �� + 6 -sin α cos ��- 3 + 2 1 1 A.2 π B.-2 π =sin �� + cos α-cos �� + sin α 6 √3 6 √3 C. 2 π D.π 1 =sin �� + -�� =sin 2 = ,故选 A. 6 6 2 π (2)(2017 全国Ⅰ,文 15)已知 α∈ 0, 2 2 ,tan α=2,则 (2)由 tan α=2,得 sin α=2cos α.又 sin2α+cos α=1, π 1 π 2√5 √5 cos ��cos - 2= 所以 α= .因为 α∈ . 0, ,所以 cos α= ,sin α= .

【备战高考】2019年高考数学一轮复习第4章第5节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》

备战高考2019年高考数学一轮复习第4章三角函数将、解三角形第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22.( √ ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 3． sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 4． tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ .答案 3解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 5．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ .答案2解析原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°22sin 50°＝ 2. 6．(2018·昆明模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.7．(2018·烟台模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 答案－247解析方法一 sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43.故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.考点突破，深度剖析考点一三角函数式的化简【例1】 (1)(必修4P137A13(7))化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 (1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ) ＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α. 答案 (1)sin(α＋γ) (2)cos α【训练1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α. 答案 (1)D (2)12cos 2α 考点二三角函数式的求值【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________. (2)(2018·洛阳一模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6.(2)依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)， ∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案 (1)6 (2)－78 (3)－3π4【训练2】 (1)(2018·湖南十三校联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13B.－13C.3D.－3(2)(一题多解)(2018·石家庄质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________.解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)法一因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－23×12＋53×32＝15－26.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12 cos α－321－cos 2α＝－23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得cos α＝15－26.答案 (1)A (2)15－26 考点三三角变换的简单应用【例3】已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量. (1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值.解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＋A >π2，所以π6<B <π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.【训练3】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12成立.思想方法用联系的观点进行三角变换典例 (1)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12 的值为． (2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为． (3)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .思想方法指导三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．答案 (1)17250 (2)2 (3)－75解析 (1)∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250.(2)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2.(3)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α， ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45，∴原式＝－75.自我检测，夯实智能一、选择题1. sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32 B.32 C.－12 D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 D2．(2017·山西五校联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值为( )A.2＋106 B.22＋106C.2－106D.22－106答案 B解析由cos θ＝23，θ为第四象限角，得sin θ＝－53，故cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝⎛⎭⎫23＋53＝22＋106.故选B. 3．(2018·成都模拟)若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225B ．－225C.425 D ．－425答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 4.(2017·山东卷)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A.－14B.14C.－18D.18解析因为cos x ＝34，所以cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.答案 D5.(2018·河北名校联盟质检)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝( )A.－3－4310B.－4－3310C.3－4310D.4－3310解析由已知，tan θ＝3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝sin θcos θ＋32（cos 2θ－sin 2θ）sin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋32（1－tan 2θ）tan 2θ＋1＝3＋32（1－32）32＋1＝3－4310. 答案 C6.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17 B.16 C.57 D.56解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α＝12－131＋12×13＝17. 答案 A7.(2018·湖北新联考)sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14B.12C.32D.1解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14. 答案 A8．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 9．(2018·新疆乌鲁木齐一诊)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2答案 C解析原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.10．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.11.(2018·广州模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( ) A.－7210B.－210C.210D.7210解析因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210. 答案 B 二、填空题12.(2017·江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75. 答案 7513.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79. 答案－7914.(2018·南昌一中月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________. 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.答案－336515．(2018·河南八市质检)化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 答案 12解析原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12. 16．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝ . 答案1718解析由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.17.已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________. 解析因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14. ②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案 13 三、解答题18.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x ＝sin 2x ·1＋tan x 1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝－210，sin x ＝－7210， sin 2x ＝2sin x cos x ＝725. 所以sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875.19.(一题多解)设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值.解法一由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1.又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ⎝⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22.又由π<α<3π2，0<β<π2，得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.20.(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值.解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。

2019高考数学一轮复习-4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式课件

∴tan
π
7
.
5
π
(方法二)因为 tan 4
7
7
所以 tan α=5,答案为5.
又 α∈
π
tan -4 +tan4
=
π
π
1-tan -4 ·tan4
= 3.
tan-1
1+tan
1
6
= ,
-15考点一
考点二
考点三
公式的逆用及变用
例 2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为
(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式
的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化
的能力.
-18考点一
考点二
考点三
π
8
对点训练 2(1)已知角 θ 的终边过点 2sin2 -1, ,若 sin
13π
π
cos ,则实数 a 等于( B )
12
12
6
6
A.- 6
C.
-22考点一
考点二
考点三
π
2

2

2
π
2
(2)由已知,得 <α- <π,0< -β< ,

4 5

5
,cos
-
=
,
9
2
3
+

∴cos 2 =cos - 2 − 2 -

=cos - 2 cos 2 - +sin - 2 sin 2 -
1
5

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形(最新整理)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β))②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β))③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β))④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β))⑤tan(α－β)＝(T (α－β))tan α－tan β1＋tan αtan β⑥tan(α＋β)＝(T (α＋β))tan α＋tan β1－tan αtan β(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．二倍角公式(1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，③tan 2α＝.2tan α1－tan 2α(2)公式变形①cos 2α＝，sin 2α＝；1＋cos 2α21－cos 2α2②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin .2)4(πα±3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)(3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意tan α＋tan β1－tan αtan β角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)(6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√)(7)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)π4(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×)(9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)(10)y ＝的x 无意义．(×)1－2cos 2x考点一　三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1]　(1)求值：－sin 10°；1＋cos 20°2sin 20°)5tan 5tan 1(00-解：原式＝－sin 10°2cos 210°2×2sin 10°cos 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000-＝－sin 10°·＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°cos 10°2sin 10°cos 10°12sin 10°＝－2cos 10°＝cos 10°2sin 10°cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝＝＝.cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°3sin 10°2sin 10°32(2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β.12解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1)12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)12＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－＝1－＝.121212法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－cos 2α·cos12122β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β12＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝－cos 2β·1＋cos 2β2[sin 2α＋12(1－2sin 2α)]＝－cos 2β＝.1＋cos 2β21212法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β1－cos 2α21－cos 2β21＋cos 2α21＋cos 2β212＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β141412＝.12[方法引航]　给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋tan 10°)．3解：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)3＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·＝＝＝＝1.cos (60°－10°)cos 60°cos 10°2sin 50°cos 50°cos 10°sin 100°cos 10°cos 10°cos 10°2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为A 2C 23A 2C2________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝，＝，tan ＝，2π3A ＋C 2π3A ＋C23所以tan ＋tan ＋tan tanA 2C 23A 2C2＝tan ＋tan tan22(C A +2tan 2tan 1(CA -3A 2C 2＝＋tan tan ＝.3)2tan 2tan1(CA -3A 2C 23考点二　三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值[例2]　(1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )13A ．－ B ．－C. D.45151545解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝＝.故选D.1－tan 2θ1＋tan 2θ45法二：由tan θ＝－，可得sin θ＝±，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝.1311045答案：D(2)已知tan ＝，且－＜α＜0，则等于( ))4(πα+12π2)4cos(2sin sin 22πααα-+A ．－B ．－C ．－D.255351031010255解析：由tan ＝＝，得tan α＝－.)4(πα+tan α＋11－tan α1213又－＜α＜0，所以sin α＝－.π21010故＝＝2sin α＝－.)4cos(2sin sin 22πααα-+2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)2255答案：A(3)已知α∈，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则＝________.)2,0(π12cos 2sin )4sin(+++ααπα解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，由于α∈，sin α＋cos α≠0，)2,0(π则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝，213∴＝＝.12cos 2sin )4sin(+++ααπα22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)268答案：268[方法引航]　三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan 的值．)6(θπ+解：tan ＝＝＝.)6(θπ+tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ33－131＋33×1353－6132．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值．解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝＝＝－.2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋12×(－13)2＋13－3(－13)2＋11153．已知cos ＋sin ＝，则cos ＝________.)2(απ-)32(απ-23532(πα+解析：由cos ＋sin ＝，得)2(απ-)32(απ-235sin α＋sin cos α－cos πsin α＝∴sin α＋cos α＝，2π3232353232235即sin ＝，∴sin ＝，3)6(πα+2356(πα+25因此cos ＝1－2sin 2＝1－2×＝.)32(πα+6(πα+2)52(1725答案：1725考点三　已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角[例3]　(1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.171314π2解析：∵cos α＝，0＜α＜.∴sin α＝.17π2437又cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.∴0＜α－β＜，则sin(α－β)＝.1314π2π23314则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝＝，由于0＜β＜，所以β＝.1713144373314497×1412π2π3答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．1217解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，12－171＋12×1713π22tan α1－tan 2α2)31(1312-⨯34∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.π2tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β34＋171－34×17∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－π.17π234答案：－π34[方法引航]　1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是，选正、余弦皆可；②)2,0(π若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是，选正弦较好．)2,2(ππ-2．解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )5531010A. B.C. D.或3π45π47π45π47π4解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.－255101022又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.)2,23(ππ7π42．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．1355),2(ππ)2,0(π解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.55)2,0(π255∴tan(α＋β)＝＝＝1.tan α＋tan β1－tan αtan β－13＋21＋23∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.),2(ππ)2,0(ππ23π25π4[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例]　某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解]　(Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.121434(Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＋sin 2α－sin α·cos α－sin 2α＝sin 2α＋34321432123434cos 2α＝.34法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.34证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 1－cos 2α21＋cos (60°－2α)230°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin 2α＝－cos 2α1212121232121212＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.121434341414141434[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos ＝，则sin 2α＝( ))4(απ-35A. B. C ．－D ．－7251515725解析：选D.因为cos ＝cos cos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝)4(απ-π4π42235，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.32518257252．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝( )34A.B.C ．1D.642548251625解析：选A.法一：由tan α＝＝，cos 2α＋sin 2α＝1，得Error!或Error!，则sin 2α＝2sin αcossin αcos α34α＝，则cos 2α＋2sin 2α＝＋＝.2425162548256425法二：cos 2α＋2sin 2α＝＝＝＝.cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α1＋4tan α1＋tan 2α1＋31＋91664253．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－ B.C ．－ D.32321212解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.124．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则( ))2,0(π)2,0(π1＋sin βcos βA ．3α－β＝ B ．2α－β＝C ．3α＋β＝ D ．2α＋β＝π2π2π2π2解析：选B.由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin sin αcos α1＋sin βcos β，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.)2(απ-π2π2π2π2π2π25．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α2tan α－1tan 2α＋1＝＝－1.－4－14＋1答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2－sin 2＝________.π8π8解析：由二倍角公式，得cos 2－sin 2＝cos ＝.π8π8)82(π⨯22答案：22课时规范训练A 组　基础演练1．tan 15°＋＝( )1tan 15°A ．2　B ．2＋C ．4D.3433解析：选C.法一：tan 15°＋＝＋1tan 15°sin 15°cos 15°cos 15°sin 15°＝＝＝4.1cos 15°sin 15°2sin 30°法二：tan 15°＋＝＋1tan 15°1－cos 30°sin 30°1sin 30°1＋cos 30°＝＋＝＝4.1－cos 30°sin 30°1＋cos 30°sin 30°2sin 30°2.的值是( )2cos 10°－sin 20°sin 70°A. B.C.D.123232解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°33．已知θ∈(0，π)，且sin ＝，则tan 2θ＝( ))4(πθ-210A. B. C ．－D.4334247247解析：选C.由sin ＝，得(sin θ－cos θ)＝，所以sin θ－cos θ＝.)4(πθ-2102221015解方程组Error!，得Error!或Error!.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以Error!不合题意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝432tan θ1－tan 2θ＝－，故选C.2×431－(43)22474．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于( )]2,4[ππ378A. B. C.D.35457434解析：选D.由sin 2θ＝和sin 2θ＋cos 2θ＝1得387(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝，3782)473(+又θ∈，∴sin θ＋cos θ＝.]2,4[ππ3＋74同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.3－74345．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则的值为( )tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)A.B.C.D.n －1n ＋1nn ＋1nn －1n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，故选D.n ＋1n －16．若sin ＝，则cos 2θ＝________.)2(θπ+35解析：∵sin ＝cos θ＝，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×－1＝－.)2(θπ+352)53(725答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．),2(ππ解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－.又∵α∈，∴α＝π，),2(ππ12),2(ππ23∴tan 2α＝tan π＝tan ＝tan ＝.43)3(ππ+π33答案：39．化简：(0＜θ＜π)．(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cosθ2)2＋2cos θ解：由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，θ2π2θ2∴＝＝2cos .2＋2cos θ4cos 2θ2θ2又(1＋sin θ＋cos θ)＝)2cos 2(sinθθ-2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ-＝－2cos cos θ.故原式＝＝－cos θ.θ2－2cos θ2cos θ2cosθ210．已知α∈，且sin ＋cos ＝.),2(ππα2α262(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35),2(ππ解：(1)因为sin ＋cos ＝，两边同时平方，得sin α＝.α2α26212又＜α＜π，所以cos α＝－.π232(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.π2π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.3545cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512)53(-43＋310B 组　能力突破1．已知sin α＋cos α＝，则1－2sin 2＝( )22)4(απ-A. B.C ．－D ．－12321232解析：选C.由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－.221212因此1－2sin 2＝cos2＝sin 2α＝－.)4(απ-)4(απ-122．已知f (x )＝2tan x －，则f 的值为( )2sin 2x2－1sin x 2cos x 2)12(πA ．4B.C ．4D ．83833解析：选D.∵f (x )＝2＝2×＝，)sin cos cos sin (2sin cos (tan xxx x x x x +⨯=+1cos x ·sin x 4sin 2x∴f ＝＝8.)12(π4sin π63．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )551010A. B. C. D.5π12π3π4π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－＜α－β＜.π2π2又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.101031010又sin α＝，∴cos α＝，55255∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255)1010(-22∴β＝.π44．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a 的值为________．1a π4解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg ＝lg 10＝1，1a∵α＋β＝，所以tan ＝tan(α＋β)＝＝，π4π4tan α＋tan β1－tan αtan β11－tan αtan β∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg ＝0.1a 所以10a ＝1或＝1，即a ＝或1.1a 110答案：或11105．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.13ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.∵tan(α＋β)＝1313ααααπ2sin cos 10cos 4)2(2sin 22-+-＝＝＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝＝＝＝.sin α＋2cos α5cos α－sin αtan α＋25－tan α－13＋25－(－13)516(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α516＋131－516×133143。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1) $cos(\alpha-\beta): cos(\alpha-\beta)=cos\alphacos\beta+sin\alpha sin\beta$2) $cos(\alpha+\beta): cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$3) $sin(\alpha+\beta): sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+cos\alpha sin\beta$4) $sin(\alpha-\beta): sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta$5) $tan(\alpha+\beta):tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$6) $tan(\alpha-\beta): tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1) $sin2\alpha: sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$2) $cos2\alpha: cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$3) $tan2\alpha: tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$3.常用的公式变形1) $tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$2) $cos2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}$，$sin2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}$3) $1+sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^2$，$1-sin2\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)^2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=2\sin\frac{\alpha+\beta}{4}$基础题必做1.若$tan\alpha=3$，则$\frac{sin2\alpha}{2sin\alphacos\alpha}$的值等于$2tan\alpha=2\times3=6$。

2019版高考数学(理科)一轮教师用书(人教)：第4章 3 第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式含答案

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin__αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z .[提醒] 三角函数公式的变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 3．三角函数公式关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( ) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)为( )A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A.因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－（－35）2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22·(－35)－22·(－45)＝210.(2017·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________．解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案：62三角函数公式的直接应用[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________． (2)(2018·广州市综合测试(一))已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________．【解析】 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝sin αcos α＝2，所以sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55×22＋255×22＝31010. (2)因为sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210.【答案】 (1)31010 (2)－210利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[通关练习]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A.因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34. 因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211. 2．(2018·湖南省东部六校联考)已知角α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225B.2425 C ．－2425D ．－1225解析：选B.因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，故选B.三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；(2)二倍角公式的活用．[典例引领]角度一两角和与差公式的逆用及变形应用(1)已知sin α＋cos α＝13，则sin2(π4－α)＝()A.118 B.1718C.89 D.29(2)在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为()A．－22 B.22C.12D．－12【解析】(1)由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－8 9，所以sin2(π4－α)＝1－cos（π2－2α）2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.(2)由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得tan A＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cos C＝22.【答案】(1)B(2)B角度二二倍角公式的活用cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________．【解析】法一：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°。

2019届高考数学一轮必备考情分析学案：4.5《两角和与差的正弦、余弦和正切》(含解析)

4.5两角和与差的正弦、余弦和正切考情分析运用两角和与差的三角公式进行化简变形、求值，二倍角公式的正用、逆用和变形使用是高考的常考内容，面对如：sin cos a x b x +的化简是高考每年的必考内容。

基础知识1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan αααααα-=-=-=-=+sin α=22tan21tan2αα+, cos α=221tan 21tan2αα-+[:3、形如asin α+bcos α的化简asin α+bcos αsin(α+β).其中cos β,sin β注意事项1.(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．2.(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．题型一三角函数式的化简【例1】cos 85°＋sin25°cos30°cos25°＝( )A. －32B.22C. 12D. 1[:答案：C 解析：cos85°＋sin25°cos30°cos25°＝＋＋sin25°cos30°cos25°＝cos60°cos25°－sin60°sin25°＋sin25°cos30°cos25°＝cos60°cos25°cos25°＝cos60°＝12，选C.【变式1】化简：α＋cos α－α－cos α＋sin 2α.解原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2.题型二三角函数式的求值【例2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝13，且α∈(0，π)，则α＝________.答案：π4解析：∵α＝(α－β)＋β，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ，∵tan(α－β)＝12，tan β＝13，tan α＝12＋131－12×13＝1，又∵α∈(0，π)，∴α＝π4. 【变式2】已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．解 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2，又∵ta n(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴1cos2α－β＝1＋tan 2(α－β)＝109.[: cos(α－β)＝31010，sin(α－β)＝－1010. 又∵sin α＝45，∴cos α＝35.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝35×31010＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝1010. 题型三三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.解 ∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∵cos α＝17，β＜α＜π2，∴sin α＝1－cos 2α＝437∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2.∴β＝π3.【变式3】已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．解由根与系数的关系得：tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4， ∴t an α＜0，tan β＜0，－π＜α＋β＜0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.题型四三角函数的综合应用【例4】设函数f(x)＝2cos 2(π4－x)＋sin(2x ＋π3)－1，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x ∈[0，π2]时，求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝12sin2x ＋32cos2x ＋cos(π2－2x)＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin(2x ＋π6)，所以函数f(x)的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，于是3sin(2x ＋π6)∈[－32，3]，所以当x ∈[0，π2]时，函数f(x)的值域是[－32，3]．【变式4】已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝2sin xcos x ＝sin 2x (1)f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.[:(2)∵－π6≤x≤π2，∴－π3≤2x≤π. ∴－32≤sin 2x≤1. ∴f(x)的最大值为1，最小值为－32. 巩固提高一、选择题 1.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A. －34B. 34C. －43D. 43答案：B解析：由tan α＋1tan α－1＝12，得tan α＝－3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34，选B 项． 2. 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B. 53C. 23D. －2答案：A解析：由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103，故选A. 3.若函数f(x)＝sin 2(x ＋π4)＋cos 2(x －π4)－1，则函数f(x)是( )A. 周期为π的偶函数B. 周期为2π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为π的奇函数答案：D解析：f(x)＝sin 2(π4＋x)＋sin 2(π4＋x)－1 ＝2sin 2(π4＋x)－1＝－cos(π2＋2x)＝sin2x∴故D 正确．[:4.把函数y ＝sinx －3cosx 的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B. π3C.2π3D. 5π6答案：D解析：y ＝sinx －3cosx ＝2sin(x －π3)，图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得y ＝2sin(x ＋m －π3)，由于图象关于y 轴对称，∴m －π3＝k π＋π2，m ＝k π＋5π6(k ∈Z)， ∴m 的最小正数为5π6，故选D.5.若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A. 13B. －13C. 79D. －79答案：D解析：因为sin(π6－α)＝13，所以cos(π3＋α)＝13，即cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1 ＝2×19－1＝－79.6.已知cos(α＋π4)＝13，α∈(0，π2)，则cos α＝________.答案：2＋46解析：∵α∈(0，π2)，cos(α＋π4)＝13>0，∴α∈(0，π4)，α＋π4∈ (π4，π2)， ∴sin(α＋π4)＝223， cos α＝cos(α＋π4－π4)＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)·sin π4＝2＋46.。

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解析：∵cosπ6－x＝cos
π 6cos
x12sin x＝12(sin x＋ 3cos x)＝12×65＝35.
答案：35
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一三角函数公式的基本应用
[题组练透]
1．已知 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，则 cosπ6－α＝(
2
·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×322×＋31＋ 2×312－＋312＋ 22＝0.
答案：0
考点三角的变换
[典例引领]
已知 0＜β＜π2＜α＜π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
)
A．－2 3 2
B．2
2 3
C．－13
D．13
解析：由 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，
展开化简可得 sinα＋π3＝－13，
所以 cosπ6－α＝cos π2－α＋π3 ＝sinα＋π3＝－13.
答案：C
2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝12 f(x)，则 tan 2x 的
3
C. 3
D．2 2－1
解析：
4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°－csions
40° 40°
＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2sin120°－40°－sin 40°＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40°