【小初高学习】九年级数学下册第27章圆27.2与圆有关的位置关系27.2.3切线27.2.3.2切线

27.2.3 切线
第2课时切线长定理及三角形的内切圆
知|识|目|标
1．经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理．
2．经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识．
目标一能探索并掌握切线长定理
例1 教材补充例题如图27－2－12，已知⊙O的切线PA，PB，A，B为切点，把⊙O沿着直线OP对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论．
结论：PA＝________，∠OPA＝________.
图27－2－12
证明：如图27－2－13，连结OA，OB.
∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点，
∴OA⊥________，OB⊥________，
即∠OAP＝________＝90°.
∵__________________________，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)，
∴PA＝________，∠OPA＝________．图27－2－13
试用文字语言叙述你所发现的结论．
例2 高频考题如图27－2－14，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠OAB＝30°.
(1)求∠APB的度数；
(2)当OA＝3时，求AP的长．
图27－2－14
【归纳总结】切线长定理中的基本图形：
如图27－2－15，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，此图形中含有：
图27－2－15
(1)两个等腰三角形 (△PAB，△OAB)；
(2)一条特殊的角平分线( OP平分∠APB和∠AOB);
(3)三个垂直关系 (OA⊥PA, OB⊥PB，OP⊥AB)．
目标二理解三角形的内切圆
例3 教材补充例题如图27－2－16，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的( )
图27－2－16
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
例4 教材补充例题△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.
【归纳总结】三角形“四心”的区别：
提示：(1)这个顶点处的内角；三角形的内心都在三角形内部． (2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形．
(3)常用S △ABC ＝12
(a ＋b ＋c )r (其中a ，b ，c 为△ABC 的三边长)求三角形的内切圆的半径r . (4)若△ABC 为直角三角形(不妨设∠C ＝90°)，则△ABC 内切圆的半径r ＝a ＋b －c
2或r ＝
ab a ＋b ＋c
(其中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边)．
知识点一 切线长及切线长定理
(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
(2)过圆外一点所画的圆的两条切线，________相等．这一点和圆心的连线平分
____________________．
知识点二 三角形的内切圆
(1)与三角形________________叫做这个三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的________，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．
(2)三角形的内心就是三角形______________，三角形的内心到____________的距离相等．
如图27－2－17是切线长定理的一个基本图形(PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 为切点)，由切线长定理可以推出很多的结论，如：
(1)垂直：OA ⊥________，OB ⊥________，AB ⊥________；
(2)角相等：∠1＝∠________＝∠________＝∠________，∠5＝∠________＝∠________＝∠________；
(3)线段相等：PA ＝________，AC ＝________；
(4)弧相等：AD ︵＝________，AE ︵＝________．
图27－2－17
教师详解详析
【目标突破】
例1 解：PB ∠OPB PA PB ∠OBP OA ＝OB ，OP ＝OP PB ∠OPB 用文字语言叙述结论：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
例2 [解析] (1)方法一：根据切线的性质可知：∠OAP ＝∠OBP ＝90°.根据三角形的内角和为180°可求出∠AOB 的度数，再根据四边形的内角和为360°可求出∠APB 的度数；方法二：证明△ABP 为等边三角形，从而可求出∠APB 的度数．
(2)方法一：作辅助线，连结OP.在Rt △OAP 中，利用三角函数可求出AP 的长；方法二：作辅助线，过点O 作OD ⊥AB 于点D.在Rt △OAD 中，求出AD 的长，从而求出AB 的长，即为AP 的长．
解：(1)方法一：∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°，
∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，
∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，
∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，
∴在四边形OAPB 中，
∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°.
方法二：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，
∴PA ＝PB ，OA ⊥PA.
∵∠OAB ＝30°，
∴∠BAP ＝90°－30°＝60°，
∴△ABP 是等边三角形，
∴∠APB ＝60°.
(2)方法一：如图①，连结OP.
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，
∴PO 平分∠APB ，
即∠APO ＝12
∠APB ＝30°. 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3，
∴AP ＝OA tan 30°
＝3 3.
方法二：如图②，过点O 作OD ⊥AB 于点D.
∵在△OAB 中，OA ＝OB ，
∴AD ＝12
AB. ∵在Rt △AOD 中，OA ＝3，∠OAD ＝30°，
∴AD ＝OA ·cos 30°＝3 32
， ∴AB ＝2AD ＝3 3，
∴AP ＝AB ＝3 3.
例3 [答案] D
例4 解：如图，设△ABC 的内切圆⊙O 与三边分别相切于点D ，E ，F ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.
所以S ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝12AB ·OD ＋12AC ·OF ＋12BC ·OE ＝12
lr. 【总结反思】
[小结] 知识点一 (1)切点
(2)它们的切线长 这两条切线的夹角
知识点二 (1)各边都相切的圆 内心
(2)三条角平分线的交点 三角形三边
[反思] (1)PA PB PO (2)2 3 4 6 7 8
(3)PB BC (4)BD ︵ BE ︵。