能量2

a
F保 dr E pa
（以一维为例）一质量 m的物体 为 从yA下落到yB，以竖直向上为正
Ep mgy
E p mg( yB y A ) mgy
保守力和势能的关系
E p mg( yB y A ) mgy
如果是无穷小过程
dEp Mgdy
mg
dr

f
b
a
3找 该 穷 过 中 出 无 小 程 4将f和dr 点 ， 后 分 求 乘然积（和
f和dr 的 小 方 大 和 向
）
保守力的概念 保守力(重力,弹性力,万有引力)的功只与 质点的始末位置有关,而与路径形状无关 凡是作功具有上述特点的力都叫保守力。否则 叫做非保 守力 物体在该力的作用下，沿任意闭合路径L 一周所作的功总为零,亦即
me m 2 Gme 圆轨道： G m 解 2 r r r
机械能守恒：
me m me m 1 1 2 2 m G m o G 2 r Re 2
Gme Re Re o 2 (1 ) 2 gRe (1 ) Re 2r 2r
Gme Re Re o 2 (1 ) 2 gRe (1 ) Re 2r 2r
功的代数和 Fn
n
1 1 2 2 Ai Ai内 Ai外 2mivi 2mivi 0 i i i i i
A外 A内 EK EK0
此即质点系的动能定理
功能原理
A外 A内 EK EK0
A内=A保守内力+A非保守内
A保守内力= -(Ep-Ep0) A外+A非保守内=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)
y
0
弹力势能和万有引力势能
弹簧原长为零势点,任意位置 (该位置弹簧长度为r)的势能为
Ep A k(r r0 )dr
r
r0
1 k(r r )2 1 k(r r )2 1 k( r r0 )2 0 2 2 2 0 0
以无穷远点为零势点， m0的引力场 在 中，质量为m的物体在任意位置（与 m0的距离为r）所具有的势能
讨论：(1)当r=Re时, o gRe =7.9km/s, 称为第一 宇宙速度。若以这个速度垂直地球半径方向发射， 卫星将贴近地面沿圆轨道飞行。 (2)当r时， o 2 gRe 11.2km / s , 称为第二 宇宙速度。以此速度发射的卫星将飞离地球。
例题3如图所示，一链条总长为L、质量为m， 放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a， 链条与桌面之间的滑动摩擦系数为µ 。桌子边缘 光滑, 令链条由静止开始运动，求链条末端离开 桌面时的速度。 解 建立如图所示的坐标ox，摩擦力(变力)的功为
任取一小过程，垂下长 x，下落dx 度
A
L a
m ( L x) g dx L
L-a a
o
mg 2 ( L a) 2L
x
mg 2 A ( L a) 2L
取桌面为零势面，
L-a a
o
由功能原理得
A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0&# R
dv N m dt
2
法向：
v N m R
2
fr v0 v N o
切向： N m dv dt
v dv dv d v dv R dt d dt R d
2
1 dv d v

v
v0
dv d 0 v
m Vx R
N vr
(2) 当m/M<<1，即M>>m 时, cos=2/3 这相当于M不动的情况。 当m/M>>1,即m>>M时， 有 cos3 -3cos +2=0 分解因式得 (cos -1)2(cos +2)=0 cos =1 , =0° 这表明，这时M一下子滑出， m竖直下落。
A保
b
a
F保 dr E pa E pb ( E pb E pa )
势能的表述
系统在位置a的势能等于把系统从该位置经 任意路径移到势能零点时保守力所作的功

零势点
a
F保 dr E pa
以地面为零势点,并以地面为坐标原点, 任意位置Y的势能为
E p A mgdy mg(0 y) mgy
dEp dy
保守力沿任意方向上的分量等于 势能沿该方向上空间变化率的负 值
F E p
i j k x y z
质点系的动能定理 设系统由n个质点组成,对其中第i 个质点(质量为mi )应用动能定理,有 1 1 2 2 Ai Ai内 Ai外 mi vi mi vi 0 2 2 式中：i=1,2,3,……。 内力做的功能抵消么？ 不能
系统外力和非保守内力的功的代数和等于系统 机械能的增量。这一结论称为系统的功能原理
A外 A内 EK EK0
机械能守恒定律
A外 A非保守内 EK EP） EK0 EP0） （ （
如果外力的功与非保守内力的功之和为 零,即当A外+A非保守内=0时,则由功能原理可知， 系统的机械能保持不变，即
1 2 机械能守恒： mgL mv v 2 gL m 2
系统(m+地球)机械能不守恒：
L T mg M v o
系统(M+m+地球)机械能守恒：
L m T
o
1 2 1 2 mgL mv MV 2 2
mg
V M
v
0= MV-mv
2 MgL v M m
例题5半径为R 、质量为M且表面光滑的半 球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置 一质量为m的小物体，当小物体从顶端无初 速地下滑，在如图所示的角位置处，开始脱 离球面，试求： (1) 角满足的关系式； (2)分别讨论m/M<<1和m/M>>1时cos的取。
y x
m Vx R M

N vr mg
v
m对地
v
m对M
v
2
M对地
vx vr cos Vx , vy vr sin
v (vr cos Vx ) (vr sin )
2
2
解)得
m 3 cos 3 cos 2 0 M m
m 3 cos 3 cos 2 0 M m
1 2 1 2 ( M m) g x kx ( M m)v1 2 2
x
v m x
(平衡位置)

g (M m)
k

(M m) g 2
2
2
k2
(m v)2 k ( M m)
例题2 若从地面以一定初速度o发射一质 量为m的卫星,并使卫星进入离地心为r的圆轨道。 设地球的质量和半径分别为me和Re，不计空气 阻力，则o =？
L 1 m a 2 A ( mg mv ) ( ag ) 2 2 L 2
g 2 2 2 v [(L a ) ( L a) ] L
例题4如图所示，光滑地面上有一辆质量为M 的静止的小车，小车上一长为L的轻绳将小球m 悬挂于o点。把绳拉直，将小球由静止释放，求 小球运动到最低点时的速率。
rj
O
j

F1 m1 f1i f i1 f1n mn fni
Fi
fn1
fin
mi
Fn
内力作功多少与参考系无关
i ri
质点系的动能定理
F1
Fi
1 1 2 2 f1i f Ai Ai内 Ai外 mi vi mi vi 0 i1 m1 2 2 f1n m 质点系统动能的增量 i fn1 f 式中：i=1,2,3,……。 等于所有内力和外力 fni in m
以M为参考系
A外 A非保守内 0
能量的转化和守恒定律
A外 A非保守内 EK EP） EK0 EP0） （ （
能量的各种形式可以相互转化，对于一个与外界 没有能量交换的系统（孤立体系）来说，能量的 总和保持不变，此即能量的转化和守恒定律 适用范围远比牛顿定律广泛
例题1 一质量为M的弹簧振子，水平放置并 静止在平衡位置，如图所示。一质量为m的子 弹以水平速度v射入振子中,并立即随之一起运 动。设振子M与地面间的摩擦系数为µ ，求弹 簧的最大压缩量。 解 由水平方向动量守恒： mv=(M+m)v1 压缩过程 由功能原理得
Ep+Ek=恒量 这一结论称为机械能守恒定律。
关于守恒条件
A外 A非保守内 0
合外力为零，内力又都是保守力系统机械 能是否守恒？
在惯性系下成立
但系统在一个惯性系下机械能守恒在另一 个惯性系下机械能未必一定守恒 地球和物体所组成的系统 以地球为参考系
M
F
匀速
A外 A非保守内 0
Ep A

r
Gm 0 m Gm 0 m dr 2 r r
势能曲线
Ep
Ep mgy
E p 1 k( r r0 )2 2
o
y
把势能和相对位置的关系 用曲线表示出来,这样的曲 线就称势能曲线
o
Ep
o
r r0
r
Gm 0 m Ep r
保守力和势能的关系

零势点
搞清楚了这个函 数，保守力做功 问题就简单了
A保
b
a
E E F保 dr pa pb ( E pb E pa）
对势能这一概念的分析
A保
名称的 由来：