2017-2018学年高中数学人教A版必修5课时作业2余弦定理 Word版含解析

合集下载

高中数学课时作业2 余弦定理新人教A版必修5

课时作业2 余弦定理时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝4，C ＝30°，则c 2等于( ) A ．32－16 3 B ．32＋16 3 C ．16D ．48解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋42－2× 4×4×32＝32－16 3. 答案：A2．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝－3ab ，则角C ＝( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150°D ．30°解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32.∵0°<C <180°，∴C ＝150°. 答案：C3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6C.π4D.π12解析：∵c <b <a ， ∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6，故选B.答案：B4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34，故选B. 答案：B5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →等于( ) A.152B ．－152C.1532D ．15解析：∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝5×3×(－12)＝－152，故选B.答案：B6．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝1:2:3，其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴A 为钝角，正确；②∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°，错误；③∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∴C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误； ④∵A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， ∴a :b :c ＝1:3:2，错误．故选A. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝________. 解析：由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，知C 是钝角．∴由sin C ＝32得C ＝120°. 答案：120°8．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则顶角的余弦值为________．解析：设顶角为A ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78.答案：789．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C ，又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)．∴c 2∈(1,5)． ∴c ∈(1，5)．答案：(1，5) 三、解答题(共计40分)10．(10分)在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .解：由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin2A sin A＝2cos A ， ∴c a ＝32.又a ＋c ＝10，∴a ＝4，c ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋2012b ＝34，∴b ＝4或b ＝5.当b ＝4时，∵a ＝4，∴A ＝B . 又C ＝2A ，且A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π4，与已知cos A ＝34矛盾，不合题意，舍去．当b ＝5时，满足题意，∴b ＝5.11．(15分)(2012·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.12．(15分)在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 的值是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．解：设三角形的另一边是c ，方程2x 2－3x －2＝0的根是x ＝－12或x ＝2.∵－1＜co s C ＜1，∴cos C ＝－12.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a ·(10－a ) ＝100＋a 2－10a ＝75＋(a －5)2.要使三角形的周长最小，只要c 最小，当a ＝5时，c 2最小，∴c 最小，c 的最小值是75＝53， ∴三角形周长的最小值是10＋5 3.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修5课时作业3正、余弦定理在实际中的应用

解析：因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°
＝402＋402－2×40×40×
＝402×3，
所以BP＝40 .
又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40 )2＋802＝11 200，
解析：设塔高AB为x.
因为AB垂直于地面，所以△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形，所以BM＝＝ x，BN＝＝x，BP＝＝ x.
在△MNB中，由余弦定理，得
BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cos∠MNB；
在△PNB中，由余弦定理，得
BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cos∠PNB；
C．5 n mile D．5 n mile
解析：在△ABC中，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°.
由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝5 (n mile)．
答案：D
3．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()
A．10km B．10 km
所以PC＝40 海里．
|
11．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为()
解析：由题意易知△BCD中，∠BDC＝30°＋15°＝45°，∠CBD＝60°－30°＝30°，CD＝10 米，由正弦定理，得BC＝＝20 (米)．在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20 × ＝30(米)，所以升旗速度约为＝0.6(米/秒)，即升旗手应以约0.6米/秒的速度匀速升旗．

人教版高中数学必修五课时提升作业(二)112余弦定理含解析.doc

关闭W ）rd 文档返回原板块。

课时提升作业（二）余弦定理一、选择题（每小题5分，共25分）1.在ZSABC 中，边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C, b 二3, c 二5, A 二 120。

,则 a=（）【解析】选 A. a 2=b 2+c 2-2bccosA=9+25- 2x 3x 5c os 120° =49 ,所以 a=7・2•在ZXABC 中，a=3, b 二&, c 二2,那么角 B 等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【解析】选C. cosB=所以B=60°・3. （2015 -吉林高二检测）在AABC 中，内角A, B, C 的对边分别是/ b, c,若 a 2-b 2=V*3bc, sinC=2\3sinB,则 A=（）60分）A. 7B. V19C. 49D. 1925分钟基础练、（25分钟AABC ( )A. 一定是锐角三角形B. —定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【解析】选C.& [b 「・〈0 ,即cosC<0・因为 0。

«180° ，所以 90。

«180° ・所以△ ABC 为钝角三角形.【补偿训练】在 Z\ABC 中,si nA : sinB : sinC=3 ： 5 ： 7, jUljAABC 是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选C.由正弦定理，得 a : b : c 二sinA : sinB : sinC 二3 : 5 : 7・设 a=3k , b=5k , c=7k( k>0),由于c>b>a ,故角(：是公ABC 中最大的角，因为2ab 2x5kx3k=4<o ，所以090° ,即公ABC 为钝角三角形5•在ZSABC 中，已知 AB 二7, BC 二5, AC 二6,则AB • BC 等于( ) A. 30° B. 60° D.150°C. 120° 【解析】选A.由余弦定理得 :cosA= “,由题知 b 2-a 2=-V'3bc , c 2=2V3bc ,则 cos A 二莒,又 0° <A<180° ,所以 A=30° ・4•在AABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若二^竺>0,则 ZabA. 19B.-14C.-18D.-19【解析】选D.设公ABC三边分别为a , b , c ,则a=5 f b=6 , c二7 , cos羽號异曙’所以晶-BC=7x 5x〔-曙)T9・二、填空题(每小题5分，共15分)6.在AABC 中,若(a-c) (a+c) =b (b+c),则A=【解析】因为(a-c) (a+c) =b( b+c),所以 a 2- c 2=b 2+bc ,即 b 2+c 2- a 2=- be.所以COS 啓心“ -be 1答案:120°7•如图，在Z\ABC 中，点 D 在 AC ±, AB 丄BD, BC=3V3, BD 二5, sin ZABC 二手，则CD 的长度等于 ________ •【解析】由题意可得 sinZ.ABC=^=sinf + Z.CBD j=cosZ_CBD , 再根据余弦定理可得CC?=BC 2+BD?- 2BC ・BD ・cos 乙CBt>27+25・2x 3<3X 5x 筈=16 , 可得CD=4.答案：48-（2°15 •北京高考）在SC 中，a=4, b=5,皿则鑑二 -------------- •【解题指南】利用二倍公式展开si n 2A ,再利用正余弦定理角化边. ©2十［解析］8in2A -2slnAcosA -2abe 2 2bc 2bc 2因为 0° <A<180° ，所以 A=120° .sine sinea{b 24c 2 - a 2 )4+-4C答案：1 三、解答题（每小题10分，共20分）9. （2015 -济宁高二检测）设锐角AABC的内角A, B, C的对边分别为A B __申sin^ADBsinB 由正弦定理得于是AB=竺竺i 竺 slnEWsln6Q ； sin45*a, b, c,.目.有 a 二2bsinA.(1) 求B 的大小.⑵若 a=3V3, c=5,求 b.【解析】(1)由a=2bsinA ,根据正弦定理得si nA=2si nBsi nA,所以si /由于△ ABC 是锐角三角形，所以皑・(2) 根据余弦定理,得b 2=a 2+c 2- 2accos B=27+25- 45=7 ,所以b=V7・10. (2015 •天津高一检测)如图，在AABC 中，已知B 二45。

高中数学课时训练(二)余弦定理新人教A版必修5(2021年整理)

（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（二）余弦定理新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（二）余弦定理新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（二）余弦定理新人教A版必修5的全部内容。

课时跟踪检测（二）余弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a）＝3bc，则角A等于( ）A．30°B．60°C．120° D．150°解析:选B ∵（b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc,∴cos A＝错误!＝错误!,∴A＝60°.2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝错误!，则最大角的余弦值是（）A．－错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!解析：选C 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝错误!＝错误!＝－错误!.3．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，若错误!〉0，则△ABC( )A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形解析：选C 由错误!>0得－cos C〉0，所以cos C〈0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab 的值为( )A.错误!B．8－4错误!C．1 D.错误!解析：选A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C＝2ab cos 60°＝ab,则ab＋2ab＝4，∴ab＝错误!。

2018秋数学人教A版必修5课件：第一章1.1第2课时余弦定理精品

(4)在△ABC 中，若 b2＋c2－a2＜0，则△ABC 中为钝角三角形．( )
解析：(1)因为 a2＋b2＝c2，所以 C＝90°，故△ABC
为直角三角形，正确．(2)由 cos A＞0 可知 A 必为锐角，
但还有 B、C 不能确定，故不正确．
(3)当已知两边及夹角时，可由余弦定理求出另一边，从而可知三角形已确定了，故正确．(4)由 b2＋c2－a2＜0，知 cos A＜0，故 A 为钝角，显然三角形 ABC 为钝角三角形成立，故正确．
[变式训练] 在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
解：法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
因为 B＝60°，2b＝a＋c，所以a＋2 c2＝a2＋c2－2accos 60°，整理得(a－c)2＝0，所以 a＝c.
又因为 2b＝a＋c，所以 2b＝2c，即 b＝c. 所以△ABC 是等边三角形．法二：根据正弦定理，2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C. 又因为 B＝60°，所以 A＋C＝120°.所以 C＝120°－A，所以 2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，
角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入 k，从而转化为已知三边解三角形．
[变式训练] 在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB
＝9，试求 AC 边上的中线长．
AB2＋AC2－BC2
解：由余弦定理和条件，得 cos A＝
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，且 3a＝ 3b＝12，则 c 的值为( )

2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1.1.2 余弦定理(二)

1．1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C ． 2．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是________． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形； (2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，其中a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形答案 A解析方法一在△ABC 中，由已知得 1＋cos B 2＝12＋a2c，∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形．方法二原式化为cos B ＝a c ＝sin Asin C ，∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，即△ABC 为直角三角形．反思与感悟一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．题型二正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得： sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理，得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2 sin A 及正弦定理得，c ＝2a . 由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3. 题型三利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ，即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac. 由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立．反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2 A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b .解由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2，整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ，故等式成立．例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围．错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① ∵k 为三角形的一边长，∴k >0，② 由①②知0<k <6.错因分析忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2. 正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，② 由①②可知2<k <6.误区警示在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(13，5)C ．(5，13)D ．(1，5)∪(13，5) 答案 D解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x 22×2×3<0且2＋3>x ，解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x <0且x ＋2>3，解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5)．1．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形答案 B解析由题b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .2．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sin C sin B ，则A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 答案 C解析由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35 答案 D解析由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)，∴AC ＝3或－8(舍)．∴sin B sin C ＝AC AB ＝35.4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8) 答案 B解析只需让3和a 所对的边均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22·1·3>012＋a 2－322·1·a>01＋3>a 1＋a >3，解得22<a <10.5．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．答案 1解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍)．6．已知△ABC的三边长分别为2，3，4，则此三角形是________三角形．答案钝角解析4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形．1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．2．解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．。

人教版高中数学必修五课后提升作业二112余弦定理含解析1.doc

关闭Word文档返回原板块。

课后提升作业二余弦定理（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1.（2016 •锦州高二检测）在ZXABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若2+b2-c2=v；3ab,则角C的值为（）a< TA.-B.-c.競 D.于畴【解析】选A.因为Z\ABC中，a'+b2-c2二丽ab, 所以cosC二& “ Y ［贝寸c二二2ab 2 6【补偿训练】在△ ABC中，边a, b,c所对的角分别为A, B, C, b=3, c=5, A=120°，则a二( )A. 7B. V19C. 49D. 19【解析】选 A. a2=b2+c2-2bccosA二9+25-2X3X5cos120°二49,所以a二7.2.(2016 •银川高二检测)在AABC 中，若Q+c) (a-c)=b(b+c),则A=()A. 90°B. 60°C. 120°D. 150°【解析】选C・由已知可得a2-c2=b2+bc,所以b2+c2_a2=_bc,h4* 公1所以cosA二 ~~——二--，所以A=120 °•2bc 23.（2016 •西安高二检测）在AABC中，已知a二書,b二育,C二二则AABC4是（）A.锐角三角形B•直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选B.由余弦定理得c2-a2+b2_2abcosC-3+6_2\ 3 X V© X -^=3, 所以c二七3所以a2+c2二b：所以△ ABC为直角三角形.4.在ZXABC 中,角A, B,C 的对边分别为a, b, c.若(a2+c2-b2) <anB=v'3ac, 则角B的值为()C.陽3D肓或丁【解析】选D.因为*讥7二cosB,结合已知等式得cosB • tanB= 2ac所以sinB=—, B==或竺2 3 35. （2016 •汕头高二检测）在△ ABC中，『二『+£+再be,则A等于A. 60°B. 45°C. 120°D. 150°【解析】选D.由已知得b2+c2-a2=- be,根据余弦定理，得cosA=—-——二—工，所以A=150°・2bc 26•在三角形ABC中，若三个内角A, B,C的对边分別是a, b, c, a=l, c=4v2, B=45°，则sinC 的值等于( )4 4 44\41A.-B.TC.—D.—41 5 25 41【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB, 所以b2=1 +32-2 X 1 X 4V2 X 务25, 因此b二5,由正弦定理得- j ,slnB slnC所以S i nC二沁竺二土b 5 S7. （2016 •厦门高二检测）在锐角AABC中，角A, B, C的对边分别是A. 3B. 4C. 5D. 6a, b, c,若拾6cosC,则去+誥的值是（）【解析】选B.因为-+-=6cosC,由余弦定理可得^±1=6X —a b ab 2ab“ 2 i 2 3c£> taruC tartC m^AslnC eo^BsinC sin€ (cosA , cosB\以a+b -—、则--- + --- ---- - + ---- -- ——-—+ —2 tanA tauB cosCsinA cosCsir.B cosa \sinA sinBz sirrCl ?inB:osA4slnAcosB cos€sinAsinBabcosC ab *&已知锐角△ ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c, 23cos，A+cos2A=0, a=7, c=6,则b二( )A. 10B. 9C. 8D. 5【解题指南】由23cos2A+cos2A二0,利用倍角公式求出cosA的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b的值.【解析】选D.因为23cos'A+cos2A二0,所以23COS2A+2COS2A-1 =0,解得cos2A=-7,2a因为AABC为锐角三角形, 所以cosA二1, s i n5 a由正弦定理’& -「得8・slnA sinC 空£ sinCs i nC二上£ cosc£.又B二n - (A+C),35 3a所以s i nB=s i n (A+C)二s i nAcosC+cosAs i nC, .-2V6v19 V 12v6 2y6s inB=— X —X .a n I由正弦定理亠二b得丄二貝解得b二5.sinA sinB '士士'二、填空题（每小题5分，共10分）9.______________________________________________ 在AABC 中，B=60° , b2=ac,则ZXABC 的形状为___________________ ・【解析】由b3=ac 及余弦定理b2=a2+c2-2accos 60°，得ac=a2+c2-ac, 所以（a-c）2=0,所以a二c,又B=60°,所以Z\ABC为等边三角形.答案：等边三角形10.（2016 •北京高考）在ZSABC中,A二舉a=V3c,则匕二3 c【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2+bc.把a-v 3c 代入，得b2+bc_2c2-0.2除以C；得（y》2二0,解得2二-2（舍）或—・c c答案：1 三、解答题（每小题10分，共20分）11.在AABC 中，a=3, b=2 V®, B二2A・（1）求cosA的值.⑵求c的值.【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系，求角，可以利用正弦定理解决问题.（2）由已知两边和角求第三边，可以应用余弦定理求解. ⑵ 由余弦定理得a Jb'+c 2-2bccosA,所以 3J (2V6) 2+C 2-2 X 2v6c X 二3 即 C 2-8C +15=0,解得 c=5 或 c 二3. 当c 二3时，因为a=3, 所以a 二c,即A 二C,又因为B=2A,故 A=C=-B,2又因为A+C+B 二n ,IT $故 2B= n ,即 B 二二，所以 b=Va 2 + c 2=3\ 2, 这与b=2v6矛盾，故c 二3不合题意舍去.因此c=5.12. (2015 •安徽高考)在Z\ABC 中,A=—, AB=6, AC=3v2,点 D 在 BC 边 4 ±, AD=BD,求 AD 的长.【解析】由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2-2AB • AC • cosZBAC 二61 2 3+ (3\ 2) 2_2 X 6 X 3*v 2 X cos 乎二90, 1 ，・ 2 A【解析】（1）由正弦定理得 a _ b si nA所以即 cosA-sinA sin2A , sinA 2sinAcosA ,所以BC二3VW,在厶ABD 中,设ZADB二6,则Z ADC 二180。

2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书：必修5 第1章 1.1.2 余弦定理

1．1.2余弦定理1．掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)[基础·初探]教材整理1余弦定理及其变形阅读教材P5～P6完成下列问题．1．三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.2．余弦定理的变形cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab.1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.【解析】根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219.【答案】2192．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B＝________.【解析】cos B＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，B＝60°.【答案】60°教材整理2余弦定理及其变形的应用阅读教材P6～P7，完成下列问题．1．利用余弦定理的变形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C 为锐角．2．应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．(1)已知三边，求三角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．1．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.【解析】∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，又∵A为△ABC的内角，∴A＝120°.【答案】120°2．以下说法正确的是________(填序号)．①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．【解析】①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．【答案】 ②③④[小组合作型]已知两边及一角解三角形在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a . 【精彩点拨】解答本题可先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角．也可以由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由正弦定理求角A ，角C .【自主解答】法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边．)[再练一题]1．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c .【解】由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.已知三边解三角形在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C . 【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？ (2)求sin C 能否应用余弦定理？【自主解答】 ∵a >c >b ，∴A 为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32. 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得： sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314， ∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.1．本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键． 2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．[再练一题]2．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，求角C . 【解】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2－c 2＋b 2＝2ab cos C . ∴ab ＝2ab cos C . ∴cos C ＝12. ∴C ＝60°.[探究共研型]正、余弦定理的综合应用探究1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？【提示】设△ABC 的外接圆半径为R .由正弦定理的变形，将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a 2＝b 2＋c 2可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C .反之将sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 可得a 2＝b 2＋c 2.因此，这两种说法均正确．探究2 在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则C ＝π2成立吗？反之若C ＝π2，则c 2＝a 2＋b 2成立吗？为什么？【提示】因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0，即cos C ＝0，所以C ＝π2，反之若C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC的形状．【精彩点拨】【自主解答】法一：∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由正、余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ，即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A . ∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A . ∴sin 2B ＝sin 2A .∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．1．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．2．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，应注意角的限制范围．[再练一题]3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解】 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，(其中R 为△ABC 外接圆半径)所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A sin B，所以sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ，所以sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A ＝2.(2)由(1)知sin C sin A ＝2，由正弦定理得c a ＝sin Csin A ＝2，即c ＝2a .又因为△ABC 的周长为5，所以b ＝5－3a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝a 2＋(2a )2－4a 2×14，解得a ＝1或a ＝5(舍去)，所以b ＝5－3×1＝2.1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°【解析】由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝－12，∴C ＝120°. 【答案】 C2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B .π6 C.π4 D .π12【解析】由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，所以C ＝π6，故选B. 【答案】 B3.在△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．【解析】法一：∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，即b 2＝c 2，b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a ＝2b cos C ，∴sin A ＝2sin B cos C ，而sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴cos B sin C ＝sin B cos C ，即sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0. 又－180°<B －C <180°， ∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 为等腰三角形．【答案】等腰三角形4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，则cos A ＝________.【解析】由B ＝C,2b ＝3a ，可得b ＝c ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a ＝13.【答案】 135．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．【解】 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0， ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)， ∴cos C ＝35. 根据余弦定理， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16，∴c ＝4，即第三边长为4.。

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《余弦定理》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《余弦定理》一、选择题1.△ABC 中，a 2=bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°2.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B<sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形 D．不能确定3.若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A=4sin B=3sin C ，则cos B=( )A. B. C. D.154343151611164.在△ABC 中，B=，AB=，BC=3，则sin A=( )π42A. B. C. D.101010331010555.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A. B. C. D.5183432786.边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°7.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定8.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=2，c=2，cosA=，且b<c ，则332b=( )A. B ．2 C ．2 D ．332二、填空题9.在△ABC 中，若a=2，b ＋c=7，cos B=－，则b=________.1410.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2=ac ，且c=2a ，则cos B=________.11.在△ABC 中，若(a －c)(a ＋c)=b(b ＋c)，则A=________.12.若2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边长，则实数a 的取值范围是________．三、解答题13.在△ABC 中，A ＋C=2B ，a ＋c=8，ac=15，求b.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，c=6，求bccos A ＋accos B ＋abcos C 的值．15.如图所示，△ABC 中，AB=2，cos C=，D 是AC 上一点，且cos ∠DBC=.2775714求∠BDA 的大小．16.已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2＋cos A=0.A 2(1)求内角A 的大小；(2)若a=2，b=2，求c 的值．3答案解析1.答案为：A ；解析：由余弦定理：cos A===>0，∴A<90°.b2＋c2－a22bc b2＋c2－bc 2bc b －c 2＋bc 2bc2.答案为：A ；解析：由正弦定理，a 2＋b 2<c 2，∴<0，即cos C<0，∴C>90°.a2＋b2－c22ab3.答案为：D ；解析：由正弦定理：6a=4b=3c ，∴b=a ，c=2a ，32由余弦定理cos B===.a2＋c2－b22ac a2＋4a2－94a2 2a 211164.答案为：C ；解析：在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos B=2＋9－6=5，∴AC=，5由正弦定理=，解得sin A=.BC sin A AC sin B 310105.答案为：D ；解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α==. 2a 2＋ 2a 2－a22×2a ×2a 786.答案为：B ；解析：设边长为5,7,8的对角分别为A ，B ，C ，则A<B<C.∴cos B==.∴cos(A ＋C)=－cos B=－，∴A ＋C=120°.52＋82－722×5×812127.答案为：A ；解析：设直角三角形的三条边分别为a ，b ，c ，c 为直角边，设同时增加长度k ，则三边长变为a ＋k ，b ＋k ，c ＋k(k>0)，最大角仍为角C ，由余弦定理cos C== a ＋k 2＋ b ＋k 2－ c ＋k 22 a ＋k b ＋k a2＋2ak ＋k2＋b2＋2bk ＋k2－c2－2ck －k22 a ＋k b ＋k=>0，∴新三角形为锐角三角形．2k a ＋b －c ＋k22 a ＋k b ＋k 8.答案为：B ；解析：由余弦定理a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，所以22=b 2＋2－2×b×2×，(23)332即b 2－6b ＋8=0，解得：b=2或b=4，因为b<c ，所以b=2，故选B.9.答案为：4；解析：∵b ＋c=7，∴c=7－b.由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B ，即b 2=4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b=4.(－14)10.答案为：；34解析：因为b 2=ac ，且c=2a ，所以cos B===.a2＋c2－b22ac a2＋4a2－2a22a·2a 3411.答案为：120°；解析：由已知：a 2－c 2=b 2＋bc ，∴b 2＋c 2－a 2=－bc ，∴=－，由余弦定理：cos A=－，∴A=120°.b2＋c2－a22bc 121212.答案为：(2,8)；解析：因为2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，所以Error!，解得a>，此时2a ＋1最大，要使2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，还需a ＋2a －1>2a 12＋1，解得a>2.设最长边2a ＋1所对的角为θ，则θ>90°，所以cos θ==<0，a2＋ 2a －1 2－ 2a ＋1 22a 2a －1 a a －8 2a 2a －1解得<a<8.综上可知实数a 的取值范围是(2,8)．1213.解：在△ABC 中，由A ＋C=2B ，A ＋B ＋C=180°，知B=60°.a ＋c=8，ac=15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15=0的两根．解得a=5，c=3或a=3，c=5.由余弦定理，得b 2=a 2＋c 2－2accos B=9＋25－2×3×5×=19.12∴b=.1914.解：∵cos A=，∴bccos A=(b 2＋c 2－a 2)．b2＋c2－a22bc 12同理accos B=(a 2＋c 2－b 2)，abcos C=(a 2＋b 2－c 2)．1212∴bccos A ＋accos B ＋abcos C=(a 2＋b 2＋c 2)=.1261215.解：由已知得cos ∠DBC=，cos C=，5714277从而sin ∠DBC=，sin C=，2114217∴cos ∠BDA=cos(∠DBC ＋C)=·－·=，5714277211421712∴∠BDA=60°.16.解：(1)∵cos A=2cos 2－1，A 2又2cos 2＋cos A=0，A 2∴2cos A ＋1=0，∴cos A=－，12∴A=120°.(2)由余弦定理知a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，又a=2，b=2，cos A=－.312∴(2)2=22＋c 2－2×2×c×(－)，312化简，得c 2＋2c －8=0，解得c=2或c=－4(舍去).。

人教版高中数学必修五课时作业26：1.1.2 余弦定理

1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C 等于( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．45°或135°3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－196．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________. 7．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________. 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3. (1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b .参考答案1．【解析】由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．【答案】B2．【解析】由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 【答案】A3．【解析】由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°. 【答案】D4．【解析】由b 2＝ac 及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．【答案】B5．【解析】由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】D6．【解析】由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 【答案】237．【解析】c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17.【答案】－178．【解析】由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.【答案】5π69．【解析】由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3.【答案】2π310．解：由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．解：(1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3. 12．解：(1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)，n ＝(cos C 2，－sin C2)，∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C .又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12，∴cos C ＝12.又0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.。

2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：1.1.2 余弦定理 Word版含解析

1．1.2余弦定理[目标] 1.了解向量法推导余弦定理的过程；2.能利用余弦定理求三角形中的边角问题；3.能利用正、余弦定理解决综合问题．[重点] 能利用余弦定理求三角形中的边角问题．[难点] 余弦定理的推导及能利用正、余弦定理解决综合问题．知识点一余弦定理[填一填][答一答]1．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2<b2＋c2，能否说△ABC分别是直角三角形，钝角三角形，锐角三角形？提示：若a2＝b2＋c2，则△ABC是直角三角形；若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；若a2<b2＋c2，则△ABC不一定是锐角三角形，因为a不一定是最大边．2．已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．知识点二余弦定理及其推论的应用[填一填]余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另一类是已知三边解三角形．[答一答]3．在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，能否用余弦定理解该三角形？提示：能用余弦定理解．设另一边为x，由余弦定理列出方程求解．4．余弦定理推论的作用有什么？提示：余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．类型一已知三角形三边解三角形[例1]已知△ABC中，a b c＝26(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．[分析]根据三边比例关系设出三边，然后用余弦定理推论求出两个内角，再用三角形内角和定理求出第三个内角． [解] ∵a b c ＝26(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)．由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝6＋(3＋1)2－42×6×(3＋1)＝22，∴A ＝45°， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12， ∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.[变式训练1] (1)在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为( C )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为14.解析：已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4.又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4，则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边，故A＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)，即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14.又b ＝a －4>0，所以a ＝14，即此三角形的最大边长为14.类型二已知三角形两边及一角解三角形[例2] (1)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝23，A ＝30°，求a ；(2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a .[分析] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．[解] (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋(23)2－2×3×23cos30°＝3，所以a ＝ 3.(2)解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A ＝a sinB b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.解法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin30°＝33×12＝332，知本题有两解．由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．[变式训练2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝4.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理知：3a ＝2b .又因为a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4.类型三判断三角形的形状[例3] 在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且sin C ＝2cos A sin B ，试判断△ABC 的形状．[分析] 判断三角形的形状时，一般有两种思路：一种是考虑三角形的三边关系；另一种是考虑三角形的内角关系．当然有时可将边和角巧妙结合，同时考虑．[解] 方法一：利用边的关系来判断．由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a ＝b .又(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c .综上，a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二：利用角的关系来判断．∵△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )，又2cos A sin B ＝sin C ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0，又∵－180°<A －B <180°，∴A －B ＝0°.即A ＝B .又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴由余弦定理知2ab cos C ＝ab ，∴cos C ＝12.∴C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线：(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.[变式训练3] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，b ＝3c ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .又因为cos A ＝13，b ＝3c ，所以a 2＝b 2＋c 2－2×3c ×c ×13＝b 2－c 2. 所以a 2＋c 2＝b 2，所以B ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．1．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( C )A ．4B ．8C ．4或8D ．无解解析：由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( C )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝2.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，则最大的角是120°. 解析：∵a >c >b ，∴A 为最大角．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°<A <180°，∴A ＝120°.5．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x－6＝0的根，求第三边c 的长．解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.——本课须掌握的四大方面1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．2．结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．3．揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．4．主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教版高中数学必修五课时作业18：第2课时余弦定理的变形及应用

第2课时余弦定理的变形及应用一、选择题1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形考点判断三角形形状题点利用余弦定理判断三角形形状答案 B解析设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形.2.在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a 等于() A.2 B.12 C.1 D.13考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 C解析由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a ＝14，得a ＝1.3.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定考点判断三角形形状题点利用余弦定理判断三角形形状答案 A解析设直角三角形的三边为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴此时新三角形的最大角为锐角.故新三角形是锐角三角形.4.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为() A.13 B.－23 C.14 D.－14考点余弦定理及其变形应用题点已知三边之比或三角正弦之比，求角答案 A解析由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3及正弦定理，可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.不妨设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k ＞0)，则cos C ＝(3k )2＋(2k )2－(3k )22×3k ×2k ＝13.5.在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A.锐角B.钝角C.直角D.不确定考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角.6.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 A解析由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 7.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2等于( )A.0B.－1C.1D.2考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 A解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴原式等于0.8.已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( )A.120°B.90°C.150°D.60°考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 A解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12. ∵0°<C <180°，∴C ＝120°.故选A.二、填空题9.在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .考点用正弦、余弦定理解三角形题点用正弦、余弦定理解三角形答案 30°解析由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .则角B ＝ .考点用正弦、余弦定理解三角形题点用正弦、余弦定理解三角形答案 45°解析由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°. 11.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝ . 考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案 4解析在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7，知b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0.所以b ＝4.三、解答题12.在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 考点正弦、余弦定理证明恒等式题点正弦、余弦定理证明恒等式证明因为右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C＝sin A sin C ×cos B －sin B sin C×cos A ＝a c ×a 2＋c 2－b 22ac －b c ×b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边. 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 13.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin B －sin A sin C ＝3a ＋c a ＋b，求角B . 考点用正弦、余弦定理解三角形题点用正弦、余弦定理解三角形解由sin B －sin A sin C ＝3a ＋c a ＋b 及正弦定理知b －a c ＝3a ＋c a ＋b ，整理得b 2－a 2＝3ac ＋c 2，即b 2＝a 2＋c 2＋3ac ，根据余弦定理可知cos B ＝－32，又B ∈(0，π)，所以B ＝5π6. 四、探究与拓展14.已知三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为 .考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 120°解析易知a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，又∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状.考点判断三角形形状题点利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形.。

2017-2018学年高二数学人教A版必修5课件：1-1-2 余弦

探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法一由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30°, ∴a2-9a+18=0,解得 a=3 或 6.当 a=3 时,A=30°,
∴C=120°.当 a=6 时,由正弦定理,得 sin A= A=90°,∴C=60°.
b 2 +c 2 -a 2 2bc c 2 +a 2 -b 2
, ,
cos C=
2ac a 2 +b 2 -c 2 2ab
做一做1 在△ABC中,AB=1,BC三角形的两边及其夹角,故可以直接利用余弦定理求得边 AC,即 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+4-2×1×2×2=3, 所以 AC= 3. 答案: 3
6+( 3+1)2 -4 = 2× 6× ( 3+1) �� +��2 -��2 cos A= 2��
2
=
2
2 ,∴A=45°. 2 4+( 3+1)2 -6 2×2× ( 3+1)
cos
��2 +��2 -�� B= 2��
.
5π
解析: 由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos =
6 1+3-7 2 3
=- 2 .∵0<B<π,∴B= 6 .
3
答案:
5π
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.( ) (2)在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形, 但不能用余弦定理去解.( ) 9 (3)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A= ,则 b=6. ( ) 16 (4)在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×