2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件：专题3 数 列 第1讲

an a1 故数列 n 是首项为 1 ＝1，公差为
1 的等差数列，
an 所以 n ＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
1 1 1 1 1 1 1 1 (3)证明 a ＋a ＋a ＋…＋a ＝1＋4＋32＋42＋…＋n2 n 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 <1 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 1 ＋ ＋ 2－3 ＋ 4 2×3 3×4 4 n（n－1）
(2)解
由(1)可知
1 1n－1 1n ， cn＝－2· ＝－ 2 2
1n ∴an＝cn＋1＝1－2 .
∴当 n≥2
1n 1n－1 时，bn＝an－an－1＝1－2 －1－2
1n－1 1n 1n ＝2 －2 ＝2 . 1n 1 又 b1＝a1＝ 代入上式也符合，∴bn＝2 . 2
解析
)
1 1 B.1 C. D. 2 8 由{an}为等比数列，得 a3a5＝a2 4，
所以 a2 4＝4(a4－1)，解得 a4＝2，设等比数列{an}的公比为 q， 1 3 1 则 a4＝a1q ，得 2＝4q ，解得 q＝2，所以 a2＝a1q＝2.选 C.
3
答案 C
4.(2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 在数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ， an ＋ 1 ＝ 2an ， Sn 为 {an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.
பைடு நூலகம்
(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式. (4)累加法：在已知数列{an}中，满足 an＋1＝an＋f(n)，把原递推 公式转化为 an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.
(5)叠乘法：在已知数列{an}中，满足 an＋1＝f(n)an，把原递推 an＋1 公式转化为 a ＝f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解. n (6)构造等比数列法： 在已知数列{an}中， 满足 an＋1＝pan＋q(其 中 p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)先用待定系数法把原递推公 q 式转化为 an＋1－t＝p(an－t)，其中 t＝ ，再利用换元法转 1－p 化为等比数列求解.
－
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列.
3.求通项公式的常见类型 (1)观察法： 利用递推关系写出前几项， 根据前几项的特点观 察、归纳、猜想出 an 的表达式，然后用适当方法证明. (2)利用前 n 项和与通项的关系
S1 an＝ Sn－Sn－1
（n＝1）， （n≥2）.
比数列.
【训练1】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝ λSn－1，其中λ为常数. (1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.
(1)证明 由题设，anan＋1＝λSn－1，① 知 an＋1an＋2＝λSn＋1－1，② ②－①得：an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. ∵an＋1≠0，∴an＋2－an＝λ.
【例 2－2】 在数列{an}中， (1)若 a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项 an＝________； (2)若 a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项 an＝________； n－1 (3)若 a1＝1，an＝ n an－1(n≥2).则通项 an＝________.
解析
(1)由题意得，当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)
－ －
当 n＝1 时也成立，所以 an＝3×2n－1－2.
探究提高
给出 Sn 与 an 的递推关系求 an ，常用思路是：
一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求 其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之 间的关系，再求an.
[微题型2] 已知an与an＋1的递推关系式求an
解析 由 an＋1＝2an 知，数列{an}是以 a1＝2 为首项，公比 q 2（1－2n） ＝2 的等比数列，由 Sn＝ ＝126，解得 n＝6. 1－2
答案 6
考点整合
1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d， n（a1＋an） n（n－1） (2)求和公式：Sn＝ ＝na1＋ d， 2 2 (3)性质：①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.
1 2 (1)解 2S1＝a2－ －1－ ，又 S1＝a1＝1，所以 a2＝4. 3 3 1 3 2 2 (2)解 当 n≥2 时，2Sn＝nan＋1－3n －n －3n，
1 2 3 2 2Sn－1＝(n－1)an－ (n－1) －(n－1) － (n－1)， 3 3 1 2 两式相减得 2an＝nan＋1－(n－1)an－ (3n －3n＋1)－ 3 2 (2n－1)－3，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)， an＋1 an a2 a 1 即 － ＝1，又 2 － 1 ＝1， n＋ 1 n
热点二 求数列的通项 [微题型1] 由Sn与an的关系求an
【例 2－1】 (2016· 玉溪模拟)设数列 {an}的前n 项和为 Sn ，数列 {Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)令 n＝1 时，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2 时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则 Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－ [2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.
（n－1）（2＋n） ＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋ 2 n（n＋1） 1×（1＋1） ＝ ＋1.又 a1＝2＝ ＋1，符合上式， 2 2 n（n＋1） 因此 an＝ ＋1. 2
an＋1＋1 (2)an＋1＝3an＋2，即 an＋1＋1＝3(an＋1)，即 ＝3， an＋1 法一 a2＋1 a3＋1 a4＋1 an＋1＋1 ＝3， ＝3， ＝3，…， ＝3.将 a1＋1 a2＋1 a3＋1 an＋1
【训练 2】 (2016· 义乌 4 月模拟)设数列{an}的前 n 项和 2Sn 1 2 2 为 Sn，已知 a1＝1， n ＝an＋1－3n －n－3，n∈N*. (1)求 a2 的值； (2)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 7 (3)证明：对一切正整数 n，有a ＋a ＋…＋a <4. n 1 2
探究提高
判断和证明数列是等差(比)数列的二种方法
an＋1 an＋1－an 或 an
(1)定义法：对于 n≥1 的任意自然数，验证 为同一常数.
(2)中项公式法： ①若 2an＝an－1＋an＋1(n∈N*， n≥2)， 则{an}
* 为等差数列；②若 a2 ＝ a · a ( n ∈ N ，n≥2)，则{an}为等 n n－1 n＋1
第1讲
等差数列、等比数列的基本问题
高考定位
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热
点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常
在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.
真题感悟
1.(2015· 全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3 ＋a5＝3，则S5＝( )
A.5
以上(n－1)个式子相乘得 1 2 n－1 a1 1 an＝a1··· …· n ＝ n ＝n. 23
n（n＋1） 1 n－1 答案 (1) ＋1 (2)2×3 －1 (3)n 2
探究提高
(1)形如 bn＋1－bn＝f(n)，其中 f(n)＝k 或多项式(一
般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式； (2)形如 an＋1＝an· f(n)，可用累乘法； (3)形如 an＋1＝pan＋q(p≠1， q≠0)， 可构造一个新的等比数列； (4)形如 an＋1＝qan＋qn(q 为常数，且 q≠0，q≠± 1)，解决方法 是在递推公式两边同除以 qn＋1.
解析
B.7
C.9
D.11
∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得 a3＝1， 5（a1＋a5） ∴S5＝ ＝5a3＝5.故选 A. 2
答案 A
2.(2015· 全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为 1 的等差数列， Sn 为{an} 的前 n 项和.若 S8＝4S4，则 a10＝( 17 A. 2
2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn 1(q≠0)；
－
a1（1－qn） (2) 求和公式： q ＝ 1 ， Sn ＝ na1 ； q≠1 ， Sn ＝ ＝ 1－q a1－anq ； 1－q (3)性质：①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am· an ＝ap· aq； ②an＝am· qn m；
热点一 等差、等比数列的判定与证明
【例1】 (2016· 湖北八校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，数
列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明
∵an＋Sn＝n，①
解析
) D.12
19 B. 2
C.10
由 S8＝4S4 知，a5＋a6＋a7＋a8＝3(a1＋a2＋a3＋
1 1 19 a4)，又 d＝1，∴a1＝2，a10＝2＋9×1＝ 2 .
答案 B
1 3.(2015· 全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足 a1＝4，a3a5＝4(a4－ 1)，则 a2＝( A.2
当 n≥2 时，an＋1＝3(an－1＋1)， ∴an＋1＝3(an－1＋1)＝32(an－2＋1)＝33(an－3＋1)＝…＝ 3n－1(a1＋1)＝2×3n－1， ∴an＝2×3n－1－1；