2019版一轮优化探究文数练习：第六章第三节等比数列及其前n项和含解析

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【备战高考】2019年高考数学一轮复习第6章第3节《等比数列及其前n项和》

备战高考2019年高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n 项和考试要求：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .二、双基自测训练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案 27,81解析设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．答案－12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12.5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案－11解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．答案 48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).考点突破，深度剖析考点一等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A.－2 B.－1 C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练2】 (1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A.－ 3B.－1C.－33D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析 (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. (2)法一由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)A (2)73考点三等比数列的判定与证明【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.【训练3】 (2017·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.思想方法分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n (n ∈N *)．[3分] (2)证明由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]自我检测，夯实智能一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A.2B.4C. 2D.2 2解析在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q6＝218，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D. 4．(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.5．(2017·张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，则a 10－a 12a 6－a 8＝q 4＝4. 6.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B7.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，则8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A8.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2解析根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B9.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n －1).答案 B二、填空题10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．答案 4解析因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.11.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5.答案 512．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________．答案 2n －1解析设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的前n 项和为1－2n1－2＝2n －1.13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 答案 12n14.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0， ∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列， ∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022. 答案 1 02215.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2. 答案 a n ＝n （n ＋1）2三、解答题16.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ，∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.17.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.18.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n, ②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾.故数列{a n ＋1}不是等比数列.19．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。

高考数学大一轮复习第六章数列《等比数列及其前n项和》练习理含解析

第3讲等比数列及其前n 项和[基础题组练]1．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C.当q ＝1时，a n ＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A.由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 35解析：选B.由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10.4．(一题多解)(2019·湖北武汉联考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：选D.法一：设数列{a n }的公比为q ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解析：选B.设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n，所以n ＝12.6．(2019·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________．解析：设{a n }的公比为q (q >0)，因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16[1－（12）5]1－12＝31.答案：317．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：188．(2019·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：29．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.10．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.[综合题组练]1．(创新型)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3，故选B.2．(应用型)(2019·河南濮阳模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q 等于( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选C.{b n }有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且b n ＝a n ＋1.a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．因为{a n }是等比数列，等比数列中有负数项，则q <0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24，36，－54，81是{a n }中连续的四项．q ＝－32或q ＝－23(因为|q |>1，所以此种情况应舍)，所以q ＝－32.故选C.3．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q＝42，解得q ＝4. 由a n ＝a 1qn －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3. 答案：34．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－25．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列． (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.6．(应用型)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解：(1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，所以b 1＝a 1＋a 2＝32.所以{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。

2019版一轮文数北师大版练习：第六章第三节等比数列

课时规范练 A 组基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B. 答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D. 答案：D4．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q 2＝1，故选A.答案：A5．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：因为a 1＝1，公比q ＝23，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫23n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝3－2⎝⎛⎭⎫23n －1＝3－2a n ，故选D. 答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{ a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋...＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋ (3)－2＝1－3n －11－3，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋129．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ＜32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.B 组能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时， a 1＝a 2＝a 3＝9， ∴S 3＝3×9＝27.当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q ，∴27＝a 1－9q 1－q ，∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2， ∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2. 答案：D3．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D ．不存在解析：∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21，∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ⎣⎡⎦⎤16(m ＋n ) ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等号)， ∴1m ＋4n 的最小值是32. 答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4(14×q 3－1)，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3 S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由已知S n ＋a 1＝2a n ，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1), 解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，则a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：347．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n .解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1)＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1.。

2019版高考数学理科课标版一轮复习题组训练：第6章第3讲等比数列及其前n项和含解析精品

第三讲等比数列及其前n项和题组1等比数列及其前n项和1.[2015新课标全国Ⅱ,4,5分][理]已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.842.[2013新课标全国Ⅱ,3,5分][理]等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A. B.- C. D.-3.[2017 江苏,9,5分][理]等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.4.[2015新课标全国Ⅰ,13,5分]在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n=.5.[2013辽宁,14,5分][理]已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.6.[2017 山东,19, 12分][理]已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(Ⅰ)求数列{x n}的通项公式;(Ⅱ)如图6-3-1,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.图6-3-17.[2016全国卷Ⅲ,17,12分][理]已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(Ⅰ)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若S5=,求λ.题组2等比数列的性质8.[2014重庆,2,5分][理]对任意等比数列{a n},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列9.[2014广东,13,5分][理]若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+lna2+…+ln a20=.10.[2016天津,18,13分]已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且-=,S6=63.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.A组基础题1.[2018河北衡水中学二调,3]设正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4=() A.63或120 B.256 C.120 D.63的值为() 2.[2018益阳市、湘潭市高三调研,4]已知等比数列{a n}中,a5=3,a4a7=45,则--A.3B.5C.9D.253.[2018洛阳市尖子生高三第一次联考,7]在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,则的值为()A.-B.-C.D.-或4.[2017吉林省部分学校高三仿真考试,7][数学文化题]《张丘建算经》中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.问日行几何?”意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少?”则该匹马第一天走的里数为()A. B. C. D.5.[2018广州市高三调研测试,14]在各项都为正数的等比数列{a n}中,若a2 018=,则+的最小值为.6.[2018惠州市一调,15]已知等比数列{a n}的公比为正数,且a3a9= 2,a2= 1,则a1=.7.[2017昆明市高三适应性检测,17]数列{a n}满足a1=-1,a n+1+2a n=3.(1)证明{a n-1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)已知符号函数sgn(x)=,,,,-,,设b n=a n·sgn(a n),求数列{b n}的前100项和.B组提升题8.[2018石家庄市重点高中摸底考试,9]已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=7,S6=63,则数列{na n}的前n项和为()A.-3+(n+1)×2nB.3+(n+1)×2nC.1+(n+1)×2 nD.1+(n-1)×2n9.[2017重庆市名校联盟二诊,10分]设T n为等比数列{a n}的前n项之积,且a1=-6,a4=-,则当T n最大时,n的值为()A.4B.6C.8D.1010.[2017天星第二次大联考,7]已知数列{a n}的前n项和为S n,若4nS n-(6n-3)a n=3n,则下列说法正确的是()A.数列{a n}是以3为首项的等比数列B.数列{a n}的通项公式为a n=C.数列{}是等比数列,且公比为3D.数列{}是等比数列,且公比为11.[2017郑州市第三次质量预测,8]已知等比数列{a n},且a6+a8=-d x,则a8(a4+2a6+a8)的值为()A.π2B.4π2C.8π2D.16π212.[2017太原市高三三模,9]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n +3)(n ∈N *)在函数y=3×2x 的图象上,等比数列{b n }满足b n +b n+1=a n (n ∈N *),其前n 项和为T n ,则下列结论正确的是 ( ) A.S n =2T n B.T n =2b n +1 C.T n >a n D.T n <b n+113.[2018河北省“五个一名校联盟”高三第二次考试,17]已知数列{a n }是等差数列,a 2=6,前n 项和为S n ,数列{b n }是等比数列,b 2=2,a 1b 3=12,S 3+b 1=19. (1)求{a n },{b n }的通项公式;(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .答案1.B 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1(1+q 2+q 4)=21,又a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,所以q 2=2(q 2=-3舍去),所以a 3=6,a 5=12,a 7=24,所以a 3+a 5+a 7=42.故选B . 2.C 由题知q ≠1,所以S 3=- ) -=a 1q+10a 1,解得q 2=9,又a 5=a 1q 4=9,则a 1=,故选C .3.32 设等比数列{a n }的公比为q ,由S 6≠2S 3得q ≠1,则S 3= - ) -= ,S 6= - ) -= ,解得q=2,a 1=,则a 8=a 1q 7=×27=32.4.6 因为a 1=2,a n+1=2a n ,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,因为S n =126,所以- -=126,解得2n+1=128,所以n=6.5.63 因为a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,且数列是递增数列,所以a 1=1,a 3=4,所以q=2,代入等比数列的求和公式得S 6=- -=63.6.(Ⅰ)设数列{x n }的公比为q ,由已知知q>0. 由题意得 , - .所以3q 2-5q-2=0. 因为q>0,所以q=2,x 1=1,因此数列{x n}的通项公式为x n=2n-1.(Ⅱ)过P1,P2,…,P n+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Q n+1.由(Ⅰ)得x n+1-x n=2n-2n-1=2n-1,记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n,由题意得b n=)×2n-1=(2n+1)×2n-2,所以T n=b1+b2+…+b n=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2①,则2T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1②,①-②,得-T n=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=+--)--(2n+1)×2n-1,所以T n=-).7.(Ⅰ)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=-,a1≠0.由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,即a n+1(λ-1)=λa n.由a1≠0,λ≠0且λ≠1得a n≠0,所以=-.所以{a n}是首项为-,公比为-的等比数列,故a n=-(-)n-1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n=1-(-)n.由S5=得1-(-)5=,即(-)5=,解得λ=-1.8.D由等比数列的性质,得a3·a9=≠0,因此a3,a6,a9一定成等比数列,选D.9.50由等比数列的性质可知a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11=e5,于是a1a2…a20=(e5)10=e50,ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln e50=50.10.(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q.由已知,得-=,解得q=2或q=-1.又由S6=a1·--=63,知q≠-1,所以a1·--=63,得a1=1.所以a n=2n-1.(Ⅱ)由题意,得b n=(log2a n+log2a n+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{b n}是首项为,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n}的前n项和为T n,则T2n=(-+)+(-+)+…+(--+)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=)=2n2.A组基础题1.C由题意得,,解得,或,.又<1,所以数列{a n}为递减数列,故,.设等比数列{a n}的公比为q,则q2==,因为数列为正项等比数列,所以q=,从而a1=64,所以S4=-)-=120.选C.2.D设等比数列{a n}的公比为q,则a4a7=·a5q2=9q=45,所以q=5,所以--=--=q2=25.故选D.3.B设等比数列{a n}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15==2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,则a9=-,所以==a9=-,故选B.4.B由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{a n},且公比q=,S7=700,由等比数列的求和公式得S n=-)-=700,解得a1=,故选B.5.4设公比为q(q>0),因为a2 018=,所以a2 017==,a2 019=a2 018q=q,则有+=q+=q+≥2·=4,当且仅当q2=2,即q=时取等号,故所求最小值为4.6.∵a3a9=,∴=2,设等比数列{a n}的公比为q,∴q2=2,由于q>0,解得q=,∴a1==.7.(1)因为a n+1=-2a n+3,a1=-1,所以a n+1-1=-2(a n-1),a1-1=-2,所以数列{a n-1}是首项为-2,公比为-2的等比数列.故a n-1=(-2)n,即a n=(-2)n+1.(2)b n=a n·sgn(a n)=,为偶数, -,为奇数,设数列{b n}的前n项和为S n,则S100=(2-1)+(22+1)+(23-1)+…+(299-1)+(2100+1)=2+22+23+…+2100=2101-2. B组提升题8.D设等比数列{a n}的公比为q,∵S3=7,S6=63,∴q≠1,∴-)-,-)-,解得,,∴a n=2n-1,∴na n=n·2n-1,设数列{na n}的前n项和为T n,∴T n=1+2·2+3·22+4·23+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1, 2T n=2+2·22+3·23+4·24+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减得-T n=1+2+22+23+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)2n-1,∴T n=1+(n-1)×2n,故选D.9.A设等比数列{a n}的公比为q,∵a1=-6,a4=-,∴-=-6q3,解得q=,∴a n=-6×()n-1.∴T n=(-6)n×()0+1+2+…+(n-1)=(-6)n×()-),当n为奇数时,T n<0,当n为偶数时,T n>0,故当n为偶数时,T n才有可能取得最大值.∵T2k=36k×()k(2k-1),∴=)) ))-)=36×()4k+1,当k=1时,=>1;当k≥2时,<1.∴T2<T4,T4>T6>T8>…,则当T n最大时,n的值为4.10.C解法一由4nS n-(6n-3)a n=3n,可得4S n=-)=3+(6-)a n①,当n=1时,4S1-(6-3)a1=3,解得a1=3,当n≥2时,4S n-1=3+(6--)a n-1②,由①-②得,4a n=(6-)a n-(6--)a n-1,整理得-a n=--a n-1,即=3×--,故数列{}是等比数列,且公比为3,选C.解法二当n=1时,4S1-(6-3)a1=3,解得a1=3,当n=2时,8(a1+a2)-(6×2-3)a2=3×2,解得a2=18,当n=3时,12(a1+a2+a3)-(6×3-3)a3=3×3,解得a3=81,B错误;又==6,==,故A错误;=3,==9,==27,故D错误,选C.11.D因为a6+a8=-d x=×π×42=4π,所以a8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a6a8+=+2a6a8+=)=16π2,故选D.12.D因为点(n,S n+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,所以S n=3·2n-3,所以S n-1=3·2n-1-3,两式相减得a n=3·2n-1,所以b n+b n+1=3·2n-1,因为数列{b n}为等比数列,设公比为q,则b1+b1q=3,b2+b2q=6,解得b1=1,q=2,所以b n=2n-1,T n=2n-1,所以T n<b n+1,故选D.13.(1)∵数列{a n}是等差数列,a2=6,∴S3+b1=3a2+b1=18+b1=19,∴b1=1,∵b2=2,数列{b n}是等比数列,∴b n=2n-1.∴b3=4,∵a1b3=12,∴a1=3,∵a2=6,数列{a n}是等差数列,∴a n=3n.(2)设C n=b n cos(a nπ),由(1)得C n=b n cos(a nπ)=(-1)n2n-1,则C n+1=(-1)n+12n,∴=-2,又C1=-1,∴数列{b n cos(a nπ)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列.=[(-2)n-1].∴T n=---)--)。

2019届高考数学一轮必备考情分析学案：6.3《等比数列及其前n项和》(含解析)

6.3等比数列及其前n 项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查基础知识1、等比数列的判定：（1）定义法：*1()n na q q n N a +=∈为非零常数，（2）等比中项法：2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且（3）通项公式法：*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数，（4）1()1n n a S kq k k q=-=≠≠-是常数且q 0且q 1 （5）若{},{}n n a b 均为等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n nka k a ma b a a ≠；；；公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---，相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比；由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比2、等比数列的性质[:（1）通项公式：①11n n a a q -=②n m n ma q a -= （2）前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a =（4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成,,a a aq q ，若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ，方便计算注意事项1.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q)S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1－q n 1－q (q≠1)．2.(1)由a n ＋1＝qa n ，q≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．3.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q(q 为非零常数)或a n a n －1＝q(q 为非零常数且n≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．题型一等比数列基本量的计算【例1】设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求a 2的值；(2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1<a n (n ∈N *)，试求S n 的表达式．解：(1)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝7，1＋＋3＋2＝3a 2. ∴a 2＝2.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q. 又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝12，q 2＝2(舍去，a n ＋1<a n (n ∈N *))． ∵q ＝12，∴a 1＝4. 故数列{a n }的前n 项和S n ＝8－23－n (n ∈N *)．【变式1】等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．解 (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，又a 1＋a 6＝11，故a 1，a 6看作方程x 2－11x ＋329＝0的两根，又q ∈(0,1)∴a 1＝323，a 6＝13， ∴q 5＝a 6a 1＝132，∴q ＝12， ∴a n ＝323·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －6. (2)由(1)知S n ＝643⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝21，解得n ＝6. 题型二等比数列的判定或证明【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.当n≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．【变式2】设d 为非零实数，a n ＝1n[C 1n d ＋2C 2n d 2＋…＋(n －1)C n －1n d n －1＋nC n n d n ](n ∈N *)． (1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d(1＋d)，a 3＝d(1＋d)2.当n≥2，k≥1时，k nC k n ＝C k －1n －1，因此 a n ＝∑n k ＝1k n C k n d k ＝∑n k ＝1C k －1n －1d k ＝d ∑n －1k ＝0C k n －1d k ＝d(d ＋1)n －1. 由此可见，当d≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列；当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n≥2)，此时{a n }不是等比数列．(2)由(1)可知，a n ＝d(d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1 S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －2＋n(d ＋1)n －1]．①当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d≠－1时，①式两边同乘d ＋1得 (d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n(d ＋1)n ]．② ①，②式相减可得－dS n ＝d 2[1＋(d ＋1)＋(d ＋1)2＋…＋(d ＋1)n －1－n(d ＋1)n] ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋n －1d －＋n .[:数理化] 化简即得S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.综上，S n ＝(d ＋1)n(nd －1)＋1.题型三等比数列的性质及应用【例3】已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a(a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知(1a 2)2＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋3d)，从而a 1d ＝d 2，因为d≠0，所以d ＝a 1＝a.故通项公式a n ＝na.(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a (12＋122＋…＋12n )＝1a ·12[1－12n ]1－12＝1a [1－(12)n ]．从而，当a>0时，T n <1a 1；当a<0时，T n >1a 1. 【变式3】在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________. 解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q|＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.[:数理化]答案－2 2n －1－12重难点突破【例4】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[: [解析] (1)解设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d.依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d.依题意，由(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)证明数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n－2所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．巩固提高1. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则a 5＝( )A. 1B. 2C. 4D. 8答案：A解析：∵a 2a 12＝16，∴a 27＝16，∴a 7＝4＝a 5×22，∴a 5＝1.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12B. －12C. 1D. －1或12答案：A解析：设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92.两式相除得1＋q ＋q2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12.3.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为() A. 33 B. 72C. 84D. 189答案：C[: 解析：由题意可知该等比数列的公比q≠1，故可由S 3＝－q 31－q ＝21，得q 3－7q ＋6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．所以a 3＋a 4＋a 5＝3×(22＋23＋24)＝84，故选C.4.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A. 64B. 32C. 16D. 8 答案：B解析：∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2. ∵a 1＝1.∴a 1，a 3，a 5，a 7，a 9构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a 9＝16. 又a 10·a 9＝29，∴a 10＝25＝32.5.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A. 334B. 314C.172 D. 152 答案：B解析：依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q>0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有(1q ＋3)(1q－2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝41－1251－12＝314，选B.。

2019届高考数学一轮复习夯基提能作业：第六章数列第三节等比数列及其前n项和

5-1
5+1 3 - 5
3+ 5
A. 2
B. 2 C. 2
D. 2
6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6= .
7.(2017 东北四市模拟)等比数列{an}的各项均为正数,Sn 是其前 n 项和,且满足 2S3=8a1+3a2,a4=16,则
S4= .
{ }1
(2)证明: �� + 1 - 2�� 为等比数列.
答案精解精析
A 组基础题组
��3 1.A 因为数列{an}是等比数列,所以 a2a3a4=��33=8,所以 a3=2,所以 a7=a3q4=2q4=8,所以 q2=2,则 a1=��2=1,
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2018 云南昆明质检)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.
35 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*.已知 a1=1,a2=2,a3=4,且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4 的值;
由 an=a1qn-1=2×4n-1=32,解得 n=3,故选 A.
3. 解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 ��4 - ��1 12 - 3
d= 3 = 3 =3.
所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得

2019版文科数学一轮复习高考帮全国版试题：第6章第3讲等比数列及其前n项和习思用-数学文含解析精品

第三讲等比数列及其前n项和考点1等比数列1.已知数列{a n}是等比数列,且a1=,a4=-1,则{a n}的公比q为()A.2B.-C.-2D.2.已知数列{a n}为等比数列,a5=1,a9=81,则a7=()A.9或-9B.9C.27或-27D.273.[2017成都市三诊]在等比数列{a n}中,a1=2,公比q=2.若a m=a1a2a3a4(m∈N*),则m=()A.11B.10C.9D.84.设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.[2017银川一中一模]在等比数列{a n}中,若a1=,a4=3,则该数列前5项的积为()A.±3B.3C.±1D.16.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5=.考点2等比数列的前n项和7.[2018辽宁大连八中模拟]若记等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=6,则S4=()A.10或8B.-10C.-10或8D.-10或-88.[2018湖北省部分重点中学高三起点考试][数学文化题]《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半;莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:蒲第一天长3尺,以后逐日减半;莞第一天长1尺,以后逐日增加一倍,若蒲、莞长度相等,则所需时间约为()参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,结果精确到0.1.A.2.2天B.2.4天C.2.6天D.2.8天9.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)10.设S n是等比数列{a n}的前n项和,若=3,则=()A.2B.C.D.1或2考点3等比数列的性质11.已知在各项均为正数的等比数列{a n}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时,首项a1等于()A.8B.4C.2D.112.等比数列{a n}的公比为q,其前n项的积为T n,并且满足条件:a1>1,a99a100-1>0,-<0.给出-下列结论:①0<q<1;②a99a101-1<0;③T100的值是T n中最大的;④使T n>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是.(写出所有正确结论的序号)答案1.C由=q3=-8,得q=-2,故选C.2.B由题意得=a5·a9=81,又=q2>0(其中q为公比),因此a5,a7的符号相同,故a7=9,选B.3.B因为a m=a1a2a3a4=qq2q3=24×26=210=2m,所以m=10,故选B.4.D等比数列-1,-2,-4,…,满足公比q=2>1,但{a n}不是递增数列,充分性不成立.a n=-1×()n-1为递增数列,但q=<1,即必要性不成立,故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选D.5.D因为a1=,a4=3,所以3=×q3(q为公比),解得q=3,所以a1a2a3a4a5==(a1q2)5=(×9)5=1,故选D.6.27设等比数列{a n}的公比为q,则q>0,由题意得-,-,则,,解得负值舍去 ,,所以a4+a5=×33+×34=27.7.C设等比数列的公比为q,由于a1=2,S3=6,所以S3=2+2q+2q2=6,则q2+q-2=0,所以q=1或q=-2.当q=1时,S4=S3+2=8;当q=-2时,S4=S3+a1q3=6+2×(-2)3=-10,选C.8.C设蒲每天的长度构成等比数列{a n},其首项a1=3,公比为,其前n项和为A n.设莞每天的长度构成等比数列{b n},其首项b1=1,公比为2,其前n项和为B n.则A n=--,B n=--.设蒲、莞长度相等时所需时间约为x天,则--=--,化简得2x+=7,计算得出2x=6,2x=1(舍去).所以x==1+≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等.故选C.9.C∵3a n+1+a n=0,∴=-,∴数列{a n}是以-为公比的等比数列,∵a2=-,∴a1=4.由等比数列的求和公式可得,S10=--=3(1-3-10).故选C.10.B∵S n是等比数列{a n}的前n项和,=3,∴----=1+q2=3,∴q2=2,∴=----=--=--=.故选B.11.C在等比数列{a n}中,设公比为q,易知a2a8=a3a7, ∵a2与a8的等比中项为8,∴a2a8=a3a7=64,∴4a3+a7≥232,当且仅当4a3=a7时等号成立,即4a1q2=a1q6,∴4=q4①,又a2a8=64=q8②,∴联立①②可解得=4.又等比数列{a n}各项均为正数,∴a1=2,故选C.12.①②④①由题意知(a99-1)(a100-1)<0,又a1>1,a99a100>1,∴a99>1,0<a100<1,∴q=∈(0,1),∴①正确;②∵a99a101=<a100<1,∴a99a101<1,∴②正确;③T100=T99a100,又0<a100<1,∴T100<T99,∴③错误;④T198=a1a2…a198=(a1a198)(a2a197 ·…· a99a100)=(a99a100)99>1,T199=a1a2…a199=(a1a199)(a2a198 ·…· a99a101)a100<1,∴④正确.。

2019高考数学一轮复习第六章 3-第三节等比数列及其前n项和

考点突破
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∴-Sn+2Sn-1+2=0, 即Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,
∴ Sn 2 =2, Sn1 2
故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.
考点突破
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考点突破
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考点三等比数列的性质
典例3 (1)(2017湖南长沙质检)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a1
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),

1 an

,{ an2
},{an·bn},

an bn

仍是等比数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=⑨ na1 ;
答案 6
解析
由已知得{an}为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得 2(11
2n 2
)
=126,解得2n+1=128,∴n=6.
教材研读栏目索引
5.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 27,81 . 答案 27,81 解析设该数列的公比为q,由题意知, 243=9×q3,得q3=27,所以q=3. 所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.
(2)若S5= 3321 ,求λ.
考点突破
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考点突破
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解析 (1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1= 11 λ ,a1≠0.

高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和配套课时作业理(含解析)新人教A版-新

第3讲等比数列及其前n 项和配套课时作业1．(2019·某某某某模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16答案 B解析因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.2．(2019·某某调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，a 4＝24，则S 6＝( ) A ．93 B ．189 C ．99 D ．195答案 B解析 ∵a 4＝a 1q 3＝3q 3＝24，∴q ＝2，∴S 6＝a 11－q 61－q＝189.故选B.3．已知正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析由等比数列性质可知a 2a 8＝a 4a 6＝6，故a 4，a 6分别是方程x 2－5x ＋6＝0的两根．因为a n ＋1<a n ，所以a 4＝3，a 6＝2，故a 5a 7＝a 4a 6＝32.故选D.4．(2019·某某模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12. a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.5．(2019·某某某某中学调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36答案 B解析由a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，得a 4＝ 2.又a 4＋2a 7＝2×54，所以a 7＝14，又因为a 7＝a 4q 3，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选B.6．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，即q 4＋q 2＋1＝7，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)×q 2＝21×2＝42.故选B.7．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64(n >2)，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析由a 1＋a n ＝34，a 1a n ＝a 3a n －2＝64及{a n }为递增数列，得a 1＝2，a n ＝32＝a 1qn －1，又S n ＝a 11－q n1－q＝42，∴q ＝4，n ＝3.故选A.8．(2019·某某模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B ．73 C ．310 D ．1或2答案 B解析设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.9．(2019·延庆模拟)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C ．n n ＋12D ．n n －12答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋n n －1·22＝n (n ＋1)．故选A.10．(2019·北大附中模拟)若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案 A解析 ∵a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝(a n ＋1－4a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1＝4a n ，∴a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝2a 4，S 4＝4，则S 8的值为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1.因为a 8＝2a 4，S 4＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 7a 1q 3＝2，a 11－q 41－q＝4，解得q 4＝2，a 1＝－4(1－q )，所以S 8＝a 11－q 81－q＝－41－q 1－221－q＝12.故选D.12．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12答案 A解析因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2.由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.故选A.13．(2019·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×1－331－3＝66.14．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析由3S 1,2S 2，S 3成等差数列可得4S 2＝3S 1＋S 3，所以3(S 2－S 1)＝S 3－S 2，即3a 2＝a 3，a 3a 2＝3.所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. 15．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 2n解析 ∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q ，∴a n ＝q n.∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q ，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a n ＝2n.16．(2019·启东模拟)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________．答案 5解析设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝q n －3，∴不等式的左端＝q －21－q n1－q－q 21－q －n 1－q －1＝1－q n1－q q2·(1－q 5－n)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17．(2018·高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e an . 解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为ea 1＝eln 2＝2，eane a n －1＝e an －an －1＝eln 2＝2，所以{e an }是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea 1＋ea 2＋…＋e an ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设＝b n4n 2－12n，求数列{}的前n 项和S n .解 (1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n ＝2a n ＋1－a na n ＋1－a n＝2，又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为＝b n4n 2－12n，所以＝122n ＋12n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n4n ＋2.19．(2019·某某省实验中学模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2＝2a 2－2，①S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2，代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n.20．(2019·正定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值．解 (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3.②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．因为a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13，所以a 2a 1＝13.所以数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列．所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由(1)知S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由题意，可知对于任意n ∈N *，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 成立．因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 中的最小项为23，所以k ≤32×23＝1，故实数k 的最大值为1.。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习第六章第三节等比数列及其前n项和 Word版含解析

一、填空题．设等比数列{}的公比＝，前项和为，则＝.解析：＝＝，＝.∴＝.答案：．在等比数列{}中，＝，前项和为，若数列{＋}也是等比数列，则等于．解析：由已知可设公比为，则(＋)＝(＋)(＋)，∴(＋)＝(＋)．∴－＋＝.∴＝，∴＝.∴＝.答案：．设等比数列{}的前项和为，若＝，则＝.解析：由等比数列的性质：，－，－仍成等比数列，于是由＝，可推出－＝，＝，∴＝.答案：．已知{}是首项为的等比数列，是{}的前项和，且＝，则数列{}的前项和为．解析：由题意易知≠，则＝，解得＝，数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得＝.答案：．已知{}是等比数列，＝，＝，则＋＋…＋＋(∈*)的取值范围是．解析：设公比为，则＝＝，∴＝，＝，故数列{·}是首项为，公比为的等比数列，＋∴＋＋…＋＋＝＝[－()]，∵≤－()<，∴≤[－()]<.答案：[，)．在等比数列{}中，为其前项和，已知＝＋，＝＋，则此数列的公比为．解析：由已知＝＋，＝＋，两式相减得－＝，即＝，所以＝.答案：．在等比数列{}中，公比＝，前项的和＝，则＋＋＋…＋＝.解析：∵＝，即(－)＝.＋＋＋…＋＝＝(－)＝×＝.答案：．数列{}满足：＋＝＋，若＝，则＝.＝，故数列{}是公比为的等比数列，所以＝×＝×＝ .解析：由已知得＋答案：．已知正项等比数列{}的前项和为，＝，且{}的前项和为，若对一切正整数都有>，则数列{}的公比的取值范围是．解析：由于{}是等比数列，公比为，所以＝＝，于是＋＋…＋＝(＋＋…＋)，即＝·，又>，且>，所以＝>.因为>对任意∈*都成立，所以>，因此公式的取值范围是>.答案：>二、解答题．已知等差数列{}满足＝，＝.()求{}的通项公式；()各项均为正数的等比数列{}中，＝，＋＝，求{}的前项和.解析：()设等差数列{}的公差为，则由已知得(\\(＋＝＋＝)).∴＝，＝.∴＝＋(－)＝－.()设等比数列{}的公比为，。

2019届高考数学一轮复习第六章数列6-3等比数列及其前n项和课件文

4．已知数列{an}满足 a2＝1,3an＋1＋an＝0(n∈N*)，则数列{an} 的前 10 项和 S10 为( )
A.94(310－1)
B.94(310＋1)
C.94(3－10＋1)
D.94(3－10－1)
[解析] 由 3an＋1＋an＝0，得aan＋n1＝－13，则数列{an}为等比数列，公比 q＝－13，所以 a1＝－a213＝－3，
[答案] －8
考点突破提能力
研一研练一练考点通关
考点一等比数列的基本运算——热考点
(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1， a8＝a6＋2a4，则 a6 的值是________．
(2)(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3＝74，S6＝643，则 a8＝________.
(2)等比中项如果三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 和 b 的等比中
项，那么 Ga ＝Gb ，即 G2＝ab .
[温馨提示] 三个注意点：(1)等比数列中任一项都不为 0，且公比 q≠0；
(2)当 q＝1 时，数列为常数列，同时也是等差数列，反之，若数列是常数列，其一定是等差数列但不一定是等比数列，如： 0,0,0,0，…；
[温馨提示] 两个易错点：(1)等比数列的符号：等比数列各项中不含有 0，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同．如：等比数列{an}中，a1＝3，a5＝27，则 a3＝ 9 .
提示：a23＝a1·a5＝3×27＝81，∴a3＝9 或 a3＝－9，又 a1，a3， a5 符号相同，所以 a3＝9.
(3)任意两数都有等差中项，但不一定有等比中项，如果有等比中项，则等比中项有两个．如：12与 4 的等比中项是± 2 .

2019高考数学文一轮分层演练：第6章数列第3讲 Word版含解析

一、选择题1、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2,则公比q ＝( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6解析:选B.由题意知,q ≠1,则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q 3－23a 1（1－q 2）1－q＝a 1q 2－2,两式相减可得－3（q 3－q 2）1－q ＝q3－q 2,即－31－q＝1,所以q ＝4.2、(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{a n }中,已知a 3＝6,a 3＋a 5＋a 7＝78,则a 5＝( )A 、12B 、18C 、36D 、24解析:选B.a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78⇒1＋q 2＋q 4＝13⇒q 2＝3,所以a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.3、(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A 、1盏B 、3盏C 、5盏D 、9盏解析:选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{a n },则前7项的和S 7＝381,公比q ＝2,依题意,得a 1（1－27）1－2＝381,解得a 1＝3,选择B.4、(2018·广州综合测试(一))已知等比数列{a n }的各项都为正数,且a 3,12a 5,a 4成等差数列,则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( ) A 、5－12B.5＋12C 、3－52D.3＋52解析:选A.设等比数列{a n }的公比为q ,由a 3,12a 5,a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4,即a 3q 2＝a 3＋a 3q ,故q 2－q －1＝0,解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去),由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3（1＋q 2）a 4（1＋q 2）＝1q ＝25＋1＝2（5－1）（5＋1）（5－1）＝5－12,故选A. 5、在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3＝4,a 4a 5a 6＝12,a n －1a n a n ＋1＝324,则n 等于( ) A 、12 B 、13C 、14D 、15解析:选 C.因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列,所以a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9,a 10a 11a 12,…也成等比数列、不妨令b 1＝a 1a 2a 3,b 2＝a 4a 5a 6,则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324,即4×3m －1＝324, 解之得m ＝5,所以b 5＝324,即a 13a 14a 15＝324.所以n ＝14.6、在递增的等比数列{a n }中,已知a 1＋a n ＝34,a 3·a n －2＝64,且前n 项和S n ＝42,则n 等于( )A 、3B 、4C 、5D 、6 解析:选A.因为{a n }为等比数列,所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34,所以a 1,a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n＝2.又因为{a n }是递增数列,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q ＝42,解得q ＝4. 由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32,解得n ＝3.故选A. 二、填空题7、在等比数列{a n }中,若a 1a 5＝16,a 4＝8,则a 6＝________、解析:因为a 1a 5＝16,所以a 23＝16,所以a 3＝±4. 又a 4＝8,所以q ＝±2.所以a 6＝a 4q 2＝8×4＝32. 答案:328、已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1＋a 4＝9,a 2a 3＝8,则数列{a n }的前n 项和S n ＝________、解析:设等比数列的公比为q ,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.答案:2n －19、(2018·郑州第二次质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若27a 3－a 6＝0,则S 6S 3＝________、解析:由题可知{a n }为等比数列,设首项为a 1,公比为q ,所以a 3＝a 1q 2,a 6＝a 1q 5,所以27a 1q 2＝a 1q 5,所以q ＝3,由S n ＝a 1（1－q n ）1－q ,得S 6＝a 1（1－36）1－3,S 3＝a 1（1－33）1－3,所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.答案:2810、已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ,n ∈N ＋,都有a m ＋na m＝a n ,则数列{a n }的前n 项和S n ＝________、解析:因为a n ＋ma m ＝a n ,令m ＝1,则a n ＋1a 1＝a n ,即a n ＋1a n＝a 1＝2, 所以{a n }是首项a 1＝2,公比q ＝2的等比数列, S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案:2n ＋1－2 三、解答题11、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1,a 2＋a 4＝10,b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求和:b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10,所以2a 1＋4d ＝10.解得d ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5,所以b 1qb 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.12、已知{a n }是等差数列,满足a 1＝3,a 4＝12,数列{b n }满足b 1＝4,b 4＝20,且{b n －a n }为等比数列、(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和、解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3,所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2,…)、设等比数列{b n －a n }的公比为q ,由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8,解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2,…)、(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2,…)、数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1),数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以,数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1＝a 1,b n ＝a n －a n －1(n ≥2),且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1,求证:{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式、解:(1)证明:因为a n ＋S n ＝n ①,所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1,所以2a n ＋1＝a n ＋1,所以2(a n ＋1－1)＝a n －1, 当n ＝1时,a 1＋S 1＝1,所以a 1＝12,a 1－1＝－12,所以a n ＋1－1a n －1＝12,又c n ＝a n －1,所以{c n }是首项为－12,公比为12的等比数列、(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n,所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.所以当n ≥2时,b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n.又b 1＝a 1＝12也符合上式,所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)、 (1)求a 2,a 3的值；(2)求证:数列{S n ＋2}是等比数列、解:(1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *), 所以当n ＝1时,a 1＝2×1＝2；当n ＝2时,a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4,所以a 2＝4；当n ＝3时,a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6, 所以a 3＝8.综上,a 2＝4,a 3＝8.(2)证明:因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)、① 所以当n ≥2时,a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)、②①－②,得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.所以－S n ＋2S n －1＋2＝0, 即S n ＝2S n －1＋2,所以S n ＋2＝2(S n －1＋2)、因为S 1＋2＝4≠0,所以S n －1＋2≠0,所以S n ＋2S n －1＋2＝2,故{S n ＋2}是以4为首项,2为公比的等比数列、。

2019版一轮优化探究文数练习：第六章第三节等比数列及其前n项和含解析

一、填空题1．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________. 解析：S 4＝a 1(1－34)1－3＝40a 1，a 2＝3a 1. ∴S 4a 2＝403. 答案：4032．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．解析：由已知可设公比为q ，则(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，∴(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)．∴2q 2－4q ＋2＝0.∴q ＝1，∴a n ＝2.∴S n ＝2n .答案：2n3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 答案：734．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________．解析：由题意易知q ≠1，则9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，数列{1a n}是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.答案：31165．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是________．解析：设公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12，a 1＝4，故数列{a n ·a n ＋1}是首项为8，公比为14的等比数列，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14＝323[1－(14)n ]，∵34≤1－(14)n <1，∴8≤323[1－(14)n ]<323. 答案：[8，323)6．在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 为________．解析：由已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，两式相减得a 6－a 5＝2a 5，即a 6＝3a 5，所以q ＝3.答案：37．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.解析：∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(833－1)8－1＝47a 1(299－1) ＝47×30＝1207.答案：12078．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 10＝________. 解析：由已知得a n ＋1＝2a n ，故数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 10＝a 3×27＝10×128＝1 280.答案：1 2809．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3n a 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________．解析：由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3n a 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q 2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n ，又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n >1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公式q 的取值范围是q >1. 答案：q >1二、解答题10．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4，∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1. 11．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝k ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中k 为实数，n ∈N *.(1)证明数列{a n }不是等比数列；(2)若数列{b n }是等比数列，求k 的取值范围．解析：(1)证明：假设存在实数k 使{a n }是等比数列，则a 22＝a 1·a 3，即(23k －3)2＝k (49k －4)，即49k 2－4k ＋9＝49k 2－4k ，∴9＝0显然矛盾，故假设不成立．∴{a n }不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1(23a n －2n ＋14)＝(－23)·(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n .又∵b 1＝－(k ＋18)，∴只需k ≠－18，则b 1≠0，由上可知b n ＋1b n＝－23(n ∈N *)．故若{b n }是等比数列，则只需要k ≠－18，∴k 的取值范围为(－∞，－18)∪(－18，＋∞)．12．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)求证数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)设T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n 及数列{a n }的通项；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并说明S n ＋23T n －1＝1. 解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2.∵a 1＝2，∴a n ＋1>1，两边取对数得lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2. ∴数列{lg(1＋a n )}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg(1＋a n )＝2n －1·lg(1＋a 1)＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1，∴1＋a n ＝32n －1.(*)∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·322·…·32n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n －1.由(*)式得a n ＝32n －1－1.(3)∵a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)，∴1a n ＋1＝12(1a n －1a n ＋2)， ∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1. 又∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2， ∴b n ＝2(1a n －1a n ＋1)． ∵S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1) ＝2(1a 1－1a n ＋1)．∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n －1，∴S n ＝1－232n －1. 又∵T n ＝32n －1，∴S n ＋23T n －1＝1－232n －1＋232n －1＝1.。

高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案

第三节等比数列及其前n 项和突破点一等比数列的基本运算[基本知识]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、填空题1．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13a 10＝________. 答案： 22．各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 6＝a 1a 2a 3，则公比q 的值为________．答案：23．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．答案：44．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1[典例感悟]1．已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项和S 5＝( )A.3312 B ．31C.314D ．以上都不正确解析：选B 设{a n }的公比为q ，则q >0且q ≠1.由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2，即a 2q 2＋3a 2q＝10a 2，q 2＋3q －10＝0，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)，又a 2＝2，则a 1＝1，所以S 5＝a 11－q 51－q＝1×1－251－2＝31.2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[方法技巧]解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.[针对训练]1．(2019·豫北重点中学联考)数列{a n }满足a 4＝27，a n ＋1＝－3a n (n ∈N *)，则a 1＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1D ．－3解析：选C 由题意知数列{a n }是以－3为公比的等比数列， ∴a 4＝a 1(－3)3＝27，∴a 1＝27－33＝－1.故选C.2．(2019·绵阳诊断性考试)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152 B ．314C.334D ．172解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，则显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q 51－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.3．(2019·兰州诊断性测试)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128，则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024，可得a 5＋1＝32，即a 5＝31.(2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋1＝a 1＋1q 2，a 5＋1＝a 1＋1q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n－1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .突破点二等比数列的性质[基本知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k.(5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． [基本能力]1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝________. 答案：42．(2019·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.答案：143．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于________．答案：44．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于________．答案：18[典例感悟]1．(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.2．(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析：选A 易知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0，所以S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，所以S 40＝150.故选A.[方法技巧]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[针对训练]1．(2019·惠州调研)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：选B ∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. 2．(2019·兰州一中测试)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于( ) A.35 B ．53 C ．－35D ．－53解析：选D1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝a 1＋a 4a 1·a 4＋a 2＋a 3a 2·a 3. ∵在等比数列{a n }中，a 1·a 4＝a 2·a 3， ∴原式＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2·a 3＝158×⎝ ⎛⎭⎪⎫－89＝－53.故选D.3．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A 由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.突破点三等比数列的判定与证明[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.[方法技巧]等比数列的4种常用判定方法定义法若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列中项公式法若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列通项公式法若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证． [针对训练](2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－4a n . (1)求证：数列{a n ＋1－2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由a n ＋2＝4a n ＋1－4a n 得a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )＝22(a n －2a n－1)＝ (2)(a 2－2a 1)≠0，∴a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2，∴{a n ＋1－2a n }是等比数列．(2)由(1)可得a n ＋1－2a n ＝2n －1(a 2－2a 1)＝2n，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为12的等差数列，∴a n 2n＝n2，a n ＝n ·2n －1.。

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