鲁教版九年级数学下册《圆周角和圆心角的关系(1)》教案-新版

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初中鲁教版数学课件九年级下册4 圆周角和圆心角的关系

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解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗? B
O
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD, ∠CBD = ∠COD, ∴ ∠ABC = ∠AOC. B 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 A D
∠AOC的度数等于（） A O C
A.140°
C.120° 答案:A
B.130°
D.110°
B
2.如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15° ,则 ∠BOC的度数为（ A．15° C. 45° ） B. 30° D．60°
A
O C
答案:B
B
3.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于
特征：
. O
B C
①角的顶点在圆上.
②角的两边都与圆相交.
【学以致用】
1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.
× 图１
图２
×
图３
√
图４
×
图５
×
2、指出图中的圆周角
A
O
C B
∠ACO ∠BAC ∠ABC
∠ACB ∠BCO ∠OAC ∠CBO ∠ACB ∠BAC ∠ABC
合作竞学
议一议： 1.在⊙O上画出几个AC弧所对的圆周角，这些圆周角与圆心角∠AOC的大小有什么关系？ 2.改变∠ABC的度数，你得到的结论还成立吗？ 3.圆周角与圆心有几种不同的位置关系呢？请同学们大胆的提出你的猜想！

九年级数学下册圆周角和圆心角的关系教案

课题：3．4．1圆周角和圆心角的关系教学目标：1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理．会熟练运用定理解决问题．2．培养学生观察、分析及理解问题的能力．3．在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式．培养学生的探索精神和解决问题的能力．教学重难点：重点：圆周角定理及其应用．难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：1．圆心角的定义?(顶点在圆心的角叫圆心角)2．圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?如图：∠AOB AB的度数．3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．处理方式：找三名学生直接回答．题 1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；题2和题3是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．再特别向学生强调定理当中的前提条件“同圆或等圆”，同时要学生明白何为三组量中其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等．设计意图：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系．为本节课的学习做准备．二、合作学习，探究尝试活动内容1：问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?点A 在圆内点A 在圆外点A 在圆上.BOC A.B OC AO BC顶点在圆心.C .A OB圆心角圆周角处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角．设计意图：本环节的设置，采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义．问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况，其实是点和圆的位置关系知识点的应用，老师在此应注意知识之间的联系，达到触类旁通的目的．活动内容2：练习巩固如图，指出图中的圆心角和圆周角．解：圆心角有∠AOB 、∠AOC 、∠BOC圆周角有∠BAC 、∠ABC 、∠ACB处理方式：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法．寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定．寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点．这里要注意，因为半径AO 没有延长，所以∠OAB 严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO 延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．设计意图：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角的定理做铺垫，有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的．活动内容3：问题提出：当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC ．这三个角的大小有什么关系?教师提示：类比圆心角探知圆周角：在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等．在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系．设计意图：利用球员射门学生熟悉的问题引出一条弧所对的圆周角和圆心角之间有一定的关系．做一做：如图,∠AOB =80°，（1）请你画出几个AB 所对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？教师提示:（1）思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系?（3）议一议:改变圆心角∠A0B 的度数，上述结论还成立吗？（4）你是如何证明圆周角定理？处理方式：本活动环节，首先有一个情景引出探究的问题，然后通过类比得出探究圆周角定理的方法，再通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得到一般的规律．规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理，证明定理．问题（1）有三种情况：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外．问题（2）学生在①操作的基础上猜测得出∠AOB =2∠AC B ，猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．接着教师引导学生结合图形用符号语言表示．符号语言：12ACB AOB ∠=∠ ．问题（4 ）引导学生写出已知求证已知：如图，∠ACB 是AB 所对的圆周角，∠AOB 是AB 所对的圆心角，求证：12ACB AOB ∠=∠．分析：①．首先考虑一种特殊情况：当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系．让学生到黑板板演．∵∠AOB 是△ACO 的外角 ∴∠AOB =∠C +∠A ∵OA=OC ∴∠A =∠C∴∠AOB =2∠C ，12ACB AOB ∠=∠即．当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的内部或外部时，圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样? 能否转化为①的情况? 学生先独立思考，在此基础上再指导学生进行合作交流．时机成熟后找两名同学上黑板板演，师生共同纠错．②．当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的内部时，圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?过点C 作直径CD ．由①可得：11,22ACD AOD BCD BOD ∠=∠∠=∠。

3.4第1课时圆周角和圆心角的关系(教案)

举例：引导学生通过折叠、旋转等方法，观察圆周角和圆心角的变化，从而理解两者关系。
（2）运用圆周角和圆心角的关系解决问题：在实际问题中，学生可能不知道如何将所学的圆周角和圆心角关系应用到解题过程中。
举例：针对不同类型的题目，指导学生分析问题，找到运用圆周角和圆心角关系的关键步骤，并给出解题策略。
四、教学流程
3.加强实践活动的引导，让学生在讨论和操作过程中，能够更加深入地思考问题；
4.提高自己的课堂应变能力，针对学生的反馈，及时调整教学方法和策略。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
本节课将紧密围绕核心素养目标，关注学生能力培养，使学生在掌握知识的同时，提高数学学科综合素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）圆周角和圆心角的概念及其关系：圆周角是圆上一段弧所对的角，圆心角是以圆心为顶点的角。圆周角是圆心角的一半，这是本节课的核心知识点。
举例：讲解圆周角和圆心角的定义，通过图示和实际操作，让学生直观感受两者的关系。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角和圆心角的关系，以及它们在解题中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过观察和测量圆周角和圆心角，验证圆周角是圆心角的一半这一性质。

九年级数学下册圆周角和圆心角的关系课时教案

课题：3.4.2 圆周角和圆心角的关系教学目标：1. 掌握圆周角定理的两个推论,会熟练运用这两个推论解决相关问题。

2．掌握圆的内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用。

3．通过实际问题的解决，体会建立数学模型解决实际问题的过程，养成用数学的思维方式思考问题的习惯.教学重点与难点：重点：圆周角定理的两个推论及圆的内接四边形性质的应用.难点：理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”.课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：（课件出示）某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格．检测方法如图1所示，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和A，B两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的．把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图2所示的一个圆环．想一想：你能说明其中的原因吗？线段AB表示的是什么？它所对的角度是多少度？这是一个怎样特殊的角？学生猜测：线段AB可能是直径，它所对的角度应该是90°.上节课我们了解了圆周角定理，这节课我们探究一下特殊的弦—直径所对的圆周角的特征.学完这节课你就能说明其中的原因了.板书课题：3.4 圆周角和圆心角的关系（2）处理方式：联系生活,思考实际问题,引入新课.设计意图：利用情景引入，吸引了学习时的注意力，激发了他们的求知欲望,使他们急于想知道答案，同时也在提出的问题中了解了本节课所要探究的内容，一举两得.二、探究学习，感悟新知活动内容1：自主探究圆周角定理推论如教材图3-17，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？处理方式：学生动手操作，作出直径BC不同方向的圆周角，完成后运用自己的方法进行判断. 运用量角器,直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°.得出圆周角定理推论二：直径所对的圆周角是直角.想一想:反过来，如教材图3-18，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？处理方式：学生分组讨论，统一意见，师参与其中，及时给与指点。

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。

本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。

教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。

接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。

教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。

然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。

此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。

三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。

2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。

3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。

2.圆周角定理的证明及其推论。

3.运用圆周角定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。

2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。

3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。

4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。

鲁教版九年级数学下册《圆周角和圆心角的关系(2)》导学案-新版

CB5.4 圆周角和圆心角的关系（2）学习目标掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题. 学习重点：圆周角的性质学习难点：圆周角性质的应用一、知识准备（一）、知识再现：1．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则（1）∠BOC= °,理由是；（1）∠BDC= °,理由是 .2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB= °. 意图：复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法. （二）、预习检测：1.如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径，则∠ADB= °,∠DAB= °. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，若AB=AC ，求证：BD=CD.二、学习内容1.如图,BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？（引导学生探究问题的解法）2.如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BCODCBA第1题OCBA第2题第1题C第2题BCB3.归纳自己总结的结论：（1）（2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视. 三、例题分析例题1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°， ∠ADC=50°,求∠CEB 的度数.【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质例题2.如图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径.△ABE 与△ACD相似吗？为什么？利用直径所对的圆周角是直角的性质解题.变式：如图，△ABF 与△ACB 相似吗？例题3. 如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD =∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？【解析】利用 90°的圆周角所对的弦是直径.四、知识梳理 1.两条性质：2. 直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线.五、达标检测（一）当堂达标检测：1.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.3.如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，延长BD 到点C ，使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。

九年级数学下册《圆周角定理及其推论》教案、教学设计

1.对圆周角定理的理解不够深入，难以将其应用于实际问题。
2.在解决综合性的几何问题时，缺乏系统的解题思路和方法。
3.部分学生对几何图形的观察和分析能力较弱，影响了解题效果。
针对以上情况，教师应关注以下几点：
1.注重启发引导，帮助学生建立圆周角定理的知识体系，提高学生的理解能力。
2.通过典型例题的讲解和练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.学生独立完成练习题，教师巡回辅导，解答学生疑问。
4.选取部分学生的作业进行展示和点评，表扬优秀作业，指出不足之处，并提出改进建议。
（五）总结归纳
1.引导学生回顾本节课所学内容，总结圆周角定理及其推论的核心要点。
2.帮助学生梳理解题思路和方法，强调几何图形在解题过程中的作用。
3.鼓励学生提出本节课的收获和疑问，组织全班同学进行交流讨论。
2.鼓励小组成员积极发表见解，共同探讨解决问题的策略和方法。
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
4.各小组汇报讨论成果，分享解题心得，促进全班同学共同提高。
（四）课堂练习
1.设计具有梯度性的练习题，让学生分层练习，巩固所学知识。
2.练习题涵盖圆周角定理及其推论的应用，包括基础题、提高题和拓展题。
-采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业和阶段测试，全面评估学生的学习效果。
-关注学生在解题过程中的思维过程，鼓励创新和灵活运用知识。
-定期对学生的学习情况进行反馈，指导学生改进学习方法，提高学习效率。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习圆的基本概念和性质，如圆心、半径、直径等，为学生学习圆周角定理做好铺垫。
-总结反馈：引导学生总结学习收获，对易错点进行梳理和讲解，巩固学习成果。

初中数学鲁教版九年级下册《圆周角和圆心角的关系》课后反思

《圆周角和圆心角的关系》教学反思《数学课程标准》中指出：“在掌握基础知识的同时，感受数学的意义”，提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学”使学生感受到数学就在我们身边，感受到数学的趣味、作用。

反思这节课，我有以下体会：1、通过足球射门训练的实际问题情景直指数学问题，使数学问题的形成和提出自然且亲近。

重视联系学生的生活实际，让学生体验到生活中处处有数学。

通过这个图形的形象演示，让学生直观看到真实的世界中的“圆周角和圆心角的关系”，加强学生的感性认识。

2、用多种感官感受数学，培养数学情感。

学生在本课中不仅用耳朵听数学，而是还用眼睛观察、动手操作，通过几何画板的演示来理解数学知识，用数学知识解释身边的数学现象，在探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离。

3、重视数学知识的形成过程，让学生感受到学习数学的快乐。

通过一系列的问题链引导学生进行实践操作，观察比较，分类确认，使圆周角与圆心的位置关系形成分类这一主要难点自然形成且直观；并且引导学生从三种情况进行分析，推导圆周角定理的证明过程。

定理学完后，马上进行适当的练习加以巩固，让学生在思考与回答的过程中体会到学习数学的快乐。

在上述探索过程中，从特殊到一般，再从一般到特殊，直观感知、合情推理与严格验证相得益彰。

以学生活动为核心，适时渗透了“分类”、“化归”、“归纳”等数学思想，有效提高了学生的推理能力，充分体现学生的主体性与教师的启导作用。

我的反思和改进方法：1.小组合作与多媒体的使用要继续，尤其对电子白板的使用要更加的驾轻就熟，充分挖掘白板的“潜力”。

2.多钻研考题，备、授课前先做题，发现命脉，再制定教学目标。

3.注意集体备课的效果，充分挖掘别人的优点和擅长的领域，互补共进。

鲁教版(五四制)(2012)九年级数学下册5.4：圆周角和圆心角的关系-学案设计(共2课时,无答案

圆周角和圆心角的关系【学习目标】1．知道圆周角的概念；2．掌握圆周角的两个特征、定理的内容及会进行简单的应用；3．掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题。

【学习重难点】1．圆周角概念及圆周角定理。

2．认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。

3．圆周角的性质。

4．圆周角性质的应用。

【学时安排】2学时【第一学时】【学习过程】1．圆心角的定义？——顶点在_________的角叫圆心角。

2．圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系？如图：∠AOB是弧AB的度数。

3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条_________、两条_________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

二、新知学习1．自学并写下疑惑摘要：2．已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数。

3．如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC。

4．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB．∠ADB的度数？三、知识梳理圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

符号语言：12ACB AOB ∠=∠。

在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。

四、学习评价（一）当堂检测。

1．一条弦把圆分为1∶4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？2．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有_________个圆周角，分别是_____________________________________________。

3．已知AB 为⊙O 的直径，AC 和AD 为弦，AB=2，AB ⊥CD ，AD=2，求∠CAD 的度数。

（二）自我评价。

1．本节课有困惑的题目是：2．本节课的学习收获是：【第二学时】【学习过程】一、知识准备（一）知识再现：1．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则：（1）∠BOC=_________°，理由是_____________________；（1）∠BDC=_________°，理由是_____________________。

3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册

第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。

【鲁教版】数学九年级下册《5.4圆周角和圆心角的关系》课件3课时

5、下列命题中是真命题的是（D）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角 O C O A B B
（B）60º 的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（D）120º 的弧所对的圆周角是60º
C
自学与思考
1、圆周角定理的推论的内容分别是什么？你是怎样理解这些推论的？ 2、试完成课本P23的练习1、2。
A C
●
A
2
A C C B
●
O
●
O
O
B

老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
B
推论：由圆周角定理可以得出什么结论？圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
随堂练习
9
思考与巩固
驶向胜利的彼岸
• 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A = ∠BOC = 25°. 2
=1 ∠COD, 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
B
你能写出这个命题吗?
议一议
7
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A

老师提示:能否也转化为1的情况?

(2)
(3)
想一想
2
圆周角
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.在B、 C、D哪个位置射门更容易些？ A
E
●
A
E B
C
D
O

鲁教版(五四制)九年级下册教案《5.4 圆周角与圆心角的关系(1)》

《5.4圆周角与圆心角的关系（1）》教学设计教学目标(一)教学知识点1．理解圆周角的概念．2．了解并证明圆周角定理．(二)能力训练要求经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．(三)情感与价值观要求通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．教学方法指导探索法．讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合教具与学具：教师：圆规、三角板等教学用具和几何画板学生：圆形硬纸片、圆规、量角器等学习用具.教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课插入视频，激情导入思考并回答问题：1、什么是圆心角？（学生回答）2、圆心角和弧的关系？3、当角的顶点发生变化时，这个角和圆的位置还有哪几种情况？设计意图：通过复习圆心角的概念格性质，类比学习圆周角的概念和性质。

O CBA O CA BOCBAⅡ．讲授新课1、圆周角的概念（几何画板演示）顶点在圆上的角有什么特点？学生在学案上画出不同位置的几个角并测量大小。

(1)角的顶点在圆上；（学生回答）(2)且两边与圆相交．（学生回答）(3)学生发现不同位置的圆周角相等。

圆周角定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．（教师总结板书）巩固练习并强调必须具备两个条件。

判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．2、研究不同位置圆周角的大小关系学生动手操作，测量圆周角的大小。

（教师几何画板演示度量角度的大小）得到结论：同弧所对的圆周角相等。

（教师板书）设计意图：引导学生发现，让学生亲自动手，利用度量工具进行实验、探索，得出结论。

激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性。

教师利用几何画板进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，在运动过程中寻找不变的关系。

3、类比圆心角探索圆周角在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。

鲁教版(五四制)数学九年级下册5.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计

（三）学生小组讨论
1.教师提出讨论话题：“在同一个圆中，圆周角和圆心角的关系有哪些应用？”
2.学生分组讨论，组内成员共同思考、交流，总结出圆周角和圆心角的应用场景。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评、总结，强调圆周角和圆心角关系在实际问题解决中的重要性。
（四）课堂练习
1.教师设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。练习题包括：
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对圆周角和圆心角的好奇心，培养学生对数学问题的探究精神。
2.在解决问题的过程中，培养学生面对困难、勇于挑战的精神。
3.培养学生严谨、细致的数学态度，提高学生的数学素养。
4.使学生认识到数学在生活中的广泛应用，增强学生学习数学的自信心和责任感。
二、学情分析
本章节的学习对象为九年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识。此外，学生对角度的计算和性质也有一定的了解。但在圆周角和圆心角的关系方面，大部分学生可能尚未形成清晰的认识，需要通过本章节的学习来加深理解。
在学习方法方面，学生已经具备一定的自主学习、合作学习和探究学习的能力，但仍有待提高。教师应引导学生在本章节的学习中，运用观察、猜想、验证等学习方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。同时，注重培养学生的团队协作精神，提高他们在小组合作中的交流能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.圆周角和圆心角的概念及其关系。
6.加强课堂小结，通过师生互动、生生课后作业，注重培养学生的自主学习能力，同时关注学生的情感需求，鼓励他们在遇到困难时勇于求助。
8.教学评价方面，采用多元化评价方式，关注学生的过程性表现，如课堂参与度、问题解决能力、合作交流能力等，全面评价学生的学习成果。

九年级数学下册《圆周角和圆心角的关系》教案、教学设计

（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下过程与方法提升自身能力：
1.通过观察、猜想、验证、总结等环节，培养学生的逻辑思维能力。
2.以小组合作的形式，进行讨论、交流、分享，提高学生的合作意识和沟通能力。
3.运用数形结合的思想，将抽象的数学问题具体化，培养学生的空间想象能力。
4.引导学生运用已学知识解决新问题，提高学生的知识迁移能力和问题解决能力。
2.定理推导：教师通过几何画板等工具，动态展示圆周角和圆心角之间的关系，引导学生发现圆周角定理。
3.例题解析：教师针对圆周角定理，给出典型例题，讲解解题思路和方法。
4.知识拓展：教师介绍圆周角和圆心角在其他学科领域的应用，如圆周率在物理学、天文学等方面的运用。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，教师组织学生进行以下活动：
1.基础题：针对圆周角和圆心角的基本概念，设计一些填空题、选择题，让学生巩固所学。
2.提高题：设计一些需要运用圆周角定理的题目，让学生在解决问题中提高自己的能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一些应用题，让学生将所学知识运用到实际问题中。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，教师引导学生进行以下活动：
4.实践应用，巩固提高
（1）教师设计具有梯度的问题，让学生运用所学知识解决，巩固所学。
（2）学生进行课堂练习，教师巡回指导，及时发现问题，进行针对性辅导。
（3）课后作业布置，注重知识拓展和实际应用，提高学生的解决问题的能力。
5.总结反思，评价反馈
（1）教师引导学生总结本节课所学内容，强化重点知识。
（2）学生自我评价，反思学习过程中的优点和不足。
（一）教学重难点
1.重点：圆周角和圆心角的概念及其关系，圆周角定理及其推论。

3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论+2023-2024学年+北师大数学九年级下册

4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1教学目标：1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角定理的证明.3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.教学重难点：重点:圆周角概念及圆周角定理.难点:认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性.教学过程：导入如图所示,在射门游戏中球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,这三个角的大小有什么关系?解:相等新课讲授知识点1圆周角的概念下列四个图中,∠x是圆周角的是(C)[总结]定义:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,这样的角叫圆周角.知识点2圆周角定理⏜所对的圆周角,这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有如图所示,∠AOB=80°,请你画出几个AB什么关系?你能说明理由吗?解:AB⏜所对的圆周角有无数个,它们与∠AOB的位置关系分为三种,如图①,②,③所示.(1)如图①所示,因为OB=OC,所以∠C=∠OBC.所以∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C.∠AOB.即∠C= 12(2)如图②所示,连接CO并延长,交圆O于点D,由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD,所以∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACD+2∠BCD=2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB.∠AOB.即∠ACB= 12(3)如图③所示,延长CO交圆于点D.由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD.所以∠AOB=∠BOD-∠AOD=2∠BCD-2∠ACD=2(∠BCD-∠ACD)=2∠ACB,∠AOB.即∠ACB= 12[总结]圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.知识点3圆周角定理的推论如图所示,四边形ABCD的四个顶点在☉O上,找出图中分别与∠1,∠2,∠3,∠4相等的角.解:∠CBD=∠1,∠ACB=∠2,∠BAC=∠3,∠ABD=∠4.[总结]圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.范例应用例1如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,连接OD,AC,若∠CAO=56°.⏜=BD⏜;(1)求证:BC(2)求∠AOD的度数.(1)证明:因为AB是直径,AB⊥CD,所以BC⏜=BD⏜.(2)解:设AB交CD于H(图略).因为AB⊥CD,所以∠AHC=90°.因为∠CAO=56°,所以∠ACD=90°-56°=34°.所以∠AOD=2∠ACD=68°.[方法归纳]计算圆周角(圆心角)的度数时,同弧(或等弧)是关键:(1)先找到圆周角(圆心角)所对的弧;(2)再找这段弧对的圆心角(圆周角);(3)建立两个角之间的关系.例2 如图所示,在☉O中,弦AB,CD交于点E,AD=CB.求证:AE=CE.解:由圆周角定理可得,∠ADE=∠CBE,在△ADE和△CBE中,{∠ADE=∠CBE,∠AED=∠CEB, AD=CB,所以△ADE≌△CBE(AAS).所以AE=CE.课堂训练1.(2021阜新)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,若∠O=70°,则∠C的度数是(B)A.40°B.35°C.30°D.25°第1题图第2题图2.如图所示,☉O的两条弦AB,CD所在的直线交于点P,AC,BD交于点E,∠AED=105°,∠P=55°,则∠ACD等于(C)A.60°B.70°C.80°D.90°3.如图所示,△ABO是等边三角形,则弦AB所对圆周角度数为30°或150°.第3题图第4题图⏜中点,点D是优弧AB⏜上的一点,∠ADC=30°, 4.如图所示,AB是☉O的弦,且AB=6,点C是AB则圆心O到弦AB的距离等于√3.5.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E.(1)若∠CAD=23°,求∠BAC的度数;(2)若∠ACD=45°,AC=13,求CD的长.解:(1)因为AC⊥BD,所以∠BEC=90°.因为∠CBE=∠CAD=23°,所以∠ACB=90°-23°=67°. 因为AB=AC ,所以∠ABC=∠ACB=67°.所以∠BAC=180°-67°-67°=46°. (2)因为AC ⊥BD , 所以∠AEB=∠CED=90°. 因为∠ABD=∠ACD=45°,所以△ABE ,△CED 都是等腰直角三角形. 因为AC=AB=13, 所以AE=√22AB=13√22. 所以EC=AC-AE=13-13√22. 所以CD=√2EC=13√2-13.小结1.圆周角的概念2.圆周角定理及其推论板书4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论11.圆周角的概念2.圆周角定理3.圆周角定理的推论反思学生解决这一问题是有一定难度的,特别是定理证明的分类讨论,在教学过程中应该给学生留出足够的时间和空间,让学生经历观察、想象、推理等过程,多角度直观的体验数学模型.。