八年级上册数学 13.4最短路径问题 课件
合集下载
人教八年级数学上册《最短路径问题》课件(共23张)
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
B
A
·
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
Leabharlann Baidu
B
A
·
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
八年级上学期数学134《最短路径问题》课件
② 连接AB/,交直线l于点P.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.
为什么这样做就能得到最短距离呢？
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
三角形任意两边之和大于第三边
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
A
O
B
Ｃ. .
E
D
M
N
G
H
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点D,点C关于直线OA对称， 点G.H在OA上，∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HC＞CM+CN+MN 即CM+CN+MN最短
·
·
C
D
A
B
E
aຫໍສະໝຸດ Baidu
1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.
为什么这样做就能得到最短距离呢？
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
三角形任意两边之和大于第三边
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
A
O
B
Ｃ. .
E
D
M
N
G
H
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点D,点C关于直线OA对称， 点G.H在OA上，∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HC＞CM+CN+MN 即CM+CN+MN最短
·
·
C
D
A
B
E
aຫໍສະໝຸດ Baidu
1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题 课件
B
当点 N 在直线 b 的什么位置
时 A′N+NB 最小
A
在连接 A′，B 两点的线中，
A′
M M′
a
线段 A′B 最短.因此，线段
b
A′B 与直线 b 的交点 N 的位
N N′
置即为所求，即在点 N 出造
B
桥 MN，所得路径 AMNB 是
最短的.
证明：如图，在直线 b 上任取一点 N′,过点 N′ 作
点 C 应该在哪里？
l
A
A
B
lBaidu Nhomakorabea
l
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把右图A、B两点转化到直线l的异侧呢？
同侧
异侧
A
C A′
B ①找到点 A 关于直线l的对称点 A′； ②连接 A′B，与直线l的交点就是 所求点 C. AC+BC 就是将军走的最短路程
l
你能证明 AC+BC 最短吗？
A′
直线 l 的对称点.
对称轴是对称点所连的线段的垂直平分线.
知识点1 最短路径问题
【探究1】将军从A地出发到
A
一条笔直的河边饮马，再到
B 地，此时，到河边什么地
l
方饮马，可使所走的路径最
短？
B
你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
类型二：两点之间，线段最短——轴对称转化
问题2: 如图,要在燃气管道l上修建一个泵站C,分别向同侧两地A,B
供气,问泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
模型一：两点之间，线段最短
情境 图形
研究两点之间距离最短问题
两点位于直线异侧
两点位于直线同侧
处理方法 原理
连接AB,与直线l
相交于一点
所以A'N+NB<AM'+N'B. 又因为AM=A'N, 所以AM+NB<A'M+N'B. 又MN=M'N', 所以AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B.
拓展延伸
1.如图,某古城河在CC'处直角转弯,河宽相同,从A到达B,须经两座桥 DD',EE'(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎 样架桥可使 ADD'E'EB的路程最短?
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
人教版八年级数学上册复习课件：13.4课题学习最短路径问题 (共22张PPT)
条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可 使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直.） A a 作法：1.将点A沿与河岸 垂直的方向平移到点A′ M A′ 使AA′等于河宽， b 2.连接A′B交河岸b 于点N, N 则点N为建桥MN的位 置，此时路径 B AM+MN+BN最短。
D
M
B′
. .
.
N
.
. .
A′ d d
C
B
课堂小结
B A
A
B
C
l
最短
路径 问题
线段公理： 两点之间，线段最短.
B’
A A' N M
导学施教
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上 求一点C，使得AC+CB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L交于点C ，则点C 即为所求。 这样做的依据是什么？
A
C B
l
根据是：两点之间线段 最短.
导学施教
(Ⅱ)
两点在一条直线同侧
如图，牧马人从A地出发，到一条 笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边 的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
L
B′
(Ⅱ)
问题3
两点在一条直线同侧
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
D
M
B′
. .
.
N
.
. .
A′ d d
C
B
课堂小结
B A
A
B
C
l
最短
路径 问题
线段公理： 两点之间，线段最短.
B’
A A' N M
导学施教
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上 求一点C，使得AC+CB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L交于点C ，则点C 即为所求。 这样做的依据是什么？
A
C B
l
根据是：两点之间线段 最短.
导学施教
(Ⅱ)
两点在一条直线同侧
如图，牧马人从A地出发，到一条 笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边 的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
L
B′
(Ⅱ)
问题3
两点在一条直线同侧
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
2019秋人教版八年级数学上册课件：13.4课题学习最短路径问题(共36张PPT)
图13-4-10
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
解析 如图13-4-11,分别画出点A关于OM、ON所在直线的对称 点B、C,连接BC分别交OM、ON于点D、E,连接AD、AE,则线段AD、 DE、EA即为所走路径.连接OB,OC,由题意得,OB=OA=2 km,∠BOC=60 °,所以△OBC为等边三角形,所以BC=2 km,故最短路程为2 km.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
题型 利用轴对称解决实际选址问题 例 如图13-4-8所示,Ox,Oy是两条公路,在两条公路夹角的内部有一油 库A,现在想在两公路上分别建一个加油站,为使运油的油罐车从油库出 发先到一加油站,再到另一加油站,最后回到油库的路程最短,问加油站 应如何选址?并说明理由.
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
典例剖析 例 (2018江苏连云港东海期中)如图13-4-10,草地边缘OM与小河河岸 ON在点O处形成30°的夹角,牧马人从A地出发,先让马到草地吃草,然后 去河边饮水,最后回到A地.已知OA=2 km,请在图中设计一条路线,使所 走的路径最短,并求出整个过程所行的路程.
源自文库
A.4 cm
B.5 cm
图13-4-5 C.6 cm D.8 cm
13.4 课题学习 最短路径问题
栏目索引
答案 D 连接AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,
人教版八年级数学上册《13-4 课题学习 最短路径问题》教学课件PPT初二优秀公开课
能力提升题
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处 ， 须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥 是都东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
课堂检测
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
C C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
探究新知
素养考点 最短路径问题的应用
例1 如图，已知点D,点E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的
中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（
.
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 .
课堂检测
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在
OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周 长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
课堂检测 3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离 分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离 为 500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的 最短 距离是1000米.
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处 ， 须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥 是都东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
课堂检测
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
C C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
探究新知
素养考点 最短路径问题的应用
例1 如图，已知点D,点E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的
中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（
.
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 .
课堂检测
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在
OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周 长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
课堂检测 3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离 分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离 为 500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的 最短 距离是1000米.
13.4课题学习+最短路径问题++课件+2023—2024学年人教版数学八年级上册
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
解题秘方：扣住两点是在直线同侧还是异侧两种类型 解决问题.
感悟新知
知1－练
方法点拨：解决“一线两点”型最短路径问题 的方法当两点在直线异侧时，连接两点，与直 线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧 时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点 与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点.
知2－练
感悟新知
解：如图，将点A沿与河流1垂直 的方向平移一个河宽到A1，将点B 沿与河流2垂直的方向平移一个河 宽到B1，连接A1B1与两条河的河岸 内侧分别相交于点P，M，在P处 建桥PQ，在M处建桥MN.
知2－练
感悟新知
知2－练
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
解题秘方：扣住两点是在直线同侧还是异侧两种类型 解决问题.
感悟新知
知1－练
方法点拨：解决“一线两点”型最短路径问题 的方法当两点在直线异侧时，连接两点，与直 线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧 时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点 与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点.
知2－练
感悟新知
解：如图，将点A沿与河流1垂直 的方向平移一个河宽到A1，将点B 沿与河流2垂直的方向平移一个河 宽到B1，连接A1B1与两条河的河岸 内侧分别相交于点P，M，在P处 建桥PQ，在M处建桥MN.
知2－练
感悟新知
知2－练
13.4最短路径问题 课件
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
C
D 河
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
C
山Q
河岸
P
A 大桥 B
思路分析：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”．
人教版八年级数学上册 13.4 最短路径问题(共20张PPT)
最短路径：连结A、B两点的线段。
A C l B
学习小结：先找路线，再找点。
.
军营A
家B
.
A
抽象几何图
河
B ┓
C
l
B＇
2、A、B两点直线 l 同侧时：
直线 l 上一点 C 满足 AC+ BC 的值最小，
最短路径方法：通过利用轴对称的性质转化 为两点异侧。
针对训练
1、 如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两 地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q 两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ D ）
Q
源自文库
P
Q
A、
Q
l
P
M
l
Q
P
B、
M
l
Q
C、
P
M
l
D、
P
M
l
针对训练
2、 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中
BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点， 则 BF + EF 的最小值为（ B ） A．7.5 C．4 B．5 D．不能确定
典例分析 如图，一艘旅游船从大桥 AB的 P处前往河岸
课后思考：
2.
河水引到农田(记作点O)，以便对农田进行灌
溉，现设计了四条路线，其中最短的是( B )
A．OA B．OB C．OC D．OD
A C l B
学习小结：先找路线，再找点。
.
军营A
家B
.
A
抽象几何图
河
B ┓
C
l
B＇
2、A、B两点直线 l 同侧时：
直线 l 上一点 C 满足 AC+ BC 的值最小，
最短路径方法：通过利用轴对称的性质转化 为两点异侧。
针对训练
1、 如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两 地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q 两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ D ）
Q
源自文库
P
Q
A、
Q
l
P
M
l
Q
P
B、
M
l
Q
C、
P
M
l
D、
P
M
l
针对训练
2、 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中
BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点， 则 BF + EF 的最小值为（ B ） A．7.5 C．4 B．5 D．不能确定
典例分析 如图，一艘旅游船从大桥 AB的 P处前往河岸
课后思考：
2.
河水引到农田(记作点O)，以便对农田进行灌
溉，现设计了四条路线，其中最短的是( B )
A．OA B．OB C．OC D．OD
人教版八年级上册 13.4 最短路径问题 课件(共18张PPT)
总结
解决最短路径问题的基本步骤：
1.实际问题---数学问题（点、线）
2.未知---已知
3.利用轴对称变换将“折”线段转化 为“直”线段
4.根据“两点之间，线段最短” ，
确定最短路径
练习巩固：
1.如图，在平面直角坐标系中， 点A（-2，4），B（4，2），在x轴上 取一点P，使点P到点A和点B的距离之 和最小，求点P的位置.
E’
E’ P P P1
∴点P为所求 ∴点P为所求 ∴点P1为所求
课堂小结 反 思 是 进 步 的 阶 梯
我学到了什么知识 ……. 我掌握什么方法 ………
课堂总结
最短路径问题的基本模型：
（异侧） （同侧）
· A
· C
l l · · B′ B “两点一线”
· பைடு நூலகம் · C
· B
归纳： 利用轴对称变换，把 “折”路径摆成“直”路径.
P
B'
∴点P为所求
2.已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上 的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR 的周长最短吗？
R
∴点R为所求
M
3.已知等腰△ABC，AB=AC,AD是 BC边上的高，E是AB边上的中点， (1)在AD上找到点p，使PB+PE最短 (2)在AC上找到点p1，使PB+PE最短
用我们所学的数学知识为节能减排做贡献
13.4课题学习++最短路径问题+++教学课件++-2023--2024学年初中数学人教版八年级上册
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
C l
B 两点之间，线段最短
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在 直线同一侧的问题吗？
如果我们能够把点 B 转移到直线 l 的
B
另外一侧 B′，同时使得对直线上任
意一点C，满足 BC=B′C，就可以将
A
问题转化为“两点分别在直线两侧的
A∙
A∙
C
l
∙
C
B
2.造桥选址问题
A
M
a
A′ N
b B
∙B l
B′
谢谢观看
BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
C l
B 两点之间，线段最短
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在 直线同一侧的问题吗？
如果我们能够把点 B 转移到直线 l 的
B
另外一侧 B′，同时使得对直线上任
意一点C，满足 BC=B′C，就可以将
A
问题转化为“两点分别在直线两侧的
A∙
A∙
C
l
∙
C
B
2.造桥选址问题
A
M
a
A′ N
b B
∙B l
B′
谢谢观看
BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
人教版数学八年级上册《课题学习——最短路径问题》课件
到营地. 请ຫໍສະໝຸດ Baidu设计一条放牧
路线，使其所走的总路程
最短.
感悟新知
知1－练
解题秘方：要使其所走的总路程最短，可联想到“两 点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条 线段上，利用轴对称的性质进行转化.
方法点拨：解决“两线一点”型最短路径问题的方法 分别以两线为对称轴，作已知点的对称点，连接两个 对称点，将最短路径转化为连接两个对称点的线段.
为点M，N
长的最小 值为P′P″
的值
感悟新知
知1－讲
两 线 两 点 在直线l1，l2 上分别 型 求点M，N，使四边
形PMNQ 的周长最
分别作点P，Q 关于直 线l1，l2 的对称点P′， Q′，连接P′Q′，与两直
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
知1－练
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
人教版初中八年级数学上册13.4_最短路径问题ppt课件
最短．
请你自己动手 试一试！
• 只有A′ 、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道” 的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周 长最小.
·李庄B
. 提灌站C
g
2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自 来水厂向村庄A与村庄B供水。 (1)若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在 哪建厂？ （2）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什 么地方？
·A村
·B村
3、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的 中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设 置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设 在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站， 再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。
根据：两点之间线段最短.
P
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得 PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
请你自己动手 试一试！
• 只有A′ 、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道” 的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周 长最小.
·李庄B
. 提灌站C
g
2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自 来水厂向村庄A与村庄B供水。 (1)若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在 哪建厂？ （2）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什 么地方？
·A村
·B村
3、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的 中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设 置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设 在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站， 再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。
根据：两点之间线段最短.
P
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得 PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
人教版数学八年级上册《最短路径问题》课件
教学时间授课班级初二（2）班授课人课题
13.4 课题学习
最短路径问题
课时第一课时课型新课
教学内容解析内容
利用轴对称研究某些最短路径问题
内容
解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”
为基础知识，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的一个经典问题－“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段
和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最
短”（或“三角形两边之和大于第三边”）的问题.
基于以上分析，确定本节课的重点为：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
教学目标解析目标
知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在
解决最值问题中的作用.
过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解
决问题的能力及渗透感悟转化思想.
情感与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的
过程中,体验数学学习的实用性.
目标
解析
目标的具体要求是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象成数学中
的“点”“线”，把实际问题中的最短路径抽象成数学中的线段和最小问题；
能利用轴对称将直线上的点与同侧两点所连线段和最小问题转化成直线
上的点与异侧两点所连线段和最小问题，即“两点之间，线段最短”问题；
能通过逻辑推理说明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对
称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学课件
●M
A
B
●N
经典例题
一辆汽车在直线型的公路AB上由
A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧
的村庄．
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路
AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来
越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，
而离村庄M却越来越远？（利用（1）中图
形回答）
●M
A
B
百度文库
●N
经典例题
一辆汽车在直线型的公路AB上由A
B A
l
应用新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能解决这个问题吗？
B A
l
登山作业
1.前进营．课本93页14、15题. 2.大本营.网上搜索“费马点”知识 .
车行驶到该候车厅时，与村庄M、N的距离和
最小？请问：候车厅C应建在何处？作图并说
明理由．
●M
●N
A
B
应用新知
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的
A
B
●N
经典例题
一辆汽车在直线型的公路AB上由
A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧
的村庄．
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路
AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来
越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，
而离村庄M却越来越远？（利用（1）中图
形回答）
●M
A
B
百度文库
●N
经典例题
一辆汽车在直线型的公路AB上由A
B A
l
应用新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能解决这个问题吗？
B A
l
登山作业
1.前进营．课本93页14、15题. 2.大本营.网上搜索“费马点”知识 .
车行驶到该候车厅时，与村庄M、N的距离和
最小？请问：候车厅C应建在何处？作图并说
明理由．
●M
●N
A
B
应用新知
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拓展提升
1.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你 帮他确定这一天的最短路线．
解：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF 交ON于点C，交OM于点D，连接AC，BD，即可得出答案．
拓展提升
2.如图，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存 在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短， 找出E、F两点．
新知演练
【变式1】如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某 处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是( D )
新知演练
【变式2】如图，已知∠MON＝60°，P为∠MON内一点，OM上 有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的
新知演练
【变式3】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝ 10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值
是( A )
A．10 B．15 C．20 D．30
提示：过点P作关于OA，OB对称点P1，P2，连接 P1P2，交OA于点Q，OB于点R，此时△PQR周长的 最小，连接OP1 和OP2，可证△OP1 P2为等边三角形， 边长为10．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
B
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
A
AB′＜AC′+B′C′，
C
∴AC +BC＜AC′+BC′．
C′
l
即AC +BC 最短．
B′
新知应用
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的
连接AB，与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
新知讲解
问题2 如果点A ， B分别是直线l同侧的两个点，又应该 如何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将 A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
满足直线l 上的任意一点C，
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
最短路径问题
新知引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
Biblioteka Baidu
新知引入
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同
一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A. (0，3)
B. (0，2)
C. (0，1)
D. (0，0)
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接
AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周
长最小，然后依据点A与点B′的坐标
B′
E
A
l
A′
新知讲解
1 牧人饮马问题
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.
新知讲解
问题1 现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点， 如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离 的和最短？
度数为( B ) ° ．
A．40 B．60 C．100 D．120
提示：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2，连接P1，P2 交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小， 由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣60°＝120°， ∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝60°， ∴∠APB＝120°﹣60°＝60°．
最小值为（ B ）
A
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
E
F
B
D
C
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点
C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小
值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长
即为BF+EF的最小值.
新知应用
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)
可得到BE、AE的长，然后证明
△B′C′O为等腰直角三角形即可．
新知应用
例3 如图，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存 在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找 出E、F两点，并说明理由．
P'
A
E P
O
F
B
P'' 解析：△PEF的周长=PE+EF+PF= P'E+EF+P''F = P'P'' ，在点P'和P''之间， 线段P'P''最短，故周长最短.
新知讲解
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C
l
B′
新知讲解
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′， BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
课堂总结
最短 路径 问题
原理
牧马人饮 马问题
线段公理和垂线段最短 轴对称知识+线段公理